Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa"

Transkriptio

1 Smart Board lukion lyhyen matematiikan opetuksessa Haasteita opettajalle lukion lyhyen matematiikan opetuksessa ovat havainnollistaminen ja riittämätön aika. Oppitunnin aikana opettaja joutuu usein palamaan tunnin alussa laskettuihin esimerkkeihin tai koko jopa kurssin alussa käytyyn asiaan. Esimerkkitehtävät ovat usein sanallisia ja tehtäväannon kirjoittaminen taululle vie kohtuuttomasti aikaa. Opettajankin kannattaa helpottaa työtään ja välttää samojen asioiden kirjoittamista tavalliselle taululle vuodesta toiseen. Olen käyttänyt pelkästään Smart Boardia lukuvuonna lyhyen matematiikan opetuksessa ja mielestäni Smart Board on helpottunut työtäni edellä mainituissa ongelmissa. Olen jakanut 75 minuutin oppituntini yleensä samalla tavalla. Ensin opetan uuden asian (30-45 min) ja sen jälkeen alkaa uuden asian harjoittelu. Samalla tarkistan opiskelijoiden tekemät kotitehtävät ja lopuksi näytän kotitehtävät kirjantekijän www-sivuilta. Jätän harjoitteluun aikaa vähintään 30 minuuttia. Kaikki kurssilla käytävät esimerkkitehtävät jaetaan kurssin alussa opiskelijoille, jotta vältetään pitkien tehtäväantojen kirjoittaminen. Smart Boardilla tehdyt tiedostot voidaan tehdä kotona ja tallettaa ne muistitikulle. Tiedostoja voidaan oppitunnilla muokata ja vaikkapa tallentaa ne uudella nimellä. Samaan tiedostoon voidaan tehdä monta esimerkkilaskua, joten oppitunnilla käytetään yleensä vain yhtä tiedostoa. Näkymä Smart Boardin matematiikka ohjelmasta Yhtälöt Säännölliset monikulmiot Graafit Epäsäännölliset monikulmiot Mittatyökalut Graafitaulukot Esimerkkitehtävät on tehty Smart Boardin matematiikka ohjelman avulla. Näkyvissä on yleensä vain alkutilanne eli kuva, yhtälö, funktio tai taulukko. Tehtävän loppu on piilotettu niin, että taulua painamalla tai hiirtä käyttämällä tehtävästä paljastuu yksi osa kerrallaan. Tehtävä ja sen ratkaisu on kirjoitettu Math-palikan yhtälöt komennon avulla. Kirjoitus on samanlaista kuin Wordin kaavaeditorilla. Tehtäväosien piilotuksen olen tehnyt suorakulmiokomennolla. Suorakulmio piirretään yhden tehtäväosan päälle ja sen jälkeen valitaan hiiren oikealla korvalla ominaisuudet. Täytön tehosteeksi esim. valkoinen, viivan tyyliksi esim. harmaa ja katkoviiva sekä esineanimaation tyypiksi loppuhäivytys. Tätä suorakulmiota voidaan sen jälkeen kloonata muiden tehtäväosien päälle ja sen kokoa voidaan muuttaa. Tämä sopii erityisen hyvin yhtälön ratkaisuun ja lausekkeen arvon laskemiseen. Valitettavasti tehtävien kirjoitusteksti on musta. Värejä ja erilaisia fontteja saa komennolla teksti.

2 Näkymä yhtälön ratkaisun alkutilanteesta (yhtälön_ratkaisu1.notebook) Math-palikan yhtälöt komennon avulla voidaan myös helposti piirtää funktion kuvaajia, valitettavasti vain kaksi kuvaajaa samaan koordinaatistoon. Valitaan komento yhtälöt ja kirjoitetaan esimerkiksi yhtälö. Klikataan hiiren oikealla korvalla yhtälöä ja valitaan matematiikkatoiminnoista kohta muodosta graafi. Tämän jälkeen graafista valitaan hiiren oikealla korvalla ominaisuudet. Tästä päästään graafin asetuksiin, josta voidaan valita esimerkiksi x- ja y- akselin rajat. Näkymä kahden suoran piirtämisestä samaan koordinaatistoon.

