Taivutuksesta ja väännöstä, osa I: Teoria

Rakenteiden Mekaniikka (Journal of Structural Mechanics) Vol. 50 Nro 4 2017 s. 376-404 http://rakenteidenmekaniikka.journal.fi/inde https:/doi.org/10.23998/rm.64856 Kirjoittaja(t) 2017. Vapaasti saatavilla CC BY-S 4.0 lisensioitu. aivutuksesta ja väännöstä osa I: eoria Jukka alto iivistelmä. rtikkelissa johdetaan kuormituksen alaiselle suoralle sauvalle hdistett taivutus- ja vääntöteoria. Jännitksille tehdään tpilliset sauvateorian mukaiset otaksumat. Siirtmille kätetään otaksumaa jossa tavanomaisia poikkileikkauksen jäkän kappaleen liikkeen mukaisia siirtmiä tarkennetaan aksiaalisen siirtmän osalta neljää käristmisfunktiota kättäen. Käristmisfunktioiden määrittämiseksi poikkileikkauksen alueella johdetaan ksinkertaiset reuna-arvotehtävät jotka voidaan ratkaista numeerisesti esimerkiksi elementtimenetelmällä. Yhdistetn taivutuksen ja väännön htälöt johdetaan virtuaalisen tön periaatetta kättäen. Kehitettä teoriaa voidaan pitää avointen ohutseinämäisten sauvojen taivutus- ja vääntöteorian leistksenä. Se soveltuu kaiken tppisille mös useasta materiaalista koostuville poikkileikkauksille ja ottaa huomioon leikkausmuodonmuutoksen vaikutuksen taipumaan. vainsanat: sauvateoria taivutus vääntö leikkausmuodonmuutos käristmisfunktio reunaarvotehtävä heikko muoto elementtimenetelmä Vastaanotettu 29.5.2017. Hväkstt 24.6.2017. Julkaistu verkossa 14.12.2017. 1 Johdanto ässä artikkelissa esitetään perusteellisesti taivutus- ja vääntöteoria jota kirjoittaja on aiemmin käsitellt konferenssiartikkeleissa [1] ja [2]. ilan puutteen vuoksi artikkeliin ei sisäll sovelluksia eikä esimerkkejä. Kirjoittajan on tarkoitus käsitellä näitä aiheita möhemmin tässä lehdessä. 1.1 Otaksumia ja htälöitä arkastellaan suoraa tasapaksua poikkileikkaukseltaan muuttumatonta sauvaa jonka poikkileikkauksen pisteeseen on asetettu koordinaatisto siten että akseli on palkin pituussuuntainen ja taso on poikkileikkaustason suuntainen. arkastelussa sovelletaan tavanomaisia sauvateorian jännitksiä koskevia otaksumia σ = σ = τ = 0. (1) Jatkossa tarvittavat muodonmuutosten ja siirtmien htedet ovat 376

u u u u u ε = γ = + γ = + (2) ja jännitsotaksumia (1) vastaava Hooken laki saa muodon σ = Eε τ = Gγ τ = Gγ. (3) Lisäksi tarvitaan sauvan leisen pisteen differentiaalipalan tasapainohtälöitä (ilman massavoimia) jotka ovat jännitsotaksumien (1) vallitessa muotoa σ τ τ τ τ + + = 0 = 0 = 0 (4) ja niitä vastaavia reunaehtohtälöitä palkin (kuormittamattomalla) slinterimäisellä pitkittäisreunalla ( n = 0) joista ensimmäinen on nτ + nτ = 0 (5) ja kaksi muuta toteutuvat jännitsotaksumien (1) vallitessa automaattisesti. 1.2 Siirtmäotaksumat Otaksutaan aluksi että poikkileikkauksen siirtmä on jäkän kappaleen pienen liikkeen mukainen jolloin tasot psvät tasoina. Siirtopisteeksi poikkileikkauksen jäkän kappaleen liikkeessä otetaan tiett piste jota kutsutaan vääntökeskiöksi ja jonka sijainti valitaan jatkossa fsikaalisesti mielekkäällä tavalla. Siirtmäkomponenttien kinemaattiset lausekkeet ovat tällöin (liite ) R u ( ) = u( ) θ ( )( ) θ ( )( ) u ( ) = v( ) θ ( )( ) R R u ( ) = w( ) + θ( )( ). Suuret u v ja w ovat vääntökeskiön siirtmäkomponentit ja θ θ ja θ poikkileikkauksen (käsitettnä äärettömän ohueksi jäkäksi levksi) pienet rotaatiot. Yläindeksi R viittaa tässä jäkän kappaleen (engl. rigid bod) liikkeeseen. Lausekkeissa (6) osoittautuu tarkoituksenmukaiseksi kättää vääntökeskiön aksiaalisen siirtmän u sijasta poikkileikkauksen origon O aksiaalista siirtmää u O. Näiden välillä on htes Kun vielä merkitään uo u = u. O θ θ (7) = u v = v ja w = w siirtmäkomponenteille saadaan esits R u ( ) = u ( ) θ ( ) θ ( ) u ( ) = v ( ) θ ( )( ) R R u ( ) = w ( ) + θ( )( ). unnetusti tasot psvät tasoina mukainen otaksuma ei johda tdttävään tulokseen eritisesti väännön suhteen. Parannetaan siirtmäapproksimaatiota (8) sallimalla poikkileikkauksen käristä. Siirtmäapproksimaation tarkennettu muoto on nt R u( ) = u ( ) + u( ) u = u R ( ) ( ) u = u R ( ) ( ). oisin sanoen jäkän kappaleen liikkeen mukaista approksimaatiota korjataan pelkistetsti vain komponentin u osalta. ässä artikkelissa lisäsiirtmälle kätetään esitstä (6) (8) (9) 377

u( ) = θ ( ) φ( ) + θ ( ) ψ ( ) θ ( ) ψ ( ) θ ( ) ψ ( ) (10) missä funktioita φ ( ) ψ ( ) ψ ( ) ja ψ ( ) kutsutaan käristmisfunktioiksi ja läpilkku merkitsee derivointia :n suhteen. Esitstä (10) ei tässä htedessä tarkemmin perustella mutta se osoittautuu tarkoituksenmukaisiksi. Kuitenkin voidaan todeta että lausekkeen (10) ensimmäinen termi θ ( ) φ( ) on muotoa joka on kätössä Saint-Venantin vääntöteoriassa ([3] s. 293). Muut termit ovat sikäli saman tppisiä että niissä rotaatiokomponenttien aksiaalisia derivaattoja kertoo poikkileikkauksen koordinaattien ja funktio. 1.3 Paikalliset otaksumat Suoritettaessa tiettn poikkileikkaukseen liittviä paikallisia tarkasteluja otaksutaan että palkin jännitsresultanttien tasapainohtälöissä (kaavat (44)) voidaan jakautunut kuormitus (kuormitukset q ( ) q ( ) q ( ) momenttikuormitukset m ( ) m ( ) m ( )) ja niin kutsuttu käristmismomenttikuormitus b ( ) jotka on määritelt kaavoilla (40)) jättää huomiotta. Näin esimerkiksi tasapainohtälöiden (44b) ja (44c) sijasta paikallisessa tarkastelussa voidaan kättää htälöitä Q = M ja Q = M. Edelleen otaksutaan että paikallisesti tarkasteltavan poikkileikkauksen mpäristössä siirtmäapproksimaatioon liittvät pelkästään aksiaalisesta koordinaatista riippuvat suureet u ( ) v ( ) w ( ) θ ( ) θ ( ) ja θ ( ) voidaan korvata niiden sopivaa astelukua olevilla polnomiapproksimaatioilla. Näin paikallisesti aksiaalinen siirtmä u ( ) on lineaarinen poikittaiset siirtmät v ( ) ja w ( ) kuubisia vääntökulma θ ( ) kuubinen sekä rotaatiot θ ( ) ja θ ( ) kvadraattisia polnomeja. Valittuja astelukuja perustellaan luvussa 5. ämän vuoksi tiettn poikki-leikkaukseen liittvissä paikallisissa tarkasteluissa näiden funktioiden derivaatoille voidaan kirjoittaa (4) (4) (4) u ( ) = 0 v ( ) = 0 w ( ) = 0 θ ( ) = 0 θ ( ) = 0 θ ( ) = 0. (11) Näitä korkeammat derivaatat luonnollisesti häviävät. ehdt paikalliset otaksumat voivat tuntua melko mielivaltaisilta. Niiden tarkoituksena on kuitenkin vain snnttää tdttävät edelltkset alunperin tuntemattomien funktioiden φ ψ ψ ja ψ määrittämiseksi. Eihän nämä funktiot sisältävä suure u ole möskään muuta kuin puoli-intuitiivisesti valittu sopivalta tuntuva aksiaalinen siirtmätarkennus. 2 Käristmisfunktioiden määrittäminen 2.1 Siirtmät Seuraavassa johdetaan reuna-arvotehtävät poikkileikkauksen käristmisfunktioiden määrittämiseksi. arkastelu tapahtuu nt tietssä poikkileikkauksessa joten edellämainitut paikalliset otaksumat ovat voimassa. arkastelussa sovelletaan lisäsiirtmän lauseketta (10). Siirtmäkomponenttien lausekkeet (9) lopullisessa muodossaan ovat siis u( ) = u ( ) θ ( ) θ ( ) + θ ( ) φ( ) + θ ( ) ψ ( ) θ ( ) ψ ( ) θ ( ) ψ ( ) u ( ) = v ( ) θ ( )( ) u( ) = w ( ) + θ ( )( ). (12) 378

