Sähkömagnetismia. 11. huhtikuuta 2005

Sähkömagnetismia 11. huhtikuuta 2005 1

Sisältö 1 Sähkömagnetismi ja Maxwell - Historiaa 3 1.1 Maxwellin yhtälöt......................... 6 2 Sähkömagnetismi ja Cliordin algebrat 8 2.1 Tarvittavia käsitteitä....................... 8 2.2 Minkowskin avaruus R 3,1..................... 9 2.3 Sähkömagneettiset potentiaalit................. 10 2.4 Yksi yhtälö Cliordin algebrassa Cl 3.............. 11 2.5 Yksi yhtälö Cliordin algebrassa Cl 3,1 (Minkowskin avaruus). 13 3 Tasokenttäratkaisut Maxwellin yhtälöille 16 3.1 Aika-avaruuden tasokentät.................... 16 3.2 Tasokenttien yleinen muoto................... 17 3.3 Säteilykentät........................... 18 3.4 Sovelluksia............................. 18 2

1 Sähkömagnetismi ja Maxwell - Historiaa 1700-luku oli kiistatta klassisen fysiikan aikakausi, jonka ehdoton johtohahmo oli Sir Isaac Newton. Yhtälailla voidaan 1800-lukua kutsua sähkön läpimurtokaudeksi. Ennen Maxwellia sähköä ja magnetismia oli tutkinut ahkerasti suuri joukko kuuluisia fyysikkoja, kuten Charles Coulomb (1736-1806), Hans Christian Örsted (1777-1851), André Marie Ampère (1775-1836), Georg Ohm (1789-1854) ja Michael Faraday (1791-1867). Maxwellin jälkeen työtä jatkoivat mm. Heinrich Hertz (1857-1894) ja Oliver Heaviside (1850-1925). Hänen teorioitaan sovelsi myöhemmin mm. Guglielmo Marconi (1874-1937), josta tuli radion keksijä. Yksi merkittävimmistä sähkömagneettisista läpimurroista tapahtui 1820, kun Örsted osoitti kokeellaan sähkön ja magnetismin olevan toisistaan riippuvia ilmiöitä. Lisäksi sähkön ja magnetismin luonne herätti huomiota. Tuohon saakka oli sähköoppia tutkittu Newtonin veto- ja poistovoimien kaukovaikutusteorian pohjalta ja magnetismin ja sähköstatiikan tiedettiin noudattavan samoja matemaattisia riippuvuuksia (voiman suuruus kääntäen verrannollinen etäisyyden toiseen potenssiin) kuten painovoimakin. Nyt tilanne muuttui, sillä Örstedin koe osoitti virran aiheuttaman magneettivoiman olevan kohtisuorassa virtajohdon ja magneettineulan yhdysjanaa vastaan. Tämän jälkeen Ampère loi sähkömagnetismin peruslait ja matemaattiset käsitteet, jotka antoivat matemaattisen mallin myös Örstedin kokeelle. Sähkömagneettisen induktion keksi Faraday (häntä kutsutaan myös nimellä "Father of Electricity", mikä kuvaa hyvin hänen merkitystään sähkön kehityksessä) 1831. On kuitenkin huomattava, että Faraday keksi muuttuvan magneettikentän aiheuttaman sähkökentän, päinvastainen ilmiö todettiin myöhemmin. Faraday kehitti myös kenttäkäsitteen, jonka mukaan avaruus oli täynnä magneettiviivoja, jotka yhdistivät magneetin navat toisiinsa. Tämä oli selvästi ristiriidassa Newtonin kaukovaikutusteorian kanssa, jossa kenttäviivat olivat lähde- ja kenttäpisteen yhdysjanan suuntaisia. Faradayn kenttäkäsitteessä magneettivoimalla oli myös poikittainen komponentti. Tuolloin oli selkeä tarve teorialle, joka selittäisi kaikki tuolloin tiedossa olevat ilmiöt. Itseasiassa Maxwell ei ollut tässä asiassa ensimmäinen. Ensimmäisen teorian esitti saksalainen fyysikko Wilhelm Weber (1804-1891). Hän yhdisti Ampèren lain sähköstatiikan lakeihin ja johti seuraavan kaavan kahden liikkuvan varauksen voiman lausekkeeksi F = QQ r 2 {1 1 c 2 ((r ) 2 2rr )} 3

