α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

Transkriptio

1 K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 15º : β = 107,5º Tällöin α = 107,5º 35º= 7,5º.

2 c) Eksplementtikulmien summa on 360º. α + β = 360º β 35º+β = 360º +35º β = 395º : β = 197,5º Tällöin α = 197,5º 35º= 16,5º. Vastaus a) α = 7,5º b) α = 7,5º c) α = 16,5º

3 K Tekijä MAA3 Geometria Vieruskulmien summa on 180º. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan muuttuja x. 3x +15º+105º x = 180º Määritetään kulmat. x +10º= 180º 10º x = 60º : x = 30º 3x +15º= 3 30º+15º= 105º 105º x = 105º 30º= 75º Suorien välinen kulma on näistä pienempi eli 75º. Vastaus 75º

4 K3 Tekijä MAA3 Geometria Kulmat β ja β +110º ovat vieruskulmia. Muodostetaan yhtälö. β + β +110º= 180º 110º β = 70º : β = 35º Koska suorat l ja m ovat yhdensuuntaiset, niin samankohtaiset kulmat α ja β +110º ovat yhtä suuret. Määritetään kulma α. α = β +110º= 35º+110º= 145º Vastaus α = 145º ja β = 35º

5 Tekijä MAA3 Geometria K4 Koska piste P jakaa janan AB suhteessa 1 : 5, niin AP = x ja PB = 5x. Vastaavasti, koska piste Q jakaa janan AB suhteessa 7 :, niin AQ = 7 y ja QB = y. Jana AB pituus on 18. Lasketaan janan AP pituus. x + 5x = 18 6x = 18 :6 x = 3 Siis AP = x = 3. Lasketaan janan AQ pituus. 7 y + y = 18 9y = 18 :9 y = Siis AQ = 7 y = 7 = 14

6 Lasketaan lopuksi janan PQ pituus. PQ = AQ AP = 14 3 = 11 Vastaus PQ = 11

7 K5 Tekijä MAA3 Geometria Kun sisempi suunnikas jaetaan kuvan mukaisesti kahteen osaan lävistäjällä, saadaan kaksi kolmiota, joiden molempien kanta on 4 cm ja korkeus 1 cm. Lasketaan suunnikkaan pinta-ala näiden kolmioiden pinta-alojen summana. A = 1 4 cm 1 cm = 4 cm Vastaus 4 cm

8 K6 Tekijä MAA3 Geometria Merkitään suunnikkaan lyhyempää sivua kirjaimella x. Tällöin pidempi sivu on tällöin 1,3x. Merkitään kolmion sivun pituutta kirjaimella a. Kolmion piiri on yhtä suuri kuin suunnikkaan piiri. Muodostetaan yhtälö. 3a = x + 1,3x 3a = 4,6x :3 a = 1,533...x 1,53x Kolmion sivu on siis 1,53 1 = 0,53 = 53 % pidempi kuin suunnikkaan lyhyempi sivu. Vastaus 53 %

9 K7 Tekijä MAA3 Geometria Merkitään neliön muotoisen tontin sivun pituutta kirjaimella x. Talon pitempi sivu on tällöin 1 x ja lyhyempi sivu 1 3 x. Piha-alueen pinta-ala saadaan vähentämällä tontin pinta-alasta talon pinta-ala. Muodostetaan piha-alueen pinta-alan avulla yhtälö ja ratkaistaan tontin pinta-ala x. x x 1 x 1 3 x = x = x = 480 (m ) Vastaus 480 m

10 K8 Tekijä MAA3 Geometria Lasketaan kymmenkulmion kulmien summa. (10 ) 180º= 1440º Lasketaan monikulmion kulmien summa. 1, º= 50º Muodostetaan kulmien summan avulla yhtälö ja ratkaistaan kulmien lukumäärä n. (n ) 180º= 50º n = 16 Vastaus 16 kulmaa

11 K9 Tapa 1 Tekijä MAA3 Geometria Piirretään suunnikas ja jatketaan sen sivuja. Käytetään kuvan merkintöjä. Koska suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset, niin samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret. Siis γ = α. Kulmat γ ja β ovat vieruskulmia, joten niiden summa on 180º. Saadaan siis γ + β = 180º γ = α α + β = 180º. On siis osoitettu, että vierekkäisten kulmien α ja β summa on 180º.!