2.2 Muodonmuutokset ja jännitkset Muodonmuutoskomponenteille (2) saadaan kättäen lausekkeita (12) ja ottamalla huomioon kaavat (11) lausekkeet ε = u θ θ + θφ φ ψ ψ ψ γ = θ ( + ) + θ + γ θ θ φ ψ ψ ψ γ = θ ( + ) + θ + γ θ θ missä on otettu kättöön merkinnät γ = v θ γ = w θ. (14) Suureita γ ja γ kutsutaan keskimääräisiksi liukumiksi. Otetaan kättöön uudet muunnetut käristmisfunktiot Φ ( ) Ψ ( ) Ψ ( ) ja Ψ ( ) jotka pritään määrittämään siten että muodonmuutokset (13) saadaan muotoon ε = u θ θ + θφ γ = θ ( ) + θ θ θ γ = θ ( + ) + θ θ θ. Näissä lausekkeissa venmän ε lauseke on säiltett ennallaan mutta liukumien γ ja γ lausekkeet ovat jatkotarkastelua silmälläpitäen huomattavasti ksinkertaisemmat. Niistä puuttuvat vääntökeskiön koordinaatit ja sekä keskimääräiset liukumat γ ja γ. Vertaamalla liukumien lausekkeita (13) ja (15) liitteessä B on osoitettu että alkuperäisillä käristmisfunktioilla φ ψ ψ ψ ja muunnetuilla käristmisfunktiolla Φ Ψ Ψ Ψ on seuraavat htedet φ( ) =Φ ( ) + + ψ ( ) =Ψ ( ) + ψ ( ) =Ψ ( ) + c c 11 21 ψ ( ) =Ψ ( ) + Ψ c12 c22 missä Φ Ψ Ψ Ψ c 11 c 12 c 21 ja c 22 ovat vakioita. Vakiot Φ Ψ Ψ ja Ψ ilmaisevat alkuperäisten ja muunnettujen käristmisfunktioiden arvojen erotukset origon kohdalla (mikäli origo sijaitsee poikkileikkauksen alueella). Liitteessä C on osoitettu että keskimääräisillä liukumilla γ γ ja kiertmien toisilla derivaatoilla θ θ on lineaariset htedet γ c11 c12 θ = γ c21 c (17) θ 22 ja esitett kaava (C.3) jolla vakiot c 11 c 12 c 21 ja c 22 voidaan määrittää. Jännitskomponenteille saadaan Hooken lain (3) ja muodonmuutosten lausekkeiden (15) avulla siis lausekkeet Ψ Ψ Φ (13) (15) (16) 379

σ = Eu ( θ θ + θφ ) τ = G[ θ ( ) + θ θ θ ] τ = G[ θ ( + ) + θ θ θ ]. (18) 2.3 Reuna-arvotehtävät käristmisfunktioille Sijoittamalla lausekkeet (18) jännitskomponenttien aksiaaliseen tasapainohtälöön (4a) ja vastaavaan reunaehtohtälöön (5) saadaan htälöt θ [ G( )] + [ G( + )] + θ ( G ) ( G ) E + + φ (19) θ ( G ) + ( G ) + E θ ( G ) ( G ) E 0 + + = ja θ ng ( ) + ng ( + ) ng ng + θ + (20) θ ng + ng θ ng + ng = 0. Sauvaan kohdistuvat mahdolliset kuormitukset aiheuttavat erilaisia arvoja suureille θ θ θ ja θ. Jotta htälöt (19) ja (20) toteutuisivat kaikilla mahdollisilla kuormituksilla tulee niiden olla voimassa erikseen kaikilla arvoilla θ θ θ ja θ. ällä perusteella saadaan käristmisfunktioille seuraavat reuna-arvotehtävät [ G( )] + [ G( + )] = 0 : ssa (21a) ng ( ) + ng ( + ) = 0 s: llä ( G ) + ( G ) + Eφ = 0 : ssa (21b) ng + ng = 0 s: llä ( G ) + ( G ) + E = 0 : ssa (21c) ng + ng = 0 s: llä ( G ) + ( G ) + E = 0 : ssa (21d) ng + ng = 0 s: llä 380

missä on poikkipinnan alue ja s sen reuna. Koska reuna-arvoprobleemissa (21) esiint vain tuntemattoman funktion derivaattoja mutta ei itse funktiota niiden ratkaisufunktiot ovat vakiota vailla ksikäsitteisiä. Yksikäsitteisiksi käristmisfunktiot saadaan vaatimalla niiden häviävän valitussa poikkipinnan pisteessä P 0 jolle kätetään tässä nimitstä nollapiste. Ratkaistaessa reuna-arvoprobleemia (21) numeerisesti nollapisteeksi on luontevaa ottaa elementtiverkon solmu. Voidaan osoittaa että nollapisteen valinta ei vaikuta esitettävällä teorialla saataviin tuloksiin. Probleemilla (21a) ja (21b) on heikko ktkentä koska funktio φ riippuu funktiosta Φ. Jos tehtävä (21a) ratkaistaan ensin voidaan vakio Φ ja vääntökeskiön koordinaatit ja laskea kaavalla (53). Sen jälkeen saadaan funktio φ määritetksi kaavalla (16a). Kun se on tunnettu reuna-arvotehtävä (21b) voidaan ratkaista. 2.4 Reuna-arvoprobleemien heikot muodot Reuna-arvoprobleemien (21) numeerista ratkaisua formuloitaessa tarvitaan niiden heikkoja muotoja. Niistä on mös apua johdettaessa joitakin tämän artikkelin tuloksia. Liitteessä D on johdettu reuna-arvoprobleemien (21) heikot muodot. Ne ovat ˆ ˆ G[ ( ) + ( + )]d= 0 (22a) ˆ ˆ ( )d ˆ G + = EΨφd (22b) ˆ ˆ ( )d ˆ G + = EΨ d (22c) ˆ ˆ ( )d ˆ G + = EΨd. (22d) Näissä htälöissä Φ ˆ ( ) Ψ ˆ ( ) Ψ ˆ ( ) ja Ψ ˆ ( ) ovat mielivaltaisia testifunktioita. 2.5 Poikittaisen tasapainon toteutuminen Sijoittamalla lausekkeet (18b) ja (18c) jännitskomponenttien poikittaisten tasapainohtälöiden (4b) ja (4c) vasempiin puoliin ja ottamalla huomioon htedet (11) saadaan τ = Gθ ( ) (23) τ = Gθ ( + ). Havaitaan että nämä tasapainohtälöt eivät toteudu. Niiden voidaan kllä osoittaa toteutuvan koko poikkileikkauksessa keskimäärin. Integroimalla poikkipinnan li saadaan τ d = θ G( ) d = 0 (24) τ d = θ G( + ) d = 0. Viimeinen htäsuuruus saatiin soveltamalla heikkoa muotoa (22a) kun Φ= ˆ ja kun Φ= ˆ. odetaan että tarkasteltavassa formulaatiossa jännitskomponenttien aksiaalinen tasapaino- 381

