Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun.

Transkriptio

1 17. lokakuuta 2016

2 Kompleksiluvut

3 Kompleksiluku Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari missä x ja y ovat reaalilukuja. z = (x, y), Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Reaali- ja imaginaariosia merkitään seuraavasti Re z = x, Im z = y. Kompleksiluvut z ja u ovat yhtäsuuret, jos ja vain jos Re z = Re u ja Im z = Im u

4 Laskutoimitukset Kompleksiluvuille z 1 = (x 1, y 1 ) ja z 2 = (x 2, y 2 ) voidaan määritellä yhteen- ja vähennyslasku kaavoilla z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), z 1 z 2 = (x 1 x 2, y 1 y 2 ), kertolasku kaavalla z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ), ja jakolasku kaavalla ( z 1 x1 x 2 + y 1 y 2 = z 2 x2 2 + y 2 2, x ) 1y 2 + x 2 y 1 x2 2 + y 2 2.

5 Tavanomainen esitys Yhteen- ja kertolaskun määritelmien perusteella (x 1, 0) + (x 2, 0) = (x 1 + x 2, 0), (x 1, 0)(x 2, 0) = (x 1 x 2, 0). Täten kompleksilukujen voidaan ajatella laajentavan reaalilukujen joukkoa ja merkitsemme (x, 0) = x. Ottamalla nyt käyttöön imaginaariyksikön merkintä i = (0, 1) päästään tavanomaiseen kompleksilukujen esitykseen z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy Erityisesti i 2 = (0, 1)(0, 1) = (0 1, 0 + 0) = ( 1, 0) = 1

6 Laskutoimitukset Tavanomaista esitykselle yhteenlaskuksi saadaan z 1 + z 2 = (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) ja vähennyslaskuksi z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 ) + i(y 1 y 2 )

7 Laskutoimitukset Tavanomaista esitykselle kertolaskuksi saadaan z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + iy 1 x 2 + i 2 y 1 y 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) ja jakolaskuksi z 1 z 2 = x 1 + iy 1 x 2 + iy 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 iy 2 ) (x 2 + iy 2 )(x 2 iy 2 ) = x 1x 2 ix 1 y 2 + iy 1 x 2 i 2 y 1 y 2 x 2 2 i2 y 2 2 = x 1x 2 + y 1 y 2 x y i x 2y 1 x 1 y 2 x y 2 2

8 Esimerkki laskutoimituksista ESIMERKKI. Kerto- ja jakolasku Olkoot z 1 = 3 + 7i ja z 2 = 5 6i. Tällöin ja z 1 z 2 = (3 + 7i)(5 6i) = 15 18i + 35i 42i 2 = i z 1 z 2 = 3 + 7i 5 6i = (3 + 7i)(5 + 6i) (5 6i)(5 + 6i) i + 35i + 42i2 = i 30i 36i 2 = i 53 61

9 Yhteenlaskun ominaisuudet Yhteenlaskulla on seuraavat ominaisuudet: (1) z 1 + z 2 = z 2 + z 1 (2) (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ) (3) on olemassa kompleksiluku ω, jolle pätee z + ω = z kaikilla kompleksiluvuilla z. Kyseessä on selvästi kompleksiluku nolla 0 = (0, 0). (4) jokaisella kompleksiluvulla z on olemassa vastaluku η, siten että z + η = 0. Selvästi jos z = (x, y) niin η = ( x, y).

10 Esimerkki yhteenlaskun ominaisuuksista ESIMERKKI. Vaihdannaisuuden todistaminen Olkoot z 1 = (x 1, y 1 ) ja z 2 = (x 2, y 2 ). Tällöin z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) yhteenlaskun määritelmä = (x 2 + x 1, y 2 + y 1 ) reaalilukujen vaihdannaisuus = (x 2, y 2 ) + (x 1, y 1 ) yhteenlaskun määritelmä = z 2 + z 1

11 Kertolaskun ominaisuudet Kertolaskulla on seuraavat ominaisuudet: (1) z 1 z 2 = z 2 z 1 (2) z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 )z 3 (3) on olemassa kompleksiluku ψ, jolle pätee zψ = z kaikilla kompleksiluvuilla z. Kyseessä on kompleksiluku yksi 1 = (1, 0). (4) jokaisella z 0 on olemassa luku z 1 (, jolle pätee z 1 ) z = 1. Kyseessä on käänteisluku z 1 = 1 z = x x 2 +y, y 2 x 2 +y 2 (5) z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3

12 Liittoluku Kompleksiluvun z = (x, y) = x + iy liittoluku eli kompleksikonjugaatti on z = (x, y) = x iy. Liittoluvulla on seuraavat ominaisuudet: o z = z o z 1 + z 2 = z 1 + z 2 o z ( 1 z 2 ) = z 1 z 2 z o 1 z 2 = z1 z 2 Kompleksiluvun z reaali- ja imaginaariosa voidaan esittää liittoluvun avulla seuraavasti Re z = 1 2 (z + z) ja Im z = 1 (z z) 2i

13 Esimerkki laskutoimituksista ESIMERKKI. Liittoluku Lasketaan kompleksiluvun (5 + i)(2 + i) imaginaariosa. Im((5 + i)(2 + i)) = Im((5 + i) (2 + i)) = Im((5 i)(2 i)) = Im(10 7i + i 2 ) = Im(9 7i) = 7

14 Kompleksitaso

15 Kompleksitaso Koska kompleksiluku on järjestetty reaalilukupari voidaan kompleksiluvun ajatella vastaavan pistettä tasossa Kompleksiluku z = (x, y) voidaan havainnollistaa vektorina xy-tasossa. Vektorin alkupiste sijaitsee origossa ja päätepiste kohdassa (x, y). Tätä xy-tasoa kutsutaan kompleksitasoksi tai z-tasoksi Matemaattisesti kompleksitaso määritetään joukoksi ja sille käytetään merkintää C R R = {(x, y) x, y R}

16 Tason akselit Kompleksiluvun reaaliosa x = Re z on pisteen (x, y) projektio x-akselille Kompleksiluvun imaginaariosa z = Im z on pisteen (x, y) projektio y-akselille Täten x-akselia kutsutaan reaaliakseliksi ja y-akselia imaginaariakseliksi Imaginaariakseli y (x1,y1) y1 x1 x Reaaliakseli

17 Kompleksilukujen yhteenlasku Kompleksilukujen summa vastaa kompleksitasossa vektoriyhteenlaskua y z 1 z 1 +z 2 z 2 x

18 Kompleksilukujen erotus Kompleksilukujen erotus vastaa kompleksitasossa vektorivähennyslaskua y z 1 z 2 z 1 z 2 x z 2

19 Moduuli Kompleksiluvun z = (x, y) moduuli eli itseisarvo on z = x 2 + y 2 = zz Moduuli on pisteen (x, y) etäisyys origosta Moduuli on ei-negatiivinen reaaliluku, joka saa arvon nolla vain kun z = 0 z 1 z 2 on pisteiden z 1 ja z 2 etäisyys Moduulilla on seuraavat ominaisuudet z 1 z 2 = z 1 z 2 ja z 1 = z 1 z 2 z 2 (z 2 0)

20 Esimerkki moduulista ESIMERKKI. Moduuli Lasketaan kompleksilukujen z 1 = 1 + 2i ja z 2 = 3 + 2i moduulit sekä tulon z 1 z 2 moduuli. z 1 = = 5 ja z 2 = = 13 Moduulin ominaisuuden perusteella z 1 z 2 = z 1 z 2 = 5 13 = 65 tai z 1 z 2 = 1 + 8i = ( 1) = 65

21 Esimerkki moduulista ESIMERKKI. Etäisyys Yhtälö z 3 = 2 kuvaa ympyrää jonka keskipiste on kohdassa z = 3 ja jonka säde on 2. Tarkastellaan sijaitsevatko pisteet 1 + i ja 2 i ympyrän sisäpuolella. Pisteet sijaitsevat sisäpuolella jos pisteelle z 0 pätee ehto z 0 3 < 2. Laskemalla saadaan pisteelle 1 + i 1 + i 3 = 2 + i = ja pisteelle 2 i 2 i 3 = 1 i = ( 2) = 5 > 2 Ei ( 1) 2 + ( 1) 2 = 2 < 2 Kyllä

22 Napakoordinaatisto Tason piste (x, y) voidaan esittää napakoordinaattien (r, φ) avulla muodossa x = r cos φ ja y = r sin φ missä r on pisteen etäisyys origosta ja φ kiertokulma x-akselista (positiivinen kiertosuunta vastapäivään) Täten kompleksiluku voidaan esittää polaarimuodossa z = x + iy = r(cos φ + i sin φ), missä r = z ja napakulmaa φ sanotaan kompleksiluvun argumentiksi, josta käytetään merkintää arg z φ = arg z = arctan y x, z 0

23 Napakoordinaatisto y z = (x,y) z φ x

24 Argumentti Kompleksiluvun z argumentti arg z on 2π:n monikerran tarkkuudella määritelty reaaliluku. Argumentille sovitaan päähaara, jota merkitään Arg. Päähaaraksi sovimme π < Arg z π Täten arg z = Arg z + 2πk, k Z

25 Argumentin määrittäminen Sinin ja kosinin jakso on 2π kun taas tangentin jakso on π Määritettäessä kompleksiluvun päähaaraa täytyy ottaa huomioon missä koordinaattineljänneksellä luku sijaitsee Yleisesti arg z = { arctan y/x Re x > 0 ±π + arctan y/x Re x < 0.

