Matematiikan kirjallinen viestintä ja tieteellinen tiedonhankinta

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikan kirjallinen viestintä ja tieteellinen tiedonhankinta"

Transkriptio

1 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 1/6 Matematiikan kirjallinen viestintä ja tieteellinen tiedonhankinta Tuomas Nurmi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto

2 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 2/6 Kurssin suorittaminen Kaksi pakollista luentoa matemaattisesta kirjoittamisesta Yksi pakollinen luento yleisestä tieteellisestä kirjoittamisesta Yksi pakollinen pienryhmäopetustilaisuus tietokannoista ja tiedonhankinnasta Yksi pakollinen Mathematica-opetustilaisuus Yksi pakollinen L A T E X-opetustilaisuus Yksi vapaaehtoinen harjoituskerta

3 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 3/6 Viikko 4 (19.1.) Avausluento ja ilmoittautumiset Matemaattisen tekstin kirjoittaminen

4 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 4/6 Viikko 5 Tiedonhankintataitojen opettelua Teutorin kirjaston Sammio-mikroluokassa Opettajana Jaana Taylerson Matemaattis-luonnontieteellisestä tiedekuntakirjastosta Kolme pienryhmää: Maanantaina klo Keskiviikkona klo 8-10 Torstaina klo Ilmoittautuminen pienryhmiin nyt.

5 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 5/6 Viikko 6 L A T E X-alkeisopetus Quantumin mikroluokassa Pienryhmät : Maanantaina 2.2. klo Keskiviikkona 4.2. klo 8-10 Torstaina 5.2. klo Ilmoittautuminen pienryhmiin nyt.

6 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 6/6 Viikko 7 Kaikille yhteinen luento matemaattisesta kirjoittamisesta ja lähdeviitteiden käytöstä maanantaina 9.2. klo salissa Publicum 2. Matematiikan aineiden aiheiden valinta. Tietoa tilastotieteen LuK-tutkielmista

7 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 7/6 Viikko 8 Kaikille yhteinen luento yleisestä tieteellisestä kirjoittamisesta Opettajana Emmi Hynönen Kielikeskuksesta Luento kuuluu pakollisena aloituksena myös kurssiin Kirjallisen työn laatimiseen liittyvä opetus, joka on vanhoille matematiikan opiskelijoille erittäin suositeltava ja muille pakollinen.

8 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 8/6 Viikko 10 Mathematica-alkeisopetus Quantumin mikroluokassa Pienryhmät : Maanantaina 2.3. klo Keskiviikkona 4.3. klo 8-10 Torstaina 5.3. klo Osallistuminen viikon 6 ryhmäjaon mukaisesti.

9 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 9/6 Viikko 11 L A T E X- ja Mathematica-harjoituksia Quantumin mikroluokassa viikon 6 ryhmäjaon mukaisesti.

10 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 10/6 Poissaolot opetustilaisuuksista Opiskelija, joka on poissa pakollisesta opetustilaisuudesta, korvaa poissaolon kirjoittamalla harjoitustyön, jonka laajuus riippuu poissaolojen määrästä. Harjoitustyössä kirjoitetaan lyhyt matemaattinen teksti L A T E X-ohjelmalla ja liitetään tähän tekstiin Mathematica-ohjelmalla tuotettuja kuvia.

11 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 11/6 Matematiikan ja tilastotieteen kirjalliset työt Matematiikan aine 2 op (ei tilastotieteilijöillä). Aihe ja ohjaaja tällä kurssilla. Kandidaatin tutkielma 6 tai 8 op. Tilastotieteilijät sopivat aiheesta ja ohjauksesta Katajiston kanssa. Matemaatikot sopivat ohjaajasta Jurvasen kanssa ja aiheesta ohjaajan kanssa. Pro gradu -tutkielma 20 tai 30 op. Opelinja: Matti Vuorinen Sovellettu: Marko Mäkelä Matematiiikka: Tero Harju Tilastotiede: Mervi Eerola

12 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 12/6 Kirjallisten töiden tavoitteet Opetella kirjoittamaan matemaattista tekstiä. Harjoitella tieteellistä työskentelyä ja oppia tiedonhankintaa tieteellisistä tietokannoista. Harjoitella itsenäistä matemaattista työskentelyä. Tottua vieraskielisen matemaattisen kirjallisuuden käyttöön. Oppia matematiikka tai tilastotiedettä

13 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 13/6 Työskentelyperiaatteet Älä tyydy pelkkään käännöstyöhön. Perehdy materiaaliin ja pyri omaksumaan asiat. Etsi mahdollisesti lisämateriaalia. Suunnittele huolellisesti aineesi rakenne ja sisältö. Oikolue aineesi vielä ennen ensimmäisen version palautusta. Hyödynnä ohjaajaa aina tarvittaessa.

14 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 14/6 Kirjoitustyö Paras vaihtoehto L A T E X. Kaikki matemaattiset symbolit käytettävissä. Automaattiset työkalut kaavojen ladontaan. Ohjaajat osaavat auttaa ongelmissa. Word toimii, mutta sen käyttö on työlästä. Vain osa symboleista saatavilla. Ladonta työläästi käsin. Yllättäviä ongelmia luvassa. Vaatii paljon tehoa ja muistia. Mathematica soveltuu vain ammattilaiskäyttöön.

15 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 15/6 Esityksen rakenne Esityksessä on oltava aina johdanto. Esityksen on edettävä loogisesti ja suoraviivaisesti. Esitys on jaettava luvuiksi ja kappaleiksi. Esityksen loppuun lisätään lähdeluettelo ja tekstiin viittaukset lähteisiin.

16 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 16/6 Matemaattisen tekstin kieliasu Kielioppisäännöt ovat voimassa myös matemaattista tekstiä kirjoitettaessa. Selittävä ja johdatteleva teksti kaavojen välillä on aina tarpeen. Uusi kappale alkaa sisennyksellä. Merkinnät ja symbolit on esiteltävä ennen käyttöä.

