Lisätetäviä Peruskäsitteitä 0. ) Kulm on smnkotinen kulmn knss, joten kosk s j l ovt ydensuuntiset, on. b on :n ristikulm, joten myös b. b) b on smnkotinen kulmn 0 knss j kosk s j l ovt ydensuuntiset, on b 0. on b:n vieruskulm, joten + b 80 eli 80 b 80 0 0. Vstus: ) 7 j b 7 b) 0 j b 0 0. ) Kuvioss yläällä on tssivuinen kolmio, jonk kikki sivut ovt ytä pitkiä. Tssivuisess kolmioss myös kikki kulmt ovt ytä suuri eli 80 60. 80 0 60 80 80 80 00 b) Kuvss on tskylkinen kolmio, jonk kntkulmt ovt ytä suuri eli molemmt 6. 0. ) 9 :n kulmn vieruskulm on 80 9. Siis suort s j l eivät ole ydensuuntiset. b) :n kulmn vieruskulm on 80 69, joten kuvn kolmion kolms kulm on 80 69 7 6. Tämän vieruskulm on 80 6 6, jok on siis ytä suuri kuin suorll l sijitsev smnkotinen kulm. Siis suort s j l ovt ydensuuntiset. Vstus: ) Suort eivät ole ydensuuntiset. b) Suort ovt ydensuuntiset. 06. Olkoon sellinen luku, että jnn AB pituus on 8. Tällöin AP eli j PB 6 6 6. Vstus: Jnn PB pituus on 6. 07. Kosk 6 + +, niin merkitään muttujll sellist luku, että 6, 9 m 6,9 m. Tällöin, m j Jonin loikkien pituudet ovt 6 6, m 6,78 m,, m, m j, m,6 m. Vstus: Jonin loikkien pituudet ovt 6,78 m;, m j,6 m. Kulm on 6 :n kulmn knss smnkotinen kulm eli ytä suuri. Tskylkisen kolmion uippukulm on 80 6 6, joten b 80 6. Vstus: ) b 00 b) 6 j b Kertom! MAB 7
Tsokuviot 08. ) Suunnikkn kulmien summ on 60. Kosk + + + 0, niin merkitään muuttujll sellist luku, että 0 60. Tällöin 60 6 j suunnikkn kulmt ovt 6 j 6. 0 b) Viisikulmio voidn jk kolmeksi kolmioksi, joiden kulmien summ on 80. Tällöin viisikulmion kulmien summ on kikkien näiden kolmioiden kulmien summ eli 80 0. ( + + + + ) 0 Olkoon sellinen luku, että 0 eli. Tällöin viisikulmion suurin kulm on 80. c) Suunnikkn vstkkiset kulmt ovt ytä suuret, joten suunnikkss on vin kdensuuruisi kulmi. Merkitään pienempää kulm :ll. Silloin suurempi kulm on. Suunnikkn kulmien summ on 60 eli + + + 60 8 60 60. 8, joten suunnikkn kulmt ovt,, j. d) Merkitään uippukulm :ll. Tällöin kntkulm on + 0. Kolmion kulmien summ on 80, joten sdn ytälö: + ( + 0) 80 + + 0 80 80 0 0 6,66... 6, 7. Vstus: ) Suunnikkn kulmt ovt 6, 6, j. b) Viisikulmion suurin kulm on 80. c) Suunnikkn kulmt ovt,, j. d) Huippukulm on 6,7. 09. ) Suunnikkn vstkkiset kulmt ovt ytä suuret, joten kulm b on ytä suuri kuin kulmn 80 vieruskulm eli b 80 80 00. Suunnikkn kulmien summ on 60, joten + 60 + 00 60 60 00 60 80. Siis suunnikkn erisuuruiset kulmt ovt 80 j 00. b) Nelikulmion kulmien summ on 60, joten + + 90+ 90 60 + 80 60 60 80 80 60. Siis 60 0 eli nelikulmion kulmt ovt 60, 90, 90, j 0. Vstus: ) 80 j b 00, joten suunnikkn kulmt ovt 80, 80, 00 j 00. b) 60 j 0, joten nelikulmion kulmt ovt 60, 90, 90 j 0. 0. ) Puolisuunnikkn pint-ln kvll sdn: + 0 A 7 (mm ). b) + 6 Pint-l on siis 6 pint-lyksikköä. Kertom! MAB 8
c) Kuvn monikulmio voidn jk vktsoss suorkulmioon j puolisuunnikkseen, jolloin koko kuvion pint-lksi sdn: 6 A A + A + + suork puolis 6 ( 8 ) 0 + 0 +. d) Suorkulmion oikess ylänurkss on neliö, jonk pint-l on m, jolloin sen sivun pituus on (m). Siis suorkulmion A leveys 7 sdn ytälöstä 7 eli (m) j sen korkeus y ytälöstä 0 y 0 eli y 0 (m). Siis A:n pint-l on 0 0 (m ) j koko kuvion yteispint-l on 0 + 7 + + 0 00 (m ). d) Suorkiteen A sivujen pituudet ovt m j 0 m, joten pint-l on 0 m. e) 0 0 0 0 ± ( ) f) ( ) 8 8 0 toisen steen ytälön rtkisukv ( ) ± ( ) ( 8) ± 9 + 9 ± ( ) 7 Vstus: ) Pint-l on 7 mm. b) Pint-l on 6 pint-lyksikköä. c) Pint-l on m. d) Pint-l on 00 m. e) f) 7. Puolisuunnikkn pint-ln kvll sdn ytälö: + ( + ) 8 0 + 8 0 8 ( + ) 0 ( + ) 0 + 0 0 0 0 8 7 ( m) Vstus: 7 m. ) Jn AC puolitt jnn BD. Lisäksi kolmiot ABC j ACD ovt ytenevät, kosk niillä on ytä pitkät sivut, joten koko nelikulmion pint-lksi sdn: AC BD A AABC + AACD AABC AC BD 8 ( cm ) b) )-kodn nojll sdn ytälö: AC BD A A AC BD 7 ( ) ( + 7 ) 87 ( )( + 7) + 7 7 87 0 + 87 0 0 + 888 0 ± 0 ( 888) 9 60 ± ( ) 8 0 0 0 Vstus: ) Pint-l on cm. b) 8 Kertom! MAB 9
Ydenmuotoisuus j mittkv. ) Kosk kolmiot ovt ydenmuotoiset, sdn verrnto:, 68, 68,,, 68,, 87,, b) Sdn verrnto: 9, 0 9,, 8 0 Vstus: ),87 b) 8. ) Kuvn kolmiot ovt ydenmuotoiset kk-luseen nojll, kosk niillä on molemmill suor kulm j lisäksi niiden toiset terävät kulmt ovt ytä suuret, kosk ne ovt toistens ristikulmt. Sdn siis verrnto: 7 6 086, 7 7 b) Kuvn kolmiot ovt ydenmuotoiset, sillä ne jkvt keskenään ristikulmt, joiden lisäksi niillä on yksi smnsuuruinen kulm. Sdn verrnto: + kerrotn ristiin ( + ) 9 9 9, Vstus: ) 0,86 b),. Sdn verrnto: 0 0 0 0 0 0, (cm) 0 Punkin koko luonnoss on siis 0 0 cm 0, cm mm. Vstus: Punkin koko luonnoss on mm. -os siitä, mikä se on kuvss eli 0 6. ) 8, km 8 00 m 80 000 cm. Mittkv on 8 80 000 6 : 7 00. 0 000 000 7 00 b) Sdn verrnto: 7 00 7 00 9 00 (cm) Metsälmmen pituus on 9 00 cm 9 m,9 km. c) Oletetn, että lmpi on ympyrän muotoinen. Merkitään lmmen, 9 sädettä r:llä. Siis r 0, 96 (m), joten lmmen pint-l on A πr π 0, 96, 90... 9, (km ). Vstus: ) Mittkv on :7 00. b) Metsälmmen pituus on,9 km. c) Ympyränmuotoisen lmmen pint-l on,9 km. Kertom! MAB 60
7. m 00 dm 0 000 cm. Pint-lojen sude on mittkvn neliö. Tp Merkitään mittkv :m. Pint-lojen sude on mittkvn neliö verrnto:, 0 m 0 000, 0m 0 000 :, 0 m 000 m ± ( ) 000 m 00 Tällöin mittkv on :m :00. ( ), joten sdn m m 8. Keppi j sen vrjo määrittävät suorkulmisen kolmion, jok on ydenmuotoinen lipputngon j sen vrjon määrittämän kolmion knss. Merkitään lipputngon korkeutt :ll. Tällöin sdn verrnto: 9. 8, 07, 8, 6,... 6, (m) 07, Vstus: Lipputnko on 6, metriä korke. 8, m m 0,7 m Tp Merkitään mittkv k:ll. Pint-lojen sude on mittkvn neliö, joten mittkv sdn ottmll pint-lojen suteest neliöjuuri. Siis mittkv k sdn ytälöstä k eli 0 000 0 000 0 000 k 0 000 00 00 00 :. Vstus: Mittkv on :00. 6 ) Neliön pint-l on 6. b) Neliön yläpuolelle muodostuu suuren kolmion knss ydenmuotoinen pikkukolmio, jonk knt on siis neliön sivu eli. Merkitään ison kolmion korkeutt :ll, jolloin pikkukolmion korkeus on. Pikkukolmion j ison kolmion knnlle j korkeudelle sdn verrnto: 6 kerrotn ristiin 6( ) 6 6 6 Siis ison kolmion pint-l on A 6. Vstus: ) Neliön pint-l on 6. b) Kolmion pint-l on 6. Kertom! MAB 6
Suorkulminen kolmio 0. ) + 9+ ± ( ) c) tn 6,... 6, b) sin 0 sin 0 : sin 0 0 sin 0 Vstus: ) b) 0 c) 6,. ) Kolmio on tskylkinen, joten sen uippukulmn puolittj puolitt myös knnn j muodost siis kksi ytenevää suorkulmist kolmiot, joiden knt on 6 j sen vstinen kulm on 0 j ypote- nuus on. Tällöin sin sin 7, 098... 7, sin b) Kolmio on tssivuinen, joten sen korkeus noudtt kv:. Siis 8 8 : 8 ( 6, )., c) cos eli, 8..., 8 8 Vstus: ) 7, b) ( 6, ) c),8. Pytgorn luseell sdn: ( + ) + Tp Kerrotn sulut uki jolloin sdn neljännen steen ytälö. ( + ) + ( + )( + ) + + + + 6 69 + 8 + 6 69 0 + 8 0 Merkitään tässä neljännen steen ytälössä pumuuttujll y. Näin sdn toisen steen ytälö, joss on muuttujn y. Rtkistn ensin y toisen steen ytälön rtkisukvll: y + 8y 0 8 8 y ± ( ) 8 6 y ± 8 y 9 tiy 7 Jos y 9, niin sdn ytälö: 9 ± 9 ± Jos ts y 7, niin sdn ytälö 7, joll ei ole rtkisu. Siispä on oltv ±. Tp Otetn puolittin neliöjuuri. ( + ) + ( + ) 69 + ± 69 + ± Kertom! MAB 6
Sdn kksi ytälöä. Rtkistn molemmt ytälöt erikseen. + 9 ti + 7 ± 9 Ytälöllä ei ole rtkisu ± Siispä on oltv ±. Vstus: ±. Piirretään mllikuv. Merkitään kysyttyä kulm :ll., sin 6,, 0 6, m, m Vstus: Tikkiden j seinän väliin muodostuu steen kulm.. Suorkulmisess kolmioss ypotenuus on pisin sivu, joten ypotenuus on joko + ti sivu +. Huomtn myös että sivun pituuden on oltv positiivinen, joten on oltv > 0. Jos + on ypotenuus, niin sivut toteuttvt Pytgorn luseen ytälön muodoss + ( + ) ( + ) + ( + )( + ) ( + )( + ) + + + + + + + + ± ( ) Jos ts + on ypotenuus, niin sivut toteuttvt Pytgorn luseen ytälön muodoss + ( + ) ( + ) + + + + + + + + ± ( ) Vstus: ti Kertom! MAB 6. Merkitään knnn pituutt :llä. Tällöin kylkien pituus on. Kolmio voidn jk uippukulmn puolittjll kteen suorkulmiseen kolmioon, joiden toinen kteetti on puolet ison kolmion knnst eli j ypotenuus on ison kolmion kylki eli. Tällöin ison kolmion kntkulm sdn selville kosinin vull: cos : 7, 76. Vstus: Kntkulmt ovt 76 stett. 6. Piirretään mllikuv. Korkeuden muutos rinteen lun j lopun välillä on 780 0 0 (m). Rinnettä voidn jtell suorkulmisen kolmion, jonk pystysuor kteetti on 0 m j sen vstinen kulm on 9. 0 m 9
Tällöin mäen pituus on kolmion ypotenuus, jonk pituus sdn 0 selville sinin vull: sin 9 0 88, 00... 90 ( m) sin 9 0 000 m 0 000 m 0 km/,...m/s 60 60 s 600 s mtk mtk Nopeus, jotenik ik nopeus 88, 00... m 0, 90 0 s min s,... m/s Vstus: Rinne on noin 90 metriä pitkä j sen lskeminen kestää noin min s. 7. Tilnne. Jos nnetut sivut ovt kteettej, on niiden välinen kulm tietysti 90. Tilnne. Jos nnetut sivut eivät molemmt ole kteettej, niin sivun 7 täytyy oll ypotenuus, sillä se on pidempi. Tällöin sivu on sivujen väliselle kulmlle viereinen kteetti, joten kulm sdn kosinin vull: cos eli,...,. 7 Vstus: Sivujen välinen kulm on joko, ti 90. 7 7 8. Piirretään mllikuv. Merkitään toisen kteetin pituutt :llä. Tällöin toisen kteetin pituus on 0 7. Sivujen tulee toteutt Pytgorn luse, joten sdn ytälö: + ( 7 ) + ( 7 )( 7 ) 69 + 7 7 7+ 69 0 + 0 0 : 7+ 60 0 ( 7) ± ( 7) 60 7 ± 7 0 ti Kun, niin toinen kteetti on 7 7. Kun, niin toinen kteetti on 7 7. Vstus: Kteettien pituudet ovt cm j cm. 9. Mtk kymmenen metrin päästä jään pinnst mlin ylänurkkn sdn Pytgorn luseen vull: 0 +, 0, 88 0, 07... (m) Se on siis 0,07... metriä pidempi mtk kuin mlin lnurkkn. s Tällöin mlivdill on t v 0, 07... m 0 0, 007..., millisekunti m/s enemmän ik torju kiekko ylänurkst kuin lnurkst. 7 0 m cm Vstus: Aik on, millisekunti enemmän. Kertom! MAB 6
0. B Liv myöemmin Liv ensin Pojoinen s A km C Mjkk Merkitään etäisyyttä mjkst tunnin kuluttu kirjimell. Piirretään kolmioon korkeusjn kärkeen C, jolloin muodostuu kksi suorkulmist kolmiot. Rtkistn näiden vull etäisyys. Etäisyys y: y sin 0 y y Etäisyys :,, sin 0, 6 Livn lätöpiste A, päätepiste B j mjkk C muodostvt suorkulmisen kolmion, joss on lisäksi kulm ABC. Siis livn etenemä mtk eli jnn AB pituus sdn tngentin vull: tn s s tn s km km km Siis livn nopeus on v km/. t min min 60 min Vstus: Livn nopeus on km/.. solmu,8 km/ solmu,8, km/ Liv siis etenee tunnin ikn, km. Merkitään livn lätöpistettä A:ll j loppupistettä B:llä sekä mjkk C:llä. Piirretään mllikuv: B, km 00 80 y, km C, 6 sin 80, 6 sin 80, 89, 8 Vstus: Etäisyys mjkkn on,8 km.. Säännöllinen kuusikulmio koostuu kuudest ytenevästä tssivuisest kolmiost, joten jokisen kolmion pint-l on 00 0 (cm ). 6 Tssivuisen kolmion pint-l sivun vull ilmistun on A. Sdn siis ytälö: 0 0 00 00 ± ( ) 0, 7... (cm) Vstus: Kolmion sivun pituus on noin cm. 0 A Kertom! MAB 6
6 Ympyrä. Merkitään sädettä r:llä. Sdn ytälö: π r 7, 7, r 9,... 9, (m). π Vstus: Säde on 9, m.. Keskuskulm sdn rtkistu sektorin pint-ln vull ytälöstä: π r A 60 π 0 60 60 π 00 9 0 : 00π 9 0 6, 87... 6 00π Vstus: Keskuskulm on 6 stett.. Ympyrän säde r CF: + r eli r. Ympyräsektorin ACE pint-l on 90 A sektori ( ) 60 π π π. Tällöin vrjostetun lueen pint-l on π π 6, 0..., pint-lyksikköä. Vstus: Vrjostetun lueen pint-l on, pint-lyksikköä. 6. Merkitään :ll neliön sivun pituutt. Neliön pint-ln vull sdn ytälö: 00 ± ( ) 00 0 (cm) Neliön lävistäjän pituus d sdn joko Pytgorn luseen vull: d + d 00 d 00 00 0 ti kvll d 0. r r Neliön lävistäjä on ympyrän lkisij, joten ympyrän säde on d 0 r. Siis ympyrän pint-l on A πr π ( ) π 0π 7, 07... 60 (cm ). Vstus: Neliön ympäri piirretyn ympyrän l on 60 cm. 7. 0, 0 000 m Jos ympyrän pint-l on 000 m, niin sen säde r sdn selville ytälöstä: πr 000 000 r π 000 r ± ( ) 9, 89... (m). π Siis ympyrän lkisij on 9,89... m 79,788 m 80 m < 90 m. Tetävän metsä ei siis voi oll ympyrän muotoinen. Vstus: Metsä ei voi oll ympyrän muotoinen. 8. Ari j Seppo juoksevt puoliympyrän muotoisen krteen, jonk pituus Sepon ensimmäisellä rdll on 00 m. Siis ensimmäisen rdn ympyräkren säde r sdn ytälöstä: 00 eli r, 8.... (m) π r 00 π Ari juoksee kolmnnell rdll, joten änen krteens pituus on π ( r +, ) π (, 8... +, ) π,... 07,... (m). Yteensä Ari juoksee Sepon knss smss jss siis + 7,..., (metriä) enemmän kuin Seppo. Vstus: Ari on juossut, metriä pidemmän mtkn. Kertom! MAB 66
9. Jos kuvn lemmn puoliskon peil suorn, (eli ison ympyrän pystykselin) suteen, voi nädä että vrjostettu lue muodost -säteisen ympyrän, jok on peitetty -säteisellä ympyrällä. Siis vrjostetun lueen pint-l on A r r ( ) π π π π π π π,..., (m ). Vstus: Vrjostetun lueen pint-l on, m. 0. Piirretään mllikuv. Nosturin svuttm lue on ovlin muotoinen j se voidn jk neliöön, jonk sivut ovt 0 m ( 0 m + 0 m) sekä kteen puoliympyrään, jotk ydessä muodostvt kokonisen ympyrän, jonk säde on 0 m. 0 m 0 m 0 m Koko lueen pint-l on A Aneliö+ Aympyrä 0 + π 0 00 + 00π 7,... 70 (m ). Vstus: Nosturin svuttm lue on 70 m.. Piirretään krt b vstv tskylkinen keskuskolmio j sille korkeusjn knt vsten. Korkeusjnn pituus on 6,, (m). Tämän vull voidn rtkist krt vstvn keskuskulmn puoliks :, cos eli, 0... 9,. Siis keskuskulm on,0... 06,0... j sitä vstvn kren pituus on 06, 0... b πr π 9, 6, 9... 6, 9(m). 60 60 Vstus: Kren pituus on 6,9 metriä. 0 m, m 9, m b. Rngistuspilkku j mliviiv määrittävät,66 m tskylkisen kolmion, jok voidn jk m puolittmll sen uippukulm, jolloin sdn kksi suorkulmist kolmiot, joiden kteetit ovt m j 7, m 66, m. Tällöin uippukulmn puoliks 66, sdn tngentin vull: tn eli 8, 0.... Potkisij näkee siis mlin kulmss 8,0... 6,80... 6,8. Jos kulm suurennetn ydellä steell, niin sen vstinen kteetti ksv. Merkitään kteetin uutt pituutt :llä. Siis tn( + ) tn( + ) tn 90,..., 87... (m) Pllo menee siis mlist oi,66,87...,66 0, (cm). Vstus: Potkisij näkee pllon 6,8 steen kulmss. Jos pllo potkistn steen verrn oi mlist, niin pllo menee n. cm oi.. ) Merkitään kysyttyä kulm :ll. Suorkulmisest kolmiost sdn: 808 tn eli, 07...,. 000 b) Mpllon säde R on noin 6 70 km. Rkennuksen uipult A piirretty tngentti sivu mn pint pisteessä B. Jos O on mpllon keskipiste, sdn suorkulmisest kolmiost OBA ytälö, jost voidn rtkist keskuskulm AOB seurvsti: R 6 70 cos eli 0, 9.... R + 808 m 6 70, 808 Siis kuimminen etäisyys, jonk tornin uipult km voi nädä eli ympyräkren pituus A:st B:en, on 0, 9... b πr π 670 0,... 0 (km). 60 60 Vstus: ) Rkennus näkyy, steen kulmss kilometrin päästä. b) Rkennuksen uipult voi nädä etäisyydelle 0 km. 808 m A 808 m B 670 km 670 km O b Kertom! MAB 67
. Kolmion pint-l on. Rtkistn kulm BAC tngentin BC vull: tn eli. Ympyräsektorin ABE pint-l on AB A ABE 7 60 π π,, joten sektorin ulkopuolelle jäävän π lueen pint-l on A, 7 0,. Symmetrin vuoksi tämä on puolet vrjostetust lueest, joten vrjostetun lueen pint-l on A A π π 0, 88 09,. ( ) Vstus: Vrjostetun lueen pint-l on π 0,9. 7 Avruuskppleet. ) V πr π π 00π 9,7... 9 (m ). b) Lieriön korkeus sdn tngentin vull: tn 60,, tn 60, 98... (m) Siis lieriön tilvuus on V πr π,98... 8,6... 8,6 (m ). c) säde r, V πr π, π 9,... 9, (m ) d) V πr 7 7 π π,... (m ) e) V A p 8 (m ) f) V Ap (m ) Vstus: ) V 9 m b) V 8,6 m c) V 9, m d) V 7 m e) V 8 m f) V m 6. ) 0 cm 0, dm. Korkeus sdn selville ytälöstä V Ap V 0 dm dm A 0 0, dm p b) Pojympyrän säde r sdn selville pojympyrän piirin vull: π r eli r, 909... (cm). π Siis lieriön tilvuus on V πr π (,909...cm) cm 7,0... cm 0, dm 0, l. Jott lieriön tilvuus olisi m 000 dm 000 000 cm, tulisi oll π, 909... 000 000 000 000 8 π 7 66, 6... (cm), 909... Korkeuden tulisi oll 87 66,6 cm 87,666 m 87 m. Vstus: ) Lieriön korkeus on 0 dm. b) Lieriön tilvuus on 0, litr. Jott lieriön tilvuus olisi m, sen pitäisi oll 87 metriä korke. 7. ) Nu trvitn + 0 + 0 + 0 + 0 80 (cm). b) Ltikon vruuslävistäjän pituus on d + b + c 0 + + 0 7 6, 9 (cm). Kosk vruuslävistäjä on lyyempi kuin kulttnko (6,9 cm < 7 cm), niin kulttnko ei voi mtu ltikkoon. Vstus: ) Nu trvitn 80 cm. b) Kulttnko ei sovi ltikkoon. 8. 0 cm 0, m Ptjn tilvuus on V 0,, (m ). Siis ptj pin (ptjn mss on), 000 kg 00 kg. Vstus: Vesiptjn mss on 00 kg. Kertom! MAB 68
9. Tötterön tilvuus on VT πr π 9,, 0... (cm ). Pllon tilvuus on VP πr π, 79, 9.. 80 (cm ) < (cm ). Pllo ei siis mtuisi kokonn tötteröön. Vstus: Jäätelöpllo ei mtuisi kokonn tötteröön. 0. Olkoon kuution sivu. Kuution pint-lst sdn ytälö: A 6 6 ± ( ) 0, 77 ( m), joten kuution tilvuus: V 0, 77 0, 9 09, (m ). Vstus: Kuution tilvuus on 0,9 m.. Olkoon kuution sivu. Siis kuution tilvuudest sdn: 7 7 (m). Kuution pint-l on siis 6 6 6 9 (m ). Kosk,0 mm 0, 00 m, niin mli trvitn m 0,00 m 0,0 m dm l. Vstus: Mli trvitn litr.. Olkoon kuution sivu. Avruuslävistäjän kvn vull sdn ytälö: d + + + +. Ytälöstä rtkistn kuution sivu.. Tp Ottmll neliöjuuri: > 0 :,..., (m) Tp Korottmll puolittin neliöön: () ± ( ),..., (m) Kuution pint-l on A 6 (, m) 80, m. Vstus: Pint-l on 8,0 m. R b r R Olkoon R puoliympyrän säde. Krtion pojympyrän keän pituus πr on ytä suuri kuin titeltvn puoliympyrän kren pituus b. Kren 80 pituus on b πr R R 60 π π. Olkoon r krtion pojympyrän säde. Tämä sdn rtkistu R:n suteen pojympyrän keän pituuden vull: π r b πr πr πr R r π Kertom! MAB 69
Krtion korkeus sdn myös kirjoitettu R:n suteen suorkulmisen kolmion vull, jonk muodostvt pojympyrän säde r, krtion korkeusjn j krtion sivujn R: r + R R ( r R ) R R R R R R R R R ± ( ) Hlutn siis, että πr 0 R R π 0 ( ) π R R 0 R π 0 0 R π 0 R,..., (dm) π Vstus: Ympyrän säteen tulee oll, dm.. Merkitään pojn kolmion sivu :ll. Tssivuisen kolmion pint-l on tällöin A. Kosk V A l dm 000 cm, niin kysytty : n rvo sdn tilvuuden ytälöstä: V A A V 0 000 : 0 00 00 : 00 00 ± ( ), 9..., (cm). Vstus: Kolmion sivujen tulee oll, cm.. Olkoon pllon lkisij luksi d. Kun ilmpllon kutistuess lkisij lyeni %, niin uusi lkisij oli tällöin 0,8 d. Pienemmän pllon lkisijn sude suuremmn pllon lkisijn verrttun eli pllojen välinen mittkv on 08 (, d 8 7 08, 7 : 0. d 00 0 Tilvuuksien sude on mittkvn kuutio, joten V V 7 9 ( 0 6 0 ) 8 000,... Pllon tilvuus siis pieneni 00 % 6,... % 8,8... % 9 %. Vstus: Pllon tilvuus pieneni 9 %. Kertom! MAB 70
6. Kosk kution tilvuus on dm, niin kuution sivun pituus on dm j kuution pint-l on A K 6 dm 6 dm. Tilvuus pysyy smn. Jos pllon tilvuus on dm, niin sen säde r sdn rtkistu ytälöstä πr πr : π r π r 0, 60... (dm). π Tällöin pllon pint-l on A P πr π 0,60...,8... (dm ). Muutos prosenttein:, 8... 0, 808... 6 Siis pint-l pienenee 00 % 80,8 % 9,0 % 9, %. Vstus: Pint-l pienenee 9, %. 7. Pylväästä ktkistu krtion uippu (pikkukrtio) on ydenmuotoinen kokonisen (ison) krtion knss. Jos pikkukrtion korkeutt merkitään :ll, ison krtion korkeus on +, j sdn verrnto:, kerrotn ristiin +,,,, ( +, ),, + 8, 7,, 8, 7 0, 8, 7 9, (m). Siis pylvään tilvuus on V Visok Vpikkuk πr + r (, ) π π π, 06,, 9, 88,... 88, (m ). Vstus: Pylvään tilvuus on 88, m. +, m, m, m, m 8. Krtion pojneliön sivu sdn pint-ln ytälöstä: 00 00 0 (m). Tällöin pojneliön lävistäjä d sdn Pytgorn luseell: d d 0 + 0 00 0. (Ti suorn kvll d 0. ) Lävistäjän puoliks on siis 0. Krtion korkeus sdn nyt lskettu korkeusjnn (), pojneliön lävistäjän puolikkn ( ) j krtion sivusärmän (s) muodostmn suorkulmisen kolmion vull: tn0 tn 0 8, 6... (m). Krtion tilvuus on siis V A p 00 m 8,6... m 8,69 m 8 m. Vstus: Krtion tilvuus on 8 m. 8 Geometri koordintistoss 9. ) Pisteet A j B sijitsevt suorll y, joten jnn AB pituus on sm kuin pisteiden A j B -koordinttien etäisyys lukusuorll eli. b) Luku on lukujen j eli pisteiden A j B -koordinttien keskirvo eli +. Siispä jnn AB keskipiste on (, ). Vstus: ) Jnn AB pituus on. b) Jnn AB keskipiste on (, ). s 0 Kertom! MAB 7
60. 6. 0 7 7 Piirretään pisteiden (, 7), (, ) j (, ) vull kolmio koordintistoon. Piirretään kullekin kolmion sivulle toinen kolmio, jonk kksi muut sivu ovt koordinttikselien suuntisi j kolmion ulkopuolell. Tällöin muodostuu suorkulminen kuvio, jok siis koostuu lkuperäisen kolmion lisäksi kolmest suorkulmisest kolmiost. Koko tämän kuvion pint-l on 7 0 + 78. Kun siitä väennetään äsken muodostettujen suorkulmisten kolmioiden pint-lt, sdn tetävän kolmion pint-l: A 78 0 9 6 7 78 8. Vstus: Kolmion pint-l on 8. B 6 Lsketn kulmt pukulmien vull. Lsketn ensin kulm pukulmien j vull. A B b g C Apukolmioist sdn: tn eli j tn eli 8, Tällöin 90 6,6 6,6. Lsketn vstvsti kulm γ pukulmien γ j γ vull. Apukolmioist sdn: tng eli g j tng eli g. Tällöin γ 80 γ γ 90 b g C Kosk kolmion kulmien summ on 80, niin viimeinen kulm on b 80 90 90 6, 6,. Vstus: Sivujen pituudet ovt 0, j 8.Kulmt ovt 90 ; 6,6 j 6,. A Merkitään A (, ), B (, ) j C (0, 0). Lsketn sivujen pituudet: AB ( ( ) )+( ( ) ) + 0 BC ( 0) + ( 0) ( ) + AC ( 0 ( ) ) + ( 0 ( ) ) + 8 Kertom! MAB 7
Hrjoituskokeet Pikosio. sin 7, 89, 8. Vstus:,8 km 000 m 00 000 cm cm 0 000 0 000 0 000 Vstus: Mtk on krtll cm.. Pytgors: c + c Vstus: Hypotenuus on.. A 0 0 Vstus: Al on 0.. Pienin kulm on pienimmän sivun () vstinen. tn eli 8, 6... 9 Vstus: Pienin kulm on 9. 6 6. Säde: r (cm). Keän pituus: p Vstus: Keän pituus on 9 cm. 7. A πr π 9π 8,7... 8 (cm ) Vstus: Pint-l on 8 cm. πr π 88,... 9 (cm). 8. Merkitään kysyttyä kulm :ll. Sdn ytälö: π r 60 60 πr 60 60 π r 60 9, 09... 9 π Vstus: Keskuskulm on 9. 9. Olkoon r pllon säde. Siis π r r π r ± ( ) 0, 60... 06, (cm) π Vstus: Pllon säde on 0,6 cm. 0. V πr 0 60 0 π,...,..., (cm ) Vstus: Pllon tilvuus on, cm.. V A πr π 0 0, 07...( cm ) 07 cm 0, dm 0, l Vstus: Tilvuus on noin,0 litr.. Tilvuus on V litr dm 000 cm. Pojn l on A πr π (0 cm) π 00 cm. Tilvuudest sdn ytälö: V A A V A V : A V 000 9, 9 9, 6 ( cm). A π 00 Vstus: Korkeus on noin 9,6 cm. Kertom! MAB 7
. A πrs v + r s s± + r ± 0 + 0 ± 00 A v πrs π 0 00 70, 8 ( cm ) Vstus: Vipn pint-l on 700 cm.. Etutkon l on yteensä 8 cm j tktkon pint-l on myös 8 cm. Vsemmn sivun särmät ovt cm j cm eli pint-l on cm. Oiken sivun l on + + 6 + + (cm ). Pojn l on 9 cm. Koko l on siis 8 + 8 + + + 9 8 (cm ). Vstus: Pint-l on 8 cm. Hrjoituskoe. ) Rtkistn Pytgorn luseen vull: + 9 ± 6 ( ). sin eli 6, 869... 6, 9 j cos eli, 0..., b) tn 0 8, 660 87, tn 0 j sin 0 y y 0 sin 0 Lisäksi 80 90 0 60. Vstus: ), 6,9 j b, b) 60, 8,7 j y 0. cm krtll on 00 metriä luonnoss. Lsketn mitttu etäisyys luonnoss : 0 000 0 000 00 000 ( cm) Mitttu etäisyys olisi luonnoss 00 000 cm 000 m Prosenttein: 000 0, 9677 00 Mitttu etäisyys on siis 00 % 96,77 %, %, % pienempi kuin oike etäisyys. Vstus: Mittuksess tetiin, prosentin vire.. Auto kulkee ydessä tunniss 0 km, joten uto kulkee ydessä minuutiss mtkn 0 km km 0, 666... km. 60 Siis yksi renkn pyörädys on 0, 666... km 666, 66... m,.. m. 0 0 Siis renkn lkisij d sdn selville ympyrän piirin ytälöstä: p πd p,... d,..., m. π π Vstus: Renkn lkisij on, metriä.. ) Kolmion l A c sin 7, 89, sin0,9667,0 (cm ) Kertom! MAB 7 b) 0 cm cm 0 cm cm Puolisuunnikkn korkeus : tn 0 tn 0 8,660 ( cm) Pint-l: A + 0 8,660 08, 0 (cm ). Vstus: ) Kolmion pint-l on,0 cm. b) Puolisuunnikkn pint-l on 0 cm.
. Kolikon lkisij on cm, joten säde r, cm, dm. Lsketn kolikon tilvuus V m (dm ρ 00 9, )., Kolikko on lieriö, joten sen pksuus sdn rtkistu ytälöstä: V πr V, dm πr π 0,9...dm, cm. (, dm) Vstus: Kolikon pksuus on, cm. 6. Kolmion sivujen pituudet: AB ( ) + ( ( ) ) ( ) + 0 BC ( ) + ( ) ( ) + ( ) 0 AC ( ) + ( ( ) ) ( + ) Täydennetään kuvio suorkulmioksi, jonk kärkipisteet ovt (, ), (, ), (, ) j (, ). Suorkulmion pint-l on A suork 0. Väennetään tästä kolmen suorkulmisen kolmion pint-lt: A kolmiot + +. Kysytyn kolmion l on A A suork A kolmiot 0 7. Vstus: Kolmion sivujen pituudet ovt 0, 0 j sekä pint-l on 7. 7. Vesi muodost molemmiss tpuksiss lieriön. Aluss lieriön pojksi voidn jtell suorkulminen kolmio. Tnkiss on siis vettä 0 0 V Ap 60 60 000 (cm ). Kun tnkki käännetään tkisin vktsoon, pojn muodost suorkulmio j V 60 000 (cm). A p 0 60 Vstus: Vedenpint settuu cm:n korkeudelle. 8. Suorkulmiset kolmiot DFG j DCE ovt ydenmuotoiset, kosk niissä on yteinen kulm D j molemmiss on suor kulm. Siis kk-luseen edot ovt voimss. Sivu DE sdn Pytgorn luseen vull: DE + CE CD DE + DE ± 6 600 ( ). Kosk kolmiot ovt ydenmuotoiset, sdn verrnto FG 0 600 600FG 0 : 600 0 FG 6, 6,. 600 Vstus: Jnn FG pituus on 6,. Hrjoituskoe. ) Kulm on kuvn merkityn 0 kulmn smnkotisen kulmn vieruskulm. Kosk suort s j l ovt ydensuuntiset, niin kulm 80 0 0. b) Kuvn kolmiot ovt ydenmuotoiset, kosk niillä on yksi yteinen kulm j yksi vstinkulm on merkitty ytäsuureksi, joten sdn verrnto: + 6 ( + ) 6 + 0 0 0 :,. Vstus: ) 0 b), Kertom! MAB 7
. A p dm 0 cm dm Lieriön tilvuus on V A p 9 (dm ) 9 (l).. Vstus: Lieriön tilvuus on 9 litr., cm, cm Tskylkisen kolmion korkeusjn knnlle puolitt uippukulmn j knnn. Rtkistn kolmion korkeus muodostuvst suorkulmisest kolmiost:, tn, tn,70 Kolmion pint l on A,70,76,(cm ). Vstus: Kolmion pint-l on, cm.. Merkitään rdn sädettä luss R:llä. Tällöin rdn pituus on p πr. Kun stelliitin rdn säde ksv km, niin uusi säde on R +. Rdn pituus on nyt π(r + ) πr +π. Rdn pituus on siis ksvnut πr + π πr π 6,8 6, (km). Vstus: Kiertort pitenee 6, kilometriä.. Lsketn kolmion sivujen pituudet kvll d ( ) + ( y y ). Sivu pisteiden (, ) j (, ) välillä: d ( ) ( ( )) + + 0 Sivu pisteiden (, ) j (, ) välillä: d ( ) ( ) + 8+ 8 Sivu pisteiden (, ) j (, ) välillä: d ( ) ( ) + 6 + 6 Sivu d on pisin, joten vin se voi oll ypotenuus. Tutkitn toteuttvtko pituudet Pytgorn luseen. ( 0 ) + ( ) 8 ( 8 ) 8 Pytgorn luse on siis voimss, joten kolmio on suorkulminen. Vstus: Kolmio on suorkulminen. 6. Tilnne Teemu j Tero ovt smll puolell pylvästä. Teemun etäisyys pylväästä: tn tn 8,7 (m). y Teron etäisyys pylväästä: tn y y tn 7, (m). m Teron j Teemun etäisyys on y 7, m 8,7 m 7,76 m 7 m. y Teemu Tero Kertom! MAB 76
Tilnne Teemu j Tero ovt pylvään eri puolill. Tero Nyt Teron j Teemun etäisyys on y + 7,... m + 8,7 m 6,7 m 60 m. Vstus: Teron j Teemun etäisyys on 7 m ti 60 m riippuen siitä, ovtko eidän mökkinsä smll vi eri puolell pylvästä. 7. Kuvion piiri on ( + 9 + + + ) + + 7 + 8. Sdn ytälö: 7 + 8 77 7 9 9 7 7 Kuvio koostuu losn suorkulmiost j yläosn tskylkisestä kolmiost. Suorkulmion sivut ovt + j +. Kun 7, niin sivut ovt j 0. Suorkulmion pint-l on A s 0 0. Tskylkisen kolmion knt on + + +. Kun 7, niin knnn pituus on. Rtkistn kolmion korkeus Pytgorn luseen vull. Sivu + 9 7 + 9 6 on ypotenuus j knnn puoliks, on toinen kteetti. Sdn ytälö: +, 6 y m ± ( ) 6, 9,987 9,987 Kolmion pint-l on A k,8. Kokonispint-l on 0 +,8 (pint-lyksikköä). Vstus: Kuvion pint-l on pint-lyksikköä. Teemu 8. Ympyräsektorin säde on cm. Pojympyrän keän pituus on sm kuin ympyräsektorin kren pituus: p 0 0 (cm). Pojympyrän säde sdn keän pituuden vull: πr 0 eli 0 r,77 (cm). Merkitään krtion korkeutt :ll. π Nyt Pytgorn luseen vull sdn: + r (,77 ),8 (cm). Krtion tilvuus on siis V πr π (,77 ),8, cm. Vstus: Krtion tilvuus on cm. Hrjoituskoe. ) Pytgorn luseen mukn: Lisäksi sin eli 9, 7... 9, j cos eli 70,... 70,. + 9 8, 8 b) Tskylkisessä kolmioss korkeusjn knnlle puolitt uippukulmn j knnn, joten sin 0 sin 0,876,8. Tskylkisen kolmion kntkulmt ovt ytä suuret. Merkitään niitä :ll. Tällöin: 0 + 80 0 0 70. Vstus: ),8; 70, j b 9, b),8 j kntkulmt 70 Kertom! MAB 77
. Merkitään keskuskulm :ll. Se voidn rtkist kren pituuden ytälöstä: b r π 60 r b π 60 π 60 60 0π 7 90 7 90 0π,0,0. Vstus: Keskuskulm on,0 stett.. Lsketn kden pienemmän kuution sivujen pituudet j y kuutioiden tilvuuksien vull: (cm) j y 6 6 (cm) Lsketn vstvt pint-lt: A 6 0 (cm ) j A 6 96 (cm ), yteensä 0 + 96 6 (cm ). Suurimmn kuution sivun pituus: z 6 z 6 6 (cm) Suurimmn kuution pint-l: A 6 6 6 (cm ). Prosenttin: 6, 8... joten pienempien kuutioiden vlmistmiseen 6 menee,8 % % enemmän peltiä. Vstus: Pienempien kuutioiden vlmistmiseen menee % enemmän peltiä.. Merkitään neliön sivu :ll. Siis eli ± ( ) (cm). Tämä on myös neliön sisään piirretyn ympyrän lkisij, joten ympyrän säde on, (cm). Siis ympyrän pint-l on: πr π, 9,6... 0 cm. Vstus: Neliön sisään piirretyn ympyrän pint-l on 0 cm.. Merkitään särmiön pituutt :llä. Tällöin leveys on j korkeus on. Särmiön tilvuus on 6. Sdn ytälö: 6 96 6 6 6 (cm). Särmiön mitt ovt siis 6 cm, cm j 8 cm. Avruuslävistäjän pituus sdn kvll d + y + z d 6 + + 8 0,9 (cm) Vstus: Avruuslävistäjän pituus on cm. 6. Rtkistn ensin mpllon säde R: π R 0 000 0 000 R 6 66, 9... (km) π Leveyspiirin 60 vstvn pikkuympyrän säde sdn ytälöstä: r cos 60 6 66, 9... r 6 66, 9... cos 60 8, 09... (km). Siis leveyspiirin pituus p π 8,09... km 0 000 km eli 0 % päiväntsjn pituudest (0 000 km). Vstus: 60. leveyspiirin pituus on 0 000 km eli 0 % päiväntsjn pituudest. Kertom! MAB 78
7. Rtkistn ensin pesäpllon säde: πr eli r,0... (cm). π Ktsojn etäisyys pllon keskipisteestä on siis 0,00 metriä. Näkökulm on tngenttikulm. 0,00 Sdn ytälö: sin 0, 00 0,999 Siis näkökulm on 0,999 0,. Vstus: Pesäpllo näkyy 0, steen kulmss. 8. Lsketn ensin mittkv. Tp Merkitään mittkv :m. Pint-lojen sude on mittkvn neliö ( ) m m, joten sdn verrnto: m m m ± ( ). Tp Merkitään mittkv k:ll. Pint-lojen sude on mittkvn neliö, joten mittkv sdn ottmll pint-lojen suteest neliöjuuri. Siis k eli k. Tällöin mittkv on k : m :. Tilvuuksien sude on mittkvn kuutio eli sdn ytälö: Vpieni k Viso V pieni V ( ) iso ( ) V iso ( ) ( ), 88... 8, (). l V iso Vstus: Suuremmn knsisterin tilvuus on,8 litr. Kertom! MAB 79