26 Esimerkki polaarimuodosta ESIMERKKI. Kompleksilukujen polaarimuoto Olkoot z 1 = 1 + i ja z 2 = 1 i. Määritetään lukujen moduulit ja päähaarat. Täten ja z 1 = = 2, z 2 = φ 1 = arctan 1 1 = 1 4 π, ( 1) 2 + ( 1) 2 = 2 φ 2 = π + arctan 1 1 = 3 4 π z 1 = 2(cos π/4 + i sin π/4) z 2 = 2(cos( 3π/4) + i sin( 3π/4)) = 2(cos 3π/4 i sin 3π/4)

27 Kolmioepäyhtälö Kolmioepäyhtälö kompleksiluvuille z 1 + z 2 z 1 + z 2 Kolmion sivun pituus on aina korkeintaan kahden muun sivun pituuksien summa Yleistettynä z 1 + z z n = z 1 + z z n y z1 +z2 z2 z1 +z2 z2 z1 z1 x

28 Kompleksilukujen tulo Esittämällä kompleksiluvut z 1 ja z 2 napakoordinaateissa: z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ), z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) tulolle z 1 z 2 saadaan z 1 z 2 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 )r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) Täten tulolle pätee = r 1 r 2 (cos φ 1 cos φ 2 sin φ 1 sin φ 2 +i(cos φ 1 sin φ 2 + sin φ 1 cos φ 2 )) = r 1 r 2 (cos(φ 1 + φ 2 ) + i sin(φ 1 + φ 2 )) 1 z 1 z 2 = z 1 z 2 ja arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 1 sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x, cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y

29 Tulo napakoordinaatistossa z 1 z 2 y z 2 φ 1 +φ 2 z 1 z 2 z 1 φ 2 φ 1 x

30 Kompleksilukujen osamäärä Käyttämällä napakoordinaattiesitystä osamäärälle saadaan z 1 z 2 = z 1z 2 z 2 z 2 = r 1(cos φ 1 + i sin φ 1 )r 2 (cos( φ 2 ) + i sin( φ 2 )) r2 2 = r 1 (cos(φ 1 φ 2 ) + i sin(φ 1 φ 2 )) r 2 Osamäärälle pätee täten z 1 z = z 1 ja 2 z 2 arg ( ) z1 z 2 = arg z 1 arg z 2

31 Osamäärä napakoordinaatistossa y z 2 z 1 φ 1 φ 2 z 1 z 2 φ 1 φ 2 x

32 De Moivre n kaava Tulon ja osamäärän ominaisuuksien avulla voimme johtaa de Moivren kaavan (cos φ + i sin φ) n = cos nφ + i sin nφ, n Z Voimme hyödyntää kaavaa kompleksiluvun juurten laskemisessa

33 Kompleksilukujen juuret Etsitään annetun kompleksiluvun z n:s juuri Käyttämällä polaarimuotoa w = n z z = r(cos φ + i sin φ), w = R(cos ψ + i sin ψ) ja de Moivren kaavaa, saamme kirjoitettua yhtälön w n = z muotoon R n (cos nψ + i sin nψ) = r(cos φ + i sin φ) Täten ja R n = r R = n r nψ = φ + 2kπ ψ = φ n + 2kπ n, k Z

34 Kompleksilukujen juuret Täten saadaan n z = n r ( cos φ + 2kπ n + i sin φ + 2kπ ) n Erisuuret juuret saadaan kun k = 0, 1,..., n 1. Saadaan siis n kappaletta juuria. Juuret sijaitsevat n r-säteisen ympyrän kehällä tasaisesti jakautuneina ja muodostavat säännöllisen n-monikulmion. Erityisesti jos z = 1 niin r = 1, φ = 0 ja juuret sijaitsevat yksikköympyrän kehällä ja monikulmion kärjet pisteissä ( ) 2kπ cos + i sin n ( 2kπ n ), k = 0, 1,..., n 1

35 Esimerkki juurista ESIMERKKI. Kompleksilukujen juuret Ratkaistaan yhtälö z 8 = 1 eli muodostetaan juuret 8 1. Aiemman perusteella ( ) 2kπ z k = cos + i sin 8 ( 2kπ 8 ), k = 0, 1,..., 7 Sijoittamalla arvot yhtälöön ratkaisuksi saadaan ±1, ±i, ±( 2 + i 2)/2 ja ±( 2 i 2)/2. i 1 1 i

36 Kompleksifunktiot ja kuvaukset

37 Kompleksifunktio Kompleksimuuttujan (yksiarvoinen) funktio f : D C C on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon D pisteeseen z yksikäsitteisen kompleksiluvun w. Kirjoitamme w = f (z) Joukkoa D kutsutaan funktion f määrittelyjoukoksi Joukkoa R = {w = f (z) : z D} kutsutaan funktion f arvojoukoksi

38 Kompleksifunktio Merkitsemällä z = x + iy ja w = u + iv saamme esityksen f (x + iy) = u + iv Koska u ja v riippuvat muuttujista x ja y voimme kirjoittaa f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) Jos u(x, y) ja v(x, y) ovat annettu niin voimme käyttää kaavoja Re z = x = 1 2 (z + z) ja Im z = y = 1 (z z) 2i ilmaistaksemme funktion f muuttujien z ja z avulla

39 Esimerkki kompleksifunktiosta ESIMERKKI. Kompleksifunktio Esitetään funktio f (z) = z 2 muodossa f (z) = u(x, y) + iv(x, y). f (z) = (x + iy) 2 = x 2 + 2ixy + i 2 y 2 = (x y 2 ) + i2xy Nyt siis u(x, y) = x y 2 ja v(x, y) = 2xy

40 Esimerkki kompleksifunktiosta ESIMERKKI. Kompleksifunktio Esitetään funktio f (z) = 4x 2 + i4y 2 muuttujien z ja z avulla. ( ) 1 2 ( ) 1 2 f (z) = 4 2 (z + z) + i4 2i (z z) = z 2 + 2zz + z 2 i(z 2 2zz + z 2 ) = (1 i)z 2 + (2 + 2i)zz + (1 i)z 2

41 Kompleksifunktion geometrinen tulkinta Kompleksifunktio w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) kuvaa joukon D transformaatiota z-tasosta (tai xy-tasosta) w-tasoon (tai uv-tasoon) y v w = f(z) D R x u

42 Translaatio (siirto) Olkoon B = a + ib annettu kompleksiluku. Kuvausta w = T(z) = z + B = x + a + i(y + b) kutsutaan translaatioksi. Se siirtää pisteen z vektorin a + ib verran pisteeseen w = T(z). y v B w = z +B x u

43 Skaalaus (mittakaavan muutos) Olkoon K > 0 annettu reaaliluku. Kuvausta w = S(z) = Kz = Kx + iky kutsutaan skaalaukseksi. Jos K < 1 kuvaus kutistaa pisteiden välistä etäisyyttä. Jos K > 1 kuvaus venyttää pisteiden välistä etäisyyttä. y v w = Kz x u

44 Rotaatio (kierto) Olkoon φ 0 annettu reaaliluku ja z 0 = cos φ 0 + i sin φ 0. Kuvausta w = R(z) = z 0 z kutsutaan rotaatioksi. Rotaatiossa pistettä z kierretään kulman φ 0 verran (origoon nähden). y v φ 0 w = R(z) x u

45 Lineaarinen kuvaus Olkoon A ja B annettuja kompleksilukuja. Kuvausta w = W (z) = Az + B kutsutaan lineaariseksi kuvaukseksi. Sen voidaan ajatella koostuvan rotaatiosta, skaalauksesta ja translaatiosta: missä K = A ja φ 0 = Arg A w = K(cos φ 0 + i sin φ 0 )z + B,

46 Esimerkki lineaarikuvauksesta ESIMERKKI. Lineaarinen kuvaus Osoitetaan että lineaarinen kuvaus w = f (z) = iz + i muuntaa tason Re z > 1 tasoksi Im w > 2. Merkitään z = x + iy, jolloin u + iv = w = i(x + iy) + i = y + i(x + 1) joten u = y ja v = x + 1. Täten Re z = x = v 1 > 1 v > 2 Kyseessä siis taso Im w = v > 2. Kuvaus voidaan kirjoittaa muotoon ( w = cos π 2 + i sin π ) z + i 2 Kuvauksessa siis tasoa Re z > 2 kierretään kulman π/2 verran vastapäivään ja siirretään yhden yksikön verran ylöspäin.

