Opas matemaattisen tekstin kirjoittamiseen

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Opas matemaattisen tekstin kirjoittamiseen"

Transkriptio

1 Opas matemaattisen tekstin kirjoittamiseen Tuomas Nurmi, Henri Pesonen ja Heikki Ruskeepää Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 1 Matemaattinen teksti Hyvän matematiikkaa sisältävän tekstin kirjoittamisen ehdoton edellytys on aina käsiteltävän asian syvällinen ymmärtäminen. Mutta pelkkä matemaattinen osaaminen ei edes yhdessä tavanomaisen kieliopin hallinnankaan kanssa takaa sitä, että kirjoitettava matemaattinen teksti olisi helppolukuista ja yksiselitteistä. Hyvän matemaattisen tekstin tuottaminen vaatiikin huomattavasti enemmän ponnistelua ja harkintaa kuin tavanomaisen asiatekstin tuottaminen. Matemaattisten kaavojen ladonnan takia myös tavanomaiset tekstinkäsittelyohjelmat soveltuvat huonosti matemaattisen tekstin tuottamiseen. Kaavaeditorilla pystyy toki tuottamaan kaavoja, mutta niiden muotoilu ja viimeistely on kohtuuttoman työlästä. Paras vaihtoehto matemaattisen tekstin tuottamiseen on L A TEXladontaohjelma, josta on saatavilla lukuisia erilaisia ilmaisversioita. Sen käyttö vaatii ensialkuun hieman totuttelua, mutta opettelun jälkeen se on ohjelmistoista helppokäyttöisin ja luotettavin. Matemaattiseen tekstiin tuottamiseen liittyy usein myös käsiteltävää asiaa havainnollistavien kuvien tekeminen, mihin soveltuvia ohjelmia ovat esimerkiksi R- studio, GeoGebra, MATLAB ja Sage, joiden käyttö opetetaan muun opetuksen yhteydessä. Lisäksi yleiseen matemaattiseen ja tilastotieteelliseen työskentelyyn, erityisesti symboliseen laskentaan, sopii Mathematica, jonka käyttöä esitellään tällä kurssilla. 2 Kirjallisten töiden tavoitteet Kirjallisten töiden laatimisessa on tavoitteena opetella kirjoittamaan matemaattista tekstiä, harjoitella itsenäistä matemaattista tai tilastotieteellistä työskentelyä, tottua vieraskielisen tieteellisen kirjallisuuden käyttöön ja oppia matematiikka tai tilastotiedettä 1

2 Kannattaa huomata, että kyseessä on todella opettelu: matemaattisen tekstin kirjoittaminen voi olla aluksi vaikeaa ja työn ohjaaja löytää luultavasti paljon korjattavaa, mutta tarkoitus onkin aktiivisesti opetella matemaattista kirjoittamista. Aineen ja tutkielmien kirjoittamisessa on olennaista myös se, että tarkasteltavasta asiasta luodaan oma esitys. Pelkästään kääntämällä virkkeet suomeksi ei synny kunnollista ainetta, koska silloin on todellakin kysymys vain käännöksestä: asia on jäänyt ilmaisematta omin sanoin. Aine tai tutkielma ei koskaan synny ensikirjoittamalla, vaan tarvitaan useita muokkausvaiheita, kunnes esitys on oman käsityksesi mukaan parhaassa muodossa asiasisällön ja rakenteen kannalta. Itsenäistä kirjoitustyötä tarvitaan aina myös sen takia, että aineesta tai tutkielmasta on aina kirjoitettava oma rakenteellisesti yhtenäinen kokonaisuutensa, mikä on yleensä mahdotonta suoraan lähdemateriaalia kääntämällä. Aineen lähdeaineisto on usein esimerkiksi kirjan luku, jota saattaa olla tarpeen karsia, mutta jota on samalla kuitenkin täydennettävä järkevän kokonaisuuden muodostamiseksi esimerkiksi lisäämällä johdanto, yhteenveto tai vaikkapa esimerkkejä. Tutkielmissa taas ohjaajan antama lähdemateriaali saattaa koostua useista eri kirjojen luvuista tai tieteellisistä artikkeleista. Lisäksi materiaalia on usein tarpeen etsiä lisää itsenäisesti. Työtä aloitettaessa kannattaa tutustua laitoksen www-sivuilla oleviin malliaineisiin ja muuhun matemaattista kirjoittamista käsittelevään materiaaliin. 3 Työskentelyn vaiheet Aineen tai tutkielman aihe sovitaan yhdessä ohjaajan kanssa. Ohjaaja antaa opiskelijalle materiaalin, jonka avulla tämä pääsee työnsä alkuun. Aiheeseen perehtyminen. Perehdy materiaaliisi huolellisesti, ennen kuin harkitsetkaan kirjoitustyön aloittamista. Tutkielmien tekoon kuuluu olennaisena osana myös lisämateriaalin etsiminen itse ja usein jopa oman pienimuotoisen tutkimustyön tekeminen. Myös ainetta tehdessä voi aiheen ymmärtämiseksi joskus olla tarpeen hankkia lisämateriaalia (esimerkiksi lähdekirjan aiempi luku). Laadi materiaalistasi muistiinpanoja ja pohdi, mitä sisällytät omaan tekstiisi ja miten asiat esität. Jos jotkin kohdat materiaalissa tuntuvat liian hankalilta, voi ohjaajalta kysyä apua. Tilastotieteen tutkielmissa tähän vaiheeseen kuuluu luonnollisesti myös tutkittavan aineiston analysointi. Oman esityksen suunnittelu. Suunnittele esityksestäsi itsenäinen ja yhtenäinen kokonaisuus. Pohdi, mitä asioita on hyvä ottaa mukaan ja mitä taas voi jättää pois ja millaisen rakenteen esitykseesi laadit. Pohdi myös, millaisia taustatietoja esityksesi edellyttää lukijalta, ja pyri tekemään esityksestäsi tällaiselle lukijalle helppolukuinen. Kirjoitustyö. Ennen kirjoitustyön aloittamista kannattaa käydä keskustelemassa ohjaajan kanssa suunnitelmasta. Kirjoitustyön aikana on edelleen hy- 2