, jossa yläindeksit merkitsevät derivaattaa ajan suhteen, Q ja Q varauksien suuruutta, r varauksien etäisyyttä ja c on vakio, jolla on nopeuden yksikkö. Kaavan analysointi on helppoa. Ajatellaan ensin paikallaan olevia varauksia. Tällöin sekä ensimmäinen että toinen derivaatta ovat nollia, jolloin kaavasta tulee Coulombin laki. Vakionopeudella liikkuville varauksille kaava antaa Ampèren lain. Kaava ei kuitenkaan osoittautunut oikeaksi, sillä se ei ennusta sähkömagneettista säteilyä, jota syntyy kiihtyvässä liikkeestä olevasta varauksesta. Tätä ei tuolloin kuitenkaan osattu ennakoida. Tästä huolimatta Weberin teoria sai 1850-luvun lopulla sähkömagnetiikan alalla paljon kannatusta. James Clerk Maxwell syntyi Edinburghissa, Skotlannissa 13.6.1831. Maxwell vietti lapsuutensa alkuvuodet vanhempiensa tilalla Urr Waterissa, joka sijaitsee 15 mailia Dumfriesistä länteen. Hänen äitinsä Frances Kayn kuoltua 1841, hänen isänsä John Clerk Maxwell lähetti hänet sisarensa (joka oli myös jäänyt leskeksi) luokse Edinburghiin. Lomat Maxwell vietti maalla ja hänen isänsä vieraili mahdollisimman usein Edinburghissa. Maxwell kirjoittautui Edinburghin yliopistoon 1847 opiskellakseen matematiikkaa, losoaa ja fysiikkaa. Hän löysi opintojensa ohella paljon aikaa myös itsenäiselle lukemiselle ja tutkimustyölle. Maxwell jatkoi opintojaan 1850 Cambridgen Trinity Collegessa, koska hän ajatteli saavansa sieltä helpommin jatko-opiskelupaikan. Maxwell opiskeli mm. Sir William Hamiltonin (irlantilainen matemaatikko 1805-1865) eli kvarternioiden keksijän ja James D Forbesin alaisuudessa. Forbes oli erittäin uudistusmielinen opettaja, mutta Hamilton luotti edelleen vanhoihin opetusmenetelmiin. Maxwell onnistui taitavasti hyödyntämään molempien parhaat puolet. Hän opiskeli luonnonlosoaa ja matematiikkaa Forbesin ja logiikkaa ja etiikkaa Hamiltonin alaisuudessa. Maxwell oppi Cambridgessakin paljon muodollisen koulutuksen ulkopuolelta. Maxwell teki ensimmäisen julkaisunsa jo 1845. Se käsitteli ovaalin muotoisen käyrän piirtämistä langan, kahden neulan ja kynän avulla ja se julkaistiin Edinburgh Royal Societyn Proceedings julkaisussa. Vuonna 1855 Maxwell pääsi jatko-opiskelijaksi Cambridgeen ja 1856 hänet nimitettiin luonnontieteiden professoriksi Marischal Collegeen, Aberdeeniin. Cambridgen yliopisto palkitsi hänet 1856 Adamsin palkinnolla hänen tutkimuksestaan Saturnuksen renkaiden stabiiliudesta. Maxwell meni naimisiin Marischal Collegen dekaanin tyttären, Katherine Mary Dewardin kanssa 4 Heinäkuuta 1858. Heiltä ei jäänyt lapsia. Maxwell sai 1860 luonnontieteiden ja astronomian professorin viran King's Collegesta, Lontoosta, jossa hän teki uransa tärkeimmät tutkimukset. Maxwellin tutkimustöiden perustana oli 4

Michael Faradayn kirjoittama kirja Experimental Researches in Electricity. Vuonna 1856 Maxwell julkaisi ensimmäisen merkittävän sähkömagnetismia koskevan teoksensa On Faraday's Lines of Force. Teoksessaan hän sovelsi hydrodynamiikan analogiaa (hän vertaili sähkö- ja magneettikentän voimaviivoja puristumattoman nesteen virtaukseen) sähkö- ja magneettikenttien kuvaamiseen. Vuosina 1861-62 julkaistuissa kirjoituksissa On Physical Lines of Force Maxwell esitti täydellisen mallin sähkömagneettisesta ilmiöstä Michael Faradayn kenttäkäsitteen pohjalta, jonka oikeellisuudesta hän oli tullut täysin vakuuttuneeksi muutamaa vuotta aikaisemmin. Maxwellin sähkömagneettisen kenttäteorian syntymävuotena pidetään vuotta 1864, jolloin hän esitti kenttäyhtälönsä teoksessaan Dynamical Theory of the Electromagnetic Field. Vuonna 1865 hän erosi virastaan ja vetäytyi kotitilalleen omistaen aikansa tutkimuksilleen ja kuuluisan teoksensa Treatise on Electricity and magnetism kirjoittamiselle. Hänet nimitettiin kokeellisen fysiikan professoriksi Cambridgeen 1871, jossa hänen päätehtävänään oli Cavendish-laboratorion perustaminen, josta on sittemmin tullut monta kuuluisaa tiedemiestä. Maxwellin jälkeisiä Cavendish-professoreja ovat olleet mm. seuraavat nobelistit: Lordi Rayleigh (Fysiikan nobel-palkinnon voittaja vuonna 1904), elektronin keksijä J.J. thomson (fysiikka 1906), Ernest Rutherford (kemia 1908), Sir Bragg (fysiikka 1915) ja N.F.Mott (fysiikka 1977). Maxwell julkaisi teoksensa Treatise on Electricity and magnetism 1873. Kenttäyhtälöt, jotka esiintyivät muuttumattomana jo hänen aikaisemmassa teoksessaan Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, oltiin muotoiltu Maxwellin aikaisemmin kuvaileman mallin perusteella. Yhtälöitä oli peräti 20 kappaletta, koska hän esitti ne komponenttimuodossa (hän ei tuntenut nykyaikaista vektorilaskentaa, eikä siten myöskään esim. nabla-operaattoria). Kyseessä oli yksi maailman merkittävimmistä teoreettisen fysiikan saavutuksista. Teoksesta tuli pitkäksi aikaa kaiken sähkömagnetismin perusta. Maxwell käytti lyhyen elämänsä loppuvuosina paljon aikaa Cavendishin sähköä koskevien tutkimuksien julkaisemiseen. Kirja Electrical Researches of Henry Cavendish ilmestyi 1879. Maxwell kuoli samana vuonna vain 48 vuotiaana mahasyöpään. 5

1.1 Maxwellin yhtälöt Maxwellin yhtälöt nykyaikaisen vektorilaskennan merkinnöin dierentiaalimuodossa ovat: D = ρ, (1) B = 0, (2) E = B, (3) H = J + D, (4) joissa E on sähkökenttä, D on sähkövuon tiheys, ρ on varaustiheys, H on magneettikenttä, B on magneettivuon tiheys ja J on virtatiheys. Yhtälöissä yläviiva merkitsee tietenkin vektorisuuretta. On hyvä tietää, että Maxwellin kirjoittamasta kirjasta: A Treatise on Electricity and Magnetism, ei yhtälöitä yllä mainitussa muodossa löydy, koska niissä on käytetty nykyaikaisen vektorilaskennan merkintöjä. Suurin kunnia nykyaikaisen vektorilaskennan kehittämisestä kuuluu Josiah W. Gibbsille (amerikkalainen kemisti 1839-1903). Maxwell itse käytti skalaarikomponentteja sekä kvarternioita, jotka ovat eräänlaisia neliulotteisia kompleksilukuja. On myös huomattava, että ensimmäinen yhtälö on Gaussin laki, kolmas yhtälö on Faradayn laki ja neljäs yhtälö on Ampèren laki ja Maxwellin lisäys (siirrosvirta). Maxwellin yhtälöt nykymuodossakaan kaavoina esitettyinä eivät välttämättä kerro kaikkea sähkön ja magnetismin ominaisuuksista ainakaan ensisilmäyksellä. Mikäli haluaa ymmärtää Maxwellin ajatuksenjuoksua, kannattaa yhtälöitä ja niiden historiallista taustaa miettiä ennemmin matemaattis-sanallisessa muodossa: I) Sähkövuo suljetun pinnan läpi on yhtä suuri kuin kokonaisvaraus pinnan sisällä. II) Magneettivuo suljetun pinnan läpi on nolla. III) Sähkökentän viivaintegraali suljettua silmukkaa pitkin on yhtä suuri kuin silmukan läpi kulkevan magneettivuon negatiivinen aikaderivaatta. IV) Magneettikentän viivaintegraali suljettua silmukkaa pitkin on yhtä suuri kuin silmukan läpi kulkevan kokonaisvirran ja sähkövuon aikaderivaatan summa. 6

... tai vielä havainnollisemmin kvalitatiivisesti sanallisessa muodossa (huomaa varsinkin neljännen lain loppuosa): I) Sähköisten varauksien jakauma määrää sähkökentän. II) Magneettivuoviivat ovat suljettuja, eli magneettisia varauksia (monopoleja) ei ole olemassa. III) Muuttuva magneettivuo synnyttää sähkökentän, tai ts. pinnan läpi kulkevan magneettivuon muutos aiheuttaa sähkömotorisen voiman. IV) Sekä liikkuva varaus (virta) että muuttuva sähkövuo synnyttävät magneettikentän. 7

2 Sähkömagnetismi ja Cliordin algebrat 2.1 Tarvittavia käsitteitä Otetaan käyttöön tarvittavia käsitteitä Cliordin algebrojen teoriasta. Koska vektoriavaruuden R 3 ja bivektoriavaruuden 3 R 3 dimensio on 3, ovat ne lineaarisesti isomorsia. Isomorsmia (bijektiota) avaruuksien välillä sanotaan Hodgen duaaliksi, joka määritellään : R 3 2 R 3 : a a = ae 123. (5) Vastaavasti toiseen suuntaan : 2 R 3 R 3 : A A = Ae 123. (6) Käyttämällä Hodgen duaalia saadaan risritulojen ja ulkotulojen välille kätevät kaavat x y = (x y)e 123, (7) x y = (x y)e 123. (8) Rajoitutaan seuraavassa tarkastelemaan Cliordin algebraa Cl 3. Cliordin tulo kahden vektorin a ja b voidaan hajottaa skallaariosan a b ja bivektoriosan a b summaksi ab = a b + a b. Yleistetään hajotelma vektorin x ja mielivaltaisen elementin u Cl 3 Cliffordin tulolle. Määritellään vasen kontraktio x u siten, että se toteuttaa xu = x u + x u. (9) Vastaavasti määritellään oikea kontraktio u x siten, että ux = u x + u x. (10) Kun u on k-vektori, niin saadaan näppärät laskukaavat x u = 1 2 (xu ( 1)k ux) x u = 1 2 (xu + ( 1)k ux) k 1 R 3, (11) k+1 R 3. (12) 8

Ulkotulo ja vasen kontraktio ovat näin ollen binäärioperaattoreita, jotka kohottavat tai alentavat astetta siten, että a b i+j j i R3 ja a b R 3 (13) kun a i R 3 ja b j R 3. Vasen kontraktio voidaan antaa ulkotulon avulla u v = [u (ve 123 )]e 1 123, (14) eli vasen kontraktio on ulkotulon duaali. On helppo osoittaa, että vasen kontraktio totteutaa seuraavat identiteetit: jossa x, y R 3 ja u, v, w Cl 3. x y = x y (15) x (u v) = (x u) v + û (x v) (16) (u v) w = u (v w), (17) 2.2 Minkowskin avaruus R 3,1 Sähkömagnetismin suureet riippuvat ajasta t R ja asemasta x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 R 3. Asema ja aika voidaan esittää yhtenä kokonaisuutena muodossa x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 + cte 4, (18) siis 4-uloteisen vektoriavaruuden R 4 = R 3 R alkiona. Tässä lineaariavariidessa voimme määritellä neliömuodon Q(x) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 c 2 t 2. Yhdessä neliömuoto ja vektoriavaruus muodostavat kvadraattisen avaruuden jota kutsutaan Minkowskin aika-avaruudeksi R 3,1. Minkowskin aika-avaruudessa on tavanmukaista asettaa x 1 = x 1, x 2 = x 2, x 3 = x 3 ja x 4 = ct = x 4 (nyt yläindeksi ei ole siis potenssi). Tämän merkinnän avulla saadaan neliömuoto muotoon Q(x) = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 x 2 4 = x 1 x 1 + x 2 x 2 + x 3 x 3 + x 4 x 4 = x α x α, jossa viimeinen merkintä tarkoittaa summaussääntöä. 9

Esimerkkejä neliömuodoista Minkowskin aika-avaruudessa 1. Kaksi tiheyttä ρ ja J voidaan esittää yhtenä kokonaisuutena J = J + cρe 4 R 3,1 (19) jolloin neljä komponenttia J 1, J 2, J 3,J 4 = cρ = J 4 ja neliömuoto J 2 1 + J 2 2 + J 2 3 J 2 4. 2. Kaksi potentiaalia V ja A (katso seuraava kappale) voidaan esittää yhtenä kokonaisuutena jossa neljä komponenttia A 1, A 2, A 4, A 4 = 1 c V = A 4, aika-avaruus vektori A = A + 1 c V e 4 R 3,1 (20) ja neliömuoto A 2 1 + A 2 2 + A 2 3 A 2 4. 2.3 Sähkömagneettiset potentiaalit Sähkökenttä ja magneettivuontiheys voidaan antaa myös skalaari- ja vektoripotentiaalien avulla, jota tässä kappaleessa esitellään lyhyesti. Koska B = 0, voidaan magneettivuontiheys esittää vektoripotentiaalin A roottorina B = A. (21) Sijoitetaan tämä yhtälö Faradayn lakiin E = B E = ( A) ( E + A ) = 0. jolloin saamme Siis vektorikenttä E+ A on pyörteetön ja näin ollen voidaan esittää skalaaripotentiaalin avulla muodossa E + A Nyt siis E ja B voidaan esittää potentiaalien avulla = V. (22) E = V A ja B = A. 10

Nämä tulokset ovat voimassa "perinteisessä"teoriassa avaruudessa R 3. Kuten jo edellisen kappaleen esimerkissä todettiin, Minkowskin aika-avaruudessa potentiaalit voidaan yhdistää yhdeksi potentiaaliksi A = A + 1 c V e 4 R 3,1. (23) Potentiaalit eivät ole yksikäsitteisiä. Muita potentiaalija saadaan suorittamalla ns. mittamuunnos, siis potentiaaleiksi kelpaavat myös A = A + Φ ja V = V Φ, (24) jossa Φ on mielivaltainen skalaarifunktio. Puhutaan seuraavaksi ns. Lorenzin ehdoista potentiaaleille. Potentiaalithan saatiin esiin käyttämällä vain kahta Maxwellin yhtälöä. Kahdesta jäljellä olevasta yhtälöstä voidaan johtaa (Lorenzin) ehto potentiaalien välille joka on muotoa A + 1 V = 0. (25) c 2 Tämä ehto voidaan antaa Minkowskin aika-avaruudessa seuraavalla tavalla. Siis olkoon operaattori 1 = e 4 (26) c jolloin ehto voidaan antaa tämän ja potentiaalin A pistetulona muodossa A = 0. (27) Yllä olevalla operaattorilla on tulevassa esityksessä keskeinen merkitys. 2.4 Yksi yhtälö Cliordin algebrassa Cl 3 Lähdetään muodostamaan sähkömagnetismin teoriaa Cliordin algebrojen avulla. Muotoillaan Maxwellin yhtälöt ensin avaruudessa R 3 käyttäen Cliffordin algebraa Cl 3 ja seuraavassa kappaleessa siirrytään Minkowskin avaruuteen R 3,1 ja Cliordin algebraan Cl 3,1. Johdetaan ensin nippu suureita jotka sijoitetaan lopuksi yhtöihin. Tarkoituksena on siis päästä ristituloista eroon ja saada aikaan neljä yhtälöä joilla on kaikilla eri aste (grade). 11

Merkitään ensinnä B = Be 123, joka on siis bivektorimuotoinen magneettivuontiheys. Hodgen duaalin mukaan ristitulolla ja ulkotulolla on yhteys E = e 123 ( E). Siis E = E + E = E + e 123 ( E). Pseudoskalaari e 123 nimensämukaisesti kommutoi kaikkien suureiden kanssa, ja näin ollen laskemalla e 123 ( B) = ( Be 123 ) e 123 ( B) + e 123 ( B) = ( Be 123 ) + ( Be 123 ). Jotta yhtälöt olisivat voimassa, on saman asteisten osien oltava samat, jolloin ottamalla tämä huomioon ja lisäämällä bivektori muotoinen magneettivuontiheys saamme Maxwellin yhtälöt tyhjiössä ovat siis B = e 123 ( B), B = e 123 ( B) = B. E = ρ, E B = J, B + E = 0, B = 0. Kerrotaan kaksi alinta yhtälöä pseudoskalaarilla e 123 ja sijoitetaan yllä johdetut identiteetit yhtälöihin. Tämän jälkeen Maxwellin yhtälöt saavat seuraavan esityksen, jossa perässä suluissa on kunkin yhtälön asete: E = ρ (0), (28) E + B = J (1), (29) B + E = 0 (2), (30) B = 0 (3). (31) 12

Koska yhtälöt ovat kaikki eri astetta voimme summata ne kylmän rauhallisesti E + E + B + B + E + B = ρ J johon sijoittamalla E = E + E ja B = B + B sekä termejä järjestelemällä saamme ( E + B) + E + B = ρ J ( + )( E + B) = ρ J. Näin olemme kirjoitteneet Maxwellin yhtälöt yhdeksi yhtälöksi Cliordin algebrassa Cl 3. Katsotaan vielä miten potentiaalit V ja A suhtautuvat tähän esitykseen. Ajatellaan potentiaaleja yhtenä paravektorina V + A ja derivoidaan tätä vasemmalta operaattorilla +, siis ( + )(V + A) = V + A + V + A = V E + A + A = V + A E + B = E + B. (32) Yllä viimeiseen muotoon päästäksemme käytettiin duaalia A = ( A)e 123 = B ja Lorenzin ehtoa potentiaaleille. Näin saatiin yhteys kenttien ja potentiaalien välille Cliordin algebrassa Cl 3. Siirrytään seuraavaksi abstraktiotasolla askel ylöspäin, Minkowskin avaruuteen jossa Cliordin algebrojen käyttö selkeyttää kalkyyliä huomattavasti. 2.5 Yksi yhtälö Cliordin algebrassa Cl 3,1 (Minkowskin avaruus) Olkoon sähkömagneettinen bivektori F = 1 c Ee 4 B 2 R 3,1 (33) ja jo edellä ollut aika-avaruuden tiheysvektori J = J + cρe 4 R 3,1. 13

Jos tiedämme bivektorin F, voimme laskea sähkökentänvoimakkuuden kaavalla E = ce 4 F. Merkitään vielä magneettikentänvoimakkuuden ja sähkövuontiheyden avulla saatavaa elementtiä G = c De 4 He 123. (34) Potentiaalien kohdalla esittelimme ensimmäisen kerran dierentiaalioperaattorin = e 4 1 c Olkoon funktio f : R 3,1 Cl 3,1 jatkuvasti osittaisderivoituva. Tällöin f = f + f. Tällöin termiä f sanotaan laskevaksi dierentiaaliksi ja f nostavaksi dierentiaaliksi. Lasketaan nostava dierentiaali F = ( e 4 1 c. ) (1 Ee c 4 B) = 1 c ( E)e 4 B + e 4 e 4 1 c = 1 c e 123( E)e 4 e 123 ( B) e 1234 1 c = 1 c e 1234( E + B ) e 123( B) = 0 Vastaavalla tavalla menee seuraava laskeva dierentiaali G = ( e 4 1 c ) (c De 4 He 123 ) = c( D)e 4 + H D = cρe 4 + J = J. Edellä tarvittiin yhtälöitä D = ρ ja H D maxwellin yhtälöt voidaan kirjoittaa siis E (e 1 4 c ) B B = J. Edellisen nojalla G = J, (35) F = 0. (36) 14

Suureiden välillä on yhteydet D = ɛ E ja B = µ H. Tyhjiössä ɛ = µ = 1, eli G = F ja Maxwellin yhtälöt kutistuvat yhdeksi yhtälöksi F = J. (37) Helpolla laskulla voi osoittaa, että A = F, jossa A on edellä esillä ollut potentiaali. Lorenzin ehto puolestaan sanoo A = 0. Näin ollen A = F. (38) 15

3 Tasokenttäratkaisut Maxwellin yhtälöille Sähkömagneettiset tasokentät ovat Maxwellin yhtälöiden homogeeniosan ratkaisuja. Tasokenttäratkaisut (lyhyesti tasokentät, engl. Plane eld solutions) riippuvat lineaarisesti ajasta ja paikasta. Kuten yleisesti on tiedossa, yhtälön F = J ratkaisut ovat muotoa F = F H + F P. Tässä kappaleessa esitämme siis erään ratkaisutyypin yhtälölle F = 0. (39) 3.1 Aika-avaruuden tasokentät Olkoon u aika-tyyppinen vektori Minkowskin avaruudessa R 3,1, siis u 2 = 1. Valitaan vektori n siten, että u ja n ovat ortogonaaliset ja n 2 = 1. Tällöin yhtälöllä (39) on seuraavat bivektoriarvoiset ratkaisut: F (x) = x(x)nm ja F (x) = x(x)um (40) jossa x(x) = x u + (x n)un. Jotta näkisimme, että ratkaisut todella toteuttavat yhtälön (39), otetaan käyttöön muutamia käsitteitä. Olkoon (e ν ) kanta. Kantaa vastaava käänteiskanta (e µ ) määritellään siten, että ehto e µ e ν = δ µν toteutuu. Kirjoitetaan nyt operaattori muodossa = e ν (e ν ), jolloin F (x) = e ν (e ν )F (x) = e ν (e ν u + (e ν n)un)nm = (u + nun)nm = (u u)nm = 0. Kuten nähdaan ei-homogeenin kerroin x(x) on myös ratkaisu. Identtisellä tavalla voidaan todeta F (x) ratkaisuksi. Tärkeää jatkon kannalta on seuraava tulos: Lemma Jos x(x) = 0, niin myös x(x) m = 0 kun m N. 16

Todistus: Todistus induktiolla. Siis m = 1 on tosi. Leibnizin säännön nojalla (uv) = ( u)v + û( v) 2(û ) v, jossa u, v Cl p,q ja piste kertoo mihin alkioon operaattori operoi. Olkoon u = x(x) ja v = x(x). Nyt u = v = 0, saadaan sääntö muotoon ((un) )ẋ(x) = 1 (( un)x(x) + un( x(x)) (unx(x))). 2 Kaikki oikealla puolella olevat termit menevät nolliksi, koska x(x) kommutoi. Jäljelle jää ((un) )ẋ(x) = 0 josta seuraa, että (x(x)x(x)) = 0. Oletetaan, että x(x) m 1 = 0, jolloin x(x) m = x(x)x(x) m 1 = ( x(x))x(x) m 1 + ˆx(x)( x(x) m 1 m 1 ) 2(ˆx(x) )ẋ(x) = 0. Siis x(x) m = 0. 3.2 Tasokenttien yleinen muoto Edellisen Lemman avulla voimme konstruoida funktion x(x) potensseista yleisen tasokenttäratkaisun yhtälölle (39) joka muotoa m=0 a m x(x) m b, (41) jossa kerroin a m = (α m + βun + γ m unj + δ m j) kun α m, β m, γ m, δ m R ja lyhennysmerkintänä pseudoskalaarille j = e 1234. Alkio b voidaan valita parillisten elementtien joukosta Cilordin algebrasta Cl 3,1 seuraavasti: Olkoon b 0, b 4 R, S 2 R 4, b = b 0 + S + b 4 j ja f i : R 3,1 R. Termi a m x(x) m voidaan kirjoittaa muotoon ja niin ollen f 1 (x) + f 2 (x)un + f 3 (x)unj + f 4 (x)j, a m x(x) m b = (f 1 (x) + f 2 (x)un + f 3 (x)unj + f 4 (x)j)(b 0 + S + b 4 j) = (f 1 (x)b 0 + f 2 (x)(un) S + f 3 (x)(unj) S f 4 (x)b 4 ) + (f 1 (x)b 4 j + f 2 (x)(un) S + f 3 (x)(unj) S + f 4 (x)b 0 j) + Bivektoriosa. 17

Jotta yllä oleva hirvitys kuuluisi bivektorialgebraan 2 R 4 on skalaari ja pseudoskalaariosien mentävä nolliksi. Asetetaan siis b 0 = b 4 = 0 jolloin jäljelle jää b = S ja lisäksi seuraavien ehtojen (un) S = 0 ja (un) S = 0. (42) tulee toteutua. Ja näin muodoin meillä on seuraavanalainen tulos: Potenssisarja F (x) = m=0 a m x(x) m S (43) on yhtälön (39) ratkaisu kunhan ehdot (42) toteutuvat. Ehdot (42) voidaan kutistaa yhdeksi ehdoksi muotoon: (un)s = S(un). (44) Tämä bivektoriterminen konvergoi normin S = S 0 suhteen. Ongelmaksi jää näin ollen ainostaam bivektorin S valinta. 3.3 Säteilykentät Säiteilykentät ovat lyhyesti sanottuna kenttiä jotka kuljettavat energiaa maksimi nopeudella tyhjiössä. Tutkitaan nyt miten tällaisissa tapauksissa bivektori S tulisi valita. Voidaan osoittaa, että tasokentille ns. säteilyehto on F 2 = 0 F F = 0 ja F F = 0. (45) Nämä ehdot johtavat mittavan pyörityksen jälkeen seuraavanlaiseen ehtoon bivektorille: S 2 = 0 (46) Näin muodoin bivektoriksi S voidaan valita joko S = (u + n)m tai S = (u n)m, (47) jossa m on ortogonaalinen vektorien u ja n kanssa. 3.4 Sovelluksia Olkoon P = 1 (1 + un). Tällöin P ja 1 P ovat idempotentteja. Näitä 2 idempotentteja voidaan käyttää pulmallisen kentän pilkkomiseen yksinkertaisemmiksi osiksi. Katsotaan tästä esimerkki. Olkoon S bivektori joka ei ole muotoa (47). Kuitenkin kenttä voidaan esittää muodossa F (x) = exp(j(x u + (x n)un))s. 18

Esitetään nyt idempotenttien avulla kenttä muodossa jossa ehto (46) toteutuu. Merkitään k + = u + n ja k = u n ja kerrotaan kenttää termillä P + (1 P ), siis F (x) = exp(j(x u + (x n)un))(p + (1 P ))S = exp(j(x u + (x n)un))p S + exp(j(x u + (x n)un))(1 P )S = e j(x k +) P S + e j(x k ) (1 P )S Merkitään nyt S + = P S ja S = (1 P )S. Nämä puolestaan toteuttavat ehdon (46) S + 2 = S 2 = 0. Näin muodoin voimme lausua lausekkeen kahden säteilyehdon toteuttavan termin summana muodossa F (x) = e j(x k +) S + + e j(x k ) S. LÄHTEET: Kappaleessa 1. on lähteenä nettisivu: http://users.tkk./ smaisnie/finnish/maxwell/rstpage.html Kappaleessa 2. on lähteenä: Lounesto:Cliord Algebras and Spinors kpl. 8 Kappaleessa 3. on lähteenä: Eriksson, Sirkka-Liisa Cliord algebras and potential theory : Proceedings of the Summer School held in Mekrijärvi, June 24-28, 2002 JoY. Department of Mathematics. Report series 19