17 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 17/6 Esitystapa Merkinnät ja symbolit on esiteltävä ennen käyttöä. Sanojen lyhenteitä (ODY, Määr. Tod.) ei käytetä. Tarina etenee oletuksista tuloksiin ja niistä edelleen johtopäätöksiin.

18 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 18/6 Esitystapa Usein lähdeteoksen esitystapaa on muutettava. Uusien selittävien tekstien ja välivaiheiden lisääminen. Tarpeettomien osien karsinta. Suunnittele tekstisi opiskelutoverisi luettavaksi.

19 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 19/6 Matemaattisen tekstin erityiskysymyksiä I Matemaattiset symbolit ja funktiot kirjoitetaan kursiivilla. Monikirjaimiset funktioiden nimet kirjoitetaan ilman kursiivia. Matemaattisia lyhennysmerkintöjä,, ei käytetä normaalissa tekstissä. Virkettä ei aloiteta matemaattisella symbolilla tai kaavalla. Huomaa erot yhtälöiden, lausekkeiden ja epäyhtälöiden välillä.

20 Yhtälö ja lauseke Yhtälössä kaksi matemaattista lauseketta todetaan yhtäsuuriksi. Yhtälöitä ovat esimerkiksi tai Epäyhtälö ei ole yhtälö! f(x) = g(x) 1 x = 2(x ). Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 20/6

21 Kaava Kaava on yhtälö, josta yksi muuttuja tai parametri on ratkaistu. Kaavoja ovat esimerkiksi tai y = f(x) a = x Usein termillä kaava viitataan kuitenkin yleisesti mihin tahansa matemaattiseen ilmaisuun (esim. kaavaeditori ). Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 21/6

22 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 22/6 Matemaattisen tekstin erityiskysymyksiä II Symboleihin ei liitetä taivutuspäätteitä. Teksti on siis kirjoitettava sellaisessa muodossa, ettei symbolien taivutukseen ole tarvetta. Vertaa: Etsitään S:n kaikki x:t, joille f(x) = 1. Etsitään joukon S kaikki pisteet x, jotka toteuttavat yhtälön f(x) = 1.

23 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 23/6 Symbolien taivutus esimerkki Ei näin: Merkitään mittaustulosta x :llä. Merkitään mittaustulosta x. vaan näin: Merkitään mittaustulosta symbolilla x. Käytetään mittaustuloksesta merkintää x. Olkoon x mittaustulos.

24 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 24/6 Matemaattisen tekstin erityiskysymyksiä III Kaavat on yhdistettävä osaksi muuta tekstiä. Virkkeiden on oltava kielioppisääntöjen mukaisia, vaikka niiden osana olisi matemaattista esitystä. Kaava voi olla lauseessa objektina tai mahdollisesti sisältää lauseen predikaatin. Pitkät yhtälöketjut on usein helpointa esittää kaksoispisteen avulla.

25 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 25/6 Predikaatti kaavassa Tämän nojalla a = b. Tästä nähdään, että x 3 45 dx = Tämän nojalla a on yhtä suuri kuin b.

26 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 26/6 Kaava objektina Näin ollen on voimassa yhtäsuuruus a = b. Väite x 3 45 dx = 2 15 nähdään oikeaksi edellisestä yhtälöstä.

27 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 27/6 Yhtälöketju Yhtälön g(y)x = f(y) perusteella voidaan muuttujan x arvo laskea seuraavasti: x = f(y) g(y) = 2y y 2 = 2(1 y2 ) 1 y 2 = 2. Tämä muotoilu on usein luettavuuden kannalta huono. Yhtälöiden väliset ekvivalenssit esitetään selittävällä tekstillä ( mistä nähdään että... ).

28 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 28/6 Matemaattisen tekstin erityiskysymyksiä IV Suomen kielessä ei juurikaan käytetä sanaa teoreema. Jos-sanan parina kannattaa yleensä käyttää niin-sanaa: Jos a = b, b = c ja c = d, niin a = c, b = d ja a = d. Sanaparia siten, että ei yleensä tule käyttää. Kun englanniksi sanotaan such that, ei virke ole käännettävissä lauserakennetta muuttamatta.

29 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 29/6 Let x > 0 be such that... Ei näin: Olkoon x > 0 siten, että... Tässä on aine siten, että tukka nousee pystyyn. vaan näin: Olkoon x sellainen positiiviluku, että...

30 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 30/6 Matemaattisen tekstin erityiskysymyksiä V Lause 7 tai kuva 3 eivät ole erisnimiä, eikä niitä siis suomen kielessä kirjoiteta isolla alkukirjaimella kuin virkkeen alussa. Lauseella voi kuitenkin olla vakiintunut nimi ja tämä nimi ei ole välttämättä suora käännös (esim. väliarvolauseet). Pilkutussäännöt ja yhdyssanojen kirjoitussäännöt eivät suomen kielessä ole samat kuin englannin kielessä.

31 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 31/6 Yhdyssanoista Kiinnitä huomiota yhdyssanojen oikeinkirjoitukseen. Yhdys sanojen oikein kirjoituksen ali arvioimisen myötä vaikutusta pään säryn liika kasvuun ei voida yli arvioida. Huomaa ero ajatusviivan ja yhdysmerkin (tavuviivan) välillä. Ajatusviiva erottaa esimerkiksi välin ääripäitä (40 50-vuotiaat) tai vuorovaikutuksen osapuolia (TPS HIFK-ottelu).

