3 15 MEKAANISET AALLOT (Mechaical Waves) Luoto o täyä aaltoja. Aaltoliikettä voi sytyä systeemeissä, jotka poikkeutettua tasapaiotilastaa pyrkivät palaamaa siihe takaisi. Aalto eteee, ku poikkeama (häiriö) eteee systeemissä paikasta toisee. 4 Kuvassa (a) väliaieea o jäitetty köysi. Köyttä häiritää heilauttamalla se toista päätä ylös-alas-suuassa opeasti. Sytyy pulssi, joka eteee köyttä pitki muotosa säilyttäe. Köyde eri osaset läpikäyvät sama poikkeama myöhempiä ajahetkiä kui köyde pää alussa. Koska osaset poikkevat poikittaissuuassa (kohtisuorasti, trasverse) häiriö eteemissuutaa vastaa, ii aalto o s. poikittaie aalto (trasverse wave). Tällaisia häiriöitä (aaltoja) ovat esimerkiksi ääiaallot, vede pia aaltoilu, maajäristykset, valo, tv- ja radiolähetykset, yleesä sähkömageettiset aallot sekä myös kvattimekaaisii hiukkasii liittyvät aieaallot. Aaltoja o siis kaikkialla ja iitä joudutaa käsittelemää paljo esimerkiksi fysikaalisissa, tekillisissä ja biologisissa tieteissä. Tämä vuoksi tarvitaa teoreettista aaltoliikeoppia, joka yhteäistää eri luootieteissä esiityvie aaltoihi liittyvie ilmiöide kuvausta. Tässä ja seuraavassa kappaleessa, tarkastelemme s. mekaaisia aaltoja, ts. aaltoja, jotka tarvitsevat joki kokreettise väliaiee missä edetä. Esimerkki tällaisesta aallosta o ääiaalto, joka eteee paiee muutoksia ilmassa. Esimerkkiä ei-mekaaisesta aallosta voidaa maiita vaikkapa valoaalto, joka voi edetä myös tyhjiössä. 15.1 Mekaaiste aaltoje tyypit (Types of Mechaical Waves) Mekaaie aalto o häiriö, joka eteee jossaki materiaalissa eli s. väliaieessa (medium). Aallo edetessä väliaiee hiukkaset (osaset, partikkelit) poikkeavat hetkellisesti tasapaioasemistaa. Aallo tyyppi riippuu siitä, mihi suutaa poikkeamie tapahtuu. Asiaa valaistaa seuraava sivu kuvassa. Kuvassa (b) väliaieea o syliterissä oleva este tai kaasu. Väliaieesee aiheutetaa häiriö heilauttamalla mätää kerra opeasti edestakaisi. Paiee muutos (pulssi) liikkuu pitki syliteriä site, että väliaiehiukkaset poikkeavat tasapaioasemistaa pulssi eteemissuuassa. Aalto o s. pitkittäie aalto (logitudial wave). Kuvassa (c) väliaiee muodostaa astiassa oleva vesi, joho syytetää pita-aalto. Vede pialla eteevässä aallossa vesiosaset poikkeavat sekä poikittaisessa että pitkittäisessä suuassa, jote aallolla o sekä poikittaie että pitkittäie kompoetti.
