TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec x := / cos x ja kosekantti csc x := / sin x. A = (cos t, sin t) B = (, tan t) C = (cot t, ) D = (0, csc t) E = (sec t, 0) a = cos t b = sin t c = - cos t = vers t d = - sin t = covers t e = sec t - = exsec t Kuva. Sini ja kosini ovat projektiot yksikköympyrältä x +y = x- ja y-akseleille, cos t = x, sin t = y. Kulma t on yksikköympyrän kehän pisteitä (, 0) ja A yhdistävän kaaren pituus, tai yhtäpitävästi t/ on origon sekä pisteiden (, 0) ja A rajoittaman ympyräsektorin pinta-ala (harmaa alue). Kuvasta selviävät myös versini, koversini ja eksekantti. Päiväys: 3.0.007. Lähteet: Milton Abramowitz ja Irene A. Stegun (toim.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover edition, 97, sekä Richard Courant ja Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis, Volume I, Reprint of the 989 Edition, Classics in Mathematics, Springer, 999; Volume II/, 000; Volume II/, 000.
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT 0 5 -.5--0.5 0.5.5 0.5-0.5-3 4 5 6-5 -0 Kuva. Sinin ja kosinin kuvaajat (vasemmalla) sekä tangentin kuvaaja (oikealla). { sin( x) = sin x, cos( x) = cos x tan( x) = tan x, sin x + cos x = cot( x) = cot x.. Jaksollisuus. sin(x + kπ) = sin x cos(x + kπ) = cos x (k Z) tan(x + kπ) = tan x sin(π x) = + sin x, sin(π/ + x) = + cos x cos(π x) = cos x, cos(π/ + x) = sin x.3. Tärkeitä arvoja. tan(π x) = tan x, cot(π x) = cot x, tan(π/ + x) = cot x cot(π/ + x) = tan x x = 0 30 45 60 90 0 35 50 80 0 π/6 π/4 π/3 π/ π/3 3π/4 5π/6 π sin x 0 / / 3/ 3/ / / 0 cos x 3/ / / 0 / / 3/ tan x 0 3/3 3 3 3/3 0.4. Yhteenlaskukaavat. sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y tan x + tan y tan(x + y) = tan x tan y
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT 3.5. Kaksinkertaisen kulman kaavat. sin x = sin x cos x = tan x + tan x cos x = cos x = sin x = cos x sin x = tan x + tan x tan x = tan x tan x ( Näistä saadaaan helposti puolen kulman kaavat; esim. sin x = ± cos x etumerkki valitaan sinin arvojen perusteella..6. Derivaatat. d sin x = cos x d cos x = sin x d tan x = cos x = + tan x.7. Käänteisfunktioiden derivaatat. d arcsin x = x d arccos x = x d arctan x = + x ), missä.8. Integrointi. Trigonometristen funktioiden rationaalifunktioiden integrointia helpottaa sijoitus tan x = t. Tällöin sin x = t t, cos x = + t + t, dt = + t. Kertaa/täydennä tietojasi: Courant & John, kohdat 3. 3. (s. 0 6), 3.8 3.3 (s. 6 97; useita kohtia).. Kompleksinen eksponenttifunktio { e ix := cos x + i sin x, x R e x+iy := e x e iy = e x (cos y + i sin y), x, y R Kompleksiselle eksponenttifunktiolle pätevät tavanomaiset kaavat e z+w = e z e w, kun z ja w C, (e z ) n = e nz, kun z C ja n N, e tz t = z e tz, kun t R ja z C.
