4 Fotometriset käsitteet ja magnitudit 4.1 Intensiteetti, vuontiheys ja luminositeetti Pinta-alkion da läpi kulkee säteilyä Avaruuskulma dω muodostaa kulman θ pinnan normaalin kanssa. Tähän avaruuskulmaan taajuusvälillä [ν,ν + dν] ajassa dt pinnan da läpi kulkeva säteilyenergia on dω Iν de ν = I ν cos θ dadν dω dt. (1) I ν on säteilyn intensiteetti. [I ν ] = Wm 2 Hz 1 sterad 1. θ da Kokonaisintensiteetti on I = 0 I ν dν.
Havaintojen kannalta tärkeämpiä suureita ovat energiavuo (L ν, L) (tai lyhyesti vuo) ja vuontiheys (F ν, F). Vuontiheys ilmoittaa säteilyn tehon pinta-alayksikköä kohti, joten sen laatu on [Wm 2 Hz 1 ] tai [Wm 2 ] riippuen siitä, onko kysymys vuontiheydestä jollakin tietyllä taajuudella vai kokonaisvuontiheydestä. Havaitut vuontiheydet ovat yleensä hyvin pieniä, joten W m 2 on epäkäytännöllisen suuri yksikkö. Varsinkin radiotähtitieteessä vuontiheydet ilmoitetaan usein janskyinä; yksi jansky (Jy) on 10 26 W m 2 Hz 1. Ensisijainen suure mittauksissa on itse asiassa energia, joka mittausaikana on kertynyt ilmaisimeen, so. vuontiheys integroituna tietyn aikavälin ja pinta-alan yli. Vuontiheys F ν taajuudella ν voidaan lausua intensiteetin avulla seuraavasti: F ν = 1 dadν dt S de ν = S I ν cos θ dω, (2) missä integrointi suoritetaan kaikkien suuntien yli. Vastaavasti kokonaisvuontiheys on F = S I cos θ dω.
Jos säteily on isotrooppista, eli I ei riipu suunnasta, on F = S I cos θ dω = I S cos θ dω. (3) Avaruuskulma-alkio dω on sama kuin yksikköpallon pinnalla oleva pinta-alkio. Pallokoordinaattien avulla lausuttuna se on dω = sinθ dθ dφ. Sijoittamalla tämä integraaliin (4.3) saadaan F = I π 2π θ=0 φ=0 cos θ sin θ dθ dφ = 0, eli säteilyn nettovirtausta ei esiinny. Tämä tarkoittaa sitä, että pinnalta poistuu yhtä paljon säteilyä kuin sille saapuu. Jos halutaan tietää, kuinka paljon säteilyä pinnan läpi kulkee, on laskettava esimerkiksi lähtevän säteilyn vuontiheys. Isotrooppiselle säteilylle tämä on F l = I π/2 2π θ=0 φ=0 cos θ sin θ dθ dφ = πi. (4) Tähtitieteellisessä kirjallisuudessa nimitystä intensiteetti käytetään hieman epämääräisellä tavalla. Nimitystä vuontiheys ei juurikaan näe, vaan kyseistä suuretta kutsutaan intensiteetiksi tai vuoksi. Alan kirjallisuutta lukiessa on siis syytä aina ensin tarkistaa, mitä milläkin suureella tarkoitetaan.
Esimerkki: Osoitettava, että säteilyn intensiteetti ei riipu etäisyydestä. Tarkastellaan säteilyä, joka lähtee pinta-alkiosta da suuntaan θ. Avaruuskulmaan dω ajassa dt lähtevä energia on de = I cos θ dadω dt, missä I on säteilyn intensiteetti. Jos etäisyydellä r energia de saapuu pinta-alkiolle da kulmassa θ, on dω = da cos θ /r 2. da θ dω dω θ da r Intensiteetin määritelmän mukaan on de = I cos θ da dω dt, missä I on säteilyn intensiteetti pinta-alkion da kohdalla ja avaruuskulma dω = dacos θ r 2. Sijoittamalla energian lausekkeisiin avaruuskulmat dω ja dω, saadaan I cos θ da da cos θ I = I. r 2 dt = I cos θ da dacos θ r 2 dt Säteilyn intensiteetti säilyy tyhjässä avaruudessa vakiona.