32 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 32/6 Ajatusviiva ja yhdysmerkki Gauss Seidel Method suomennetaan Gaussin ja Seidelin menetelmä tai Gauss Seidel-menetelmä tai Gaussin Seidelin menetelmä. Joskus jokin näistä muodoista on vakiintunut käytännöksi (Runge Kutta-menetelmä). Peto saalis-malli, δ ε-menetelmä, resurssi kuluttaja-malli.

33 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 33/6 Vinkkejä Olennaista tekstin selkeys ja yksiselitteisyys, ei kauniiden lauserakenteiden käyttö. Tekstin seuraamista helpottaa, mikäli uusi käsite kirjoitetaan kursiivilla, kun se esitellään ensimmäisen kerran. Suomen kielessä käytetään desimaalipilkkua. Luentomonisteet eivät aina ole mallikelpoisia.

34 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 34/6 Lisäohjeita kieliopista ja kirjoittamisesta Kielikeskus: Kielenhuolto Jukka Korpelan sivut: jkorpela/kielet Kirjoittajan ABC-kortti: MOT-nettisanakirja Vilkaise tätä opasta myös kirjoitusvaiheessa.

35 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 35/6 Suomenna Function f(x) is continuous for a < x < b if ( x (a,b) y (a,b) ) : ε > 0 : δ > 0 : x y < δ f(x) f(y) < ε. Function f(x) is uniformly continuous for a < x < b if ε > 0 : δ > 0 : ( x (a,b) y (a,b) ) : x y < δ f(x) f(y) < ε.

36 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 36/6 Suomenna Function f(x) is continuous for a < x < b if ( x (a,b) y (a,b) ) : ε > 0 : δ > 0 : x y < δ f(x) f(y) < ε. Funktio f(x) on jatkuva pisteessä x, jos jokaiselle positiiviluvulle ε voidaan löytää sellainen positiiviluku δ, että f(x) f(y) < ε aina, kun x y < δ. Funktio f(x) on jatkuva välillä (a, b), jos se on jatkuva jokaisessa kyseisen välin pisteessä.

37 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 37/6 Kiitokset hereillä pysyneille Jatketaan tästä 21.1.

38 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 38/6 Matemaattinen kirjoittaminen Kertausta Tekstin sisäiset viittaukset Lähteiden käyttö Kuvat ja taulukot Matematiikan aineiden aiheet Tilastotieteen LuK-tutkielmat

39 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 39/6 Kertausta Kielioppisäännöt ovat voimassa myös matemaattisessa tekstissä. Kaavojen on oltava osa tekstiä. Kaava voi tarvittaessa sisältää lauseen predikaatin. Matemaattiset symbolit ja funktiot kursivoidaan. Lisää kirjoitusvinkkejä on matemaattisen kirjoittamisen oppaassa.

40 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 40/6 Kaavan sijoittaminen tekstiin Kaavat ja symbolit ovat osa tekstiä, joten ne sijoitetaan useimmiten normaalin tekstin joukkoon normaalille tekstiriville. Kaava voidaan sijoittaa omalle kaavarivilleen tilasyistä, tärkeän kaavan korostamiseksi tai kaavan numeroimiseksi myöhemmin tapahtuvia viittauksia varten.

41 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 41/6 Kaavojen numerointi Vain sellaiset kaavat numeroidaan, joihin muualla tekstissä viitataan. Kaavan numero on yleensä oikeassa reunassa ja sulkeissa. Kaikki kaavat on kuitenkin aina integroitava tekstiin. Kaavaan numero kirjoitetaan viitattaessa sulkeisiin: Kuten yhtälön (3) perusteella nähdään... Kaava (3) tai lause 5 eivät ole erisnimiä.

42 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 42/6 Esimerkki kaavoista Koska a = b, voidaan havaita, että b a e x x2xdx = 0. (1) Yhtälön (1) perusteella voidaan havaita, että lauseesta 2 seuraa...

43 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 43/6 Viittauskäytännöistä Matemaattisissa teksteissä on usein käytäntönä viitata kaavoihin kaarisulkeissa olevalla numerolla: koska yhtälön (3) perusteella..., lähdeteoksiin hakasulkeissa olevalla numerolla: Todistus on esitetty Apostolin kirjassa [6]. ja muihin (lauseet, lemmat määritelmät, kuvat, taulukot) numeroituihin objekteihin ilman sulkeita: Täten lause 2 on todistettu.

44 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 44/6 Lähdeteoksiin viittaaminen Jos lähdeteoksilla on olennainen osa pohdinnassa ja lukijan on eduksi nähdä helposti, mistä lähdeteoksesta puhutaan (esim didaktiset gradut), voidaan viittata myös tekijöiden sukunimien ja lähteen painovuoden perusteella: Derivoituva funktio on aina myös jatkuva (Rudin 1981). Kuten Hamilton ja May (1981) ovat osoittaneet... Enemmän kuin kaksi kirjoittajaa: Näillä ehdoilla differentiaaliyhtälöllä on yksikäsitteinen ratkaisu (Ross et al 1998)

45 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 45/6 Lähdeteoksiin viittaaminen Ylä- ja alaindeksien käyttö viittauksissa ei sovi matemaattiseen tekstiin. Yleisin käytäntö: Derivoituva funktio on aina myös jatkuva [4]. Valitse yksi viittauskäytäntö ja käytä sitä johdonmukaisesti.

46 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 46/6 Lähdeteokset Ensisijainen lähde ovat aina alkuperäiset tieteelliset artikkelit. Myös ulkomaiset oppikirjat sopivat hyvin. Suomenkielisissä oppikirjoissa ja luentomonisteissa ongelmana on usein kopioinnin välttäminen. Työn lukijalla pitäisi olla mahdollisuus tutustua lähdeteokseen koska tahansa tulevaisuudessa, joten www-lähteet, erityisesti vapaasti muokattavat, ovat ongelmallisia. Kannattaakin, esimerkiksi Wikipediassa, tarkastella artikkelissa mainittuja lähdeteoksia.

