Tietorakenteet ja algoritmit Puurakenteet Ari Korhonen

Transkriptio

1 Tietorakenteet ja algoritmit Puurakenteet ri Korhonen Tietorakenteet ja algoritmit 1

2 7. PUURKNTT 7.1 Käsitteistöä 7.2 Binääripuu (binary tree) 7.3 Puiden esitys- ja toteutustapoja 7.4 Puussa kulkeminen (traversing a tree) 7.5 Puiden sovelluksia Tietorakenteet ja algoritmit 2

3 7.1 Käsitteistöä Puurakenteen perusmalli on sukupuu ylös juuri (root) alas B C G isä (parent) D H L lapsi (child) Tietorakenteet ja algoritmit 3

4 Käsitteitä ja ominaisuuksia: Solmu (node, vertex) on puuhun kuuluva alkio, johon voidaan tallettaa tietoa Särmä, kaari (edge, arc) on suora yhteys kahden solmun välillä Juuri (root) on puun ylin solmu Solmun lähin edeltäjä on sen isä (father, dad, parent). Kauemmista edeltäjistä käytetään nimeä isoisä, esi-isä tai edeltäjä (grandfather, ancestor) Solmun lähinnä alemmat seuraajat ovat sen lapsia (children). Näiden lapset vastaavasti lapsenlapsia (grandchildren) Kullakin solmulla on vain yksi isä ylös juuri (root) Juurella ei ole isää alas B C G isä (parent) D H L lapsi (child) Tietorakenteet ja algoritmit 4

5 Solmulla voi olla 0-N kpl lapsia. Yleisessä puussa lasten määrää ei ole rajoitettu Saman isän lapset ovat toistensa sisaruksia (sibling) Lehti (leaf, external node) on solmu, jolla ei ole lapsia Muut solmut ovat puun sisäsolmuja (internal node) Lehdet ovat joskus rakenteeltaan erilaisia kuin sisäsolmut Polku (path) on yhteys kahden solmun välillä Juuresta mihin tahansa solmuun on vain yksi polku. Vastaavasti jokaisesta solmusta on vain yksi polku mihin tahansa toiseen solmuun. Puussa ei ole silmukoita. Jokainen solmu on oman alipuunsa (subtree) juuri ylös alas juuri (root) B C G isä (parent) Puiden joukko on metsä (forest) D H L lapsi (child) Tietorakenteet ja algoritmit 5

6 Järjestetyssä puussa (ordered tree) lasten järjestys on määrätty Vasen, Oikea nsimmäinen, Toinen,...,Viimeinen Järjestys liittyy puun rakenteeseen. Se I tarkoita sitä että solmuihin liittyvä tieto olisi järjestyksessä! Solmu on tasolla N (level N), jos polulla siitä juureen on N solmua. Juuren taso on 0. Puun korkeus (height) on sen tasojen määrä, ts. pisimmän juuresta lehteen ulottuvan polun pituus ylös juuri (root) alas B C G isä (parent) D H L lapsi (child) Tietorakenteet ja algoritmit 6

7 Lause: Jos puussa on N solmua niin siinä on N-1 särmää Todistus: Jokainen solmu kytkeytyy yhdellä särmällä isäsolmuunsa Juurisolmulla ei ole isää Puun rekursiivinen määritelmä: Puu on joko yksittäinen solmu tai juurisolmu, joka on kytketty joukkoon muita puita (= alipuita ) lipuiden tulee olla pareittain pistevieraita ylös alas juuri (root) B C G isä (parent) D H L lapsi (child) Tietorakenteet ja algoritmit 7

8 Usein käytetty merkintä: Solmut palloja lipuut kolmioita P U U K4.2 l i puu l i puu Tietorakenteet ja algoritmit 8

9 7.2 Binääripuu (binary tree) Hyvin tärkeä puiden perustyyppi. Binääripuu (binary tree) on järjestetty puu, jossa jokaisella solmulla on täsmälleen kaksi lasta: vasen ja oikea (voivat olla tyhjiä) Binääripuu on täydellinen (complete), jos alinta tasoa lukuunottamatta kaikki tasot ovat täynnä ja alimmalla tasolla solmut ovat vasemmassa reunassa Tietorakenteet ja algoritmit 9

10 7.3 Puiden esitys- ja toteutustapoja Dynaaminen tietorakenne struct node { char key; struct node *left; struct node *right; }; left key right typedef struct node * link; Lehtisolmujen linkit voidaan asettaa arvoon NULL, joskin erillisen Z-solmun käyttö on parempi ratkaisu Tietorakenteet ja algoritmit 10

11 Sama Javalla class TreeNode { private Object data; private TreeNode left, right; } TreeNode (Object element) { data = element; left = null; right = null; } TreeNode root, p, q; Tietorakenteet ja algoritmit 11

12 Joskus juuren käsittely joudutaan suorittamaan erikoistapauksena sim. jos kaikkiin solmuihin kohdistettava operaatio viittaa myös solmun isään Kannattaa määritellä ylimääräinen Head-solmu, josta on viittaus juureen Vrt. linkitetty lista Head K Tietorakenteet ja algoritmit 12