3 vä pitää mielessä se, että tarkoituksena on laatia aiheesta oma esitys, ei lähdemateriaalin käännöstä, ja varoa englanninkielisten sanamuotojen ja lauserakenteiden lipsahtamista tekstiin. Ja edelleen kirjoitustyö. Matemaattista tekstiä kirjoitettaessa ei valmista yleensä tule kerralla, vaan tekstiä kannattaa itse oikolukea ja miettiä omia valintoja ilmaisu- ja sanamuodoiksi. Tällaista tekstin prosessointia on harrastettava jo ennen kuin vie esitystään ohjaajalle, ja se mitä luultavimmin jatkuu vielä yhdessä ohjaajan kanssa. 4 Kirjallisen esityksen rakenne Esityksen hyvin laadittu rakenne helpottaa tekstin lukemista ja tiedon hakua esityksestä. Käytettävät erikoistermit ja merkinnät on esiteltävä tai määriteltävä ennen kuin niitä ensimmäisen kerran käytetään. Esityksen tulisi edetä loogisesti ja suoraviivaisesti, jottei lukijan tarvitse siirtyä edestakaisin sivulta toiselle esitystä ymmärtääkseen. Jokaisen matemaattisen esityksen tulisi alkaa johdannolla, jossa selvitetään esitettävien tulosten merkitys, mahdollisesti historiaakin, ja sijoitetaan ne tieteelliseen kontekstiinsa. Hyvän johdannon kirjoittaminen on usein työn osa-alueista vaativimpia. Laajempien esitysten loppuun on yleensä tarpeen sijoittaa jonkinlainen yhteenveto- ja pohdiskeluosuus. Esityksen laajuudesta riippuu myös, onko tarpeen liittää mukaan sisällysluetteloa. Teksti on jaettava riittävän lyhyiksi kappaleiksi, joista kukin käsittelee kyllin suppean kokonaisuuden. Kappaleet erotetaan toisistaan sisentämällä alkavan kappaleen ensimmäistä riviä. Nykyään yleistynyt ja monilla muilla tieteenaloilla tavallinen käytäntö erottaa kappaleet ylimääräisellä rivinvaihdolla ei matemaattisissa teksteissä ole riittävän selkeä, sillä kaavarivit tekevät rivityksestä jo muutenkin epäyhtenäistä. Kun muuntelet lähteen tekstiä esimerkiksi lisäämällä perusteluja ja selityksiä, niin vaarana on liian pitkien ja sekavien lauseiden ja kappaleiden muodostuminen. Voit joutua rakentamaan tällaisen kohdan kokonaan uudestaan käyttämällä lyhyempiä virkkeitä ja kappaleita. 5 Kirjoitusvaihe Ennen kuin kirjoitat, on sinun ymmärrettävä asia, josta olet kirjoittamassa. Jos lähdeaineistossa on vaikealta tuntuvia kohtia, kannattaa niistä keskustella ohjaajan kanssa ennen kirjoitustyön aloittamista. Kun ryhdyt kirjoittamaan ensimmäistä versiota itse aineesta, muista, että et kirjoita itsellesi vaan toiselle lukijalle. Kirjoita niin, että esimerkiksi opiskelutoverisi voisivat ymmärtää tekstisi. Matemaattisen tekstin kirjoituksessa on siis otettava huomioon seuraavat kaksi ymmärtämiseen liittyvää asiaa. Ensinnäkin kirjoittajan tulee ymmärtää kirjoitta- 3

4 mansa asia. Toiseksi kirjoittajan on esitettävä asiansa niin selkeästi, että lukijakin ymmärtää asian. Tärkeää on johdatella lukijaa seuraavan tapaisilla lauseilla: Näin ollen riittää osoittaa, että...,..., mikä todistetaan seuraavassa, Näin on todistettu kaava.... Älä jätä lukijaa epävarmaksi siitä, ollaanko parhaillaan perustelemassa edellä ollutta tulosta vai johtamassa jäljempänä seuraavaa tulosta. Kerro selvästi, mitkä ovat oletuksia ja mitkä tuloksia. Lauseen todistuksessa on hyvä korostaa todistuksen rakennetta ja niitä keskeisiä ideoita, jotka tekevät todistuksesta toimivan. Jos todistuksen jokin vaihe jätetään väliin, niin on hyvä mainita jotakin tämän vaiheen vaikeudesta tai helppoudesta. Jos todistus on pitkä, kannattaa harkita sen jakamista usean lemman sarjaksi. Jos oletuksia on useita, älä sano, että oletuksista seuraa..., vaan kerro kussakin kohdassa juuri se oletus tai ne oletukset, joita siinä kohdassa käytetään. Korosta päätuloksia tai keskeisiä asioita ( Todistetaan seuraava päätulos. ). Tulkitse tuloksia ja niiden merkitystä riittävän yksityiskohtaisesti. Lähteissä voi olla paljon puutteita näissä suhteissa. Matemaattisen esityksen kirjoittamisessa pätevät normaalit ns. asiaproosan kirjoittamista koskevat säännöt. Esikuviksi kelpaavat monet matematiikan kirjat, eivät sitä vastoin yleensä luentomonisteet tai lukion oppikirjat. Hyvä asiateksti on yksinkertaista ja ytimekästä, vailla turhaa hienostelua. Aine on kirjoitettava niin, että se muodostuu täydellisistä virkkeistä, joiden luonteviksi osiksi myös matemaattiset lausekkeet ja kaavat niveltyvät. Lue aina kirjoittamasi virke kaikkine matemaattisine ilmaisuineen itsellesi. Näin tulee tarkistetuksi, onko se oikein muodostettu. Kun kirjoitat omaa matemaattista tekstiä (vaikkapa ratkaiset harjoitustehtävän ja sijoitat sen esimerkiksi), pidä huoli, että tyyli säilyy moitteettomana: esityksen on edelleenkin muodostuttava täydellisistä virkkeistä riittävin sidesanoin ja kommentein ( koska..., joten... ). Demonstraatiotyyli, jossa vain kirjoitetaan kaavoja peräkkäin ( kaava 1 kaava 2 kaava 3 ), ei kelpaa, vaan kukin kaava tai lauseke sijoitetaan usein omalle rivilleen, ja kun kaavasta tai lausekkeesta siirrytään seuraavaan, niin välissä on jotakin johdattelevaa tekstiä ( Tämän perusteella nähdään, että..., josta sieventämällä saadaan, että... ). 6 Erityiskysymyksiä Kaavat Lyhyet kaavat sijoitetaan usein tekstin joukkoon. Kaava voidaan sijoittaa myös omalle rivilleen. Näin tehdään selvyyden vuoksi, jos kaava on pitkä tai muuten monimutkainen, kaavan korostamiseksi, jos se on erityisen tärkeä, tai kaavan numeroimiseksi siihen tehtäviä viittauksia varten. 4

5 Sana kaava on edellä käsitettävä laajemmin kuin sananmukaisesti: kyseessä voi olla selvästi rajattu matemaattinen ilmaisu, joka sisältää myös sanallista tekstiä. Tällainen kaava voi olla esimerkiksi: { 0, jos n on parillinen, H(n) = 1, jos n on pariton. Matemaattisessa esityksessä on monenlaisia kaavan näköisiä lausekkeita. Niitä kaikkia ei sovi kutsua kaavoiksi tai yhtälöiksi, vaan joukossa on myös esimerkiksi lausekkeita, määritelmiä, funktioita tai epäyhtälöitä. Mieti siis kunkin kaavan luonnetta ja käytä sopivaa termiä. Esimerkiksi yhtälössä täytyy olla ainakin yhtäsuuruusmerkki, ja usein yhtälöstä on myös tarkoitus ratkaista jotakin. Yhtälön vasen ja oikea puoli ovat lausekkeita. Symbolit Logiikan symboleja (esimerkiksi,, ) ei milloinkaan käytetä normaaleissa virkkeissä sanallisten ilmaisujen lyhenteinä. Eräät matemaattiset symbolit voidaan lukea lauseyhteyden mukaan monilla tavoilla; tämä tuo joustavuutta lauseiden muodostamiseen. Jokin matemaattinen kokonaisuus (esim. yhtälö) voi olla lauseessa objektina tai vaihtoehtoisesti rakenteellisena osana lausetta, jolloin lauseen predikaatti usein sisältyy johonkin matemaattiseen symboliin. Esimerkiksi yhtäsuuruusmerkki voi tarpeen mukaan joko sisältää tai olla sisältämättä lauseen predikaatin. Voidaan esimerkiksi kirjoittaa seuraavilla tavoilla: Tämän nojalla a = b. Tästä nähdään, että a = b. Näin ollen on voimassa yhtäsuuruus a = b. Tämän nojalla a on yhtä suuri kuin b. Väite a = b nähdään oikeaksi edellisestä yhtälöstä. Usein on harkinnanvaraista, ilmaistako jokin asia sanoin vai symbolein. Epävarmoissa tapauksissa on ajateltava ennen muuta sanonnan selkeyttä ja havainnollisuutta. Virke ei saa alkaa matemaattisella kaavalla, lausekkeella tai symbolilla; ei siis n-rivistä matriisia kerrottaessa on huomattava, että..., vaan esimerkiksi Kerrottaessa n-rivistä matriisia.... Uutta pykälää tai kappaletta ei koskaan aloiteta matemaattisella määritelmällä, lauseella tai kaavalla, vaan selittävällä tekstillä Sijapäätteiden liittämistä symboleihin on vältettävä. Niitä ei tarvitse käyttää, kun symbolin eteen kirjoittaa symbolia kuvaavan sanan. Ei siis kirjoiteta kun M i :t kerrotaan K:lla... vaan kirjoitetaan kun matriisit M i kerrotaan matriisilla K.... Yleensäkin lukijalle on helpompaa, jos symboleihin liitetään sopivia määresanoja; vertaa esimerkiksi seuraavia kahta virkettä: 5