12 Tapa Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret ja nelikulmion kulmien summa on 180º. Muodostetaan yhtälö. α + β = 360º (α + β) = 360º : α + β = 180º On siis osoitettu, että vierekkäisten kulmien α ja β summa on 180º.!

13 Tekijä 3 Geometria K10 Merkitään kysyttyä leveyttä kirjaimella x ja ratkaistaan se vastinpituuksien verrantoyhtälöstä. x 55 Kerrotaan ristiin. = x = 3905 : 3 x = 1,0315 x 1 (cm) 55 tuumaisen television ruudun leveys on noin 1 cm. Vastaus Ruudun leveys on 1 cm.

14 Tekijä 3 Geometria K11 Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Kuvion sisäkkäiset kolmiot ovat kk-lauseen nojalla yhdenmuotoiset, sillä niillä on yhteinen huippukulma ja kyljen, sekä vaakasuorien kantojen rajaamat samankohtaiset, yhtä suuret kantakulmat. Ratkaistaan pienen kolmion korkeus x verrantoyhtälöstä. Huomataan vielä, että 1,1 m = 110 cm. x 60 Kerrotaan ristiin. = x x = 60(x + 60) 110x = 60x x = 3600 : 50 x = 7 (cm) Suuren kolmion korkeus on x + 60 cm = 7 cm + 60 cm = 13 cm 1,3 m. Vastaus Korkeus on 1,3 m.

15 Tekijä 3 Geometria K1 Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Harjoitustehtävän 60 perusteella kaikki kuvan suorakulmaiset kolmiot ovat keskenään yhdenmuotoisia. Ratkaistaan ensin pituus x kolmioista ABC ja ACD. AB AC = AC AD 13 1 Kerrotaan ristiin. = 1 x 13x = 144 : x = 13 Ratkaistaan sitten y kolmioista ABC ja CBD. AB CB = CB DB 13 5 Kerrotaan ristiin. = 5 y 13y = 5 : 13 5 x = 13

16 Suhteeksi saadaan x: y = : = = = 144 : Vastaus x : y = 144 : 5.

17 Tekijä 3 Geometria K13 Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Ratkaistaan ensin lauseke lyhyemmän osan pituudelle x verrantoyhtälöstä ja lasketaan sitten suhde x : (a x). x a x = a x a (a x) = ax a ax + x = ax x 3ax + a = x= a 3 5 tai x= + a Kerrotaan ristiin. Ratkaistaan yhtälö laskimella. x on lyhyempi pituus Kun x= a= a, niin a x= a a= 1 a a =.

18 Kysytyksi suhteeksi saadaan tällöin ( a x) : a= a = 0,618. (x : (a x) = (a x) : a ) a Mittakaava on siis 5 1 0,618. Vastaus Mittakaava on 5 1 0,618.

19 Tekijä 3 Geometria K14 Lasketaan pienoismallin mittakaava k. Tilavuuksien suhde on 1 : 100 ja toisaalta tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. 3 1 k = k = 3 = Pienoismallin mitata saadaan nyt kertomalla alkuperäiset arvot mittakaavan arvolla. Leveys: 1,00m 0, m 0,431m = 43,1 cm = Pituus: 1 1,00m 0,154...m 0,15m = 1,5 cm = Korkeus: 1 3, 00 m 0, m 0, 646 m 64,6 cm = = Vastaus Leveys on 43,1 cm, pituus on 1,5 cm, korkeus on 64,6 cm.

20 Tekijä 3 Geometria K15 Merkitään pienoismallin siiven alaa A. Pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö ja ala ratkeaa verrantoyhtälöstä. A 1 = A 1 = A = 0,03377 (m ) 190 Pienoismallin siiven ala on siis noin 0,03377 m = 337,7 cm 340 cm. Vastaus Pinta-ala on 340 cm.