47 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 47/6 Kirjallisuusluettelo Lähdeteoksina käytetty kirjallisuus listataan työn lopussa kirjallisuusluettelona. Kirjasta on mainittava kirjoittajat, painovuosi, otsikko, (painos), kustantaja ja painopaikka (jos mahdollista). Lehtiartikkelista kirjoittajat, julkaisuvuosi, otsikko, lehden nimi ja numero ja artikkelin sivut. Nettiartikkelista kirjoittajat tai sivuston nimi, otsikko, osoite ja lukupäivämäärä.

48 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 48/6 Kirjallisuusluettelo [1 ] R. Holmgren: Discrete dynamical systems, Springer-Verlag [2 ] O. Leimar: Multidimensional convergence stability, Evol. Ecol. Res. 1994, vol. 11, ( ). [3 ] E. Kisdi: Adaptive Dynamics, kisdi/ad.htm, luettu

49 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 49/6 Lähteiden käyttö Tekstistä on aina käytävä ilmi, mihin lähteisiin se perustuu. Kirjallisuusluetteloon otetaan mukaan vain sellaiset lähteet, joihin tekstissä viitataan. Käytä L A T E X:n automaattisia työkaluja.

50 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 50/6 Lähteiden käytön kuvaus johdannossa Lähteiden käyttö voidaan kuvata yleisesti jo johdannossa: Työ perustuu kirjaan [1]. Tämän voi muotoilla paremminkin: Työ perustuu Rudinin kirjaan [1]. Monimutkaisemmissa tapauksissa lähteiden käyttö on kuvattava tarkemmin johdannossa tai kunkin luvun alkusanoissa.

51 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 51/6 Lähteiden käytön kuvaus Luvun alkusanoissa: Tässä luvussa seurataan Rudinin kirjan [1] esitystä. Johdannossa: Luvussa 2 seurataan... Luvussa 3 esitetään tekijän itse kehittelemä luvun 2 tulosten sovellus... Luku 4 taas perustuu... Tuo myös esiin itsenäisen työn osuus!

52 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 52/6 Lähteiden käyttö väitteen perusteluna Epätriviaaleja väitteitä tai lauseita ei koskaan pidä esittää perustelutta ( Todistus sivuutetaan. ) Perustelun tai todistuksen voi tarvittaessa korvata lähdeviitteellä: Lauseen 2 todistus on esitetty kirjassa [3] sivuilla Tasaisesti jatkuva funktio on aina myös jatkuva [8]. Kuten Rudin [4] on osoittanut, on voimassa yhtäsuuruus...

53 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 53/6 Lähteiden muu käyttö Poikkeamat johdannossa kerrotusta lähdemateriaalin käytöstä: Todistetaan lause seuraten Brownin ja Adamsin [3] esitystä. Esimerkit, sovellukset ja lisätiedot: Lisää esimerkkejä voi löytää esimerkiksi Fellerin kirjasta [2].

54 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 54/6 Kuvat ja taulukot Viimeistään tutkielmissa on tekstiin lisättävä kuvia tai taulukoita. Tekniikka kannattaa opetella jo nyt. Tieteellisessä tekstissä ei käytetä kuvituskuvia, vaan jokaiseen kuvaan ja taulukkoon viitataan leipätekstissä. Viittaus kuvaan ei koskaan perustu kuvan asemointiin paperilla.

55 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 55/6 Kuvat ja taulukot Kuvan alle lisätään kuvateksti, jossa on kuvan sisällön yleinen kuvaus ja yksityiskohdat, jotka sivuutetaan leipätekstissä. Leipätekstissä oltava viittaus kuvaan: Kuvasta 3 nähdään.... Käytä L A T E X:n automaattisia työkaluja: figure-ympäristö ref-viittauskomento.

56 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 56/6 Kuvaesimerkki Leipätekstissä: Esimerkki vastefunktion f(x) kuvaajasta on esitetty kuvassa 1. Kuvan alla: Kuva 1. Vastefuntion f(x) kuvaaja parametriarvoilla a = 1 ja b = 2. Tällöin kuvan paikka ei ole sidottu tekstiin, vaan sen voi sijoittaa vapaasti.

57 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 57/6 Kuvien tuottaminen L A T E X:n omat piirtotyökalut Mathematica GeoGebra Corel Draw R-studio Lukuisat ilmaisohjelmistot.

58 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 58/6 Kuvien tuottaminen Kuvia tuotettaessa on tarkasteltava sekä pdf-tiedostosta näytöltä että tulosteesta: Viivojen paksuuteen (näkyvyyteen). Kuvien kirjasinkokoon. Värien käyttöön. Kuvista kannattaa karsia kaikki epäolennainen.

59 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 59/6 Taulukot Pienehköt taulukot kannattaa latoa L A T E X:n omilla työkaluilla. Suuret taulukot kannattaa jättää varsinaisen tekstin ulkopuolelle liitetiedostoiksi tai karsia pienemmiksi. Liitetään tekstiin samaan tapaan kuin kuvat.

60 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 60/6 Harjoitustyöt Pakollisesta opetustilaisuudesta poissa olleet opiskelijat saavat harjoitustyön aiheen sähköpostilla perjantaina 6.3.

61 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 61/6 Matematiikan aineiden aiheet Jokaisen aihelistan aiheen voi varata vain yksi opiskelija, ellei aihetta erikseen mainita ryhmätyöhön sopivaksi. Aiheiden varaus tapahtuu alkaen matematiikan kahvihuoneessa luennoitsijan arpomassa satunnaisjärjestyksessä. Tämän jälkeen varauslista kiinnitetään Tuomaksen huoneen viereiselle ilmoitustaululle. Aihe on varattava viimeistään 20.2.