6 Näin ollen P on f:ssa, jos sen projektio n:lla yhtyy N:ään. Näin ollen piste P on tasossa f, jos sen projektio suoralla n yhtyy pisteeseen N. Sijapäätteitä on kiusaus käyttää, koska englannissa käytetään prepositioita eikä kuvaavia sanoja välttämättä tarvita. Matemaattiset symbolit on tapana kursivoida. Kursivointia ei kuitenkaan käytetä vakiintuneista monikirjaimisista funktioiden nimistä, kuten trigonometrisistä tai logaritmifunktioista. Kun otat käyttöön omia merkintöjä, niin mieti kunkin merkinnän kohdalla tarkasti, onko merkintä helposti luettava, luonnollinen, lyhyt, looginen ja esteettisesti miellyttävä. Ota käyttöön vain todella tarpeelliset merkinnät. Ole merkinnöissä johdonmukainen: käytä samasta asiasta aina samaa merkintää, äläkä käytä eri asioista samaa merkintää. Todistukset Laadukkaassa matemaattisessa tekstissä esitetään matemaattisille väitteille aina myös todistukset ja luonnollisesti myös oletukset, joiden voimassa ollessa väite pitää paikkansa. Todistuksen pitää muodostaa looginen kokonaisuus, ja myös triviaalit tapaukset on syytä käsitellä. Esimerkiksi sanapari helposti nähdään soveltuu käytettäväksi vain niin yksinkertaisissa tilanteissa, että asia tulee yleensä selväksi ilman tätä sanapariakin. Todistuksen voi kuitenkin tarvittaessa korvata lähdeviitteellä: Lauseen todistus sivuutetaan tässä yhteydessä. Se on esitetty Apostolin kirjassa [4]. 7 Suomen kieli Tähän lukuun on koottu kieliopillisia asioita, joihin matematiikan ainetta ja tutkielmia tehtäessä kannattaa kiinnittää erityistä huomiota. Englannista suomeksi Kirjoita sujuvaa suomea, älä suomeksi väännettyä englantia! Usein suomen kielen lause muodostetaan aivan toisin kuin englannin kielen lause. Esimerkiksi However, if x is... ei ole Kuitenkin, jos x on... vaan Jos kuitenkin x on.... Englannin kielessä käytetään usein monikon ensimmäistä persoonaa ( From this we see that... ). Suomessa käytetään useimmiten passiivia ( Tästä nähdään, että... ). Genetiiviattribuutin ja pääsanan väliin ei yleensä pidä kirjoittaa sivulausetta. Virkettä The derivative of a function that is increasing is positive ei siis pidä kirjoittaa muotoon Funktion, joka on kasvava, derivaatta on positiivinen vaan esimerkiksi muotoon Kasvavan funktion derivaatta on positiivinen tai muotoon Jos funktio on kasvava, niin sen derivaatta on positiivinen. Englannin sana or on matemaattisessa tekstissä useimmiten eli (eikä tai ). 6

7 Kielestäsi tulee todennäköisesti paljon parempaa, jos et käännä, vaan mietit asiaa, kunnes ymmärrät sen, ja ilmaiset sitten asiasisällön omin sanoin (kuvittele myös selostavasi asiaa toverillesi). Matemaattisen kielen luontevuutta punnittaessa on hyvä ajatella normaalikielen analogisia sanontoja. Miksi kirjoittaisit on olemassa N siten, että a n < ε kaikilla n > N (suora väännös englannin ilmaisusta such that ), kun luontevampaa on sanoa on olemassa sellainen N, että a n < ε aina kun n > N. Ethän sanoisi tässä on aine siten, että tukka nousee pystyyn vaan tässä on sellainen aine, että tukka nousee pystyyn. Ilmaisun on olemassa sellainen x, jolle pätee f(x) = 0 tai..., jolle on voimassa f(x) = 0 sijasta voit käyttää vaikkapa ilmaisua..., jolla on ominaisuus... tai..., joka täyttää ehdon.... Yhdyssanat Yhdyssanat on kirjoitettava yhteen! Englannin kielen yhdyssanojen kirjoitussäännöt ovat erilaiset kuin suomen kielen. Sanaparit yhtä suuri ja eri suuri kirjoitetaan yleiskielessä erikseen. Esimerkiksi Cauchy sequence taas on suomeksi Cauchyn jono ja Gauss Seidel method on Gaussin ja Seidelin menetelmä (tai Gaussin Seidelin menetelmä tai Gauss Seidel-menetelmä). Jos nimiä on kolme tai useampia, niin käytetään yleensä ajatusviivoja: Davidon Fletcher Powell-menetelmä. Useimmiten ongelmia tuottavat juuri yllä kuvatun kaltaiset tilanteet, joissa suomenkielisessä tekstissä on käytettävä ajatusviivaa, joka on yhdysmerkkiä eli tavuviivaa pidempi vaakaviiva. Ajatusviiva erottaa esimerkiksi välin ääripäitä (40 50-vuotiaat) tai vuorovaikutuksen osapuolia (TPS HIFK-ottelu). Malli, joka kuvaa petoeläinten ja saaliseläinten vuorovaikutusta, on siis peto saalis-malli. Ajatusviiva tuotetaan L A TEX-ohjelmassa kirjoittamalla kaksi yhdysmerkkiä peräkkäin. Pilkut Virkkeet on pilkutettava! Englannin kielessä pilkutus on erilaista kuin suomen kielessä. Pilkut auttavat virkkeiden hahmottamisessa, mutta pilkulla voi myös olla virkkeen sisällölle jopa ratkaiseva merkitys. Suomen oikeakielisyyssääntöjen mukaan desimaalit erotetaan pilkulla. Pilkun käytön pääsääntö on, että virkkeen eri lauseet erotetaan toisistaan pilkuilla: pilkkua käytetään siis erottamaan peräkkäiset päälauseet tai peräkkäiset sivulauseet toisistaan ja erottamaan sivulause päälauseesta (tietysti molemmista päistä, jos sivulause on päälauseen tai päälauseiden keskellä). Säännöstä on poikkeuksia peräkkäisten päälauseiden ja peräkkäisten sivulauseiden kohdalla. Seuraavassa ovat pilkunkäytön kolme tärkeintä sääntöä: Päälause ja sivulause erotetaan toisistaan aina pilkulla. Peräkkäisiä sivulauseita ei eroteta pilkulla, jos niitä yhdistää jokin rinnastuskonjunktioista ja, sekä, sekä että, eli, tai, vai, mutta, vaan, sillä, joko tai. 7