21 Tekijä 3 Geometria K16 Käytetään oheisen kuvan merkintöjä. Kolmioiden välinen mittakaava on k vastinpituuksien suhde, eli a h k = ja k =. Tutkitaan pinta-alojen suhdetta. a h ah A ah a h = = = = k k = k A 1 1 ah ah 1 1 a1 h1 1 1 Täten pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö.

22 Tekijä 3 Geometria K17 a) Uudet pituudet saadaan suoraan prosenttikertoimen avulla. Nyt 15% pienennystä vastaa kerroin 100% 15% = 85% = 0,85. Uudet pituudet ovat 0,85 18 cm = 15,3 cm 15 cm ja 0,85 30 cm = 5,5 cm 6 cm. b) Lasketaan ensin mittakaava käyttäen hyväksi tietoa, jonka mukaan pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö. Pinta-alojen suhde on nyt 0,85A 0,85 A =. Saadaan seuraava yhtälö. k = 0,85 k = 0,85 Uudet pituudet saadaan nyt kertomalla vanhat mittakaavan arvolla. 0,85 18cm = 16, cm 17 cm 0,85 30 cm = 7, cm 8cm Vastaus Uudet pituudet ovat a) 15 cm ja 6 cm b) 17 cm ja 8 cm.

23 Tekijä Pitkä matematiikka K18 a) Lasketaan toisen kateetin pituus a.,3 = 1,8 + a a =,3 1,8 a = (± ),3 1,8 = 1, ,4 (m) b) Pienin kulma on lyhimmän sivun vastainen kulma. Laasketaan kulma α. cosα = 1,8 = 38, ,3 Vastaus a) 1,4 m b) 38

24 Tekijä Pitkä matematiikka K19 Kantakulmat: cosα = 3,4 4,9 3,4 α = cos 1 = 46, ,9 Huippukulma: β = 180 α = ,06... = 87, Vastaus 46, 46 ja 88

25 Tekijä Pitkä matematiikka K0 Lasketaan kulmat α ja β suorakulmaisista kolmioista. 5, tana = = 1,5... 3, 4 1 tan ,8... a = = 8,0 tan β = =, , 4 1 tan, ,97... β = = Lasketaan kulma γ. γ = 180 α β = , ,97... = 56, ( < 90 ) Vaijerien välinen kulma on 56. Vastaus 56

26 Tekijä Pitkä matematiikka K1 Lasketaan kateettien pituudet x ja y. sin17 = y 9 y = 9 sin17 = 8,47... (m) cos17 = x 9 x = 9 cos17 = 7,73... (m) Lasketaan puun korkeus h. tan41 = y + h x x tan41 = y + h h = x tan41 y = 7,73... tan41 8,47... = 15, (m) Puun pituus on 16 m. Vastaus 16 m

27 Tekijä Pitkä matematiikka K Sivuista pisin on hypotenuusa. Pythagoraan lauseen mukaan c = a + b. a) Jono a, b, c on geometrinen, joten jonon peräkkäisten termien suhde on vakio q. Tällöin b = a q ja c = b q= a q. Pythagoraan lauseen mukaan c = a + b ( a q ) = a + ( a q) 4 a q = a + a q : a ( 0) q = 1+ q 4 4 q q 1= 0

28 ( q ) q 1 0 q = - - = 1 ( 1) 4 1 ( 1) ± ± 5 = Ratkaistaan bikvadraattinen yhtälö. q > 0, koska jonon kaikki termit positiivisia. Vain +-merkki kelpaa. q 1+ 5 = q = ± ( ) 1+ 5 Jonon suhdeluku on 1+ 5 q =.

