Opas matemaattisen tekstin kirjoittamiseen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Opas matemaattisen tekstin kirjoittamiseen"

Transkriptio

1 Opas matemaattisen tekstin kirjoittamiseen Tuomas Nurmi, Henri Pesonen ja Heikki Ruskeepää Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 1 Matemaattinen teksti Hyvän matematiikkaa sisältävän tekstin kirjoittamisen ehdoton edellytys on aina käsiteltävän asian syvällinen ymmärtäminen. Mutta pelkkä matemaattinen osaaminen ei edes yhdessä tavanomaisen kieliopin hallinnankaan kanssa takaa sitä, että kirjoitettava matemaattinen teksti olisi helppolukuista ja yksiselitteistä. Hyvän matemaattisen tekstin tuottaminen vaatiikin huomattavasti enemmän ponnistelua ja harkintaa kuin tavanomaisen asiatekstin tuottaminen. Matemaattisten kaavojen ladonnan takia myös tavanomaiset tekstinkäsittelyohjelmat soveltuvat huonosti matemaattisen tekstin tuottamiseen. Kaavaeditorilla pystyy toki tuottamaan kaavoja, mutta niiden muotoilu ja viimeistely on kohtuuttoman työlästä. Paras vaihtoehto matemaattisen tekstin tuottamiseen on L A TEXladontaohjelma, josta on saatavilla lukuisia erilaisia ilmaisversioita. Sen käyttö vaatii ensialkuun hieman totuttelua, mutta opettelun jälkeen se on ohjelmistoista helppokäyttöisin ja luotettavin. Matemaattiseen tekstiin tuottamiseen liittyy usein myös käsiteltävää asiaa havainnollistavien kuvien tekeminen, mihin soveltuvia ohjelmia ovat esimerkiksi R- studio, GeoGebra, MATLAB ja Sage, joiden käyttö opetetaan muun opetuksen yhteydessä. Lisäksi yleiseen matemaattiseen ja tilastotieteelliseen työskentelyyn, erityisesti symboliseen laskentaan, sopii Mathematica, jonka käyttöä esitellään tällä kurssilla. 2 Kirjallisten töiden tavoitteet Kirjallisten töiden laatimisessa on tavoitteena opetella kirjoittamaan matemaattista tekstiä, harjoitella itsenäistä matemaattista tai tilastotieteellistä työskentelyä, tottua vieraskielisen tieteellisen kirjallisuuden käyttöön ja oppia matematiikka tai tilastotiedettä 1

2 Kannattaa huomata, että kyseessä on todella opettelu: matemaattisen tekstin kirjoittaminen voi olla aluksi vaikeaa ja työn ohjaaja löytää luultavasti paljon korjattavaa, mutta tarkoitus onkin aktiivisesti opetella matemaattista kirjoittamista. Aineen ja tutkielmien kirjoittamisessa on olennaista myös se, että tarkasteltavasta asiasta luodaan oma esitys. Pelkästään kääntämällä virkkeet suomeksi ei synny kunnollista ainetta, koska silloin on todellakin kysymys vain käännöksestä: asia on jäänyt ilmaisematta omin sanoin. Aine tai tutkielma ei koskaan synny ensikirjoittamalla, vaan tarvitaan useita muokkausvaiheita, kunnes esitys on oman käsityksesi mukaan parhaassa muodossa asiasisällön ja rakenteen kannalta. Itsenäistä kirjoitustyötä tarvitaan aina myös sen takia, että aineesta tai tutkielmasta on aina kirjoitettava oma rakenteellisesti yhtenäinen kokonaisuutensa, mikä on yleensä mahdotonta suoraan lähdemateriaalia kääntämällä. Aineen lähdeaineisto on usein esimerkiksi kirjan luku, jota saattaa olla tarpeen karsia, mutta jota on samalla kuitenkin täydennettävä järkevän kokonaisuuden muodostamiseksi esimerkiksi lisäämällä johdanto, yhteenveto tai vaikkapa esimerkkejä. Tutkielmissa taas ohjaajan antama lähdemateriaali saattaa koostua useista eri kirjojen luvuista tai tieteellisistä artikkeleista. Lisäksi materiaalia on usein tarpeen etsiä lisää itsenäisesti. Työtä aloitettaessa kannattaa tutustua laitoksen www-sivuilla oleviin malliaineisiin ja muuhun matemaattista kirjoittamista käsittelevään materiaaliin. 3 Työskentelyn vaiheet Aineen tai tutkielman aihe sovitaan yhdessä ohjaajan kanssa. Ohjaaja antaa opiskelijalle materiaalin, jonka avulla tämä pääsee työnsä alkuun. Aiheeseen perehtyminen. Perehdy materiaaliisi huolellisesti, ennen kuin harkitsetkaan kirjoitustyön aloittamista. Tutkielmien tekoon kuuluu olennaisena osana myös lisämateriaalin etsiminen itse ja usein jopa oman pienimuotoisen tutkimustyön tekeminen. Myös ainetta tehdessä voi aiheen ymmärtämiseksi joskus olla tarpeen hankkia lisämateriaalia (esimerkiksi lähdekirjan aiempi luku). Laadi materiaalistasi muistiinpanoja ja pohdi, mitä sisällytät omaan tekstiisi ja miten asiat esität. Jos jotkin kohdat materiaalissa tuntuvat liian hankalilta, voi ohjaajalta kysyä apua. Tilastotieteen tutkielmissa tähän vaiheeseen kuuluu luonnollisesti myös tutkittavan aineiston analysointi. Oman esityksen suunnittelu. Suunnittele esityksestäsi itsenäinen ja yhtenäinen kokonaisuus. Pohdi, mitä asioita on hyvä ottaa mukaan ja mitä taas voi jättää pois ja millaisen rakenteen esitykseesi laadit. Pohdi myös, millaisia taustatietoja esityksesi edellyttää lukijalta, ja pyri tekemään esityksestäsi tällaiselle lukijalle helppolukuinen. Kirjoitustyö. Ennen kirjoitustyön aloittamista kannattaa käydä keskustelemassa ohjaajan kanssa suunnitelmasta. Kirjoitustyön aikana on edelleen hy- 2

3 vä pitää mielessä se, että tarkoituksena on laatia aiheesta oma esitys, ei lähdemateriaalin käännöstä, ja varoa englanninkielisten sanamuotojen ja lauserakenteiden lipsahtamista tekstiin. Ja edelleen kirjoitustyö. Matemaattista tekstiä kirjoitettaessa ei valmista yleensä tule kerralla, vaan tekstiä kannattaa itse oikolukea ja miettiä omia valintoja ilmaisu- ja sanamuodoiksi. Tällaista tekstin prosessointia on harrastettava jo ennen kuin vie esitystään ohjaajalle, ja se mitä luultavimmin jatkuu vielä yhdessä ohjaajan kanssa. 4 Kirjallisen esityksen rakenne Esityksen hyvin laadittu rakenne helpottaa tekstin lukemista ja tiedon hakua esityksestä. Käytettävät erikoistermit ja merkinnät on esiteltävä tai määriteltävä ennen kuin niitä ensimmäisen kerran käytetään. Esityksen tulisi edetä loogisesti ja suoraviivaisesti, jottei lukijan tarvitse siirtyä edestakaisin sivulta toiselle esitystä ymmärtääkseen. Jokaisen matemaattisen esityksen tulisi alkaa johdannolla, jossa selvitetään esitettävien tulosten merkitys, mahdollisesti historiaakin, ja sijoitetaan ne tieteelliseen kontekstiinsa. Hyvän johdannon kirjoittaminen on usein työn osa-alueista vaativimpia. Laajempien esitysten loppuun on yleensä tarpeen sijoittaa jonkinlainen yhteenveto- ja pohdiskeluosuus. Esityksen laajuudesta riippuu myös, onko tarpeen liittää mukaan sisällysluetteloa. Teksti on jaettava riittävän lyhyiksi kappaleiksi, joista kukin käsittelee kyllin suppean kokonaisuuden. Kappaleet erotetaan toisistaan sisentämällä alkavan kappaleen ensimmäistä riviä. Nykyään yleistynyt ja monilla muilla tieteenaloilla tavallinen käytäntö erottaa kappaleet ylimääräisellä rivinvaihdolla ei matemaattisissa teksteissä ole riittävän selkeä, sillä kaavarivit tekevät rivityksestä jo muutenkin epäyhtenäistä. Kun muuntelet lähteen tekstiä esimerkiksi lisäämällä perusteluja ja selityksiä, niin vaarana on liian pitkien ja sekavien lauseiden ja kappaleiden muodostuminen. Voit joutua rakentamaan tällaisen kohdan kokonaan uudestaan käyttämällä lyhyempiä virkkeitä ja kappaleita. 5 Kirjoitusvaihe Ennen kuin kirjoitat, on sinun ymmärrettävä asia, josta olet kirjoittamassa. Jos lähdeaineistossa on vaikealta tuntuvia kohtia, kannattaa niistä keskustella ohjaajan kanssa ennen kirjoitustyön aloittamista. Kun ryhdyt kirjoittamaan ensimmäistä versiota itse aineesta, muista, että et kirjoita itsellesi vaan toiselle lukijalle. Kirjoita niin, että esimerkiksi opiskelutoverisi voisivat ymmärtää tekstisi. Matemaattisen tekstin kirjoituksessa on siis otettava huomioon seuraavat kaksi ymmärtämiseen liittyvää asiaa. Ensinnäkin kirjoittajan tulee ymmärtää kirjoitta- 3