8 Peräkkäisiä päälauseita ei eroteta pilkulla, jos molemmat seuraavista kahdesta ehdosta ovat voimassa: 1. lauseita yhdistää jokin rinnastuskonjunktioista ja, sekä, sekä että, -kä, eli, tai, vai, (mutta, vaan) 2. lauseilla on yhteinen lauseenjäsen tai molempien lauseiden predikaatit ovat samassa 1. tai 2. persoonan muodossa tai passiivissa. Esimerkkejä: Funktio on jatkuva ja lähestyy nollaa, kun... (yhteinen subjekti funktio). Oletuksen mukaan A ei ole voimassa vaan päädytään ehtoon B (yhteinen adverbiaali oletuksen mukaan ). Tarkastellaan lähemmin tapausta B ja otetaan käyttöön oletus d (passiivi kummassakin lauseessa). Jos tämä oletus on voimassa, niin funktio on jatkuva eikä sen derivaatallakaan ole epäjatkuvuuskohtia (yhteisenä adverbiaalina jos-lause). Lisäyksenä näihin kolmeen sääntöön voidaan mainita seuraavat tapaukset. Pilkkua ei välttämättä tarvita, jos peräkkäiset lauseet ovat lyhyitä. Esimerkki: Siitä että f on jatkuva, ei välttämättä seuraa.... Seuraavan tapaisen monisanaisen alistuskonjunktion eteen voi kirjoittaa pilkun: Funktio on jatkuva(,) silloin kun se on derivoituva, mutta pilkun voi jättää poiskin. Muita esimerkkejä: Nämä toimenpiteet kannattaa suorittaa ennen kuin iterointi aloitetaan, Iterointi lopetetaan niin pian kuin jompikumpi ehdoista tulee voimaan. Kuin-sanan eteen ei tule pilkkua, jos sillä ilmaistaan vertailua: Iterointi suppeni nopeammin kuin oletettiin. Peräkkäisten adjektiiviattribuuttien välissä käytetään pilkkua vain, jos attribuutit ovat todella samanarvoiset eli rinnasteiset. Tällöin niiden väliin voi usein ajatella ja-sanan: Tämä on paljon käytetty, varmatoiminen algoritmi, On olemassa toinenkin, nopeampi algoritmi ( toinenkin ja nopeampi määrittävät kumpikin sanaa algoritmi, ja paino on sanalla nopeampi ; nopeampia algoritmeja on ainakin yksi), vrt. On olemassa toinenkin nopeampi algoritmi ( toinenkin määrittää nopeampaa algoritmia, ja paino on sanalla toinenkin ; nopeampia algoritmeja on ainakin kaksi). Koska pilkkua vastaa puheessa lyhyt tauko, niin epävarmoissa pilkutustapauksissa kannattaa tarkkailla, miltä kyseinen kohta kuulostaisi puhuttuna. Muuta huomattavaa Jos-sanan parina kannattaa usein käyttää niin-sanaa. Tarkastellaan virkettä jos x < a, niin f(x) > c ja g(x) > c. Jos siitä jättää pois niin-sanan, niin virkkeen ymmärtäminen vaikeutuu: jos x < a, f(x) > c ja g(x) > c. Ensin tekstistä saa vaikutelman, että myös f(x) > c ja g(x) > c ovat oletuksia, mutta kun piste tulee vastaan, niin huomaa, että f(x) > c ja g(x) > c olivatkin seurauksia. Jos ymmärtäminen ei vaikeudu, voit jättää niin-sanan pois. 8

9 Huomaa, että seuraavista esimerkkilauseista ensimmäisessä ei käytetä kaksoispistettä, mutta toisessa käytetään: Todistuksessa nojaudutaan yhtälöön (x 2 + y 2 )(u 2 + v 2 ) = (xu + yv) 2 + (xv yu) 2. Todistuksessa nojaudutaan seuraavaan yhtälöön: (x 2 + y 2 )(u 2 + v 2 ) = (xu + yv) 2 + (xv yu) 2. Edellinen ilmaisu on yleensä parempi; vältä turhaa seuraava-sanan käyttöä. Kaksoispistettä tarvitaan lähinnä tilanteissa, joissa halutaan yhdellä kaavarivillä esittää useamman yhtäsuuruuden kokonaisuus: Muuttujan x arvo voidaan laskea seuraavasti: x = f(x) g(x) = 2x2 3x = 2 0, Yhtälöiden välisiä ekvivalensseja ei kuitenkaan koskaan esitetä tällaisia rakenteina, vaan yhtälöiden väliset ekvivalenssit tuodaan esiin selittävällä välitekstillä, kuten Tämän perusteella saadaan yhtälö..., Täten...,..., mistä nähdään, että... tai esimerkiksi Näin on johdettu tulos.... Jos tunnet itsesi epävarmaksi kielenkäyttäjäksi, pyri lyhyisiin virkkeisiin. Esityksen sujuvuus voi tästä kärsiä, mutta se on selvyyden rinnalla toisarvoista. Suomenkielisestä matematiikan perusterminologiasta, joka on vakiintunut mm. luentokursseilla, on syytä pitää kiinni. Esimerkiksi object function on kohdefunktio ja linear programming on lineaarinen optimointi. Sanan nondecreasing sananmukaista käännöstä ei-vähenevä voidaan pitää kankeana ilmauksena; parempi on kasvava. Ilmaus strictly non-decreasing olisi vastaavasti aidosti kasvava. Jos vastaan tulee uusia käsitteitä, niiden suomentamisesta voi neuvotella ohjaajan kanssa. Sanojen lyhenteitä (esimerkiksi ody, Newtonin men., Esim., Määr., Tod.) ei yleensä pidä käyttää. Voidaan kuitenkin kirjoittaa esimerkiksi pns-menetelmä sen jälkeen, kun on ensin esitelty täydellinen nimi ja siitä käytettävä lyhenne: Pienimmän neliösumman menetelmä (pns-menetelmä) on Viittaustekniikat Lähdeteoksiin viittaaminen Kaikki työssä käytetyt lähteet on mainittava. Kuhunkin lähteeseen viitataan työn siinä kohdassa, jossa tätä lähdettä on käytetty. Kaikki lähteet kerätään työn loppuun kirjallisuusluetteloksi, vaikka lähteitä olisi vain yksikin. Kirjallisuusluettelo ei ole vain luettelo aiheeseen liittyvää kirjallisuutta, vaan jokaiseen luettelon lähteeseen on tekstissä viitattava ainakin kerran. Lähteiden käyttö voidaan esitellä tapauskohtaisesti: Lauseen todistus on esitetty kirjassa.... Jos yksittäistä lausetta laajempi kokonaisuus perustuu tiettyyn 9

