Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b) Rtkise epäyhtälö 6. ( ) 9. c) Geometrisen lukujonon kolme ensimmäistä termiä ovt,, 8. Määritä luku.. ) Määritä käyrälle b) Määritä funktion y kohtn piirretyn tngentin kulmkerroin. f ( ) e se integrlifunktio, jok kulkee pisteen (0, ) c) Määritä funktion g( ) cos kikki nollkohdt rdineiss lusuttuin. P kutt.. ) Kolmion khden sivun pituus on 7, cm j 8, cm sekä edellisen vstinen kulm 8,0. Lske jälkimmäisen sivun vstinen kulm. b) Yksikkösäteisen pllon sisällä on mhdollisimmn suuri kuutio. Kuink mont prosentti pllon tilvuus on suurempi kuin kuution tilvuus? Ann vstus yhden desimlin trkkuudell.. ) Määritä luku siten, että lukujen j välinen etäisyys on pienempi kuin? b) Lske pisteen A (, 5) etäisyys ympyrästä y y 6 75 0. 5. Tso T kulkee pisteiden A (0,,0 ), B (,0,0) j C (0,0,) kutt. Onko piste D (,, ) tsoll T? MAA tehtävät kevät 0
6. Vääpeli krjisee: Jonoon järjesty, jolloin tuvn 0 lokst ryntäävät stunnisesti jonoon. Millä todennäköisyydellä lokkiden Altosen j Bergin välissä on korkeintn yksi loks? 7. Pääsiäisen menoliikennettä trkkiltess hvittiin, että erään hvintopikn läpi keskipäivän jälkeen jneiden utojen lukumäärän y ilmisee kokeellinen likimääräismlli y( t) = - 0t + 50t + 500 t, 0 t 5, missä t on keskipäivästä kulunut ik tuntein. ) Montko uto ohitti hvintopikn kolmnnen trkkilutunnin ikn? b) Montko uto tunniss oli liikennevirrn suuruus klo 6.0? c) Määritä suurimmn liikennevirrn suuruus. 8. Millä välillä funktio f ( ) on vähenevä? Käyrälle y f () piirretään kohtn normli. Normli rjoitt koordinttikseleiden knss kolmion. Lske tämän kolmion pint-l. 9. Mik tllett vuodest 0 lken tilille, jonk nettokorko on,75 %, jok vuoden luss 000 euro. Minkä vuoden lopuss tilillä on päättyvän vuoden korkojen lisäämisen jälkeen yli 50 000 euro? Tilillä ei ole muit tphtumi. 0. Funktion f ( ), 0 j g( ) kuvjt rjoittvt lueen, jonk pint-l olkoon A. Mitä rvoj A s, kun?. Wltteri päätti ost sekä tyrnimrjpurkkej, että kuivttu mustikk sisältäviä purkkej. Tyrnimrjpurkki mksoi 7, /purkki j mustikk, /purkki. Wltterin ostokset mksoivt yhteensä 5 0 snt. Muodost tilnnett kuvv Diofntoksen yhtälö j selvitä sen vull kuink mont mustikkpurkki Wltteri osti. MAA tehtävät kevät 0
. Mir pyöräilee puoli tunti j mitt hetkellisen nopeuden ( km/h) viiden minuutin välein pyöränsä nopeusmittrill. Tulokset ovt oheisess tulukoss. ik, min 0 5 0 5 0 5 0 nopeus, km/h 0 6 0 9 Arvioi tulosten perusteell Mirn pyöräilymtkn pituus käyttäen sekä Simpsonin sääntöä, että puolikssuunnikssääntöä. Mikä on rvioiden suhteellinen virhe, kun pyörän mtkmittri näytti jomtkksi 8,9 km?. Funktio F :R R on määritelty seurvsti F( ) 0, kun 0, kun 0. ) Määritä vkio siten, että F on jtkuvsti jkutuneen stunnismuuttujn X kertymäfunktio. ( pistettä) b) Lske todennäköisyydet PX ( ) j P( X ). ( pistettä) * ) Olkoon, b j c. Määritä yhtälön log log b log rtkisu mhdollisimmn yksinkertisess muodoss. b) Määritä ln lim e e y c) Todist, että jos 0 y, niin ln. y c tulkitsemll rj-rvo sopivksi erotusosmäärän rj-rvoksi. c b 5* ) Osoit, että yhtälöllä 0 on täsmälleen kolme relijuurt. b) Osoit, että jos eräs yhtälö juuri on, niin myös c) Osoit, että yhtälön erään juuren trkk rvo on kv cos cos cos. on yhtälön juuri. cos0 hyödyntäen MAA tehtävät kevät 0
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Rtkisut j pisteytysohjeet. ) Rtkise yhtälö 6. b) Rtkise epäyhtälö ( ) 9. c) Geometrisen lukujonon kolme ensimmäistä termiä ovt,, 8. Määritä luku. Rtkisu ) Kertomll 6:ll sdn ( ) 6 b) Sdn 6 6 p =- 0 9 9 p c) Suhdeluku oltv vkio 8, 0 p 6 ti Vstus ) =- 0 b). ) Määritä käyrälle b) Määritä funktion c) ti y kohtn piirretyn tngentin kulmkerroin. f ( ) e se integrlifunktio, jok kulkee pisteen (0, ) c) Määritä funktion g( ) cos kikki nollkohdt rdineiss lusuttuin. Rtkisu ) Vstus ) b) y y kt P kutt. p y( ) ( ) f ( ) e F( ) e d ( ) e d e C p 0 F(0) e C C. Täten F ( ) e. c) cos 0 n p - b) F( ) n, n. n n e c), MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu
. ) Kolmion khden sivun pituus on 7, cm j 8, cm sekä edellisen vstinen kulm 8,0. Lske jälkimmäisen sivun vstinen kulm. b) Yksikkösäteisen pllon sisällä on mhdollisimmn suuri kuutio. Kuink mont prosentti pllon tilvuus on suurempi kuin kuution tilvuus? Ann vstus yhden desimlin trkkuudell. Rtkisu ) Siniluseen nojll 8, 7, 8, sin sin 8 0,8607... sin sin 8 7, p sin (0,8607...) 56,7... 56,7 ti 80 56, 7..., 75...,. ( suplementtikulm) b) Olkoon kuution sivun pituus. Pllon hlkisij on kuution vruuslävistäjä. Täten Tilvuuksien suhde. V V P K,7069... 8 ( ) Kosk,7069... 7,% niin pllon tilvuus on noin 7, % suurempi Vstus ) 56,7 ti, b) 7, %. ) Määritä luku siten, että lukujen - j välinen etäisyys on pienempi kuin? b) Lske pisteen A (, 5) etäisyys ympyrästä y y 6 75 0. Rtkisu ) Lukujen b j c= + etäisyys on b c. Täten ( ) ( ) p b) 7 7. y 6 y 75 0 ( 8) 6 ( y 6) 6 75 ( 8) ( y 6) 5. Ympyrän keskipiste K = (8, - 6) j säde r 5. Pisteiden K j A välimtk d (8 ) ( 6 5) 6. MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu
Vstus 6 5 0, Kysytty etäisyys d r 6 5 0,0990... 0,. 5. Tso T kulkee pisteiden A (0,,0 ), B (,0,0) j C (0,0,) kutt. Onko piste D (,, ) tsoll T? Rtkisu Tson vektorimuotoinen yhtälö OP OA sab t AC, missä s, t. p Sdn OP j s( i j ) t( j k ) ( s) i ( s t) j ( t) k. Tson prmetrimuotoinen yhtälö on siten s y s t, s, t. z t Sijoitetn pisteen D koordintit yhtälöryhmään s s s t. Ktsotn toteutuuko keskimmäinen yhtälö t t. Tosi. Täten piste D on tsoll. Vstus Piste D on tsoll 6. Vääpeli krjisee: Jonoon järjesty, jolloin tuvn 0 lokst ryntäävät stunnisesti jonoon. Millä todennäköisyydellä lokkiden Altosen j Bergin välissä on korkeintn yksi loks? Rtkisu Ajtelln, että loks Altonen menee ensin jonoon. Tilnteen knnlt hänellä on kolme erilist pikk. ) Altonen on jonon päässä ) Altonen on jonon toisen ti toiseksi viimeisenä ) Altonen on muiss pikoiss. p Aloks Bergille jää suotuisi pikkoj kuvion mukisesti ) ) ) +p Todennäköisyydet P(")"), 0 9 5 6 P(")") j P(")") +p 0 9 5 0 9 5 MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu
Kysytty todennäköisyys on summ 7 0,77... 8%. 5 5 5 5 Vstus 7 8% 5 7. Pääsiäisen menoliikennettä trkkiltess hvittiin, että erään hvintopikn läpi keskipäivän jälkeen jneiden utojen lukumäärän y ilmisee kokeellinen likimääräismlli y( t) 0t 50t 500 t, 0 t 5, missä t on keskipäivästä kulunut ik tuntein. ) Montko uto ohitti hvintopikn kolmnnen trkkilutunnin ikn? b) Montko uto tunniss oli liikennevirrn suuruus klo 6.0? c) Määritä suurimmn liikennevirrn suuruus. Rtkisu ) y () y() ( 0 50 500 ) ( 0 50 500 ) p 670 680 990. b) Derivtt kuv liikennevirrn suuruutt ( ) 0 500 500 y t t t y( ) 0( ) 500 ( ) 500 0 uto tunniss. c) Derivtn kuvj on lspäin ukev prbeli, jonk suurin rvo svutetn huipuss, joss derivtt on noll. 5 y ( t) 0t 500. y ( t) 0 t. Suurin liikennevirt on siten 5 5 5 y ( ) 0( ) 500( ) 500 00,8... 00 uto tunniss. Vstus ) 990 b) 0 uto tunniss c) 00 uto tunniss 8. Millä välillä funktio f ( ) on vähenevä? Käyrälle y f () piirretään kohtn normli. Normli rjoitt koordinttikseleiden knss kolmion. Lske tämän kolmion pint-l. Rtkisu Funktio on määritelty, kun 0. Derivtt f ( ) ( ) ( ) ( ) MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu
5,. ( ) ( ) Kosk nimittäjä on in positiivinen, niin osoittj määrää derivtn merkin 5 8 f ( ) 0, kun 0. Funktio on siis vähenevä välillä 8. 5 5 5 Kohtn piirretyn tngentin kulmkerroin kt f(). ( ) Joten normlin kulmkerroin Kosk f () on normlin yhtälö kn. Normli leikk y-kselin kohdss 7 j -kselin kohdss 7. Kolmion pint-l on siten 7 y ( ) y 7 7 9,0. Vstus Funktio on vähenevä välillä 8 j kolmion l on 9,0 pint-ln yksikköä 5 9. Mik tllett vuodest 0 lken tilille, jonk nettokorko on,75 %, jok vuoden luss 000 euro. Minkä vuoden lopuss tilillä on päättyvän vuoden korkojen lisäämisen jälkeen yli 50 000 euro? Tilillä ei ole muit tphtumi. Rtkisu Rht tulevt vuodess,075-kertiseksi, joten tilillä on rh vuoden 0 n lopuss n,075 000, n 0,,,... p Yhteensä rh on vuoden 0+ n lopuss n n,075 000,075 000...,075 000,075 000 Kyseessä on geometrinen summ, joss on n + yhteenlskettv j suhdeluku q,075. Sdn summksi n, 075 8 000 n 000,075 (,075 ), 075 7 8 000 (,075 n ) 50 000 Asetetn epäyhtälö 7 58 ln( ) n 75 n 58, 075, 075 n 07 0, 658... 07 07 ln(, 075) MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu 5
n 9,658... 0. Siten kysytty vuosi on 0. Vstus Vuoden 0 lopuss 0. Funktion f ( ), 0 j olkoon A. Mitä rvoj A s, kun? g( ) kuvjt rjoittvt lueen, jonk pint-l Rtki Käyrien leikkuspiste y y ( ) 0. 0 ti. Olkoon toinen leikkuspiste b, jolloin b Annetull välillä g( ) f ( ), joten pint-l b 0 b 0. p A( ) ( ) d /( ) ( b b ) + ( ). A( ) 0, joten funktio A on idosti vähenevä. Suurin rvo A() j pienin rvo Jtkuvn funktion A s kikki rvot A(). 6 [, ]. 6 Vstus [, ] 6. Wltteri päätti ost sekä tyrnimrjpurkkej, että kuivttu mustikk sisältäviä purkkej. Tyrnimrjpurkki mksoi 7, /purkki j mustikk, /purkki. Wltterin ostokset mksoivt yhteensä 5 0 snt. Muodost tilnnett kuvv Diofntoksen yhtälö j selvitä sen vull kuink mont mustikkpurkki Wltteri osti. Rtkisu tyrnimrjpurkit j y mustikkpurkit. Sdn yhtälö 7,, y 5, 7 y 5. etsitään lukujen 7 j suurin yhteinen tekijä Eukleideen lgoritmill MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu 6
7 9 9 9, joten syt(7, ). Siten 9 7, 9, 9 j. Joten (9 ) 9 9 9 ( 9) (7 ) 7 9 (7 ) 7. Täten 5 506 7( 6799). Vertmll yhtälöön 7+ y= 5 sdn yksittäisrtkisu 0 = - 6799 j y0 = 506. Difntoksen yhtälön kikki rtkisut ovt Kosk 0 j y0, niin 6799 n, n. y 056 n 7 6799 506 n 6,880...j n 6,056... 7 Täten n6 y506 6 7. Vstus Diofntoksen yhtälö 7+ y= 5, purkki. Mir pyöräilee puoli tunti j mitt hetkellisen nopeuden ( km/h) viiden minuutin välein pyöränsä nopeusmittrill. Tulokset ovt oheisess tulukoss. ik, min 0 5 0 5 0 5 0 nopeus, km/h 0 6 0 9 Arvioi tulosten perusteell Mirn pyöräilymtkn pituus käyttäen sekä Simpsonin sääntöä, että puolikssuunnikssääntöä. Mikä on rvioiden suhteellinen virhe, kun pyörän mtkmittri näytti jomtkksi 8,9 km? Rtkisu ) 5 min h, joten Simpsonin kvn mukinen h. s simpson ( 0 6 0 9) 9 8,86... +p 6 Arvion suhteellinen virhe b) Puolisuunnikssäännön mukinen 9 8,9 6 00% 0,660...% 0,66%. 8,9 h. MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu 7
spuolis. ( 0 6 0 9) 05,5 8,7966... 05,5 8,9 Arvion suhteellinen virhe 00%,87...%,%. 8,9 Vstus Simpson: Mtk 8,86 km, suhteellinen virhe 0,66 % Puolisuunnikssääntö: Mtk 8,79 km, suhteellinen virhe, %. Funktio F : R R on määritelty seurvsti F( ) 0, kun 0, kun 0. ) Määritä vkio siten, että F on jtkuvsti jkutuneen stunnismuuttujn X kertymäfunktio. ( pistettä) b) Lske todennäköisyydet PX ( ) j P( X ). ( pistettä) Rtkisu ) Funktio on jtkuvsti jkutuneen stunnismuuttujn X kertymäfunktio, jos sen derivtt F( ) f ( ) toteutt tiheysfunktion vtimukset f ( ) 0 kikill f ( ) d. 0, kun 0 F( ) ( ) ( ) 0, kun 0,kun 0 ( ),kun 0 p b) Ehdon nojll 0 j ehdon nojll f d d d 0 M M ( ) 0 lim ( ) 0 lim / M M 0 0 lim ( ). M M Siis. P( X ) F(). 6 P( X ) F() F(). 7 5 5 Vstus ) b) P( X ) j P( X ) 5 MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu 8
* ) Olkoon, b j c. Määritä yhtälön log log b log rtkisu mhdollisimmn yksinkertisess muodoss. b) Määritä ln lim e e y c) Todist, että jos 0 y, niin ln. y c tulkitsemll rj-rvo sopivksi erotusosmäärän rj-rvoksi. c b Rtkisu ) Logritmin määritelmän nojll sdn logcb logb c p b) Vstus ) Sdn edelleen c b ln ln ln ln e e e e ln ln e e Kun f ( ) ln, niin logc logb logb ( b ). Siis. e f ( e), missä f ( ) ln. f( ). Täten y y c) 0 y : 0 0. Merkitään. p f( e). e Täten väite s muodon ln, kun. Osoitetn, että funktio E( ) 0, kun. E( ) ln s vin positiivisi rvoj, kun. Funktio E ( ) on siten idosti ksvv, kun. Toislt lim E ( ) lim(ln ) 0, joten E ( ) 0, kun. b) Rj-rvo on e 5* ) Osoit, että yhtälöllä 0 on täsmälleen kolme relijuurt. b) Osoit, että jos eräs yhtälö juuri on, niin myös c) Osoit, että yhtälön erään juuren trkk rvo on kv cos cos cos. on yhtälön juuri. cos0 hyödyntäen MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu 9
Rtkisu ) Kolmnnen steen polynomifunktio P( ) on kikkill jtkuv j sillä voi oll enintään kolme juurt. P( ) ( ) ( ) 0 j P( ) ( ) ( ) 0, joten Bolznon luseen( jtkuv funktio ei voi viht merkkiään käymättä nolln kutt) nojll välillä - < < - on inkin yksi nollkoht. Vstvsti p P(0) = j P() = -, joten funktion merkki vihtuu myös välillä 0. Funktion merkki vihtuu myös välillä < <, sillä P() = - j P() =. Näin ollen jtkuvn funktion merkki vihtuu kolmsti, joten nollkohti on tsn kolme. b) Olkoon b. Tällöin b b b( b ) ( )(( ) ) 6 ( )( ) 6 9 p ( ) ( ) 0,sillä 0. c) Jos cos 0, niin 8cos 0 6cos 0 p sillä Toislt (cos 0 cos 0 ) cos( 0 ), cos cos cos. cos( 0 ) cos(0 ) ( ) 0. MAA Preliminääri kevät 0 Rtkisut Sivu 0