4 mansa asia. Toiseksi kirjoittajan on esitettävä asiansa niin selkeästi, että lukijakin ymmärtää asian. Tärkeää on johdatella lukijaa seuraavan tapaisilla lauseilla: Näin ollen riittää osoittaa, että...,..., mikä todistetaan seuraavassa, Näin on todistettu kaava.... Älä jätä lukijaa epävarmaksi siitä, ollaanko parhaillaan perustelemassa edellä ollutta tulosta vai johtamassa jäljempänä seuraavaa tulosta. Kerro selvästi, mitkä ovat oletuksia ja mitkä tuloksia. Lauseen todistuksessa on hyvä korostaa todistuksen rakennetta ja niitä keskeisiä ideoita, jotka tekevät todistuksesta toimivan. Jos todistuksen jokin vaihe jätetään väliin, niin on hyvä mainita jotakin tämän vaiheen vaikeudesta tai helppoudesta. Jos todistus on pitkä, kannattaa harkita sen jakamista usean lemman sarjaksi. Jos oletuksia on useita, älä sano, että oletuksista seuraa..., vaan kerro kussakin kohdassa juuri se oletus tai ne oletukset, joita siinä kohdassa käytetään. Korosta päätuloksia tai keskeisiä asioita ( Todistetaan seuraava päätulos. ). Tulkitse tuloksia ja niiden merkitystä riittävän yksityiskohtaisesti. Lähteissä voi olla paljon puutteita näissä suhteissa. Matemaattisen esityksen kirjoittamisessa pätevät normaalit ns. asiaproosan kirjoittamista koskevat säännöt. Esikuviksi kelpaavat monet matematiikan kirjat, eivät sitä vastoin yleensä luentomonisteet tai lukion oppikirjat. Hyvä asiateksti on yksinkertaista ja ytimekästä, vailla turhaa hienostelua. Aine on kirjoitettava niin, että se muodostuu täydellisistä virkkeistä, joiden luonteviksi osiksi myös matemaattiset lausekkeet ja kaavat niveltyvät. Lue aina kirjoittamasi virke kaikkine matemaattisine ilmaisuineen itsellesi. Näin tulee tarkistetuksi, onko se oikein muodostettu. Kun kirjoitat omaa matemaattista tekstiä (vaikkapa ratkaiset harjoitustehtävän ja sijoitat sen esimerkiksi), pidä huoli, että tyyli säilyy moitteettomana: esityksen on edelleenkin muodostuttava täydellisistä virkkeistä riittävin sidesanoin ja kommentein ( koska..., joten... ). Demonstraatiotyyli, jossa vain kirjoitetaan kaavoja peräkkäin ( kaava 1 kaava 2 kaava 3 ), ei kelpaa, vaan kukin kaava tai lauseke sijoitetaan usein omalle rivilleen, ja kun kaavasta tai lausekkeesta siirrytään seuraavaan, niin välissä on jotakin johdattelevaa tekstiä ( Tämän perusteella nähdään, että..., josta sieventämällä saadaan, että... ). 6 Erityiskysymyksiä Kaavat Lyhyet kaavat sijoitetaan usein tekstin joukkoon. Kaava voidaan sijoittaa myös omalle rivilleen. Näin tehdään selvyyden vuoksi, jos kaava on pitkä tai muuten monimutkainen, kaavan korostamiseksi, jos se on erityisen tärkeä, tai kaavan numeroimiseksi siihen tehtäviä viittauksia varten. 4

5 Sana kaava on edellä käsitettävä laajemmin kuin sananmukaisesti: kyseessä voi olla selvästi rajattu matemaattinen ilmaisu, joka sisältää myös sanallista tekstiä. Tällainen kaava voi olla esimerkiksi: { 0, jos n on parillinen, H(n) = 1, jos n on pariton. Matemaattisessa esityksessä on monenlaisia kaavan näköisiä lausekkeita. Niitä kaikkia ei sovi kutsua kaavoiksi tai yhtälöiksi, vaan joukossa on myös esimerkiksi lausekkeita, määritelmiä, funktioita tai epäyhtälöitä. Mieti siis kunkin kaavan luonnetta ja käytä sopivaa termiä. Esimerkiksi yhtälössä täytyy olla ainakin yhtäsuuruusmerkki, ja usein yhtälöstä on myös tarkoitus ratkaista jotakin. Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat lausekkeita. Symbolit Logiikan symboleja (esimerkiksi,, ) ei milloinkaan käytetä normaaleissa virkkeissä sanallisten ilmaisujen lyhenteinä. Eräät matemaattiset symbolit voidaan lukea lauseyhteyden mukaan monilla tavoilla; tämä tuo joustavuutta lauseiden muodostamiseen. Jokin matemaattinen kokonaisuus (esim. yhtälö) voi olla lauseessa objektina tai vaihtoehtoisesti rakenteellisena osana lausetta, jolloin lauseen predikaatti usein sisältyy johonkin matemaattiseen symboliin. Esimerkiksi yhtäsuuruusmerkki voi tarpeen mukaan joko sisältää tai olla sisältämättä lauseen predikaatin. Voidaan esimerkiksi kirjoittaa seuraavilla tavoilla: Tämän nojalla a = b. Tästä nähdään, että a = b. Näin ollen on voimassa yhtäsuuruus a = b. Tämän nojalla a on yhtä suuri kuin b. Väite a = b nähdään oikeaksi edellisestä yhtälöstä. Usein on harkinnanvaraista, ilmaistako jokin asia sanoin vai symbolein. Epävarmoissa tapauksissa on ajateltava ennen muuta sanonnan selkeyttä ja havainnollisuutta. Virke ei saa alkaa matemaattisella kaavalla, lausekkeella tai symbolilla; ei siis n-rivistä matriisia kerrottaessa on huomattava, että..., vaan esimerkiksi Kerrottaessa n-rivistä matriisia.... Uutta pykälää tai kappaletta ei koskaan aloiteta matemaattisella määritelmällä, lauseella tai kaavalla, vaan selittävällä tekstillä Sijapäätteiden liittämistä symboleihin on vältettävä. Niitä ei tarvitse käyttää, kun symbolin eteen kirjoittaa symbolia kuvaavan sanan. Ei siis kirjoiteta kun M i :t kerrotaan K:lla... vaan kirjoitetaan kun matriisit M i kerrotaan matriisilla K.... Yleensäkin lukijalle on helpompaa, jos symboleihin liitetään sopivia määresanoja; vertaa esimerkiksi seuraavia kahta virkettä: 5

6 Näin ollen P on f:ssa, jos sen projektio n:lla yhtyy N:ään. Näin ollen piste P on tasossa f, jos sen projektio suoralla n yhtyy pisteeseen N. Sijapäätteitä on kiusaus käyttää, koska englannissa käytetään prepositioita eikä kuvaavia sanoja välttämättä tarvita. Matemaattiset symbolit on tapana kursivoida. Kursivointia ei kuitenkaan käytetä vakiintuneista monikirjaimisista funktioiden nimistä, kuten trigonometrisistä tai logaritmifunktioista. Kun otat käyttöön omia merkintöjä, niin mieti kunkin merkinnän kohdalla tarkasti, onko merkintä helposti luettava, luonnollinen, lyhyt, looginen ja esteettisesti miellyttävä. Ota käyttöön vain todella tarpeelliset merkinnät. Ole merkinnöissä johdonmukainen: käytä samasta asiasta aina samaa merkintää, äläkä käytä eri asioista samaa merkintää. Todistukset Laadukkaassa matemaattisessa tekstissä esitetään matemaattisille väitteille aina myös todistukset ja luonnollisesti myös oletukset, joiden voimassa ollessa väite pitää paikkansa. Todistuksen pitää muodostaa looginen kokonaisuus, ja myös triviaalit tapaukset on syytä käsitellä. Esimerkiksi sanapari helposti nähdään soveltuu käytettäväksi vain niin yksinkertaisissa tilanteissa, että asia tulee yleensä selväksi ilman tätä sanapariakin. Todistuksen voi kuitenkin tarvittaessa korvata lähdeviitteellä: Lauseen todistus sivuutetaan tässä yhteydessä. Se on esitetty Apostolin kirjassa [4]. 7 Suomen kieli Tähän lukuun on koottu kieliopillisia asioita, joihin matematiikan ainetta ja tutkielmia tehtäessä kannattaa kiinnittää erityistä huomiota. Englannista suomeksi Kirjoita sujuvaa suomea, älä suomeksi väännettyä englantia! Usein suomen kielen lause muodostetaan aivan toisin kuin englannin kielen lause. Esimerkiksi However, if x is... ei ole Kuitenkin, jos x on... vaan Jos kuitenkin x on.... Englannin kielessä käytetään usein monikon ensimmäistä persoonaa ( From this we see that... ). Suomessa käytetään useimmiten passiivia ( Tästä nähdään, että... ). Genetiiviattribuutin ja pääsanan väliin ei yleensä pidä kirjoittaa sivulausetta. Virkettä The derivative of a function that is increasing is positive ei siis pidä kirjoittaa muotoon Funktion, joka on kasvava, derivaatta on positiivinen vaan esimerkiksi muotoon Kasvavan funktion derivaatta on positiivinen tai muotoon Jos funktio on kasvava, niin sen derivaatta on positiivinen. Englannin sana or on matemaattisessa tekstissä useimmiten eli (eikä tai ). 6

