811312A Tietorakenteet ja algoritmit V Hash-taulukot ja binääriset etsintäpuut

Transkriptio

1 811312A Tietorakenteet ja algoritmit V Hash-taulukot ja binääriset etsintäpuut

2 Sisältö 1. Hash-taulukot 2. Binääriset etsintäpuut A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 2

3 V.1 Hash-taulukot Käytetään toteutettaessa tietoalkiojoukko, johon voidaan kohdistaa lisäys- poisto- ja hakuoperaatioita Apuna tiiviste- eli hashfunktiot Oletus: Tietoalkioissa yksilöllinen avainkenttä Suora osoittaminen: Varataan taulukko, jossa paikka jokaiselle avainkentän arvolle Operaatiot nopeita Ongelma: Yleensä arvoja liikaa A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 3

4 V.1 Hash-taulukot (2) Pienennetään tallennustaulukon kokoa T[1..m] m (paljon) pienempi kuin avainten lukumäärä Tarvitaan funktio h avaimilta joukolle {1,,m} Ns. tiivistefunktio (hash function) Tietoalkion avain k: tallennetaan paikkaan T[h(k)] Operaatiot tehokkaita (vakioaika) Törmäysongelma: Jotkin avaimet kuvautuvat samalle arvolle Väistämätöntä, koska arvoja vähemmän kuin avaimia A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 4

5 V.1.1 Törmäysongelma Ratkaisu: ketjutetaan samalle arvolle kuvautuvat avaimet Taulukkoon osoitin linkitettyyn listaan Tietoalkio löytyy listaa seuraamalla Seuraus: Operaatiot eivät enää vakioaikaisia A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 5

6 T Kaikki avaimet / k 4 k 8 / Käytetyt avaimet k 8 / k 1 k 2 k 7 / k 2 k 1 k 4 k 3 k 7 k 5 k 6 h(k 1 ) = h(k 2 ) = h(k 7 ) / / / / k 3 k 5 / k 6 / h(k 4 ) = h(k 8 ) h(k 3 ) = h(k 5 ) Törmäysongelman ratkaiseminen ketjuttamalla

7 V.1.1 Törmäysongelma (2) Oletetaan, että tallennettuja avaimia n kappaletta -> keskimäärin yhteen taulukon paikkaan n/m avainta, jos tiivistefunktio jakaa avaimet tasaisesti Suhde n/m on taulukon täyttöaste Listan pään hakeminen on vakioaikainen operaatio Listaoperaatioiden lukumäärä suoraan verrannollinen listan pituuteen Keskimäärin n/m Siis operaatioiden keskimääräinen kompleksisuus luokkaa O(1+n/m) A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 7

8 V.1.2. Millainen on hyvä tiivistefunktio? Riippuu käyttötarkoituksesta Tietoalkioiden tallennuksen ja haun tehokkuus: Kuvaa arvot mahdollisimman tasaisesti Tietoturvasovellukset: Minimoi törmäykset, estää avaimen arvaamisen kun tiiviste tunnetaan A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 8

9 V.1.3. Erilaisia tiivistefunktioita Oletus: Avaimet lukuja 0,1,2,3, Jakomenetelmä: h( k) k(mod m) m valittava sopivasti: yleensä alkuluku Esimerkki: avaimia ja voidaan tallentaa keskimäärin 10 avainta samaan listaan. Valitaan m alkuluvuksi läheltä lukua 1000, esim. m = A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 9

10 V.1.3. Erilaisia tiivistefunktioita (2) Tulomenetelmä: h( k) m ( ka(mod 1)) A jokin reaalilukuvakio 0 < A < 1 Etu: Ei riipu kriittisesti luvusta m A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 10

11 Tulomenetelmän implementointi: Sanan pituus w Valitaan m=2 p, s väliltä (0,2 w ) A = s/2 w w bittiä k s=a 2 w k s: r 1 r 0 p bittiä = h(k)

12 V.1.4. Avoin osoittaminen Ei ketjuteta avaimia, vaan etsitään taulukosta vapaa paikka niin kauan kuin mahdollista Yksi menetelmä luotaaminen (probing): tiivistefunktio riippuu avaimen lisäksi parametrista, jonka arvot voivat olla 0,...,m-1, kun taulukon koko on m Avain k yritetään tallentaa ensiksi paikkaan h(k,0) ja jos varattu, paikkaan h(k,1), h(k,2) jne. kunnes löytyy vapaa kohta Hyöty verrattuna tavalliseen taulukkoon tallentamiseen: ei aloiteta aina taulukon alusta, vaan avaimesta riippuvasta arvosta; lisäksi luotausjono riippuu myös avaimesta k-> törmäysten mahdollisuus vähenee A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 12