htälö (4a) toteutuu poikkileikkauksen kaikissa pisteissä mutta poikittaiset tasapainohtälöt (4b) ja (4c) toteutuvat vain keskimäärin. 3 Jännitsresultantit ja niiden tasapainohtälöt 3.1 Reuna-arvotehtävät sauvan siirtmille ja kiertmille Jotta kaavoja (18) voitaisiin soveltaa tietn poikkileikkauksen jännitsjakautumien määrittämiseksi tät tuntea käristmisfunktioiden Φ ( ) Ψ ( ) Ψ ( ) ja Ψ ( ) lisäksi mös suureiden u θ θ θ θ θ θ ja θ arvot poikkileikkauksen kohdalla. ämä on mahdollista ainoastaan jos ketään formuloimaan palkin alueelle 1 < < 2 reuna-arvotehtävät joiden avulla palkin pituuskoordinaatista riippuvat funktiot: akselin siirtmä u ( ) vääntökeskiön siirtmät v ( ) ja w ( ) sekä poikkileikkauksen kiertmät θ ( ) θ ( ) ja θ ( ) voidaan määrittää. Sauvateorioille tpillisesti tulee määritellä sopiva määrä jännitsresultantteja ja niitä vastaavia leistettjä muodonmuutoksia jännitsresultanttien tasapainohtälöt sekä jännitsresultanttien ja leistettjen muodonmuutosten väliset htedet. 3.2 Jännitsresultantit ja niiden tasapainohtälöt luksi määritetään jännitsresultantit ja niiden tasapainohtälöt. Sovelletaan virtuaalisen tön periaatetta jossa virtuaalinen siirtmätila valitaan kaavojen (9) mukaisesesti. Virtuaalisen aksiaalisen siirtmän lisätermiksi ei kuitenkaan oteta koko lauseketta (10) vaan siihen sisällteään vain sen ensimmäinen termi. Virtuaaliset siirtmät ovat δu = δu ( ) δθ ( ) δθ ( ) + δθ φ( ) δu = δ v δθ ( ) δu = δ w+ δθ ( ). Jatkossa osoittautuu että tämä Saint-Venant henkinen esits virtuaalisille siirtmille johtaa tarkoituksenmukaiseen lopputulokseen. Vastaavat virtuaaliset muodonmuutokset ovat δε = δu δθ δθ + δθ φ δγ = δγ + δθ ( ) δγ = δγ + δθ ( + ). Palkin sisäisen virtuaalisen tön lauseke on Saadaan aluksi 2 2 1 (25) (26) δwint = [ ( δε σ + δγ τ + δγ τ )d ]d. (27) δwint = { δu σ d δθ σ d δθ σ d + δθ σ φd 1 + δγ τ d+ δγ τ d + δθ [( ) τ + ( + ) τ ]d }d. (28) 382

Muokataan viimeistä integraalia. Sovelletaan ensin htettä (16a): [( ) τ + ( + ) τ ]d a φ φ = ( τ + τ )d + [ τ ( ) + τ ( )]d sitten osittaisintegrointia: τ τ a= φ( nτ + nτ )d s φ( + )d + [ τ ( ) + τ ( )]d s (29) (30) ja lopuksi tasapainohtälöä (4a) ja reunaehtoa (5): a= [ τ ( ) + τ ( )]d+ φσ d. Sisäinen virtuaalinen tö saa näin muodon missä (31) 2 int = [ (32) 1 δw δun δθ M δθ M + δγ Q + δγ Q + δθ ( M B ) δθ B]d N = σ d M = σ d M = σ d Q = τ d Q = τ d M = [ τ ( ) + τ ( )]d B= σφd. (33) Kuva 1. Poikkileikkauksen jännitsresultantit ja niiden positiiviset suunnat Lausekkeesta (32) nähdään että formuloidun tehtävän leistett muodonmuutokset ovat u θ θ γ γ θ ja θ sekä vastaavat jännitsresultantit ovat samassa järjestksessä N M M Q Q M B ja B. Sauvan akselin venmä u ja normaalivoima N liittvät vetoon/puristukseen käristmät θ θ ja taivutusmomenentit M M sekä keskimäääräiset liukumat γ γ ja leikkausvoimat Q Q taivutukseen sekä vääntökulman 383

derivaatat θ θ ja jännitsresultantit M B ja B vääntöön. Vääntömomentti M on kaavan (33f) perusteella poikkileikkauksen leikkausjännitsten τ ja τ momentti eritisesti vääntökeskiön suhteen. Suureelle B kätetään tässä nimitstä käristmismomentti. Nimits johtuu siitä että sekin voidaan kaavan (33g) perusteella mmärtää eräänlaiseksi normaalijännitksen σ momentiksi jossa momenttivartena on käristmisfunktio φ. Kuvassa 1 on esitett poikkileikkausen jännitsresultantit ja niiden positiiviset suunnat. Nuoli esittää voimaa kaksoisnuoli momenttia ja kahdesta vastakkaissuuntaisesta kaksoisnuolesta koostuva smboli käristmismomenttia. vointen ohutseinämäisten sauvojen vääntöteoriassa (ks. liite F) esiint vastaava suure jota kutsutaan bimomentiksi tai mös käristmismomentiksi. Sen lauseke (F.12) eroaa lausekkeesta (33g) siinä että integrandissa on käristmisfunktion φ ( ) sijasta seinämän keskiviivalla s määritelt normeerattu sektoriaalinen koordinaatti ω () s vääntökeskiön suhteen (miinusmerkkisenä). Kuvassa 1 kätett käristmismomentin smboli ei liene kätössä. Se juontuu kirjallisuudessa esiitvästä smbolista joka koostuu kahdesta vastakkaissuuntaisesta kaarinuolesta (vrt. [4] s. 189 Kuva 10.4). Jännitsresultanttien tasapainohtälöiden muodostamista silmälläpitäen muokataan sisäisen virtuaalisen tön lauseketta (32) edelleen. Ottamalla huomioon htedet δγ = δ v δθ ja δγ = δ w δθ saadaan 2 int = [ + + (34) 1 δw δun δθ M δθ M δ vq δ wq + δθ Q + δθ Q δθ ( M B ) + δθ B]d Suorittamalla ensin osittaisintegrointi integrandin viimeiseen termiin liitten saadaan 2 int ( δw = δun + δθ M + δθ M δ vq δ wq Suorittamalla lisää osittaisintegrointeja saadaan 2 1 2 2 1 1 1 2 + δθ Q + δθ Q δθ M )d + δθ B. 1 δwint = ( δun δθ M δθ M + δ vq + δ wq + δθ Q + δθ Q + δθ M )d + ( δun + δθ M + δθ M δ vq δ wq δθ M + δθ B) = ( δun δθ M δθ M + δ vq + δ wq + δθ Q + δθ Q + δθ M )d + δu( ) N( ) δu( ) N( ) 1 1 2 2 δθ ( ) M ( ) + δθ ( ) M ( ) δθ ( ) M ( ) + δθ ( ) M ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 + δv ( ) Q( ) δv ( ) Q( ) + δw ( ) Q( ) δw ( ) Q( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 + δθ ( ) M ( ) δθ ( ) M ( ) 1 1 2 2 δθ ( 1) B ( 1) + δθ ( 2) B ( 2). Palkin ulkoiselle virtualiselle tölle voidaan kirjoittaa lauseke (35) (36) 384

et 2 δw = { [ δu( ) f( ) + δu( ) f( ) + δu( ) f( )] d 1 + [ δu( st ) ( s ) + δu( st ) ( s ) + δu( st ) ( s )] dsd } s [ δu( ) σ ( ) + δu( ) τ ( ) + δu( ) τ ( )] d 1 1 1 1 1 1 + [ δu( ) σ ( ) + δu( ) τ ( ) + δu( ) τ ( )] d 2 2 2 2 2 2 (37) Kuva 2. Palkin osaan kohdistuvat pinta- ja tilavuusvoimat. missä f f ja f ovat tilavuusvoiman komponentit t t ja t palkin slinterimäiseen pitkittäisreunaan kohdistuva kuormitus ilmaistuna traktiokomponentteina sekä σ i τ i τ i i = 1 2 sen päätpoikkileikkauksiin 1 ja 2 kohdistuva kuormitus ilmaistuna jännitskomponentteina. (Vaikka pitkittäisreuna otaksuttiin reunaehtohtälön (5) htedessä kuormittamattomaksi tässä tarkastelussa jonka tuloksena selviää muun muassa kuinka palkin pituutta kohti vaikuttava jakautunut kuormitus muotoutuu tätä oletusta ei ole tarpeen tehdä.) Kaavoja (25) soveltaen saadaan 385