7 Kielestäsi tulee todennäköisesti paljon parempaa, jos et käännä, vaan mietit asiaa, kunnes ymmärrät sen, ja ilmaiset sitten asiasisällön omin sanoin (kuvittele myös selostavasi asiaa toverillesi). Matemaattisen kielen luontevuutta punnittaessa on hyvä ajatella normaalikielen analogisia sanontoja. Miksi kirjoittaisit on olemassa N siten, että a n < ε kaikilla n > N (suora väännös englannin ilmaisusta such that ), kun luontevampaa on sanoa on olemassa sellainen N, että a n < ε aina kun n > N. Ethän sanoisi tässä on aine siten, että tukka nousee pystyyn vaan tässä on sellainen aine, että tukka nousee pystyyn. Ilmaisun on olemassa sellainen x, jolle pätee f(x) = 0 tai..., jolle on voimassa f(x) = 0 sijasta voit käyttää vaikkapa ilmaisua..., jolla on ominaisuus... tai..., joka täyttää ehdon.... Yhdyssanat Yhdyssanat on kirjoitettava yhteen! Englannin kielen yhdyssanojen kirjoitussäännöt ovat erilaiset kuin suomen kielen. Sanaparit yhtä suuri ja eri suuri kirjoitetaan yleiskielessä erikseen. Esimerkiksi Cauchy sequence taas on suomeksi Cauchyn jono ja Gauss Seidel method on Gaussin ja Seidelin menetelmä (tai Gaussin Seidelin menetelmä tai Gauss Seidel-menetelmä). Jos nimiä on kolme tai useampia, niin käytetään yleensä ajatusviivoja: Davidon Fletcher Powell-menetelmä. Useimmiten ongelmia tuottavat juuri yllä kuvatun kaltaiset tilanteet, joissa suomenkielisessä tekstissä on käytettävä ajatusviivaa, joka on yhdysmerkkiä eli tavuviivaa pidempi vaakaviiva. Ajatusviiva erottaa esimerkiksi välin ääripäitä (40 50-vuotiaat) tai vuorovaikutuksen osapuolia (TPS HIFK-ottelu). Malli, joka kuvaa petoeläinten ja saaliseläinten vuorovaikutusta, on siis peto saalis-malli. Ajatusviiva tuotetaan L A TEX-ohjelmassa kirjoittamalla kaksi yhdysmerkkiä peräkkäin. Pilkut Virkkeet on pilkutettava! Englannin kielessä pilkutus on erilaista kuin suomen kielessä. Pilkut auttavat virkkeiden hahmottamisessa, mutta pilkulla voi myös olla virkkeen sisällölle jopa ratkaiseva merkitys. Suomen oikeakielisyyssääntöjen mukaan desimaalit erotetaan pilkulla. Pilkun käytön pääsääntö on, että virkkeen eri lauseet erotetaan toisistaan pilkuilla: pilkkua käytetään siis erottamaan peräkkäiset päälauseet tai peräkkäiset sivulauseet toisistaan ja erottamaan sivulause päälauseesta (tietysti molemmista päistä, jos sivulause on päälauseen tai päälauseiden keskellä). Säännöstä on poikkeuksia peräkkäisten päälauseiden ja peräkkäisten sivulauseiden kohdalla. Seuraavassa ovat pilkunkäytön kolme tärkeintä sääntöä: Päälause ja sivulause erotetaan toisistaan aina pilkulla. Peräkkäisiä sivulauseita ei eroteta pilkulla, jos niitä yhdistää jokin rinnastuskonjunktioista ja, sekä, sekä että, eli, tai, vai, mutta, vaan, sillä, joko tai. 7

8 Peräkkäisiä päälauseita ei eroteta pilkulla, jos molemmat seuraavista kahdesta ehdosta ovat voimassa: 1. lauseita yhdistää jokin rinnastuskonjunktioista ja, sekä, sekä että, -kä, eli, tai, vai, (mutta, vaan) 2. lauseilla on yhteinen lauseenjäsen tai molempien lauseiden predikaatit ovat samassa 1. tai 2. persoonan muodossa tai passiivissa. Esimerkkejä: Funktio on jatkuva ja lähestyy nollaa, kun... (yhteinen subjekti funktio). Oletuksen mukaan A ei ole voimassa vaan päädytään ehtoon B (yhteinen adverbiaali oletuksen mukaan ). Tarkastellaan lähemmin tapausta B ja otetaan käyttöön oletus d (passiivi kummassakin lauseessa). Jos tämä oletus on voimassa, niin funktio on jatkuva eikä sen derivaatallakaan ole epäjatkuvuuskohtia (yhteisenä adverbiaalina jos-lause). Lisäyksenä näihin kolmeen sääntöön voidaan mainita seuraavat tapaukset. Pilkkua ei välttämättä tarvita, jos peräkkäiset lauseet ovat lyhyitä. Esimerkki: Siitä että f on jatkuva, ei välttämättä seuraa.... Seuraavan tapaisen monisanaisen alistuskonjunktion eteen voi kirjoittaa pilkun: Funktio on jatkuva(,) silloin kun se on derivoituva, mutta pilkun voi jättää poiskin. Muita esimerkkejä: Nämä toimenpiteet kannattaa suorittaa ennen kuin iterointi aloitetaan, Iterointi lopetetaan niin pian kuin jompikumpi ehdoista tulee voimaan. Kuin-sanan eteen ei tule pilkkua, jos sillä ilmaistaan vertailua: Iterointi suppeni nopeammin kuin oletettiin. Peräkkäisten adjektiiviattribuuttien välissä käytetään pilkkua vain, jos attribuutit ovat todella samanarvoiset eli rinnasteiset. Tällöin niiden väliin voi usein ajatella ja-sanan: Tämä on paljon käytetty, varmatoiminen algoritmi, On olemassa toinenkin, nopeampi algoritmi ( toinenkin ja nopeampi määrittävät kumpikin sanaa algoritmi, ja paino on sanalla nopeampi ; nopeampia algoritmeja on ainakin yksi), vrt. On olemassa toinenkin nopeampi algoritmi ( toinenkin määrittää nopeampaa algoritmia, ja paino on sanalla toinenkin ; nopeampia algoritmeja on ainakin kaksi). Koska pilkkua vastaa puheessa lyhyt tauko, niin epävarmoissa pilkutustapauksissa kannattaa tarkkailla, miltä kyseinen kohta kuulostaisi puhuttuna. Muuta huomattavaa Jos-sanan parina kannattaa usein käyttää niin-sanaa. Tarkastellaan virkettä jos x < a, niin f(x) > c ja g(x) > c. Jos siitä jättää pois niin-sanan, niin virkkeen ymmärtäminen vaikeutuu: jos x < a, f(x) > c ja g(x) > c. Ensin tekstistä saa vaikutelman, että myös f(x) > c ja g(x) > c ovat oletuksia, mutta kun piste tulee vastaan, niin huomaa, että f(x) > c ja g(x) > c olivatkin seurauksia. Jos ymmärtäminen ei vaikeudu, voit jättää niin-sanan pois. 8

9 Huomaa, että seuraavista esimerkkilauseista ensimmäisessä ei käytetä kaksoispistettä, mutta toisessa käytetään: Todistuksessa nojaudutaan yhtälöön (x 2 + y 2 )(u 2 + v 2 ) = (xu + yv) 2 + (xv yu) 2. Todistuksessa nojaudutaan seuraavaan yhtälöön: (x 2 + y 2 )(u 2 + v 2 ) = (xu + yv) 2 + (xv yu) 2. Edellinen ilmaisu on yleensä parempi; vältä turhaa seuraava-sanan käyttöä. Kaksoispistettä tarvitaan lähinnä tilanteissa, joissa halutaan yhdellä kaavarivillä esittää useamman yhtäsuuruuden kokonaisuus: Muuttujan x arvo voidaan laskea seuraavasti: x = f(x) g(x) = 2x2 3x = 2 0, Yhtälöiden välisiä ekvivalensseja ei kuitenkaan koskaan esitetä tällaisia rakenteina, vaan yhtälöiden väliset ekvivalenssit tuodaan esiin selittävällä välitekstillä, kuten Tämän perusteella saadaan yhtälö..., Täten...,..., mistä nähdään, että... tai esimerkiksi Näin on johdettu tulos.... Jos tunnet itsesi epävarmaksi kielenkäyttäjäksi, pyri lyhyisiin virkkeisiin. Esityksen sujuvuus voi tästä kärsiä, mutta se on selvyyden rinnalla toisarvoista. Suomenkielisestä matematiikan perusterminologiasta, joka on vakiintunut mm. luentokursseilla, on syytä pitää kiinni. Esimerkiksi object function on kohdefunktio ja linear programming on lineaarinen optimointi. Sanan nondecreasing sananmukaista käännöstä ei-vähenevä voidaan pitää kankeana ilmauksena; parempi on kasvava. Ilmaus strictly non-decreasing olisi vastaavasti aidosti kasvava. Jos vastaan tulee uusia käsitteitä, niiden suomentamisesta voi neuvotella ohjaajan kanssa. Sanojen lyhenteitä (esimerkiksi ody, Newtonin men., Esim., Määr., Tod.) ei yleensä pidä käyttää. Voidaan kuitenkin kirjoittaa esimerkiksi pns-menetelmä sen jälkeen, kun on ensin esitelty täydellinen nimi ja siitä käytettävä lyhenne: Pienimmän neliösumman menetelmä (pns-menetelmä) on Viittaustekniikat Lähdeteoksiin viittaaminen Kaikki työssä käytetyt lähteet on mainittava. Kuhunkin lähteeseen viitataan työn siinä kohdassa, jossa tätä lähdettä on käytetty. Kaikki lähteet kerätään työn loppuun kirjallisuusluetteloksi, vaikka lähteitä olisi vain yksikin. Kirjallisuusluettelo ei ole vain luettelo aiheeseen liittyvää kirjallisuutta, vaan jokaiseen luettelon lähteeseen on tekstissä viitattava ainakin kerran. Lähteiden käyttö voidaan esitellä tapauskohtaisesti: Lauseen todistus on esitetty kirjassa.... Jos yksittäistä lausetta laajempi kokonaisuus perustuu tiettyyn 9