5 Esimerki aalloilla (kute kaikilla) o kolme asiaa yhteistä: 1) Häiriö eteee väliaieessa tietyllä opeudella v, eli s. aallo eteemisopeudella (wave speed). O huomattava, että häiriö opeus ei ole sama kui väliaiee hiukkaste opeus iide värähdellessä tasapaioasemiesa ympäristössä. ) Väliaie itsessää ei etee paikasta toisee. Se mikä eteee o häiriö (se muoto). 3) Systeemi poikkeuttamie tasapaioasemastaa vaatii eergiaa. Aaltoliike kuljettaa siis mukaaa eergiaa. Huom! Kohdassa 1) tulisi tarkasti ottae puhua vauhdista. Eglai kielessä speed = vauhti ja velocity = opeus. Suome puhekielessä kuiteki opeutta käytetää usei vauhdi syoyymiä ja jopa aaltoliikeopissa puhutaa mieluummi aallo opeudesta kui aallo vauhdista. Kuulostaisi hassulta kysyä: mikä o valo vauhti? 15. Jaksolliset aallot (Periodic Waves) Edellisissä esimerkeissä tarkastelimme aaltopulsseja (wave pulse). Köyde tapauksessa pulssi syytettii heilauttamalla köyde päätä pitävää kättä yhde kerra opeasti ylös-alas. Kiiostavampi tilae sytyy, ku köyde pää saatetaa jaksollisee eli periodisee värähdysliikkeesee. Tällöi köyde kaikki osaset värähtelevät jaksollisesti aallo edetessä. Sytyy s. jaksollie aalto (periodic wave). Kuvassa köyde pää värähtelee harmoisesti (yksi jaksollisuude muoto), jolloi aalto o siimuotoie (siusoidal wave). 6 Voidaa osoittaa (Fourier-aalyysi), että mikä tahasa periodie aalto voidaa esittää siimuotoiste aaltoje lieaarikombiaatioa. Tämä vuoksi siimuotoiset aallot ovat tärkeitä. Periaatteessa riittää tarkastella vai iide teoriaa. Edellise sivu kuvassa massa m värähtelee harmoisesti amplitudilla A, taajuudella f, kulmataajuudella ω = π f ja jaksolla (periodilla) T = 1/ f = π / ω. Viereisessä kuvassa tarkastelemme mite värähtelevä massa köytee syöttämä aalto eteee. Kuvassa seurataa köyde liikkeitä yhde periodi T aikaa 1/8-osa periodi välei. Köysi o asetettu x akselille. Jokaie köyde osae (esim. täplä) värähtelee harmoisesti ylös-alas ( y suuassa) samalla tavalla kui köyde pää, mutta kuki omassa vaiheessaa. Kaikilla ajahetkillä köyde muoto o toistuva x akseli suuassa. Se pituus, jolla muoto toistaa itseää o s. aallopituus λ (wavelegth). Kuvassa harmaa alue peittää yhde aallopituude. Köyde muoto eteee vakioopeudella v ja se liikkuu yhde aallopituude matka yhde periodi aikaa (seuraa uolta kuvassa). Nopeus saadaa siis laskemalla v = λ /T ja koska f = 1/T, v = λ f. (15-1) Yhtälö pätee jaksollisille aalloille.
7 Pitkittäise periodise aallo eteemise ymmärtämiseksi tarkastelemme kaasua sisältävää syliteriä (kuva b sivulla 4). Syliteri toisessa päässä o liikkuva mätä. Viereisessä kuvassa mää liikkuessa syliteri sisää kaasu puristuu hiema kokoo mää lähellä ja paie kasvaa kyseisellä alueella. Sytyy paiepulssi, joka eteee syliterii. Ku mätää vedetää takaisi ulkoreuaa kohti, paie mää lähellä pieeee ja sytyy alipaie. Mää liikkuessa periodisesti edestakaisi syliterissä sytyy pitkittäie aalto, jossa esiityy ylipaiealueita (tummemmat alueet) ja alipaiealueita (vaaleammat alueet). Kuvassa täplä osoittaa yhde väliaiehiukkase värähtelyä amplitudilla A aallo edetessä. Aallopituus o yt matka esim. ylipaieesta seuraavaa. Nuoli äyttää, kuika yksi ylipaiekohta eteee opeudella v yhde aallopituude yhdessä periodissa. Nytki, kute kaikilla periodisilla aalloilla, opeus saadaa kaavasta (15-1). Esimerkki: Ääiaallot ovat ilmassa eteeviä pitkittäisiä aaltoja. Ääe opeus, lämpötilassa 0 C, o 344 m/s. Mikä o ääe aallopituus, ku taajuus o f = 6 Hz? Aettu taajuus vastaa piao keski-c:tä? Mikä o kahta oktaavia korkeamma C: aallopituus, ku yksi oktaavi vastaa taajuude kaksikertaistamista? 8 15.3 Aallo matemaattie esitys (Mathematical Descriptio of a Wave) Aallo omiaisuuksie yksityiskohtaisee matemaattisee kuvaamisee tarvitaa s. aaltofuktio (wave fuctio). Aaltofuktio o fuktio, joka kertoo väliaiee hiukkaste sijaii millä tahasa ajahetkellä. Tarkastellaa esimerkkiä aaltoa jäitetyssä köydessä. Asetetaa köysi x-akseli suutaiseksi ja olkoot köyde osaste poikkeamat y-suutaisia (kuva sivulla 6). Kysymyksessä o poikittaie aalto. Nyt aaltofuktio o y= y( x, t). Aaltofuktio siis kertoo paikassa x oleva köyde osase poikkeama y ajahetkellä t. Kysymyksessä o siis kahde muuttuja fuktio. Jos aaltofuktio muoto tuetaa, ii siitä voidaa laskea poikkeama lisäksi köyde osaste opeudet ja kiihtyvyydet sekä köyde muoto, yä muuta köytee liittyviä asioita millä ajahetkeä tahasa. Siimuotoise aallo aaltofuktio Tarkastellaa edellee köydessä eteevää aaltoa (kuva sivulla 6). Kaikki köyde osaset värähtelevät harmoisesti samalla amplitudilla ja samalla taajuudella, mutta e ovat värähtelyjesä eri vaiheissa. Osa liikkuu y-suuassa ylöspäi ja osa alaspäi. Osa o maksimipoikkeamassaa ja osa samaaikaisesti ollassa. Ajahetkellä t = 0 täplällä merkitty köyde kohta o maksimissa y= A. Aja t = T/8 kuluttua se o palaut tasapaioasemaa y = 0. Samat asiat tapahtuvat väritety aluee keskellä olevalle köyde osaselle ajahetkillä t = 4 T/8 ja t = 6 T /8, eli täsmällee puoli periodia myöhemmi. Saotaa, että tarkastelukohdissa köyde osasilla o puole periodi vaihe-ero (phase differece).