Vuolla tarkoitetaan jonkin pinnan läpi kulkevaa säteilytehoa, joka SI-yksiköissä ilmoitetaan watteina. Tähden avaruuskulmaan ω säteilemä vuo on L = ωr 2 F, missä F on tähdestä etäisyydellä r havaittu vuontiheys. Kokonaisvuo on säteilylähdettä ympäröivän suljetun pinnan läpi kulkeva vuo. Tähtitieteessä kokonaisvuota nimitetään luminositeetiksi L. Voidaan puhua myös luminositeetista L ν tietyllä taajuudella ν ([L ν ] = WHz 1 ). Luminositeettia (engl. luminosity) ei saa sekoittaa valo-opissa esiintyviin suureisiin kuten valovirtaan (luminous flux), joissa silmän herkkyys on otettu huomioon.
r A 2r 4A Jos kappale säteilee isotrooppisesti, sen säteily on etäisyydellä r hajaantunut pallon pinnalle, jonka ala on 4πr 2. Jos tämän pallon pinnalla vuontiheys on F, on kokonaisvuo L = 4πr 2 F. (5) Jos ollaan säteilylähteen ulkopuolella, missä säteilyä ei synny eikä häviä, luminositeetti ei riipu etäisyydestä. Vuontiheys sen sijaan heikkenee verrannollisena 1/r 2 :een.
ω A r ω 4A 2r Pintakohteille (vastakohtana tähtien kaltaisille pistemäisinä näkyville kohteille) voidaan määritellä pintakirkkaus vuontiheytenä avaruuskulmayksikköä kohti. Pintakirkkaus ei riipu etäisyydestä. Tietyltä pinnalta A tulevan säteilyn vuontiheys on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. Samoin avaruuskulma ω, jossa pinta A näkyy, on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön (ω = A/r 2 ). Niin ollen pintakirkkaus B = F/ω pysyy vakiona.
Auringon pintakirkkaus. Oletetaan, että Aurinko säteilee isotrooppisesti. Olkoon R Auringon säde, F vuontiheys Auringon pinnalla ja F vuontiheys etäisyydellä r. Koska luminositeetti on L = 4πR 2 F = 4πr 2 F, on vuontiheys F = F R 2 r 2. Etäisyydeltä r R Aurinko näkyy avaruuskulmassa ω = A r 2 = πr2 r 2, missä A = πr 2 on Auringon poikkipinta-ala. Pintakirkkaus B on B = F ω = F π, josta yhtälön (4.4) nojalla saadaan B = I Pintakirkkaus on siis etäisyydestä riippumaton ja yhtä suuri kuin säteilyn intensiteetti. Näin tulee intensiteetin käsitteelle havaintojen kannalta ymmärrettävä tulkinta.
Aurinkovakio on Auringon vuontiheys Maassa. Sen arvo on F 1370 W/m 2. Auringon kulmaläpimitta Maasta katsottuna on α = 32, joten R r = α 2 = 1 2 32 60 π 180 = 0.00465 rad ja avaruuskulma ω = π ( ) 2 R = π 0.00465 2 = 6.81 10 5 sterad. r Pintakirkkaus on siis B = F ω = 2.01 107 Wm 2 sterad 1.
dt dv da dω Säteilyn energiatiheys u on säteilyenergian määrä tilavuusyksikössä (J/m 3 ): u = 1 I dω c S (6) Tämä nähdään seuraavasti. Olkoon pintaa da vastaan kohtisuoraan avaruuskulmasta dω tulevan säteilyn intensiteetti I (kuva 4.5). Ajassa dt säteily etenee matkan c dt ja täyttää tilavuuden dv = c dt da. Tilavuudessa dv on siis energiamäärä (cos θ = 1) de = I dadω dt = 1 I dω dv. c Avaruuskulmasta dω tulevan säteilyn energiatiheys du on siten du = de dv = 1 c I dω. Kokonaisenergiatiheys (4.6) saadaan tästä integroimalla kaikkien suuntien yli. Isotrooppisen säteilyn energiatiheys on u = 4π c I. (7)
4.2 Näennäiset magnitudit Jo toisella vuosisadalla eaa. Hipparkhos jakoi taivaalla näkyvät tähdet kuuteen luokkaan niiden näennäisen kirkkauden mukaan. Kirkkaimmat tähdet kuuluivat ensimmäiseen suuruusluokkaan ja heikoimmat paljain silmin näkyvät kuudenteen. Ihmissilmän reagointi siihen osuvan valon voimakkuuteen ei ole lineaarinen, vaan logaritminen. Norman R. Pogson kehitti 1856 tarkemman luokittelun, joka kuitenkin mahdollisimman tarkasti seurasi aikaisempia luokkia. Koska 1. luokan tähti oli noin sata kertaa kirkkaampi kuin 6. luokan tähti, Pogson määritteli, että peräkkäisten luokkien kirkkauksien suhde on täsmälleen 5 100 2.512. Täsmällisesti suuruusluokka eli magnitudi voidaan määritellä havaitun vuontiheyden F avulla ([F] = W/m 2 ). Valitaan magnitudi 0 vastaamaan jotakin kiinteää vuontiheyden arvoa F 0. Muut magnitudit voidaan tällöin määritellä kaavalla m = 2.5lg F F 0. (8) Huomaa, että tässä esiintyvä vakio on todellakin tasan 2.5, eikä 2.512. Magnitudi on laaduton suure; sen tunnuksena voidaan kuitenkin käyttää lyhennettä mag tai kirjainta m, joka sijoitetaan numeron oikeaan ylänurkkaan, esimerkiksi 5 m.