29 b) Jono a, b, c on aritmeettinen, joten jonon peräkkäisten termien erotus on vakio d. Tällöin a = b d ja c = b+ d. Pythagoraan lauseen mukaan c = a + b ( b+ d) = ( b d) + b b + b d + d = b b d + d + b 4 = 0 : ( > 0) b bd b b 4d = 0 b= 4d Koska b= 4d, niin a = b d = 4d d = 3d ja c = b+ d = 4d + d = 5d. Saadaan kysytty suhde a: b: c = 3 d :4 d :5d = 3:4:5. Vastaus a) 1+ 5 q = b) 3 : 4 : 5

30 Tekijä Pitkä matematiikka K3 Kolmion pinta-ala on A = sin60 sin60 = = 0 3 = 10 3 = 17, ,3 Vastaus a) 10 3 b) 17,3

31 Tekijä Pitkä matematiikka K4 a) Kolmion kolmas kulma on γ = = 114. Lasketaan sivut a ja b sinilauseella. a sin7 = 3,14 sin114 a = 3,14 sin7 sin114 = 1, ,56 (m) b sin39 = 3,14 sin114 b = 3,14 sin39 sin114 =,163...,16 (m) b) Kolmion pinta-ala: A = 1 3,14 a sin39 = 1 3,14 1, sin39 = 1, ,54 (m ) Vastaus a) 114, 1,56 m ja,16 m b) 1,54 m

32 Tekijä Pitkä matematiikka K5 Pinta-ala on mahdollisimman suuri, kun kulma α = 90. Pinta-ala on tällöin A = 0,68 m 0,94 m = 0,3196 m < 0,40 m Ei siis ole mahdollista valmistaa puusepän suunnittelemaa pöytää. Vastaus ei mahdollista

33 Tekijä Pitkä matematiikka K6 Lasketaan 5,0 cm pituisen sivun vastainen kulma sinilauseella. 5,0 sinα = 3,0 sin 8,0 sinα = 5,0 sin8,0 3,0 = 0,78... α = sin 1 0,78... = 51,48... Kolmion kolmas kulma on tällöin β = 180 8,0 51,48... = 100, ,5. Siis kolmion suurin kulma on 100,5 ja pisin sivu on tämän suurimman kulman vastainen sivu b. Lasketaan pisimmän sivun pituus sinilauseella. b sin100,51... = 3,0 sin 8,0 b = 3,0 sin100,51... sin 8,0 = 6,8... 6,3 (cm) Vastaus Pisin sivu 6,3 cm, suurin kulma 100,5.

34 Tekijä Pitkä matematiikka K7 Kolmion suurin kulma on pisimmän sivun vastainen kulma α. Käytetään kosinilausetta. 45 = cosα cosα = = 0,17... α = cos 1 0,17... = 10, ,6 Vastaus 10,6

35 Tekijä Pitkä matematiikka K8 Syntyy tasakylkinen kolmio. Kantakulmat ovat α = 180 6,7 = 86,65 Lasketaan kysytty etäisyys x sinilauseella. x sin6,7 = 3,8 sin86,65 x = 3,8 sin6,7 sin86,65 = 0, ,44 (km) Veneilijä päätyy 0,44 km eli 440 metrin päähän kohteestaan. Vastaus 440 m

36 Tekijä Pitkä matematiikka K9 Kulma α saadaan sinilauseella. 583 sinα = 894 sin6 583sin6 = 894sinα Kulma β: sinα = 583sin6 894 = 0, α = 35, , β = , = 8, Sivujen pituudet b ja c : b sin8, = 894 sin6 b = 894 sin8, sin6 = 1004,63... (km)

37 c = 1315 m 1004,63... m = 310, m Kulma : γ = = 118 Sivun pituus x saadaan kosinilauseella. x = c c 583 cosγ = (310,367...) , cos118 = ,16... x = (± ) ,16... = 778, (m) Vastaus x = 779 m, α = 35, ( 35 )

38 Tekijä Pitkä matematiikka K30 Lentokoneiden välinen etäisyys saadaan kosinilauseella. x = cos8 = ,9... (m ) x = ,9... = 851, (m) Lentokoneiden välinen etäisyys on 850 m. Vastaus 850 m

39 Tekijä Pitkä matematiikka K31 Kysytty kulma saadaan laskettua kosinilauseen avulla.,81 = 1,76 +,14 1,76,14 cosα cosα =,81 1,76,14 1,76,14 = 0,09... α = cos 1 ( 0,09...) = 91, Vastaus 9