47 Esimerkki lineaarikuvauksesta ESIMERKKI. Jatkoa y v w = iz +i x u

48 Esimerkki lineaarikuvauksesta ESIMERKKI. Lineaarinen kuvaus Etsitään lineaarikuvaus, joka kuvaa pisteet z 1 = 2 ja z 2 = 3i pisteiksi w 1 = 1 + i ja w 2 = 1. Sijoittamalla pisteet yhtälöön w = Az + B saadaan yhtälöryhmä 1 + i = 2A + B 1 = 3iA + B Ratkaisuksi saadaan A = (3 + 2i)/13 ja B = ( 2 + 3i)/13, joten w = 1 1 (3 + 2i)z + ( 2 + 3i) 13 13

49 Esimerkki lineaarikuvauksesta ESIMERKKI. Lineaarinen kuvaus Muodostetaan lineaarinen kuvaus, jossa tasoa kierretään ja skaalataan pisteen z 1 = 1 + i suhteen. Valitaan rotaation arvoksi π/2 ja skaalauksen arvoksi 3. Tehdään ensiksi translaation avulla piste z 1 tason w a origoksi w a = z z 1 Suoritetaan seuraavaksi rotaatio ja skaalaus w b = 3(cos π/2 + i sin π/2)w a = 3iw a Siirrytään sitten translaation avulla w-tasoon w = w b + z 1 = 3i(z z 1 ) + z 1 = 3iz 2i + 4

50 Epälineaariset kuvaukset. Kuvaus w = z 2 Käyttämällä polaariesitystä w = R(cos θ + i sin θ), z = r(cos φ + i sin φ) kuvaukselle w = z 2 saadaan w = R(cos θ + i sin θ) = r 2 (cos 2φ + i sin 2φ) josta seuraa, että R = r 2 ja θ = 2φ. w = z 2 kuvauksessa siis ympyrät r = r 0 kuvautuvat ympyröiksi R = r 2 0 ja puolisuorat φ = φ 0 kuvautuvat puolisuoriksi θ = 2φ 0 y v w = z 2 x u

51 Epälineaariset kuvaukset. Kuvaus w = z 2 Merkitsemällä z = x + iy saadaan w = z 2 = x 2 y 2 + i2xy eli u = x 2 y 2 ja v = 2xy Kun x = a niin u = a 2 y 2 ja v = 2ay, josta saadaan u = a 2 v 2 4a 2 Suora x = a kuvautuu siis paraabeliksi. Samoin suora y = b kuvautuu paraabeliksi u = b 2 + v 2 4b 2

52 Epälineaariset kuvaukset. Kuvaus w = z 2 y v y = b x = a w = z 2 x u

53 Epälineaariset kuvaukset. Kuvaus w = 1/z Merkitsemällä z = x + iy saadaan kuvaukselle w = 1/z w = 1 x + iy = x iy x 2 + y 2 u = x x 2 + y 2, v = Kun x = a ratkaisemalla saadaan ( u 2 + v 2 = u/a u 1 ) 2 + v 2 = 2a y x 2 + y 2 ( ) 1 2 2a Suora kuvautuu siis ympyräksi, jonka keskipiste on kohdassa u = 1/(2a) ja v = 0 ja jonka säde on 1/(2a). Samoin voidaan osoittaa, että suora y = b muuntuu kuvauksessa ympyräksi, jonka keskipiste on kohdassa u = 0 ja v = 1/(2b) ja jonka säde on 1/(2b).

54 Epälineaariset kuvaukset. Kuvaus w = 1 z y v x = a w = 1 z y = b x u

55 Konformikuvaus Konformikuvaus on kulmien suuruuden ja suunnan säilyttävä kuvaus α w = f(z) α

56 Esimerkki konformikuvauksesta ESIMERKKI. Konformikuvaus f (z) = z 2 on konformikuvaus muualla paitsi pisteessä z = 0 y v w = z 2 x u

57 Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta

58 Kompleksifunktion raja-arvo Olkoon f (z) kompleksifunktio, joka on määritelty jossain pisteen z 0 ympäristössä 2, mutta ei välttämättä pisteessä z 0. Funktiolla f on raja-arvo w 0 kun z lähestyy pistettä z 0 edellyttäen, että f (z) lähestyy arvoa w 0 kun z lähestyy pistettä z 0. Merkitsemme lim z z 0 f (z) = w 0 Määritelmä Funktiolla f on raja-arvo w 0 pisteessä z 0, jos jokaisella luvulla ǫ > 0 on olemassa δ > 0 siten, että f (z) w 0 < ǫ kun z z 0 < δ 2 Joukko D C on pisteen z 0 ympäristö, jos z 0 D ja D on avoin

59 Esimerkki raja-arvosta ESIMERKKI. Raja-arvo Osoitetaan, että funktion f (z) = z 2 raja-arvo on -1 kun z i. Kun ǫ 3 valitaan δ = 1 eli z i < 1. Nyt kaikille pisteille z jotka toteuttavat ehdot z i < 1 pätee z 2 ( 1) = (z i)(z + i) = (z i)(z i + 2i) = z i ( z i + 2i ) z i ( z i + 2) < z i + 2 < 3 < ǫ Kun ǫ < 3 valitaan δ = ǫ/3 eli z i < ǫ 3. Nyt z 2 ( 1) z i ( z i + 2) < ǫ 3 ( ǫ ( ) ǫ ) = ǫ < ǫ 9

60 Kompleksifunktion raja-arvo Lause Jos raja-arvo on olemassa, niin se on yksikäsitteinen. Raja-arvo voidaan palauttaa reaalifunktioiden raja-arvoon. Olkoon f (z) = u(x, y) + iv(x, y) kompleksifunktio, joka on määritelty jossain pisteen z 0 = x 0 + iy 0 ympäristössä. Silloin lim z z 0 f (z) = w 0 = u 0 + iv 0 jos ja vain jos lim u(x, y) = u 0 ja lim v(x, y) = v 0 (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 )

61 Kompleksifunktion raja-arvo Lause Raja-arvosäännöt summalle, tulolle ja osamäärälle ovat samat kuin reaalifunktiolle. Olkoon lim z z0 f (z) = A ja lim z z0 g(z) = B. Tällöin lim [f (z) ± g(z)] = A ± B z z 0 lim f (z)g(z) = AB z z 0 f (z) lim z z 0 g(z) = A B, B 0

62 Esimerkki raja-arvosta ESIMERKKI. Raja-arvo Lasketaan Koska Saadaan z i z = lim z i z i z 2 + i lim z i z i z z i (z i)(z + i) = 1 z + i 1 = lim z i z + i = 1 2i = 1 2 i

63 Esimerkki raja-arvosta ESIMERKKI. Raja-arvo Etsitään funktion f (z) = z 2 2z + 1 raja-arvo kun z 1 + i. Nyt f (z) = z 2 2z + 1 = x 2 y 2 2xy i(2xy 2y) Täten u = x 2 y 2 2xy + 1 ja v = 2xy 2y. Laskemalla raja-arvot u 0 = lim u(x, y) = = 1 (x,y) (1,1) ja saadaan v 0 = lim v(x, y) = 2 2 = 0 (x,y) (1,1) lim f (z) = u 0 + iv 0 = 1 z 1+i

64 Kompleksifunktion jatkuvuus Määritelmä Funktio f on jatkuva pisteessä z 0, jos se on määritelty jossain pisteen z 0 ympäristössä, erityisesti pisteessä z 0, ja f (z 0 ) = lim z z0 f (z) Funktio on siis jatkuva pisteessä z 0 jos raja-arvo lim z z0 f (z) on olemassa, funktio on määritelty pisteessä z 0 ja jos raja-arvo yhtyy funktion arvoon pisteessä z 0

65 Kompleksifunktion jatkuvuus Lause Olkoon funktiot f ja g jatkuvia pisteessä z 0. Tällöin seuraavat funktiot ovat jatkuvia pisteessä z 0 : f (z) ± g(z) f (z)g(z) f (z) g(z), g(z 0) 0

66 Esimerkki jatkuvuudesta ESIMERKKI. Funktion jatkuvuus Tutkitaan funktion f (x) = { 0 kun z = 0 Im z z kun z 0 jatkuvutta kohdassa z = 0. Lähestytään pistettä suoraa x = ky (y>0) pitkin. Tällöin Im z lim z 0 z = lim z 0 y x 2 + y 2 = lim y 0+ y = lim y 0+ y k = 1 k y k 2 y 2 + y 2 Koska raja-arvo riippuu valitusta vakiosta k, niin funktiolla ei ole raja-arvoa origossa. Täten funktio ei ole jatkuva kohdassa z = 0.

