Luento 9 Luento 9 Jaksolliset signaalit epälineaarisissa muistittomissa järjestelmissä 9.1 Muistittomat epälineaariset komponentit Pruju Taylor-sarjakehitelmä ja konvoluutio taajuustasossa Särö Keskinäismodulaatio 9.2 Epälineaarisuuden karakterisointi 1
9.1 Muistittomat epälineaariset komponentit
Särö Useimmiten säröllä tarkoitetaan tahatonta ja ei niin haluttua muutosta signaalissa, mutta erityisesti kitaristien keskuudessa säröllä tarkoitetaan efektiä, jolla muokataan alkuperäistä puhdasta signaalia lisäämällä siihen uusia taajuuskomponentteja. Säröefektiä tuottavaa laitetta kutsutaan usein äänensärkijäksi. Alkujaan säröefekti keksittiin 1950-luvulla kun kitaravahvistinta soitettiin niin kovaa, että vahvistin yliohjautui ja ääni säröytyi s(t) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8 Signal Clipped signal -1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 t Kuuntele säröä: http://en.wikipedia.org/wiki/file:distortion_effect.ogg 3
Epälineaarisuus Tarkastellaan passiivista epälineaarista komponenttia u(t) y(t) f( ) Taylor-sarjakehitelmä 1 1 2 1 3 y f( x0) f '( x0) xx0 f ''( x0) xx0 f ''( x0) xx0... 2! 3! 4! 2 3 x x x... 0 1 2 3 Epälineaarisuuden läpi kulkenut signaali Kertolasku aikatasossa vastaa konvoluutiota taajuustasossa 4
Epälineaarisuus Tarkastellaan sini-muotoista herätettä Fourier-muunnos Epälineaarisuus 1 0.8 DC-komponentti 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8 cos(2 t) cos 2 (2 t) -1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 2. harmooninen 5
Epälineaarisuus Epälineaarisuus 1 Signaalin taajuudella 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8 cos(2 t) cos 3 (2 t) -1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 3. Harmooninen taajuus 6
Epälineaarisuus Epälineaarisuudet synnyttävät harmoonisia taajuuksia Approksimoidaan epälineaarisuutta Taylor-sarjan kolmella ensimmäisellä termillä: 2 3 1 0.8 Parilliset potenssit synnyttävät harmoonisia, jotka voidaan poistaa suodattamalla Parittomat potenssit aiheuttavat komponentteja myös signaalin taajuudelle 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8 cos(2 t) 2 1/2 cos k k=1 (2 t) 3 1/3 cos k k=1 (2 t) -1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 7
Epälineaarisuus Tarkastellaan epälineaarisuutta f( x) xx 3 Jos xt ( ) cos 2 ft 0 Mitä taajuuksia yt () f( xt ()) sisältää? 8
Lineaarisen modulaattorin toteuttaminen Halutaan toteuttaa modulaattori piiri, joka saa syötteeksi kantoaallon ja moduloitavan signaalin x(t) xt () A ct ( ) cos2 ft c 2 X(f) 2 zt () Summain Neliöinti Kaistanpäästö suodatus H(f) Z( f) yt () Axt ()cos2ft c C(f) 2 2 f c f c Y( f) f c 2 f c f c f c f c f c 9
Särö Yleinen epälineaarisuus 1 1 2 1 3 f( x0) f '( x0) xx0 f ''( x0) xx0 f ''( x0) xx0... 2! 3! 4! 2 3 x x x... 0 1 2 3 Kun tulosignaali on kosini xt ( ) Acos 2 ft 0 niin epälineaarisuuden lähtösignaali yt () f xt () a xt () k k0 k x(t) voidaan kirjoittaa tulosignaalin harmoonisten yliaaltojen avulla k0 yt ( ) u cos 2kft k 0 f( ) y(t) 10