9 Oletetaa, että käyde pää ( x = 0) poikkeama o y( x= 0, t) = Acos( ω t) = Acos( π ft), (15-) ts. se värähtelee harmoisesti ylös-alas amplitudilla A, taajuudella f ja kulmataajuudella ω = π f. Oletetaa edellee, että häiriö eteee köyde päästä ( x = 0) positiivise x-akseli suutaa opeudella v paikkaa x. Tähä siltä kuluu aika x / v. Pistee x liiketila ajahetkellä t o siis sama kui pistee x = 0 liiketila aikaisemmalla ajahetkellä t x/ v. Pistee x poikkeama ajahetkellä t saadaa siis korvaamalla kaavassa (15-) aika t ajalla t x/ v. Tempusta seuraa x yxt (, ) = Acos ω t v ja koska cos( θ ) = cosθ, voidaa kirjoittaa x x yxt (, ) = Acos ω t = Acos π f t v. (15-3) v Tämä o positiivise x-akseli suutaa eteevä siiaallo aaltofuktio (mahdollie vaihevakio o jätetty huomiotta). Johtamallamme aaltofuktiolla o mota erilaista esitystapaa. Esimerkiksi käyttämällä jaksoa T = 1/ f ja aallopituutta λ =v / f saamme x t yxt (, ) = Acos π λ T. (15-4) Erityise kätevä esitysmuoto saadaa, jos määritellää s. aaltoluku (wave umber) π k =. (15-5) λ Ku λ = π / k ja f = ω /( π ) sijoitetaa kaavaa v = λ f, saadaa ω =v k, (15-6) ja voidaa kirjoittaa yxt (, ) = Acos( kx ω t). (15-7) 10 Joskus aaltoluvuksi määritellää 1/ λ ja suuretta π / λ saotaa kulma-aaltoluvuksi (huomaa aalogia taajuude ja kulmataajuude kassa). Tässä kurssissa käytämme määritelmää (15-5). Seuraavassa kuvassa (a) siimuotoise aallo aaltofuktio yxt (, ) o piirretty x: fuktioa jollaki kiiitetyllä ajahetkellä t. Jos kysymyksessä o poikittaie aalto köydessä, ii kuva esittää köyde muotoa kyseisellä ajahetkellä. Se siis vastaa köydestä otettua valokuvaa. Kuvassa (b) o puolestaa piirretty kiiitetyssä paikassa x oleva hiukkase poikkeama aja t fuktioa. Hiukkae liikkuu y-suuassa ylös-alas, mutta ei vaakasuuassa x-suutaa. Kuvat (a) ja (b) äyttävät samalaisilta, mutta e esittävät aiva eri asioita. Tarkista aia vaaka-akselista kummasta o kysymys. Jos aalto eteee egatiivise x-akseli suutaa, ii pistee x liiketila ajahetkellä t o sama kui pistee x = 0 liiketila myöhemmällä ajahetkellä t+ x/ v. Nyt siis yhtälössä (15-) aika t korvataa ajalla t+ x/ v :llä, jolloi saamme x-akseli suutaa eteevä siiaallo aaltofuktio x x t yxt (, ) = Acos π f + t = Acos π v + λ T,
josta edellee 11 yxt (, ) = Acos( kx+ ω t). (15-8) Yhtälö yxt (, ) = Acos( kx± ω t) o siis x -akseli suutaa eteevä aalto ja siiä `kosii argumetti ( kx ± ω t) o aallo vaihe (phase). Esimerkki: Jäitety köyde pää värähtelee taajuudella.00 Hz ja amplitudilla 0.075 m. Köytee sytyvä aallo opeus o 1.0 m/s. Ajahetkellä t = 0 köyde pää poikkeama tasapaioasemasta o y = 0 ja se liikkuu positiivise y-akseli suutaa. a) Laske aallo amplitudi, kulmataajuus, jakso, aallopituus ja aaltoluku. b) Kirjoita aallo aaltofuktio. c) Kirjoita yhtälö poikkeamalle köyde päässä ja kolme metri etäisyydellä köyde päästä. Hiukkase opeus ja kiihtyvyys Värähtelevä köyde osase opeus (y-suuassa, sehä ei liiku x- suuassa) saadaa derivoimalla poikkeamaa y aja t suhtee pitämällä x vakioa. Aaltofuktio o yxt (, ) = Acos( kx ω t), jote yxt (, ) v y ( x, t) = = ωasi( kx ω t). (15-9) t Vastaavasti kiihtyvyydelle saamme laskemalla toise derivaata