nopeusvektoria säädettäessä. kuvaruudulla olevien kappaleiden

Transkriptio

1 1 2 Ohjelman perusidea on varsin yksinkertainen. Kyseessä on tietokonepeli, jossa pelaaja pyrkii lähettämään kuvaruudulle ilmestyviä planeettoja radoilleen siten, että ne eivät törmäile virtuaalisessa avaruudessa oleviin muihin kappaleisiin eivätkä toisiinsa. Planeetan radan alkupisteeseen pelaaja ei voi vaikuttaa, ainoastaan planeetan nopeuteen alkupisteessä. Nopeus on siis tässä vektorisuure, jolla on toisistaan riippumattomasti valittava suuruus ja suunta. Kun nämä valinnat painovoiman määräämää rataa pitkin. Pelaajaa on vektorinuolta vetämällä tehty, helpottaa se, että radan alkuosa tulee näkyviin planeetta alkaa liikkua kaikkien nopeusvektoria säädettäessä. kuvaruudulla olevien kappaleiden

2 Keplerin lait Ensimmäisillä tasoilla Shooting Stars avaruuspelissä havainnollistuvat hienosti Keplerin kolme lakia. Keplerin lait ovat Johannes Keplerin muotoilemat empiiriset lait, jotka liittyvät planeettojen ratojen muotoon ja niiden kiertoaikoihin. Kepler löysi lait Tyko Brahen tekemien havaintojen perusteella. Lait I ja II julkaistiin teoksessa Astronomia nova vuonna 1609 ja kolmas laki julkaistiin teoksessa Harmonices Mundi vuonna Vaikka lait ovat alun perin löydetty kokeellisesti, ne voidaan helposti johtaa Isaac Newtonin vuonna 1684 esittämästä gravitaatiolaista. Keplerin I laki Kiertäessään tähteä planeetta liikkuu pitkin ellipsin muotoista rataa, jonka toisessa polttopisteessä tähti on. Keplerin II laki Niin kutsuttu pintalaki: Tähdestä kappaleeseen piirretty jana jättää jälkeensä yhtä pitkinä ajanjaksoina pinta- alaltaan yhtä suuren alueen. Keplerin III laki Planeettojen kiertoaikojen neliöt suhtautuvat toisiinsa kuten niiden ratojen isoakselien puolikkaiden kuutiot. 2

3 Pakonopeudet Pakonopeus on nopeus, jonka kappale tarvitsee poistuakseen toisen kappaleen painovoimakentästä, jos kitkaa tai muita liikettä vastustavia voimia ei oteta huomioon eikä kappaleeseen vaikuta muita voimia. Jos kappale lähtee liikkumaan poispäin toisesta kappaleesta avaruudessa, kappaleiden välinen gravitaatiovoima hidastaa sen liikettä ja mahdollisesti lopulta pysäyttää sen ja kääntää sen takaisin päin. ilmakehää poistumasta sen pinnan lähistöltä. On helpompaa laukaista satelliitti Maata kiertämään kuin ampua luotain kokonaan pois Maan painovoimakentästä, sillä Maan kiertoradalle vaadittava nopeus on vain noin 8,2 km/s. 3 Kuitenkin gravitaatiovoima heikkenee nopeasti etäisyyden kasvaessa ja jos kappale lähtee liikkeelle tarpeeksi suurella nopeudella, gravitaatiovoima heikkenee niin nopeasti, ettei se koskaan pysty kokonaan pysäyttämään pakenevaa kappaletta. Pakonopeus tarkoittaa pienintä sellaista nopeutta, jolla lähtevän kappaleen nopeus on sen äärettömän kauas kuljettua yhä suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, eli gravitaatio ei ikinä pysty täysin pysäyttämään sitä. Pakonopeus ei riipu pakenevan kappaleen massasta. Pakonopeus Maan pinnalta on 11,2 km/s. Maan suurehko pakonopeus estää sen Peli antaa varsin hyvän käsityksen siitä, miten käsite pakonopeus liittyy satelliitin kohtaloon. Putoaako se keskuskappaleeseen, jää kiertämää sitä vai karkaako se kokonaan keskuskappaleen painovoimakentästä.

4 Kolmen kappaleen ongelma 4 Kahden kappaleen välinen gravitaatioliike on matemaattisesti varsin helposti hallittavissa. Varsinkin, jos toinen kappale on merkittävästi suurempi kuin toinen. Keplerin lait terästettyinä Newtonin matematiikalla riittää helposti planeettojen ratojen laskemiseen. Mutta kun toisiinsa vaikuttavien kappaleiden määrää lisätään vain yhdellä, niin tilanteen hallinta muuttuu monta kertaluokkaa vaikeammaksi ja kappaleiden liike kauniista ellipseistä hyvinkin kaoottiseksi. Kyseessä on yksinkertaisimmillaan ns. kolmen kappaleen probleema. Alun perin kolmen kappaleen probleemalla tarkoitetaan kysymystä siitä, miten voidaan laskea kolmen kappaleen liikeradat, kun niiden massat sekä sijainnit ja nopeudet jollakin annetulla hetkellä tunnetaan ja niiden oletetaan noudattavan klassisen mekaniikan liike- lakeja ja vaikuttavan toisiinsa Newtonin gravitaatio- lain mukaisella tavalla. Nykyaikaisessa laajemmassa merkityksessä kolmen kappaleen probleema on klassisessa tai kvantti- mekaniikassa mikä tahansa kysymys kolmen kappaleen liikkeestä tiettyjen alku- tilannetta koskevien oletusten vallitessa. Tyypillisessä tapauksessa kaikki kolme kappaletta voidaan olettaa massapisteiksi ja niiden välistä vuorovaikutusta, joka voi olla esimerkiksi gravitaatio tai sähkö- magneettinen, voidaan kuvata skalaarisella potentiaalilla. Yleisessä tapauksessa kolmen kappaleen vuorovaikutuksessa niiden liike- yhtälöitä ei voida ratkaista matemaattisen analyysin keinoin, vaan on turvauduttava erilaisiin likiarvoihin tai numeerisiin ratkaisuihin. Suomalainen matemaatikko Karl F. Sundman osoitti vuosina , että ratkaisu voidaan esittää myös suppenevien potenssi- sarjojen avulla. Historiallisesti kolmen kappaleen probleemaa tutkittiin ensimmäiseksi Kuun, Maan ja Auringon välisten voimien ja niiden liikkeiden tarkemmaksi selvittämiseksi. Kysymys kolmen kappaleen liikkeestä niiden välisen gravitaation vaikutuksesta tuli tarkemman käsittelyn alaiseksi ensimmäiseksi vuonna 1687, kun Isaac Newton julkaisi teoksensa 'Principia' (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica).

5 5 Sen ensimmäisen kirjan 66. propositiossa ja sen 22 korollaarissa Newton otti ensimmäiset askelet tämän kysymyksen selittämiseksi. Kolmannen kirjan 25. ja 35. propositiossa Newton otti myös ensimmäiset askelet tämän soveltamiseksi Kuun liikkeeseen sen ollessa Maan ja Auringon vetovoimien vaikutuksen alaisena. Vasta myöhemmin tämä kysymys tuli kolmen kappaleen probleeman nimisenä kuuluisaksi varsinkin suuren vaikeutensa vuoksi luvun toisella neljänneksellä Kuun liikettä tutkittiin erityisen tarkasti. Asia sai suuren käytännöllisenkin merkityksen, sillä mitä tarkemmin Kuun liikkeet pystyttiin ennalta laskemaan, sitä tarkemmin Kuun asemaa voitiin käyttää hyväksi navigoinnissa pituuspiirin määrittämiseksi merellä. Newtonin työn perusteella pääteltiin, että ainakin suurimmaksi osaksi kysymystä Kuun liikkeestä voitiin käsitellä yksin- kertaisesti olettamalla, että Aurinko aiheuttaa tietyn suuruisia häiriöitä Kuun kierto- liikkeeseen Maan ympäri. Jean d Alembert ja Alexis Clairaut yrittivät toisistaan riippumatta molemmat kehittää probleemalle yleisemmän ratkaisun käyttämällä differentiaaliyhtälöitä, joiden ratkaisuina saatiin perättäisiä, yhä tarkempia liki- arvoja. Molemmat jättivät ensimmäiset kilpailevat analyysinsä asiasta Ranskan tiedeakatemialle (Académie Royale des Sciences) vuonna Nimitys "kolmen kappaleen probleema" (ransk. Problème des trois corps) tuli ensimmäiseksi käyttöön Pariisissa luvulla näiden tutkimusten yhteydessä. Myöhemmin, vuonna 1761, Jean d'alembert mainitsi eräässä kysymyksen historiaa käsittelevässä tutkielmassaan, että Leonhard Euler oli kehittänyt keinon eräiden aiheeseen liittyvien differentiaali- yhtälöiden ratkaisemiseksi jo vuonna Kolmen kappaleen probleema on erikoistapaus useamman kappaleen probleemasta (n kappaleen probleemasta). Tämä koskee sitä, miten n kappaletta liikkuvat, kun ne vaikuttavat toisiinsa esimerkiksi gravitaatiovoimilla. Myös n kappaleen tapauksessa ratkaisu voidaan esittää suppenevien potenssi- sarjojen avulla, kuten Sundman osoitti kolmen ja myöhemmin Quidong Wang useamman kappaleen tapauksessa.

6 6 Kuitenkin sekä Sundmanin että Wangin sarjat suppenevat yleensä niin hitaasti, etteivät ne sovellu käytännön tarkoituksiin, ja siksi toistaiseksi numeerisen analyysin menetelmät (sekä eräissä tapauksissa trigono- metrisilla sarjoilla saadut approksimaatiot) ovatkin ainoat käyttö- kelpoiset. Esimerkkejä systeemeistä, joita n kappaleen probleema eri muodoissaan koskee, ovat galaksit sekä planeetta- kunnat, joissa on useampia planeettoja ja niillä mahdollisesti kuita. Tässä on minusta tämän ohjelman kiehtovin ominaisuus. Kun jopa kolmen kappaleen probleema vaatii sellaisen laskentakapasiteetin, että tavallisen PC:n prosessorit käyvät laskuja tehdessään kuumana, niin miten siten pelin edellyttämässä reaaliaikaisessa ja interaktiivisessa useamman kappaleen probleemassa. Ratkaisu kuvastaa nykyaikaa. Laskentaan käytetään supertietokoneiden "luppoaikaa", mikä tarkoittaa tässä, että jokainen omalla koneellaan pelaava on yhteydessä johonkin supertietokoneeseen. Ei suoraan, vaan pelin valmistajan koneiden kautta. gravitaatioliikettä, niin pelaajalla on tässä "taivaallisen kellokoneiston hoitajan" rooli. Hän päättää, minne ja millä nopeudella uudet planeetat lähetään. Turvallisille radoille vai tuhoon. Ehkä tämä peli opettaa, että ei se Jumalankaan homma niin helppoa ole. Ei mikään ihme, että planeetat ovat historian kuluessa aina silloin tällöin törmäilleet. Taustaa ja opetuksellinen käyttö Ohjelma on kiehtova ja jopa ihan oikeaa kovaa fysiikkaa opettava. Kunhan oppijan taustatiedot ovat riittävät. Hyvä artikkeli asiasta on mm. Kari Enqvistiltä. Ohjelmaa voidaan käyttää myös Heureka- vierailun oheismateriaalina ja vierailun opetuksellisen annin syventäjänä. Prosessi tulee jakaa kolmeen osaan: ennen vierailua, vierailun aikana ja vierailun jälkeen tapahtuviin toimiin. Viimeinen näkökulma menee jo vähän teologian puolelle. Vaikka tässä pelissä tietokoneet simuloivat monen kappaleen alaista