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT 4 C A A = (cosh t, sinh t) B = (cosh t, 0) C = (0, sinh t) pinta-ala = t/ B C A A = (cosh t, sinh t) B = (, tanh t) C = (coth t, ) B Kuva 3. Hyperbolinen sini ja kosini ovat projektiot hyperbeliltä x y = x- ja y-akseleille, cosh t = x, sinh t = y. Kuvissa piste A = (x, y). Kulman t merkitys ilmenee vasemman puoleisesta kuvasta: origon sekä pisteiden B ja A määräämän kolmion pinta-ala on t/ (harmaa alue). Huomautus.. Kompleksisille muuttujan z arvoille määriteltynä eksponenttifunktio e z ei enää ole aidosti kasvava eikä injektio, vaan jaksollinen; jakso on πi, t.s. e z+kπi = e z, kun z C ja k Z. Huomautus.. Reaaliakselilla eksponenttifunktio on aidosti kasvava ja sen kuvajoukko on R + = {y R y > 0}, joten yhtälöllä e x = y on yksikäsitteinen ratkaisu x = log y kaikille y > 0. Kompleksitasossa tilanne on mutkikkaampi. Kun w C, w 0, on annettu, on yhtälöllä e z = w useita ratkaisuja. Ne saadaan seuraavasti: Kirjoitetaan w napakoordinaattien avulla w = r cos ϕ + ir sin ϕ = re iϕ. Tällöin yhtälön e z = w ratkaisut ovat z = log r + iϕ + kπi, k Z. 3. Hyperboliset funktiot Hyperbolinen sini, hyperbolinen kosini, hyperbolinen tangentti ja hyperbolinen kotangentti määritellään kaavoilla sinh x := ex e x, cosh x := ex + e x tanh x := sinh x cosh x, cosh x coth x := sinh x 3.. Peruskaavat. { sinh( x) = sinh x, cosh( x) = cosh x tanh( x) = tanh x, coth( x) = coth x cosh x sinh x = Hyperboliset funktiot lienevät peräisin D. de Foncenex lta (759, Reflexions sur le quantités imaginaires) ja J. H. Lambertilta (770, Observations trigonométriques).
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT 5 A H B C Kuva 4. Ketjukäyrä y = a cosh(x/a). Käyrän pisteitä H = (0, a) ja A = (x, y) vastaava kaaren pituus on a sinh(x/a). Sama pituus on käyrälle pisteeseen A piirretyltä tangentilta erotetulla jänteellä AB, jonka määrää pisteiden A ja C kautta piirretty ympyrä. Piste C on pisteen A projektio x-akselille ja ympyrän halkaisija on jana AC. Janan BC pituus on a. 6 4 - - - -4 0.5 - - -0.5 - Kuva 5. Hyperbolisen sinin ja kosinin kuvaajat (vasemmalla) sekä hyperbolisen tangentin kuvaaja (oikealla). 3.. Yhteenlaskukaavat. sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y tanh(x + y) = tanh x + tanh y + tanh x tanh y
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT 6 3.3. Kaksinkertaisen kulman kaavat. sinh x = sinh x cosh x = tanh x tanh x cosh x = cosh x = sinh x + tanh x = = cosh x + sinh x tanh x + tanh x 3.4. Derivaatat. d sinh x d cosh x d tanh x = cosh x = sinh x = cosh x = tanh x 3.5. Käänteisfunktiot. Ratkaisemalla yhtälöt sinh y = x, cosh y = x, tanh y = x ja coth y = x päädytään areasiniin, areakosiniin, areatangenttiin ja areakotangenttiin: arsinh x = log(x + x + ) (x R) arcosh x = log(x + x ) (x ) artanh x = log + x ( x < ) x arcoth x = log x + ( x > ) x 3.6. Käänteisfunktioiden derivaatat. d arsinh x d arcosh x d artanh x = + x = x = x 3.7. Integrointi. Hyperbolisten funktioiden rationaalifunktioiden integrointia helpottaa sijoitus tanh x = t. Tällöin sinh x = t + t, cosh x = t t, dt = t. Kertaa/täydennä tietojasi: Courant & John, kohdat 3.5 (s. 8 36), 3.8 3.3 (s. 6 97; useita kohtia).
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT 7 4. Taylorin kehitelmiä e z = + z + z! + z3 3! +... sin z = z z3 3! + z5 5! z7 7! +... sinh z = z + z3 3! + z5 5! + z7 7! +... cos z = z! + z4 4! z6 6! +... cosh z = + z! + z4 4! + z6 6! +... tan z = z z3 3 + z5 5 7z7 35 +... tanh z = z + z3 3 + z5 5 + 7z7 35 +... Tangentin ja kotangentin sekä näiden hyperbolisten serkkujen Taylorin sarjat voidaan esittää ns. Bernoullin lukujen avulla. Ks. Courant & John, osa I, luku 7, kohta A.4.