ORMS2020 Päätöksenteko epävarmuuden vallitessa Syksy 200 Harjoitus 5 (Koetentti) Ratkaisuehdotuksia. Öljy-Yhtiö Oy on tehnyt herra K.:n maapalasta ostotarjouksen 200kC. Herra K. voi joko myydä maapalan tai yrittää itse porata öljyä. Poraaminen maksaa 500kC. Öljyä löytyy todennäköisyydellä 0%, ja jos öljyä löytyy, siitä saadaan 90.000kC. Jos öljyä ei löydy, on maapala arvoton. Mitä herra K.:n kannattaa tehdä, kun hän on (a) katumuksen kaihtaja, (b) riskineutraali? Ratkaisuehdotus: Herra K.:n päätösmatriisi (palkkiot kiloeuroissa): Lady Fortunan valinta Herra K.:n valinta On öljyä (0%) Ei ole öljyä (90%) Porataan 89.500 500 Myydään 200 200 (a) Herra K.:n katumusmatriisi on Lady Fortunan valinta Herra K.:n valinta On öljyä (0%) Ei ole öljyä (90%) Porataan 0 700 Myydään 89.300 0 Katumuksen minimoimiseksi herra K. siis valitsee Porataan. (b) Riskineutraalin K.:n arvotukset ovat V (Porataan) 89.500 0, 500 0,9 8.500, V (Myydään) 200 0,9 + 200 0,9 200. Riskineutraali K. valitsee Porataan. 2. Vaasan ylpistö järjestää tarjouskilpailun.000 tietokoneen ostamiseksi. ABC Tietokone Oy harkitsee osallistumista. Tarjouskilpailuun ottaa osaa myös DEF Tietokone Oy. DEF Tietokone Oy:n tarjous on joko 000C tai 800C (yhtä suurin todennäköisyyksin). Jos ABC Tietokone osallistuu tarjouskilpailuun se tulee maksamaan sille 00.000C erinäisinä kuluina.
ABC Tietokone Oy on myös uusimassa tuotantoprosessiaan (mahdollisesti tarjouskilpailun jälkeen). Nykyisellä tuotantoprosessillaan ABC Tietokone Oy voi valmistaa tietokoneen hinnalla 800C. Uudella tuotantoprosessilla ABC Tietokone Oy voi todennäköisyydellä 75% valmistaa tietokoneen hinnalla 500C ja todennäköisyydellä 25% hinnalla 850C. Tuotantoprosessin uusiminen ei maksa mitään. (a) Piirrä ABC Tietokone Oy:n päätösongelmaa vastaava päätöspuu. (b) Mitä ABC Tietokone Oy:n kannattaa tehdä? Ratkaisuehdotus: (a) ja (b): Tilannetta vastaava täysin täytetty päätöspuu, jossa palkkiot ovat kiloeuroissa (Bayesin kaavaa ei tarvittu todennäköisyyksien laskemiseen): DEF (0,5) Uusitaan 32,5 0,85 (0,25) 0,5 (0,75) 50 400 ABC 32,5 Ei uusita 00 06,25 DEF 0,8 (0,5) 00 06,25 ABC 0,8 Uusitaan 2,5 0,85 (0,25) 0,5 (0,75) 50 200 2,5 Ei uusita 00 ABC Tietokoneen kannattaa siis ottaa osaa tarjouskilpailuun (koska voittopuun arvo on positiivinen), tehdä tarjous 800C tietokoneelta ja uusia tuotantolinjansa. 3. Pekka Päättäjä on päättänyt itselleen seuraavat indifferenssit: L(, 0) 0,5L(, 0) + 0,5L(, 20), L(, 2) 0,4L(, 0) + 0,6L(, 20), L(, 5) 0,2L(, 0) + 0,8L(, 20). (a) Mitä pystyt sanomaan Pekka Päättäjän hyötyfunktiosta? (b) Onko Pekka Päättäjä riskinrakastaja vai riskinkaihtaja? Ratkaisuehdotus: 2
(a) Normeeraamalla voimme sanoa, että u(20) ja u(0) 0. Indifferenssistä L(, 0) 0,5 L(, 0) + 0,5 L(, 20) seuraa, että u(0) 0,5. Huomioimalla tämä indifferenssistä L(, 2) 0,4L(, 0) + 0,6L(, 20) seuraa, että u(2) 0,4 0,5 + 0,6 0,8. Lopuksi, huomioimalla edelliset, indifferenssistä L(, 5) 0,2L(, 0) + 0,8L(, 20) seuraa, että u(5) 0,2 0,5 + 0,8 0,9. Hyötyfunktio on siis jotakuinkin seuraavan kuvan esittämän kaltainen: 0.9 0.8 0.7 0.6 u 0.5 0.4 0.3 0.2 0. 0 0 5 0 5 20 r (b) Ei kumpaakaan, kuten (a)-kohdan kuvasta näkyy (hyötyfunktio ei ole konkaavi eikä konveksi). 4. Oiva Opiskelijan on päätettävä osallistuako kurssille Operaatioanalyysi vai Johdatus tilastotieteeseen. Oiva arvioi, että jos hän osallistuu 3
kurssille Operaatioanalyysi, niin todennäköisyydellä 0% hän saa arvosanan 5, todennäköisyydellä 40% arvosanan 4 ja todennäköisyydellä 50% arvosanan 3. Samoin Oiva arvelee, että jos hän osallistuu kurssille Johdatus tilastotieteeseen, niin todennäköisyydet arvosanoille ovat: 70% arvosanalle 4, 25% arvosanalle 3 ja 5% arvosanalle 2. Oiva on indifferentti arpajaisten L(, 3) ja L(0,25, 5 ; 0,75, 2) suhteen, sekä arpajaisten L(, 4) ja L(0,70, 5 ; 0,30, 2) suhteen. (a) Hahmottele Oiva Opiskelijan hyötyfunktio. (b) Jos Oiva Opiskelija haluaa optimoida arvosanasta saadun keskimääräisen (eli odotetun) hyödyn, niin kumman kursseista Operaatioanalyysi vai Tilastotieteen johdantokurssi hän valitsee? Ratkaisuehdotus: Huomaamme aluksi, että Oiva Opiskelija tarkastelee vain arvosanoja 5, 4, 3 ja 2. Hän siis ei pidä mahdollisena arvosanoja tai hylätty. (a) Rakennamme Oivan hyötyfunktion. Ääriarvoissa asetamme u(5) ja u(2) 0. Indifferessistä L(, 3) L(0,25, 5 ; 0,75, 2) päättelemme, että u(3) 0,25. Samoin indifferenssistä päättelemme, että u(4) 0,7. Kuvallisesti voimme hahmotella u 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0. L(, 4) L(0,7, 5 ; 0,3, 2) 0 2 3 4 5 r 4
(b) Nyt hyötyfunktio on tiedossamme. Voimme siis laskea odotetut hyödyt arpajaisille L OR ja L IS : E ( u ( L OR )) u(5) 0, + u(4) 0,4 + u(3) 0,5 0, + 0,7 0,4 + 0,25 0,5 0,505, E ( u ( L IS )) u(4) 0,7 + u(3) 0,25 + u(2) 0,05 0,7 0,7 + 0,25 0,25 + 0 0,05 0,5525. Oiva Opiskelija valitsee siis kurssin Tilastotieteen johdantokurssi. 5