10 lähteeseen, voidaan lähteiden käyttöä esitellä myös johdannossa tai kunkin luvun alussa, esimerkiksi: Tässä luvussa todistetaan Hahnin ja Banachin lause mukaillen Rudinin kirjan [3] esitystapaa. Johdannossa tai kunkin luvun alussa on tuotava esiin myös itsenäisen työn osuus. Kirjaan viitattaessa on kirjallisuusluettelossa mainittava kirjan kirjoittajat, kirjan nimi, kustantaja, painopaikka ja -vuosi. Tieteelliseen artikkeliin viitattaessa on mainittava artikkelin kirjoittajat, artikkelin nimi, julkaisuvuosi, lehden nimi ja volyymi sekä sivut, joilla juuri kyseinen artikkeli on. Internet-lähteeseen viitattaessa on mainittava ainakin sivuston otsikko, mahdolliset kirjoittajien nimet, osoite, sekä päivämäärä, jolloin sivu on luettu. Internetlähteitä käytettäessä on tarkoin harkittava, missä tilanteessa erilaisia lähteitä on soveliasta käyttää tieteellisen tekstin lähteenä. Esimerkiksi yliopistollisen tutkimusryhmän tai Tilastokeskuksen www-sivut sopivat tietolähteeksi useimmiten, mutta Vauva-lehden keskustelupalsta ei sovi juuri koskaan. Hankala rajatapaus on Wikipedia, joka on näppärä työkalu uusiin asioihin tutustumisessa, mutta joka vapaan muokattavuutensa ei ole luotettava tai muuttumaton tietolähde. Wikipedian käyttöä lähteenä tulisi siis pyrkiä välttämään. Wikipedian artikkeleissa on kuitenkin usein hyvät lähdeviitteet, joiden avulla on mahdollista päästä tiedon alkulähteille ja löytää luotettavampia lähteitä tutkielmassa käytettäväksi. Viitauksiin käytettävän tekniikan sekä kirjallisuusluettelon ulkoasun voi valita vapaasti, kunhan ne ovat yksiselitteisiä, johdonmukaisia ja helppolukuisia. Yleensä on helpointa käyttää L A TEX-ohjelman valmiita työkaluja. Kuvat, taulukot ja matemaattiset rakenteet Matemaattiset kaavat ovat aina osa normaalia tekstiä ja yhdistyvät normaalin tekstin virkkeiden lauserakenteeseen. Täten varsinainen viittaaminen kaavoihin on tarpeen ainoastaan silloin, kun halutaan käyttää uudelleen aiemmin tekstissä esiintynyttä kaavaa. Näissä tilanteissa kaava sijoitetaan omalle kaavarivilleen ja numeroidaan viittausta varten. Kaavaan viitattaessa on tapana kirjoittaa kaavan numero kaarisulkeisiin: Kuten epäyhtälöstä (5) nähdään.... Kaavarivien numerointiin ja kaavoihin viittaamiseen kannattaa käyttää L A TEX-ohjelman automaattisia työkaluja. Tärkeimmät matemaattiset tulokset muotoillaan usein lauseiksi tai apulauseiksi eli lemmoiksi, jotka numeroidaan viittauksia varten. Niihin viitattaessa ei lauseen tai lemman numeroa laiteta sulkeisiin erotuksena numeroituihin kaavariveihin viittaamisesta. Lause 3 tai kuva 7 eivät ole erisnimiä, eikä niitä siis kirjoiteta isolla alkukirjaimella muulloin kuin virkkeen alussa. Samat ohjeet koskevat numeroituihin esimerkkeihin viittaamista. Nämäkin muotoilut ja viittaukset onnistuvat L A TEX-ohjelman automaattisilla työkaluilla. Viittaukset kuviin eivät koskaan perustu kuvan asemointiin tekstissä ( Vasemmalla olevasta kuvasta nähdään... ), vaan kuvan alle tulee kuvateksti, joka alkaa esimerkiksi Kuva 3. Funktion f kuvaaja.... Varsinaisesssa tekstissä kuvaan viitataan numeron avulla ( Kuten kuvasta 3 nähdään... ). Kuvatekstissä on kerrottava 10

11 kuvan sisällöstä niin laajasti, että kuvan sisällöstä voi saada yleiskuvan lukematta varsinaista tekstiä. Lisäksi voidaan listata yksityiskohtia, kuten parametriarvoja, jotka sivuutetaan varsinaisessa tekstissä. Näin toimittaessa hoituu kuvien ladonta tekstin joukkoon helposti, sillä se tapahtuu kokonaan L A TEX-ohjelman automaattisten työkalujen avulla. Täysin vastaavaan tapaan toimitaan taulukoiden kanssa. Mikäli taulukko on niin suuri, ettei se sovi normaalille tekstisivulle, on useimmiten paras vaihtoehto sijoittaa taulukko työn loppuun erilliseksi liitteeksi, jolloin siihen voidaan viitata esimerkiksi seuraavasti: Liitteen A taulukosta havaitaan, että.... Liitteen alussa on luonnollisesti myös kuvattava sen sisältämää taulukkoa riittävästi, jotta taulukon sisällöstä voi saada yleiskuvan myös varsinaista tekstiä lukematta. 9 Havainnollisten kuvien laatiminen Matematiikassa ja tilastotieteessä informaatiota voidaan välittää usein tekstin, kaavojen ja taulukoiden lisäksi käyttämällä hyödyksi kuvia ja diagrammeja. Usein paras keino välittää informaatiota on käyttää kaikkia menetelmiä toisiaan tukien. Kuvan tarkoituksena on esittää data, menetelmä tai analyysin tulokset helposti omaksuttavassa muodossa siten, että informaatio välittyy ilman lisäselvitystä työn tekstiosiosta. Grafiikka ei kuitenkaan saa jäädä tieteellisessä työssä irralliseksi objektiksi vaan jokaiseen kuvaan täytyy viitata tekstiosiossa. Jokaiseen kuvaan tulee myös kirjoittaa kuvateksti, jossa selitetään mitä kuvaan on piirretty. Hyvien kuvien laatiminen on usein hyvin hidasta, mutta niihin kannattaa panostaa, sillä kuvien avulla keskeinen informaatio välittyy nopeasti ja usein juuri graafinen esitys jää lukijalle hyvin mieleen. Mieti etukäteen mitä informaatiota haluat välittää kuvan avulla. Jokaisen kuvan osan täytyy olla oleellinen, joten piirrä se mahdollisimman yksinkertaiseksi. Turhat objektit kuvassa vievät pois huomiota kuvan pääkohdista. Kiinnitä huomiota kuvasi akseleihin ja niiden skaaloihin. Mieti saisitko ilmaistua haluamasi tulokset paremmin käyttäen jollakin muulla skaalalla kuten esimerkiksi logaritmisella asteikolla tai yksinkertaisesti piirtämällä kuvasta ainoastaan pienen osan. Nykyisin kuvien piirtäminen on nopeampaa kuin aiemmin, sillä kuvat laaditaan usein käyttäen hyväksi tieteellisen laskennan ohjelmistoja kuten R:ää tai MATLABia. Ohjelmistojen piirtofunktioiden oletusasetukset eivät kuitenkaan välttämättä tuota parhaita mahdollisia kuvia haluamasi informaation välittämiseen. Kannattaakin tutustua käyttämäsi ohjelmiston grafiikan tuottamisen työkaluihin. Lähes jokaisessa ohjelmassa pääset muokkaamaan ohjelman tuottamia kuvia omia tarpeitasi varten. Usein informaatiota esitetään erilaisin symbolein tai käyrin. Kiinnitä huomiota näiden kokoihin, tyyppeihin ja väreihin. Värien hyödyntäminen informaation välityksessä kuvassa on usein suotavaa, mutta erityisesti opinnäytetöissä kuvan tulee toimia myös mustavalkotulosteena. Kuvasta täytyy käydä ilmi mitä kuvan objektit tarkoittavat. Usein eri menetelmien antamia tuloksia vertaillaan piirtämällä tulokset erilaisina objekteina samaan kuvaan. Kuvasta tai kuvan selitteestä (eng. legend) täytyy käydä ilmi mikä objekti 11