10 lähteeseen, voidaan lähteiden käyttöä esitellä myös johdannossa tai kunkin luvun alussa, esimerkiksi: Tässä luvussa todistetaan Hahnin ja Banachin lause mukaillen Rudinin kirjan [3] esitystapaa. Johdannossa tai kunkin luvun alussa on tuotava esiin myös itsenäisen työn osuus. Kirjaan viitattaessa on kirjallisuusluettelossa mainittava kirjan kirjoittajat, kirjan nimi, kustantaja, painopaikka ja -vuosi. Tieteelliseen artikkeliin viitattaessa on mainittava artikkelin kirjoittajat, artikkelin nimi, julkaisuvuosi, lehden nimi ja volyymi sekä sivut, joilla juuri kyseinen artikkeli on. Internet-lähteeseen viitattaessa on mainittava ainakin sivuston otsikko, mahdolliset kirjoittajien nimet, osoite, sekä päivämäärä, jolloin sivu on luettu. Internetlähteitä käytettäessä on tarkoin harkittava, missä tilanteessa erilaisia lähteitä on soveliasta käyttää tieteellisen tekstin lähteenä. Esimerkiksi yliopistollisen tutkimusryhmän tai Tilastokeskuksen www-sivut sopivat tietolähteeksi useimmiten, mutta Vauva-lehden keskustelupalsta ei sovi juuri koskaan. Hankala rajatapaus on Wikipedia, joka on näppärä työkalu uusiin asioihin tutustumisessa, mutta joka vapaan muokattavuutensa ei ole luotettava tai muuttumaton tietolähde. Wikipedian käyttöä lähteenä tulisi siis pyrkiä välttämään. Wikipedian artikkeleissa on kuitenkin usein hyvät lähdeviitteet, joiden avulla on mahdollista päästä tiedon alkulähteille ja löytää luotettavampia lähteitä tutkielmassa käytettäväksi. Viitauksiin käytettävän tekniikan sekä kirjallisuusluettelon ulkoasun voi valita vapaasti, kunhan ne ovat yksiselitteisiä, johdonmukaisia ja helppolukuisia. Yleensä on helpointa käyttää L A TEX-ohjelman valmiita työkaluja. Kuvat, taulukot ja matemaattiset rakenteet Matemaattiset kaavat ovat aina osa normaalia tekstiä ja yhdistyvät normaalin tekstin virkkeiden lauserakenteeseen. Täten varsinainen viittaaminen kaavoihin on tarpeen ainoastaan silloin, kun halutaan käyttää uudelleen aiemmin tekstissä esiintynyttä kaavaa. Näissä tilanteissa kaava sijoitetaan omalle kaavarivilleen ja numeroidaan viittausta varten. Kaavaan viitattaessa on tapana kirjoittaa kaavan numero kaarisulkeisiin: Kuten epäyhtälöstä (5) nähdään.... Kaavarivien numerointiin ja kaavoihin viittaamiseen kannattaa käyttää L A TEX-ohjelman automaattisia työkaluja. Tärkeimmät matemaattiset tulokset muotoillaan usein lauseiksi tai apulauseiksi eli lemmoiksi, jotka numeroidaan viittauksia varten. Niihin viitattaessa ei lauseen tai lemman numeroa laiteta sulkeisiin erotuksena numeroituihin kaavariveihin viittaamisesta. Lause 3 tai kuva 7 eivät ole erisnimiä, eikä niitä siis kirjoiteta isolla alkukirjaimella muulloin kuin virkkeen alussa. Samat ohjeet koskevat numeroituihin esimerkkeihin viittaamista. Nämäkin muotoilut ja viittaukset onnistuvat L A TEX-ohjelman automaattisilla työkaluilla. Viittaukset kuviin eivät koskaan perustu kuvan asemointiin tekstissä ( Vasemmalla olevasta kuvasta nähdään... ), vaan kuvan alle tulee kuvateksti, joka alkaa esimerkiksi Kuva 3. Funktion f kuvaaja.... Varsinaisesssa tekstissä kuvaan viitataan numeron avulla ( Kuten kuvasta 3 nähdään... ). Kuvatekstissä on kerrottava 10

11 kuvan sisällöstä niin laajasti, että kuvan sisällöstä voi saada yleiskuvan lukematta varsinaista tekstiä. Lisäksi voidaan listata yksityiskohtia, kuten parametriarvoja, jotka sivuutetaan varsinaisessa tekstissä. Näin toimittaessa hoituu kuvien ladonta tekstin joukkoon helposti, sillä se tapahtuu kokonaan L A TEX-ohjelman automaattisten työkalujen avulla. Täysin vastaavaan tapaan toimitaan taulukoiden kanssa. Mikäli taulukko on niin suuri, ettei se sovi normaalille tekstisivulle, on useimmiten paras vaihtoehto sijoittaa taulukko työn loppuun erilliseksi liitteeksi, jolloin siihen voidaan viitata esimerkiksi seuraavasti: Liitteen A taulukosta havaitaan, että.... Liitteen alussa on luonnollisesti myös kuvattava sen sisältämää taulukkoa riittävästi, jotta taulukon sisällöstä voi saada yleiskuvan myös varsinaista tekstiä lukematta. 9 Havainnollisten kuvien laatiminen Matematiikassa ja tilastotieteessä informaatiota voidaan välittää usein tekstin, kaavojen ja taulukoiden lisäksi käyttämällä hyödyksi kuvia ja diagrammeja. Usein paras keino välittää informaatiota on käyttää kaikkia menetelmiä toisiaan tukien. Kuvan tarkoituksena on esittää data, menetelmä tai analyysin tulokset helposti omaksuttavassa muodossa siten, että informaatio välittyy ilman lisäselvitystä työn tekstiosiosta. Grafiikka ei kuitenkaan saa jäädä tieteellisessä työssä irralliseksi objektiksi vaan jokaiseen kuvaan täytyy viitata tekstiosiossa. Jokaiseen kuvaan tulee myös kirjoittaa kuvateksti, jossa selitetään mitä kuvaan on piirretty. Hyvien kuvien laatiminen on usein hyvin hidasta, mutta niihin kannattaa panostaa, sillä kuvien avulla keskeinen informaatio välittyy nopeasti ja usein juuri graafinen esitys jää lukijalle hyvin mieleen. Mieti etukäteen mitä informaatiota haluat välittää kuvan avulla. Jokaisen kuvan osan täytyy olla oleellinen, joten piirrä se mahdollisimman yksinkertaiseksi. Turhat objektit kuvassa vievät pois huomiota kuvan pääkohdista. Kiinnitä huomiota kuvasi akseleihin ja niiden skaaloihin. Mieti saisitko ilmaistua haluamasi tulokset paremmin käyttäen jollakin muulla skaalalla kuten esimerkiksi logaritmisella asteikolla tai yksinkertaisesti piirtämällä kuvasta ainoastaan pienen osan. Nykyisin kuvien piirtäminen on nopeampaa kuin aiemmin, sillä kuvat laaditaan usein käyttäen hyväksi tieteellisen laskennan ohjelmistoja kuten R:ää tai MATLABia. Ohjelmistojen piirtofunktioiden oletusasetukset eivät kuitenkaan välttämättä tuota parhaita mahdollisia kuvia haluamasi informaation välittämiseen. Kannattaakin tutustua käyttämäsi ohjelmiston grafiikan tuottamisen työkaluihin. Lähes jokaisessa ohjelmassa pääset muokkaamaan ohjelman tuottamia kuvia omia tarpeitasi varten. Usein informaatiota esitetään erilaisin symbolein tai käyrin. Kiinnitä huomiota näiden kokoihin, tyyppeihin ja väreihin. Värien hyödyntäminen informaation välityksessä kuvassa on usein suotavaa, mutta erityisesti opinnäytetöissä kuvan tulee toimia myös mustavalkotulosteena. Kuvasta täytyy käydä ilmi mitä kuvan objektit tarkoittavat. Usein eri menetelmien antamia tuloksia vertaillaan piirtämällä tulokset erilaisina objekteina samaan kuvaan. Kuvasta tai kuvan selitteestä (eng. legend) täytyy käydä ilmi mikä objekti 11