40 Tekijä Pitkä matematiikka K3 Katselusuuntien välinen kulma on 6 1' 0'' = = 6, Kysytty etäisyys saadaan kosinilauseen avulla. x = cos6, = 39, (km ) x = (± ) 39, = 6, (km) Kirkot ovat 6 km etäisyydellä toisistaan. Vastaus 6 km

41 Tekijä Pitkä matematiikka K33 Pienin kulma on lyhimmän sivun vastainen kulma. Merkitään osien pituuksia x ja 1 x. Kulmanpuolittajalauseen avulla saadaan yhtälö. x 1 x = x = 7 (1 x) 36x = 7 1 7x 36x + 7x = x = 567 x = = 9 1 x = 1 9 = 1 Osien pituudet ovat 9 ja 1. Vastaus 9 ja 1

42 Tekijä Pitkä matematiikka K34 Kolmion painopiste on mediaanien leikkauspiste, joka jakaa mediaanit suhteessa : 1 kärjestä lukien. Tasakylkisen kolmion kannalle piirretty korkeusjana on samalla mediaani. Lasketaan kolmion korkeus. 4 = 16 + CD CD = 4 16 = 30 CD = (± ) 30 = 16 0 = = 4 5 = 8 5 a) Painopisteen P etäisyys huippukulman kärjestä: a = 3 CD = =

43 b) Painopisteen P etäisyys kantakulman kärjestä: b = PD +16 = 1 3 CD = = b = (± ) 64 9 = = Vastaus a) b)

44 Tekijä Pitkä matematiikka K35 Merkitään tasasivuisen kolmion sivun pituutta a:lla ja korkeutta h:lla. Lasketaan korkeus h. (a) = a + h h = 4a a = 3a h = (± ) 3a = 3 a = 3a a > 0 Muodostetaan yhtälö Pythagoraan lauseen avulla. 8 = a + (h 8) 8 = a + ( 3a 8) 8 = a + ( 3a) 3a a + 3a = 16 3a 4a = 16 3a : 4a (> 0) a = 4 3 Kolmion sivun pituus on a = 4 3 = 8 3 Vastaus 8 3

45 Tekijä Pitkä matematiikka K36 Piirretään tilanteesta mallikuva. Merkitään kolmion kyljen pituutta a:lla. Kolmion ympäri piirretyn ympyrän keskipiste on sivujen keskinormaalien leikkauspiste. Tasakylkisen kolmion korkeusjana on eräs keskinormaaleista. Kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste on kulmanpuolittajien leikkauspiste. Tasakylkisen kolmion korkeusjana on eräs kulmanpuolittaja. On laskettava suhde R r.

46 Kolmion kannan puolikas on ympäri piirretyn ympyrän säde R. (R) = (a) + (a) 4R = 4a + 4a 4R = 8a R = a R = (± ) a = a Kuvaan merkityt keltainen ja vihreä kolmio ovat yhdenmuotoiset (kk, molemmissa huippukulman puolikas ja suora kulma). Vastinjanojen suhde on vakio. Muodostetaan yhtälö. R r a = r R R r R = ar R = a ( a) r a = ar a = ar + ar a = ar( + ) r = a a( + ) = a +

47 Kysytty suhde on R r = = a a + a ( + ) a = + = ( +1) = +1 Vastaus +1

48 Tekijä Pitkä matematiikka K37 Perhepizza: halkaisija d = 35 cm 35 säde r p = Normaalipizza ja perhepizza ovat yhdenmuotoiset. Pinta-alojen suhde on 1 :. Säteiden suhteen neliö on pinta-alojen suhde. Olkoon normaalipizzan säde r n. r n = r p rn = r p rn = rp = 1 35 d = rn = 5 Vastaus 5 cm

49 Tekijä Pitkä matematiikka K38 Pienten ympyröiden säteet ovat 3 cm = 1,5 cm ja 4 cm = cm. Pienten ympyröiden pinta-ala yhteensä on π 1,5 + π = 6, 5π. Ison ympyrän halkaisija on pikkuympyröiden halkaisijoiden summa, joten sen säde on cm = 3,5 cm. Ison ympyrän ala π 3,5 = 1, 5π. Alojen suhde 6,5 π 6,5 0, ,51 51% 1,5π = 1,5 = = Vastaus 51 %