62 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 62/6 Matematiikan aineen tekeminen Saat sähköpostilla ohjaajan yhteystiedot Sovi heti ohjaajan tiedot saatuasi (viimeistään 25.2.) tapaaminen ohjaajan kanssa. Saat ohjaajalta pohjamateriaalin työhösi. Perehdy materiaaliin ohjaajan ohjeiden mukaisesti. Kysy rohkeasti ohjaalta neuvoa niin matematiikassa kuin kirjoitustyössäkin. Varo pöytälaatikkoa!

63 Matemaattinen kirjoittaminen 2015 p. 63/6 LuK-tutkielmat jj

Opas matemaattisen tekstin kirjoittamiseen

Opas matemaattisen tekstin kirjoittamiseen Opas matemaattisen tekstin kirjoittamiseen Tuomas Nurmi, Henri Pesonen ja Heikki Ruskeepää Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 1 Matemaattinen teksti Hyvän matematiikkaa sisältävän tekstin

Lisätiedot

Matematiikan kirjoittamisesta

Matematiikan kirjoittamisesta Matematiikan kirjoittamisesta Asiasisältö Tärkeintä kaikessa on, että kaiken minkä kirjoitat, niin myös itse ymmärrät. Toisin sanoen asiasisällön on vastattava lukijan pohjatietoja. Tekstin täytyy olla

Lisätiedot

Johdatus L A TEXiin. 10. Matemaattisen tekstin kirjoittamisesta. Matemaattisten tieteiden laitos

Johdatus L A TEXiin. 10. Matemaattisen tekstin kirjoittamisesta. Matemaattisten tieteiden laitos Johdatus L A TEXiin 10. Matemaattisen tekstin kirjoittamisesta Matemaattisten tieteiden laitos Matemaattisesta tekstistä I Matemaattisella tekstillä tarkoitetaan tavallista (suomenkielisistä virkkeistä

Lisätiedot

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu. Johdatus yliopistomatematiikkaan Helsingin yliopisto, matematiikan ja tilastotieteen laitos Kurssikoe 23.10.2017 Ohjeita: Vastaa kaikkiin tehtäviin. Ratkaisut voi kirjoittaa samalle konseptiarkille, jos

Lisätiedot

Pääluvun tekstin jälkeen tuleva alaotsikko erotetaan kahdella (2) enterin painalluksella,väliin jää siis yksi tyhjä rivi.

Pääluvun tekstin jälkeen tuleva alaotsikko erotetaan kahdella (2) enterin painalluksella,väliin jää siis yksi tyhjä rivi. KIRJALLISEN TYÖN ULKOASU JA LÄHTEIDEN MERKITSEMINEN Tämä ohje on tehty käytettäväksi kasvatustieteiden tiedekunnan opinnoissa tehtäviin kirjallisiin töihin. Töiden ohjaajilla voi kuitenkin olla omia toivomuksiaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

Lähdeviitteiden merkintä (Kielijelppi)

Lähdeviitteiden merkintä (Kielijelppi) Lähdeviitteiden merkintä (Kielijelppi) Copyright 2004 2010, Kielijelppi Palvelun tekijänoikeuksia suojaa Creative Commons -lisenssi Lähdeviitteiden merkitsemiseksi on olemassa useita tapoja. Viitteet voidaan

Lisätiedot

AS-84.3400 Automaatiotekniikan seminaarikurssi. Kevät 2008

AS-84.3400 Automaatiotekniikan seminaarikurssi. Kevät 2008 AS-84.3400 Automaatiotekniikan seminaarikurssi Kevät 2008 Kurssin tavoitteet Konferenssisimulaatio Harjoitella tieteellisen tekstin / raportin kirjoittamista Harjoitella tiedon etsimistä ja viittaamista

Lisätiedot

Kouvolan iltalukio. Tutkielmakäytänteet. 27.10.2009 Päivi Hänninen

Kouvolan iltalukio. Tutkielmakäytänteet. 27.10.2009 Päivi Hänninen Kouvolan iltalukio Tutkielmakäytänteet Tutkielman osat 1. Kansilehti 2. (Tiivistelmä) 3. Sisällysluettelo 4. Käsittelyosa 5. Lähdeluettelo 6. Liitteet Sisällysluettelo Tutkielman luvut ja sivut numeroidaan.

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Ohje tutkielman tekemiseen

Ohje tutkielman tekemiseen Sauvon koulukeskus 2011 Ohje tutkielman tekemiseen Aiheen valinta Etsi materiaalia Valitse itseäsi kiinnostava aihe. Sovi opettajan kanssa aiheen rajaus. Pyydä opettajalta tutkielmapassiin merkintä aiheen

Lisätiedot

Sonja Kniivilä, Sari Lindblom-Ylänne & Anne Mäntynen

Sonja Kniivilä, Sari Lindblom-Ylänne & Anne Mäntynen Sonja Kniivilä, Sari Lindblom-Ylänne & Anne Mäntynen Copyright 2017 Tekijät & Gaudeamus Gaudeamus Oy www.gaudeamus.fi Kansi: Emmi Kyytsönen Kolmas, uudistettu painos. Ensimmäinen painos ilmestyi vuonna

Lisätiedot

Rollen lause polynomeille

Rollen lause polynomeille Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 8. syyskuuta 2016 Sisällys a https://tim.jyu.fi/view/kurssit/tie/ tiea241/2016/videoiden%20hakemisto Matemaattisen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Kandidaatintutkielma 6 op (+Äidinkielinen viestintä 3 op) (+Tutkimustiedonhaku 1 op) (+Kypsyysnäyte 0 op) Kevät 2015 Jaakko Kurhila

Kandidaatintutkielma 6 op (+Äidinkielinen viestintä 3 op) (+Tutkimustiedonhaku 1 op) (+Kypsyysnäyte 0 op) Kevät 2015 Jaakko Kurhila Kandidaatintutkielma 6 op (+Äidinkielinen viestintä 3 op) (+Tutkimustiedonhaku 1 op) (+Kypsyysnäyte 0 op) Kevät 2015 Jaakko Kurhila Päivän ohjelma Ryhmäjako Tärkeimmät asiat tutkielman tekemiseen (mitä