12 vastaa mitäkin menetelmää. Kun kirjoitat kuvaan tekstiä, nimeät kuvan akseleita tai lisäät kuvaan selitteen, niin kiinnitä huomiota käyttämiisi fontteihin. Suurenna tai pienennä fontteja tarvittaessa ottaen huomioon miltä kuva tulee näyttämään osana tekstiä. Yritä mahdollisuuksien mukaan kirjoittaa kuvan tekstit vaakatasoon, jolloin niiden lukeminen on helpompaa. Erityisesti tieteellisen laskennan ohjelmistot oletusarvoisesti kirjoittavat pystysuoran akselin otsikon pystysuoraan, mutta tämä voidaan lähes aina muuttaa vaakasuoraksi piirtoasetusten avulla. Liittäessäsi kuvan osaksi tieteellistä tekstiä, ota kuvallisista sivuista tulosteet jolloin näet miten kuva toimii tulostettuna, ja pitäisikö kuvan kokoa muuttaa. Tarkasta myös, että kuvissa käytetyt kirjasinkoot ovat niin suuria, että kuviin kuuluvat symbolit ja tekstit ovat helposti luettavissa myös tulostetusta kuvasta. Käytännössä kuvien kirjasinkoko kannattaa pyrkiä säätämään samaksi kuin tavallisen tekstin kirjasinkoko. Kuvan koon tulee olla suhteessa kuvan välittämään informaatioon. Jos pienemmällä kuvalla saisit välitettyä selkeästi haluamasi viestin, niin pienennä kuvaa. Muista lopuksi tarkastaa, että piirtämäsi kuva todella tukee tekemiäsi johtopäätöksiä. 10 Käytännön vinkkejä työn helpottamiseksi Käytä L A TEX-ohjelmaa. Ensimmäisten sivujen kirjoittaminen on vaativaa, mutta kun ohjelman käytön oppii, työ käy helposti eikä ikäviä yllätyksiä juurikaan tule. Aloita työskentely hakemalla L A TEX-ohjelmaan valmis ainepohja laitoksen www-sivuilta. Tästä dokumentista voit kopioida omaan käyttöösi useimmat tarvitsemasi L A TEX-rakenteet. Hyödynnä muutenkin laitoksen L A TEX-sivuja työssäsi. Työskennellessäsi suorita lähdekoodin L A TEX-käännös mahdollisimman usein. Lähdekoodissa oleva yksittäinen virhe voidaan yleensä löytää ja korjata virheilmoitusten perusteella helposti, mutta useamman virheen samanaikainen paikallistaminen on huomattavasti vaativampaa. Korjaa lähdekoodin virheet aina välittömästi virheilmoituksen saatuasi, vaikka esikatseltava tiedosto näyttäisikin oikealta. Opettele käyttämään L A TEX-ohjelman automaattisia ladonta-, numerointi- ja viittaustyökaluja. Tähän opetteluun käytetyn ajan saat moninkertaisena takaisin työn edetessä. Myös laitoksen ainepohjassa on esimerkkejä tärkeimpien työkalujen käytöstä. Muista, että ohjaajasi ei suinkaan oleta sinun osaavan kirjoittaa täydellistä matemaattista tekstiä heti työn aloittessasi, vaan tämän taidon oppiminen on yksi kirjallisten töiden tärkeimmistä tavoitteista. Ohjaajasi ei toimi pelkästään valmiin työn tarkastajana, vaan hänen tehtävänään on olla opastajasi tämän oppimisprosessin aikana. Hyödynnä siis ohjaajaasi, ja kysy rohkeasti asioista, jotka eivät tunnu omalla pohtimisella selviävän. 12

Matematiikan kirjoittamisesta

Matematiikan kirjoittamisesta Matematiikan kirjoittamisesta Asiasisältö Tärkeintä kaikessa on, että kaiken minkä kirjoitat, niin myös itse ymmärrät. Toisin sanoen asiasisällön on vastattava lukijan pohjatietoja. Tekstin täytyy olla

Lisätiedot

Matematiikan kirjallinen viestintä ja tieteellinen tiedonhankinta

Matematiikan kirjallinen viestintä ja tieteellinen tiedonhankinta Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 1/6 Matematiikan kirjallinen viestintä ja tieteellinen tiedonhankinta Tuomas Nurmi tuilnu@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Matemaattinen

Lisätiedot

AINEIDEN JA TUTKIELMIEN KIRJOITTAJALLE

AINEIDEN JA TUTKIELMIEN KIRJOITTAJALLE OULUN YLIOPISTO Matemaattisten tieteiden laitos AINEIDEN JA TUTKIELMIEN KIRJOITTAJALLE 1. Millainen tehtävä aineenkirjoitus on Aineiden ja tutkielmien tarkoitus on opettaa käyttämään matemaattista kirjallisuutta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Ohje tutkielman tekemiseen

Ohje tutkielman tekemiseen Sauvon koulukeskus 2011 Ohje tutkielman tekemiseen Aiheen valinta Etsi materiaalia Valitse itseäsi kiinnostava aihe. Sovi opettajan kanssa aiheen rajaus. Pyydä opettajalta tutkielmapassiin merkintä aiheen

Lisätiedot

Pääluvun tekstin jälkeen tuleva alaotsikko erotetaan kahdella (2) enterin painalluksella,väliin jää siis yksi tyhjä rivi.

Pääluvun tekstin jälkeen tuleva alaotsikko erotetaan kahdella (2) enterin painalluksella,väliin jää siis yksi tyhjä rivi. KIRJALLISEN TYÖN ULKOASU JA LÄHTEIDEN MERKITSEMINEN Tämä ohje on tehty käytettäväksi kasvatustieteiden tiedekunnan opinnoissa tehtäviin kirjallisiin töihin. Töiden ohjaajilla voi kuitenkin olla omia toivomuksiaan

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Lausuminen kertoo sanojen määrän

Lausuminen kertoo sanojen määrän Sivu 1/5 Lausuminen kertoo sanojen määrän Monta osaa Miten selvä ero Rinnasteiset ilmaisut Yhdyssana on ilmaisu, jossa yksi sana sisältää osinaan kaksi sanaa tai enemmän. Puhutussa kielessä tätä vastaa

Lisätiedot

Automaatit. Muodolliset kielet

Automaatit. Muodolliset kielet Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa

Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa Haasteita opettajalle lukion lyhyen matematiikan opetuksessa ovat havainnollistaminen ja riittämätön aika. Oppitunnin aikana opettaja joutuu usein palamaan

Lisätiedot

83450 Internetin verkkotekniikat, kevät 2002 Tutkielma

83450 Internetin verkkotekniikat, kevät 2002 Tutkielma <Aihe> 83450 Internetin verkkotekniikat, kevät 2002 Tutkielma TTKK 83450 Internetin verkkotekniikat Tekijät: Ryhmän nro:

Lisätiedot

TT00AA12-2016 - Ohjelmoinnin jatko (TT10S1ECD)

TT00AA12-2016 - Ohjelmoinnin jatko (TT10S1ECD) TT00AA12-2016 - Ohjelmoinnin jatko (TT10S1ECD) Ohjelmointikäytännöt 21/3/11 Mikko Vuorinen Metropolia Ammattikorkeakoulu 1 Sisältö 1) Mitä on hyvä koodi? 2) Ohjelmointikäytäntöjen merkitys? 3) Koodin asettelu

Lisätiedot

MONOGRAFIAN KIRJOITTAMINEN. Pertti Alasuutari

MONOGRAFIAN KIRJOITTAMINEN. Pertti Alasuutari MONOGRAFIAN KIRJOITTAMINEN Pertti Alasuutari Lyhyt kuvaus Monografia koostuu kolmesta pääosasta: 1. Johdantoluku 2. Sisältöluvut 3. Päätäntäluku Lyhyt kuvaus Yksittäinen luku koostuu kolmesta osasta

Lisätiedot

AS-84.3400 Automaatiotekniikan seminaarikurssi. Kevät 2008

AS-84.3400 Automaatiotekniikan seminaarikurssi. Kevät 2008 AS-84.3400 Automaatiotekniikan seminaarikurssi Kevät 2008 Kurssin tavoitteet Konferenssisimulaatio Harjoitella tieteellisen tekstin / raportin kirjoittamista Harjoitella tiedon etsimistä ja viittaamista

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi

Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi Mia Peltomäki Kupittaan lukio ja Turun yliopiston IT-laitos http://crest.abo.fi /Imped Virtuaalikoulupäivät 24. marraskuuta 2009 1 Taustaa Todistukset muodostavat

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

Verkkokirjoittaminen. Verkkolukeminen

Verkkokirjoittaminen. Verkkolukeminen 0 Nopeaa silmäilyä: Pääotsikot, kuvat, kuvatekstit, väliotsikot, linkit, luettelot, korostukset. 0 Hitaampaa kuin paperilla olevan tekstin lukeminen 0 F-tyyppinen lukeminen Verkkolukeminen Verkkokirjoittaminen

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

TIES501 Pro Gradu seminaari Tieteellisestä kirjoittamisesta

TIES501 Pro Gradu seminaari Tieteellisestä kirjoittamisesta TIES501 Pro Gradu seminaari Tieteellisestä kirjoittamisesta Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi Syksy 2013 Sisältö Miksi kirjoittamiseen panostaminen on tärkeää? Käydään läpi seuraavia osa-alueita Rakenne

Lisätiedot

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5 ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra

Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Mitä on algebra? Algebra on aritmetiikan yleistys. Algebrassa siirrytään operoimaan lukujen sijaan niiden ominaisuuksilla.