3 Funktion kuvaajan päälle voidaan lisätä pisteitä ja piirtää suoria. Siten tärkeimmät kohdat voidaan merkitä helposti etukäteen ja opettajalle jää enemmän aikaa itse asian käsittelyyn. Alla olevassa esimerkissä opettaja siirtää valmiiksi piirretyt pisteet oikeisiin kohtiin ja piirtää derivaatan määrittelyssä tarvittavat tangentit (kakun_jaahtuminen.notebook) suoratyökalulla.

4 Geometriassa voidaan kaavat ja kuvat kirjoittaa samalle sivulle. Esimerkkitehtävissä voidaan palata kaavoihin ja yksikönmuunnoksiin. Komennosta galleria voidaan valita matematiikkaan sopivia kuvia, joten esimerkiksi avaruuskappaleiden kuvia ei tarvitse itse piirtää. Vuorovaikutteiset toiminnot ja multimedia komennosta saadaan vuorovaikutteinen astelevy tai todennäköisyyteen arpakuutiot. Vasemmalla kuva kuvioiden hakemisesta. Yllä esimerkki tehtävästä, jossa Maan oletetaan olevan kuutio (tilavuus.notebook). Todennäköisyyslaskennassa kaikkien alkeistapausten kirjoittaminen on useimmiten varsin työlästä. Smart Boardilla kirjoitettu esimerkki on myös työläs tehdä, mutta se tehdään vain kerran. Lisäksi tavalliselle taululle kirjoitettu esimerkki täyttää helposti koko taulun ja taulu joudutaan pyyhkimään tunnin aikana monta kertaa. Toisinaan opiskelijat kopioivat opettajan merkintöjä väärin ja jo yhden kirjaimen väärä tulkinta hämmästyttää opiskelijaa. Smart Boardilla yksi esimerkki mahtuu yleensä yhdelle sivulle, jos tehtävä kirjoitetaan komennon yhtälöt avulla. Jos taululle kirjoitetaan kynällä, niin käsialasta tulee helposti liian suurta ja laadullisesti heikkoa. Kynällä voidaan vetää nuolia ja ympyröidä tärkeimpiä kohtia, mutta pitkien tekstin kirjoittamiseen taulua ei sovi.

5 Seuraavassa esimerkissä on binomikaavan johdatus esimerkillä, jossa neljästä arvasta saadaan täsmälleen yksi voittoarpa, kun yhden arvan voiton todennäköisyys tiedetään. Ensimmäinen kuva kuvaa lähtötilannetta ja toinen kuva lopputulosta (toistokoe.notebook).

6 Seuraavassa esimerkissä on aritmeettisen lukujonon kaavan johdatus aluksi esimerkin avulla ja sen jälkeen päätellään yleinen termi. Ensimmäinen kuva kuvaa lähtötilannetta ja toinen kuva lopputulosta (aritmeettisen_lukujonon_kaavan_johdatus.notebook). Väreillä voidaan helposti havainnollistaa tilannetta.

7 Komento graafitaulukot piirtää ainoastaan koordinaattipisteitä, kun x- ja y-koordinaatit annetaan. Usein tehtävistä pitää tehdä kuitenkin malli taulukon avulla. Olen piirtänyt ainoastaan taulukon ääriviivat viivatyökalun avulla ja kirjaimet olen kirjoittanut tekstityökalulla tai komennolla yhtälöt. Seuraavassa esimerkissä on esimerkki auton hinnan kehityksestä. Ensimmäinen kuva kuvaa lähtötilannetta ja toinen kuva lopputulosta (eksponenttiyhtälö_ja_sen_ratkaiseminen.notebook). Taulukolla voidaan helposti havainnollistaa tilannetta, joten opiskelija ymmärtää helpommin prosentuaalisen muutoksen.

8 Smart Boardin avulla voidaan värejä, kuvia, taulukoita ja kuvaajia hyväksi käyttäen havainnollistaa ja värittää opetusta. Ohjelmalla kirjoitettu teksti on selkeää kunhan muistaa kirjoittaa tekstin riittävän suureksi. Taulun avulla opettajan ei tarvitse välttämättä kirjoittaa taululle juuri mitään eikä opettajan tarvitse olla selin kohti luokkaa. Näin suurikin ryhmä on helpommin hallittavissa ja opiskelijoita on helpompi tarkkailla. Opetuksessa vaarana on, että opettaja etenee liian nopeasti eikä huomioi opiskelijoiden hidasta kirjoitusnopeutta. Opiskelijalle on annettava aikaa kirjoitukseen ja ajatukseen.