2 δwet = { δu ( )[ f( )d + t( s )d s] eli missä 1 s δθ ( )[ f( ) d + t( ss ) ( )d s] δθ ( )[ f( ) d + t( ss ) ( )d s] + δθ ( )[ f( ) φ( )d + t( s ) φ( s ( ) s ( ))d s] + δv ( )[ f( )d + t( s )d s] + δw ( )[ f( )d + t( s )d s] s s + δθ ( ){ [ f( )( ) + f( )( )]d [ t( s )( s ( ) ) + t( s )( s ( ) )]d s}}d s δu ( ) σ d + δu ( ) σ d 1 1 2 2 + δθ ( ) σ d δθ ( ) σ d + δθ ( ) σ d δθ ( ) σ d 1 1 2 2 1 1 2 2 δθ ( ) σ φd + δθ ( ) σ φd 1 1 2 2 ( 1) 1d ( 2 τ 2 δ 1 τ1 + δ 2 τ2 δv τ + δv) d w ( ) d w ( ) d δθ ( ) [ τ ( ) + τ ( )]d 1 1 1 + δθ ( ) [ τ ( ) + τ ( )]d 2 2 2 et 2 δw = [ δuq ( ) ( ) δθ ( m ) ( ) δθ ( m ) ( ) δθ ( b ) ( ) 1 + δ vq ( ) ( ) + δ wq ( ) ( ) + δθ ( m ) ( )]d δu ( ) N+ δu ( ) N 1 1 2 2 + δθ ( ) M δθ ( ) M 1 1 2 2 + δθ ( ) M δθ ( ) M 1 1 2 2 + δθ ( ) B δθ ( ) B 1 1 2 2 δv ( ) Q + δv ( ) Q 1 1 2 2 δw ( ) Q + δw ( ) Q 1 1 2 2 δθ ( ) M + δθ ( ) M 1 1 2 2 (38) (39) 386

q = f d+ t d s q = f d+ t d s q = f d+ t d s s s s m = [ f ( ) + f ( )]d + [ t ( ) + t ( )]d s s m = f d + ts d m= f d + ts d b= fφd tφd s s s s N= σ d M = σ d M = σ d B = σ φd i i i i i i i i Q = τ d Q = τ d M = [ τ ( ) + τ ( )]d. i i i i i i i Suureet q ( ) q ( ) q ( ) m ( ) m ( ) ja m ( ) ovat palkin pituutta kohti jakautuneen kuormituksen ja vääntökeskiöakselin suhteen lasketun jakautuneen momenttikuormituksen komponentit. Suuretta b ( ) kutsutaan tässä jakautuneeksi käristmismomenttikuormitukseksi. Suureet N i M i M i M i Q i Q i B i i = 1 2 ovat normaalivoiman vääntömomentin taivutusmomenttien leikkausvoimien ja käristmismomentin arvot palkin päissä 1 ja 2. (40) Kuva 3. Palkin osaan kohdistuvat leistett voimat. Suoritetaan vielä lausekkeen (39) integraalin integrandin neljänteen termiin liittvä osittaisintegrointi jolloin saadaan 387

et 2 δw = { δuq ( ) ( ) δθ ( m ) ( ) δθ ( m ) ( ) 1 + δ vq ( ) ( ) + δ wq ( ) ( ) + δθ ( )[ m( ) + b ( )]}d δu ( ) N+ δu ( ) N 1 1 2 2 + δθ ( ) M δθ ( ) M + δθ ( ) M δθ ( ) M 1 1 2 2 1 1 2 2 + δθ ( ) B δθ ( ) B 1 1 2 2 δv ( ) Q + δv ( ) Q δw ( ) Q + δw ( ) Q 1 1 2 2 1 1 2 2 δθ ( 1)[ M 1 b ( 1)] + δθ ( 2)[ M2 b ( 2)]. Virtuaalisen tön periaate δwint + δwet = 0 (42) antaa htälön 2 1 [ δun ( + q) δθ ( M Q+ m) δθ ( M Q+ m) + δ v( Q + q ) + δ w( Q + q ) + δθ ( M + m + b )]d + δu ( )[ N ( ) N] δu ( )[ N ( ) N] 1 1 1 2 2 2 δθ ( )[ M ( ) M ] + δθ ( )[ M ( ) M ] 1 1 1 2 2 2 δθ ( )[ M ( ) M ] + δθ ( )[ M ( ) M ] 1 1 1 2 2 2 + δv ( )[ Q( ) Q ] δv ( )[ Q( ) Q ] 1 1 1 2 2 2 + δw ( )[ Q( ) Q ] δw ( )[ Q( ) Q ] 1 1 1 2 2 2 + δθ ( )[ M( ) M + b ( )] δθ ( )[ M( ) M + b ( )] 1 1 1 1 2 2 2 2 δθ ( 1)[ B ( 1) B1] + δθ ( 2)[ B ( 2) B2] = 0. Virtuaalisen tön periaatteen htedessä tunnettuun tapaan voidaan htälön (43) perusteella johtaa seuraavat htälöt: Jännitsresultanttien differentiaaliset tasapainohtälöt N + q = 0 M Q + m = 0 M Q + m = 0 Q + q = 0 Q + q = 0 M + m + b = 0 jotka ovat voimassa palkin alueella 1 < < 2. Kinemaattiset reunaehdot u ( ) = u θ ( ) = θ θ ( ) = θ v ( ) = v w ( ) = w θ ( i ) = θi θ ( i ) = θ i ja niitä vastaavat kineettiset reunaehdot N( ) = N i i i i i i i i i i i i M ( ) = M M ( ) = M Q ( ) = Q Q ( ) = Q i i i i i i i i M ( i ) = Mi b ( i ) B ( i ) = Bi jotka ovat voimassa palkin päissä i = 1 ja 2. Kustakin toisiaan vastaavasta kinemaattisesta ja kineettisestä reunaehdosta tulee olla voimassa jompi kumpi. Virtuaalisen tön periaatetta kättäen saatiin siis muodostettua palkin jännitsresultit (33) kuormituksen määrittel (40) jännitsresultanttien differentiaaliset tasapainohtälöt (44) sekä (41) (43) (44) (45) (46) 388

kinemaattiset ja kineettiset reunaehtotpit (45) ja (46). Kaavojen (44) (45) ja (46) limmäiset htälöt liittvät vetoon/puristutukseen keskimmäiset taivutukseen ja alimmaiset vääntöön. Jos sovelletaan jäkän kappaleen tasapainoehtoja differentiaaliseen sauva-alkioon saadaan tulokseksi differentiaaliset tasapainohtälöt jotka poikkeavat htälöistä (44) siinä että viimeisestä (44f) puuttuu termi b. Ilman energiatarkastelua jää mös reunaehtohtälöstä (46f) termi b ( i ) pois. Näin menetellen jää käristmismomenttikuormitus b ( ) käsitteenä ja sen vaikutus htälöihin (44) ja (46) tarkastelusta pois. Käristmismomenttikuormitus b ( ) on kuitenkin vaikutukseltaan vähäinen. 4 Jännitsresultanttien ja leistettjen muodonmuutosten htedet avoitteena on nt lausua tehtävän jännitsresultantit niitä vastaavien leistettjen muodonmuutosten avulla. Ksmksessä on tiettn poikkileikkaukseen liittvä paikallinen tarkastelu jonka htedessä voidaan soveltaa kohdan 1.3 mukaisia paikallisia otaksumia. 4.1 Normaalivoima taivutusmomentit ja käristmismomentti Kättäen normaalivoiman taivutusmomenttien ja käristmismomentin määrittelkaavoja (33a) (33b) (33c) ja (33g) sekä normaalijännitksen lauseketta (18a) saadaan N = Eu ES θ ES θ + ES θ missä φ M = ES u θ θ + θ φ M = ES u θ θ + θ φ B = ES u + θ + θ θ φ φ φ φ E = Ed ES = Ed ES = Ed ES = Eφd φ = E d = E d = Ed 2 2 2 φ = φd φ = φd φ = φ d. E E E Jännitsresultanttien ja leistettjen muodonmuutosten hteksien (47) kertoimille kätetään tässä kaksikirjaimisia smboleja kuten sauvateorian esitksissä usein menetellään. Jos poikkileikkaus on homogeeninen ja kimmomoduuli E vakio se voidaan ottaa integraalin ulkopuolelle. ällöin kirjainhdistelmä mmärretään kimmomoduulin E ja sitä seuraavan integraalin (poikkileikkauksen geometrisen suureen) tuloksi. Esimerkiksi aksiaalijäkks E on kimmomoduulin E ja poikkipinnan alan tulo kimmomoduulilla painotettu staattinen momentti ES kimmomoduulin E ja staattisen momentin S tulo ja taivutusjäkks on kimmomoduulin E ja jähsmomentin I tulo. Suureelle φ kätetään nimiststä käristmisjäkks ja homogeenisen poikkileikkauksen suureelle I φ käristmisjähsmomentti. vointen ohutseinämäisten sauvojen vääntöteoriassa htedet (47) ovat samanmuotoiset. Suureita ES φ φ φ ja φ vastaa kun ksmksessä on homogeeninen poikkileikkaus tulot ES ω ω ω ja ω missä S ω on sektoriaalinen staattinen momentti I ω ja I ω ovat sektoriaaliset tulomomentit sekä I ω on sektoriaalinen jähsmomentti (vrt. liitteen F kaavat (F.4)) jotka on määritett kättäen poikkileikauksen normeerattua sektoriaalista koordinaattia ω vääntökeskiön suhteen. (47) (48) 389