yxt (, ) ay ( x, t) = = ω Acos( kx ω t) = ω yxt (, ). (15-10) t Derivaatalle käytämme symbolia (doo) tavallise d: tilalla, koska kysymyksessä o usea muuttuja fuktio derivoiti. Voimme laskea vastaavat derivaatat myös x: suhtee pitämällä aika t vakioa. Tällöi tutkimme köyde muotoa. Esimmäie de- 1 rivaatta ataa köyde kulmakertoime paika fuktioa kyseisellä ajahetkellä ja toie derivaatta yxt (, ) = k Acos( kx ω t) = k y( x, t) (15-11) x kertoo köyde kaareutumisesta. Yhtälöistä (15-10) ja (15-11) saamme, ku ω =v k, suhtee yxt (, )/ t ω = = v, yxt (, )/ x k josta tulee yxt (, ) 1 yxt (, ) =. (15-1) x v t Tämä o s. aaltoyhtälö (wave equatio). Aaltoyhtälö o yksi fysiika tärkeimmistä yhtälöistä. Kaikki pulssit, aallot ja eteevät häiriöt, riippumatta siitä ovatko e siimuotoisia tai periodisia yleesä, toteuttavat aaltoyhtälö. Esimerkki: Osoita, että egatiivise x-akseli suutaa eteevä aallo aaltofuktio yxt (, ) = Asi( kx ω t) toteuttaa aaltoyhtälö. 15.4 Poikittaise aallo opeus (Speed of a Trasverse Wave) Fysikaaliset suureet, jotka määräävät poikittaise aallo eteemisopeude köydessä ovat köyde jäitys (tesio) ja köyde massa pituusyksikköä kohti. Jälkimmäista saotaa myös lieaariseksi massatiheydeksi.
13 Jäitykse lisäämie kasvattaa palauttavaa voimaa, joka pyrkii oikaisemaa köyde häiriö edetessä siiä. O helppo kuvitella, että jäitykse lisäämie kasvattaa aallo opeutta. O myös helppo arvata, että massa kasvattamie hidastaa opeutta, koska köyde liikkeet tulevat "jähmeämmiksi". Johdetaa seuraavassa aallo opeudelle yhtälö, ja katsotaa siitä sattuivatko arvauksemme kohdallee. Seuraavassa kuvassa tarkastellaa täysi otkeaa köyttä, joka massa pituusyksikköä kohti o µ (kg/m) ja joho tasapaioasemassa kohdistuu jäitysvoima F. Oletetaa lisäksi, että köysi o paioto, jote se kuvassa (a) o täsmällee suorassa. Hetkellä t = 0 köyde päähä kohdistetaa lisävoima F y ylöspäi, jolloi köysi lähtee ousemaa. Köysi o paioto, jote oustessaa se muodostaa kuva (b) mukaise kolmio, missä piste P erottaa liikkuva osa vielä liikkumattomasta. 14 Köyde liike o yt se häiriö (pulssi, aalto), joka jo aikaisemmi olemme todeeet eteevä vakioopeudella. Nyt siis piste P liikkuu vakioopeudella v. Vakiovoima F y ei tässä tapauksessa johda kiihtyvää liikkeesee, koska massa, joho voima kohdistuu, kasvaa koko aja. Siis pistee P vasemmalla puolella oleva köyde osa liikkuu ylöspäi vakioopeudella v y. Jos liike olisi kiihtyvä, piste P eteisi myös kiihtyvällä opeudella ja sytyisi ristiriita. Hetkellä t köyde pää o oussut matka v y t ja piste P edeyt matka v t (kuva b tilae). Voimie ja köyde muodostamista yhteevistä kolmioista voimme kirjoittaa Fy yt = v y Fy = F v F v t v. Seuraavaksi sovellamme mekaiikasta tuttua impulssiteoreemaa. Voima F y impulssi Ft, y joka o kehittyyt aikavälillä 0 t, meee liikkuva köydeosa liikemäärä muutokseksi mv y 0. Tulee Ft= mv. Tässä m= µ v t o liikkuva köydeosa massa. O siis y y v y F t = µ vv t y, v ja ku tästä ratkaistaa v, saadaa F v =. (15-13) µ Ituitiivie pohdiskelumme sivulla 13 johti siis oikeaa tuloksee. Aallo opeus kasvaa, ku jäitysvoima ( F ) kasvaa, ja pieeee ku massa pituusyksikköä kohti (µ ) kasvaa.
