6. TAIVAANMEKANIIKKA Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen Näennäinen liike voi olla hyvinkin monimutkaista: esim. ulkoplaneetan suunta retrograadinen opposition lähellä, johtuen Maan suuremmasta kulmanopeudesta Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 117
Antiikki, keskiaika : Geosentrinen järjestelmä, ympyräliike planeettojen iikkeen kuvaaminen episyklien avulla (Havaintoihin nähden sangen tarkka!) Kopernikus: Geosentrinen heliosentrinen, yksinkertaisempi malli Kepler: liike pitkin ellipsirataa Galilei: Planeetat fysikaalisia objekteja, Newton: liike laskettavissa dynamiikan laeista (Halley n ennustus v. 1682 komeetta palaa 1758 Nyt: luotainlennot, numeeriset laskentamenetelmät Aurinkokunnan ulkopuoliset planeettajärjestelmät (eksoplaneetat) Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 118
KEPLERIN LAIT (alkuperäisessä muodossaan) (Tycho Brahen havainnot ) KEPLER I: Planeetat liikuvat Auringon ympäri pitkin ellipsirataa, jonka toisessa polttopisteessä Aurinko sijaitsee. (Kepler, 1609) YLEISEMMIN: RATA ON KARTIOLEIKKAUS (ellipsi, ympyrä, hyperbeli) KEPLER II: Planeetan pintanopeus on vakio, eli Auringosta piirretty radiusvektori pyyhkii yhtä pitkinä aikaväleinä yhtä suuret pinta-alat. (Kepler, 1609) YLEISEMMIN: PÄTEE KAIKILLE KESKEISVOIMILLE KEPLER III: Planeettojen ratojen isoakselien a kuutiot verrannollisia kiertoaikojen P neliöön (Kepler, 1619) TARKEMMIN: riippuu planeetan massasta Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 119
KEPLERIN LAIT johdettavissa DYNAMIIKAN PERUSLAISTA JA GRAVITAATIOLAISTA NEWTONIN LAIT (1687, Principia) voimassa inertiaalisysteemissä = levossa tai tasaisessa liikkeessä oleva koordinaatisto I. Jos kappaleeseen ei vaikuta voimia sen liikemäärä m V säilyy vakiona II. Liikemäärän muutos on verrannollinen kappaleeseen vaikuttavaan voimaan F = d dt (m V ) = ṁ V + m R (= DYNAMIIKAN PERUSLAKI) III. Voiman vastavoiman periaate: jos kappale 1 vaikuttaa kappaleeseen 2 tietyllä voimalla, niin silloin kappale 2 vaikuttaa kappaleeseen 1 samansuuruisella mutta vastakkaisella voimalla F 12 = F 21 IV. Voimat summautuvat vektoriaalisesti F = P N i F i NEWTONIN GRAVITAATIOLAKI Kappaleet 1 ja 2, massat m 1 ja m 2, paikkavektorit R i ja R 2. Merkitään R 21 = R 2 R 1 ja r 21 = R 2 R 1 Kappale 2 vaikuttaa kappaleeseen 1 voimalla F 12 = G m 1m 2 r 21 2 R 21 r 21 = G m 1m 2 r 21 3 R 21, Yhdistetään N-kappaleen liikeyhtälöt (oletettu että massat vakioita) R i = G NX j i m j R i R j r ij 3 i = 1,..., N Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 120
KAHDEN KAPPALEEN SUHTEELLISEN LIIKKEEN YHTÄLÖ Aurinkokunnan planeettojen massat pieniä verrattuna Aurinkoon keskinäiset häiriöt pieniä voidaan tarkastella erikseen kutakin planeettaa Auringon suhteen R m 2 Määritellään inertiaalikoordinaatistossa: m 1 R 1 = Auringon paikkavektori R 2 = Planeetan paikkavektori R 1 R 2 R = R 2 R 1 = Planeetan paikkavektori Aurinkon suhteen r = R Mikä on planeetan m 2 liike Auringon m 1 suhteen? origo Inertiaalisysteemin liikeyhtälöt: R 1 = Gm 2 R r 3 R 2 = Gm 1 R r 3 R = G(m 1 + m 2 ) R r 3 = µ R r 3 Eli kahden kappaleen suhteellisen liikkeen yhtälö samanmuotoinen kuin yhden kappaleen liikkeen yhtälö inertiaalikoordinaatistossa. HUOM µ = G(m 1 + m 2 ) Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 121
Liikeyhtälön ratkaisu planeetan rata Auringon suhteen, Keplerin lait Ongelma: R(t) ei ratkea suljetussa muodossa tarvitaan erilaisia apumuuttujia jne. (Täydellinen ratkaisu johdetaan Taivaanmekaniikan kurssissa) Käytännössä etsitään liikevakioita, eli suureita jotka pysyvät vakiona liikkeen kuluessa: Esim. Rataimpulssimomentti k = R V = vakiovektori (Lasketaan d k/dt = R R + R R = 0 + R ( µ R r 3) = 0 (vektorin ristitulo itsensä kanssa häviää) k vakio) Liike tapahtuu vakiona pysyvässä ratatasossa (ei oteta huomioon muiden planeettojen häiriöitä) R(t) ja V (t) määrittelevät hetkellisen ratatason ajanhetkellä t R ja V aina kohtisuorassa k suhteen, k vakio Kirjoittamalla R ja V napakoordinaatistossa saadaan Kepler II laki Esim. Perisentrivektori e = 1 µ ( k V + µ R/r) = vakiovektori = ratatasossa oleva vektori, osoittaa perisentrin suuntaan, itseisarvo= radan eksentrisyys Voidaan johtaa radan muoto eli Kepler I laki Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 122
PLANEETTOJEN RADAT Liikeyhtälön ratkaisuna kartioleikkausrata (johdetaan Taivaanmekaniikan kurssilla) Planeetan ratatasoon sijoitetussa napakoordinaatistossa (r etäisyys, f kulmamuuttuja) r = a(1 ǫ2 ) 1 +ǫ cos f Kulma f = 0 etäisyyden ollessa pienimmillään (perisentri) a = radan isoakselin puolikas (puolet rataellipsin maksimihalkaisijasta) ǫ=radan eksentrisyys (polttopisteen etäisyys radan keskipisteestä = ae) f ns. luonnollinen anomalia (suuntakulma perisentristä) Kiertoaika P 2 = 4π 2 a 3 G (msun+m plan ) = Kepler III Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 123
Kartioleikkaukset: eksentrisyys ǫ ǫ = 0 ympyrä ǫ < 1 ellipsi ǫ = 1 parabeli ǫ > 1 hyperbeli Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 124
Planeetan isoakseli määrää radan energian h (energia/massayksikkö) kokonaisenergia = kineettinen energia + potentiaali-energia h = 1 2 v2 µ/r v 2 = V V nopeuden neliö, r = R radiusvektorin pituus µ = G(m sun + M planeetta ) h < 0 ǫ < 1 ellipsi, negativinen energia a = µ 2h h = 0 ǫ = 1 parabeli, nolla energia h > 0 ǫ > 1 hyperbeli, positiivinen energia a = µ 2h Impulssimomenttin itseisarvo (/massayksikkö) k määräytyy sekä isoakselin että eksentrisyyden perusteella q k = µa (1 ǫ 2 ) Ratanopeuden itseisarvolle saadaan yhtälö energian lausekkeesta Ellipsi: h = µ 2a v 2 = µ( 2 r 1 a ) Hyperbeli: h = µ 2a v 2 = µ( 2 r + 1 a ) Parabeli: h = 0 v 2 = 2µ r Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 125
KIII P 2 = 4π 2 a 3 G (msun+m plan ) (Sovelletaan maan rataan a = 1AU, P = 1v) Valitaan G = 4π, käytetään yksikköinä AU, vuosi ja Auringon massaa a 3 = (msun + m plan )P 2 nopeuden yksikkö AU/vuosi jne. Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 126
Entä kaksi kilometrin kokoista kivijärkälettä (ρ = 3gr/cm 3 ) 10 kilometrin etäisyydellä? Nyt Massojen summa 2.5e13 kg Kiertoajaksi tulee 1.8 vuorokautta Yleisemmin: 2 identtistä kappaletta, radan ja kappaleen säteen suhde (a/r) P 2 = 4π2 a 3 G (2m) sijoitetaan P = ja m = (4π/3)ρR 3 q 3π 2Gρ ` a 3/2 R 0.1 r1000 kg/m 3 ρ ` a R 3/2 vuorokautta Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 127
Pakonopeudet Kappaleella riittävän suuri nopeus voi karata äärettömän kauas keskukappaleesta Ehto:kokonaisenergia h > 0 h = 1/2v 2 µ/r > 0 v > v e = q 2G(m1 +m 2 ) r äärettömän kaukana v = 0, 1/r = 0 vastaa h = 0 Suhteessa ympyräratanopeuteen v c etäisyydellä r P = 2πr vc Keplerin III laki P 2 = 2 2πr vc = 4π 2 r 3 G(m 1 +m 2 ) v c = q G(m1 +m 2 ) r Eli v e = 2v c Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 128
Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 129
PLANEETTOJEN RATAELEMENTIT Suhteellisen liikkeen liikeyhtälö on II kertaluvun differentiaaliyhtälö 3 paikkavektorin komponentille R = µ R r 3 R = [x, y, z] ratkaisu sisältää 6 integroimisvakiota (eli tiettyä rataa määrittävää parametria) Edellä ollut radan yhtälö (ratatasossa) sisälsi vakiot -isoakseli a (radan laajuus) - eksentrisyys ǫ (radan muoto) - perisentriaika τ (ajanhetki, jolloin f = 0) Loput 3 ratkaisun sisältämistä vakioista liittyvät ratatason 3-ulotteiseen orientaatioon jossakin annetussa vertailukoordinaatistossa (yleensä Ekliptika, eli Maan ratataso) -inklinaatio i (ratatason kaltevuus) - nousevan solmun pituus Ω (nousevan solmun kulmaetäisyys kevättasauspisteestä) -perihelin argumentti ω (perihelin kulmaetäisyys nousevasta solmusta) Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 130
Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 131
HUOM: Edellä olleet kuusi vakiota ovat ns. geometriset ratelementit Mitkä hyvänsä kuusi riippumatonta parametria kelpaavat (mutta eivät ole välttämättä hyödylllisiä!) Esim. a) Paikka ja nopeusvektori tietyllä hetkellä R 0 ja R 0 V 0 Varmasti riippumattomia Rata voidaan integroida numeerisesti (yksikäsitteinen ratkaisu annetuista alkuarvoista) b) ns. ratavektorit k, e ja perisentriaika k = impulssimomenttivektori (edellä) e = perisentrivektori (osoittaa perisentriä kohti, e = ǫ Huom: e k = 0 kohtisuorassa sis. yhdessä vain 5 riippumatonta vakiota c) geometriset ratelementit a, ǫ, i, Ω, ω, τ Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 132
Kaavat planeetan paikan laskemiseen ajanhetkellä t a, ǫ, τ, i, Ω, ω R, V 1) Lasketaan kiertoaika ja keskianomalia M q P = 2π a 3 /µ M = 2π (t τ) P 2) Lasketaan eksentrinen anomalia E Keplerin yhtälöstä M = E ǫ sin(e) 3) Lasketaan ratatasokoordinaatit x, ỹ and ṽx, ṽy: x = a(cos E ǫ) ỹ = b sin E q ṽx = a sin E µ/a 3 (1 ǫ cos E) 1 q ṽy = b cos E µ/a 3 (1 ǫ cos E) 1 4) Kierretään ratatasossa lasketut koordinaatit Ekliptikasysteemiin ««R = x A a + ỹ B b ««V = A ṽx a + B ṽy b jossa A a ja B b ovat iso- ja pikkuakselin suuntaiset yksikkövektroit A a = B b = 0 1 cos ω cos Ω sin ω sin Ω cos i @ cos ω sin Ω + sin ω cos Ω cos ia sin ω sin i 0 1 sin ω cos Ω cos ω sin Ω cos i @ sin ω sin Ω + cos ω cos Ω cos ia cos ω sin i (1) (2) Käsitelllään tarkemmin Taivaanmekaniikan kurssissa (myös hyperbelirata) Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 133
Monenkappaleen systeemit Edellä N gravitoivan kappaleen liikeyhtälö: m i R i = G P N R j=1 m i m i R j j r 3 j i ij i = 1,..., N sisältää N kappaletta II kertaluvun differentiaaliyhtälöä 3 radiusvektorin komponentille ratkaisu sisältää 6N liikevakiota Tapaus N=2 ratkeaa täydellisesti: 12 liikevakiota Painopisteen liike (liikkuu vakionopudella) sisältää 6 vakiota Suhteellisen liikkeen ratkaisu: 6 rataelementtia (esim. k, e,τ) Yleinen tapaus: Painopisteen liike (liikkuu vakionopudella) sisältää 6 vakiota Impulssimomentti 3 Konaisenergia 1 Jää puuttumaan 6N-10 tuntematonta liikevakiota Osoitettavissa ettei ole olemassa muita paikan & nopeuden algebrallisia funktioita jotka olisivat liikevakioita N = 3 8 puuttuu N = 4 14 puuttuu... (Sundman 1912: yleinen kolmen kappaleen ratkaisu (ei käytännössä hyödyllinen)) Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 134
Esimerkki: N=2 ja N=3 (numeerisesti integroituja ratoja Häiriöteoria: - esim. planeettojen keskinäiset vaikutukset vähäisiä voidaan käsitellä pienenä häiriönä kahden kappaleen liikkeeseen (menettelyä ei voi soveltaa eo. kuvan tapaukseen!) - vastaavasti muut häiriöt: esim. ilmanvastuksen vaikutus satelliitin rataan Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 135
Rajoitettu kolmen kappaleen probleema: Kaksi kappaletta liikkuu toistensa suhteen ympyräradalla: tutkitaan kolmannen kappaleen ( = massaton testikappale) liikettä näiden kahden kappaleen gravitaation alaisena Tarkastelu tehdään kahden kappaleen mukana pyörivässä koordinaatistossa tasapainopisteet: Lagrangen pisteet (kappale sijaitsee L:n pisteessä ja nopeus = 0 pyörivässä systeemissä tällöin kiihtyvyys pyörivässä systeemissä häviää) - Jupiter-Aurinko systeemi: Troijalaiset asteroidit L 4 ja L 5 pisteiden ympärillä ±60 Jupiteriin nähden - Saturnuksen co-orbitaali pari Janus-Epimetheus jakavat saman keskietäisyyden ( hevosenkenkä -rata) Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 136
Periaatteessa mahdollista laajentaa 1+N tapaukseen: Massivinen keskuskappale + pienet satelliitit joilla sama keskietäisyys (Salo & Yoder 1988, AA 205, 309) Stabiilit ei-symmetriset ratkaisut N = 2 8 Stabiilit symmetriset ratkaisut N 7 + Epästabiileja tasapaino-ratkaisuja Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 137
VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen ja potentiaalienergian aikakeskiarvot toteuttavat ehdon: < T >= 1 2 < U >, HUOM: AIKAKESKIARVOT! jossa T = 1 2 P mi V 2 i ja U = 1 2 G P N j=1 P Nk=1 k j m j m k r jk viriaali =< T > nimitys Koska aina T + U = E (vakio kokonaisenergia) < T >= E < U >= 2E Sovellettu esim tähtijoukkojen ja galaksijoukkojen stabiilisuuden & massojen arvioimiseen (kineettinen energia m, potentiaalienergia m 2 ) Tähtitieteen perusteet, Luento 8, 25.03.2013 138