Menetellään ensin kuten tavallisesti sauvateoriassa. setetaan koordinaatiston origo O poikkileikkauksen vetojäkkskeskiöön jolloin ES = 0 ES = 0. (49) Koordinaattiakselien suunnat voitaisiin mös asettaa htmään poikkileikkauksen pääjäkkksien suuntiin jolloin = 0. (50) Näin ei kuitenkaan tässä htedessä tehdä koska siitä ei ole sanottavaa hötä. Määritetään sitten htälön (16a) vakio Φ ja vääntökeskiön koordinaatit ja siten että jäkkdet ES φ φ ja φ häviävät. Kaavojen (48) (16a) ja (49) perusteella saadaan htälöt ES Eφd = ES + E = 0 missä φ Φ Eφd = + = 0 φ Φ Eφd = + = 0. φ Φ ES = EΦ d = EΦ d = EΦd Φ Φ Φ Φ (51). (52) Yhtälöiden (51) ratkaisu on ES 1 Φ Φ Φ = = 2 E. (53) Φ Kun käristmisfunktio Φ ( ) jonka nollapiste on P 0 on määritett reuna-arvotehtävän (21a) ratkaisuna voidaan vakio Φ ja vääntökeskiön koordinaatit ja määrittää kaavoilla (53). ämän jälkeen käristmisfunktio φ( ) voidaan määrittää kaavaa (16a) kättäen. Kun se tunnetaan voidaan määrittää käristmisjäkks φ. vointen ohutseinämäisten sauvojen teoriassa esiint analoginen prosessi jota on kuvattu liitteessä F. Siinä käristmisfuntiota Φ ( ) vastaa sektoriaalinen koordinaatti Ω O () s origon suhteen jonka nollapiste on P 0 kaavoja (53) vastaa kaavat (F.11) ja (F.10) Käristmisfunktiota φ ( ) vastaa normeerattu sektoriaalinen koordinaatti ω () s vääntökeskiön suhteen joka määritetään kaavaa (16a) vastaavalla kaavalla (F.9). Normeerattua sektoriaalista koordinaattia ω () s kättäen voidaan sitten määrittää sektoriaalinen jähsmomentti I ω kaavalla (F4d). Jännitsresultanttien ja leistettjen muodonmuutosten htedet (47) ksinkertaistuvat nt seuraaviksi N = Eu M θ = M (54) θ B = φ θ. Näissä lausekkeissa normaalivoima riippuu vain akselin venmästä taivutusmomentit riippuvat vain käristmistä ja käristmismomentti vain vääntökulman toisesta derivaatasta. Näin ktkennät jotka lausekkeissa (47) olivat veto/puristus- taivutus- ja vääntötehtävän välillä on saatu hävitettä. 390

4.2 Leikkausvoimat Kättäen leikkausvoimien määrittelkaavoja (33d) ja (33e) sekä leikkausjännitsten lausekkeita (18b) ja (18c) saadaan Q = θ G d θ G d + θ G( )d+ θ G d = θ E d θ Ed + θ Eφd = θ θ + θ 2 φ = θ θ Q = θ G d θ G d + θ G( )d G d + + θ = θ E θ E + θ Eφ = θ θ + θ 2 d d d φ = θ θ. Sovellettiin heikon muodon htälöitä (22) joissa ensin Φ= ˆ Ψ ˆ = Ψ ˆ = Ψ ˆ = ja sitten Φ= ˆ Ψ ˆ = Ψ ˆ = Ψ ˆ = sekä otettiin lopuksi huomioon htedet (51b) ja (51c). Derivoimalla taivutusmomenttien lausekkeet (54b) nähdään että htälöistä (55) seuraa leikkausvoimille tulokset Q = M Q = M. (56) Nämä lausekkeet ovat tasapainohtälöiden (44b) ja (44c) paikallisesti voimassa olevat versiot joissa m = 0 ja m = 0. Koska leikkausvoimien lausekkeet (55) sisältävät saman informaation kuin jännitsresultanttien tasapainohtälöt ei niitä voida kättää jännitsresultanttien ja leistettjen muodonmuutosten hteksinä. Leikkausvoimien lausekkeet (55) muodostettiin integroimalla leikkausjännitsten lausekkeet (18b) ja (18c) jotka perustuivat siirtmäapproksimaation (9) lisäsiirtmän lausekkeeseen (10). Menetellään nt niin että lisäsiirtmäksi ei oteta koko lauseketta (10) vaan sen kaksi ensimmäistä termiä. Leikkausjännitksiksi tässä tapauksessa saadaan τ = G[ γ + θ ( ) + θ ] (57) τ = G[ γ + θ ( + ) + θ ]. Kättäen leikkausvoimien määrittelkaavoja (33d) ja (33e) sekä leikkausjännitsten lausekkeita (57) saadaa Q = γ Gd + θ G( )d+ θ G d= γ Gd+ θ Eφd missä = Gγ + θ = Gγ φ Q = γ G d + θ G( + )d+ θ G d= γ G d + θ Eφd = Gγ + θ = Gγ φ (55) (58) G = Gd (59) 391

on leikkausjäkks joka homogeenisen poikkileikkauksen tapauksessa on liukumoduulin G ja poikkipinnan alan tulo. Sovellettiin heikon muodon htälöitä (22a) ja (22b) joissa ensin Φ= ˆ Ψ ˆ = ja sitten Φ= ˆ Ψ ˆ = sekä otettiin lopuksi huomioon htedet (51b) ja (51c). Yhtedet (58) leikkausvoimien Q ja Q sekä keskimääräisten liukumien γ ja γ välillä ovat varsin pelkistett ja niitä pritään siksi parantamaan. Vastaavassa tilanteessa ksiakselisen taivutuksen imoshenko palkkiteoriassa [5] ( tasossa jolloin Q= Q ja γ = γ ) htettä Q = Gγ on totuttu parantamaan muotoon Q = kgγ missä k on leikkauskorjauskerroin. oimitaan mös tässä imoshenko palkkiteorian hengessä ja otetaan leikkausvoimille ja keskimääräisille liukumille lineaarinen riippuvuus. Se esitetään muodossa Q k k γ = G Q k k (60) γ missä vakioita k k k ja k kutsutaan leikkauskorjauskertoimiksi. Seuraavassa johdetaan kaavat leikkauskorjauskertoimien määrittämiseksi. Johto suoritetaan tarkastelemalla taivutettua sauvaa jossa ei esiinn vääntöä eli θ = 0. Leikkauksen osuus sauvan sisäisestä virtuaalisesta töstä on 2 s δγ τ δwint = ( d )d. (61) δγ τ 1 Kättäen virtuaalisten liukumien lausekkeita (26b) ja (26c) kun δθ = 0 saadaan tästä 2 2 δγ τ δγ Q s δwint = ( d )d d δγ = τ δγ Q. (62) 1 1 Sijoittamalla tähän leikkausvoimien lauseke (60) saadaan 2 s δγ k k γ δwint = G d δγ k k γ. (63) 1 Määritetään vastaavasti sisäisen virtuaalisen tön lauseke (61) ottamalla virtuaalisiksi liukumiksi kaavojen (15b) ja (15c) mukaiset tarkemmat lausekkeet jotka puhtaan taivutuksen tapauksessa ( δθ = 0 δθ = 0) ovat δγ δθ =. (64) δγ δθ Saadaan 2 s δθ τ δwint = ( d )d. δθ (65) τ 1 Sijoittamalla tähän leikkausjännitsten lausekkeet (18b) ja (18c) joissa ( θ = 0 θ = 0) eli τ θ = G (66) τ θ saadaan 392