9 Opettajan on tehtävä työ kotona ja mietittävä esimerkkien eteneminen etukäteen. Paras ominaisuus on tiedon tallettaminen. Oppitunnilla tehtävät muutokset ja huomiot kannattaa tallettaa heti ja kirjoituksessa tapahtuneet virheet kannattaa korjata heti joko välitunnilla tai samana iltana. Edellisen tunnin esimerkit ovat nopeasti kerrattavissa ja niistä on helppo jatkaa uusiin asioihin. Olen huomannut opiskelijoiden ymmärtävän matematiikkaa paremmin ja myös heikosti matematiikkaa osaavat ovat päässeet asioista jyvälle. Tiedostot on helppo lähettää opiskelijalle, jos hänellä on Smart Boardin ohjelma kotikoneessa. Tiedostot voidaan muuntaa myös PowerPoint muotoon kohdasta tiedosto, vie. Opetuksen interaktiivisuus kuitenkin kärsii ja tilanne muistuttaa helposti kalvoilla tapahtuvaa opetusta. Tämän kokeiluvuoden jälkeen en missään tapauksessa enää halua opettaa liitu- tai tussitaululla. Opettajan kannattaa oppitunnilla käyttää energiaa muuhunkin kuin kirjoittaa taululle aina samoja kaavoja ja esimerkkejä vuodesta toiseen. Timo Tuominen, Kupittaan lukio

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ (ja MITTAA) a) jana toinen jana, jonka pituus on 3 b) kulma toinen kulma, jonka

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille

GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille GeoGebra-harjoituksia malu-opettajille 1. Ohjelman kielen vaihtaminen Mikäli ohjelma ei syystä tai toisesta avaudu toivomallasi kielellä, voit vaihtaa ohjelman käyttöliittymän kielen seuraavasti: 2. Fonttikoon

Lisätiedot

Vektoreita GeoGebrassa.

Vektoreita GeoGebrassa. Vektoreita GeoGebrassa 1 Miten GeoGebralla piirretään vektoreita? Työvälineet ja syöttökentän komennot Vektoreiden esittäminen GeoGebrassa on luontevaa: vektorien piirtämiseen on kaksi työvälinettä vektoreita

Lisätiedot

Tekstinkäsittely 1. Peruskäyttö. Tietotekniikan perusteet Metropolia Ammattikorkeakoulu Vesa Ollikainen

Tekstinkäsittely 1. Peruskäyttö. Tietotekniikan perusteet Metropolia Ammattikorkeakoulu Vesa Ollikainen Tekstinkäsittely 1 Peruskäyttö Tavoitteet ja sisältö Tavoite Lyhyen asiakirjan kirjoitustaito Word-tekstinkäsittelyohjelmalla Sisältö Tekstinkäsittelyohjelman esittely Tekstinkäsittelyprosessi Tekstin

Lisätiedot

Laske Laudatur ClassPadilla

Laske Laudatur ClassPadilla Enemmän aikaa matematiikan opiskeluun, vähemmän aikaa laskimen opetteluun. Laske Laudatur ClassPadilla Lyhyt matematiikka, kevät 2015 Casio Scandinavia Keilaranta 4 02150 Espoo info@casio.fi Hyvä lukija,

Lisätiedot

Ensin klikkaa käynnistä-valikkoa ja sieltä Kaikki ohjelmat valikosta kaikki ohjelmat

Ensin klikkaa käynnistä-valikkoa ja sieltä Kaikki ohjelmat valikosta kaikki ohjelmat Microsoft Office 2010 löytyy tietokoneen käynnistä-valikosta aivan kuin kaikki muutkin tietokoneelle asennetut ohjelmat. Microsoft kansion sisältä löytyy toimisto-ohjelmistopakettiin kuuluvat eri ohjelmat,

Lisätiedot

GeoGebra Quickstart. Lyhyt GeoGebra 2.7 -ohje suomeksi

GeoGebra Quickstart. Lyhyt GeoGebra 2.7 -ohje suomeksi GeoGebra Quickstart Lyhyt GeoGebra 2.7 -ohje suomeksi Algebraikkuna GeoGebra on ilmainen matematiikan opetusohjelma. Siinä on työvälineitä dynaamiseen geometriaan, algebraan ja analyysiin. Voit piirtää

Lisätiedot

SMART Board harjoituksia 14 - Notebook 10 Gallerian käyttäminen Notebookissa Yritä tehdä tehtävät sivulta 1 ilman että katsot vastauksia.