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Kandidaatintutkielma 6 op (+Äidinkielinen viestintä 3 op) (+Tutkimustiedonhaku 1 op) (+Kypsyysnäyte 0 op) Syksy 2014 Jaakko Kurhila

Kandidaatintutkielma 6 op (+Äidinkielinen viestintä 3 op) (+Tutkimustiedonhaku 1 op) (+Kypsyysnäyte 0 op) Syksy 2014 Jaakko Kurhila Kandidaatintutkielma 6 op (+Äidinkielinen viestintä 3 op) (+Tutkimustiedonhaku 1 op) (+Kypsyysnäyte 0 op) Syksy 2014 Jaakko Kurhila Päivän ohjelma Tavoitteena tutkielma, ei tutkimus Ryhmäjako Tärkeimmät

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

TIES501 Pro Gradu seminaari Tieteellisestä kirjoittamisesta

TIES501 Pro Gradu seminaari Tieteellisestä kirjoittamisesta TIES501 Pro Gradu seminaari Tieteellisestä kirjoittamisesta Jussi Hakanen jussi.hakanen@jyu.fi Syksy 2013 Sisältö Miksi kirjoittamiseen panostaminen on tärkeää? Käydään läpi seuraavia osa-alueita Rakenne

Lisätiedot

TEHTÄVÄN NIMI YHDELLE TAI USEAMMALLE RIVILLE FONTTIKOKO 24 Tarvittaessa alaotsikko fonttikoko 20

TEHTÄVÄN NIMI YHDELLE TAI USEAMMALLE RIVILLE FONTTIKOKO 24 Tarvittaessa alaotsikko fonttikoko 20 Etunimi Sukunimi fonttikoko 16 Ryhmätunnus TEHTÄVÄN NIMI YHDELLE TAI USEAMMALLE RIVILLE FONTTIKOKO 24 Tarvittaessa alaotsikko fonttikoko 20 Tehtävätyyppi Koulutusohjelma fonttikoko 16 Elokuu 2010 SISÄLTÖ

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. (14.3-18.3) Jeremias Berg 1. Luettele kaikki seuraavien joukkojen alkiot: (a) {x Z : x 3} (b) {x N : x > 12 x < 7} (c) {x N : 1 x 7} Ratkaisu:

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014

Yhtälönratkaisusta. Johanna Rämö, Helsingin yliopisto. 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisusta Johanna Rämö, Helsingin yliopisto 22. syyskuuta 2014 Yhtälönratkaisu on koulusta tuttua, mutta usein sitä tehdään mekaanisesti sen kummempia ajattelematta. Jotta pystytään ratkaisemaan

Lisätiedot

Ensin: kirjaudu kurssikansioon ja siirry siellä Luennot kansion Tutkielman perusrakenne ( ) sivulle FYSA291 luentokalvosarja 7 1

Ensin: kirjaudu kurssikansioon ja siirry siellä Luennot kansion Tutkielman perusrakenne ( ) sivulle FYSA291 luentokalvosarja 7 1 Ensin: kirjaudu kurssikansioon ja siirry siellä Luennot kansion Tutkielman perusrakenne ( ) sivulle. 3.11.2015 FYSA291 luentokalvosarja 7 1 Tutkielman perusrakenne ja kirjoittaminen LaTeXilla Jussi Maunuksela

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Peto saalis-mallit. Ewert Kupiainen. Matematiikan aine Turun yliopisto

Peto saalis-mallit. Ewert Kupiainen. Matematiikan aine Turun yliopisto Peto saalis-mallit Ewert Kupiainen Matematiikan aine Turun yliopisto Joulukuu 21 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Ympäristöjen käyttö 1 2.1 Määritelmiä............................ 1 2.2 Apulauseita ja lemmoja.....................

Lisätiedot

Harjoituskerta 5. 30.11.2015 Yritysviestinnän perusteet A71A00100 Visa Penttilä

Harjoituskerta 5. 30.11.2015 Yritysviestinnän perusteet A71A00100 Visa Penttilä Harjoituskerta 5 Yritysviestinnän perusteet A71A00100 Visa Penttilä Agenda 1. Tiimitehtävät 2. Artikkelit 3. Ohjeistusta lopputyöhön 4. Ensi viikon luento Falkheimer & Heide (2015) Kolme keskeistä käsitettä

Lisätiedot

ENG3042.Kand Kandidaatintyö ja seminaari (10 op) ENY ENG3044.Kand Kandidaatintyö ja seminaari (10 op) RYM Saija Toivonen

ENG3042.Kand Kandidaatintyö ja seminaari (10 op) ENY ENG3044.Kand Kandidaatintyö ja seminaari (10 op) RYM Saija Toivonen ENG3042.Kand Kandidaatintyö ja seminaari (10 op) ENY ENG3044.Kand Kandidaatintyö ja seminaari (10 op) RYM Henkilökunta Koordinaattori: Opintosihteeri Tiina Nikander Aikatauluun, ohjelmaan, suorituskirjauksiin

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

1 Lukujen jaollisuudesta

1 Lukujen jaollisuudesta Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun

Lisätiedot

Tutkielman perusrakenne ja kirjoittaminen LaTeXilla

Tutkielman perusrakenne ja kirjoittaminen LaTeXilla Tutkielman perusrakenne ja kirjoittaminen LaTeXilla Jussi Maunuksela Jyväskylän yliopisto, Fysiikan laitos, PL 35, 40014 Jyväskylän yliopisto 17.3.2017 FYSA291&XYHM004 luentokalvosarja 6 1 Oppimistavoitteet

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Opinnäytteen nimi ja mahdollinen alaotsikko (tämä pohja toimii parhaiten Word2010-versiolla)

Opinnäytteen nimi ja mahdollinen alaotsikko (tämä pohja toimii parhaiten Word2010-versiolla) T A M P E R E E N Y L I O P I S T O Opinnäytteen nimi ja mahdollinen alaotsikko (tämä pohja toimii parhaiten Word2010-versiolla) Kasvatustieteiden yksikkö Kasvatustieteiden pro gradu -tutkielma NIMI NIMINEN

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua.

Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, sekä voi olla apua. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan erilaisia todistustekniikoita. Luentokalvoista 11, 15-17

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma. Mika Kähkönen. L'Hospitalin sääntö

TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma. Mika Kähkönen. L'Hospitalin sääntö TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Mika Kähkönen L'Hospitalin sääntö Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Lokakuu 007 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Tutkielman sisältö........................

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

klo 14:15 salissa FYS2

klo 14:15 salissa FYS2 Kandi info 2016: Orientaatio LuK työn ja tutkielman tekemiseen keväällä 2017 28.11.2016 klo 14:15 salissa FYS2 28.11.2016 Jussi Maunuksela 1 Infon tarkoituksena on perehdyttää LuK tutkielman suorittamiseen

Lisätiedot

OPINNÄYTE Keuda Tuusula Hiusalan perustutkinto Nuoriso- ja vapaa-ajanohjauksen perustutkinto Sosiaali- ja terveysalan perustutkinto

OPINNÄYTE Keuda Tuusula Hiusalan perustutkinto Nuoriso- ja vapaa-ajanohjauksen perustutkinto Sosiaali- ja terveysalan perustutkinto OPINNÄYTE Keuda Tuusula Hiusalan perustutkinto Nuoriso- ja vapaa-ajanohjauksen perustutkinto Sosiaali- ja terveysalan perustutkinto 31.8.2011 TUTKINNON PERUSTEET Opiskelija suunnittelee ja tekee omaa osaamistaan

Lisätiedot

Opinnäytetyön ulkoasu

Opinnäytetyön ulkoasu Opinnäytetyön ulkoasu Antti Leino Tampereen yliopisto Kieli-, käännös- ja kirjallisuustieteiden yksikkö Suomen kielen tutkinto-ohjelma Tutkielmaohje Syyskuu 2012 Tampereen yliopisto Suomen kielen tutkinto-ohjelma

Lisätiedot

Yleistä tarinointia gradusta

Yleistä tarinointia gradusta Yleistä tarinointia gradusta Juha Taina Pro gradu seminaariesitelmä 21.1.2008 Yleistä tarinointia gradusta 1 1. Johdanto Pro gradu tutkielma (tästä eteenpäin vain tutkielma ) on ennen kaikkea opinnäyte.

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Lähteisiin viittaaminen ja lähdekritiikki

Lähteisiin viittaaminen ja lähdekritiikki Lähteisiin viittaaminen ja lähdekritiikki LÄHDEKRITIIKKI Lähdekritiikki on tiedonlähteiden arviointia. Lähdekritiikillä tarkoitetaan siis sen arvioimista, voiko tiedontuottajaan (siis esimerkiksi kirjan,

Lisätiedot

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?

3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko? HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Tiivistelmä ja yleisiä huomioita tekstistä

Tiivistelmä ja yleisiä huomioita tekstistä Tiivistelmä ja yleisiä huomioita tekstistä Kesäkandidaattiseminaari 2016 Tekstipaja 27.6.2016 Aalto-yliopisto/TKK, Tiina Airaksinen Tiivistelmä Suppea ja itsenäinen teksti, joka kuvaa olennaisen opinnäytteen

Lisätiedot

Työvälineistä komentoihin

Työvälineistä komentoihin Työvälineistä komentoihin Miten GeoGebralla piirretään funktioita? Kohtasitko ongelmia GeoGebran käytössä? Millaisia? Kohtaisitko tilanteita, joissa jonkin funktion piirtäminen GeoGebralla ei onnistunutkaan?

Lisätiedot

1. Osoita juuren määritelmän ja potenssin (eksponenttina kokonaisluku) laskusääntöjen. xm = ( n x) m ;

1. Osoita juuren määritelmän ja potenssin (eksponenttina kokonaisluku) laskusääntöjen. xm = ( n x) m ; MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Ohjaus 11 7.1.009 alkavalle viikolle Ratkaisut (AK) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan tärkeiden transkendenttifunktioiden

Lisätiedot

Kandidaatintutkielma 6 op (Äidinkielinen viestintä 3 op) (Ttkimustiedonhaku 1 op) (Kypsyysnäyte 0 op) Kevät 2011 Jaakko Kurhila

Kandidaatintutkielma 6 op (Äidinkielinen viestintä 3 op) (Ttkimustiedonhaku 1 op) (Kypsyysnäyte 0 op) Kevät 2011 Jaakko Kurhila Kandidaatintutkielma 6 op (Äidinkielinen viestintä 3 op) (Ttkimustiedonhaku 1 op) (Kypsyysnäyte 0 op) Kevät 2011 Jaakko Kurhila Päivän ohjelma Nimenhuuto Tärkeimmät asiat tutkielman tekemiseen ( muista

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Tieteellisen kirjoittamisen kurssi, kevät Teemu Kerola. Referaatti. Valitse tutkielman aihepiiriin sopiva artikkeli

Tieteellisen kirjoittamisen kurssi, kevät Teemu Kerola. Referaatti. Valitse tutkielman aihepiiriin sopiva artikkeli Teemu Kerola Tieteellisen kirjoittamisen kurssi Ryhmä 4, kevät 2010 http://www.cs.helsinki.fi/u/arytkone/tiki/sisalto.html Referaatti Aine, tutkielma Kypsyysnäyte Esitelmä Arvostelu Kirjoittaminen 1 Referaatti