Helposti nähdään, että em. kaava vastaa Pogsonin määritelmää. Jos kahden tähden magnitudit ovat m ja m + 1 ja vastaavat vuontiheydet F m ja F m+1, on m (m + 1) = 2.5lg F m F 0 + 2.5lg F m+1 F 0 = 2.5lg F m F m+1, josta F m F m+1 = 5 100. Vastaavasti, jos kahden tähden magnitudit ovat m 1 ja m 2 ja vuontiheydet F 1 ja F 2, on m 1 m 2 = 2.5lg F 1 F 2. (9) Suuruusluokat ulottuvat Hipparkhoksen kuudesta luokasta sekä paljon kirkkaampiin että paljon heikompiin kohteisiin. Taivaan kirkkaimman tähden, Siriuksen, suuruusluokka on itse asiassa 1.5, Auringon 26.8 ja täydenkuun noin 12.5. Himmeimpien havaittavien kohteiden magnitudi riippuu kaukoputken koosta, ilmaisimen herkkyydestä ja valotusajasta. Raja siirtyy koko ajan kohti yhä himmeämpiä kohteita; nykyisin voidaan jo havaita kohteita, joiden magnitudi on yli 30.
Esimerkki: Kaksoistähden magnitudi. Koska magnitudi on logaritminen suure, se on monien käytännön laskujen kannalta hieman hankala. Esimerkiksi magnitudeja ei voi laskea yhteen kuten vuontiheyksiä. Jos vaikkapa kaksoistähden komponenttien magnitudit ovat 1 ja 2, ei kokonaismagnitudi suinkaan ole 3. Kokonaismagnitudin laskemiseksi on ensin ratkaistava vuontiheydet yhtälöistä 1 = 2.5lg F 1 F 0, 2 = 2.5lg F 2 F 0, joista saadaan F 1 = F 0 10 0.4, F 2 = F 0 10 0.8, Kokonaisvuon tiheys on niin ollen F = F 1 + F 2 = F 0 (10 0.4 + 10 0.8 ) ja kokonaismagnitudi m = 2.5lg F 0(10 0.4 + 10 0.8 ) F 0 = 2.5lg 0.5566 = 0.64.
4.3 Magnitudijärjestelmät Edellä määritelty näennäinen magnitudi m riippuu käytetystä havaintolaitteesta. Laitteen herkkyys eri aallonpituuksilla on erilainen. Lisäksi eri laitteet rekisteröivät eri aallonpituusalueita. Havaintolaitteen mittaama vuo ei siten vastaa koko sitä vuota, joka kohteesta tulee havaintolaitteeseen, vaan ainoastaan osaa siitä. Rekisteröintimenetelmän perusteella voidaan erottaa erilaisia magnitudijärjestelmiä. Eri järjestelmien nollakohdat eroavat toisistaan, eli niissä käytetään erilaisia magnitudia 0 vastaavia vuontiheyden F 0 arvoja. Nollakohdat määritellään yleensä joidenkin valittujen standarditähtien avulla. Esimerkiksi ihmissilmä on herkin noin 550 nm:n aallonpituudella tulevalle säteilylle, ja rekisteröintikyky heikkenee lyhyillä ja pitkillä valoaalloilla. Visuaaliseksi magnitudiksi m v sanotaan magnitudia, joka vastaa ihmissilmän herkkyysjakautumaa. Valokuvauslevyt ovat yleensä herkimpiä siniselle ja violetille valolle ja pystyvät rekisteröimään myös säteilyä, joka on ihmissilmän näkökyvyn ulkopuolella (infrapunaisessa tai ultravioletissa). Siten valokuvauksellinen magnitudi m pg eroaa yleensä visuaalisesta magnitudista. Valokuvaamalla voidaan jäljitellä silmän herkkyysjakautumaa käyttämällä keltaista suodinta ja vihreälle ja keltaiselle herkistettyjä valokuvauslevyjä. Näin saatavia magnitudeja sanotaan fotovisuaalisiksi magnitudeiksi m pv.