15 Esimerkki: Viereisessä kuvassa geologi lähettää sigaali köyttä pitki maa pialle. Köyde massa o.00 kg ja pituus 80.0 m. Kiviäyttee massa o 0.0 kg. Laske köydessä eteevä sigaali opeus alhaalla kaivaossa, köyde puolessa välissä ja ylhäällä. 15.5 Aaltoliikkee eergia (Eergy i Wave Motio) Tarkastellaa taas köydessä positiivise x-akseli suutaa eteevää poikittaista aaltoa. Viereisessä kuvassa o esitetty hyvi piei osa värähtelevästä köydestä pistee a ympäristöstä. Köysi pistee vasemmalla puolella kohdistaa pisteesee vasemmalle köyde suutaa osoittava voima ja köysi pistee oikealla puolella kohdistaa pisteesee oikealle köyde suutaa osoittava voima. 16 Tarkastellaa pistee vasemmalla puolella oleva köydeosase aiheuttamaa voimaa, joka kuvassa (b) o jaettu kahtee kompoettii. Kuva perusteella yxt (, ) Fy ( x, t) = F, (15-0) x missä egatiivie merkki o tarpee, koska suhde Fy / F o egatiivie silloi ku köyde kulmakerroi (slope) y/ x o positiivie. Ku piste a liikkuu y-suuassa, voima F y tekee työtä. Teho o yxt (, ) yxt (, ) P( xt, ) = Fy( xt, ) v y( xt, ) = F. (15-1) x t Tämä o hetkellie teho, jolla pistee a vasemmalla puolella oleva köyde osa siirtää eergiaa pisteesee a. Kaava siis kertoo millä teholla eergiaa virtaa köyttä pitki oikealle. Kaava o voimassa kaikelaisille köydessä eteeville aalloille. Siimuotoiste eli harmoiste aaltoje tapauksessa aaltofuktio o yxt (, ) = Acos( kx ω t), josta yxt (, ) = kasi( kx ω t), x yxt (, ) = ωasi( kx ω t), t ja hetkelliseksi tehoksi tulee P( xt, ) = Fkω A si ( kx ω t). (15-) Ku vielä käytetää relaatioita ω =v k ja v = F / µ, saadaa P( xt, ) = µ Fω A si ( kx ωt). (15-3) Tästä äemme, että eergia ei koskaa virtaa aallo eteemissuutaa vastaa (teho aia positiivie).