12 vastaa mitäkin menetelmää. Kun kirjoitat kuvaan tekstiä, nimeät kuvan akseleita tai lisäät kuvaan selitteen, niin kiinnitä huomiota käyttämiisi fontteihin. Suurenna tai pienennä fontteja tarvittaessa ottaen huomioon miltä kuva tulee näyttämään osana tekstiä. Yritä mahdollisuuksien mukaan kirjoittaa kuvan tekstit vaakatasoon, jolloin niiden lukeminen on helpompaa. Erityisesti tieteellisen laskennan ohjelmistot oletusarvoisesti kirjoittavat pystysuoran akselin otsikon pystysuoraan, mutta tämä voidaan lähes aina muuttaa vaakasuoraksi piirtoasetusten avulla. Liittäessäsi kuvan osaksi tieteellistä tekstiä, ota kuvallisista sivuista tulosteet jolloin näet miten kuva toimii tulostettuna, ja pitäisikö kuvan kokoa muuttaa. Tarkasta myös, että kuvissa käytetyt kirjasinkoot ovat niin suuria, että kuviin kuuluvat symbolit ja tekstit ovat helposti luettavissa myös tulostetusta kuvasta. Käytännössä kuvien kirjasinkoko kannattaa pyrkiä säätämään samaksi kuin tavallisen tekstin kirjasinkoko. Kuvan koon tulee olla suhteessa kuvan välittämään informaatioon. Jos pienemmällä kuvalla saisit välitettyä selkeästi haluamasi viestin, niin pienennä kuvaa. Muista lopuksi tarkastaa, että piirtämäsi kuva todella tukee tekemiäsi johtopäätöksiä. 10 Käytännön vinkkejä työn helpottamiseksi Käytä L A TEX-ohjelmaa. Ensimmäisten sivujen kirjoittaminen on vaativaa, mutta kun ohjelman käytön oppii, työ käy helposti eikä ikäviä yllätyksiä juurikaan tule. Aloita työskentely hakemalla L A TEX-ohjelmaan valmis ainepohja laitoksen www-sivuilta. Tästä dokumentista voit kopioida omaan käyttöösi useimmat tarvitsemasi L A TEX-rakenteet. Hyödynnä muutenkin laitoksen L A TEX-sivuja työssäsi. Työskennellessäsi suorita lähdekoodin L A TEX-käännös mahdollisimman usein. Lähdekoodissa oleva yksittäinen virhe voidaan yleensä löytää ja korjata virheilmoitusten perusteella helposti, mutta useamman virheen samanaikainen paikallistaminen on huomattavasti vaativampaa. Korjaa lähdekoodin virheet aina välittömästi virheilmoituksen saatuasi, vaikka esikatseltava tiedosto näyttäisikin oikealta. Opettele käyttämään L A TEX-ohjelman automaattisia ladonta-, numerointi- ja viittaustyökaluja. Tähän opetteluun käytetyn ajan saat moninkertaisena takaisin työn edetessä. Myös laitoksen ainepohjassa on esimerkkejä tärkeimpien työkalujen käytöstä. Muista, että ohjaajasi ei suinkaan oleta sinun osaavan kirjoittaa täydellistä matemaattista tekstiä heti työn aloittessasi, vaan tämän taidon oppiminen on yksi kirjallisten töiden tärkeimmistä tavoitteista. Ohjaajasi ei toimi pelkästään valmiin työn tarkastajana, vaan hänen tehtävänään on olla opastajasi tämän oppimisprosessin aikana. Hyödynnä siis ohjaajaasi, ja kysy rohkeasti asioista, jotka eivät tunnu omalla pohtimisella selviävän. 12

Matematiikan kirjoittamisesta

Matematiikan kirjoittamisesta Matematiikan kirjoittamisesta Asiasisältö Tärkeintä kaikessa on, että kaiken minkä kirjoitat, niin myös itse ymmärrät. Toisin sanoen asiasisällön on vastattava lukijan pohjatietoja. Tekstin täytyy olla

Lisätiedot

Matematiikan kirjallinen viestintä ja tieteellinen tiedonhankinta

Matematiikan kirjallinen viestintä ja tieteellinen tiedonhankinta Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 1/6 Matematiikan kirjallinen viestintä ja tieteellinen tiedonhankinta Tuomas Nurmi tuilnu@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Matemaattinen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

AINEIDEN JA TUTKIELMIEN KIRJOITTAJALLE

AINEIDEN JA TUTKIELMIEN KIRJOITTAJALLE OULUN YLIOPISTO Matemaattisten tieteiden laitos AINEIDEN JA TUTKIELMIEN KIRJOITTAJALLE 1. Millainen tehtävä aineenkirjoitus on Aineiden ja tutkielmien tarkoitus on opettaa käyttämään matemaattista kirjallisuutta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

Lähdeviitteiden merkintä (Kielijelppi)

Lähdeviitteiden merkintä (Kielijelppi) Lähdeviitteiden merkintä (Kielijelppi) Copyright 2004 2010, Kielijelppi Palvelun tekijänoikeuksia suojaa Creative Commons -lisenssi Lähdeviitteiden merkitsemiseksi on olemassa useita tapoja. Viitteet voidaan

Lisätiedot

Ohje tutkielman tekemiseen

Ohje tutkielman tekemiseen Sauvon koulukeskus 2011 Ohje tutkielman tekemiseen Aiheen valinta Etsi materiaalia Valitse itseäsi kiinnostava aihe. Sovi opettajan kanssa aiheen rajaus. Pyydä opettajalta tutkielmapassiin merkintä aiheen

Lisätiedot

E-kirjan kirjoittaminen

E-kirjan kirjoittaminen 1 E-kirjan kirjoittaminen Ohjeet e-kirjan kirjoittamiseen Tämän ohjeistuksen tavoitteena on auttaa sinua luomaan yksinkertainen e-kirja (pdftiedosto) asiakkaallesi. Kirja näyttää hänelle kuinka hyvin ymmärrät

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9.

Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä. Yksinkertaisimmillaan voimme esitellä ja tallentaa 1x1 vektorin seuraavasti: >> a = 9.81 a = 9. Python linkit: Python tutoriaali: http://docs.python.org/2/tutorial/ Numpy&Scipy ohjeet: http://docs.scipy.org/doc/ Matlabin alkeet (Pääasiassa Deni Seitzin tekstiä) Matriisit ovat matlabin perustietotyyppejä.

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

TAVALLISIMMAT VÄLIMERKIT. Marja A.

TAVALLISIMMAT VÄLIMERKIT. Marja A. TAVALLISIMMAT VÄLIMERKIT Marja A. PISTE. Informaatioyksikön lopussa, joka lauseessa on verbi Vapaampi tyyli (esimerkiksi mainokset): vaillinainen lause mahdollinen Palkinnon sai Kirsti Lahti. Hyvällä syyllä.

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Yleistä tarinointia gradusta

Yleistä tarinointia gradusta Yleistä tarinointia gradusta Juha Taina Pro gradu seminaariesitelmä 21.1.2008 Yleistä tarinointia gradusta 1 1. Johdanto Pro gradu tutkielma (tästä eteenpäin vain tutkielma ) on ennen kaikkea opinnäyte.

Lisätiedot

Pääluvun tekstin jälkeen tuleva alaotsikko erotetaan kahdella (2) enterin painalluksella,väliin jää siis yksi tyhjä rivi.

Pääluvun tekstin jälkeen tuleva alaotsikko erotetaan kahdella (2) enterin painalluksella,väliin jää siis yksi tyhjä rivi. KIRJALLISEN TYÖN ULKOASU JA LÄHTEIDEN MERKITSEMINEN Tämä ohje on tehty käytettäväksi kasvatustieteiden tiedekunnan opinnoissa tehtäviin kirjallisiin töihin. Töiden ohjaajilla voi kuitenkin olla omia toivomuksiaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen

Lisätiedot

Lausuminen kertoo sanojen määrän

Lausuminen kertoo sanojen määrän Sivu 1/5 Lausuminen kertoo sanojen määrän Monta osaa Miten selvä ero Rinnasteiset ilmaisut Yhdyssana on ilmaisu, jossa yksi sana sisältää osinaan kaksi sanaa tai enemmän. Puhutussa kielessä tätä vastaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

Äi 10 Tunti 3. Pilkkusäännöt

Äi 10 Tunti 3. Pilkkusäännöt Äi 10 Tunti 3 Pilkkusäännöt Perussääntö Virkkeen lauseet erotetaan toisistaan pilkulla. Tähän sääntöön ovat tarkennuksia kaikki seuraavat pilkkusäännöt. Eli pilkku tulee lauseiden väliin aina, jos mikään

Lisätiedot

Opinnäytteen nimi ja mahdollinen alaotsikko (tämä pohja toimii parhaiten Word2010-versiolla)