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen

LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen LABORAATIOSELOSTUSTEN OHJE H. Honkanen Tämä ohje täydentää ja täsmentää osaltaan selostuskäytäntöä laboraatioiden osalta. Yleinen ohje työselostuksista löytyy intranetista, ohjeen on laatinut Eero Soininen

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

http://info.edu.turku.fi/mato/

http://info.edu.turku.fi/mato/ Matemaattisia VALOja Vapaita avoimen lähdekoodin ohjelmia matematiikan opettamiseen ja muuhun matemaattiseen käyttöön. http://info.edu.turku.fi/mato/ LaTeX ja Texmaker LaTeX on ladontaohjelmisto, joka

Lisätiedot

11.4. Context-free kielet 1 / 17

11.4. Context-free kielet 1 / 17 11.4. Context-free kielet 1 / 17 Määritelmä Tyypin 2 kielioppi (lauseyhteysvapaa, context free): jos jokainenp :n sääntö on muotoa A w, missäa V \V T jaw V. Context-free kielet ja kieliopit ovat tärkeitä

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit, kevät 2014

Sarjat ja integraalit, kevät 2014 Sarjat ja integraalit, kevät 2014 Peter Hästö 12. maaliskuuta 2014 Matemaattisten tieteiden laitos Osaamistavoitteet Kurssin onnistuneen suorittamisen jälkeen opiskelija osaa erottaa jatkuvuuden ja tasaisen

Lisätiedot

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite .. Ympäristön ja raja-arvon käsite Matematiikan opintojen tässä vaiheessa aletaan olla kiinnostavimpien sisältöjen laidassa. Tähänastiset pitkän matematiikan opinnot ovat olleet kuin valmistelua, jatkossa

Lisätiedot

Pilkut paikoilleen! Pilkutuksen pikaopas. www.translatum.fi

Pilkut paikoilleen! Pilkutuksen pikaopas. www.translatum.fi Pilkut paikoilleen! Pilkutuksen pikaopas Osaatko pilkkusäännöt? Milloin päälauseiden väliin tulee pilkku? Entä sivulauseiden? Jos mietit näitä asioita kirjoittaessasi, tästä esityksestä on hyötyä sinulle.

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 26.1.2011 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 26.1.2011 1 / 34 Luentopalaute kännykällä käynnissä! Ilmoittaudu mukaan lähettämällä ilmainen tekstiviesti Vast

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

Verkkokirjoittaminen. Anna Perttilä Tarja Chydenius

Verkkokirjoittaminen. Anna Perttilä Tarja Chydenius Verkkokirjoittaminen Anna Perttilä Tarja Chydenius 1 Suosi lyhyttä tekstiä 2 Kenelle kirjoitat 3 Helpota lukijan työtä; lajittele tekstisi 3.1 Otsikot 3.2 Johdanto 3.3 Väliotsikot 3.4 Pääteksti 4 Linkit:

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

Opinnäytetyön mallipohjan ohje

Opinnäytetyön mallipohjan ohje Opinnäytetyön mallipohjan ohje Sisällys 1 Johdanto 1 2 Mallin käyttöönotto 1 3 Otsikot 2 3.1 Luvun otsikko 3 3.2 Alalukujen otsikot 5 4 Tekstikappaleet 5 5 Kuvat ja kuviot 6 6 Taulukot 6 7 Lainaus 7 8

Lisätiedot

Kiipulan ammattiopisto. Liiketalous ja tietojenkäsittely. Erja Saarinen

Kiipulan ammattiopisto. Liiketalous ja tietojenkäsittely. Erja Saarinen Kiipulan ammattiopisto Liiketalous ja tietojenkäsittely Erja Saarinen 2 Sisällysluettelo 1. Johdanto... 3 2. Hyvät internetsivut... 3 3. Kuvien koko... 4 4. Sivujen lataus... 4 5. Sivukartta... 5 6. Sisältö...

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 27.1.2010 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 27.1.2010 1 / 37 If-käsky toistokäskyn sisällä def main(): HELLERAJA = 25.0 print "Anna lampotiloja, lopeta -300:lla."

Lisätiedot

Blogger-blogin käyttöönotto ja perusasiat Bloggerista & bloggauksesta

Blogger-blogin käyttöönotto ja perusasiat Bloggerista & bloggauksesta 1 Blogger-blogin käyttöönotto ja perusasiat Bloggerista & bloggauksesta Blogi on yhden tai useamman kirjoittajan verkkosivu tai -sivusto, jonka kautta voidaan julkaista omia kirjoituksia perinteisten julkaisukanavien

Lisätiedot

Taulukkolaskennan perusteet Taulukkolaskentaohjelmat

Taulukkolaskennan perusteet Taulukkolaskentaohjelmat Taulukkolaskennan perusteet Taulukkolaskentaohjelmat MS Excel ja LO Calc H6: Lomakkeen solujen visuaalisten ja sisältöominaisuuksien käsittely ja soluviittausten perusteet Taulukkolaskennan perusteita

Lisätiedot

SATAKUNNAN AMMATTIKORKEAKOULU. Hakala Toni Varpelaide Heidi TEKSTINKÄSITTELYN OHJEET CASE: OPINNÄYTETYÖN RAPORTOINTI WORDILLA

SATAKUNNAN AMMATTIKORKEAKOULU. Hakala Toni Varpelaide Heidi TEKSTINKÄSITTELYN OHJEET CASE: OPINNÄYTETYÖN RAPORTOINTI WORDILLA SATAKUNNAN AMMATTIKORKEAKOULU Hakala Toni Varpelaide Heidi TEKSTINKÄSITTELYN OHJEET CASE: OPINNÄYTETYÖN RAPORTOINTI WORDILLA Liiketalous ja tietojenkäsittely Huittinen Liiketalous Taloushallinto 2005 1

Lisätiedot

Kuvat Web-sivuilla. Keskitie:

Kuvat Web-sivuilla. Keskitie: Kuvat Web-sivuilla Nielsen: Web-sivun kuvitus on pyrittävä minimoimaan vasteajan takia. Kaikki perusteeton kuvitus on karsittava. Yksi kuva vastaa tuhatta sanaa vs Latausajassa yksi kuva vastaa kahta tuhatta

Lisätiedot

Maastotietokannan torrent-jakelun shapefile-tiedostojen purkaminen zip-arkistoista Windows-komentojonoilla

Maastotietokannan torrent-jakelun shapefile-tiedostojen purkaminen zip-arkistoista Windows-komentojonoilla Maastotietokannan torrent-jakelun shapefile-tiedostojen purkaminen zip-arkistoista Windows-komentojonoilla Viimeksi muokattu 5. toukokuuta 2012 Maastotietokannan torrent-jakeluun sisältyy yli 5000 zip-arkistoa,

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Lukemisen ja kirjoittamisen kompensoivat apuvälineet. Marja-Sisko Paloneva lukiapuvälineasiantuntija Datero

Lukemisen ja kirjoittamisen kompensoivat apuvälineet. Marja-Sisko Paloneva lukiapuvälineasiantuntija Datero Lukemisen ja kirjoittamisen kompensoivat apuvälineet lukiapuvälineasiantuntija Datero Esityksen sisältö Johdanto 1. Lukiapuvälinepalvelut Suomessa 2. Oppiminen ei ole vain lukemista ja kirjoittamista 3.

Lisätiedot

Tieteellisen artikkelin kirjoittaminen ja julkaiseminen

Tieteellisen artikkelin kirjoittaminen ja julkaiseminen Tieteellisen artikkelin kirjoittaminen ja julkaiseminen Dosentti Mikko Ketola Kirkkohistorian laitos Workshop tohtorikurssilla toukokuussa 2008 Teologinen tiedekunta Workshopin sisältö Miksi kirjoittaa

Lisätiedot

Luentoesimerkki: Riemannin integraali

Luentoesimerkki: Riemannin integraali Luentoesimerkki: Riemannin integraali Heikki Apiola, "New perpectives "-esitykseen lievästi muokattu Kurssi: Informaatioverkostot, keväällä Tässä (4..) käytetään "worksheet-modea", uudempaa "document mode"

Lisätiedot

Johdatus rakenteisiin dokumentteihin

Johdatus rakenteisiin dokumentteihin -RKGDWXVUDNHQWHLVLLQGRNXPHQWWHLKLQ 5DNHQWHLQHQGRNXPHQWWL= rakenteellinen dokumentti dokumentti, jossa erotetaan toisistaan dokumentin 1)VLVlOW, 2) UDNHQQHja 3) XONRDVX(tai esitystapa) jotakin systemaattista

Lisätiedot

Taulukkolaskennan perusteet Taulukkolaskentaohjelmat

Taulukkolaskennan perusteet Taulukkolaskentaohjelmat Taulukkolaskennan perusteet Taulukkolaskentaohjelmat MS Excel ja LO Calc H6: Lomakkeen solujen visuaalisten ja sisältöominaisuuksien käsittely ja soluviittausten perusteet Taulukkolaskennan perusteita

Lisätiedot

portfolion ohjeet ja arviointi

portfolion ohjeet ja arviointi 2015 portfolion ohjeet ja arviointi EIJA ARVOLA (5.10.2015) 2 Sisällysluettelo 1. TYÖPORTFOLIO (ei palauteta opettajalle)... 3 2. NÄYTEPORTFOLIO (palautetaan opettajalle)... 3 3. NÄYTEPORTFOLION SISÄLLÖN

Lisätiedot

KÄYTTÄJÄKOKEMUKSEN PERUSTEET, TIE-04100, SYKSY 2014. Käyttäjätutkimus ja käsitteellinen suunnittelu. Järjestelmän nimi. versio 1.0