17 Fuktio si ( kx ω t) keskimääräie arvo (aikakeskiarvo) o 1/, jote keskimääräiseksi tehoksi saamme 1 Pav = µ Fω A. (15-5) Eergia siirtymisopeus o siis verraollie amplitudi eliöö ja taajuude eliöö. Esimerkki: Lakaa ( µ = 5.00 10 kg/m) jäitetää 80.0 N: voimalla. Millä keskimääräisellä teholla lakaa o syötettävä eergiaa, jos siihe halutaa syyttää harmoie aalto, joka taajuus o 60 Hz ja amplitudi 6.00 cm? Aallo itesiteetti (Wave Itesity) Köydessä eteevä aalto kuljettaa eergiaa vai yhdessä ulottuvuudessa, ts. vai yhtee suutaa. O myös olemassa aaltoja, esimerkiksi ääiaallot ja seismiset aallot, jotka kuljettavat eergiaa kaikkii suutii, ts. kolmessa ulottuvuudessa. Tällaisille aalloille määrittelemme käsittee itesiteetti I seuraavasti: Itesiteetti o aallo kuljettama keskimääräie eergia aikayksikössä eteemissuutaa vastaa kohtisuora pitaalayksikö läpi. Itesiteetti o siis keskimääräie teho pita-alayksikköä kohti, jote se yksiköksi tulee W/m. Jos aalto leviää lähteestä samalla tavalla kaikkii suutii (kuva), itesiteetti o käätäe verraollie etäisyyde eliöö r. Tämä seuraa eergia säily- mislaista. Kuvassa P o lähtee teho, joka aallo loitotessa lähteestä jakautuu yhä kasvavalle pallopialle 4π r. Etäisyyksillä r 1 ja r voidaa kirjoittaa P P I1 = ja I =, 4π r1 4π r joista edellee 4π ri= 4π ri ja vielä 1 1 I I 18 r =. (15.6) 1 r1 Tämä o s. "verraollie käätäe etäisyyde eliöö"-laki (iverse-square law for itesity). Esimerkki: Korkea masto huipussa oleva sireei lähettää ääiaaltoja samalla tavalla kaikkii suutii. Sireeistä etäisyydellä 15.0 m ääe itesiteetti o 0.50 W/m. Millä etäisyydellä itesiteetti o pudout arvoo 0.010 W/m? 15.6 Iterferessi, reuaehdot ja superpositio (Wave Iterferece, Boudary Coditios, ad Superpositio) Ku aalto osuu väliaiee reuaa, se heijastuu. Esimerkiksi ääe osuessa talo seiää se palaa takaisi kaikua. Väliaiee reuaa kohti eteevä aalto ja jo aikaisemmi väliaiee reuasta takaisi heijastuut (sama) aalto voivat esiityä yhtä aikaa samassa tilassa. Tätä tilaette, tai yleisemmiki useamma aallo esiitymistä samassa tilassa, saotaa iterferessiksi. Se mite kaksi (tai useampi) samaaikaista aaltoa poikkeuttavat väliaiee osasia, määräytyy s. superpositioperiaatteesta. Tutkitaa aallo heijastumista käyttäe esimerkkiä köydessä eteevää poikittaista aaltoa. Tarkastellaa kahta erilaista tapausta. Kuvassa (a), seuraavalla sivulla, köyde pää o kiiitetty eikä se pääse liikkumaa aallo osuessa siihe. Kuvassa (b) köyde pää o vapaa ja se voi liikkua aallo vaikutuksesta. Ne ehdot mite köysi o kiiitetty ovat s. reuaehtoja (tai rajaehtoja).
19 Köyde päähä saapuva pulssi heijastuu. Jos pää o kiiitetty, pulssi palaa takaisi ylösalaisi käätyeeä. Tämä johtuu seiämä köytee kohdistamasta reaktiovoimasta, joka o yhtä suuri, mutta vastakkaissuutaie kui saapuva pulssi seiämää kohdistama voima. Jos köyde pää o vapaa liikkumaa, siihe ei kohdistu ulkoisia voimia ja heijastuut pulssi ei ole käätyyt. Viereisessä kuvassa kohtaa kaksi eikääettyä idettistä pulssia. Tilae vastaa yt heijastumista silloi, ku köyde pää o vapaa liikkumaa. Superpositioperiaate Edellisissä esimerkeissä yhdistettii kahde aallo tiettyy pisteesee aiheuttamat poikkeamat yhteisvaikutukseksi. Resultattiaalto o s. lieaarise superpositioperiaattee mukaa yksittäiste aaltoje summa. 0 Siis, jos y 1 ( x, t ) ja y ( x, t ) edustavat osa-aaltoje aaltofuktioita, ii kokoaisaaltofuktio o yxt (, ) = y( xt, ) + y( xt, ). (15-7) 1 Heijastuee pulssi muodostumie o samalaie tapahtuma kui vastakkaisii suutii eteevie pulssie yhteisvaikutus. Kuvassa vasemmalla kaksi idettistä, mutta toistesa suhtee kääettyä pulssia kohtaa toisesa kuvitellulla rajalla. Tilae vastaa heijastumista, ku köyde pää o kiiitetty. Matemaattisesti summautuvuusomiaisuus o seurausta aaltoyhtälö (15-1) lieaarisuudesta. Kyseisessä differetiaaliyhtälössä esiityy vai muotoa yxt (, ) olevia fuktioita, eikä esimerkiksi muotoja [ yxt (, )] tai yxt. (, ) Tällaisilla differetiaaliyhtälöillä o se omiaisuus, että jos kaksi fuktiota ovat se ratkaisuja, ii myös iide summa o ratkaisu. 15.7 Seisovat aallot köydessä (Stadig Waves o a Strig) Edellisessä tarkastelussa väliaiee reuasta heijastui yksiäie pulssi. Tarkastellaa yt mitä tapahtuu siimuotoise harmoise aallo heijastuessa köyde kiiitetystä päästä.