SMART Board harjoituksia 14 - Notebook 10 Gallerian käyttäminen Notebookissa Yritä tehdä tehtävät sivulta 1 ilman että katsot vastauksia. SMART Board harjoituksia 14 - Gallerian käyttäminen Notebookissa Yritä tehdä tehtävät sivulta 1 ilman että katsot vastauksia. http://www.kouluon.fi/ Harjoitus 1-14: Kohteiden hakeminen galleriasta Avaa

Lisätiedot

Peilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla

Peilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla Peilaus pisteen ja suoran suhteen Pythonin Turtle moduulilla ALKUHARJOITUS Kynän ja paperin avulla peilaaminen koordinaatistossa a) Peilaa pisteen (0,0) suhteen koordinaatistossa sijaitseva - neliö, jonka

Lisätiedot

YipTree.com. hommannimionmatematiikka.com

YipTree.com. hommannimionmatematiikka.com YipTree.com hommannimionmatematiikka.com YipTreen ja Homman nimi on matematiikan plussat Työrauha, työrauha ja työrauha Tuntien aloitus tapahtuu automaattisesti ja nopeasti (edellyttäen että koneet toimii)

Lisätiedot

Nspire CAS - koulutus Ohjelmiston käytön alkeet Pekka Vienonen

Nspire CAS - koulutus Ohjelmiston käytön alkeet Pekka Vienonen Nspire CAS - koulutus Ohjelmiston käytön alkeet 3.12.2014 Pekka Vienonen Ohjelman käynnistys ja käyttöympäristö Käynnistyksen yhteydessä Tervetuloa-ikkunassa on mahdollisuus valita suoraan uudessa asiakirjassa

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Tietokoneharjoitus: ratkaisut

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Tietokoneharjoitus: ratkaisut Johdanto Kokeile tavallista numeroilla laskemista: yhteen-, kerto- ja jakolaskuja sekä potenssiinkorotusta. 5 (3.1) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Tietokoneharjoitus: ratkaisut Kurssin 1. alkuviikon

Lisätiedot

MAY1 Luvut ja lukujonot, opintokortti

MAY1 Luvut ja lukujonot, opintokortti MAY1 Luvut ja lukujonot, opintokortti Nimi: Minimivaatimukset kurssin suorittamiseksi: Vihkoon on laskettu laadukkaasti vähintään 50 tehtävää. Opiskelija palauttaa viimeistään kokeeseen o Opintokortin

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

Aloitusohje versiolle 4.0

Aloitusohje versiolle 4.0 Mikä on Geogebra? Aloitusohje versiolle 4.0 dynaamisen matematiiikan työvälineohjelma helppokäyttöisessä paketissa oppimisen ja opetuksen avuksi kaikille koulutustasoille vuorovaikutteiset geometria, algebra,

Lisätiedot

Vesa Ollikainen, päivitys Juha Haataja 3.8.2010

Vesa Ollikainen, päivitys Juha Haataja 3.8.2010 METROPOLIA Tekstinkäsittely1 Peruskäyttö Vesa Ollikainen, päivitys Juha Haataja 3.8.2010 Tavoitteet ja sisältö Tavoite Lyhyen asiakirjan kirjoitustaito Word-tekstinkäsittelyohjelmalla Sisältö Tekstinkäsittelyohjelman

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

Gimp 3. Polkutyökalu, vektori / rasteri, teksti, kierto, vääntö, perspektiivi, skaalaus (koon muuttaminen) jne.

Gimp 3. Polkutyökalu, vektori / rasteri, teksti, kierto, vääntö, perspektiivi, skaalaus (koon muuttaminen) jne. Gimp 3. Polkutyökalu, vektori / rasteri, teksti, kierto, vääntö, perspektiivi, skaalaus (koon muuttaminen) jne. Moni ammatikseen tietokoneella piirtävä henkilö käyttää piirtämiseen pisteiden sijasta viivoja.