+ + 2 s δθ θ δwint = ( G d )d δθ θ 1 + + (67) 2 δθ EΨ EΨ θ = ( δθ EΨ EΨ d )d. θ 1 Lopuksi sovellettiin heikon muodon kaavoja (22c) ja (22d) kun Ψ ˆ =Ψ ja Ψ ˆ =Ψ. arkempiin liukuma- ja leikkausjännitsjakaumiin (15) ja (18) perustuva sisäisen virtuaalisen tön lauseke saa siten muodon 2 s δθ Ψ Ψ θ δwint = d. δθ 1 θ (68) Ψ Ψ missä = EΨ d = = EΨ d = EΨ d = EΨ d. (69) Ψ Ψ Ψ Ψ Leikkauskorjauskertoimet määritetään vaatimalla virtuaalisen tön lausekkeiden (67) ja (68) olevan htäsuuret. Saadaan htälö δγ k k γ δθ Ψ Ψ θ G δγ k k =. (70) γ δθ θ Ψ Ψ Soveltamalla htälöitä (C.2) sekä virtuaalisille että todellisille suureille saadaan tästä 1 δθ 1 k k Ψ Ψ θ 0 δθ G k k = (71) θ Ψ Ψ josta seuraa leikkauskorjauskertoimille tulos 1 k k 1 Ψ Ψ k k = G. (72) Ψ Ψ odetaan että k = k. Leikkausvoimien ja keskimääräisten liukumien htedet (60) ja leikkauskorjauskertoimien määritskaava (72) antavat mahdollisuuden leistää imoshenko palkkiteoria luontevasti kaksiakseliseen taivutukseen. 4.3 Vääntömomentti ja Saint-Venantin vääntömomentti Soveltamalla vääntömomentin määrittelkaavaa (33f) ja leikkausjännitsten lausekkeita (18b) ja (18c) saadaan 393

M = θ G[ ( )( ) + ( + )( )]d + θ G[ ( ) + ( )]d θ G[ ( ) + ( )]d θ G[ ( ) + ( )]d. ämä saa liitteen E perusteella muodon M = GJθ φ θ (74) missä GJ = G[ ( ) + ( + ) ]d. (75) Niinsanotussa Saint-Venantin vääntöteoriassa vääntömomentin M ja vääntmän θ htes on muotoa M = GJθ missä GJ on kaavan (75) mukainen. ämän vuoksi suuretta = GJθ (76) kutsutaan Saint-Venantin vääntömomentiksi. Suuretta GJ kutsutaan vääntöjäkkdeksi ja homogeenisen poikkileikkauksen tapauksessa suuretta J vääntöjähsmomentiksi. Kaavojen (74) (76) ja (54c) perusteella saadaan vääntömomentille tulos M = + B. (77) (73) 5 Sauvatehtävän differentiaalihtälöistä 5.1 Differentiaalihtälöiden johto utkitaan nt millaisiksi palkin siirtmäformulaation mukaiset differentiaalihtälöt muodostuvat. Derivoimalla htälöt (44b) ja (44c) puolittain ja sijoittamalla niihin (44d) ja (44e) sekä ottamalla samalla kättöön osittainen matriisiesits tasapainohtälöt saadaan muotoon N + q = 0 M q m 0 + + = M q m 0 (78) Q q 0 + = Q q 0 M + m + b = 0. Sijoittamalla jännitsresultanttien lausekkeet (54) ja (60) tasapainohtälöihin (78) sekä kättämällä hteksiä (14) ja (74) saadaan 394

Eu + q = 0 θ q m = + θ q m k k v θ q 0 G k k + = w θ q 0 θ GJθ = m + b. (4) φ Ensimmäinen htälö (79a) on toisen kertaluvun tavallinen differentiaalihtälö jossa on tuntemattomana aksiaalinen siirtmä u. ( ) Keskimmäiset htälöt (79b) ja (79c) muodostavat neljän htälön rhmän joissa tuntemattomina ovat vääntökeskiön poikittaiset siirtmät v ( ) ja w ( ) sekä poikkileikkauksen rotaatiot θ ( ) ja θ ( ). Viimeinen htälö (79d) on neljännen kertaluvun tavallinen differentiaalihtälö jossa on tuntemattomana vääntökulma θ ( ). Havaitaan että veto/puristustehtävä taivutustehtävä ja vääntötehtävä voidaan ratkaista erikseen. Muokataan taivutustehtävän htälöitä (79b) ja (79c) edelleen. Ratkaisemalla htälöistä (79c) θ ja θ saadaan 1 θ v 1 k k q = +. θ w G k k (80) q Derivoimalla tämä puolittain kahdesti ja sijoittamalla htälöön (79b) saadaan Merkitsemällä 1 1 (4) v q m 1 k k q ( ). (4) = + w q m G k k q 1 1 f q m 1 k k q = ( ) f + q m G k k (82) q nähdään että htälöt (81) ovat kaksi erillistä neljännen kertaluvun differentiaalihtälöä (4) (4) v = f ( ) w = f ( ) (83) jotka on helppo ratkaista. Kun poikittaiset siirtmät on ratkaistu voidaan rotaatiot θ ( ) ja θ ( ) määrittää integroimalla ensimmäisen kertaluvun differentiaalihtälöt (80). (79) (81) 5.2 Perustelua paikallisen tarkastelun otaksumiin Kohdassa 1.3 esitettiin että suoritettaessa tiettn poikkileikkaukseen liittviä paikallisia tarkasteluja voidaan jakautuneen kuormituksen vaikutus tasapainohtälöissä (44) jättää huomiotta. ämä merkitsee että tasapainohtälöissä ja vastaavasti palkin differentiaalihtälöissä voidaan merkitä q = 0 q = 0 q = 0 m = 0 m = 0 m = 0 b = 0. Yhtälöt (79a) (83) (80) ja (79d) saavat siten muodon (4) (4) (4) u = 0 v = 0 w = 0 θ = v θ = w θ GJθ = 0. (84) φ Yhtälön (84a) ratkaisu u ( ) on ensimmäisen asteen polnomi ja htälöiden (84b) ja (84c) ratkaisut v ( ) ja w ( ) ovat kolmannen asteen polnomeja. Yhtälöistä (84d) ja (84e) seuraa θ = v + C 1 ja θ = w + C2 joten θ ( ) ja θ ( ) ovat toisen asteen polnomeja. Näin pstttiin perustelemaan kohdassa 1.3 esitett siirtmien u ( ) v ( ) w ( ) ja rotaatioiden 395

θ ( ) ja θ ( ) polnomiapproksimaatioiden asteluvut. Yhtälön (84f) ratkaisu θ ( ) sensijaan ei ole polnomimuotoinen. ämän vuoksi kohdassa 1.3 tehtä vääntökulman θ ( ) paikallisen approksimaation valitsemista kuubiseksi ei voida perustella tällä tavoin. 6 Poikkileikkauksen jännitsjakauman määrittäminen Kun palkin poikkileikkauksen käristmisfunktiot Φ ( ) Ψ ( ) Ψ ( ) ja Ψ ( ) on ratkaistu reuna-arvoprobleemista (21) ja palkin siirtmäsuureet u ( ) v ( ) w ( ) θ ( ) θ ( ) ja θ ( ) on ratkaistu esimerkiksi differentiaalihtälöistä (79a) (83) (80) ja (79d) voidaan tietn poikkileikkauksen = 0 jännitsjakaumat määrittää kättäen htälöitä (18) jotka ovat sopivassa matriisimuodossa θ σ = Eu ( + θφ ) θ (85) τ θ = G( θ + θ ). τ θ + Niissä u = u ( 0 ) θ = θ ( 0 ) θ = θ ( 0 ) θ = θ ( 0 ) θ = θ ( 0 ) θ = θ ( 0 ) θ = θ ( 0 ) ja θ = θ ( 0 ). Yhtälöissä (85) esiintvät siirtmäsuureiden derivaatat u θ θ θ ja θ voidaan ratkaista jännitsresultanttien avulla htälöistä (54) ja (76). Derivoimalla vielä θ :n θ :n ja θ :n lausekkeet puolittain sekä soveltamalla tasapainohtälöitä (56) saadaan N B B u = θ = θ = θ = E GJ φ φ 1 1 (86) θ M θ Q =. θ = M θ Q Sijoittamalla tulokset (86) lausekkeisiin (85) saadaan jännitkset lausutuiksi jännitsresultanttien avulla seuraavasti 1 N M B σ = E( + ) M φ E φ (87) 1 τ B Q = G( + ). τ GJ φ Q + Siinä tapauksessa että koordinaatisto ht poikileikkauksen pääjäkkskoordinaatistoon ( = 0 ) htälöt (87) saavat ksinkertaisemman muodon 396

N M M B σ = E( + + φ) E τ τ B Q Q = G[ ( ) + + ] GJ φ B Q Q = G[ ( + ) + + ]. GJ φ arkastellaan lopuksi kaavojen (88) ja liitteessä F esitettjen avointen ohutseinämäisten poikkileikkausten jännitsten kaavojen (F.13) ja (F.14) htäläisksiä. Homogeenisen poikkileikkauksen tapauksessa normaalijännitksen kaava (88a) saa muodon N M M B σ = + + φ. (89) I I I φ Kaava (F.13) poikkeaa kaavasta (89) siinä että käristmisjähsmomentin I φ paikalla on sektoriaalinen jähsmometti I ω ja käristmisfunktion φ ( ) paikalla normeerattu sektoriaaalinen koordinaatti ω () s vääntökeskiön suhteen. Leikkausjännitksien kohdalla Saint-Venantin väännön osuus jätetään ksinkertaisuuden vuoksi tarkastelun ulkopuolelle. Homogeenisen poikkileikkauksen tapauksessa leikkausjännitsten kaavat (88b) ja (88c) ilman Saint-Venantin vääntömomentin sisältävää termiä ovat Q G Q G BG τ = + I E I E Iφ E (90) Q G Q G BG τ = +. I E I E I E arkastellaan leikkausjännitskomponenttia τ s ohutseinämäisen poikkileikkauksen keskiviivalla = s () = s (). Sauvateorian jännitsotaksumien (1) vallitessa sille on voimassa τ d d s =. ds τ + ds τ (91) Kättäen kaavoja (90) ja (91) saadaan Q G Q G B G τ s = +. (92) I E s I E s I E s Kaava (F.14) poikkeaa nt kaavasta (92) siinä että käristmisjähsmomentin I φ paikalla on sektoriaalinen jähsmometti I ω ja G S G S G S ω (93) E s t E s t E s t missä merkki tarkoittaa vastaavuutta. Kaavoissa (93) S () s S () s ja S ω () s ovat osapoikkipinnan staattiset momentit ja ts () on poikkileikkauksen paksuus. φ φ φ (88) Johtopäätökset rtikkelissa on esitett teoria jonka avulla voidaan määrittää taivutetun ja väännetn suoran sauvan siirtmä- ja jännitstila sstemaattisesti ja perinteisiä teorioita tarkemmin. Sauvan poikkileikkaus voi olla muodoltaan mielivaltainen ja koostua mös useammasta materiaalista. Oleellisena osana teoriaa on poikkileikkaukseen liittvien reuna-arvotehtävien mukanaolo. 397

Nkaikaisten tehokkaiden elemettimenetelmäohjelmistojen johdosta nämä lisätehtävät eivät aiheuta ongelmia. Samaan tapaan kuin perinteisissä sauvateorioissa veto/puristus- taivutus- ja vääntötehtävät voidaan käsitellä erikseen. aivutuksen htälöissä leikkausmuodonmuutoksen vaikutus otetaan huomioon imoshenkon palkkiteoriaa muistuttavalla käsitteltavalla johon liittville leikkauskorjauskertoimille on johdettu kaavat. Väännön htälöt muistuttavat monessa suhteessa avointen ohutseinämäisten sauvojen väännön htälöitä. Keskeisin eroavaisuus on siinä että ohutseinämäisen poikkileikkauksen sektoriaalista koordinaattia Ω 0 () s origon O suhteen (nollapiste P 0 ) ja normeerattua sektoriaalista koordinaattia ω () s vääntökeskiön suhteen vastaavat tässä teoriassa käristmisfunktio Ψ ( ) (nollapiste P 0 ) ja käristmisfunktio ψ ( ). Koska sektoriaalinen koordinaatti on vain ohutseinämäiseen poikkileikkaukseen liittvä suure mutta käristmisfunktio voidaan määrittää mielivaltaisen muotoiselle poikkileikkaukselle voidaan esitettä teoriaa pitää avointen ohutseinämäisten sauvojen taivutus- ja vääntöteorian leistksenä. Se soveltuu kaikentppisille mös eri materiaaleista koostuville poikkileikkauksille ja huomioi leikkausmuodonmuutoksen vaikutuksen taipumaan. Poikkileikkaus voi olla täsi tai ontto paksu- tai ohutseinämäinen ja avoin tai suljettu. Kiitokset Kiitokset em. prof. Eero-Matti Saloselle joka on vuosien varrella useaan otteeseen tuonut esille ajatuksen mahdollisuudesta kehittää teoria jolla sauvan vääntötehtävä voitaisiin käsitellä poikkileikkauksen tpistä riippumatta htenäisellä tavalla. Hänen lukuisat tön varrella antamansa kommentit ja parannusehdotukset ovat mahdollistaneet tämän artikkelin sntmisen. Kiitokset mös artikkelin arvioijille perusteellisesta töstä. 398

Liite : Kaavojen (6) johto Otaksutaan että poikkileikkaus kohdassa siirt jäkän kappaleen pienen siirtmän liikkeen mukaisesti. Valitaan siirtopisteeksi poikkileikkauksen piste. Poikkileikkauksen leisen pisteen siirtmävektorille R R R R u ( ) = u ( ) i+ u ( ) j+ u ( ) k (.1) saadaan u R = u + r r ) (.2) missä u( ) = u( ) i+ v( ) j+ w( ) k (.3) on siirtopisteen siirtmävektori ( ) = θ ( ) i θ ( ) j+ θ ( ) k poikkileikkauksen rotaatiovektori r = i+ j+ k (.4) poikkileikkauksen leisen pisteen paikkavektori ja r = i+ j+ k (.5) siirtopisteen paikkavektori. Rotaatiovektorin komponentin θ positiivinen suunta on valittu palkkiteoriassa usein kätettn tapaan akselin negatiiviseen suuntaan. (Valinnan seurauksena tämän artikkelin esits muodostuu merkinnällisesti mahdollisimman selkeäksi siten että johdettavien kaavojen ja tasoissa tapahtuvaan taivutukseen liittvät osuudet R tulevat olemaan samanmuotoiset.) Siirtmävektorille u saadaan i j k R u ui vj wk = + + + θ θ θ 0 θ θ θ θ θ θ = ui+ vj+ wk+ i+ j+ k 0 0 = [ u θ ( ) θ ( )] i+ [ v θ ( )] j+ [ w + θ ( )] k. Vertaamalla lausekkeita (.1) ja (.6) saadaan siirtmäkomponenteille R u ( ) = u( ) θ ( )( ) θ ( )( ) u ( ) = v( ) θ ( )( ) R R u ( ) = w( ) + θ( )( ). Nämä ovat kaavat (6). (.6) (.7) Liite B: Käristmisfunktioiden hteksien (16) johto Vertaamalla liukumien lausekkeita kaavoissa (13) ja (15) saadaan htälöt φ ψ ψ ψ θ ( + ) + θ ( ) + γ θ ( ) θ ( ) = 0 φ ψ ψ ψ θ ( ) + θ ( ) + γ θ ( ) θ ( ) = 0. Soveltamalla hteksiä (17) saadaan edelleen (B.1) 399

φ ψ ψ ψ θ ( ) ( ) ( 11) ( + + θ θ + c θ + c12) = 0 (B.2) φ ψ ψ ψ θ ( ) ( ) ( 21) ( + θ θ + c θ + c22) = 0. Koska htälöiden (B.2) tulee olla voimassa kaikilla arvoilla θ θ θ ja θ saadaan käristmisfunktioden välille differentiaalihtälöparit φ φ = = + ψ ψ = = ψ ψ = c11 = c21 (B.3) ψ ψ = c12 = c22. Näiden ratkaisuna saadaan alkuperäisten ja muunnettujen käristmisfunktioiden välille htälöt φ( ) =Φ ( ) + + Nämä ovat kaavat (16). ψ ( ) =Ψ ( ) + Ψ ψ ( ) =Ψ ( ) + c c Ψ 11 21 ψ ( ) =Ψ ( ) + c c. Ψ Φ 12 22 (B.4) Liite C: Kaavan (17) johto Vertaamalla leikkausvoimien lausekkeita (55) ja (60) saadaan htälö θ k k γ G = θ k k (C.1) γ josta seuraa 1 1 k k θ γ = γ G k k. (C.2) θ Havaitaan että ksmksessä on kaava (17) jossa 1 c11 c12 1 k k c k 21 c = 22 G k. (C.3) Liite D: Reuna-arvoprobleemien (21) heikot muodot Kertomalla kenttähtälö (21a) puolittain testifunktiolla Φ ˆ ( ) ja integroimalla määrittelalueen li saadaan 400

ˆ Φ{ [ G( )] + [ G( + )]}d= 0. (D.1) Soveltamalla osittaisintegrointia saadaan edelleen ˆ ˆ ˆ Φ [ ng ( ) + ng ( + )]d s G [ ( ) + ( + )]d = 0 (D.2) s ja ottamalla huomioon reunaehto (21a) lopuksi ˆ ˆ G[ ( ) + ( + )]d= 0. (D.3) ämä ˆ on heikko muoto (22a). Kertomalla kenttähtälö (21b) puolittain testifunktiolla Ψ ( ) ja integroimalla määrittelalueen li saadaan ˆ [ ( ) ( Ψ G + G ) + Eφ ]d = 0 (D.4) Soveltamalla osittaisintegrointia saadaan edelleen ˆ ˆ ˆ ( )d ( )d ˆ Ψ ng + ng s G + + EΨ φd= 0 (D.5) s ja ottamalla huomioon reunaehto (21b) lopuksi ˆ ˆ ( )d ˆ G + = EΨφd. (D.6) ämä on heikko muoto (22b). Vastaavaan tapaan menetellen saadaan mös reuna-arvoprobleemien (21c) ja (21d) heikot muodot (22c) ja (22d). Liite E: Kaavan (74) johto Kaavassa (73) vääntökulman derivaatan θ kertoimena olevalle lausekkeelle saadaan G[ ( )( ) + ( + )( )]d = G[ ( ) + ( + ) ]d + G( )d + G( + )d (E.1) = G[ ( ) + ( + ) ]d = GJ. Lopussa sovellettiin heikkoa muotoa (22a) jossa eritisesti Φ= ˆ ja Φ= ˆ. Kaavassa (73) vääntökulman kolmannen derivaatan θ kertoimena olevalle lausekkeelle saadaan G[ ( ) + ( )]d φ φ φ φ = G[ ( + ) + ( + )]d G( + )d (E.2) φ φ = G[ ( ) + ( + )]d G( + )d = = 2 Eφ d. φ 401

luksi lisättiin ja vähennettiin lauseke G φ φ ( + )d sitten kätettiin kaavaa (16a) ja lopuksi sovellettiin reuna-arvoprobleemien heikkoja muotoja (22a) ja (22b) joissa eritisesti Φ=Ψ ˆ ja Ψ ˆ = φ. Kaavassa (73) kiertmän toisen derivaatan θ kertoimena olevalle lausekkeelle saadaan G[ ( ) + ( )]d φ φ = G[ ( ) + ( + )]d G( + )d (E.3) = Eφ d = φ = 0. luksi lisättiin ja vähennettiin lauseke G φ φ ( + )d sitten kätettiin kaavaa (16a) ja lopuksi sovellettiin reuna-arvoprobleemien heikkoja muotoja (22a) ja (22b) joissa eritisesti Φ=Ψ ˆ ja Ψ ˆ = φ. Vastaavalla tavalla saadaan johdetuksi kaavassa (73) kiertmän toisen derivaatan θ kertoimena olevalle lausekkeelle tulos G [ ( ) + ( )]d = 0. φ = (E.4) Sijoittamalla tulokset (E.1) (E.2) (E.3) ja (E.4) kaavaan (73) saadaan kaava (74). Liite F: vointen ohutseinämäisten sauvojen vääntöön liittviä kaavoja arkastellaan avointa ohutseinämäistä poikkileikkausta jonka keskiviivaa seuraa kaarenpituuskoordinaatti s. Keskiviivan htälöt ovat = s () = s () (F.1) ja poikkileikkauksen paksuus on ts. () Rajoitutaan ksinkertaisuuden vuoksi haarautumattomaan poikkileikkaukseen jonka toinen pää on pisteessä s = 0 ja toinen pää pisteessä s = l. Poikkileikkausen sektoriaalinen koordinaatti Ω () s pisteen : ( ) suhteen voidaan määrittää kaavalla s d d Ω ( s) = {[ s ( ) ] ( s ) [ s ( ) ] ( s )}ds. (F.2) ds ds s0 Pistettä kutsutaan sektoriaalisen koordinaatin navaksi ja pistettä P 0 : s 0 jossa Ω häviää sen nollapisteeksi. Kun sektoriaalinen koordinaatti pisteen suhteen tunnetaan voidaan sektoriaalinen koordinaatti pisteen B suhteen määrittää napapisteen vaihtokaavalla Ω B =Ω + ( B )( 0) ( B )( 0) (F.3) missä 0 ja 0 ovat nollapisteen P 0 koordinaatit. Poikkileikkaukselle jonka sektoriaalinen koordinaatti on Ω määritellään sektoriaalinen staattinen momentti sektoriaaliset tulomomentit ja sektoriaalinen neliömomentti kaavoilla 402

S = Ω d = Ω()()d sts s Ω l 0 I = Ω d = s () Ω ()()d sts s I = Ω d = s () Ω()()d sts s Ω I = Ω d = Ω ()()d. sts s Ω 0 l Ω 0 0 l 2 2 Lisäksi määritellään osapoikkileikkauksen sektoriaalinen staattinen momentti kaavalla l l (F.4) S Ω ( s) = Ω( s ) ts ( )d s. (F.5) s Sektoriaalista koordinaattia ω () s jolle on voimassa ehto S ω = 0 kutsutaan normeeratuksi. Sille voidaan johtaa ([4] kaava (5.27)) kaava S ω() s =Ω Ω () s. (F.6) Oletetaan että Ω O () s on sektoriaalinen koordinaatti origon O suhteen jonka nollapiste on P 0 tunnetaan. Kaavan (F.3) perusteella saadaan sektoriaaliselle koordinaatille Ω () s vääntökeskiön suhteen lauseke Ω =Ω O + 0 + 0. (F.7) Normeeratulle sektoriaaliselle koordinaatille ω () s vääntökeskiön suhteen saadaan soveltamalla kaavoja (F.6) ja (F.7) SΩ O S S ω =Ω O + +. (F.8) Kun origo on asetettu tavanomaisesti pintakeskiöön jolloin S = 0 ja S = 0 seuraa tästä ω =Ω O + Ω + (F.9) missä SΩO Ω =. (F.10) voimen ohutseinämäisen poikkileikkauksen vääntökeskiö määritellään pisteenä jonka suhteen määritetn sektoriaalisen koordinaatin Ω avulla määritetilla tulomomenteille on voimassa ehdot I Ω = 0 ja I Ω = 0. Näiden ehtojen perusteella vääntökeskiön koordinaateille voidaan johtaa ([4] kaava (5.39)) kaava 1 I I I Ω O = 2. (F.11) I I I I I IΩO Kun sektoriaalinen koordinaatti Ω O () s origon O suhteen jonka nollapiste on P 0 tunnetaan voidaan vääntökeskiön koordinaatit ja määrittää kaavalla (F.11) ja normeerattu sektoriaalinen koordinaatti ω () s vääntökeskiön suhteen kaavalla (F.9). Eritinen avointen ohutseinämäisen sauvojen vääntöteorian jännitsresultantti on bimomentti. Se määritellään kaavalla 403

l B= d = () s ()()d sts s σω σ ω. (F.12) 0 vointen ohutseinämäisen sauvojen hdistetssä taivutus- ja vääntöteoriassa kun koordinaatisto ht poikkileikkauksen pääjähskoordinaatistoon ( I = 0 ) normaalijännitkselle ja keskimääräiselle leikkausjännitkselle on voimassa kaavat N M M B σ() s = + s () + s () ω() s (F.13) I I I ω Q S () () () () s Q S s B S ω s τ s s = +. (F.14) I ts () I ts () Iω ts () Kaavassa (F.14) S () s ja S () s ovat osapoikkileikkauksen staattiset momenetit jotka määritetään vastaavaan tapaan kuin osapoikkileikkauksen sektoriaalinen staattinen momentti S ω () s kaavassa (F.5). Kaava (F.14) ei sisällä Saint-Venantin väännön osuutta leikkausjännitksestä τ s. Se on totuttu määrittämään erikseen likikaavalla τs = 2 η (F.15) J missä η on poikkileikkauksen keskiviivaa s vastaan kohtisuora koordinaatti ja l 1 3 J = t ( s)ds 3 (F.16) on avoimen ohutseinämäisen poikkileikkauksen vääntöjähsmomentti. 0 Viitteet [1] J. alto and R. Srjä unified solution attempt for the torsion problem Proceedings of the 24 th Nordic Seminar on Computational Mechanics J. Freund and R. Kouhia (Eds.) alto Universit 2011. [2] J. alto ja E.-M. Salonen Sstemaattinen menetteltapa taivutetun ja väännetn palkin jännitsten määrittämiseksi Proceedings of the 11 th Finnish Mechanics Das H. Koivurova and M. Malaska (Eds.) Universit of Oulu 2012. [3] S.P. imoshenko and J. N. Goodier heor of Elasticit 3 rd ed. McGraw-Hill 1970. [4] C.F. Kollbrunner and K. Basler orsion in Structures Springer-Verlag 1969. [5] S.P. imoshenko On the correction factor for shear of the differential equation for transverse vibrations of bars of uniform cross-section. Philosophical Magaine p. 744 1921. Jukka alto alto-liopisto Insinööritieteiden korkeakoulu Rakennustekniikan laitos PL 12100 00076 alto jukka.aalto@aalto.fi 404