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

Rekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä

Rekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä Rekursiolause Laskennan teorian opintopiiri Sebastian Björkqvist 23. helmikuuta 2014 Tiivistelmä Työssä käydään läpi itsereplikoituvien ohjelmien toimintaa sekä esitetään ja todistetaan rekursiolause,

Lisätiedot

Kandidaatintutkielma, ryhmän ohjaus Teemu Kerola. Referaatti

Kandidaatintutkielma, ryhmän ohjaus Teemu Kerola. Referaatti Teemu Kerola Kandidaatintutkielma Ryhmä 3, kevät 2013 (Tieteellisen kirjoittamisen kurssi, tiki) Referaatti, aine, tutkielma Kypsyysnäyte Esitelmä Arvostelu Kirjoittaminen Aiheiden valinta 1 Referaatti

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite .. Ympäristön ja raja-arvon käsite Matematiikan opintojen tässä vaiheessa aletaan olla kiinnostavimpien sisältöjen laidassa. Tähänastiset pitkän matematiikan opinnot ovat olleet kuin valmistelua, jatkossa

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Ohjeet tutkimussuunnitelman kirjoittamiseen

Ohjeet tutkimussuunnitelman kirjoittamiseen Ohjeet tutkimussuunnitelman kirjoittamiseen Marja Silenti FM, Timo Lenkkeri LK, DI Opiskelijanumero: 12345678 Helsinki 18.11.2005, viimeksi päivitetty 31.05.2011, 17.12.2012 Tutkimussuunnitelma Ohjaaja:

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka A

Insinöörimatematiikka A Insinöörimatematiikka A Demonstraatio 3, 3.9.04 Tehtävissä 4 tulee käyttää Gentzenin järjestelmää kaavojen johtamiseen. Johda kaava φ (φ ) tyhjästä oletusjoukosta. ) φ ) φ φ 3) φ 4) φ (E ) (E ) (I, ) (I,

Lisätiedot

Aalto CHEM Kandidaattiseminaari (+ BTT/KEM/MTE seminaarit)

Aalto CHEM Kandidaattiseminaari (+ BTT/KEM/MTE seminaarit) Aalto CHEM Kandidaattiseminaari (+ BTT/KEM/MTE seminaarit) Kevät 2016 Aloitusluento 20.01.2016 TkT Eero Hiltunen 1 Tänään Yleistä kandidaattiseminaarista Aikataulut ja osasuoritukset Aiheet ja ohjaajat

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka (TFM) Käytännön järjestelyt ensimmäisessä projektityössä

PHYS-A0120 Termodynamiikka (TFM) Käytännön järjestelyt ensimmäisessä projektityössä PHYS-A0120 Termodynamiikka (TFM) Käytännön järjestelyt ensimmäisessä projektityössä Perjantai 30.10.2015 Projektityön tarkoitus Oppia termodynamiikkaa: esim. lämpövarastot, lämmönsiirto, erilaiset syklit,

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain

+ 3 2 5 } {{ } + 2 2 2 5 2. 2 kertaa jotain Jaollisuustestejä (matematiikan mestariluokka, 7.11.2009, ohjattujen harjoitusten lopputuloslappu) Huom! Nämä eivät tietenkään ole ainoita jaollisuussääntöjä; ovatpahan vain hyödyllisiä ja ainakin osittain

Lisätiedot

Tietotekniikan kandidaattiseminaari

Tietotekniikan kandidaattiseminaari Tietotekniikan kandidaattiseminaari Luento 1 14.9.2011 1 Luennon sisältö Seminaarin tavoitteet Seminaarin suoritus (tehtävät) Kandidaatintutkielman aiheen valinta Seminaarin aikataulu 2 2011 Timo Männikkö

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

X k+1 X k X k+1 X k 1 1

X k+1 X k X k+1 X k 1 1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 4 1. Oletetaan, että X n toteuttaa toisen kertaluvun differenssiyhtälön X k+2 2X k+1 + 2X k = ξ k,

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

Tieteellisen artikkelin kirjoittaminen ja julkaiseminen

Tieteellisen artikkelin kirjoittaminen ja julkaiseminen Tieteellisen artikkelin kirjoittaminen ja julkaiseminen Dosentti Mikko Ketola Kirkkohistorian laitos Workshop tohtorikurssilla toukokuussa 2008 Teologinen tiedekunta Workshopin sisältö Miksi kirjoittaa

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 19. tammikuuta 2012

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 19. tammikuuta 2012 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. tammikuuta 2012 Sisällys Sisällys Muistathan A B -konstruktion 0 k 1 i 2 s 3 s 4 a 5 0 k 1 o 2 i 3 r 4

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Laskuharjoitus 2A ( ) Aihepiiri: Raja-arvot etc. Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 12. z = f(x, 0) = x2 a z = f(0, y) = 02 a 2 + y2

Laskuharjoitus 2A ( ) Aihepiiri: Raja-arvot etc. Adams & Essex, 8th Edition, Chapter 12. z = f(x, 0) = x2 a z = f(0, y) = 02 a 2 + y2 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Korte / Lindfors MS-A0207 Dierentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM), kevät 2017 Laskuharjoitus 2A (9.10.1.) Aihepiiri:

Lisätiedot

MATEMATIIKAN LATOMINEN LA T EXILLA, OSA 1

MATEMATIIKAN LATOMINEN LA T EXILLA, OSA 1 MATEMATIIKAN LATOMINEN LA T EXILLA, OSA 1 PEKKA SALMI Tämä dokumentti on johdatus matemaattisten termien kirjoittamiseen L A TEXilla. Tarkoituksena on esitellä yksinkertaisia matemaattisia konstruktioita

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot