7. Tasapainoitetut hakupuut

Transkriptio

1 7. Tasapainoitetut hakupuut Tässä luvussa jatketaan järjestetyn sanakirjan tarkastelua esittämällä kehittynyt puutietorakenne. Luvussa 7.1. esitetään monitiehakupuun käsite. Se on järjestetty puu, jonka jokaisessa sisäsolmussa voi olla useita tietoyksiköitä ja solmulla useita lapsia. Se on binäärihakupuun (luku 6.3.) yleistys. Yksi sen hyödyistä on sisäsolmujen määrän väheneminen binäärihakupuuhun verrattuna. Luvussa 7.2. tarkastellaan yksityiskohtaisesti määrättyä monitiehakupuuta, (2,4)-puuta, josta käytetään myös nimityksiä 2-4-puu tai puu, koska sillä voi olla kahdesta neljään lasta. Kaikki sen lehdet ovat samalla tasolla. Se on tehokas hakua käsittäville operaatioille yltäen tällöin samaan kuin AVL-puu eli aikakompleksisuuteen O(log n). Näitä vielä kehittyneempiä puutyyppejä ovat puna-mustat puut (red-black tree) ja viistopuut (splay tree), joita ei tässä tarkastella. 7. luku 364

2 7.1. Monitiehakupuut Tässä kuvataan, kuinka monilapsisia monitiepuita käytetään hakupuina. Jälleen puuhun talletettava tieto esitetään tietoyksikköinä, pareina (k,x), jossa k onavainjaxtähän liittyvä alkio. Olkoon v järjestetyn puun solmu. Se on d-solmu, jos sillä on d lasta. Monitiehakupuu (multi-way search tree) on järjestetty puu T, jolla on seuraavat ominaisuudet (kuva 7.1.(a)): Jokaisella puun T sisäsolmulla on vähintään kaksi lasta. Jokainen puun T sisäsolmu sisältää kokoelman tietoyksiköitä muotoa (k,x), jossa k onavainjaxalkio. Jokainen puun Td-solmu, jonka lapset ovat v 1,, v d, sisältää d-1 tietoyksikköä (k 1, x 1 ),,(k d-1, x d-1 ), missä k 1 k d-1. Määritellään lisäksi k 0 =- ja k d =+. Jokaiselle tietoyksikölle (k,x), joka on talletettu solmuun v:n alipuuhun juureltaan v i, i = 1,, d, on k i-1 k k i. 7. luku 365

3 Kuva 7.1. (alku) (a) Monitiehakupuu T. 7. luku 366

4 Kun siis solmuun v ajatellaan talletetuksi joukko avaimia mukaanlukien kuvitteelliset erikoisavaimet k 0 =- ja k d =+ (rajoittimia), niin alipuuhun T juureltaan v i talletetun avaimen k täytyy olla solmuun talletetun kahden avaimen välissä. Tällöin d-lapsen solmussa on talletettuna d-1 varsinaista avainta, ja se muodostaa samalla perustan haun suorittamiseksi monitiepuussa. Jälleen puun lehdet ovat ainoastaan paikanpitäjiä. Täten binäärihakupuuta voidaan pitää monitiehakupuun erikoistapauksena. Toisessa ääripäässä yhden sisäsolmun monitiehakupuu voi käsittää useita tietoyksiköitä. Sillä, että käsittääkö monitiehakupuun sisäsolmu kaksi vai useampia lapsia, on seuraava suhde tietoyksiköiden määrän ja lehtisolmujen määrän välillä. Lause 7.1. Monitiehakupuulla, joka sisältää n tietoyksikköä, on n+1 lehteä. Perustelun voi esittää harjoitustehtävänä. 7. luku 367