13 V.1.4. Avoin osoittaminen: Tallennus Syöte: Taulukko T[1,..,m], m >= 1, lisättävä avain k Tulostus: Taulukon indeksi, johon avain lisätään tai arvo OVERFLOW jos taulukko oli täynnä. HASH_TALLENNA(T,k) 1. i = 0 2. while i<m 3. j = h(k,i) 4. if T[j]==NIL 5. T[j]=k 6. return j 7. i = i+1 8. return OVERFLOW A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 13

14 V.1.4. Avoin osoittaminen: Haku (3) Syöte: Taulukko T[1,..,m], m >= 1, etsittävä avain k Tulostus: Taulukon indeksi, josta avain löydetään tai arvo NIL jos avain ei ole taulukossa. HASH_ETSI(T,k) 1. i = 0 2. j = h(k,i) 3. while (i<m && T[j]!=NIL) 4. if T[j]==k 5. return j 6. i = i+1 7. if i<m 8. j = h(k,i) 9. return NIL A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 14

15 V.1.4. Avoin osoittaminen: Poistaminen Avaimen poistaminen ei aivan näin suoraviivaista Voidaan joutua poistamaan luotausjonon keskeltä Voitaisiin käyttää erikoisarvoa DEL merkitsemään tuhotut -> etsittäessä ohitetaan nämä arvot Jos poistoja usein kannattaa mieluummin ketjuttaa Luotauksen etuja: Rajoitettu muistin käyttö ja helpompi osoittaminen A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 15

16 V Erilaisia luotausmenetelmiä Lineaarinen luotaus: Tunnetaan jokin tiivistefunktio f (esimerkiksi tulomenetelmällä saatu) Nyt käytetään tiivistefunktiota h( k, i) ( f ( k) i)(mod m) Helppo implementoida Jokaisella avaimelle luotausjono sisältää kaikki arvot 0..m Kasautumisongelma: Avain sattuu todennäköisemmin pitkään varattuun jonoon kuin lyhyeen ja haku hidastuu A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 16

17 V Erilaisia luotausmenetelmiä (2) Neliöllinen luotaus Tunnetaan jokin tiivistefunktio f Nyt käytetään tiivistefunktiota h( k, i) ( f ( k) 2 c1 i c2 i )(mod m) c 1 ja c 2 positiivisia vakioita Kasautumisongelma poistuu Vakiot valittava taulukon kokoon sopivasti A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 17

18 V Erilaisia luotausmenetelmiä (3) Kaksoishashaus Pidetään yhtenä parhaimmista menetelmistä Tunnetaan kaksi tiivistefunktiota f ja g Tällöin tiivistefunktio on h( k, i) ( f ( k) i g( k))(mod m) Erilaisia luotausjonoja noin m 2 kappaletta Funktio on valittava sopivasti, jotta jonot sisältäisivät kaikki arvot Sopivasti toteutettuna lähellä ideaalitapausta A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 18

19 V.1.5. Tiivistefunktioiden muita sovelluksia Tarkistussumma: Viesti k ja sen tiiviste h(k) Lähetetään pari (k,h(k)) -> Vastaanottaja voi tarkistaa, onko viesti muuttunut matkalla Huom! Ei yleensä suojaa tarkoitukselliselta muuttamiselta MAC-funktio (Message Authentication Code): Tiiviste riippuu viestistä ja avaimesta, joka ainoastaan lähettäjällä ja vastaanottajalla Funktion oltava vaikea väärentää, ts. kun h(k) tunnetaan, hankala keksiä sellaista viestiä m, että h(m)=h(k) A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 19

20 V.2 Binääriset etsintäpuut T binääripuu ja x sen solmu. Merkinnät: T.root osoitin puun juureen x.left osoitin solmun x vasempaan alipuuhun x.right osoitin solmun x oikeaan alipuuhun x.p osoitin solmun x vanhempaan A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 20

21 V.2 Binääriset etsintäpuut (2) Binäärinen etsintäpuu (binäärinen hakupuu, binary search tree) on binääripuu, jossa solmun avain on aina suurempi tai yhtä suuri kuin solmujen arvot sen vasemmassa alipuussa ja pienempi tai yhtä suuri kuin solmujen arvot oikeassa alipuussa. Binäärisessä etsintäpuussa pätee siis x.left.key <= x.key <= x.right.key HUOM! Jokainen alipuu on edelleen etsintäpuu Rekursiivisen rakenteen vuoksi helppo käsitellä algoritmisesti A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 21

22 Esimerkki binäärisestä hakupuusta A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 22

23 V.2.1 Binäärisen etsintäpuun läpikäynti Syöte: Binäärisen etsintäpuun solmu x Tulostus: Tulostaa solmusta x lähtevän alipuun avaimet suuruusjärjestyksessä BST_SISÄJÄRJESTYS(x) 1. if x!= NIL 2. BST_SISÄJÄRJESTYS(x.left) 3. tulosta x.key 4. BST_SISÄJÄRJESTYS(x.right) Siis kutsu BST_SISÄJÄRJESTYS(T.root) tulostaa kaikki puun avaimet suuruusjärjestyksessä A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 23