KÄYTTÄJÄKOKEMUKSEN PERUSTEET, TIE-04100, SYKSY 2014. Käyttäjätutkimus ja käsitteellinen suunnittelu. Järjestelmän nimi. versio 1.0 KÄYTTÄJÄKOKEMUKSEN PERUSTEET, TIE-04100, SYKSY 2014 Käyttäjätutkimus ja käsitteellinen suunnittelu Järjestelmän nimi versio 1.0 Jakelu: Tulostettu: 201543 Samuli Hirvonen samuli.hirvonen@student.tut.fi

Lisätiedot

ETAPPI ry JOOMLA 2.5 Mediapaja. Artikkeleiden hallinta ja julkaisu

ETAPPI ry JOOMLA 2.5 Mediapaja. Artikkeleiden hallinta ja julkaisu ETAPPI ry JOOMLA 2.5 Artikkeleiden hallinta ja julkaisu ETAPPI ry JOOMLA 2.5 Sivu 1(16) Sisällysluettelo 1 Joomla! sivuston sisällöntuotanto... 2 2 Artikkeleiden julkaisu sivustolla... 4 3 Artikkelin julkaisemista

Lisätiedot

TEHTÄVÄN NIMI YHDELLE TAI USEAMMALLE RIVILLE FONTTIKOKO 24 Tarvittaessa alaotsikko fonttikoko 20

TEHTÄVÄN NIMI YHDELLE TAI USEAMMALLE RIVILLE FONTTIKOKO 24 Tarvittaessa alaotsikko fonttikoko 20 Etunimi Sukunimi fonttikoko 16 Ryhmätunnus TEHTÄVÄN NIMI YHDELLE TAI USEAMMALLE RIVILLE FONTTIKOKO 24 Tarvittaessa alaotsikko fonttikoko 20 Tehtävätyyppi Koulutusohjelma fonttikoko 16 Elokuu 2010 SISÄLTÖ

Lisätiedot

Harjoitus 1 -- Ratkaisut

Harjoitus 1 -- Ratkaisut Kun teet harjoitustyöselostuksia Mathematicalla, voit luoda selkkariin otsikon (ja mahdollisia alaotsikoita...) määräämällä soluille erilaisia tyylejä. Uuden solun tyyli määrätään painamalla ALT ja jokin

Lisätiedot

Lähteisiin viittaaminen ja lähdekritiikki

Lähteisiin viittaaminen ja lähdekritiikki Lähteisiin viittaaminen ja lähdekritiikki LÄHDEKRITIIKKI Lähdekritiikki on tiedonlähteiden arviointia. Lähdekritiikillä tarkoitetaan siis sen arvioimista, voiko tiedontuottajaan (siis esimerkiksi kirjan,

Lisätiedot

Kirjoitusohje Oped-Exo - ejulkaisulle

Kirjoitusohje Oped-Exo - ejulkaisulle No. Kirjoitusohje Oped-Exo - ejulkaisulle projektiassistentti Reima Kallinen Oped-Exo hanke Julkaistu 08.11.2004 (Muokattu 16.11.2004) Kallinen, R. Kirjoitusohje Oped-Exo-julkaisulle Julkaistu 08.11.2004

Lisätiedot

Kuvataiteesta kirjoittaminen ja Wikipedia

Kuvataiteesta kirjoittaminen ja Wikipedia Kuvataiteesta kirjoittaminen ja Wikipedia Heikki Kastemaa Wikiathlon, Kiasma 28.3.2015 Viisi pilaria Wikipedian käytännöt perustuvat tietosanakirjan, neutraalin näkökulman, vapaan aineiston, toisten käyttäjien

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

Moodle-oppimisympäristö

Moodle-oppimisympäristö k5kcaptivate Moodle-oppimisympäristö Opiskelijan opas Sisältö 1. Mikä on Moodle? 2. Mistä löydän Moodlen? 3. Kuinka muokkaan käyttäjätietojani? 4. Kuinka ilmoittaudun kurssille? 5. Kuinka käytän Moodlen

Lisätiedot

LuK/TkK-seminaari TKT/DI. Syksy 2008

LuK/TkK-seminaari TKT/DI. Syksy 2008 LuK/TkK-seminaari TKT/DI Syksy 2008 Tutkielman aiheen valinta Keskeinen onnistumiseen vaikuttava tekijä Aihe kannattaa valita sellaiselta alueelta, joka on ainakin osittain entuudestaan tuttu ja mielenkiintoiselta

Lisätiedot

UpdateIT 2010: Editorin käyttöohje

UpdateIT 2010: Editorin käyttöohje UpdateIT 2010: Editorin käyttöohje Käyttäjätuki: Suomen Golfpiste Oy Esterinportti 1 00240 HELSINKI Puhelin: (09) 1566 8800 Fax: (09) 1566 8801 E-mail: gp@golfpiste.com Sisällys Editorin käyttöohje...

Lisätiedot

Harjoituskerta 5. 30.11.2015 Yritysviestinnän perusteet A71A00100 Visa Penttilä

Harjoituskerta 5. 30.11.2015 Yritysviestinnän perusteet A71A00100 Visa Penttilä Harjoituskerta 5 Yritysviestinnän perusteet A71A00100 Visa Penttilä Agenda 1. Tiimitehtävät 2. Artikkelit 3. Ohjeistusta lopputyöhön 4. Ensi viikon luento Falkheimer & Heide (2015) Kolme keskeistä käsitettä

Lisätiedot

KAAVAT. Sisällysluettelo

KAAVAT. Sisällysluettelo Excel 2013 Kaavat Sisällysluettelo KAAVAT KAAVAT... 1 Kaavan tekeminen... 2 Kaavan tekeminen osoittamalla... 2 Kaavan kopioiminen... 3 Kaavan kirjoittaminen... 3 Summa-funktion lisääminen... 4 Suorat eli

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Yhteisen käytännön opas yhteisöjen säädöstekstien laatimiseksi ajantasaistaminen, huhtikuu 2009

Yhteisen käytännön opas yhteisöjen säädöstekstien laatimiseksi ajantasaistaminen, huhtikuu 2009 Yhteisen käytännön opas yhteisöjen säädöstekstien laatimiseksi ajantasaistaminen, huhtikuu 2009 (Muutokset koskevat painetun laitoksen sivuja seuraavan taulukon mukaisesti) Sivu Muutos 2 Korvataan Europa-palvelimen

Lisätiedot

Digitaaliset fysiikan ja kemian kokeet. Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 2.2.2015

Digitaaliset fysiikan ja kemian kokeet. Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 2.2.2015 Digitaaliset fysiikan ja kemian kokeet Tiina Tähkä Kemian jaoksen jäsen 2.2.2015 DIGABI ylioppilastutkinnon sähköistämisprojekti Mitä tiedämme nyt fysiikan ja kemian kokeista? Koe suoritetaan suljetussa

Lisätiedot

KEMI-TORNION AMMATTIKORKEAKOULU

KEMI-TORNION AMMATTIKORKEAKOULU KEMI-TORNION AMMATTIKORKEAKOULU Kirjallinen tehtävä Kirjallisen tehtävän laatimisen ohjeet ja mallipohja Jouko Uusitalo Ohje KEMI 2012 2 TIIVISTELMÄ KEMI-TORNION AMMATTIKORKEAKOULU, Koulutusala Tekijä(t):

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

1. Algoritmi 1.1 Sisällys Algoritmin määritelmä. Aiheen pariin johdatteleva esimerkki. Muuttujat ja operaatiot (sijoitus, aritmetiikka ja vertailu). Algoritmista ohjelmaksi. 1.2 Algoritmin määritelmä Ohjelmointi

Lisätiedot

8.1 Taulukot 8.2 Kuviot ja kuvat 8.3 Julkaisun rakennetta koskevat suositukset

8.1 Taulukot 8.2 Kuviot ja kuvat 8.3 Julkaisun rakennetta koskevat suositukset PKSHP JULKAISUOHJEET SISÄLLYSLUETTELO Toimintaperiaatteet Yleistä Kirjoitusohjeet o 1. Etukansi o 2. Nimiölehti o 3. Tekijämerkintä o 4. Kuvailulehti ja tiivistelmä o 5. Kirjallisuusluettelo ja -viitteet

Lisätiedot

Ryhmäkirjeen hyödyntäminen

Ryhmäkirjeen hyödyntäminen Ryhmäkirjeen hyödyntäminen hannele.rajaniemi@jyu.fi konkkola@cc.jyu.fi Sisältö Joukkokirje-toiminnon (Wordin ja Excelin yhteiskäytön) periaatteet Excel tietolähteenä tutuksi (valmis harjoitustiedosto)

Lisätiedot

Kouvolan iltalukio. Tutkielmakäytänteet. 27.10.2009 Päivi Hänninen

Kouvolan iltalukio. Tutkielmakäytänteet. 27.10.2009 Päivi Hänninen Kouvolan iltalukio Tutkielmakäytänteet Tutkielman osat 1. Kansilehti 2. (Tiivistelmä) 3. Sisällysluettelo 4. Käsittelyosa 5. Lähdeluettelo 6. Liitteet Sisällysluettelo Tutkielman luvut ja sivut numeroidaan.

Lisätiedot

Ohjeet tutkimussuunnitelman kirjoittamiseen

Ohjeet tutkimussuunnitelman kirjoittamiseen Ohjeet tutkimussuunnitelman kirjoittamiseen Marja Silenti FM, Timo Lenkkeri LK, DI Opiskelijanumero: 12345678 Helsinki 18.11.2005, viimeksi päivitetty 31.05.2011 Tutkimussuunnitelma Ohjaaja: HELSINGIN

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012

Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 1 Perusopetuksen matematiikan pitkittäisarviointi 2005-2012 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 2 Opetushallitus Koulutuksen seurantaraportti 2013:4 5.10.2015 MAOL RAUMA / JoJo 3 1

Lisätiedot

ISO SUOMEN KIELIOPPI S2- OPETUKSESSA. Muutama havainto

ISO SUOMEN KIELIOPPI S2- OPETUKSESSA. Muutama havainto ISO SUOMEN KIELIOPPI S2- OPETUKSESSA Muutama havainto Maisa Martin Alumnipäivä 26.9.2009 KOLME ASIAA Uusia termejä S2-alan näkökulmasta ja muutenkin Hyödyllisiä erotteluja Ope, mitä eroa on Mikä on tavallista?

Lisätiedot

Juha Haataja 4.10.2011

Juha Haataja 4.10.2011 METROPOLIA Taulukkolaskenta Perusteita Juha Haataja 4.10.2011 Lisätty SUMMA.JOS funktion käyttö (lopussa). Tavoite ja sisältö Tavoite Taulukkolaskennan peruskäytön hallinta Sisältö Työtila Omat kaavat,

Lisätiedot

OHJEITA TYÖSELOSTUKSEN LAATIMISEEN

OHJEITA TYÖSELOSTUKSEN LAATIMISEEN OHJEITA TYÖSELOSTUKSEN LAATIMISEEN Raportointi kuuluu tärkeänä osana jokaisen fyysikon työhön riippumatta siitä työskenteleekö hän tutkijana yliopistossa, opettajana koulussa vai teollisuuden palveluksessa.

Lisätiedot

etunimi, sukunimi ja opiskelijanumero ja näillä

etunimi, sukunimi ja opiskelijanumero ja näillä Sisällys 1. Algoritmi Algoritmin määritelmä. Aiheen pariin johdatteleva esimerkki. ja operaatiot (sijoitus, aritmetiikka ja vertailu). Algoritmista ohjelmaksi. 1.1 1.2 Algoritmin määritelmä Ohjelmointi

Lisätiedot

LUMA Suomi kehittämisohjelma 8.10.2015 14:53 Joustava yhtälönratkaisu Matemaattinen Ohjelmointi ja Yhtälönratkaisu

LUMA Suomi kehittämisohjelma 8.10.2015 14:53 Joustava yhtälönratkaisu Matemaattinen Ohjelmointi ja Yhtälönratkaisu (MOJYR) Sisällysluettelo (MOJYR)... 1 1. Taustaa... 1 2. MOJYR-ohjelma... 2 2.1 Ohjelman asentaminen... 2 2.2 Käyttöliittymä... 2 3. Puumalli... 3 4. MOJYR-ohjelman ominaisuudet... 5 4.1 Yhtälön muodostaminen...

Lisätiedot

Kirjoittaminen ja lukeminen

Kirjoittaminen ja lukeminen Kirjoittaminen ja lukeminen Miksi ihmeessä? Lukiossa on totuttu vain pienten tekstien kirjoittamiseen Laajemmat kirjoitukset ovat olleet yleensä proosaa. Lukiossa ja aiemmin on totuttu lukemaan Koululaisille

Lisätiedot

Kyselylomakkeiden käyttötapoja:

Kyselylomakkeiden käyttötapoja: Kyselylomakkeen laatiminen FSD / Yhteiskuntatieteellinen tietoarkisto Menetelmäopetuksen tietovaranto / KvantiMOTV http://www.fsd.uta.fi/menetelmaopetus/kyselylomake/laatiminen.html Tiivistelmän keskeiset

Lisätiedot

Lahden, Pohjois Karjalan ja Kemi Tornion AMK Effective Reading > 80 % 80 60 % 60 50 % < 50 % Suhteellinen osuus maksimiarvosta (%)

Lahden, Pohjois Karjalan ja Kemi Tornion AMK Effective Reading > 80 % 80 60 % 60 50 % < 50 % Suhteellinen osuus maksimiarvosta (%) Oppimisaihion arviointi / Arvioinnin tulos 9 Aineiston arvioinnin tulos arviointialueittain Lahden, Pohjois Karjalan ja Kemi Tornion AMK Effective Reading > 80 % 80 60 % 60 50 % < 50 % Arviointialue Ominaisuuksien

Lisätiedot

Esityslistojen kirjoituskoulu. Tuuli Aaltio

Esityslistojen kirjoituskoulu. Tuuli Aaltio Esityslistojen kirjoituskoulu Tuuli Aaltio Lähtökohta: Hallintolakiin sisältyvä hyvän kielenkäytön vaatimus: Viranomaisen on käytettävä asiallista, selkeää ja ymmärrettävää kieltä Avuksi listatekstin lukijalle:

Lisätiedot

Alberta Language and Development Questionnaire (ALDeQ) A. Varhaiskehitys Lapsen nimi

Alberta Language and Development Questionnaire (ALDeQ) A. Varhaiskehitys Lapsen nimi Alberta Language and Development Questionnaire (ALDeQ) A. Varhaiskehitys Lapsen nimi 1. Milloin lapsenne otti ensiaskeleensa? 2. Minkä ikäisenä lapsenne sanoi ensisanansa? Esimerkkejä ensisanoista (käännöksineen):

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

MONIKULTTUURISEN OPETUKSEN JA OHJAUKSEN HAASTEET. Selkokielen käyttö opetuksessa. Suvi Lehto-Lavikainen, Koulutuskeskus Salpaus

MONIKULTTUURISEN OPETUKSEN JA OHJAUKSEN HAASTEET. Selkokielen käyttö opetuksessa. Suvi Lehto-Lavikainen, Koulutuskeskus Salpaus MONIKULTTUURISEN OPETUKSEN JA OHJAUKSEN HAASTEET Selkokielen käyttö opetuksessa Suvi Lehto-Lavikainen, Koulutuskeskus Salpaus Ihmisten viestinnän epätarkkuus johtaa usein virheellisiin tulkintoihin keskusteluissa!

Lisätiedot

TIEDONHAKU INTERNETISTÄ

TIEDONHAKU INTERNETISTÄ TIEDONHAKU INTERNETISTÄ Internetistä löytyy hyvin paljon tietoa. Tietoa ei ole mitenkään järjestetty, joten tiedonhaku voi olla hankalaa. Tieto myös muuttuu jatkuvasti. Tänään tehty tiedonhaku ei anna

Lisätiedot

Asiakas ja tavoite. Tekninen toteutus

Asiakas ja tavoite. Tekninen toteutus Asiakas ja tavoite Heikieli on vuonna 2015 perustettu yhden hengen asiantuntijayritys, joka tarjoaa käännös- ja oikolukupalveluita englannista ja saksasta suomeksi. Freelance-kääntäjiä on Suomessa paljon,

Lisätiedot

Suomen kielen Osaamispyörä -työkalu

Suomen kielen Osaamispyörä -työkalu Suomen kielen Osaamispyörä -työkalu Tavoitteet Kohderyhmät Käyttö Suomen kielen Osaamispyörän tavoitteena on tehdä näkyväksi maahanmuuttajataustaisten työntekijöiden suomen kielen osaamista. Osaamispyörä

Lisätiedot

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1

Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 CSE-A1111 16.9.2015 CSE-A1111 Ohjelmoinnin peruskurssi Y1 16.9.2015 1 / 26 Mahdollisuus antaa luentopalautetta Goblinissa vasemmassa reunassa olevassa valikossa on valinta Luentopalaute.

Lisätiedot

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita 6. Harjoitusjakso II Seuraavaksi harjoitellaan algebrallisten syötteiden, komentojen ja funktioiden käyttöä GeoGebrassa. Tarjolla on ensimmäisen harjoittelujakson tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso

Lisätiedot

C++ Ohjelmoijan käsikirja. Johdanto

C++ Ohjelmoijan käsikirja. Johdanto Johdanto C++ Ohjelmoijan käsikirja Johdanto Tervetuloa Inside C++-kirjan pariin. Tämä on opaskirja standardi C++:n käyttöön. Käsittelemme kirjassa kaikki syntaksin, kieliopin, olio-ohjelmoinnin ja standardikirjastojen

Lisätiedot

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit 1 Logiikkaa Tieteessä ja jokapäiväisessä elämässä joudutaan tekemään päätelmiä. Logiikassa tutkimuskohteena on juuri päättelyt. Sen sijaan päätelmien sisältöön ei niinkäään kiinnitetä huomiota. Päätelmät

Lisätiedot

TIETOKONE JA TIETOVERKOT TYÖVÄLINEENÄ

TIETOKONE JA TIETOVERKOT TYÖVÄLINEENÄ 1 Kuva 1 Sakari Järvenpää sakari.o.a.jarvenpaa@student.jyu.fi TIETOKONE JA TIETOVERKOT TYÖVÄLINEENÄ 28.3.16 2 Sisällys 1 Kaaviot... 3 1.1 Kaavion osat... 3 1.2 Kaavion tekeminen... 4 1.3 Kaavion muokkaaminen...

Lisätiedot