13 Samoin voidaan määritellä erityinen z-solmu, johon tyhjät alipuut eli lehtisolmujen linkit viittaavat (Sedgewick: lgorithms) : z-solmuja on vain yksi kappale Head z-solmun linkit viittaavat z-solmuun itseensä K4.5 Kaikki kerralla käytössä olevat dynaamiset tietorakenteet voivat käyttää samaa z-solmua Z Tietorakenteet ja algoritmit 13

14 Nyt esim voidaan luoda tyhjä puu ja käsitellä sitä samoilla rutiineilla kuin muitakin puita: link Z = malloc(sizeof(struct node)); Z->left = Z; Z->right = Z; link Head = malloc(sizeof(struct node)); Head->left = Z; Head->right = Z; Head K4.6 Z Tietorakenteet ja algoritmit 14

15 Tämä esitystapa mahdollistaa liikkumisen puussa vain alaspäin Jos halutaan liikkua myös ylös, voidaan lisätä kolmas linkki, dad, joka osoittaa solmun isään class TreeNode { private Object data; private TreeNode left, right, dad; } TreeNode (Object element) { data = element; left = null; right = null; dad = null; } Tietorakenteet ja algoritmit 15

16 Luentotehtävä 1. Jos binääripuussa on N (ei-tyhjää) alkiota eli solmua, niin mikä on sen korkeus a) enintään? b) vähintään? 2. Jos binääripuun korkeus on k, niin kuinka monta alkiota siinä on a) enintään? b) vähintään? Tietorakenteet ja algoritmit 16

17 7.3.2 Taulukkoesitys Täydellinen binääripuu voidaan esittää yksinkertaisessa taulukossa (muille binääripuille näin ei voi tehdä) Juuri on taulukon 1. alkiossa Paikassa k olevan solmun isä on paikassa k DIV 2 Paikassa k olevan solmun lapset ovat paikoissa 2*k ja 2*k+1 Viittauksille lapsiin (left, right) ei siis varata lainkaan tilaa sityksessä voi liikkua sekä ylös että alas puussa Tietorakenteet ja algoritmit 17

18 7.3.3 Isä-linkit tai -taulukko yleiselle puulle Jos puussa tarvitsee liikkua vain ylöspäin, riittää kussakin solmusta tieto sen isästä. Tämä voidaan toteuttaa joko dynaamisena tietorakenteena tai taulukkona. struct node { char key; struct node *dad; }; S R T typedef struct node * link; M P L k!! !! a[k]!! S M P L T R! dad[k]! ! Tietorakenteet ja algoritmit 18

19 Jos yleisessä puussa halutaan liikkua alaspäin, kytketään kunkin solmun jälkeläiset linkitetyksi listaksi. Siten voidaan varata tilaa tarpeen mukaan. Solmusta on osoitin vasemman puolimmaiseen lapseen ja lähinnä oikealla olevaan veljeen S R T struct node { char key; struct node *First_child; struct node *Next_sibling; }; M P L typedef struct node * link; => sitysmuoto palautuu binääripuuksi! Tietorakenteet ja algoritmit 19

20 7.4 Puussa kulkeminen (traversing a tree) Monessa tilanteessa pitää pystyä käymään läpi (traverse) kaikki puussa olevat alkiot Läpikäyntijärjestyksiä on useita esijärjestys (preorder) sisäjärjestys (inorder) jälkijärjestys (postorder) tasojärjestys (level order) Tietorakenteet ja algoritmit 20

21 sijärjestyksessä puu käydään rekursiivisesti läpi järjestyksessä: juuri - vasen alipuu - oikea alipuu P M S L R T Sisäjärjestyksessä puu käydään rekursiivisesti läpi järjestyksessä: vasen alipuu - juuri - oikea alipuu S M P L T R P M L S R T Tietorakenteet ja algoritmit 21

22 Jälkijärjestyksessä puu käydään rekursiivisesti läpi järjestyksessä: vasen alipuu - oikea alipuu juuri S M T R L P Tasojärjestyksessä puu käydään läpi ylhäältä alaspäin kukin taso kerrallaan vasemmalta oikealle P M L S R T P M L S R T Tietorakenteet ja algoritmit 22

23 Muistisääntö : Piirretään viiva juuren päältä lähtien vastapäivään puun ympäri läheltä liipaten, tulostetaan solmu kun se ohitetaan vasemmalta => sijärjestys ohitetaan alta => Sisäjärjestys ohitetaan oikealta => Jälkijärjestys P M L S R T Tietorakenteet ja algoritmit 23

24 Kolmen ensimmäisen läpikäyntitavan implementaatio on helpointa tehdä rekursion avulla P void traverse_preorder(link t) { if (t!= NULL) { visit(t); traverse_preorder(t->left); traverse_preorder(t->right); } } S M L T R Osoitinmuuttujan t rooli läpikäyntialgoritmeissa on kulkija. Kentät t- >left ja t->right ovat kiintoarvoja Tietorakenteet ja algoritmit 24