Opinnäytteen nimi ja mahdollinen alaotsikko (tämä pohja toimii parhaiten Word2010-versiolla) T A M P E R E E N Y L I O P I S T O Opinnäytteen nimi ja mahdollinen alaotsikko (tämä pohja toimii parhaiten Word2010-versiolla) Kasvatustieteiden yksikkö Kasvatustieteiden pro gradu -tutkielma NIMI NIMINEN

Lisätiedot

AS-84.3400 Automaatiotekniikan seminaarikurssi. Kevät 2008

AS-84.3400 Automaatiotekniikan seminaarikurssi. Kevät 2008 AS-84.3400 Automaatiotekniikan seminaarikurssi Kevät 2008 Kurssin tavoitteet Konferenssisimulaatio Harjoitella tieteellisen tekstin / raportin kirjoittamista Harjoitella tiedon etsimistä ja viittaamista

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

83450 Internetin verkkotekniikat, kevät 2002 Tutkielma

83450 Internetin verkkotekniikat, kevät 2002 Tutkielma <Aihe> 83450 Internetin verkkotekniikat, kevät 2002 Tutkielma TTKK 83450 Internetin verkkotekniikat Tekijät: Ryhmän nro:

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta

Lisätiedot

Automaatit. Muodolliset kielet

Automaatit. Muodolliset kielet Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)

2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1) Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee

Lisätiedot

Rekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä

Rekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä Rekursiolause Laskennan teorian opintopiiri Sebastian Björkqvist 23. helmikuuta 2014 Tiivistelmä Työssä käydään läpi itsereplikoituvien ohjelmien toimintaa sekä esitetään ja todistetaan rekursiolause,

Lisätiedot

TT00AA12-2016 - Ohjelmoinnin jatko (TT10S1ECD)

TT00AA12-2016 - Ohjelmoinnin jatko (TT10S1ECD) TT00AA12-2016 - Ohjelmoinnin jatko (TT10S1ECD) Ohjelmointikäytännöt 21/3/11 Mikko Vuorinen Metropolia Ammattikorkeakoulu 1 Sisältö 1) Mitä on hyvä koodi? 2) Ohjelmointikäytäntöjen merkitys? 3) Koodin asettelu

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa:

Lauseen erikoistapaus on ollut kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa seuraavassa muodossa: Simo K. Kivelä, 13.7.004 Frégier'n lause Toisen asteen käyrillä ellipseillä, paraabeleilla, hyperbeleillä ja niiden erikoistapauksilla on melkoinen määrä yksinkertaisia säännöllisyysominaisuuksia. Eräs

Lisätiedot

Pikapaketti logiikkaan

Pikapaketti logiikkaan Pikapaketti logiikkaan Tämän oppimateriaalin tarkoituksena on tutustua pikaisesti matemaattiseen logiikkaan. Oppimateriaalin asioita tarvitaan projektin tekemisessä. Kiinnostuneet voivat lukea lisää myös

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 10 1 Newtonin menetelmä Oletetaan, että haluamme löytää funktion f(x) nollakohan. Usein tämä tehtävä on mahoton suorittaa täyellisellä tarkkuuella, koska tiettyjen

Lisätiedot

Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa

Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa Haasteita opettajalle lukion lyhyen matematiikan opetuksessa ovat havainnollistaminen ja riittämätön aika. Oppitunnin aikana opettaja joutuu usein palamaan

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

MONOGRAFIAN KIRJOITTAMINEN. Pertti Alasuutari

MONOGRAFIAN KIRJOITTAMINEN. Pertti Alasuutari MONOGRAFIAN KIRJOITTAMINEN Pertti Alasuutari Lyhyt kuvaus Monografia koostuu kolmesta pääosasta: 1. Johdantoluku 2. Sisältöluvut 3. Päätäntäluku Lyhyt kuvaus Yksittäinen luku koostuu kolmesta osasta

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Epäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti

Lisätiedot

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö

5.2 Ensimmäisen asteen yhtälö 5. Ensimmäisen asteen ytälö 5. Ensimmäisen asteen yhtälö Aloitetaan antamalla nimi yhtälön osille. Nyt annettavat nimet eivät riipu yhtälön tyypistä tai asteesta. Tarkastellaan seuraavaa yhtälöä. Emme

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Ohjelmoinnin perusteet Y Python

Ohjelmoinnin perusteet Y Python Ohjelmoinnin perusteet Y Python T-106.1208 2.3.2009 T-106.1208 Ohjelmoinnin perusteet Y 2.3.2009 1 / 28 Puhelinluettelo, koodi def lue_puhelinnumerot(): print "Anna lisattavat nimet ja numerot." print

Lisätiedot

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari

verkkojen G ja H välinen isomorfismi. Nyt kuvaus f on bijektio, joka säilyttää kyseisissä verkoissa esiintyvät särmät, joten pari Tehtävä 9 : 1 Merkitään kirjaimella G tehtäväpaperin kuvan vasemmanpuoleista verkkoa sekä kirjaimella H tehtäväpaperin kuvan oikeanpuoleista verkkoa. Kuvan perusteella voidaan havaita, että verkko G on

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7

Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty

Lisätiedot

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite .. Ympäristön ja raja-arvon käsite Matematiikan opintojen tässä vaiheessa aletaan olla kiinnostavimpien sisältöjen laidassa. Tähänastiset pitkän matematiikan opinnot ovat olleet kuin valmistelua, jatkossa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi -mustavalkoinen: asia joko on tai ei (vrt. humanistiset tieteet, ei

Lisätiedot

Tavutusohjelman toimintapa...3. Tavutussääntöjä...3. Keinoja...3. Vihjetavu...3. Katkeamaton väli...4. Katkeamaton tavuviiva...4

Tavutusohjelman toimintapa...3. Tavutussääntöjä...3. Keinoja...3. Vihjetavu...3. Katkeamaton väli...4. Katkeamaton tavuviiva...4 1 Sisältö Tavutusohjelman toimintapa...3 Tavutussääntöjä...3 Keinoja...3 Vihjetavu...3 Katkeamaton väli...4 Katkeamaton tavuviiva...4 Pehmeä rivinvaihto...4 2 Mikään tavutusohjelma ei ole täydellinen.

Lisätiedot

Verkkokirjoittaminen. Verkkolukeminen

Verkkokirjoittaminen. Verkkolukeminen 0 Nopeaa silmäilyä: Pääotsikot, kuvat, kuvatekstit, väliotsikot, linkit, luettelot, korostukset. 0 Hitaampaa kuin paperilla olevan tekstin lukeminen 0 F-tyyppinen lukeminen Verkkolukeminen Verkkokirjoittaminen

Lisätiedot

Tieteellisen kirjoittamisen kurssi, kevät Teemu Kerola. Referaatti. Valitse tutkielman aihepiiriin sopiva artikkeli

Tieteellisen kirjoittamisen kurssi, kevät Teemu Kerola. Referaatti. Valitse tutkielman aihepiiriin sopiva artikkeli Teemu Kerola Tieteellisen kirjoittamisen kurssi Ryhmä 4, kevät 2010 http://www.cs.helsinki.fi/u/arytkone/tiki/sisalto.html Referaatti Aine, tutkielma Kypsyysnäyte Esitelmä Arvostelu Kirjoittaminen 1 Referaatti

Lisätiedot

Oppilas keskustelee ryhmässä ja tuo esille mielipiteitään. Oppilas osallistuu luokan ja koulun ilmaisuesityksiin. Oppilas harjoittelee

Oppilas keskustelee ryhmässä ja tuo esille mielipiteitään. Oppilas osallistuu luokan ja koulun ilmaisuesityksiin. Oppilas harjoittelee AI 6. lk Arvioitavat tavoitteet Vuorovaikutustilanteissa toimiminen (T1, T2, T3, T4) Tekstien tulkitseminen (T5, T6, T7, T8) Hyväksytty (5) Välttävä (6-7) Oppilas saa arvosanan 6, Oppilas saa arvosanan