67 Esimerkki jatkuvuudesta ESIMERKKI. Funktion jatkuvuus Tutkitaan funktion jatkuvutta kohdassa z = 0. Nyt lim z 0 Im z 1 + z = lim (x,y) (0,0) f (x) = Im z 1 + z Täten funktio on jatkuva pisteessä z = 0. y 1 + x 2 + y 2 = 0 = f (0)

68 Kompleksinen derivointi Määritelmä Olkoon f kompleksifunktio, joka on määritelty pisteen z 0 jossain ympäristössä. Funktio on derivoituva pisteessä z 0, jos raja-arvo f (z) f (z 0 ) lim z z 0 z z 0 on olemassa. Funktion f derivaattaa pisteessä z 0 merkitään f (z 0 ) = df dz (z 0) Merkitsemällä h = z z 0 derivaatan määritelmä voidaan esittää muodossa f (z 0 ) = lim h 0 f (z 0 + h) f (z 0 ) h

69 Esimerkki derivoinnista ESIMERKKI. Vakiofunktion derivaatta Vakiofunktion f (z) = C derivaatta on f (z) = 0, koska f (z 0 ) = f (z) f (z 0 ) C C lim = lim z z0 z z 0 z z0 z z 0 = 0 lim = 0 z z0 z z 0

70 Esimerkki derivoinnista ESIMERKKI. Funktion derivaatta Osoitetaan, että funktion f (z) = z 2 derivaatta on f (z) = 2z. f (z 0 ) = f (z) f (z 0 ) z 2 z0 2 lim = lim z z0 z z 0 z z0 z z 0 = (z z 0 )(z + z 0 ) lim = lim (z + z 0 ) z z0 z z 0 z z0 = 2z 0 Yleisemmin voidaan osoittaa, että d dz zn = nz n 1 missä n on positiivinen kokonaisluku

71 Esimerkki derivoinnista ESIMERKKI. Funktion derivaatta Osoitetaan, että funktion f (z) = z ei ole derivoituva. Nyt f (z) f (z 0 ) = (x x 0) i(y y 0 ) z z 0 (x x 0 ) + i(y y 0 ) Jos lähestymme pistettä z 0 = x 0 + iy 0 suoraa y = y 0 pitkin, niin f (z) f (z 0 ) x x 0 lim = lim = 1 z z 0 z z 0 z z0 x x 0 Toisaalta jos lähestymme pistettä z 0 suoraa x = x 0 pitkin, niin f (z) f (z 0 ) lim = lim y y 0 = 1 z z 0 z z 0 z z0 y y 0 Koska raja-arvo ei ole yksikäsitteinen ja piste z 0 valittiin mielivaltaisesti, niin f (z) ei ole missään derivoituva.

72 Derivoimiskaavat Lause Olkoon funktiot f ja g derivoituvia pisteessä z 0. Tällöin funktioiden summa, erotus, tulo ja osamäärä (mikäli z 0 ei ole nimittäjän nollakohta) ovat derivoituvia pisteessä z 0. Lisäksi yhdistetty funktio f g on derivoituva pisteessä z 0, jos funktio f on derivoituva pisteessä g(z 0 ). Derivaatoille pätee (f + g) (z) = f (z) + g (z) (fg) (z) = f (z)g(z) + f (z)g (z) ( ) f (z) = f (z)g(z) f (z)g (z) g g(z) 2 (f g) (z) = f (g(z))g (z)

73 Derivaatta ja jatkuvuus Lause Jos funktio on derivoituva pisteessä z 0, niin se on myös jatkuva pisteessä z 0 Todistus. f (z) f (z 0 ) lim [f (z) f (z 0 )] = lim (z z 0 ) z z 0 z z0 z z 0 f (z) f (z 0 ) = lim lim (z z 0 ) z z0 z z 0 z z0 = f (z 0 ) 0 = 0 Täten lim z z0 f (z) = f (z 0 ) ja siten f on jatkuva pisteessä z 0

74 Analyyttinen funktio Määritelmä Olkoon D C avoin joukko. Funktion f : D C sanotaan olevan analyyttinen joukossa D, jos f on derivoituva kaikissa pisteissä z D. Funktio f on analyyttinen pisteessä z, jos se on analyyttinen jossakin tämän pisteen ympäristössä

75 Analyyttinen funktio Derivaatan olemassaolo pisteessä z 0 ei takaa, että funktio on analyyttinen pisteessä z 0. Tähän vaaditaan, että funktio on myös derivoituva jossain pisteen z 0 kokonaisessa ympäristössä Koska jokainen z 0 :n ympäristö sisältää aina jonkin z 0 :n avoimen kiekon B ǫ (z 0 ) = {z C : z z 0 < ǫ}, niin f : D C on analyyttinen pisteessä z 0, jos on olemassa kiekko B ǫ (z 0 ) D siten että f on derivoituva kaikissa pisteissä z B ǫ (z 0 ) Polynomit P(z) = c n z n + c n 1 z n c 1 z + c 0, c i C, ovat analyyttisiä koko kompleksitasossa Rationaalifunktiot (kahden polynomin osamäärä) ovat analyyttisiä lukuun ottamatta pisteitä joissa nimittäjällä on nollakohtia Jos f (z) on analyyttinen, niin f on konforminen kuvaus lukuun ottamatta pisteitä joissa f (z) = 0

76 Cauchy-Riemannin yhtälöt Lause Olkoon funktio f (z) = u(x, y) + iv(x, y) derivoituva pisteessä z 0 = x 0 + iy 0. Tällöin funktioilla u(x, y) ja v(x, y) on osittaisderivaatat pisteessä z 0 ja ne toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt: u(x 0, y 0 ) x = v(x 0, y 0 ) y ja u(x 0, y 0 ) y = v(x 0, y 0 ) x

77 Cauchy-Riemannin yhtälöt Todistus Derivaatan määritelmän perusteella f (z 0 ) = lim z z0 f (z) f (z 0 ) z z 0 Lähestymällä pistettä z 0 suoraa z = x + iy 0 pitkin, saamme f u(x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) + i(v(x, y 0 ) v(x 0, y 0 )) (z 0 ) = lim x x 0 x x 0 u(x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) v(x, y 0 ) v(x 0, y 0 ) = lim + i lim x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 Täten f (z 0 ) = u(x 0, y 0 ) x + i v(x 0, y 0 ) x

78 Cauchy-Riemannin yhtälöt (Jatkoa). Toisaalta lähestymällä pistettä z 0 suoraa z = x 0 + iy pitkin, saamme f u(x 0, y) u(x 0, y 0 ) + i(v(x 0, y) v(x 0, y 0 )) (z 0 ) = lim y y 0 i(y y 0 ) v(x 0, y) v(x 0, y 0 ) u(x 0, y) u(x 0, y 0 ) = lim i lim y y 0 y y 0 y y 0 y y 0 Täten f (z 0 ) = v(x 0, y 0 ) y i u(x 0, y 0 ) y Koska funktio f on derivoituva pisteessä z 0, niin u(x 0, y 0 ) x = v(x 0, y 0 ) y ja u(x 0, y 0 ) y = v(x 0, y 0 ) x

79 Derivaatta ja Cauchy-Riemannin yhtälöt Jos funktio on derivoituva pisteessä z 0, niin silloin derivaatta voidaan laskea kaavojen ja avulla f (z 0 ) = u(x 0, y 0 ) x f (z 0 ) = v(x 0, y 0 ) y + i v(x 0, y 0 ) x i u(x 0, y 0 ) y Cauchy-Riemannin yhtälöt ovat välttämätön, mutta ei riittävä ehto funktion derivoituvuudelle. Derivoituva funktio toteuttaa aina Cauchy-Riemannin yhtälöt, mutta Cauchy-Riemannin yhtälöt toteuttava funktio ei ole aina derivoituva. Riittävä ehto saadaan, kun osittaisderivaatat ovat jatkuvia.

80 Cauchy-Riemannin yhtälöt Lause Olkoon f (z) = u(x, y) + iv(x, y) jatkuva funktio, joka on määritelty jossain pisteen z 0 = x 0 + iy 0 ympäristössä. Jos funktioiden u ja v osittaisderivaatat ovat jatkuvia pisteessä z 0 ja toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt, niin funktio f on derivoituva pisteessä z 0

81 Esimerkki Cauchy-Riemannin yhtälöistä ESIMERKKI. Funktion analyyttisyys Tutkitaan funktiota f (z) = z 3. Nyt f (z) = z 3 = (x 3 3xy 2 ) + i(3x 2 y y 3 ) joten u = x 3 3xy 2 ja v = 3x 2 y y 3. Osittaisderivaatoiksi saadaan u x = 3x 2 3y 2 u y = 6xy ja v x = 6xy v y = 3x 2 3y 2 Koska osittaisderivaatat ovat jatkuvia ja toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt kaikilla z C, niin funktio f (z) = z 3 on derivoituva kaikilla z C ja siten analyyttinen koko kompleksitasossa

82 Esimerkki Cauchy-Riemannin yhtälöistä ESIMERKKI. Funktion analyyttisyys Tutkitaan funktiota f (z) = x 2 + y 2 + i2xy. Nyt u = x 2 + y 2 ja v = 2xy. Osittaisderivaatoiksi saadaan u x = 2x, u y = 2y, v x = 2y, v y = 2x joten yhtälö u x = v y toteutuu kaikilla x, y R ja yhtälö u y = v x totetuu jos y = 0. Täten f (z) on derivoituva vain x-akselilla. Kuitenkaan f (z) ei ole derivoituva missään pisteen z 0 = x 0 + i0 kokonaisessa ympäristössä z z 0 < ǫ ja siten funktio ei ole missään analyyttinen

83 Eräitä kompleksifunktioita

84 Eksponenttifunktio Määritelmä Olkoon z = x + iy C. Määrittelemme eksponenttifunktion kompleksitasossa kaavalla e z = e x (cos y + i sin y) Täten kun y = Im z = 0, saadaan tavallinen eksponenttifunktio e x Kun taas x = Re z = 0, saadaan Eulerin kaava e iy = cos y + i sin y

85 Eksponenttifunktio ja polaariesitys Koska kompleksiluku voidaan esittää polaarimuodossa z = r(cos φ + i sin φ), niin voimme esittää kompleksiluvun eksponenttifunktion avulla muodossa Nyt saamme erityisesti z = re iφ e ±iπ = 1, e 2iπ = 1, e ±iπ/2 = ±i

86 Eksponenttifunktion ominaisuuksia Lause Kompleksinen eksponenttifunktio on analyyttinen koko kompleksitasossa ja (i) (ii) d dz ez = e z e z 1+z 2 = e z 1 e z 2

87 Eksponenttifunktion ominaisuuksia Todistus Eksponenttifunktion määritelmä perusteella u(x, y) = e x cos y ja v(x, y) = e x sin y. Osittaisderivaatioille pätee u x = ex cos y = v y, u y = ex sin y = v x Osittaisderivaatat ovat jatkuvia ja toteuttavat Cauchy-Riemannin yhtälöt kaikilla x, y R ja siten eksponenttifunktio on analyyttinen koko kompleksitasossa. Lisäksi d dz ez = u x + i v x = ez

88 Eksponenttifunktion ominaisuuksia (Jatkoa). Osoitetaan seuraavaksi, että e z 1 e z 2 = e z 1+z 2 : e z 1 e z 2 = e x 1 (cos y 1 + i sin y 1 )e x 2 (cos y 2 + i sin y 2 ) = e x 1 e x 2 ([cos y 1 cos y 2 sin y 1 sin y 2 ] +i[sin y 1 cos y 2 + sin y 2 cos y 1 ] = e x 1+x 2 (cos(y 1 + y 2 ) + i sin(y 1 + y 2 )) = e z 1+z 2

89 Eksponenttikuvaus Kuvauksen w = e z moduulille pätee w = e z = e x 0, joten e z 0. Kuvauksen argumentti arg w = y + 2kπ. Täten, eksponenttikuvauksessa kompleksitaso muuntuu joukoksi {w C : w 0}, ts. funktio f (z) = e z kuvaa joukon C joukoksi C \ {0} Kuvauksessa suorat x = x 0 kuvautuvat ympyröiksi joiden säde on e x 0 ja suorat y = y 0 kuvautuvat puolisuoriksi joiden kulma on y 0 y v w = e z x u

90 Eksponenttifunktion jaksollisuus Eksponenttifunktion määritelmästä ja sinin ja kosinin jaksollisuudesta seuraa, että e z+2πi = e z Kompleksinen eksponenttifunktio on siis jaksollinen ja jakson pituus on 2πi Jaksollisuudesta seuraa, että mitkä tahansa kaksi pistettä, jotka sijaitsevat samalla pystysuoraan kulkevalla suoralla ja joiden välinen etäisyys vastaa 2π:n monikertaa kuvautuvat samalle pisteelle Täten, eksponenttifunktio saavuttaa kaikki arvonsa jo jaksovyössä S = {z C : π < Im z π} ja siten joukko S kuvautuu joukoksi C \ {0}

91 Eksponenttikuvaus f (z) = e z on bijektiivinen kuvaus joukolta S joukkoon C \ {0} y w = e z v iπ x u iπ

92 Esimerkki eksponenttifunktiosta ESIMERKKI. Yhtälön ratkaiseminen Etsitään kaikki kompleksilukut z, jotka toteuttavat yhtälön e z = 3. Nyt 3 = 3(cos π + i sin π) ja toisaalta joten missä k Z. Täten, e z = e x (cos y + i sin y) e x = 3, ja y = π + 2kπ z = ln 3 + i(π + 2kπ)

93 Logaritmi Määrittelemme logaritmin eksponenttifunktion käänteisfunktiona ln z = w z = e w Merkitsemällä z = re iφ ja w = u + iv, saamme re iφ = e w = e u+iv = e u e iv joten r = e u ja φ = v, josta saamme u = ln r = ln z, v = φ = arg z Saamme siis logaritmille määritelmän ln z = ln z + iarg z Koska kompleksiluvun z argumentti on 2π:n monikerran tarkkuudella määritelty, niin kompleksinen logaritmi on moniarvoinen. Yksiarvoisuuteen päästään valitsemalla sopiva haara.

94 Logaritmin päähaara Määritelmä Olkoon z C \ {0}. Määrittelemme logaritmifunktion päähaaran olevan Ln z = ln z + iarg z Kuvauksen w = f (z) = Ln z määrittelyjoukko koostuu nollasta eriävistä kompleksiluvuista ja kuvauksen arvojoukko on suikale π < Im w π. Logaritmin päähaara on eksponenttifunktion käänteiskuvaus, kun rajoitutaan mainittuun suikaleeseen. Logaritmin muut haarat ovat w = ln k z = ln z + iarg z + 2kπi, k Z ja haaran arvojoukko on suikale π + 2kπ < Im w π + 2kπ

95 Logaritmin päähaara y w = Log z v iπ x u z = e w iπ

96 Logaritmin ominaisuuksia Jokainen logaritmin haara on epäjatkuva negatiivisella reaaliakselilla (johtuen funktion Arg z epäjatkuvuudesta) Jokaisen logaritmin haaran derivaatta on 1/z ja haara on analyyttinen alueessa C \ {z C : Re z 0, Im z = 0}. Moniarvoisella logaritmilla on tutut ominaisuudet ln(z 1 z 2 ) = ln z 1 + ln z 2 ja ln(z 1 /z 2 ) = ln z 1 ln z 2 Kaavat eivät päde yleisesti logaritmin haaroille

97 Esimerkki logaritmista ESIMERKKI. Logaritmin laskeminen Lasketaan Ln (i 2 2). Nyt i 2 2 = 2, Arg (i 2 2) = 3 4 π joten Ln (i 2 2) = ln 2 + i 3 4 π

98 Esimerkki logaritmista ESIMERKKI. Tulon logaritmin Osoitetaan, että ln(z 1 z 2 ) = ln z 1 + ln z 2. Nyt ln(z 1 z 2 ) = ln z 1 z 2 + iarg(z 1 z 2 ) = ln z 1 z 2 + i(arg(z 1 ) + arg(z 2 )) = ln z 1 + iarg(z 1 ) + ln z 2 + iarg(z 2 ) = ln z 1 + ln z 2

99 Yleinen potenssi Määritelmä Olkoot z (z 0) ja c kompleksilukuja. Määritellään tällöin z c = e c ln z Yleisessä tapauksessa saadaan moniarvoinen funktio. Potenssifunktion päähaara saadaan käyttämällä logaritmin päähaaraa z c = e c Ln z

100 Esimerkki potenssista ESIMERKKI. Kompleksiluvun potenssin laskeminen Lasketaan i i. Määritelmän perusteella i i = e i ln i Nyt Täten ( ) π ln i = ln 1 + i 2 + 2kπ = i i i = e π/2+2kπ = e π/2 e 2kπ ( π 2 + 2kπ ), k Z

101 Trigonometriset funktiot Reaaliset trigonometriset funktiot sin x ja cos x voidaan määritellä Eulerin kaavan avulla. Koska e ix = cos x + i sin x, e ix = cos x i sin x saamme cos x = 1 2 (eix + e ix ), sin x = 1 2i (eix e ix ) Määrittelemme kompleksisen sinin ja kosinin samojen kaavojen avulla Määritelmä Olkoon z C. Määrittelemme cos z = 1 2 (eiz + e iz ), sin z = 1 2i (eiz e iz )

102 Trigonometriset funktioiden ominaisuuksia Sinin ja kosinin määritelmän perusteella Eulerin kaava pätee myös kompleksiluvuille e iz = cos z + i sin z, z C Derivaatat (sin z) = cos z, (cos z) = sin z Kompleksisille trigonometrisille funktioille pätee tutut ominaisuudet sin(z 1 ± z 2 ) = sin z 1 cos z 2 ± sin z 2 cos z 1 cos(z 1 ± z 2 ) = cos z 1 cos z 2 sin z 1 sin z 2 ja sin 2 z + cos 2 z = 1

103 Trigonometriset funktioiden ominaisuuksia Määritelmien perusteella on helppo osoittaa, että kompleksiset sini ja kosini ovat myös 2π-jaksollisia Funktiot ovat analyyttisiä koko kompleksitasossa Ne eivät ole rajoitettuja kuvauksia. Esim cos iy = 1 2 (eyi2 + e yi2 ) = 1 2 (e y + e y ) Täten cos iy kun y Kompleksiset sini ja kosini voidaan ilmaista trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden avulla cos z = cos x cosh y i sin x sinh y sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y

104 Tangentti ja kotangentti Tangentti ja kotangentti määritellään sinin ja kosinin avulla tan z = sin z cos z, cos z cot z = sin z Tangenttifunktio on analyyttinen lukuun ottamatta nimittäjän nollakohtia: ( cos z = 0 z = k + 1 ) π 2 missä k Z Kotangenttifunktio on analyyttinen lukuun ottamatta nimittäjän nollakohtia: missä k Z sin z = 0 z = kπ

