v 1 v 2 v 3 v 4 d lapsisolmua d 1 avainta lapsen v i alipuun avaimet k i 1 ja k i k 0 =, k d = Sisäsolmuissa vähint. yksi avain vähint.

Transkriptio

1 Yleiset hakupuut 4 Monitiehakupuu: Binäärihakupuu v k 1 k k 3 v v 3 v 4 k 1 k 3 k 1 k k k 3 d lapsisolmua d 1 avainta Yleinen hakupuu? Tietorakenteet, syksy Esimerkki monitiehakupuusta lapsen v i alipuun avaimet k i 1 ja k i k 0 =, k d = Sisäsolmuissa vähint. yksi avain vähint. lasta Tietorakenteet, syksy 007 Esim. avaimen k = 34 haku Avaimen k = 50 haku Haun työmäärä per solmu? Miten solmun v avaimet k i, alkiot x i ja lapsisolmut v i talletetaan? sekvenssi työ = O(d) esim. AVL-puu työ = O(log(d)) (d: lapsilkm) Käsiteltyjä solmuja? O(h) (puun korkeus) Tietorakenteet, syksy Tietorakenteet, syksy 007 4

2 B-puu: monitiehakupuu, jossa: minimiaste t (t ) kullakin sisäsolmulla vähintään t lasta kullakin solmulla vähintään t 1 avainta paitsi juuri: jos puu ei tyhjä, juurisolmulla vähintään 1 avain ( vähintään lasta) kussakin solmussa korkeintaan t 1 avainta korkeintaan t lasta jokainen lehtisolmu samalla tasolla B-puu, jonka minimiaste on t = : (,4)-puu sisäsolmulla saa olla, 3 tai 4 lasta n-solmuisen B-puun korkeus h? väh. t lasta, lehdet tasakorkeudella h täydellisen t-asteisen puun korkeus = O(log t (n)) Tietorakenteet, syksy Avaimen k lisäys B-puuhun k = Tietorakenteet, syksy k = edetään avaimen k hakupolku lehtisolmuun asti jos k i = k, jatketaan esim. vasemmalle (lapseen v i ) avain k lisätään omalle paikalleen lehtisolmussa (avainten lineaarinen järjestys) Tietorakenteet, syksy Tietorakenteet, syksy 007 8

3 Lisätään edelleen k = 45 1 k = B-puussa sallittu t 1 avainta Solmussa t avainta ns. ylivuoto Tietorakenteet, syksy 007 Ylivuodon korjaaminen solmu jaetaan kahtia: t avainta yhteen solmuun 5 1 avain lisätään vanhempaan loput t 1 toiseen solmuun jos ei vanhempaa (jaettiin juuri), luodaan uusi juuri Tietorakenteet, syksy 007 Jako voi johtaa vanhemman ylivuotoon k = ylivuotojen korjauksen työmäärä? O(t log(n)) solmun lisäys ainoastaan juurisolmun jaossa lehdet säilyvät samalla tasolla Tietorakenteet, syksy Tietorakenteet, syksy 007 1

4 Avaimen k poisto B-puusta k = jos k sisäsolmussa, korvataan edeltäjäavaimella myös seuraaja olisi ok, vrt. binäärihakupuu Poisto: lehtisolmun avainten lukumäärä pienenee aina ok, jos kyseessä juurisolmu muut solmut: B-puu vaatii, että avaimia vähintään t 1 solmussa t avainta ns. alivuoto Tietorakenteet, syksy 007 Solmun v alivuodon korjaaminen tapaus 1: solmulla v vierekkäinen sisar w, jossa yli t 1 avainta 8 8 w 1 w w 3 w 1 w w 3 tehdään siirto: solmujen v ja w välinen avain solmuun v solmun w solmun v puoleisin avain vanhempaan (äsken siirretyn avaimen tilalle) solmun w solmun v puoleisin alipuu solmuun v (solmu/lapsimäärät tasapainoon) Tietorakenteet, syksy 007 Tietorakenteet, syksy tapaus : solmun v (kummallakin) vierekkäisellä sisarella w tasan t 1 avainta 50 8 w 1 w 50 8 w 1 w tehdään sulautus: solmujen v ja w avaimet sekä niiden välinen avain vanhemmasta uuteen solmuun v vanhemman avaimet/lapset vähenevät yhdellä v perii solmujen v ja w alipuut (solmu/lapsimäärien tasapaino säilyy) Tietorakenteet, syksy

5 sulautus voi johtaa alivuotoon vanhemmassa Vielä yksi esimerkki poistoista alivuotojen korjauksen työmäärä? O(t log(n)) alivuoto juurisolmussa: vain jos avaimia 0 tällöin juurella oltava tasan 1 lapsi vanha juuri pois, tilalle sen ainoa lapsi (lehtisolmut pysyvät samalla tasolla) k = k = Tietorakenteet, syksy Tietorakenteet, syksy Vielä yksi esimerkki poistoista k = Tietorakenteet, syksy 007 1