Särö Epälineaarisuuden vaikutusta signaaliin voidaan tarkastella harmonisen särökertoimien (distortion) avulla n. asteen särökerroin: d n u u n 1 n asteen särövaimennus: Kokonaissärökerroin (Total Harmonic Distortion THD) tot An 20log 10 dn n=2,3,4, dn 100% Särö % 2 2 2 2 2 2 2 2 u2 u3 u4 u5 2 3 4 5... u1 d d d d d... 11
Särö Signaalin y teho (Parsevalin teoreema) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Py u0 u1 u2 u3 u4 u5.. 2 2 2 2 2 P0 P1 P2 P3 P4 P5... Signaalin kokonaissärö voidaan määrittää kun tunnetaan lähtösignaalin kokonaisteho P y, DCkomponentin teho P 0 sekä perustaajuuden teho P 1 dtot Py P0 P1 P1 12
Särö Epälineaarisuuden ominaiskäyrä 2 3 4 0 1 2 3 4 y( x) a a xa x a x a x... Kosinin potenssikaavat 2n 1 n1 2n 2n cos x 2 cos 2( n k) x 2n 2 k 0 k n 2n1 1 n12n1 cos x cos2n 2k 1) x 2n2 2 k0 k Sovelletaan summakaavoja lähtösignaaliin 1 1 yt () a0 aa 1 cos2 ft x aa 2 cos22ft x 2 2 33 1 aa 3 cos2 ft x cos23 ft x 4 4 43 1 1 a4a cos2 2 fxt cos24 fxt 8 2 8 5 5 1 2 5 ELEC-A7200 aa 5Signaalit cos2 ja järjestelmät ft x cos2 5 op 3ft x Aalto-yliopisto cos25 ft xtietoliikenne-... 8 16 16 ja 13
Särö Ryhmitellään termit uudelleen harmoonisten yliaaltojen mukaan 1 2 3 4 3 3 5 5 a0 a2a a4a... a1u a3u a5a... cos2 fxt 2 8 4 8 u 0 1 1 2 1 4 a2a a4a... cos22fxt 2 2 u 2 1 3 5 5 aa 3 aa 5... cos23ft x 4 16 u 3 1 4 1 5 au 4... cos24 ft x au 5... cos25 ft x... 8 16 u 4 u 14
Särökertoimiksi saadaan Särö 1 2 1 4 1 1 3 a2a a4a... a2a a4a... u 2 2 2 2 2 d2 u1 3 3 5 5 3 2 5 4 aa 1 aa 3 aa 5... a1 aa 3 aa 5... 4 8 4 8 1 3 5 5 1 2 5 4 aa 3 aa 5... aa 3 aa 5... u 3 4 16 4 16 d3 u1 3 3 5 5 3 2 5 4 aa 1 aa 3 aa 5... a1 aa 3 aa 5... 4 8 4 8 1 4 1 3 a4a... a4a... u 4 8 8 d4 u1 3 3 5 5 3 2 5 aa 4 1 aa 3 aa 5... a1 aa 3 aa 5... 4 8 4 8 d5 1 5 1 4 aa 5... aa 5... 16 16 3 3 5 5 3 2 5 4 aa 1 aa 3 aa 5... a1 aa 3 aa 5... 4 8 4 8 15
Särö Jos A<<1 tai a n << a 1, niin särökertoimeksi saadaan d n 2 a n n1 a 1 A n1 ja särövaimennukseksi An 20log dn n1 2 a 20log 1 a 20log 1 ( n1) 3,01 ( n1) 20log( A) n1 a a na n 16
Särö IEEE Std 519-1992, IEEE Recommended Practices and Requirementd for Harmonic Control in Electrical Power Systems asettaa rajoituksia teholähteiden kokonaissärökertoimelle ja yksittäisten harmoonisten taajuuksien särökertoimille. Rajoitukset riippuvat kuorman tyypistä. Esim. Tietokonnet, tieteoliikennelaitteet, ohjelmoitavat logiigat jne. THD < 5% suurin särö-% < 3%. Suuremmat säröt voivat aiheuttaa toimintaan häiriöitä. Laitteiden elinajan maksimoimiseksi särön tulisi olla mahdollisimman pieni. T. M. Blooming, D. J. Carnovale. Application of IEEE STD 519-1992 Harmonic Limits Eaton Electrical 17
Keskeismodulaatiosärö Keskeismodulaatiosäröä syntyy epälineaarisessa järjestelmässä, kun tulosignaali on kahden tai useamman sinisignaalin summa. x() t x () t x () t 1 2 Lähtösignaali on muotoa y() t f x() t a x () t x () t k0 k 1 2 k k a k n n k x 1 () t x 2 () t k0 n0n k ax () t ax () t ax () tx () t k k kn n k 1 k 2 k 1 2 k0 k0 k0 nkn n 0 k x 2 ja sen harmooniset yliaallot x 1 ja sen harmooniset yliaallot Sekoittuneet signaalit 18
Intermodulaatiotulokset 3. Asteen epälineaarisuuden intermodulaatiotulokset 9 1 4 4 3 cos 1 2 2t cos 1 2 2t cos 2 12 t cos 2 12 t 4 3 cos( t) cos( t) cos( t) cos( t) cos(3 t) cos(3 t) 1 2 1 2 1 2 5. Asteen epälineaarisuuden intermodulaatiotulokset 25 25 1 4 16 16 25 cos 1 2 2t cos 1 2 2t cos 2 12t cos 2 12t 8 5 cos 3 1 2 2t cos 3 1 2 2t cos 2 1 3 2t cos 2 1 3 2t 8 5 cos 4 12t co s412tcos142tcos 142t 16 5 cos( t) cos( t) cos( t) cos( t) cos(3 t) cos(3 t) cos(5 t) cos(5 t) 1 2 1 2 1 2 1 2 19
Viivaspektri Intermodulaatiotulokset Teho (W) 2 9 25 a1 a3 a5 P1 4 4 3 2 a3 25 a5 P1 4 8 2 5 5 1 8 a P 3 2 2 1 2 1 1 2 2 22 132 21 51
Keskeismodulaatiosärö Kahden kosini-signaalin kulkiessa n. asteen epälineaarisuuden läpi syntyy sekoitustaajuuksia f lf mf x x x keskeis 1 2 l m n l..., 2, 1,0,1,2,... m.., 2, 1,0,1,2,... f f x1 x2 Tulosignaalin x 1 (t) taajuus Tulosignaalin x 2 (t) taajuus 21
Two-tone signaali Keskeismodulaatiosärö x( t) A1cos 1t A2cos 2t kulkee n=3 asteisen epälineaarisuuden läpi. Mitä taajuuksia ulostulosignaali sisältää? 22
9.2 Epälineaarisuuden karakterisointi
Epälineaarisuus Epälineaarinen komponentti aiheuttaa yleensä tehohukkaa kun tulosignaalin teho kasvaa suureksi. Epälineaarisuuden kuvaamiseen käytettyjä suureita Saturaatiotaso (saturation level) on suurin jätjestelmästä saatava perustaajuisen komponentin lähtötaso. 1 db:n kompressio taso (1dB compression level) on se järjestelmän lähtötaso, joka on 1 db alempi kuin lähtötaso ilman epälinearisuutta. 24
1 db:n kompressio taso Esimerkki 10 db vahvistin 50 40 Lineaarisen 9 db Vahvistimen lähtötaso P out (dbm) 30 20 Saturaatio taso 1 db compressiotaso 30 db 24.45 db 10 1dB 0 Lähes lineaarinen toiminta, mutta huono hyötysuhde Epälineaarinen toiminta, mutta hyvä hyötysuhde -10-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 P in (dbm) 25
Tehonvahvistimen hyötysyhde Esimerkki 10 db vahvistin 0.8 0.7 0.6 Power amplifier efficiency 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 P out (db) 26
Epälineaarisuuden karakterisointi Epälineaarisia komponentteja mallinnetaan usein matala-asteisilla polynomeilla F( r()) t ar() t a r t a r () t 3 5 1 3 5 Mallin parametrien selvittämiseksi tehdään tyypillisesti two-tone testi, jossa lähetetään kaksi eri taajuista sinimuotoista signaalia r( t) Acos 1t Acos 2t Spektrianalysaattorilla tutkitaan komponentin synnyttämiä intermodulaatiotuloksia Teho spektri (db) f 1 f 2 2f 1 -f 2 f 1 f 2 2f 2 +f 1 27
Epälineaarisuuden karakterisointi Muistittoman lineaarisen RF tehovahvistimen toimintaa voidaan kuvata joko 3. tai 5. kertaluvun polynomilla G Gain (db) 3 5 x() t ar 1 () t a3r t a5r () t IP3 3. order intercept point (db) IP5 5. order intercept point (db) a a a 1 3 5 10 G 20 2 10 3 2 10 5 IP3 G 3 10 20 IP5 G 5 4 Q. Wu, H. Xiao, and F. Li, Linear RF Power Amplifier Design for CDMA Signals: A spectrum Analysis Approach, Microwave Journal, December 1998 www.circuitsage.com/lnapa/acpr.pdf 28
Epälineaarisuuden karakterisointi Lähes lineaarisen komponentin tapauksessa, 3. asteen epälineaarisuuden osuus tehosta on taajuuksilla 22 1ja 21 2 Olkoon P testisignaalin tonen teho (dbm) Vahvistimen lähtöteho F( r()) t ar() t a r t a r () t 3 5 1 3 5 Teho (dbm) P t 20log 10 (a 1 )+P 20log 10 (a 3 )+3P 20log 10 (a 5 )+5P 3 2 2 1 2 3 2 1 1 2 2 22 1 2 1 29
Epälineaarisuuden karakterisointi Leikkaustasot saadaan määriteltyä mitatusta spektristä 20log a 3P P IM IM 20log10a3 3IP 2 3 IP3 10 3 t t 3 3 IP3 Pt 20log a 5P P IM IM 20log 5 10 5 t t 5 5 IP3 Pt 4 10 a3 IP5 IP5 Outputpower (dbm) IP 3 IM 3 P t IP 3 Teho (dbm) P t IM 3 IM 5 3 2 2 1 2 3 2 1 1 2 2 22 1 2 1 30
Epälineaarisuuden karakterisointi Mitattu tehospektri two-tone testisignaalin tapauksessa IM 3 IM 5 31
Esimerkki 32
Dual Tone Multi Frequency DTMF Analogisessa puhelinverkossa käytettiin signalointiin kahdesta taajuuskomponentista koostuvia signaaleja. Käytetyt taajuudet on valittu siten, että puhelinjärjestelmän epälineaarisuuksien aiheuttama intermodulaatiosärö ei vaikeuta taajuuksien tunnistamista vastaanottopäässä. ITU-T Recommendation Q.23 33
Matlab esimerkki Dualtone signaali f 1 =350 Hz f 2 =440 Hz 0.25 0.2 0.15 Without clipping With clipping Signaali leikkaantuu Syntyy taajuuksia k350+l440 0.1 0.05 0-1000 -800-600 -400-200 0 200 400 600 800 1000 80 Hz, 170 Hz, 260 Hz, 0.035 Without clipping With clipping 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0-0.005-0.01-0.015 0 100 200 300 400 500 600 700 800 34
fs=44100; %Sampling frequency (Hz) f1=350; %Low frequency (Hz) f2=440; %High frequency (Hz) ts=1/fs; %Sampling interval T=2; %Signal length (sec) A=0.5; %Signal amplitude t=0:ts:t; %Time y=a*cos(2*pi*f1*t)+a*cos(2*pi*f2*t); Matlab esimerkki %Power spectrum ya=[y zeros(1,1000)]; N=length(ya); %Number of samples dfs=fs/n; Y=abs(ts*fftshift(fft(ya))).^2; dfs=fs/n; F=[-(N-1)/2*dfs:dfs:(N-1)/2*dfs]; figure(1) plot(f,y) xlabel('f (Hz)') ylabel('spectrum density') axis([-1000 1000 0 0.25]) disp('dial tone') wavplay(y,fs) pause %Clipped signal p=0.3; yc=1/p*max(-p*a,min(p*a,y)); yca=[yc zeros(1,1000)]; Yc=abs(ts*fftshift(fft(yca))).^2; wavplay(yc,fs) figure(1) disp('dial tone over distorting line') plot(f,y,'k-',f,yc,'r:') legend('without clipping','with clipping',1) axis([-1000 1000 0 0.25]) pause 35