5 Haku monitiepuussa Haku tapahtuu suoraviivaisesti monitiepuussa avaimella k. Lähdetään polulle puun juuresta (kuva 7.1.(b)-(c)). Oltaessa d-solmussa v haun aikana verrataan avainta k avaimiin k 1,, k d-1, jotka on talletettu solmuun v. Jos on k = k i jollekin i:lle, haku onnistuu. Muutoin jatketaan hakua solmun v lapsessa v i, missä k i-1 < k < k i. (määriteltiin k 0 =- ja k d =+ ). Jos tullaan lehteen, tiedetään, ettei haettavaa avainta ole puussa eli haku epäonnistuu. Monitiehakupuiden tietorakenteita Luvussa 4 esitettyjä yleisten puiden esitystapoja voidaan soveltaa myös monitiehakupuille. Lisätietona niissä pitää tallettaa kuhunkin solmuun pelkästään tietoyksiköiden (tai avainten) joukko. 7. luku 368

6 Kuva 7.1. (jatkoa) (b) Avaimen 12 (epäonnistunut haku) hakupolku puussa T. 7. luku 369

7 Kuva 7.1. (loppu) (c) Avaimen 24 (onnistunut haku) hakupolku puussa T. 7. luku 370

8 Käytettäessä monitiehakupuuta T edustamaan sanakirjaa D kuhunkin sisäsolmuun v talletetaan viittaus järjestettyyn tietoyksiköiden joukkoon. Solmuun v talletettua sanakirjaa kutsutaan sekundääritietorakenteeksi. Tämä tukee laajempaa kokonaisuutta, puuta, joka on tässä primääritietorakenne. Solmuun v talletettu sanakirja esitetään merkinnällä D(v). Tähän talletetaan tietoyksiköt. Näiden perusteella löydetään lapsisolmu, johon siirrytään haun seuraavassa vaiheessa. Puun T jokaisessa solmussa v, jonka lapset ovat v 1,, v d ja tietoyksiköt (k 1, x 1 ),,(k d-1, x d-1 ), ovat talletettuina tietoyksiköt (k 1, x 1, v 1 ),(k 2,x 2,v 2 ),,(k d-1, x d-1, v d-1 ), (+, null, v d ). Sanakirjan D(v) tietoyksiköllä (k i, x i, v i ) on avain k i ja alkio (x i, v i ) (viimeisessä tietoyksikössä erikoisavain + ). Haettaessa avaimen k alkiota puusta T d-solmun v prosessointi voidaan tehdä suorittamalla haku tietoyksikön (k i, x i, v i ) löytämiseksi sanakirjasta D(v) pienimmällä avaimella, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin k. On olemassa kaksi tapausta: 7. luku 371

9 Jos on k i-1 < k < k i, hakua jatketaan käsittelemällä lasta v i. (Jos palautetaan erikoisavain k d =+,kon silloin suurempi kuin kaikki avaimet, jotka on talletettu solmuun v ja hakua jatketaan käsitellen lasta v d.) Muussa tapauksessa (k = k i ) haku päättyy onnistuneena. Monitiehakupuun tilavaatimus n tietoyksikölle on O(n) tavallisten sanakirjatoteutusten kera sekundääritietorakenteita varten puussa T. Suoritusaika, joka on käytettävä d-solmussa v haun aikana, riippuu siitä, miten sekundääritietorakenne D(v) toteutetaan. Jos se toteutetaan taulukkopohjaisena järjestettynä sekvenssinä tai AVL-puuna, v on prosessoitavissa ajassa O(log d). Jos se sen sijaan toteutetaan järjestämättömän sekvenssin tai listapohjaisen järjestetyn sekvenssin avulla, solmun v prosessointi kestää ajan O(d). Viitatkoon d max puun T minkä tahansa solmun lasten maksimimäärään. Olkoon h puun korkeus. Näin ollen hakuaika monitiehakupuussa on joko O(hd max ) tai O(h log d max ) riippuen sekundääritietorakenteen D(v) toteutuksesta. 7. luku 372