Lisätiedot

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2013 Student sivu 1 / 7 NIMI RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

LibreOfficen kaavaeditori

LibreOfficen kaavaeditori LibreOfficen kaavaeditori Esim. Koruketjun tiheyden määrittämiseksi ketjun massaksi mitattiin vaa'alla 74 g. Ketjun tilavuudeksi saatiin 24 ml upottamalla ketju mittalasissa olevaan veteen. Laske ketjun

Lisätiedot

FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN

FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN FUNKTION KUVAAJAN PIIRTÄMINEN Saat kuvapohjan painamalla @-näppäintä tai Insert/Graph/X-Y-POT. Kuvapohjassa on kuusi paikanvaraaja: vaaka-akselin keskellä muuttuja ja päissä minimi- ja maksimiarvot pystyakselin

Lisätiedot

Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi

Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi Rakenteiset päättelyketjut ja avoin lähdekoodi Mia Peltomäki Kupittaan lukio ja Turun yliopiston IT-laitos http://crest.abo.fi /Imped Virtuaalikoulupäivät 24. marraskuuta 2009 1 Taustaa Todistukset muodostavat

Lisätiedot

Luokka näytön käyttäminen opetuksessa.

Luokka näytön käyttäminen opetuksessa. Luokka näytön käyttäminen opetuksessa. - Kaikki alkaa totta kai kaukosäätimestä. - Source napista pääset valikkoon, mistä voit valita minkä lähteen otat käyttöön - Magic IWB S on piirto-ohjelma (valkotaulu)

Lisätiedot

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) . Lasketaan valmiiksi derivaattoja ja niiden arvoja pisteessä x = 2: f(x) = x + 3x 3 + x 2 + 2x + 8, f(2) = 56, f (x) = x 3 + 9x 2 + 2x + 2, f (2) = 7, f (x) = 2x 2 + 8x + 2, f (2) = 86, f (3) (x) = 2x

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

Päähaku, matemaattisten tieteiden kandiohjelma Valintakoe klo

Päähaku, matemaattisten tieteiden kandiohjelma Valintakoe klo Teknisiä merkintöjä: MATEM Sivu: 1 (9) Päähaku, matemaattisten tieteiden kandiohjelma Valintakoe 7.5.2018 klo 10.00 13.00 Kirjoita henkilö- ja yhteystietosi tekstaamalla. Kirjoita nimesi latinalaisilla

Lisätiedot

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita

6. Harjoitusjakso II. Vinkkejä ja ohjeita 6. Harjoitusjakso II Seuraavaksi harjoitellaan algebrallisten syötteiden, komentojen ja funktioiden käyttöä GeoGebrassa. Tarjolla on ensimmäisen harjoittelujakson tapaan kahden tasoisia harjoituksia: perustaso

Lisätiedot

Derivaatta graafisesti, h- ja keskeisdifferenssimuodot GeoGebralla Valokuva-albumi

Derivaatta graafisesti, h- ja keskeisdifferenssimuodot GeoGebralla Valokuva-albumi Derivaatta graafisesti, h- ja keskeisdifferenssimuodot GeoGebralla Valokuva-albumi Jussi Kytömäki Lisätiedot ja tekijä: PPT-tiedoston jussi tilaus Jussi.kytomaki@ylojarvi.fi 15.12.2015 GeoGebra-tiedosto

Lisätiedot

Yleistä vektoreista GeoGebralla

Yleistä vektoreista GeoGebralla Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti

Lisätiedot

Kuva 1. GIMP:in uuden kuvan luominen. Voit säätää leveyttä ja korkeutta ja kokeilla muitakin vaihtoehtoja. Napsauta sitten "OK".

Kuva 1. GIMP:in uuden kuvan luominen. Voit säätää leveyttä ja korkeutta ja kokeilla muitakin vaihtoehtoja. Napsauta sitten OK. Gimp alkeet III 8 luokan ATK-työt/HaJa Sivu 1 / 6 Uuden kuvan luominen GIMP:illä yleisinfoa ----> LUE! Sen lisäksi, että GIMP on loistava valokuvankäsittelyohjelma, sillä saa piirrettyä myös omia kuvia

Lisätiedot

Office 2007 -siirtymä

Office 2007 -siirtymä Office 2007 -siirtymä JY Tietohallintokeskus hannele.rajaniemi@jyu.fi Siirtymän olennaiset askeleet siirtymä vaiheittain laitoksittain/ tiedekunnittain pilottina: avoin yo sekä liikunta- ja terveystieteiden

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 3 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 3 tuntia (180 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

SMART Board harjoituksia 09 - Notebook 10 Notebookin perustyökalujen käyttäminen 2 Yritä tehdä tehtävät sivulta 1 ilman että katsot vastauksia.