1 Nyt sama aalto, kohti reuaa eteevä ja sieltä jo heijastuut, esiityy yhtä aikaa samassa tilassa. Yleie termi kuvaamaa samassa tilassa olevie aaltoje yhteisvaikutusta o iterferessi. Kahde samalaise vastakkaisii suutii eteevä aallo yhteisvaikutuksea sytyy s. seisova aalto (stadig wave). Seisova aallo sytyprosessi voidaa ymmärtää superpositioperiaattee avulla (kuva vieressä). Kuvassa puaie aalto eteee vasemmalle ja siie oikealle. Molemmilla o sama opeus, aallopituus ja amplitudi. Aaltoje yhteisvaikutus (superpositio-periaattee mukaa summa) o esitetty mustalla käyrällä. Kuvasarja edustaa puolta periodia yhdeksällä eri ajahetkellä. Tietyillä ajahetkillä (esimerkiksi. 8T/16) osa-aallot ovat täsmällee samassa vaiheessa ja summa-aalto o siiaalto, joka amplitudi o kaksikertaie osa-aaltoje amplitudii verrattua. Toisiaa (esimerkiksi 4T/16) osa-aallot ovat täsmällee vastakkaisissa vaiheissa ja summaaalto o hetkellisesti kokoaa olla. Kuvasta ähdää, että summa-aalto o jatkuvasti olla s. solmukohdissa (odes, kuvassa N). Solmukohdissa osa-aallot kumoavat aia toisesa, eli tapahtuu s. destruktiivie iterferessi. Solmukohtie puolessa välissä osa-aaltoje kotribuutio summaaaltoo o yhtäsuuri ja sytyy s. kupu (atiode, kuvassa A). Puhutaa kostruktiivisesta iterferessistä. Solmukohdat ja kupukohdat pysyvät koko aja samassa paikassa, jote köyde liike ei siis eää äytä eteevältä aallolta. Kuva mukaa peräkkäiste solmukohtie tai kupukohtie välimatka o λ /. Seisova aallo aaltofuktio saadaa laskemalla yhtee (superpositio) kaksi vastakkaisii suutii eteevää aaltoa, joilla o sama amplitudi, taajus ja jakso: y ( x, t) = Acos( kx+ ω t) 1 (eteee vasemmalle) y ( x, t) = Acos( kx ω t) (eteee oikealle) Tässä y 1 o alkuperäie aalto, joka eteee x-akseli suutaa kohti köyde kiiityspistettä. Aalto y o palaava heijastuut aalto. Negatiivie merkki tarvitaa, koska heijastumisessa aalto käätyy ylösalaisi (sivu 19). Seisova aallo aaltofuktioksi tulee siis yxt (, ) = A cos( kx+ ω t) + cos( kx ω t) [ ] ja käyttämällä idetiteettiä cos( a± b) = cos acosb si asib se saa muodo yxt (, ) = (Asi kx)siω t. (15-8) Yhtälössä (15-8) o kaksi tekijää, paikasta x riippuva tekijä Asikx ja ajasta t riippuva tekijä siω t.