10 Jos d max on vakio, haun suoritusaika on O(h) riippumatta sekundääritietorakenteen toteutuksesta. Sen mukaisesti päätavoitteena on pitää puun korkeus mahdollisimman matalana, ts. h tietoyksiköiden määrän n logaritmisena funktiona. Tämä aikaansaa tasapainoitetun hakupuun (balanced search tree), jota pohditaan seuraavaksi (2,4)-puu Tämä on monitiehakupuulaji, joka pitää solmuihin talletetut sekundääritietorakenteet kooltaan suppeina ja puun tasapainoitettuna. Nämä tavoitteet saavutetaan ylläpitämällä ominaisuudet (kuva 7.2): Koko-ominaisuus: Jokaisella sisäsolmulla on enintään neljä lasta ja vähintään kaksi. Syvyysominaisuus: Kaikki lehdet ovat samalla syvyydellä. 7. luku 373

11 Kuva 7.2. (2,4)-puu. 7. luku 374

12 Solmujen koosta kiinnipitäminen tekee solmuista monitiehaussa yksinkertaisia. Siitä tulee myös vaihtoehtoinen nimi, puu, koska jokaisella sisäsolmulla on joko 2, 3 tai 4 lasta. Lisäksi solmun v sanakirja D(v) sisältää sekvenssin, jossa kaikki operaatiot tehdään vakioajassa O(1), sillä d max = 4. Korkeusominaisuudesta seuraa raja puulle: Lause 7.2. (2,4)-puun korkeus on (log n), kun tietoyksiköitä on n. Perustelu: Olkoon h (2,4)-puun T korkeus, kun tietoyksiköitä on n. Lause osoitetaan todeksi seuraavien epäyhtälöjen avulla: (log(n + 1))/2 h log(n + 1). (7.1) Koon ja syvyyden nojalla lehtien lukumäärä puussa T on vähintään 2 h ja enintään 4 h. Lauseen 7.1. perusteella lehtien määrä puussa T on n luku 375

13 Täten saadaan 2 h n h. Ottamalla 2-kantainen logaritmi jokaisesta osasta saadaan h log(n + 1) 2h, josta tulee tämän lauseen tulos (7.1). Lause 7.2. sanoo, että koko- ja syvyysominaisuudet riittävät pitämään monitiepuun tasapainoitettuna. Lisäksi se osoittaa haun (2,4)-puussa toimivan ajassa O(log n) ja ettei sekundäärirakenteen toteutus ole ratkaiseva seikka (yksinkertaisin paras, taulukko tai lista), koska lasten maksimimäärä on vakio d max. 7. luku 376

14 Lisäys Uuden tietoyksikön (k,x) lisäämiseksi (2,4)-puuhun T on aluksi haettava avain k. Olettaen, ettei puussa ole tätä avainta k, haku päättyy epäonnistuneena lehteen z. Olkoon v tämän vanhempi. Uusi tietoyksikkö lisätään solmuun v ja samoin uusi lapsi w (lehti) solmulle v solmun z vasemmalle puolelle. Näin ollen lisätään (k,x,w) sanakirjaan D(v). Kuvissa 7.3. ja 7.5. esitetään sarja perättäisiä lisäyksiä (2,4)- puuhun. Tarkastellaan yksityiskohtaisesti avaimen 5 lisäystä puuhun kuvassa 7.3(g), josta saadaan kuva 7.3.(i). Lisäysmenetelmä säilyttää syvyysominaisuuden, koska uusi lehti lisätään samalle tasolle kuin olemassa olevat lehdet ja uusi avain alimmalle sisäsolmutasolle. Se saattaa silti vahingoittaa kokoominaisuutta. Jos solmu on 4-solmu ennen lisäystä, siitä tulisi 5-solmu sen jälkeen, mikä ei ole sallittua. Tällöin esiintyy ylivuoto (overflow), joka on ratkaistava sopivasti puun säilyttämiseksi lajissa (2,4). 7. luku 377

15 4 4 6 v (a) w (b) z (c) (d) (e) (f) Kuva 7.3. (alku) Lisäyksiä (2,4)-puuhun: (a) Lähtötilanteen puu, jossa on yksi tietoyksikkö, (b) avaimen 6 lisäys, (c) avaimen 12 lisäys, (d) avaimen 15 lisäys, joka aiheuttaa ylivuodon, (e) jako, joka tuottaa uuden juuren ja (f) jaon jälkeen. 7. luku 378

16 (g) (h) (i) (j) Kuva 7.3 (jatkoa) (g) Avaimen 3 lisäys, (h) avaimen 5 lisäys, joka aiheuttaa ylivuodon, (i) jako ja (j) jaon jälkeen. 7. luku 379

17 v v z (k) (l) Kuva 7.3. (loppu) (k) Avaimen 10 lisäys ja (l) avaimen 8 lisäys. 7. luku 380

18 Olkoot v 1,, v 5 solmun v lapset ja k 1,, k 4 solmuun v talletetut avaimet. Ylivuodon korjaamiseksi solmusta v jaetaan (split) 5-solmu v seuraavasti (kuva 7.4.): Solmu v korvataan kahdella solmulla v ja v, missä v on 3-solmu lapsinaan v 1, v 2, v 3 ja avaiminaan k 1 ja k 2. v on 2-solmu lapsinaan v 4 ja v 5 ja avaimenaan k 4. Jos v on puun T juuri, luodaan uusi juuri u. Muutoin u olkoon solmun v vanhempi. Lisätään avain k 3 solmuun u ja asetetaan v ja v solmun u lapsiksi niin, että jos v oli i:s u:n lapsi, niin v ja v tulevat u:n i:nneksi ja i+1:nneksi lapseksi. Jako-operaatio suoritetaan selvästi ajassa O(1). 7. luku 381

19 u u h 1 h 2 h 1 h 2 u 1 v=u 2 u 3 k 1 k 2 k 3 k 4 k 3 u v=u 2 1 u 3 k 1 k 2 k 4 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 (a) Kuva 7.4. (2,4)-puun solmun jako: (a) ylivuoto 5-solmussa v, (b) v:n kolmas avain lisätään v:n vanhempaan u ja (c) v korvataan 3-solmulla v ja 2-solmulla v. u (b) h 1 k 3 h 2 u 1 v v u 3 k 1 k 2 k 4 v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 (c) 7. luku 382

20 Solmun v jaon seurauksena uusi ylivuoto voi esiintyä v:n vanhemmassa u. Jos sellainen esiintyy, se sysää puolestaan jaon solmuun u (kuva 7.5.). Jako joko poistaa ylivuodon tai levittää sitä nykyisen solmun vanhempaan. Näin jako-operaatioiden lukumäärää rajoittaa puun korkeus, joka on lauseen 7.2. mukaisesti O(log n). Lisäyksen suorittaminen (2,4)-puuhun vaatii kaikkiaan aikaa O(log n) (a) Kuva 7.5. (alku) Lisäys (2,4)-puuhun aiheuttaen sarjan jakoja: (a) Ennen lisäystä. 7. luku 383

21 (b) (c) (d) Kuva 7.5. (jatkoa) (b) Avaimen 17 lisäys, joka aiheuttaa ylivuodon, (c) jako ja (d) jaon aiheuttama uusi ylivuoto. 7. luku 384

22 (e) (f) Kuva 7.5. (loppu) (e) Toinen jako, joka tuottaa uuden juurisolmun, sekä (f) lopullinen puu. 7. luku 385

23 Poisto Nyt tarkastellaan tietoyksikön poistamista (2,4)-puusta T. Ensiksi pitää luonnollisesti suorittaa haku avaimella k. Tietoyksikön poisto (2,4)- puusta voidaan aina redusoida tapaukseksi, jossa poistettava tietoyksikkö sijaitsee alimmalla sisäsolmutasolla, ts. sen lapset ovat lehtiä. Jos poistettava tietoyksikkö (k i, x i ) sijaitsee tätä ylempänä puun solmussa z, siirretään aluksi tietoyksikön (k i, x i ) sijaan sellainen, joka on talletettuna solmussa v ja tämän lapset ovat lehtiä (kuva 7.6.(d)): 1. Etsitään oikeanpuolimmainen sisäsolmu v alipuusta, jonka juuri on solmun zi:s lapsi, kun solmun v kaikki lapset ovat lehtiä. Solmun v avain on tällöin alipuun i suurin, ts. alhaaltapäin lähin poistetulle k i. 2. Siirretään solmun z tietoyksikön (k i,x i ) sijaan solmun v viimeinen tietoyksikkö. 7. luku 386

24 Kun edellinen vaihto on tehty, tietoyksikkö poistetaan solmusta v sanakirjasta D(v) ja poistetaan myös v:n i:s lehtilapsi. eli Tietoyksikön ja lapsen poistaminen solmusta v säilyttää syvyysominaisuuden, mutta ei vältämättä koko-ominaisuutta. Jos v on ennen poistoa 2-solmu, siitä tulisi 1-solmu, mikä ei ole sallittua (2,4)- puussa. Tällöin esiintyy alivuoto (underflow). Alivuodon korjaamiseksi tarkistetaan, onko solmun v viereinen sisarus 3-solmu tai 4-solmu. Jos tällainen viereinen sisarus w on olemassa, suoritetaan siirto (transfer), jossa siirretään solmun w lapsi solmuun v, w:n avain v:n ja w:n vanhempaan u sekä u:n avain solmuun v (kuva 7.6.(b)-(c)). Jos solmulla v on ainoastaan yksi vierekkäinen sisarus, joka on 2-solmu, tai molemmat vierekkäiset sirarukset ovat 2-solmuja, suoritetaan sulauttaminen (fusion), jossa lomitetaan v sisaruksensa kanssa luomalla uusi solmu v ja siirretään avain solmun v vanhemmasta u solmuun v (kuva 7.6. (e)-(f)). 7. luku 387

25 u v 5 w (a) (b) 12 Kuva 7.6. Poistojen sarja (2,4)-puusta: (a) avaimen 4 poisto aiheuttaen alivuodon, (b) siirto ja (c) siirron jälkeen. v 5 u w (c) 7. luku 388

26 u v (d) (e) 11 Kuva 7.6. (d) Avaimen 12 poisto, (e) sulauttaminen ja (f) tämän jälkeen. 5 u 6 15 v (f) 7. luku 389

27 u (g) (h) Kuva 7.6. (g) Avaimen 13 poisto ja (h) tämän jälkeen. 7. luku 390

28 Sulauttaminen solmussa v saattaa aikaansaada uuden alivuodon solmun v vanhemmassa u, mikä puolestaan tuottaa siirron tai sulauttamisen solmussa u (kuva 7.7.). Tästä johtuen sulauttamisoperaatioiden määrää rajoittaa puun korkeus, joka on lauseen 7.2. mukaan O(log n). Jos alivuoto leviää juureen saakka, niin juuri yksinkertaisesti poistetaan (kuva 7.7. (c)-(d)). Analyysi (2,4)-puuna toteutetun sanakirjan pääoperaatiot findelement, insertitem ja remove ovat kaikki luokkaa O(log n). Suoritusajat tulevat seuraavista seikoista. (2,4)-puun korkeus, kun puussa on n tietoyksikköä, on O(log n) lauseen 7.1. mukaan. Jako, siirto ja sulauttaminen vaativat ajan O(1). Tietoyksikön haku, lisäys ja poisto käyvät O(log n) solmussa. 7. luku 391

29 u v 17 (a) (b) Kuva 7.7. Sulauttamisten leviäminen (2,4)-puussa: (a) avaimen 14 poisto, joka aiheuttaa alivuodon, ja (b) sulauttaminen. 7. luku 392

30 6 11 u (c) (d) Kuva 7.7. (loppu) (c) Toinen sulauttaminen, joka aiheuttaa juuren poistamisen, ja (d) lopullinen puu. 7. luku 393