24 V.2.2 Haku binäärisestä etsintäpuusta Syöte: BST:n juuri x, etsittävä avain k Tulostus: Palauttaa osoittimen solmuun joka sisältää avaimen tai arvon NIL jos avain ei ole puussa. BST_ETSI(x,k) 1. y = x 2. while y!=nil && y.key!=k 3. if y.key < k // k oikealla 4. y = y.right 5. else // k vasemmalla 6. y = y.left 7. return y Kompleksisuus luokkaa Ɵ(h) missä h on puun korkeus A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 24

25 V.2.3 Binäärisen etsintäpuun minimi ja maksimi Syöte: Binäärisen etsintäpuun juuri x Tulostus: Palauttaa osoittimen solmuun joka sisältää puun pienimmän /suurimman avaimen tai arvon NIL, jos puu on tyhjä. BST_MINIMI(x) 1. if x==nil 2. return NIL 3. y = x 4. while y.left!=nil 5. y = y.left 6. return y BST_MAKSIMI(x) 1. if x==nil 2. return NIL 3. y = x 4. while y.right!=nil 5. y = y.right 6. return y Kompleksisuudet luokkaa Ɵ(h) missä h on puun korkeus A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 25

26 V.2.4 Avaimen lisääminen Syöte: Binäärinen etsintäpuu T ja lisättävä avain k Tulostus: Lisää avaimen sisältävän solmun puun lehtisolmuksi. 10. else if k > x.key BST_LISÄÄ(T,k) 11. x=x.right 1. Uusi solmu t 12. else 2. t.key = k 13. return 3. t.left = NIL 14. t.p = y 4. t.right = NIL 15. if y==nil 5. x = T.root 16. T.root = t 6. while x!= NIL 17. else if k < y.key 7. y=x 18. y.left = t 8. if k < x.key 19. else 9. x=x.left 20. y.right = t 21. return 26

27 V.2.4 Avaimen poistaminen Avain lehtisolmussa: A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 27

28 V.2.4 Avaimen poistaminen (2) Avain solmussa, jolla yksi alipuu A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 28

29 V.2.4 Avaimen poistaminen (3) Avain solmussa jolla kaksi alipuuta A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 29

30 V.2.4 Avaimen poistaminen: apualgoritmi Syöte: Binäärinen etsintäpuu T ja sen solmut u ja v (v voi olla NIL) Tulostus: Binäärinen etsintäpuu, jossa solmusta u lähtevän alipuun tilalle on siirretty solmusta v lähtevä alipuu BST_TRANSPLANT(T,u,v) 1. if u.p == NIL // u oli juuri 2. T.root = v 3. else if u == u.p.left // u vas. alipuussa 4. u.p.left = v 5. else 6. u.p.right = v // u oik. alipuussa 7. if v!= NIL 8. v.p = u.p A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 30

31 V.2.4 Avaimen poistaminen: algoritmi Syöte: BST T ja poistettava avain k Tulostus: Poistaa avaimen puusta, jos se esiintyy. Paluu: TRUE,jos avain puussa, FALSE muuten. HUOM: BST_TR = BST_TRANSPLANT ja BST_MIN = BST_MINIMI 10. if y.p!= x BST_POISTA(T,k) 11. BST_TR(T,y,y.right) 1. x = BST_ETSI(T,k) 12. y.right = x.right 2. if x == NIL 13. y.right.p = y 3. return FALSE 14. BST_TRANSPLANT(T,x,y) 4. if x.left == NIL 15. y.left = x.left 5. BST_TR(T,x,x.right) 16. y.left.p = y 6. else if x.right == NIL 17. return TRUE 7. BST_TR(T,x,x.left) 8. else 9. y = BST_MIN(x.right) 31

32 V.2.5 Avaimen lisääminen ja poistaminen: kompleksisuus Lisääminen: Jokaisella silmukan kierroksella syvemmälle puussa, silmukassa vakioaikaisia operaatioita -> kompleksisuus luokkaa Ɵ(h) missä h on puun korkeus Poistaminen: BST_TRANSPLANT vakioaikainen, muuten vakioaikaisia operaatioita paitsi yksi BST_ETSI ja korkeintaan yksi BST_MINIMI -> kompleksisuus luokkaa Ɵ(h) missä h on puun korkeus HUOM! Puun rakenteesta riippuu miten solmujen lukumäärä suhtautuu puun korkeuteen Yleisesti tiedetään vain että h <= n Jos puu tasapainossa niin n luokkaa 2 h A TRA, Hash-taulukot, binääripuut 32