3 Tekijä Asi kx kertoo, että kaikilla ajahetkillä köysi muodostaa siikäyrä, mutta toisi kui eteevässä aallossa, siikäyrä pysyy yt paikoillaa. Se kylläki värähtelee, hegittää, tekijä siω t mukaisesti. Kaikki köyde osaset värähtelevät harmoisesti samalla taajuudella. Solmukohdissa si kx = 0, ts. kx = 0, π, π, 3 π,. Solmuje paikat ovat siis (muista että k = π / λ): λ λ 3λ x = 0,,,, (15-9) ja solmukohtie väli o λ /, kute edellisellä sivulla kuva perusteella todettii. Seisova aalto ei kuljeta eergiaa paikasta toisee. Tämä o helppo todeta (kotitehtävä) tehoyhtälö (15-1) avulla käyttäe seisova aallo aaltofuktiota (15-8). Keskimääräiseksi tehoksi tulee olla. Esimerkki: Positiivise x-akseli suutaise köyde toie pää o kiiitetty pisteesee ( x = 0, y = 0). Köydessä eteee x-akseli suutaa siiaalto opeudella 84.0 m/s, amplitudilla 1.50 mm ja taajuudella 10 Hz. Tämä aalto heijastuu pisteestä x = 0. Heijastuee ja tuleva aallo superpositioa sytyy seisova aalto. (a) Kirjoita yhtälö, joka kertoo köyde poikkeama tasapaioasemasta paika ja aja fuktioa. (b) Paikallista e köyde pisteet, jotka eivät liiku ollekaa. (c) Paikallista e köyde pisteet, jotka liikkuvat eite ja laske vastaavat maksimipoikkeamat, maksimiopeudet ja maksimikiihtyvyydet. 4 15.8 Köyde ormaalivärähdysmuodot (Normal Modes of a Strig) Edellisessä tarkastelussa vai toie köyde päistä oli kiiitetty ja köysi oletettii (periaatteessa) äärettömä pitkäksi. Tarkastellaa yt aaltoja köydessä, joka molemmat päät o kiiitetty. Molemmista päistä kiiitettyjä köysiä esiityy paljo musiikki istrumeteissa, esimerkiksi kitarassa. Ku kitara kieli saatetaa värähtelemää aalto eteee edestakaisi heijastue kiiitetyistä päistä. Nytki muodostuu seisova aalto eri suutii eteevie aaltoje superpositioa. Molemmista päistää kiiitettyy köytee sytyvällä seisovalla aallolla täytyy olla solmupiste köyde molemmissa päissä. Toisaalta, edellisessä kappaleessa totesimme, että seisova aallo solmupisteet ovat λ / : päässä toisistaa. Tästä seuraa, että köyde pituude L täytyy olla λ /, tai ( λ / ), tai 3( λ / ), je.... Saamme siis ehdo L= λ, ( = 1,, 3, ). (15-30) Tämä siis tarkoittaa sitä, että jos köyde molemmat päät o kiiitetty, köysi voi värähdellä vai ehdo (15-30) mukaisilla aallopituuksilla. Aallopituudet ovat L λ =, ( = 1,, 3, ). (15-31) Yhtälö (15-31) eljällä alimmalla : arvolla o esitetty kuvaa seuraavalla sivulla. Aallopituuksia λ vastaavat taajuudet saadaa yhtälöstä v v f = = ( = 1,, 3, ). (15-33) λ L
5 6 Värähtelevä systeemi ormaalimuoto (ormal mode) o sellaie liike, missä systeemi kaikki hiukkaset värähtelevät harmoisesti samalla taajuudella. Molemmista päistä kiiitetty köysi värähtelee siis ormaalimuotoisesti ja esimerkiksi edellise sivu kuva esittää ormaalimuotoja arvoilla = 1,, 3 ja 4. Köydessä eri ormaalimuodot voivat värähdellä yhtäaikaa. Köyde värähtely voi siis olla hyviki moimutkaista. Toisaalta mikä tahasa köyde liikemuoto voidaa esittää ormaalimuotoje lieaarikombiaatioa. Moimutkaise värähtely purkamista eri ormaalimuodoiksi saotaa Fourier-aalyysiksi. Oheisessa kuvassa (alakuvassa) L : pituista kitara kieltä äpäytetää etäisyydeltä L / 4 vasemmasta reuasta. Kiele värähtely o hyvi moimutkaista, mutta se voidaa esittää siimuotoiste Matali taajuus f 1 vastaa suurita aallopituutta ja se saadaa, ku = 1. Tätä taajuutta saotaa perustaajuudeksi (fudametal frequecy). Kaikki muut taajuudet ovat perustaajuude moikertoja f 1, 3 f 1, 4 f 1,... ja iitä saotaa harmoisiksi (harmoics) tai musiikkipiireissä yliääiksi (overtoes). Taajuus f = f 1 o toie harmoie tai esimmäie yliääi, f 3 = 3 f 1 o kolmas harmoie tai toie yliääi, je. Jos köysi o kiiitetty pisteistä x = 0 ja x = L, ii se : e seisova aallo aaltofuktioksi tulee (katso 15-8) y ( x, t) = A sik xcosω t, (15-34) sw missä A sw o seisova aallo amplitudi, k = π / λ ja ω = π f. ormaalimuotoje kombiaatioa, kute yläkuvassa o tehty.
7 Esimerkki: Erää jättiläissello kiele pituus o 5.00 m, lieaarie massatiheys 40.0 g/m ja perustaajuus 0 Hz (ali ihmise kuulema taajuus). Laske (a) kiele jäitys, (b) toise harmoise taajuus ja aallopituus ja (c) kiele syyttämä ääiaallo taajuus ja aallopituus, ku kieli värähtelee perustaajuudellaa.