Ihannetapaus olisi, jos saataisiin mitatuksi kaikki tähdestä eri aallonpituuksilla tuleva säteily. Koko säteilyä vastaavaa magnitudia sanotaan bolometriseksi magnitudiksi m bol. Käytännössä bolometrisiä magnitudeja on vaikea mitata, koska säteilystä huomattava osa imeytyy Maan ilmakehään ja eri aallonpituusalueilla tarvitaan erilaisia ilmaisimia. Visuaalisesta magnitudista voidaan laskea bolometrinen, jos tunnetaan bolometrinen korjaus BC: m bol = m v BC. (10) Bolometrisen korjauksen suuruus määritellään nollaksi Auringon valon kaltaiselle säteilylle (tai oikeastaan spektriluokan F5 tähdille). Vaikka tähden visuaalinen ja bolometrinen magnitudi voivat olla samoja, vastaa bolometrista magnitudia kuitenkin suurempi vuontiheys. Mitä enemmän tähden säteilyn jakauma poikkeaa Auringon vastaavasta jakaumasta, sitä suurempi on bolometrinen korjaus. Korjaus on positiivinen sekä Aurinkoa kuumemmille että sitä kylmemmille tähdille. Joskus määritellään bolometrinen korjaus siten, että m bol = m v + BC, jolloin BC on aina 0. Sekaannuksen vaaraa ei silti ole, koska aina m bol m v.
1.0 U B V R I 0.8 0.6 0.4 0.2 200 400 600 800 λ[nm] Tarkimmat magnitudimittaukset voidaan tehdä valosähköisellä fotometrillä (kappale 3.3). Tavallisesti suotimien avulla järjestetään niin, että fotometriin pääsee vain haluttu aallonpituuskaista. Eräs yleisimmistä valosähköisessä fotometriassa käytetyistä monivärijärjestelmistä on Harold L. Johnsonin ja William W. Morganin 1950-luvun alussa kehittämä UBVjärjestelmä. Tässä kohteen magnitudi mitataan kolmen eri suotimen läpi: U= ultravioletti, B= blue, sininen ja V= visuaalinen. Kunkin suotimen läpäisemät aallonpituuskaistat on esitetty kuvassa 4.6 ja taulukossa 4.1. Suotimesta riippuen puhutaankin kohteen U-, B- tai V-magnitudista. UBV-järjestelmää on myöhemmin laajennettu. Eräs käytössä olevista on 5-värifotometrinen UBVRI-järjestelmä, johon on lisätty kaistat R (red, punainen) ja I (infrapunainen).
Strömgrenin neliväri- eli uvby-järjestelmässä suotimien läpäisemät aallonpituuskaistat ovat huomattavasti kapeammat kuin UBV-järjestelmässä. Järjestelmä on myös hyvin standardoitu, mutta se ei ole aivan yhtä yleisesti käytetty kuin UBV. Monivärifotometriassa määritellään väri-indeksi kahden eri magnitudin välisenä erona. Niinpä voidaan määritellä esimerkiksi väri-indeksit B V ja U B, jotka saadaan vähentämällä B- ja V -magnitudit sekä U- ja B-magnitudit. UBV-fotometriassa ilmoitetaankin usein vain V -magnitudi ja väri-indeksit B V ja U B. Magnitudijärjestelmiä U, B ja V vastaavat normitusvakiot F 0 on valittu siten, että väri-indeksien B V ja U B nollakohdat sattuvat spektriluokkaan A0. Tällaisen tähden pintalämpötila on noin 10 000 K. Esimerkiksi Vegalle (α Lyr), jonka spektriluokka on A0 V ja V = 0.04, on B V = U B = 0.00. Auringolle on V = 26.8, B V = 0.62 ja U B = 0.10. Ennen UBV-järjestelmää käytettiin usein väri-indeksiä C.I. (colour index), joka määritellään C.I. = m pg m v. Määritelmästä nähdään, että C.I. vastaa väri-indeksiä B V. Itse asiassa C.I. = B V 0.11.
4.4 Absoluuttiset magnitudit Näennäinen magnitudi ei kerro mitään tähden todellisesta kirkkaudesta, koska tähdet voivat olla eri etäisyyksillä. Suure, joka antaa vertailukelpoisen arvon tähden todelliselle kirkkaudelle, on absoluuttinen magnitudi. Se määritellään tähden näennäisenä magnitudina, mikäli tähteä tarkasteltaisiin 10 parsekin etäisyydeltä. Tämä määritelmä otettiin virallisesti käyttöön IAU:n yleiskokouksessa 1922. 10 pc ω F(10) F(r) r Koska tähdestä avaruuskulmaan ω tuleva säteilyvuo on etäisyydellä r hajaantunut pinnalle, jonka ala on ωr 2, vuontiheys on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön.
Etäisyydellä r havaitun vuontiheyden F(r) suhde vuontiheyteen 10 pc:n etäisyydellä on siten F(r) F(10) = ( ) 2 10 pc, r joten etäisyyksillä r ja 10 pc havaittujen magnitudien erotukselle eli etäisyysmodulille m M saadaan lauseke eli m M = 2.5lg F(r) F(10) = 2.5lg ( 10 pc r ) 2 m M = 5lg r 10 pc. (11) Historiallisista syistä tämä kirjoitetaan lähes aina muotoon m M = 5lg r 5, (12) mikä pätee vain, kun r on lausuttu parsekeina, sillä eihän dimensiollisesta suureesta oikeastaan voi ottaa logaritmia. Sekaannusten välttämiseksi onkin turvallisempaa käyttää aina kaavaa (11).
Absoluuttisia magnitudeja merkitään yleensä isoilla kirjaimilla. On kuitenkin syytä huomata, että U-, B- ja V -magnitudit ovat näennäisiä magnitudeja, joita vastaavat absoluuttiset magnitudet ovat M U, M B ja M V. Absoluuttinen bolometrinen magnitudi voidaan lausua luminositeetin avulla seuraavasti. Olkoon kokonaisvuon tiheys etäisyydellä r = 10 pc tähdelle F ja Auringolle F. Koska luminositeetti on L = 4πr 2 F, on M bol M bol, = 2.5lg F F = 2.5lg L/4πr2 L /4πr 2, joten M bol M bol, = 2.5lg L L. (13) Absoluuttinen bolometrinen magnitudi M bol = 0 vastaa luminositeettia L 0 = 3.0 10 28 W.
Esimerkki: Tähden etäisyys on r = 100 pc ja näennäinen magnitudi m = 6 mag. Mikä on absoluuttinen magnitudi? Tässä voidaan käyttää kaavaa (4.11) m M = 5lg josta r 10 pc, M = 6 5lg 100 10 = 1. Esimerkki: Tähden absoluuttinen magnitudi on M = 2 ja näennäinen magnitudi m = 8. Mikä on kohteen etäisyys? Kaavasta (4.11) voidaan nyt ratkaista etäisyys r = 10 pc 10 (m M)/5 = 10 10 10/5 pc = 1000 pc = 1 kpc.
4.5 Ekstinktio ja optinen paksuus Yhtälö (4.11) kertoo, miten näennäinen magnitudi heikkenee etäisyyden kasvaessa. Mikäli kohteen ja havaitsijan välissä on väliainetta, ei (4.11) enää päde, koska osa säteilystä absorboituu väliaineeseen tai siroaa pois näkösäteeltä. Näitä säteilyhäviöitä nimitetään yhteisesti ekstinktioksi. dr r L 0 ω L L+dL Olkoon L tähden säteilemä energiavuo avaruuskulmaan ω tietyllä aallonpituusvälillä. Koska väliaine absorboi ja sirottaa tähden säteilyä, L pienenee nyt etäisyyden r kasvaessa. Pienellä matkalla [r,r + dr] väliaineen aiheuttama ekstinktio dl on suoraan verrannollinen energiavuohon L ja matkaan dr: dl = αldr. (14)
Ekstinktion voimakkuutta kuvaava verrannollisuuskerroin α on nimeltään opasiteetti (läpinäkymättömyys). Sen dimensio on yhtälön (14) mukaan [α] = m 1. Opasiteetin avulla voidaan määritellä dimensioton luku, optinen paksuus τ, yhtälöllä dτ = α dr. (15) Optisen paksuuden avulla yhtälö (14) tulee muotoon dl = Ldτ. Integroimalla säteilylähteestä havaitsijaan saadaan L L 0 dl L = τ 0 dτ eli L = L 0 e τ. (16) Tässä τ on optinen paksuus matkalla säteilylähteestä havaitsijaan ja L 0 vuo lähteen pinnalla avaruuskulmaan ω. Avaruuskulmassa ω havaittava energiavuo L pienenee siis eksponentiaalisesti optisen paksuuden funktiona. Tyhjä avaruus on täysin läpinäkyvä, eli sen opasiteetti on α = 0, joten tyhjässä avaruudessa optinen paksuus τ ei kasva ja vuo L pysyy vakiona.
Olkoon F 0 vuontiheys tähden pinnalla ja F(r) vuontiheys etäisyydellä r. Koska energiavuot voidaan kirjoittaa L = ωr 2 F(r) L 0 = ωr 2 F 0, missä R on tähden säde, yhtälö (16) saadaan muotoon F(r) = F 0 R 2 r 2 e τ. Absoluuttisen magnitudin määrittelemiseen käytettävä vuontiheys 10 parsekin etäisyydellä tähdestä F(10) lasketaan edelleenkin ilman ekstinktiota: F(10) = F 0 R 2 (10 pc) 2. Etäisyysmoduliksi m M saadaan nyt m M = 2.5lg F(r) F(10) r = 5lg 2.5lg e τ 10 pc r = 5lg + (2.5lg e)τ 10 pc eli m M = 5lg r 10 pc + A, (17) missä A 0 on väliaineen koko matkalla aiheuttama ekstinktio magnitudeissa.
Jos opasiteetti α on vakio koko matkalla tähdestä havaitsijaan, on τ = α r 0 dr = αr, jolloin m M = 5lg r 10 pc + ar. (18) Tässä vakio a = 2.5α lg e ilmoittaa ekstinktion magnitudeina etäisyysyksikköä kohti. Vaikka tähtienvälisen aineen aiheuttama ekstinktio vaihteleekin melko paljon eri suunnissa, sille voidaan Linnunradan tasossa käyttää keskimääräistä arvoa 2 mag/kpc.
Laskettava edellisen esimerkin tähden etäisyys, kun ekstinktio otetaan huomioon (m = 8, M = 2). Etäisyys on nyt ratkaistava yhtälöstä (18): 8 ( 2) = 5lg r 10 + 0.002r, missä r on lausuttu parsekeina. Tämä yhtälö ratkaistaan esimerkiksi iteroimalla. Iterointia varten kirjoitetaan yhtälö muotoon r = 10 10 2 0.0004r. Alkuarvoksi voidaan valita esimerkissä 4.5 saatu 1000 pc: r 0 = 1000 r 1 = 10 10 2 0.0004 1000 = 398 r 2 = 693 r 12 = r 13 = 584. Tähden etäisyys on siis r 580 pc. Etäisyydeksi saatiin huomattavasti pienempi luku kuin esimerkissä 4.5. Tämä on luonnollista, sillä ekstinktion vuoksi säteily heikkenee nyt paljon nopeammin kuin tyhjässä avaruudessa.
Mikä on sumupilven optinen paksuus, jos Aurinko näyttää sen läpi katsottuna yhtä kirkkaalta kuin täysikuu pilvettömällä taivaalla? Auringon näennäinen magnitudi on 26.8 ja täydenkuun 12.5. Ekstinktion määrä sumupilvessä on siis A = 14.3. Koska on A = (2.5lg e)τ, τ = A/(2.5lg e) = 14.3/1.086 = 13.2, joten sumupilven optinen paksuus on noin 13. Todellisuudessa pilven läpi tulee myös useita kertoja sironnutta säteilyä. Tästä syystä pilven optisen paksuuden pitää olla edellä laskettua suurempi.
Värieksessi. Ekstinktion lisäksi tähtienvälinen aine aiheuttaa tähtien valon punertumista: sininen valo siroaa ja absorboituu enemmän kuin punainen. Tämän vuoksi tähden väri-indeksi B V kasvaa. Tähden näennäinen visuaalinen magnitudi V on yhtälön (17) mukaan V = M V + 5lg r 10 pc + A V, (19) missä M V on tähden absoluuttinen magnitudi visuaalisessa ja A V ekstinktio visuaalisessa. Vastaavasti sinisessä saadaan B = M B + 5lg r 10 pc + A B. Tähden havaittu väri-indeksi on nyt eli B V = M B M V + A B A V (20) B V = (B V ) 0 + E B V, missä (B V ) 0 = M B M V on tähden ominaisväri ja E B V = (B V ) (B V ) 0 värieksessi.
Tähtienvälisen ekstinktion tutkimuksissa on havaittu, että visuaalisen ekstinktion A V suhde värieksessiin E BV on eri tähdille likimain vakio: R = A V E B V 3.0. Jos värieksessi tunnetaan, voidaan visuaalinen ekstinktio siis laskea kaavasta A V 3.0E B V. (21) Tämän jälkeen saadaan etäisyys yhtälöstä (19). Tähtienvälisestä ekstinktiosta puhutaan lisää tähtienvälisen pölyn yhteydessä kappaleessa 15.1.
Ilmakehän ekstinktio. Ilmakehän ekstinktion vuoksi kohteen havaittu magnitudi m riippuu havaintopaikasta ja kohteen zeniittietäisyydestä, koska valo joutuu kulkemaan eri mittaisia matkoja ilmakehän läpi. Jotta havaintoja voitaisiin verrata keskenään, havainnot on redusoitava poistamalla ilmakehän vaikutus. Näin saatavaa magnitudia m 0 voidaan siten verrata jossain toisessa observatoriossa tehdyn havainnon kanssa. Kun zeniittietäisyys ei ole kovin suuri, ilmakehää voidaan approksimoida tasapaksulla kerroksella. Kun paksuutta merkitään ykkösellä, joutuu zeniittietäisyydellä z näkyvästä kohteesta tuleva valo kulkemaan ilman lävitse matkan X = 1/cos z. (22) Suure X on ilmamassa. Yhtälön (4.18) mukaisesti magnitudi kasvaa lineaarisesti matkan X funktiona, joten m = m 0 + kx. (23) Kerrointa k sanotaan ekstinktiokertoimeksi. H z H cos z
Ekstinktiokerroin k saadaan määritetyksi havaitsemalla samaa kohdetta useita kertoja yön aikana mahdollisimman laajalla zeniittikulmavälillä. Saadut magnitudin arvot sijoitetaan diagrammaan, jossa vaaka-akselilla on ilmamassa X. Pisteet muodostavat suoran, jonka kulmakerroin on juuri k. Kun suora ekstrapoloidaan arvoon X = 0 saakka, saadaan magnitudi m 0, joka on kohteen näennäinen magnitudi ilmakehän ulkopuolella. Käytännössä havaintoja ei kannata tehdä juurikaan yli 70 zeniittietäisyyksillä, koska ilmakehän kaarevuus alkaa vaikuttaa tätä alempana jo huomattavasti. Ekstinktiokertoimen k arvo riippuu paitsi havaintopaikasta ja -yöstä, myös käytetystä aallonpituudesta, koska ekstinktio kasvaa voimakkaasti aallonpituuden lyhetessä.
Esimerkki: Havaintojen redusointi. Tähden korkeus ja magnitudi mitattiin useita kertoja yön kuluessa. Magnitudi eri korkeuksilla oli seuraavan taulukon mukainen. korkeus zeniitti- ilma- magnitudi etäisyys massa 50 40 1.31 0.90 35 55 1.74 0.98 25 65 2.37 1.07 20 70 2.92 1.17 Kun havainnot piirretään oheisen kuvan muotoon, voidaan määrittää ekstinktiokerroin k ja tähden magnitudi ilmakehän ulkopuolella. Tämä voidaan tehdä graafisesti kuten tässä tai tarkemmin pienimmän neliösumman menetelmällä. m 0 m 0 1 2 0 1 2 3 Ekstrapoloimalla ilmamassan arvoon X = 0 saadaan magnitudiksi m 0 = 0.68 ja ekstinktiokertoimeksi k = 0.17. X