Lisätiedot

Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi

Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi Mia Peltomäki Kupittaan lukio ja Turun yliopiston IT-laitos http://crest.abo.fi /Imped Virtuaalikoulupäivät 24. marraskuuta 2009 1 Taustaa Todistukset muodostavat

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. 3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >

Lisätiedot

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luonnollisen päättelyn luotettavuus Luotettavuuden todistamiseksi määrittelemme täsmällisesti, milloin merkkijono on deduktio. Tässä ei ole sisällytetty päättelysääntöihin iteraatiosääntöä, koska sitä

Lisätiedot

Induktio, jonot ja summat

Induktio, jonot ja summat Induktio, jonot ja summat Matemaattinen induktio on erittäin hyödyllinen todistusmenetelmä, jota sovelletaan laajasti. Sitä verrataan usein dominoefektiin eli ketjureaktioon, jossa ensimmäisen dominopalikka

Lisätiedot

Kandidaatintutkielma, ryhmän ohjaus Teemu Kerola. Referaatti

Kandidaatintutkielma, ryhmän ohjaus Teemu Kerola. Referaatti Teemu Kerola Kandidaatintutkielma Ryhmä 3, kevät 2013 (Tieteellisen kirjoittamisen kurssi, tiki) Referaatti, aine, tutkielma Kypsyysnäyte Esitelmä Arvostelu Kirjoittaminen Aiheiden valinta 1 Referaatti

Lisätiedot

TIES501 Pro Gradu seminaari Tieteellisestä kirjoittamisesta

TIES501 Pro Gradu seminaari Tieteellisestä kirjoittamisesta TIES501 Pro Gradu seminaari Tieteellisestä kirjoittamisesta Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi Syksy 2013 Sisältö Miksi kirjoittamiseen panostaminen on tärkeää? Käydään läpi seuraavia osa-alueita Rakenne

Lisätiedot

Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra

Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Matematiikan didaktiikka, osa II Algebra Sarenius Kasvatustieteiden tiedekunta, Oulun yksikkö Mitä on algebra? Algebra on aritmetiikan yleistys. Algebrassa siirrytään operoimaan lukujen sijaan niiden ominaisuuksilla.

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

KIELENOPPIJOITA TIEDONHANKINTA KESKIÖSSÄ KUUNTELEMALLA OPPIJA (AUDITIIVINEN) KIELEN KÄYTTÖ, VUOROVAIKUTUS NÄKEMÄLLÄ

KIELENOPPIJOITA TIEDONHANKINTA KESKIÖSSÄ KUUNTELEMALLA OPPIJA (AUDITIIVINEN) KIELEN KÄYTTÖ, VUOROVAIKUTUS NÄKEMÄLLÄ KIELENOPPIJOITA KIELEN KÄYTTÖ, VUOROVAIKUTUS TIEDONHANKINTA KESKIÖSSÄ KUUNTELEMALLA OPPIJA (AUDITIIVINEN) TEKEMÄLLÄ OPPIJA (KINESTEETTINEN) LUOVA KIELENKÄYTTÄJÄ HOLISTINEN OPPIJA (KOKONAISUUDET TÄRKEITÄ)

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.

n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla

Lisätiedot

Tietotekniikan kandidaattiseminaari

Tietotekniikan kandidaattiseminaari Tietotekniikan kandidaattiseminaari Luento 1 14.9.2011 1 Luennon sisältö Seminaarin tavoitteet Seminaarin suoritus (tehtävät) Kandidaatintutkielman aiheen valinta Seminaarin aikataulu 2 2011 Timo Männikkö

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op)

Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Johdatus matemaattiseen päättelyyn (5 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Johdatus matemaattiseen päättelyyn 2014 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 01 Tero Vedenjuoksu Sisältö 1 Johdanto 3 Esitietoja ja merkintöjä 4 3 Todistamisesta 5 3.1 Suora todistus.............................

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Opinnäytetyön mallipohjan ohje

Opinnäytetyön mallipohjan ohje Opinnäytetyön mallipohjan ohje Sisällys 1 Johdanto 1 2 Mallin käyttöönotto 1 3 Otsikot 2 3.1 Luvun otsikko 3 3.2 Alalukujen otsikot 5 4 Tekstikappaleet 5 5 Kuvat ja kuviot 6 6 Taulukot 6 7 Lainaus 7 8

Lisätiedot

Tietorakenteet (syksy 2013)

Tietorakenteet (syksy 2013) Tietorakenteet (syksy 2013) Harjoitus 1 (6.9.2013) Huom. Sinun on osallistuttava perjantain laskuharjoitustilaisuuteen ja tehtävä vähintään kaksi tehtävää, jotta voit jatkaa kurssilla. Näiden laskuharjoitusten

Lisätiedot

Teemu Kerola Kandidaatintutkielma Kevät 2017 (Tieteellisen kirjoittamisen kurssi, tiki)

Teemu Kerola Kandidaatintutkielma Kevät 2017 (Tieteellisen kirjoittamisen kurssi, tiki) Teemu Kerola Kandidaatintutkielma Kevät 2017 (Tieteellisen kirjoittamisen kurssi, tiki) Referaatti, aine, tutkielma Kypsyysnäyte Esitelmä Arvostelu Kirjoittaminen Aiheiden valinta 1 Tavoitteet Tiedonhaku

Lisätiedot

Tutkielman perusrakenne ja kirjoittaminen LaTeXilla

Tutkielman perusrakenne ja kirjoittaminen LaTeXilla Tutkielman perusrakenne ja kirjoittaminen LaTeXilla Jussi Maunuksela Jyväskylän yliopisto, Fysiikan laitos, PL 35, 40014 Jyväskylän yliopisto 17.3.2017 FYSA291&XYHM004 luentokalvosarja 6 1 Oppimistavoitteet

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Ohjeet tutkimussuunnitelman kirjoittamiseen

Ohjeet tutkimussuunnitelman kirjoittamiseen Ohjeet tutkimussuunnitelman kirjoittamiseen Marja Silenti FM, Timo Lenkkeri LK, DI Opiskelijanumero: 12345678 Helsinki 18.11.2005, viimeksi päivitetty 31.05.2011, 17.12.2012 Tutkimussuunnitelma Ohjaaja:

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5 ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Mitä taitoja tarvitaan tekstin ymmärtämisessä? -teorian kautta arkeen, A.Laaksonen

Mitä taitoja tarvitaan tekstin ymmärtämisessä? -teorian kautta arkeen, A.Laaksonen Mitä taitoja tarvitaan tekstin ymmärtämisessä? -teorian kautta arkeen, A.Laaksonen Lukemisen taitoja Tulisi kehittää kaikissa oppiaineissa Vastuu usein äidinkielen ja S2-opettajilla Usein ajatellaan, että

Lisätiedot

ENE-C2001 Käytännön energiatekniikkaa. Aloitustapaaminen 11.4.2016. Osa III: Tekninen raportointi

ENE-C2001 Käytännön energiatekniikkaa. Aloitustapaaminen 11.4.2016. Osa III: Tekninen raportointi ENE-C2001 Käytännön energiatekniikkaa Aloitustapaaminen 11.4.2016 Osa III: Tekninen raportointi Sisältö Raportoinnin ABC: Miksi kirjoitan? Mitä kirjoitan? Miten kirjoitan? Muutamia erityisasioita 1 Miksi

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

11.4. Context-free kielet 1 / 17

11.4. Context-free kielet 1 / 17 11.4. Context-free kielet 1 / 17 Määritelmä Tyypin 2 kielioppi (lauseyhteysvapaa, context free): jos jokainenp :n sääntö on muotoa A w, missäa V \V T jaw V. Context-free kielet ja kieliopit ovat tärkeitä

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot