ÌÓÒÒĐĐÓ ÝÝ ÔÖÙ ØØ Naiiveja määritelmiä Suhteellinen frekvenssi kun ilmiö toistuu Jos tehdas on valmistanut 1000000 kpl erästä tuotetta, joista 5013 ovat viallisia, niin todennäköisyys, että tuote on viallinen on noin ¼¼¼ Ilmiölle suotuisten vaihtoehtojen osuus Jos huoneessa on naista ja miestä niin todennäköisyys, että satunnaisesti valittu henkilö on nainen on ¼ Ilmiön sattumisen mahdollisuuden mitta Huomenna myrskyn todennäköisyys on ¼% Otosavaruus ja todennäköisyys Otosavaruus Ë on joukko, jonka alkiot ovat kokeen tulokset Tapahtuma on otosavaruuden osajoukko Arkikielen tapahtuma tapahutuma johon kuuluu vain yksi tulos Tapahtumalla on todennäköisyys ÈÖ µ ja pätee: ¼ ÈÖ µ ÈÖ Ëµ ÈÖ µ ¼ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ µ ÈÖ µ ÈÖ µ Riippumattomuus Tapahtumat ja ovat riippumattomia ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ
Tapahtumat Ò ovat (keskinäisesti) riippumattomia jos ÈÖ ¾ Ñ µ ÈÖ µ ÈÖ ¾ µ ÈÖ Ñ µ kun ¾ Ñ Ò Jos tapahtumat ja ovat riippumattomia niin myös ja ja ja ovat riippumattomia Ehdollinen todennäköisyys Tapahtuman todennäköisyys ehdolla on ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ olettaen, että ÈÖ µ ¼ Joukko-oppia ¾ kuuluu joukkoon eli on :n alkio ¾ ei kuulu joukkoon eli ei ole :n alkio ¾ tai ¾ ¾ ja ¾ Ò ¾ ja ¾ Ë Ò (kunhan on selvää minkä joukon Ë suhteen otetaaan komplementti)
ÃÓÑÒØÓÖ Kertolaskuperiaate Jos valintaprosessissa on vaihetta ja vaiheessa on Ò vaihtoehtoa riippumatta siitä miten muissa vaiheissa valitaan niin vaihtoehtoiden lukumäärä on ÒÒ¾Ò Ò Ñ alkiota voidaan järjestää jonoon Ñ Ñ Ñ µ Ñ ¾µ eri tavalla Binomikerroin Joukolla, jossa on Ñ alkiota on Ñ Ñ Ò Ò Ñ Òµ osajoukkoa jossa on Ò alkiota eli Ñ:stä alkiosta voidaan valita Ò alkiota Ñ eri tavalla Ò
Ý Ò Ú Kokonaistodennäköisyys Jos Ë ¾ Ò ja kun niin µ ¾µ Ò µ µ ÈÖ µ ÈÖ µè µ ÈÖ ¾µÈ ¾µ ÈÖ Ò µè Ò µ Bayesin kaava ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ µ ÈÖ ¾µ ÈÖ ¾µ ÈÖ Ò µ ÈÖ Ò µ eli on ennakkokäsitys tapahtumien todennäköisyyksistä ÈÖ µ missä ¾ Ò Ë ja kun tunnetaan ehdolliset todennäköisyydet ÈÖ µ µ jos tapahtuma on havaittu saadaan tarkempaa tietoa tapahtuman todennäköisyydestä.
ËØÙÒÒ ÑÙÙØØÙØ ÖØÝÑĐÙÒØÓØ Jos Ë on kokeen otosavaruus niin satunnaismuuttuja on funktio: Ë Ê eikä siis muuttuja. Saadaan uusi koe jonka otosavaruus on kuvajoukko Ë µ ¾ Ë tai koko reaaliakseli ja todennäköisyydet ÈÖ Ë µ ÈÖ µ ÈÖ ¾ Ë µ µ Satunnaismuuttujan kertymäfunktio on ܵ ÈÖ ¾ Ë µ Ü µ ÈÖ Üµ Satunnaismuuttuja on diskreetti jos kuvajoukko Ë µ ¾ Ë on äärellinen tai korkeintaan numeroituva ja silloin :n pistetodennäköisyysfunktio on ܵ ÈÖ µ Ü µ ÈÖ Üµ Funktio on satunnaismuuttujan tiheysfunktio jos ܵ ¼ Ü ¾ Ê Üµ dü Ü Üµ ÈÖ µ Ü µ ص dø ÈÖ µ ص dø Riippumattomuus Satunnaismuuttujat ¾ Ò ovat riippumattomia jos tapahtumat ¾ ¾ Ò Ò ovat riippumattomia kaikilla ¾ Ò ¾ Ê. Ü Ô on satunnaismuuttujan (ja sen jakauman) kvantiili kertalukua Ô, ¼ Ô jos ÈÖ Ü Ô µ Ô ja ÈÖ Ü Ô µ Ô eli ÈÖ Ü Ô µ Ô ÈÖ Ü Ô µ eli ÐÑ ÜÜÔ Üµ Ô Ü Ô µ
Kvantiilit eivät välttämättä ole yksikäsitteisiä! ܼ on mediaani Milloin satunnaismuuttujalla on tiheysfunktio? Vastaus: Kun kertymäfunktio on absoluuttisesti jatkuva eli kun jokaisella ¼ on olemassa Æ ¼ siten, että jos Ü Ý Ü Ý Æ ja Æ Ü µ Æ Ý µ Ü Ý Æ niin
ÇÓØÙ ÖÚÓ ÚÖÒ Satunnaismuuttujan odotusarvo E µ E µ Ü ÈÖ Ü µ Ü Ü µ Ü ¾Ë Ü ¾Ë E µ Ü Üµ dü jos on :n tiheysfunktio missä vaaditaan että summa tai integraali suppenee itseisesti ¼ ja aina µ ܵµ dü ܵ dü ¼ jos on diskreetti E ¾¾µ E µ ¾E ¾µ Jos on satunnaismuuttuja ja on (esim. jatkuva) funktio Ê µµ È Ü ¾Ë Ü µ Ü µ niin myös µ on satunnaismuuttuja ja ܵ ܵ dü jos on :n tiheysfunktio jos on :n pistetodennäköisyysfunktio Satunnaismuuttujan varianssi: ÎÖ µ ¾ ¾ µ µµ ¾ µ ¾ µ µµ ¾ Keskihajonta eli standardipoikkeama on µ Ô ÎÖ µ Jos ja ¾ ovat riippumattomia niin ÎÖ ¾¾µ ¾ ÎÖ µ ¾ ¾ ÎÖ ¾µ ÈÖ µ Tsebyshevin epäyhtälö Ô ÎÖ µµ ¾ Karkea arvio mutta ainoa oletus on odotusarvon olemassaolo
ÖØØĐ ÙÑ Tasainen diskreetti jakauma µ ¾ Ë Ë Ü Ü¾ Ü Ò µ Ò Ò Ü ÈÖ Ü µ Ò Ò ÎÖ µ Ü ¾ Ò ¾ Ü Ò Ò Bernoulli-jakauma Satunnaismuuttuja noudattaa Bernoulli-jakaumaa eli jos tapahtuma sattuu, ÖÒÓÙÐÐ Ôµ jos ¼ muulloin, missä ÈÖ µ ÈÖ µ Ô µ Ô ÎÖ µ Ô Ôµ Bernoulli-koe on koe jolla on vain kaksi tulosta Binomijakauma Jos ¾ Ò ovat riippumattomia ja ja ÖÒÓÙÐÐ Ôµ-jakautuneita satunnaissuureita, niin ¾ Ò noudattaa binomijakaumaa parametreilla Ò ja Ô, eli ÈÖ µ Ò Ò Ò Ôµ ja Ô Ôµ Ò ¼ ¾ Ò µ ÒÔ ÎÖ µ ÒÔ Ôµ
Geometrinen jakauma sattuu ensimmäisen kerran kierroksella : Jos ¾ ovat riippumattomia ja ÖÒÓÙÐÐ Ôµ-jakautuneita satunnaismuuttujia, ja jos ¾ ¼ ja niin noudattaa geometristä jakaumaa parametrillä Ô, eli ÓÑ Ôµ ja ÈÖ µ Ôµ Ô ¾ µ Ô ÎÖ µ Ô Ô ¾ Negatiivinen binomijakauma sattuu Ö kerran kierroksella : Jos ¾ ovat riippumattomia ja ÖÒÓÙÐÐ Ôµ-jakautuneita satunnaissuureita, ja jos Ö ja niin noudattaa negatiivista binomijakaumaa parametreilla Ö ja Ô ÈÖ µ eli ÆÒ Ö Ôµ ja Ö Ôµ Ö Ô Ö Ö Ö µ Ö Ö Ôµ ÎÖ µ Ô Ô ¾ ÓÑ Ôµ ÆÒ Ôµ Jos ÆÒ Ö Ôµ ja ÆÒ Ôµ ovat riippumattomia, niin ÆÒ Ö Ôµ
Hypergeometrinen jakauma Satunnaismuuttuja noudattaa hypegeometrista jakaumaa parameterilla Æ, Ö ja Ò ÈÖ µ eli ÀÝÔÖÓÑ Æ Ö Òµ jos Ö Æ Ö Ò Æ Ò µ ÒÖ Æ Ñܼ Ò Æ Öµ ÑÒÒ Ö ÎÖ µ Ò Ö Æ Ö Æ Ò Æ Æ Eli, jos valitaan satunnaisesti ilman takaisinpanoa Ò alkiota joukosta missä, Ò µ Ö ja Ò µ Æ Ö ja jos on :sta valittujen alkioden lukumäärä, niin ÀÝÔÖÓÑ Æ Ö Òµ Jos ÀÝÔÖÓÑ Æ Ö Òµ niin Ò Ò Ö Æ jos Ò Æ on riittävän pieni (esim. ¼¼) Poisson-jakauma Satunnaismuuttuja noudattaa Poisson-jakaumaa parametrilla eli ÈÓ ÓÒ µ jos ÈÖ e µ ¼ ¾ µ ÎÖ µ Jos ÈÓ ÓÒ µ ja ÈÓ ÓÒ µ ovat riippumattomia niin ÈÓ ÓÒ µ Jos Ò Æ Æ µ niin ÈÓ ÓÒ µ jos Æ on riittävän suuri (ja ¼)
ÂØÙÚ ÙÑ Jatkuva tasainen jakauma Satunnaismuuttuja noudattaa jatkuvaa tasaista jakaumaa parametreilla ja eli ÍÒÓÖÑ µ ܵ ¼ ¼ jos sen tiheysfunktio on Ü Ü Ü µ µ¾ ÎÖ µ ¾ ¾ Eksponenttijakauma Satunnaismuuttuja noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla ¼ eli ÜÔ µ ܵ jos sen tiheysfunktio on ÜÔ Ü Ü ¼ ¼ Ü ¼ µ ÎÖ µ ¾ Jos ¾ ovat riippumattomia ÜÔ µ jakautuneita satunnaismuuttujia niin ÑÜ ¼ ¾ Ì noudattaa ÈÓ ÓÒ Ì µ-jakaumaa Normaalijakauma Satunnaismuuttuja on normaalijakautunut parametreillä ja ¾ eli Æ ¾ µ jos ܵ Ô ¾ e Ü ¾ µ ¾ Ü ÎÖ µ ¾ Jos Æ ¾ µ ja ¾ Æ ¾ ¾ µ ovat riippumattomia, niin ¾ Æ ¾ ¾ ¾ ¾ µ
Keskeinen raja-arvolause Jos ¾ ovat riippumattomia ja samalla tavalla jakautuneita satunnaismuuttujia siten, että µ ja ÎÖ µ ¾, ¾, niin È Ò Ô Ò Æ ¼ µ kun Ò eli Ò È Ò ÐÑ ÈÖ Ò Ò Ô Ò Ü Ü Ô¾ e ¾ ؾ dø
ÅÓÒÙÐÓØØ Ø ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙØ ÙÑØ Jos Ë on otosavaruus jolla on määritelty todennäköisyys niin µ Ë Ê ¾ on kaksiulotteinen satunnaismuuttuja jonka kertymäfunktio on Ü Ýµ ÈÖ Ü Ýµ Kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ on diskreetti ja sillä on pistetodennäköisyysfunktio Ü Ýµ jos Ü Ýµ ¼ Ü Ý kaikilla Ü ja Ý Ü Ýµ ÈÖ Ü Ýµ Ü Ýµ kaikilla Ü ja Ý Kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ on jatkuva ja sillä on tiheysfunktio Ü Ýµ jos kaikilla Ü ja Ý Ü Ýµ ¼ Ü Ýµ dü dý Ü Ý Ü Ýµ ص dø d kaikilla Ü ja Ý Reunajakaumat Jos Ü Ýµ on diskreetin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktio niin muuttujien ja ܵ ÈÖ Üµ reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktiot ovat Ü Ýµ ja ݵ ÈÖ Ýµ Ý Ü Jos Ü Ýµ on jatkuvan kaksiulotteisen satunnaismuuttujan tiheysfunktio niin muuttujien ja ܵ reunajakaumien tiheysfunktiot ovat Ü Ýµ dý ja ݵ Ü Ýµ dü Ü Ýµ
Riippumattomuus Jos µ on diskreetti kaksiulotteinen satunnaismuuttuja, tai µ:llä on tiheysfunktio niin ja ovat riippumattomia Ü Ýµ ܵ ݵ Kovarianssi ja korrelaatio ÓÚ µ µµ µµ µ µ µ ÓÖ µ Ô ÓÚ µ ÎÖ µîö µ ÓÖ µ ja riippumattomia µ ÓÚ µ ÓÖ µ ¼ Ehdolliset jakaumat Jos µ on diskreetti pistetodennäköisyysfunktiolla Ü Ýµ tai jatkuva tiheysfunktiolla Ü Ýµ niin Ýܵ Ü Ýµ ܵ ܵ ¼ on :n ehdollinen pistetodennäköisyysfunktio ehdolla Ü Ê Ý Ýܵ dý ܵ tai È Ý Ý Ýܵ µ on satunnaismuuttuja jolle pätee ÈÖ µ Þµ ÈÖ ¾ Ë µµ Þ µ µµ µ
Ü Ýµ Ô ¾ ¾Ô e Ø µ missä Kaksiulotteinen normaalijakuama jolloin ¾ Ýܵ ¾ Þ µt Þ µ ¾ ¾ ¾ µ ¾ Þ Ü Ý Æ ¾ µ ja Æ ¾ µ eli Æ Ô¾ Ô ¾ e ÓÖ µ Ø µ ¾ Ü ¾ Ý ¾ µ µ µ Ý ¾ Ü µ Ô ¾ ¾ Ü µ ¾ µ ¾ µ ehdolla Ü ¼ ja ovat riippumattomia