105 Esimerkki trigonometrisistä funktioista ESIMERKKI. Kompleksisen kosinin laskeminen Lasketaan cos(1 + i). Määritelmän perusteella cos(1 + i) = 1 2 (ei(1+i) + e i(1+i) ) = 1 2 (e 1+i + e 1 i ) = 1 2 ([e 1 + e 1 ] cos 1 + i[e 1 e 1 ] sin 1) = cosh 1 cos 1 i sinh 1 sin 1

106 Hyperboliset funktiot Hyperbolisten funktioiden määritelmät yleistyvät sellaisenaan kompleksimuuttujalle Määritelmä Olkoon z C. Määrittelemme cosh z = 1 2 (ez + e z ), sinh z = 1 2 (ez e z )

107 Hyperboliset funktiot Kompleksisilla hyperbolisilla ja trigonometrisilla funktioilla on yhteys cosh iz = cos z, sinh iz = i sin z tai cos iz = cosh z, sin iz = i sinh z Derivaatat (cosh z) = sinh z, (sinh z) = cosh z Funktiot sinh z ja cosh z ovat analyyttisiä koko kompleksitasossa

108 Esimerkki hyperbolisista funktioista ESIMERKKI. Yhtälön ratkaiseminen Ratkaistaan yhtälö cosh z = 1 2. Määritelmän perusteella (e z + e z )/2 = 1/2 Kerrotaan tekijällä 2e z, jolloin saadaan (e z ) 2 e z + 1 = 0 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan mukaan e z = 1 ± 3 2 Ratkaisemalla saadaan z = i = 1 ± i 3 2 = cos(±π/3) + i sin(±π/3) (± π 3 + 2kπ ), k Z

109 Kompleksinen integrointi

110 Polku ja käyrä Polku on jatkuva kuvaus z : I = [a, b] R C Käyrä on polun kuvajoukko z(i) Polku on siten jatkuvasti parametrisoitu käyrä Parametrisoinnin seuraksena käyrällä on suunta Eri polkujen määräämät käyrät voivat olla samat Käyrää sanotaan suljetuksi, jos z(a) = z(b) z(b) z z(a) a b

111 Esimerkki polusta ESIMERKKI. Ympyrän parametrisointi Tarkastellaan yksikköympyrää z = 1. Ympyrä voidaan parametrisoida muodoissa z(t) = e i2πt = cos(2πt) + i sin(2πt), t [0, 1] z(t) = e i2πt2 = cos(2πt 2 ) + i sin(2πt 2 ), t [0, 1] z(t) = e it = cos(t) + i sin(t), t [0, 2π] y x

112 Sileä käyrä Olkoon z(t) käyrän C parametrisointi: C : z(t) = x(t) + iy(t), t [a, b] missä x on polun reaaliosa ja y imaginaariosa. Käyrä C on sileä, jos derivaatta z (t) = x (t) + iy (t) on jatkuva ja nollasta poikkeava kaikkialla Epäsileä Sileä

113 Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Olkoon f (t) = u(t) + iv(t) funktio suljetulla välillä [a, b]. Jos u ja v ovat jatkuvia muuttujan t funktioita niin u ja v ovat integroituvia. Tällöin on luonnollista määritellä funktion integraali seuraavasti Määritelmä Olkoon f (t) = u(t) + iv(t) jatkuva funktio välillä [a, b]. Tällöin b a f (t)dt = b a u(t)dt + i b a v(t)dt

114 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Lasketaan funktion f (t) = (3t i) 2 integraali välillä [0, 1]. 1 0 (3t i) 2 dt = 1 0 / 1 (9t 2 1)dt + i = 0 (3t3 t) + i = 2 3i / ( 3t2 ) ( 6t)dt

115 Käyräintegraali Määritelmä Olkoon C sileä käyrä kompleksitasossa ja olkoon z(t) käyrän parametriesitys, missä a t b. Jos funktio f on jatkuva käyrällä C, niin funktion integraali pitkin käyrää on C f (z)dz = b a f (z(t))z (t)dt Jos käyrä on paloittain sileä niin integraali määritellään summana integraaleista yli sileävien osien.

116 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Käyräintegraali Lasketaan C dz z 2 missä C on ylempi puoliympyrä, jonka säde on 1 ja keskipiste kohdassa x = 2. Interoidaan vastapäivään. y i x

117 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Jatkoa Käytetään käyrälle ensin parametriesitystä z(t) = 2 + e it, t [0, π]. Nyt z (t) = ie it. Integraaliksi saadaan C 1 π z 2 dz = 1 π 0 (2 + e it ) 2 ieit dt = idt = iπ 0 Käytetään käyrälle sitten parametriesitystä z(t) = 2 + e iπt2, t [0, 1]. Nyt z (t) = i2πte iπt2. Integraaliksi saadaan C 1 1 z 2 dz = 1 1 (2 + e iπt2 ) 2 i2πteiπt2 dt = iπ 2tdt = iπ 0 0 Valittu parametrisoini ei vaikuttanut lopputulokseen.

118 Käyräintegraalin ominaisuuksia Lineaarisuus [af (z) + bg(z)]dz = a C C f (z)dz + b g(z)dz, C Suunnan vaihtaminen. f (z)dz = f (z)dz C C a, b C missä C on käyrä, jonka suunta on vastakkainen käyrän C suunnalle. Jos kaksi käyrää C 1 ja C 2 yhdistetään siten, että käyrän C 1 loppupiste yhtyy käyrän C 2 alkupisteeseen ja jos yhdistetyn käyrän C = C 1 + C 2 integraali on olemassa, niin f (z)dz = C f (z)dz + C 1 f (z)dz C 2

119 Esimerkki integraalista ESIMERKKI 1a Lasketaan C Re z dz missä C on jana pisteestä 0 pisteeseen 1 + 2i. Pisteiden kautta kulkeva suora on y = 2x. Valitaan x = t [0, 1], jolloin Saadaan Re z dz = C z(t) = t + i2t ja z (t) = 1 + 2i 1 0 t(1 + 2i)dt = 1 0 tdt + i 1 0 2tdt = i

120 Esimerkki integraalista ESIMERKKI 1b Lasketaan C Re z dz missä C kulkee ensin vaakasuoraan pisteestä 0 pisteeseen 1 ja sitten pystysuoraan pisteestä 1 pisteeseen 1 + 2i. Vaakasuoraan kulkevalle janalle saadaan parametrisointi: ja pystysuoraan kulkevalle z(t) = t ja z (t) = 1, 0 t 1 z(t) = 1 + i2t ja z (t) = 2i, 0 t 1

121 Esimerkki integraalista ESIMERKKI 1b. jatkoa Saadaan C Re z dz = 1 0 = i Esimerkit osoittavat, että integraalin Re z dz C 1 tdt + 2idt 0 arvo riippuu siis käyrästä C eikä vain käyrän alku- ja loppupisteistä

122 Esimerkki integraalista ESIMERKKI 2a Lasketaan C zdz missä C on jana pisteestä 1 i pisteeseen 3 + i. Pisteiden kautta kulkeva suora on y = (x 1)/2 tai x = 2y + 1. Valitaan y = t, joten x = 2t + 1. Täten saadaan janalle parametrisointi: z(t) = 2t it ja z (t) = 2 + i missä 1 t 1. Nyt saadaan C zdz = = (2t it)(2 + i)dt (3t + 2)dt + i 1 1 (4t + 1)dt = 4 + 2i

123 Esimerkki integraalista ESIMERKKI 2b Lasketaan C zdz missä C on parabolinen käyrä x = y 2 + 2y pisteestä 1 i pisteeseen 3 + i. Valitaan y = t, joten x = t 2 + 2t. Saadaan parametrisointi: z(t) = t 2 + 2t + it ja z (t) = 2t i missä 1 t 1. Nyt saadaan C zdz = 1 1 (t 2 + 2t + it)(2t i)dt = 4 + 2i Tulos on siis sama kuin edellisessä esimerkissä

124 Integraalifunktio Lause Olkoon D alue a ja f : D C jatkuva funktio. Jos funktiolla f on integraalifunktio F, ts. funktio F(z), jolle pätee F (z) = f (z) kaikilla z D (täten F on analyyttinen D:ssä), niin tällöin kaikille alueen D paloittain säännöllisille käyrille C f (z)dz = F(z 1 ) F(z 0 ) C missä z 0 on käyrän alkupiste ja z 1 päätepiste a avoin ja yhtenäinen joukko Seuraus Jos jatkuvalla funktiolla f on integraalifunktio, niin käyräintegraalin arvo riippuu vain alku- ja loppupisteistä. Erityisesti, jos C on suljettu käyrä, niin C f (z)dz = 0

125 Integraalifunktio Todistus. Todistetaan lause kun C on sileä käyrä. Olkoon z(t) käyrän parametriesitys, missä a t b. C f (z)dz = b a b f (z(t))z (t)dt = b a F (z(t))z (t)dt F(z(t)) = dt = F(z(b)) F(z(a)) a dt = F(z 1 ) F(z 0 )