25 void traverse_inorder(link t) { if (t!= NULL) { traverse_inorder(t->left); visit(t); traverse_inorder(t->right); } S } M P L R void traverse_postorder(link t) { if (t!= NULL) { traverse_postorder(t->left); traverse_postorder(t->right); visit(t); } } T Tietorakenteet ja algoritmit 25

26 sijärjestys pinon avulla: void traverse_preorder(link t) { push(t); do { t = pop(); P M if (t!= NULL) { S visit(t); push(t->right); push(t->left); } } while (!stack_empty()); } L Tasojärjestyksen implementointi käy helposti jonorakenteen avulla: void traverse_levelorder(link t) { put(t); do { t = get(); if (t!= NULL) { } T R visit(t); put(t->left); put(t->right); } } while (!queue_empty()); Operaatiot push() ja pop() kohdistuvat pinoon, jonka rooli on säiliö Tietorakenteet ja algoritmit 26

27 Luentotehtävä sitä jonon sisältö, kun oheinen puu käydään läpi tasojärjestyksessä annetulla algoritmilla P Parityöskentely sallittua! M L void traverse_levelorder(link t) { put(t); do { t = get(); if (t!= NULL) { visit(t); put(t->left); put(t->right); } } while (!queue_empty()); } S sitä jonon sisältö jokaisen iteraation alussa: P M L L S T R Tietorakenteet ja algoritmit 27

28 Luentotehtävä sitä jonon sisältö, kun oheinen puu käydään läpi tasojärjestyksessä annetulla algoritmilla M P L S void traverse_levelorder(link t) { put(t); do { t = get(); if (t!= NULL) { visit(t); put(t->left); put(t->right); } } while (!queue_empty()); } P M L L S S R R R T T R P M L S R T Tietorakenteet ja algoritmit 28

29 Yleisen puun läpikäynnissä em. algoritmit yleistetään sijärjestys R S R T M P L S T Jälkijärjestys M P L S M P L T R Sisäjärjestys ei ole yksiselitteinen. sim. juuri lasketaan 1. lapsen jälkeen, mutta toteutus voisi olla toinenkin. Koska yleinen puu on palautettavissa binääripuuksi, sitä koskevat algoritmit voidaan yleistää binääripuun käsittelyalgoritmeista Tietorakenteet ja algoritmit 29

30 7.4.1 räitä läpikäynnin sovelluksia: sijärjestys sisällysluettelon tulostaminen tiedostoluettelon tulostaminen Sisäjärjestys hakupuun sisältö aakkostettuna lauseke infix-muodossa Jälkijärjestys tulosyhteenveto lauseke postfix-muodossa Tietorakenteet ja algoritmit 30

31 7.4.2 Läpikäyntijärjestyksen merkityksiä sijärjestys vastaa depth first-hakua etsitään tietty haara mahdollisimman pitkälle ennen kuin peräännytään Tasojärjestys vastaa breadth first hakua etsitään tietyllä etäisyydellä juuresta olevia solmuja. Näihin palataan verkkoalgoritmien yhteydessä kurssin lopussa Tietorakenteet ja algoritmit 31

32 7.5 Puiden sovelluksia Jäsennyspuu. simerkiksi lauseke voidaan esittää puurakenteen avulla lkuperäinen infix-lauseke: 5 * ( ( ) * (4 + 6) + 7 ) Kun tämä puu käydään läpi jälkijärjestyksessä, saadaan lauseke postfix-muodossa : * 7 + * Tietorakenteet ja algoritmit 32

33 Sisäjärjestys antaa lausekkeen alkuperäisessä infixmuodossa, kunhan sulut lisätään yhteenlaskusolmujen oikeille puolille 5 * ( ( ) * ( ) + 7 ) sijärjestys antaa ns. prefix-muodon * 5 + * Tietorakenteet ja algoritmit 33

34 Jäsennyspuun luominen: 1. Luetaan postfix-lauseketta merkki kerrallaan * 7 + * 2. Operandi => Tehdään tästä uuden puun juuri Osoitin uuteen puuhun asetetaan pinoon 3. Operaattori => Tehdään tästä uuden puun juuri Oikeaksi lapseksi popataan pinon päällimmäinen Vasemmaksi lapseksi seuraava Osoitin uuteen puuhun pinoon Tietorakenteet ja algoritmit 34

35 sim: 5 9 K4.10a Tietorakenteet ja algoritmit 35

36 * 5 5 * Tietorakenteet ja algoritmit 36

37 * * Tietorakenteet ja algoritmit 37

38 * * 5 + * Tietorakenteet ja algoritmit 38

39 Puista lisää ensi kerralla: Binäärinen hakupuu Tieto voidaan järjestää puuhun siten, että haku on nopeaa. simerkki: binäärinen hakupuu (binary search tree) K S C G R U J T X I Tietorakenteet ja algoritmit 39

40 7.5.3 Keko Tieto voidaan järjestää puuhun siten, että suurimman (pienimmän) alkion etsiminen on nopeaa. Keko on tärkeä prioriteettijono (itseopiskeluasiaa) Toteutus kuitenkin taulukkona! X T O G S M N R I Tietorakenteet ja algoritmit 40