SMART Board harjoituksia 09 - Notebook 10 Notebookin perustyökalujen käyttäminen 2 Yritä tehdä tehtävät sivulta 1 ilman että katsot vastauksia. SMART Board harjoituksia 09 - Notebookin perustyökalujen käyttäminen 2 Yritä tehdä tehtävät sivulta 1 ilman että katsot vastauksia. http://www.kouluon.fi/ Harjoitus 1-09: Taikakynä Avaa edellisessä harjoituksessa

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

a) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja

a) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p) Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

SMART Notebook -tuoteperhe

SMART Notebook -tuoteperhe Tuotevertailu -tuoteperhe Seuraavassa taulukossa vertaillaan neljää eri -perheen tuotetta: Express Sovellus Perusominaisuudet Alusta Windows ja Mac - tietokoneet Katso lisätietoja tietokonevaatimuksista

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Pelit matematiikan opetuksessa

Pelit matematiikan opetuksessa Pelit matematiikan opetuksessa Vadim Kulikov Helsingin Yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Epsilonit kirjaa tutkimassa, 28.01.2012 Millaisia pelejä? pärjääminen edellyttää ongelmanratkaisukykyä,

Lisätiedot

GEOS 1. Piirto-ohjeita GIMPkuvankäsittelyohjelmalle

GEOS 1. Piirto-ohjeita GIMPkuvankäsittelyohjelmalle GEOS 1 Piirto-ohjeita GIMPkuvankäsittelyohjelmalle GIMP-kuvankäsittelyohjelma on ladattavissa ilmaiseksi osoitteessa: https://www.gimp.org/ Tässä ohjeessa on käytetty GIMP 2.8.16 versiota. Tarvittaessa

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

OPPIKIRJATON OPETUS! Kari Nieminen!! Tampereen yliopiston normaalikoulu!! ITK 2015!

OPPIKIRJATON OPETUS! Kari Nieminen!! Tampereen yliopiston normaalikoulu!! ITK 2015! OPPIKIRJATON OPETUS! Kari Nieminen!! Tampereen yliopiston normaalikoulu!! ITK 2015! OMA TAUSTA! Matematiikan opetukseen liittyvä FL-tutkielma tietojenkäsittelyopissa 90-luvun alussa! Jatko-opiskelija "Mobile

Lisätiedot

Väitöskirja -mallipohja

Väitöskirja -mallipohja JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Väitöskirja -mallipohja Word 2007/2010 IT-palvelut hannele.rajaniemi@jyu.fi https://koppa.jyu.fi/avoimet/thk/vaitoskirja sovellustuki@jyu.fi Sisältö Miten toimii väitöskirja/asiakirjamallipohja?

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata

Lisätiedot

MOODLE-KURSSIN LAATIMINEN /OPETTAJAN OHJEET

MOODLE-KURSSIN LAATIMINEN /OPETTAJAN OHJEET MOODLE-KURSSIN LAATIMINEN /OPETTAJAN OHJEET Jos haluat itsellesi tai jollekin ryhmälle uuden kurssipohjan, ota yhteyttä Virpi Järvenreunaan, Leena Kankaanpäähän, Mervi Lehtoseen, Konsta Ojaseen, Jarno

Lisätiedot

Hannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus

Hannu Mäkiö. kertolasku * jakolasku / potenssiin korotus ^ Syöte Geogebran vastaus Perusohjeita, symbolista laskentaa Geogebralla Kielen vaihtaminen. Jos Geogebrasi kieli on vielä englanti, niin muuta se Options välilehdestä kohdasta Language suomeksi (finnish). Esittelen tässä muutaman

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

ph-titrauskuvaajan piirto LoggerProlla, Tl-Nspirellä,Class Padillä, GeoGebralla ja LibreOfficella

ph-titrauskuvaajan piirto LoggerProlla, Tl-Nspirellä,Class Padillä, GeoGebralla ja LibreOfficella marika suovanen ph-titrauskuvaajan piirto LoggerProlla, Tl-Nspirellä,Class Padillä, GeoGebralla ja LibreOfficella Abittissa: Jos kokeessa arvot ovat liitetiedostossa muodossa mittaustulokset.csv, niin

Lisätiedot

Kyselytutkimus opiskelijoiden ajankäytöstä tietojenkäsittelyteorian peruskurssilla

Kyselytutkimus opiskelijoiden ajankäytöstä tietojenkäsittelyteorian peruskurssilla Kyselytutkimus opiskelijoiden ajankäytöstä tietojenkäsittelyteorian peruskurssilla Harri Haanpää Peda-forum 2004 AB TEKNILLINEN KORKEAKOULU Tietojenkäsittelyteorian laboratorio T 79.148 Tietojenkäsittelyteorian

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia

HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan

Lisätiedot

Sähköinen koe (esikatselu) MAA A-osio

Sähköinen koe (esikatselu) MAA A-osio MAA2 2018 A-osio Laske molemmat tehtävät! Tee tehtävät huolellisesti. Muodosta vastaukset abitin kaavaeditoriin. Kysy opettajalta tarvittaessa neuvoa teknisissä ja ohjelmien käyttöön liittyvissä ongelmissa.

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

Matematiikan opetus tietokonetta käyttäen

Matematiikan opetus tietokonetta käyttäen 2014 Matematiikan opetus tietokonetta käyttäen Tommi Koivisto Kastellin lukio Sisällysluettelo Johdanto... 3 Laitteisto ja ohjelmisto... 3 Muita mahdollisia laitteita... 4 Tuntien kulku... 4 Aineiston

Lisätiedot

Päähaku, matemaattisten tieteiden kandiohjelma Valintakoe klo

Päähaku, matemaattisten tieteiden kandiohjelma Valintakoe klo Päähaku, matemaattisten tieteiden kandiohjelma Valintakoe 8.5.2019 klo 10.00 13.00 Kirjoita henkilö- ja yhteystietosi tekstaamalla. Kirjoita nimesi latinalaisilla kirjaimilla (abcd...), älä esimerkiksi

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13 Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)

Lisätiedot

mplperusteet 1. Tiedosto: mplp001.tex Ohjelmat: Maple, [Mathematica] Sievennä lauseke x 1 ( mplp002.tex (PA P1 s.2011)

mplperusteet 1. Tiedosto: mplp001.tex Ohjelmat: Maple, [Mathematica] Sievennä lauseke x 1 ( mplp002.tex (PA P1 s.2011) Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos -e mplperusteet. Tiedosto: mplp00.tex Ohjelmat: Maple, [Mathematica] Sievennä lauseke x ( x )( + x ). Kokeile funktiota simplify. 2. mplp002.tex

Lisätiedot

Automaatit. Muodolliset kielet

Automaatit. Muodolliset kielet Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten

Lisätiedot

o Ohjeet annetaan kurssin aikana. MAY1 Luvut ja lukujonot, Opintokortti

o Ohjeet annetaan kurssin aikana. MAY1 Luvut ja lukujonot, Opintokortti MAY1 Luvut ja lukujonot, Opintokortti Nimi: Minimivaatimukset kurssin suorittamiseksi: Vihkoon on laskettu laadukkaasti vähintään 50 tehtävää. Opiskelija palauttaa viimeistään kokeeseen o Opintokortin

Lisätiedot

Ohjeistus yhdistysten internetpäivittäjille

Ohjeistus yhdistysten internetpäivittäjille Ohjeistus yhdistysten internetpäivittäjille Oman yhdistyksen tietojen päivittäminen www.krell.fi-sivuille Huom! Tarvitset päivittämistä varten tunnukset, jotka saat ottamalla yhteyden Kristillisen Eläkeliiton

Lisätiedot

5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä

5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä 5.6.3 Matematiikan lyhyt oppimäärä Matematiikan lyhyen oppimäärän opetuksen tehtävänä on tarjota valmiuksia hankkia, käsitellä ja ymmärtää matemaattista tietoa ja käyttää matematiikkaa elämän eri tilanteissa

Lisätiedot

LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!

LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN! Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT

Lisätiedot

Ensin klikkaa käynnistä-valikkoa ja sieltä Kaikki ohjelmat valikosta kaikki ohjelmat

Ensin klikkaa käynnistä-valikkoa ja sieltä Kaikki ohjelmat valikosta kaikki ohjelmat Microsoft Office 2010 löytyy tietokoneen käynnistä-valikosta aivan kuin kaikki muutkin tietokoneelle asennetut ohjelmat. Microsoft kansion sisältä löytyy toimisto-ohjelmistopakettiin kuuluvat eri ohjelmat,

Lisätiedot

LASKE LAUDATUR CLASSWIZ- LASKIMELLA

LASKE LAUDATUR CLASSWIZ- LASKIMELLA LASKE LAUDATUR CLASSWIZ- LASKIMELLA Tiivistelmä Kevään 2019 yo-kokeiden ratkaisut ClassWiz-laskimella laskettuina. Katso lisää laskimista nettisivuiltamme www.casio-laskimet.fi Pepe Palovaara pepe.palovaara@casio.fi

Lisätiedot

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen

4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA. T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 4 / 2013 TI-NSPIRE CAS TEKNOLOGIA LUKIOSSA T3-kouluttajat: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen 1 2 TI-Nspire CX CAS kämmenlaite kevään 2013 pitkän matematiikan kokeessa Tehtävä 1. Käytetään komentoa

Lisätiedot

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)

Lisätiedot

5. OSITTAISINTEGROINTI

5. OSITTAISINTEGROINTI 5 OSITTAISINTEGROINTI Kahden funktion f ja g tulo derivoidaan kuten muistetaan seuraavasti: D (fg) f g + f Kun tämä yhtälö integroidaan puolittain, niin saadaan fg f ()g()d + f ()()d Yhtälö saattaa erota

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

TEHTÄVÄN NIMI YHDELLE TAI USEAMMALLE RIVILLE FONTTIKOKO 24 Tarvittaessa alaotsikko fonttikoko 20

TEHTÄVÄN NIMI YHDELLE TAI USEAMMALLE RIVILLE FONTTIKOKO 24 Tarvittaessa alaotsikko fonttikoko 20 Etunimi Sukunimi fonttikoko 16 Ryhmätunnus TEHTÄVÄN NIMI YHDELLE TAI USEAMMALLE RIVILLE FONTTIKOKO 24 Tarvittaessa alaotsikko fonttikoko 20 Tehtävätyyppi Koulutusohjelma fonttikoko 16 Elokuu 2010 SISÄLTÖ

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

MAA5 Vektori, Opintokortti

MAA5 Vektori, Opintokortti MAA5 Vektori, Opintokortti Nimi: Minimivaatimukset kurssin suorittamiseksi: Vihkoon on laskettu laadukkaasti vähintään 50 tehtävää. Opiskelija palauttaa viimeistään kokeeseen o Opintokortin täytettynä

Lisätiedot

Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8

Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8 Oppimateriaali oppilaalle ja opettajalle : GeoGebra oppilaan työkaluna ylioppilaskirjoituksissa 2016 versio 0.8 Piirtoalue ja algebraikkuna Piirtoalueelle piirretään työvälinepalkista löytyvillä työvälineillä

Lisätiedot

oppilaan kiusaamista kotitehtävillä vai oppimisen työkalu?

oppilaan kiusaamista kotitehtävillä vai oppimisen työkalu? Oppimispäiväkirjablogi Hannu Hämäläinen oppilaan kiusaamista kotitehtävillä vai oppimisen työkalu? Parhaimmillaan oppimispäiväkirja toimii oppilaan oppimisen arvioinnin työkaluna. Pahimmillaan se tekee

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Pauliina Munter / Suvi Junes Tampereen yliopisto/tietohallinto 2013

Pauliina Munter / Suvi Junes Tampereen yliopisto/tietohallinto 2013 Tehtävä 2.2. Tehtävä-työkalun avulla opiskelijat voivat palauttaa tehtäviä Moodleen opettajan arvioitaviksi. Palautettu tehtävä näkyy ainoastaan opettajalle, ei toisille opiskelijoille. Tehtävä-työkalun

Lisätiedot

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) Polynomi P() = 3 + 8 on jaollinen polynomilla Q() = 3, jos = 3 on polynomin P nollakohta, eli P(3) = 0. P(3) = 3 3 3 + 8 3 = 54 08 + 54 = 0. Polynomi P on jaollinen polynomilla Q. b) Jaetaan

Lisätiedot

SMART BOARD. Interaktiivinen esitystaulu yhdistää perinteisen liitu- ja tussitaulun sekä tietokonekuvan. Sormesi on hiiri ja liitu!

SMART BOARD. Interaktiivinen esitystaulu yhdistää perinteisen liitu- ja tussitaulun sekä tietokonekuvan. Sormesi on hiiri ja liitu! SMART BOARD Interaktiivinen esitystaulu yhdistää perinteisen liitu- ja tussitaulun sekä tietokonekuvan Sormesi on hiiri ja liitu! MITÄ HYÖTYÄ? Opettaja Saa liikkua Voi valmistella taulutyötään etukäteen

Lisätiedot