126 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Integraalifunktio Lasketaan C zdz missä C on käyrä pisteestä 1 i pisteeseen 3 + i. Funktio f (z) = z jatkuva koko kompleksitasossa ja funktiolla on integraalifunktio on F(z) = 1 2 z2. Täten C zdz = 1 2 (3 + i)2 1 2 ( 1 i)2 = (4 + 3i) i = 4 + 2i

127 Integraalifunktio ja käyräintegraali Jos siis jatkuvalla funktiolla on integraalifunktio, niin käyräintegraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä ja lisäksi käyräintegraali häviää yli suljettujen käyrien. Voimme osoittaa enemmänkin Lause Olkoon f : D C jatkuva funktio alueessa D ja C säännöllinen käyrä alueessa D. Tällöin seuraavat väittämät ovat ekvivalenttejä: (a) Funktiolla f on integraalifunktio D:ssä (b) f (z)dz = 0 kaikille suljetuille käyrille C (c) Käyräintegraalin f (z)dz arvo riippuu vain käyrän päätepisteistä C

128 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Integraalifunktio Lasketaan C 1 z dz pitkin origokeskistä yksikköympyrää. Integroidaan vastapäivään. Parametrisointi: z(t) = e it, missä t [0, 2π]. Saamme C 1 2π z dz = 1 0 e it ieit dt = 2πi Funktio f (z) = 1/z on jatkuva funktio alueessa D = C \ {0}. Käyrä C on suljettu käyrä alueessa D. Koska C 1 z dz 0 niin funktiolla ei ole integraalifunktiota alueessa D

129 ML-epäyhtälö Lause Olkoon funktio f (z) jatkuva käyrällä C. Oletetaan lisäksi, että f (z) M kaikilla z C. Tällöin missä L on käyrän C pituus f (z)dz ML C

130 ML-epäyhtälö Todistus. Olkoon z(t), t [a, b], käyrän C parametrisointi. Tällöin a b f (z)dz = f (z(t))z (t)dt C a b f (z(t)) z (t) dt a b b M z (t) dt = M z (t) dt = ML a a a Oletetaan tunnetuksia, että f (t)dt f (t) dt, missä f on reaalimuuttujan kompleksiarvoinen funktio

131 Esimerkki ML-epäyhtälöstä ESIMERKKI. Integraalin yläraja Etsitään yläraja integraalin C z 2 dz itseisarvolle, missä C on jana pisteestä 0 pisteeseen 1 + i. Janan pituus L = = 2 ja Täten f (z) = z 2 2 C z 2 dz 2 2

132 Yksinkertainen käyrä Käyrää sanotaan yksinkertaiseksi, jos se ei leikkaa tai kosketa itseään muualla kuin päätepisteissä Suljettu käyrä on positiivisesti suunnistettu, kun parametrisointi on valittu siten, että kuljettaessa käyrää pitkin positiiviseen suuntaan niin käyrän rajaama alue jää vasemmalle Yksinkertainen Ei yksinkertainen

133 Yhdesti yhtenäinen alue Aluetta D sanotaan yhdesti yhtenäiseksi, jos jokainen yksinkertainen käyrä alueessa sulkee sisäänsä vain alueen D pisteitä Yhdesti yhtenäinen Kahdesti yhtenäinen Kolmesti yhtenäinen

134 Cauchyn integraalilause Lause Jos funktio f (z) on analyytinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D, niin jokaiselle alueen D yksinkertaiselle suljetulle käyrälle C pätee f (z)dz = 0 Seuraus C Jos funktio f (z) on analyytinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D, niin funktiolla on alueessa D integraalifunktio, joka on analyyttinen

135 Cauchyn integraalilause Todistus Oletetaan lisäksi, että f (z) on jatkuva (mikä on totta, mutta sitä ei ole todistettu). Todistuksessa käytetään Greenin lausetta: Olkoon C yksinkertainen positiivisesti suunnistettu paloittain sileä suljettu käyrä ja R käyrän rajaama alue. Jos funktiot P(x, y) ja Q(x, y) ovat jatkuvia ja funktioiden osittaisderivaatat ovat jatkuvia avoimessa joukossa, johon alue R kuuluu, niin C (P(x, y)dx + Q(x, y)dy) = R ( Q x P ) dxdy y

136 Cauchyn integraalilause (Jatkoa) Nyt C f (z)dz = = C C (u + iv)(dx + idy) (udx vdy) + i (udy + vdx) Koska f (z) on analyyttinen alueessa D, niin funktio on derivoituva D:ssä. Lisäksi f (z) on jatkuva. Täten funktioilla u ja v on jatkuvat osittaisderivaatat alueessa D. Greenin lauseen perusteella C C (udx vdy) = (udy + vdx) = R R C ( v x u y ( u x v y ) dxdy ) dxdy

137 Cauchyn integraalilause (Jatkoa). Koska funktio on analyyttinen alueessa D, se toteuttaa Cauchy-Riemannin yhtälöt. Täten C f (z)dz = = 0 R ( v x u ) ( u dxdy + i y R x v ) dxdy y

138 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Analyyttinen funktiot kompleksitasossa Funktiot e z ja z n (missä n on positiivinen kokonaisluku) ovat analyyttisiä koko kompleksitasossa, siten e z dz = 0, z n dz = 0 C kaikille yksinkertaisille suljetuille käyrille C. C

139 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Singulariteetti alueen ulkopuolella Lasketaan C 1 z dz missä C on yksikköympyrä z = 1. Funktio on analyyttinen paitsi pisteissä z = ±2i. Nämä pisteet sijaitsevat kuitenkin ympyrän ulkopuolella. Täten Cauchyn integraalilauseen perusteella C 1 z dz = 0

140 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Analyyttinen funktio z 2 ja cos z ovat analyyttisiä funktioita kompleksitasossa. Täten 1+i z 2 dz = 1 1+i 0 3 z3 0 iπ iπ cos zdz = sin z iπ = 1 3 (1 + i)3 = i iπ = 2 sin πi = 2i sinh π

141 Cauchyn integraalilause kahdesti yhtenäiselle alueelle Lause Olkoon C ja C 1 yksinkertaisia positiivisesti suunnistettuja suljettuja käyriä ja olkoon käyrä C 1 käyrän C sisäpuolella. Jos f (z) on analyyttinen alueessa D, joka pitää sisällään käyrät C ja C 1 ja alueen niiden välissä, niin tällöin f (z)dz = f (z)dz C C 1 D C C 1

142 Cauchyn integraalilause kahdesti yhtenäiselle alueelle Todistus Muodostetaan kaksi suljettua käyrää yhdesti yhtenäisellä alueella: K 1 = A 1 + Γ + B 1 + Ω ja K 2 = A 2 Ω + B 2 Γ Cauchyn lauseen perusteella f (z)dz = 0 K 1 ja f (z)dz = 0 K 2 A 1 Γ B 1 Ω B 2 A 2

143 Cauchyn integraalilause kahdesti yhtenäiselle alueelle (Jatkoa). Toisaalta Täten K 1 + K 2 = (A 1 + Γ + B 1 + Ω) + (A 2 Ω + B 2 Γ) C = A 1 + A 2 + B 1 + B 2 = C C 1 f (z)dz f (z)dz = C 1 f (z)dz + K 1 f (z)dz = 0 K 2

144 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Kahdesti yhtenäinen alue Osoitetaan, että C dz z z 0 = 2πi missä C on yksinkertainen positiivisesti suunnistettu suljettu käyrä, joka pitää sisällään pisteen z 0. Olkoon nyt C R R-säteinen ympyrä, joka on käyrän C sisäpuolella ja jonka keskipiste on kohdassa z 0. Parametrisointi: z(t) = z 0 + Re it, z (t) = ire, 0 t 2π (z z 0 ) 1 on analyyttinen kaikkialla muualla paitsi pisteessä z 0. Täten C dz = z z 0 C R dz 2π ire it 2π = z z 0 0 Re it dt = i dt = 2πi 0

145 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Osoitetaan, että kun C on positiivisesti suunnistettu ympyrä z i = 1, niin 2z z 2 dz = 2πi + 2 Integraali voidaan kirjoittaa muodossa C C 2z z C dz = 1 z + i 2 dz }{{} =0 (Cauchyn lause) = 2πi + 1 C z i 2 dz }{{} =2πi (Edellinen esim.)

146 Cauchyn integraalikaava Lause Olkoon f (z) analyyttinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D. Tällöin alueen D yksinkertaiselle positiivisesti suunnistetulle suljetulle käyrälle C, joka sulkee sisälleen pisteen z 0 D pätee f (z 0 ) = 1 2πi C f (z) z z 0 dz z0 C D

147 Cauchyn integraalikaava Todistus Koska f (z) on analyyttinen niin se on jatkuva pisteessä z 0, joten ǫ > 0 δ > 0 s.e. f (z) f (z 0 ) < ǫ kun z z 0 < δ Määritetään ympyrä C r : z z 0 = δ/2, joka sijaitsee käyrän C sisäpuolella. Ympyrän kehän pituus on πδ. Nyt f (z 0 ) = f (z 0) 2πi 2πi = f (z 0) 2πi C r 1 z z 0 dz = 1 2πi f (z 0 ) dz C r z z 0 Toisaalta 1 2πi C f (z) dz = 1 z z 0 2πi C r f (z) z z 0 dz

148 Cauchyn integraalikaava (Jatkoa). Nyt saamme ML-epäyhtälön avulla 1 f (z) dz f (z 0 ) 2πi C z z = 1 f (z) dz 1 f (z 0 ) dz 0 2πi C r z z 0 2πi C r z z 0 = 1 f (z) f (z 0 ) 2π dz C r z z 0 1 2π ǫ δ/2 πδ = ǫ Tämä todistaa integraalikaavan, koska ǫ voidaan valita mielivaltaisen pieneksi

149 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Cauchyn integraalikaava Lasketaan C sin z 4z + π dz missä C on positiivisesti suunnistettu ympyrä z = 2. Koska sin z on analyyttinen koko kompleksitasossa ja piste π/4 sijaitsee ympyrän sisäpuolella, niin C sin z 4z + π dz = 1 sin z 4 C z ( π/4) dz = 1 2πi sin( π/4) 4 2πi = 4

150 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Cauchyn integraalikaava Lasketaan C tan z z 2 1 dz missä C on positiivisesti suunnistettu ympyrä z = 3/2. tan z = sin z/ cos z on analyyttinen lukuun ottamatta nimittäjän nollakohtia: z = (k )π, k Z Pisteet sijaitsevat ympyrän ulkopuolella. Täten C tan z z 2 1 dz = 1 2 C tan z z 1 dz 1 2 C tan z z + 1 dz = 2πi (tan 1 tan( 1)) = 2πi tan 1 2

151 Cauchyn integraalikaava derivaatoille Lause Olkoon f (z) analyyttinen funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D. Tällöin alueen D yksinkertaiselle positiivisesti suunnistetulle suljetulle käyrälle C, joka sulkee sisälleen pisteen z 0 D pätee Seuraus f (n) (z 0 ) = n! 2πi C f (z) dz (z z 0 ) n+1 Jos f (z) on analyyttinen funktio alueessa D, niin funktion kaikkien kertalukujen derivaatat ovat analyyttisiä alueessa D

152 Esimerkki integraalista ESIMERKKI. Cauchyn integraalikaava derivaatoille Lasketaan C e z2 (z i) 4 dz missä C on positiivisesti suunnistettu ympyrä z = 2. f (z) = e z2 on analyyttinen ja piste z 0 = i on ympyrän sisäpuolella, joten voimme käyttää Cauchyn integraalikaavaa derivaatoille. Nyt f (3) (z) = (12z + 8z 3 )e z2, joten saamme C e z2 (z i) 4 dz = f (3) (z 0 ) 2πi 3! = 4π 3e

153 Morera n lause Lause Olkoon f (z) jatkuva funktio yhdesti yhtenäisessä alueessa D. Jos C f (z)dz = 0 kaikilla alueen D suljetuilla käyrillä C, niin f on analyyttinen alueessa D. Todistus. Koska C f (z)dz = 0 kaikilla alueen D suljetuilla käyrillä C, on jatkuvalla funktiolla f integraalifunktio F aluessa D. Koska integraalifunktio on analyyttinen, funktio F (z) = f (z) on myös analyyttinen alueessa D

154 Sarjakehitelmät

155 Kompleksinen lukujono Kompleksinen (päättymätön) lukujono on funktio, jonka määrittelyjoukko koostuu (positiivisista) kokonaisluvuista ja arvojoukko kompleksiluvuista Lukujonon termeille käytetään merkintää z n = z(n) Lukujonolle käytetään yleensä merkintää {z 1, z 2,...} tai lyhyemmin {z n } 1 tai {z n} ESIMERKKI. Lukujono z(n) = (2 n) + (5 + n)i, n = 1, 2,... z(1) = 1 + 6i, z(2) = 7i,...

156 Kompleksiset sarjat Olkoon {z n } jono kompleksilukuja. Lukujonon termien yhteenlaskua kutsutaan sarjaksi ja sille käytetään merkintää Summaa s n = z n = z 1 + z n=1 n z k = z 1 + z z n k=1 kutsutaan sarjan osasummaksi

157 Sarjan suppeneminen Jos osasummien jonolla {s n } on äärellinen raja-arvo s = lim n s n, niin tällöin merkitään s = z n n=1 ja sarjaa sanotaan suppenevaksi. Muussa tapauksessa sarjaa sanotaan hajaantuvaksi Sarjaa sanotaan itsenäisesti suppenevaksi, jos moduulien z n muodostama sarja z n n=1 suppenee. Itsenäisesti suppeneva sarja on suppeneva.

158 Sarjan suppeneminen. Välttämätön ehto Lause Jos sarja n=1 z n suppenee niin tällöin lim n z n = 0. Toisin sanoen sarja hajaantuu jos ehto ei päde Todistus. z n = (z 1 + z z n ) (z 1 + z z n 1 ) = s n s n 1 Joten lim z n = lim (s n s n 1 ) = lim s n lim s n 1 = s s = 0 n n n n

159 Geometrinen sarja Sarjaa, jonka peräkkäisten termien suhde on sama luku q, kutsutaan geometriseksi sarjaksi. Geometrinen sarja q n, n=0 q C suppenee kun q < 1 ja sarjan summa on tällöin 1 1 q, ts. 1 1 q = q n, q < 1 n=0 Jos q 1, niin sarja hajaantuu

160 Esimerkki sarjasta ESIMERKKI. Geometrinen sarja Todistetaan geometrisen sarjan suppeneminen ja hajaantuminen. Muodostetaan osasumma s n = 1 + q + q q n 1 Kerrotaan yhtälö molemmilta puolilta termillä q. Saadaan qs n = q + q 2 + q q n Vähentämällä yhtälöt toisistaan saadaan (1 q)s n = 1 q n s n = 1 1 q qn 1 q

161 Esimerkki sarjasta ESIMERKKI. jatkoa Täten kun q < 1 Toisaalta kun q 1 lim s n = 1 n 1 q lim n qn 0 ja siten lim n q n 0 ja siksi sarja hajaantuu.

162 Suhdetesti ja juuritesti Suhdetesti. Jos kompleksiselle sarjan z 1 + z termeille on olemassa raja-arvo lim z n+1 n z = L n niin sarja suppenee itsenäisesti jos L < 1 ja hajaantuu jos L > 1 Juuritesti. Jos kompleksiselle sarjan z 1 + z termeille on olemassa raja-arvo lim z n 1/n = L n niin sarja suppenee itsenäisesti jos L < 1 ja hajaantuu jos L > 1

163 Esimerkki sarjasta ESIMERKKI. Suppeneva sarja Osoitetaan, että sarja n=1 [(1 i) n /n!] suppenee. Suhdetesti: (1 i) n+1 /(n + 1)! lim n (1 i) n /n! = lim n Koska L = 0 < 1 niin sarja suppenee. 1 i (n + 1) = lim n 2 n + 1 = 0

164 Potenssisarjat Kompleksiset potenssisarjat ovat muotoa a n (z z 0 ) n n=0 missä a n C on sarjan kerroin ja z 0 C on sarjan kehityskeskus Ne ovat funktiosarjoja, koska sarjan termit ovat muuttujan z funktioita Kuitenkin jos ajattelemme muuttujan z kiinnitetyksi, niin aiemmin johdettuja tuloksia voidaan soveltaa myös funktiosarjoille. Funktiosarjat yleensä suppenevat joillain muuttujan z arvoilla ja hajaantuvat toisilla.

165 Esimerkki potenssisarjasta ESIMERKKI. Potenssisarjan suppeneminen Tutkitaan sarjan n=0 z n n! = 1 + z z suppenemista. Nyt kun z on kiinnitetty, niin z n+1 /(n + 1)! z n /n! = n! z z = (n + 1)! n kun n Suhdetestin perusteella sarja siis suppenee itsenäisesti kaikilla z C

166 Esimerkki potenssisarjasta ESIMERKKI. Potenssisarjan suppeneminen Tutkitaan sarjan n!z n = 1 + z + 2z n=0 suppenemista. Nyt z n+1 (n + 1)! z n = (n + 1) z n! kun n ja z 0. Suhdetestin perusteella sarja siis hajaantuu kun z 0

167 Potenssisarjat Lause Potenssisarjalle a 0 + a 1 (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) on voimassa jokin seuraavista mahdollisuuksista: (a) Sarja suppenee vain arvolla z = z 0 (b) On olemassa positiivinen luku R siten, että sarja suppenee kiekossa z z 0 < R, mutta hajaantuu kun z z 0 > R (c) Sarja suppenee koko kompleksitasossa Lukua R sanotaan suppenemissäteeksi. Jos sarja suppenee vain arvolla z = z 0 niin R = 0 ja jos taas sarja suppenee koko kompleksitasossa niin R =. y Hajaantuu R z0 Suppenee x