A TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT"

Transkriptio

1 A TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT PUURAKENTEET, BINÄÄRIPUU, TASAPAINOTETUT PUUT MIKÄ ON PUUTIETORAKENNE? Esim. Viereinen kuva esittää erästä puuta. Tietojenkäsittelytieteessä puut kasvavat alaspäin. Puu on abstrakti tietotyyppi Puun määrittely: Puu on joko tyhjä, tai se sisältää alkion, johon liittyy nolla tai useampia puita. Oheinen kuva on vain yksi tapa esittää puu D B E A F C G H I KyAMK - TiRak, syksy MIKÄ ON PUUTIETORAKENNE? Sama puu voidaan myös esittää seuraavasti: (A(B(D,E),C(F(I),G,H))) Tai seuraavasti: Käytetään jatkossa ensimmäistä esitystapaa, ellei toisin mainita Tieto sijoitetaan puussa solmuihin (node l. vertex) Solmuja yhdistävät sivut eli särmät (edge) Solmu, johon ei tule sivuja, on juuri (root) Solmut, joista ei lähde sivuja ovat lehtiä (leaf l. terminal node) Solmusta alkava puu on oksa tai alipuu (subtree, branch) OKSA, ALIPUU D B E LEHTI A JUURI SÄRMÄ SOLMU C F G H I KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy

2 Toisiinsa yhdistetyt solmut n 1, n 2, n 3,..., n k muodostavat polun (path) Polun pituus (path-length) on k-1 Puussa ei voi olla sulkeutuvia polkuja eli silmukoita Solmun kanssa samassa polussa oleva lähin juurenpuoleinen solmu on isä (father) lähin lehdenpuoleinen on lapsi (child) Polussa kauempana olevat ovat joko esivanhempia eli edeltäjiä (ancestor) tai jälkeläisiä eli seuraajia (descendant) Saman solmun lapset ovat sisaruksia (sibling) Solmun s syvyys eli taso (depth, level) on polun pituus juuresta s:ään Juuren syvyys = 0 Solmun s korkeus (height) on pisimmän polun pituus s:stä lehteen Lehden korkeus on 0 Puun korkeus on sen juuren korkeus Puun syvyys on sen syvimmän lehden syvyys Puun korkeus = puun syvyys Solmun aste on sen lapsiluku Nolla tai useampia puita muodostavat metsän (forest) KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy Poikkeus esitystapaan: Jos solmuilla on suuresti vaihteleva määrä lapsia, muistinkäytön kannalta 1. kuvan mukainen puun esittäminen ei ole tehokas tapa. class TreeNode { Object item; TreeNode firstchild; TreeNode nextsibling; B A C Linkitetyn listan tyyppisessä esitystavassa puun alkion tietotyyppi vaatisi useita osoitinkenttiä, joiden lukumäärä riippuu suurimmasta yksittäisen solmun lapsiluvusta Haitta voidaan korvata ratkaisulla, jossa isäsolmusta lähtee vain yksi osoitin lapsisolmuun (esikoinen) ja mahdollisesti toinen sisarukseen D E I F G H KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy

3 BINÄÄRIPUU BINÄÄRIPUU Tärkein tai ainakin yleisin puurakenne on binääripuu (binary tree), jossa jokaisella solmulla on enintään kaksi lapsisolmua Erikoistapaus M-puusta (M-ary tree), missä jokaisen solmun lapsilukumäärä on enintään M Binääripuun solmusta siis lähtee enimmillään kaksi oksaa: vasen oksa ja oikea oksa Esim. Class Node { Object item; Node left; Node right; Tietorakenne on hyvin samankaltainen kuin linkitetyn listan tietorakenne KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy BINÄÄRIPUU BINÄÄRIPUU Esim. Lausekepuu Ohjelmointikielten kääntäjät käyttävät tehokkaasti hyväksi puutietorakenteita Tarkastellaan aritmeettisen lausekkeen saattamista muotoon, jossa sen arvo voidaan määrittää (evaluoida) Ensin kääntäjä selaa lausekkeen eritellen siitä yksiköt (tokens: operaattorit, vakiot, muuttujat, funktiot ym.) Selauksen yhteydessä kääntäjä rakentaa lausekepuun, jota seuraa koodin generointi ja evaluointi Esimerkiksi lauseketta ( a + b * c ) + ( ( d * e + f ) * g ) vastaa puu a + b + * + c * * f g KyAMK - TiRak, syksy d e KyAMK - TiRak, syksy

4 BINÄÄRIPUUN LÄPIKÄYNTI Binääripuu on rekursiivinen rakenne on luonnollista, että sitä käsittelevät funktiot ja metodit ovat myös rekursiivisia Seuraava Java-koodi esittää periaatteen, miten käydään binääripuun jokaisessa solussa void traverse( Node p ) { if ( p == null ) { return; visit( p ); /* Tehdään "visiitti"*/ traverse( p.left ); traverse( p.right ); BINÄÄRIPUUN LÄPIKÄYNTI Edellä kutsu visit( p ) edeltää rekursiivisia kutsuja Se voi olla myös niiden välissä tai niiden molempien jäljessä Riippuen kutsun paikasta saadaan kolme erilaista puun läpikäyntijärjestystä Esijärjestys (Preorder) 1. Solmu 2. Vasen oksa 3. Oikea oksa Sisäjärjestys (Inorder) 1. Vasen oksa 2. Solmu 3. Oikea oksa Jälkijärjestys (Postorder) 1. Vasen oksa 2. Oikea oksa 3. Solmu KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy BINÄÄRIPUUN LÄPIKÄYNTI Esimerkki: Lausekepuun läpikäyminen Kun edellä kuvattu lausekepuu käydään läpi järjestyksissä 1-3, saadaan lausekkeet: a * b c * + * d e f g (lauseke prefix-muodossa) 2. a + b * c + d * e + f * g (lauseke infix-muodossa) 3. a b c * + d e * f + g * + (lauseke postfix-muodossa) Huomataan, että yllättäen saadaan tuloksiksi aritmeettisen lausekkeen kolme eri esitystapaa Binääristä hakupuuta (BST) käytetään tiedon hakemiseen Puu on kätevä tapa organisoida tietoaines etsittävä tieto löytyy nopeasti saadaan nopeasti selville, että tietoa ei löydy Tehokkuudeltaan haku BST:stä vastaa puolitushakua taulukosta BST:n koko voidaan kuitenkin räätälöidä tarkalleen datan koon mukaan Huom. Taulukossahan muistinvaraus pitää tehdä suurimman mahdollisen koon perusteella KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy

5 Olkoon tehtävänä järjestää tietoaines jonkin avaimen (key) perusteella Avain voi olla esimerkiksi struktuurin jokin kenttä Jos tietoalkiot ovat yksinkertaisia, vaikkapa kokonaislukuja, tieto itse on samalla avain BST on puu, jonka kaikille paitsi lehtisolmuille pätee: Vasemman oksan kaikki avaimet < solmun avain < oikean oksan kaikki avaimet Huom. Jos sallitaan avainarvojen toistuminen (ei kätevää hakusovelluksissa), tietorakenteeseen voidaan sijoittaa lisäkenttä, joka ilmoittaa lukumäärän ja varsinainen data sijoittaa esimerkiksi solmusta alkavaan järjestettyyn listaan. BST:n konstruointiperiaate on seuraava Ensimmäinen avainarvo sijoitetaan BST:n juureen Seuraava vasemmaksi tai oikeaksi lehdeksi riippuen onko se pienempi vai suurempi kuin juuren avain Kussakin vaiheessa seuraava avain sijoitetaan senhetkisen puun lehdeksi Paikka etsitään etenemällä juuresta lähtien ja kussakin solmussa valitsemalla vasen tai oikea oksa avaimen suuruuden perusteella KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy Esimerkki: Konstruoidaan BST avaimista 5, 3, 8, 2, 4, 1, 7, 6, 9 (tässä järjestyksessä) 5 Jos n-solmuiseen BST:hen sijoitettavat avaimet ovat suuruusjärjestyksessä suurin mahdollinen korkeus, h = n 1 Pienin mahdollinen korkeus joudutaan laskemaan h = n (vasen puoli geom. sarja) h+1-1 = n h = log(n + 1) Huom. Merkintä tarkoittaa pyöristämistä kokonaisluvuksi ylöspäin (ceil) ja vastaavasti alaspäin (floor) KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy

6 Tärkeimmät BST:lle tehtävät toimenpiteet ovat createbst - luo tyhjän BST:n find - etsii tietoa BST:stä avaimen perusteella findmin - etsii pienintä avainarvoa vastaavan tiedon findmax - etsii suurinta avainarvoa vastaavan tiedon insnode - lisää solmun BST:hen delnode - poistaa solmun BST:stä delbst - tuhoaa koko BST:n Voidaan osoittaa, että n-solmuisessa BST:ssä kaikkien näiden toimenpiteiden keskimääräinen suoritusaika on O(log n) AVL-PUU JA MUITA BST:llä on mahdollista, että kaikki tai lähes kaikki solmut ovat joko vasemmassa tai oikeassa oksassa n-solmuisen BST:n korkeus on suurimmillaan n-1 keskeisten toimenpiteiden suoritusaikaluokka O(n) Muodostuu ongelmaksi, jos BST:n koko on vaikkapa miljoona solmua Ongelman ratkaisemiseksi on kehitetty useita menetelmiä, joilla puu tasapainotetaan (balance) estetään O(n)-tapausten syntyminen Tärkeimmät tasapainotetut puutyypit ovat: 1. AVL-puu 2. Puna-musta puu 3. Splay-tree 4. B-tree KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy AVL-PUU JA MUITA AVL-puu (keksijät Adelson-Velskii ja Landels) on tasapainotettu BST AVL-puun jokaiselle solmulle pätee: vasemman oksan ja oikean oksan korkeudet eroavat enintään yhdellä Esimerkki: Kaksi BST:tä, joista toinen on AVL ja toinen ei AVL KyAMK - TiRak, syksy EI-AVL 8 AVL-PUU JA MUITA Punamusta puu (Red Black Tree) BST, jossa jokaisella solmulla on väri Jokainen solmu on joko musta tai punainen Jokainen lehtisolmu on musta Jos solmu on punainen, sen molemmat lapsisolmut ovat mustia Jokainen polku solmusta lehteen sisältää yhtä monta mustaa solmua Nämä (oudot?) ominaisuudet takaavat, että jokainen ne täyttävä puu on tasapainoinen Splay-tree, B-puu, KyAMK - TiRak, syksy

7 AVL-PUU JA MUITA SEURAAVALLA KERRALLA B-puu (B-Tree) on periaatteeltaan erilainen kuin AVL ja punamusta puu Kyseessä ei ole BST. B-puun määritelmä on seuraava: B-puu on tasapainotettu hakupuu, missä jokaisella solmulla on vähintään m/2 ja enintään m lapsisolmua, missä m > 1 on kiinteä kokonaisluku. Juurella pitää olla vähintään 2 lasta. B-puu on varsin paljon käytetty. Sen etu BSTeihin verrattuna on se, että se voidaan tehdä matalaksi, jos m on suuri. Tosin tämä ei ole kovin käytännöllistä toteutuksen kannalta. Prioriteettijono Keko KyAMK - TiRak, syksy KyAMK - TiRak, syksy

Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia

Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia Pinot, jonot, yleisemmin sekvenssit: kokoelma peräkkäisiä alkioita (lineaarinen järjestys) Yleisempi tilanne: alkioiden hierarkia Kukin alkio (viite) talletettuna solmuun (node) vastaa paikan käsitettä

Lisätiedot

3. Binääripuu, Java-toteutus

3. Binääripuu, Java-toteutus 3. Binääripuu, Java-toteutus /*-------------------------------------------------------------/ / Rajapinta SearchTree: binäärisen hakupuun käsittelyrajapinta / / Metodit: / / void insert( Comparable x );

Lisätiedot

Hakupuut. tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina

Hakupuut. tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina Hakupuut tässä luvussa tarkastelemme puita tiedon tallennusrakenteina hakupuun avulla voidaan toteuttaa kaikki joukko-tietotyypin operaatiot (myös succ ja pred) pahimman tapauksen aikavaativuus on tavallisella

Lisätiedot

A TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT KORVAAVAT HARJOITUSTEHTÄVÄT 3, DEADLINE KLO 12:00

A TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT KORVAAVAT HARJOITUSTEHTÄVÄT 3, DEADLINE KLO 12:00 A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT KORVAAVAT HARJOITUSTEHTÄVÄT 3, DEADLINE 9.2.2005 KLO 12:00 PISTETILANNE: www.kyamk.fi/~atesa/tirak/harjoituspisteet-2005.pdf Kynätehtävät palautetaan kirjallisesti

Lisätiedot

1.1 Pino (stack) Koodiluonnos. Graafinen esitys ...

1.1 Pino (stack) Koodiluonnos. Graafinen esitys ... 1. Tietorakenteet Tietorakenteet organisoivat samankaltaisten olioiden muodostaman tietojoukon. Tämä järjestys voidaan saada aikaan monin tavoin, esim. Keräämällä oliot taulukkoon. Liittämällä olioihin

Lisätiedot

3. Hakupuut. B-puu on hakupuun laji, joka sopii mm. tietokantasovelluksiin, joissa rakenne on talletettu kiintolevylle eikä keskusmuistiin.

3. Hakupuut. B-puu on hakupuun laji, joka sopii mm. tietokantasovelluksiin, joissa rakenne on talletettu kiintolevylle eikä keskusmuistiin. 3. Hakupuut Hakupuu on listaa tehokkaampi dynaamisen joukon toteutus. Erityisesti suurilla tietomäärillä hakupuu kannattaa tasapainottaa, jolloin päivitysoperaatioista tulee hankalampia toteuttaa mutta

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 8 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 8 Ke 1.2.2017 Timo Männikkö Luento 8 Järjestetty binääripuu Solmujen läpikäynti Binääripuun korkeus Binääripuun tasapainottaminen Graafit ja verkot Verkon lyhimmät polut Fordin ja Fulkersonin

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 2 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 2 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 2 Ke 15.3.2017 Timo Männikkö Luento 2 Tietorakenteet Lineaarinen lista, binääripuu Prioriteettijono Kekorakenne Keko-operaatiot Keon toteutus taulukolla Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento

Lisätiedot

Miten käydä läpi puun alkiot (traversal)?

Miten käydä läpi puun alkiot (traversal)? inääripuut ieman lisää aidon binääripuun ominaisuuksia lehtisolmuja on yksi enemmän kuin sisäsolmuja inääripuut tasolla d on korkeintaan 2 d solmua pätee myös epäaidolle binääripuulle taso 0: 2 0 = 1 solmu

Lisätiedot

Tehtävän V.1 ratkaisuehdotus Tietorakenteet, syksy 2003

Tehtävän V.1 ratkaisuehdotus Tietorakenteet, syksy 2003 Tehtävän V.1 ratkaisuehdotus Tietorakenteet, syksy 2003 Matti Nykänen 5. joulukuuta 2003 1 Satelliitit Muunnetaan luennoilla luonnosteltua toteutusta seuraavaksi: Korvataan puusolmun p kentät p. key ja

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 7 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 7 Ti 31.1.2017 Timo Männikkö Luento 7 Järjestetty binääripuu Binääripuiden termejä Binääripuiden operaatiot Solmun haku, lisäys, poisto Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 7 Ti 31.1.2017

Lisätiedot

Binäärihaun vertailujärjestys

Binäärihaun vertailujärjestys Järjestetyn sanakirjan tehokas toteutus: binäärihaku Binäärihaku (esimerkkikuassa aain = nimi) op Eea 5 op 5 op op 8 op 5 6 7 8 op Eea 5 op 5 op op 8 op 5 6 7 8 op Eea 5 op 5 op op 8 op 5 6 7 8 op Eea

Lisätiedot

v 1 v 2 v 3 v 4 d lapsisolmua d 1 avainta lapsen v i alipuun avaimet k i 1 ja k i k 0 =, k d = Sisäsolmuissa vähint. yksi avain vähint.

v 1 v 2 v 3 v 4 d lapsisolmua d 1 avainta lapsen v i alipuun avaimet k i 1 ja k i k 0 =, k d = Sisäsolmuissa vähint. yksi avain vähint. Yleiset hakupuut 4 Monitiehakupuu: Binäärihakupuu 0 1 3 5 6 7 8 v k 1 k k 3 v v 3 v 4 k 1 k 3 k 1 k k k 3 d lapsisolmua d 1 avainta Yleinen hakupuu? Tietorakenteet, syksy 007 1 Esimerkki monitiehakupuusta

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 4 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 4 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 4 Ke 22.3.2017 Timo Männikkö Luento 4 Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Avoin osoitteenmuodostus Hajautusfunktiot Puurakenteet Solmujen läpikäynti Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 4

Lisätiedot

Koe ma 1.3 klo 16-19 salissa A111, koeaika kuten tavallista 2h 30min

Koe ma 1.3 klo 16-19 salissa A111, koeaika kuten tavallista 2h 30min Koe Koe ma 1.3 klo 16-19 salissa A111, koeaika kuten tavallista 2h 30min Kokeessa saa olla mukana A4:n kokoinen kaksipuolinen käsiten tehty, itse kirjoitettu lunttilappu 1 Tärkeää ja vähemmäntärkeää Ensimmäisen

Lisätiedot

AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta

AVL-puut. eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta AVL-puut eräs tapa tasapainottaa binäärihakupuu siten, että korkeus on O(log n) kun puussa on n avainta pohjana jo esitetyt binäärihakupuiden operaatiot tasapainotus vie pahimmillaan lisäajan lisäys- ja

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit Puurakenteet Ari Korhonen

Tietorakenteet ja algoritmit Puurakenteet Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit Puurakenteet ri Korhonen 13.10.2015 Tietorakenteet ja algoritmit 1 7. PUURKNTT 7.1 Käsitteistöä 7.2 Binääripuu (binary tree) 7.3 Puiden esitys- ja toteutustapoja 7.4 Puussa

Lisätiedot

CS-A1140 Tietorakenteet ja algoritmit

CS-A1140 Tietorakenteet ja algoritmit CS-A1140 Tietorakenteet ja algoritmit Kierros 4: Binäärihakupuut Tommi Junttila Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Syksy 2016 Sisältö Binäärihakupuut Avainten lisääminen,

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 5 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 5 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 5 Ti 28.3.2017 Timo Männikkö Luento 5 Puurakenteet B-puu B-puun korkeus B-puun operaatiot Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 5 Ti 28.3.2017 2/29 B-puu Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 5 Ti

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT PERUSTIETORAKENTEET LISTA, PINO, JONO, PAKKA ABSTRAKTI TIETOTYYPPI Tietotyyppi on abstrakti, kun se on määritelty (esim. matemaattisesti) ottamatta kantaa varsinaiseen

Lisätiedot

Tietorakenteet, laskuharjoitus 6,

Tietorakenteet, laskuharjoitus 6, Tietorakenteet, laskuharjoitus, 23.-2.1 1. (a) Kuvassa 1 on esitetty eräät pienimmistä AVL-puista, joiden korkeus on 3 ja 4. Pienin h:n korkuinen AVL-puu ei ole yksikäsitteinen juuren alipuiden keskinäisen

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 7 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 7 Ti 4.4.2017 Timo Männikkö Luento 7 Joukot Joukko-operaatioita Joukkojen esitystapoja Alkiovieraat osajoukot Toteutus puurakenteena Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 7 Ti 4.4.2017 2/26

Lisätiedot

1.1 Tavallinen binäärihakupuu

1.1 Tavallinen binäärihakupuu TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 1 1 Puurakenteet http://imgur.com/l77fy5x Tässä luvussa käsitellään erilaisia yleisiä puurakenteita. ensin käsitellään tavallinen binäärihakupuu sitten tutustutaan

Lisätiedot

ALGORITMIT 1 DEMOVASTAUKSET KEVÄT 2012

ALGORITMIT 1 DEMOVASTAUKSET KEVÄT 2012 ALGORITMIT 1 DEMOVASTAUKSET KEVÄT 2012 1.1. (a) Jaettava m, jakaja n. Vähennetään luku n luvusta m niin kauan kuin m pysyy ei-negatiivisena. Jos jäljelle jää nolla, jaettava oli tasan jaollinen. int m,

Lisätiedot

Kysymyksiä koko kurssista?

Kysymyksiä koko kurssista? Kysymyksiä koko kurssista? Lisää kysymyksesi osoitteessa slido.com syötä event code: #8777 Voit myös pyytää esimerkkiä jostain tietystä asiasta Vastailen kysymyksiin luennon loppupuolella Tätä luentoa

Lisätiedot

Muita linkattuja rakenteita

Muita linkattuja rakenteita 1 Muita linkattuja rakenteita Johdanto Aikaisemmin on käsitelty listan, jonon ja pinon toteutus dynaamisesti linkattuna rakenteena. Dynaamisella linkkauksella voidaan toteuttaa mitä moninaisimpia rakenteita.

Lisätiedot

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä

Luku 7. Verkkoalgoritmit. 7.1 Määritelmiä Luku 7 Verkkoalgoritmit Verkot soveltuvat monenlaisten ohjelmointiongelmien mallintamiseen. Tyypillinen esimerkki verkosta on tieverkosto, jonka rakenne muistuttaa luonnostaan verkkoa. Joskus taas verkko

Lisätiedot

puuta tree hierarkkinen hierarchical

puuta tree hierarkkinen hierarchical 4. Puut Seuraavaksi käsitellään yhtä tärkeimmistä tietojenkäsittelytieteen ei-lineaarisista käsitteistä, puuta (tree). Puut ovat olleet keksintönä todellinen läpimurto, koska niissä luotiin tehokas eilineaari

Lisätiedot

Luku 4. Tietorakenteet funktio-ohjelmoinnissa. 4.1 Äärelliset kuvaukset

Luku 4. Tietorakenteet funktio-ohjelmoinnissa. 4.1 Äärelliset kuvaukset Luku 4 Tietorakenteet funktio-ohjelmoinnissa Koska funktio-ohjelmoinnissa ei käytetä tuhoavaa päivitystä (sijoituslausetta ja sen johdannaisia), eivät läheskään kaikki valtavirtaohjelmoinnista tutut tietorakenteet

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2016) Ensimmäinen välikoe, malliratkaisut

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2016) Ensimmäinen välikoe, malliratkaisut 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2016) Ensimmäinen välikoe, malliratkaisut 1. Palautetaan vielä mieleen O-notaation määritelmä. Olkoon f ja g funktioita luonnollisilta luvuilta positiivisille

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet (kevät 2008) 1. kurssikoe, ratkaisuja

58131 Tietorakenteet (kevät 2008) 1. kurssikoe, ratkaisuja 1 Tietorakenteet (kevät 08) 1. kurssikoe, ratkaisuja Tehtävän 1 korjasi Mikko Heimonen, tehtävän 2 Jaakko Sorri ja tehtävän Tomi Jylhä-Ollila. 1. (a) Tehdään linkitetty lista kaikista sukunimistä. Kuhunkin

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit III Lajittelualgoritmeista

811312A Tietorakenteet ja algoritmit III Lajittelualgoritmeista 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 III Lajittelualgoritmeista Sisältö 1. Johdanto 2. Pikalajittelu 3. Kekolajittelu 4. Lajittelualgoritmien suorituskyvyn rajoista 811312A TRA, Lajittelualgoritmeista

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen)

58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 58131 Tietorakenteet (kevät 2009) Harjoitus 6, ratkaisuja (Antti Laaksonen) 1. Avaimet 1, 2, 3 ja 4 mahtuvat samaan lehtisolmuun. Tässä tapauksessa puussa on vain yksi solmu, joka on samaan aikaan juurisolmu

Lisätiedot

1 Puu, Keko ja Prioriteettijono

1 Puu, Keko ja Prioriteettijono TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 1 1 Puu, Keko ja Prioriteettijono Tässä luvussa käsitellään algoritmien suunnitteluperiaatetta muunna ja hallitse (transform and conquer) Lisäksi esitellään binääripuun

Lisätiedot

10. Painotetut graafit

10. Painotetut graafit 10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä

Lisätiedot

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko

Luku 8. Aluekyselyt. 8.1 Summataulukko Luku 8 Aluekyselyt Aluekysely on tiettyä taulukon väliä koskeva kysely. Tyypillisiä aluekyselyitä ovat, mikä on taulukon välin lukujen summa tai pienin luku välillä. Esimerkiksi seuraavassa taulukossa

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 6 Ke Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 6 Ke 29.3.2017 Timo Männikkö Luento 6 B-puun operaatiot B-puun muunnelmia Nelipuu Trie-rakenteet Standarditrie Pakattu trie Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 6 Ke 29.3.2017 2/31 B-puu

Lisätiedot

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava:

Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Algoritmi on periaatteellisella tasolla seuraava: Dijkstra(V, E, l, v 0 ): S := { v 0 } D[v 0 ] := 0 for v V S do D[v] := l(v 0, v) end for while S V do valitse v V S jolle D[v] on minimaalinen S := S

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT HAJAUTUS, JÄRJESTÄMISESTÄ HAJAUTTAMISEN IDEA Jos avaimet (tai data) ovat kokonaislukuja välillä 1 N, voidaan niitä käyttää suoraan indeksointiin Järkevä rakenne on

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit Hakurakenteet Ari Korhonen

Tietorakenteet ja algoritmit Hakurakenteet Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit Hakurakenteet Ari Korhonen 27.10. & 3.11.2015 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 8. HAKURAKENTEET (dictionaries) 8.1 Haku (vrt. sanakirjahaku) 8.2 Listat tallennusrakenteina

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1

Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 2 Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen

Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit Johdanto Lauri Malmi / Ari 1 1. JOHDANTO 1.1 Määritelmiä 1.2 Tietorakenteen ja algoritmin valinta 1.3 Algoritmit ja tiedon määrä 1.4 Tietorakenteet ja toiminnot 1.5 Esimerkki:

Lisätiedot

TIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008

TIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008 TIEA341 Funktio-ohjelmointi 1, kevät 2008 Luento 5 Ympärysmitta. Puut. Antti-Juhani Kaijanaho Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos 21. tammikuuta 2008 CASE: YMPÄRYSMITTA Lasketaan kuvioiden ympärysmittoja

Lisätiedot

7. Tasapainoitetut hakupuut

7. Tasapainoitetut hakupuut 7. Tasapainoitetut hakupuut Tässä luvussa jatketaan järjestetyn sanakirjan tarkastelua esittämällä kehittynyt puutietorakenne. Luvussa 7.1. esitetään monitiehakupuun käsite. Se on järjestetty puu, jonka

Lisätiedot

private TreeMap<String, Opiskelija> nimella; private TreeMap<String, Opiskelija> numerolla;

private TreeMap<String, Opiskelija> nimella; private TreeMap<String, Opiskelija> numerolla; Tietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja 1. Opiskelijarekisteri-luokka saadaan toteutetuksi käyttämällä kahta tasapainotettua binäärihakupuuta. Toisen binäärihakupuun avaimina pidetään opiskelijoiden

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 6 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 6 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 6 Ke 25.1.2017 Timo Männikkö Luento 6 Järjestetty lista Listan toteutus dynaamisesti Linkitetyn listan operaatiot Vaihtoehtoisia listarakenteita Puurakenteet Binääripuu Järjestetty

Lisätiedot

B + -puut. Kerttu Pollari-Malmi

B + -puut. Kerttu Pollari-Malmi B + -puut Kerttu Pollari-Malmi Tämä monista on alunperin kirjoitettu sksn 2005 kurssille osittain Luukkaisen ja Nkäsen vanhojen luentokalvojen pohjalta. Maaliskuussa 2010 pseudokoodiesits on muutettu vastaamaan

Lisätiedot

6. Sanakirjat. 6. luku 298

6. Sanakirjat. 6. luku 298 6. Sanakirjat Tässä luvussa tarkastellaan käsitettä sanakirja (dictionary). Tällaisen tietorakenteen tehtävä on tallettaa alkioita niin, että tiedonhaku rakenteesta on tehokasta. Nimi vastaa melko hyvin

Lisätiedot

lähtokohta: kahden O(h) korkuisen keon yhdistäminen uudella juurella vie O(h) operaatiota vrt. RemoveMinElem() keossa

lähtokohta: kahden O(h) korkuisen keon yhdistäminen uudella juurella vie O(h) operaatiota vrt. RemoveMinElem() keossa Kekolajittelu Prioriteettijonolla toteutettu keko InsertItem ja RemoveMinElem: O(log(n)) Lajittelu prioriteettijonolla: PriorityQueueSort(lajiteltava sekvenssi S) alusta prioriteettijono P while S.IsEmpty()

Lisätiedot

Tiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten

Tiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten Tiraka, yhteenveto tenttiinlukua varten TERMEJÄ Tietorakenne Tietorakenne on tapa tallettaa tietoa niin, että tietoa voidaan lisätä, poistaa, muokata ja hakea. Tietorakenteet siis säilövät tiedon niin,

Lisätiedot

CS-A1140 Tietorakenteet ja algoritmit

CS-A1140 Tietorakenteet ja algoritmit CS-A1140 Tietorakenteet ja algoritmit Kierros 3: Puut Tommi Junttila Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Syksy 2016 Sisältö Puut yleisesti Matemaattinen määrittely Puiden läpikäynti

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT GRAAFITEHTÄVIÄ JA -ALGORITMEJA Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) GRAAFIN LÄPIKÄYMINEN Perusta useimmille

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 5, Ratkaisu

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, , Harjoitus 5, Ratkaisu 1312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2016-2017, Harjoitus 5, Ratkaisu Harjoituksen aihe ovat hash-taulukot ja binääriset etsintäpuut Tehtävä 5.1 Tallenna avaimet 10,22,31,4,15,28,17 ja 59 hash-taulukkoon,

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit

811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016. V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2015-2016 V Verkkojen algoritmeja Osa 2 : Kruskalin ja Dijkstran algoritmit Sisältö 1. Johdanto 2. Leveyshaku 3. Syvyyshaku 4. Kruskalin algoritmi 5. Dijkstran algoritmi

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 1 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 1 Ti 10.1.2017 Timo Männikkö Luento 1 Algoritmi Algoritmin toteutus Ongelman ratkaiseminen Algoritmin tehokkuus Algoritmin suoritusaika Algoritmin analysointi Algoritmit 1 Kevät 2017

Lisätiedot

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti.

2. Seuraavassa kuvassa on verkon solmujen topologinen järjestys: x t v q z u s y w r. Kuva 1: Tehtävän 2 solmut järjestettynä topologisesti. Tietorakenteet, laskuharjoitus 11, ratkaisuja 1. Leveyssuuntaisen läpikäynnin voi toteuttaa rekursiivisesti käsittelemällä jokaisella rekursiivisella kutsulla kaikki tietyllä tasolla olevat solmut. Rekursiivinen

Lisätiedot

TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT Timo Harju 1999-2004 1 typedef link List; /* Vaihtoehtoisia nimiä */ typedef link Stack; /* nodepointterille */ typedef link Queue typedef struct node Node; /* itse nodelle

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit. Kertaus. Ari Korhonen

Tietorakenteet ja algoritmit. Kertaus. Ari Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit Kertaus Ari Korhonen 1.12.2015 Tietorakenteet ja algoritmit - syksy 2015 1 Presemosta: 12. Kertaus» Mitkä tekijät, miten ja miksi vaiku1avat algoritmien nopeuteen» Rekursiohistoriapuut

Lisätiedot

4. Joukkojen käsittely

4. Joukkojen käsittely 4 Joukkojen käsittely Tämän luvun jälkeen opiskelija osaa soveltaa lomittuvien kasojen operaatioita tuntee lomittuvien kasojen toteutuksen binomi- ja Fibonacci-kasoina sekä näiden totetutusten analyysiperiaatteet

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 12 Ke Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 12 Ke Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 12 Ke 15.2.2017 Timo Männikkö Luento 12 Pikalajittelu Pikalajittelun vaativuus Osittamisen tasapainoisuus Lajittelumenetelmien vaativuus Laskentalajittelu Lokerolajittelu Kantalukulajittelu

Lisätiedot

Algoritmit 2. Luento 3 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 2. Luento 3 Ti Timo Männikkö Algoritmit 2 Luento 3 Ti 21.3.2017 Timo Männikkö Luento 3 Järjestäminen eli lajittelu Kekorakenne Kekolajittelu Hajautus Yhteentörmäysten käsittely Ketjutus Algoritmit 2 Kevät 2017 Luento 3 Ti 21.3.2017

Lisätiedot

(a) L on listan tunnussolmu, joten se ei voi olla null. Algoritmi lisäämiselle loppuun:

(a) L on listan tunnussolmu, joten se ei voi olla null. Algoritmi lisäämiselle loppuun: Tietorakenteet ja algoritmit, kevät 201 Kurssikoe 1, ratkaisuja 1. Tehtävästä sai yhden pisteen per kohta. (a) Invariantteja voidaan käyttää algoritmin oikeellisuustodistuksissa Jokin väittämä osoitetaan

Lisätiedot

Tietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja

Tietorakenteet, laskuharjoitus 7, ratkaisuja Tietorakenteet, laskuharjoitus, ratkaisuja. Seuraava kuvasarja näyttää B + -puun muutokset lisäysten jälkeen. Avaimet ja 5 mahtuvat lehtisolmuihin, joten niiden lisäys ei muuta puun rakennetta. Avain 9

Lisätiedot

Kaksiloppuinen jono D on abstrakti tietotyyppi, jolla on ainakin seuraavat 4 perusmetodia... PushFront(x): lisää tietoalkion x jonon eteen

Kaksiloppuinen jono D on abstrakti tietotyyppi, jolla on ainakin seuraavat 4 perusmetodia... PushFront(x): lisää tietoalkion x jonon eteen Viimeksi käsiteltiin pino: lisäys ja poisto lopusta jono: lisäys loppuun, poisto alusta Pinon ja jonon yleistävä tietorakenne: kaksiloppuinen jono alkion lisäys/poisto voidaan kohdistaa jonon alkuun tai

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 13 Ti 23.2.2016. Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 13 Ti 23.2.2016 Timo Männikkö Luento 13 Suunnittelumenetelmät Taulukointi Kapsäkkiongelma Ahne menetelmä Verkon lyhimmät polut Dijkstran menetelmä Verkon lyhin virittävä puu Kruskalin

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit

Tietorakenteet ja algoritmit Tietorakenteet ja algoritmit Rekursio Rekursion käyttötapauksia Rekursio määritelmissä Rekursio ongelmanratkaisussa ja ohjelmointitekniikkana Esimerkkejä taulukolla Esimerkkejä linkatulla listalla Hanoin

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta kurssin alkuosasta

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta kurssin alkuosasta 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018 Kertausta kurssin alkuosasta II Perustietorakenteet Pino, jono ja listat tunnettava Osattava soveltaa rakenteita algoritmeissa Osattava päätellä operaatioiden

Lisätiedot

18. Abstraktit tietotyypit 18.1

18. Abstraktit tietotyypit 18.1 18. Abstraktit tietotyypit 18.1 Sisällys Johdanto abstrakteihin tietotyyppeihin. Pino ja jono. Linkitetty lista. Pino linkitetyllä listalla toteutettuna. 18.2 Johdanto Javan omat tietotyypit ovat jo tuttuja:

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 2015) Toinen välikoe, malliratkaisut Tietorakenteet ja algoritmit (syksy 0) Toinen välikoe, malliratkaisut. (a) Alussa puu näyttää tältä: Lisätään 4: 4 Tasapaino rikkoutuu solmussa. Tehdään kaksoiskierto ensin oikealle solmusta ja sitten

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta

811312A Tietorakenteet ja algoritmit Kertausta jälkiosasta 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2016-2017 Kertausta jälkiosasta IV Perustietorakenteet Pino, jono ja listat tunnettava Osattava soveltaa rakenteita algoritmeissa Osattava päätellä operaatioiden aikakompleksisuus

Lisätiedot

Luento 3: Tietorakenteiden esittäminen

Luento 3: Tietorakenteiden esittäminen Luento 3: Tietorakenteiden esittäminen AS-0.110 XML-kuvauskielten perusteet Janne Kalliola Tietorakenteiden esittäminen XML-dokumentti puuna Muunnokset muodosta toiseen Perustietorakenteet listat puut

Lisätiedot

Helsingin yliopisto/tktl XML-metakieli XPath

Helsingin yliopisto/tktl XML-metakieli XPath XML-perusrakenteen ympärille on kehitetty tekniikoita ja standardeja kuvaamaan XML-rakenteisen tiedon käsittelyä sekä tietojen välisiä kytkentöjä. Näissä keskeinen tarve on pystyä osoittamaan operaatioiden

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT ALGORITMIEN ANALYYSISTÄ 1.ratkaisu Laskentaaika hakkeri - optimoitu ALGORITMIANALYYSIÄ hyvä algoritmi hakkeri -optimoitu hyvä algoritmi Tehtävän koko Kuva mukailtu

Lisätiedot

4. Perustietorakenteet

4. Perustietorakenteet 4. Perustietorakenteet Tässä osassa käsitellään erilaisia tietorakenteita, joita algoritmit käyttävät toimintansa perustana. Aluksi käydään läpi tietorakenteen abstrakti määritelmä. Tämän jälkeen käsitellään

Lisätiedot

Tietorakenteet ja algoritmit II Loppuraportti, ryhmä 7

Tietorakenteet ja algoritmit II Loppuraportti, ryhmä 7 Tietorakenteet ja algoritmit II Loppuraportti, ryhmä 7 Turun Yliopisto Informaatioteknologian laitos Kevät 2008 Jonne Pohjankukka, jjepoh@utu.fi, 73116 Simo Savonen, sipesa@utu.fi, 56572 Jyri Lehtonen,

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 1, , vastauksia

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 1, , vastauksia 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2013) Kurssikoe 1, 25.2.2013, vastauksia 1. (a) O-merkintä Ω-merkintä: Kyseessä on (aika- ja tila-) vaativuuksien kertalukumerkinnästä. O-merkintää käytetään ylärajan

Lisätiedot

5. Keko. Tietorakenne keko eli kasa (heap) on tehokas toteutus abstraktille tietotyypille prioriteettijono, jonka operaatiot ovat seuraavat:

5. Keko. Tietorakenne keko eli kasa (heap) on tehokas toteutus abstraktille tietotyypille prioriteettijono, jonka operaatiot ovat seuraavat: 5. Keko Tietorakenne keko eli kasa (heap) on tehokas toteutus abstraktille tietotyypille prioriteettijono, jonka operaatiot ovat seuraavat: Insert(S, x): lisää avaimen x prioriteettijonoon S Maximum(S):

Lisätiedot

ITKP102 Ohjelmointi 1 (6 op)

ITKP102 Ohjelmointi 1 (6 op) ITKP102 Ohjelmointi 1 (6 op) Tentaattori: Antti-Jussi Lakanen 7. huhtikuuta 2017 Vastaa kaikkiin tehtäviin. Tee jokainen tehtävä erilliselle konseptiarkille. Kirjoittamasi luokat, funktiot ja aliohjelmat

Lisätiedot

10. Painotetut graafit

10. Painotetut graafit 10. Painotetut graafit Esiintyy monesti sovelluksia, joita on kätevä esittää graafeina. Tällaisia ovat esim. tietoverkko tai maantieverkko. Näihin liittyy erinäisiä tekijöitä. Tietoverkkoja käytettäessä

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2014-2015. Harjoitus 7 Vastaukset Harjoituksen aiheena on funktionaalinen ohjelmointi Scheme- ja Haskell-kielillä. Voit suorittaa ohjelmat osoitteessa https://ideone.com/

Lisätiedot

Koe ma 28.2 klo salissa A111, koeaika kuten tavallista 2h 30min

Koe ma 28.2 klo salissa A111, koeaika kuten tavallista 2h 30min Koe Koe ma 28.2 klo 16.00-19 salissa A111, koeaika kuten tavallista 2h 30min Kokeessa saa olla mukana A4:n kokoinen kaksipuolinen käsin tehty, itse kirjoitettu lunttilappu Neuvontapaja (Joel ja Nyman)

Lisätiedot

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia

58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, , vastauksia 58131 Tietorakenteet ja algoritmit (kevät 2014) Uusinta- ja erilliskoe, 10..2014, vastauksia 1. [9 pistettä] (a) Todistetaan 2n 2 + n + 5 = O(n 2 ): Kun n 1 on 2n 2 + n + 5 2n 2 + n 2 +5n 2 = 8n 2. Eli

Lisätiedot

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista

Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Esimerkkejä polynomisista ja ei-polynomisista ongelmista Ennen yleisempiä teoriatarkasteluja katsotaan joitain tyypillisiä esimerkkejä ongelmista ja niiden vaativuudesta kaikki nämä ongelmat ratkeavia

Lisätiedot

8. Lajittelu, joukot ja valinta

8. Lajittelu, joukot ja valinta 8. Lajittelu, joukot ja valinta Yksi tietojenkäsittelyn klassisista tehtävistä on lajittelu (järjestäminen) (sorting) jo mekaanisten tietojenkäsittelylaitteiden ajalta. Lajiteltua tietoa tarvitaan lukemattomissa

Lisätiedot

Sisällys. 18. Abstraktit tietotyypit. Johdanto. Johdanto

Sisällys. 18. Abstraktit tietotyypit. Johdanto. Johdanto Sisällys 18. bstraktit tietotyypit Johdanto abstrakteihin tietotyyppeihin. Pino ja jono. Linkitetty lista. Pino linkitetyllä listalla toteutettuna. 18.1 18.2 Johdanto Javan omat tietotyypit ovat jo tuttuja:

Lisätiedot

TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 9. marraskuuta 2009

TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 9. marraskuuta 2009 TIE448 Kääntäjätekniikka, syksy 2009 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 9. marraskuuta 2009 Sisällys Sisällys Seuraava deadline Vaihe D tiistai 10.11. klo 10 välikielen generointi Vaihe E tiistai

Lisätiedot

Algebralliset tietotyypit ym. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005

Algebralliset tietotyypit ym. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005 Algebralliset tietotyypit ym. TIEA341 Funktio ohjelmointi 1 Syksy 2005 Tällä luennolla Algebralliset tietotyypit Hahmonsovitus (pattern matching) Primitiivirekursio Esimerkkinä binäärinen hakupuu Muistattehan...

Lisätiedot

Imperatiivisen ohjelmoinnin peruskäsitteet. Meidän käyttämän pseudokielen lauseiden syntaksi

Imperatiivisen ohjelmoinnin peruskäsitteet. Meidän käyttämän pseudokielen lauseiden syntaksi Imperatiivisen ohjelmoinnin peruskäsitteet muuttuja muuttujissa oleva data voi olla yksinkertaista eli primitiivistä (esim. luvut ja merkit) tai rakenteista jolloin puhutaan tietorakenteista. puhuttaessa

Lisätiedot

13. Loogiset operaatiot 13.1

13. Loogiset operaatiot 13.1 13. Loogiset operaatiot 13.1 Sisällys Loogiset operaatiot AND, OR, XOR ja NOT. Operaatioiden ehdollisuus. Bittioperaatiot. Loogiset operaatiot ohjausrakenteissa. Loogiset operaatiot ja laskentajärjestys.

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 30.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 30.9.2015 1 / 27 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 2 vastaukset Harjoituksen aiheena on BNF-merkinnän käyttö ja yhteys rekursiivisesti etenevään jäsentäjään. Tehtävä 1. Mitkä ilmaukset seuraava

Lisätiedot

6. Hakupuut. Hakupuu (engl. search tree) on listaa huomattavasti edistyneempi tapa toteuttaa abstrakti tietotyyppi joukko

6. Hakupuut. Hakupuu (engl. search tree) on listaa huomattavasti edistyneempi tapa toteuttaa abstrakti tietotyyppi joukko 6. Hakupuut Hakupuu (engl. search tree) on listaa huomattavasti edistyneempi tapa toteuttaa abstrakti tietotyyppi joukko Puurakenteelle on tietojenkäsittelyssä myös muuta käyttöä, esim. algoritmin suoritusajan

Lisätiedot

Pienin virittävä puu (minimum spanning tree)

Pienin virittävä puu (minimum spanning tree) Pienin virittävä puu (minimum spanning tree) Jatkossa puu tarkoittaa vapaata puuta (ks. s. 11) eli suuntaamatonta verkkoa, joka on yhtenäinen: minkä tahansa kahden solmun välillä on polku syklitön: minkä

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016. VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja

811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016. VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja 811312A Tietorakenteet ja algoritmit, 2015-2016 VI Algoritmien suunnitteluparadigmoja Sisältö 1. Hajota ja hallitse-menetelmä 2. Dynaaminen taulukointi 3. Ahneet algoritmit 4. Peruuttavat algoritmit 811312A

Lisätiedot

Ehto- ja toistolauseet

Ehto- ja toistolauseet Ehto- ja toistolauseet 1 Ehto- ja toistolauseet Uutena asiana opetellaan ohjelmointilauseet / rakenteet, jotka mahdollistavat: Päätösten tekemisen ohjelman suorituksen aikana (esim. kyllä/ei) Samoja lauseiden

Lisätiedot

811312A Tietorakenteet ja algoritmit II Perustietorakenteet

811312A Tietorakenteet ja algoritmit II Perustietorakenteet 811312A Tietorakenteet ja algoritmit 2017-2018 II Perustietorakenteet Sisältö 1. Johdanto 2. Pino 3. Jono 4. Lista 811312A TRA, Perustietorakenteet 2 II.1. Johdanto Tietorakenne on tapa, jolla algoritmi

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015. Antti-Juhani Kaijanaho. 3. joulukuuta 2015

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015. Antti-Juhani Kaijanaho. 3. joulukuuta 2015 TIEA241 Automaatit ja, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 3. joulukuuta 2015 Sisällys Formaalisti Määritelmä Nelikko G = (V, Σ, P, S) on kontekstiton kielioppi (engl. context-free

Lisätiedot

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT

A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT A274101 TIETORAKENTEET JA ALGORITMIT VERKOT ELI GRAAFIT Lähteet: Timo Harju, Opintomoniste Keijo Ruohonen, Graafiteoria (math.tut.fi/~ruohonen/gt.pdf) HISTORIAA Verkko- eli graafiteorian historia on saanut

Lisätiedot

Lisää segmenttipuusta

Lisää segmenttipuusta Luku 24 Lisää segmenttipuusta Segmenttipuu on monipuolinen tietorakenne, joka mahdollistaa monenlaisten kyselyiden toteuttamisen tehokkaasti. Tähän mennessä olemme käyttäneet kuitenkin segmenttipuuta melko

Lisätiedot

Algoritmit 1. Luento 3 Ti Timo Männikkö

Algoritmit 1. Luento 3 Ti Timo Männikkö Algoritmit 1 Luento 3 Ti 17.1.2017 Timo Männikkö Luento 3 Algoritmin analysointi Rekursio Lomituslajittelu Aikavaativuus Tietorakenteet Pino Algoritmit 1 Kevät 2017 Luento 3 Ti 17.1.2017 2/27 Algoritmien

Lisätiedot