50 Tekijä Pitkä matematiikka K39 Neliön piirin pituus on 4s. Olkoon neliön sivun pituus s, tällöin ympyrän halkaisija d = s. Ympyrän kehän pituus p = pd = ps. Lasketaan kehän pituuden ja neliön piirin suhde. πs π = 1,11 4s 4 Neliön piiri on 11 % pidempi Vastaus 11 %

51 Tekijä Pitkä matematiikka K40 Ratkaistaan kolmion korkeus h Pythagoraan lauseella. h = 8 6 = 18 Ratkaistaan ympyrän säde Pythagoraan lauseella. r = ( h r) + 6 r = h hr + r + 36 hr = h + 36 h r = = = h 3 9 Kehän pituus p = pr = p = 9 p 40,0 Vastaus 9 π 40,0

52 Tekijä Pitkä matematiikka K41 b) Olkoon puoliympyrän säde r. Ympyrän kaaria vastaavat keskuskulmat ovat 60º, koska kolmiot DBE ja ADE ovat tasasivuisia kolmioita, sivun pituus on r. Puoliympyrästä jää kolmion ulkopuolelle kaksi segmenttiä. Lasketaan segmentin pinta-ala. 60 r 3 As = π r Puoliympyrän ala Ap = p r, p r r 3 A 6 4 s 3 = = = 0, ,1 A 1 p p r 3 p Puoliympyrästä jää kolmion ulkopuolelle 1 % Vastaus 1 %

53 Tekijä Pitkä matematiikka K4 Viipaleita on kahdenlaisia, kaksi ympyräsegmenttiä ja neljä keskelle jäävää viipaletta. Pizzan pinta-ala A = πr Lasketaan segmentin A 1 pinta-ala. Määritetään kulma α r 1 cosα = = r α = 60 Keskuskulma α = A1 = π r sin10 r 360 π 3 = r 0,614r 3 4

54 Keskelle jäävän viipaleen pinta-ala 1 A = ( A A1 ) 4 1 π 3 = π r r π 3 = + r 0,478r 4 3 π 3 r A = 1,84 A 1 π 3 + r 4 3 Reunaviipaleen viipaleen pinta-ala on 8 % suurempi. Vastaus Reunaviipale, 8 %

55 Tekijä Pitkä matematiikka K43 Käytetään kuvan merkintöjä. Pythagoraan lauseella saadaan r = (r 7,4) + 13 r = r 14,8r + 54, ,8r = 3,76 r = 15,11 d = r = 30,3 Halkaisija on 30 cm Vastaus 30 cm

56 Tekijä Pitkä matematiikka K44 Kuvan merkinnöillä kaaren AB asteluku on δ ja kaaren CD asteluku on γ. Kaarten astelukujen keskiarvo on γ + δ = γ + δ Kolmion DAE kulmien summan avulla saadaan yhtälö γ + δ α = 180 α = γ + δ Siis kulman α asteluku on kaarten AB ja CD astelukujen keskiarvo.

57 Tekijä Pitkä matematiikka K45 Olkoon neliön sivun pituus s. Merkitään ympyrän halkaisijaa kirjaimella d. Lasketaan ympyrän halkaisija d = AE. a a a d = + = a d = d a r = = Vastaus a

58 Tekijä Pitkä matematiikka K46 a) Kolmiot DAE ja CBE ovat yhdenmuotoiset (kk). Kulmat AED ja BEC ovat ristikulmia sekä kulmat EDA ja ECB ovat samaa kaarta vastaavia kehäkulmia. x 3 = x = 5 =

59 b) Kolmiot DBE ja CAE ovat yhdenmuotoiset (kk). Kulma E on yhteinen sekä kulmat D ja C ovat samaa kaarta vastaavat kehäkulmat. Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinosien suhteena saadaan x = x = 9 3 x + 3 = 1 x = 9 Vastaus a) 1 7 b) 9

60 Tekijä Pitkä matematiikka K47 Ratkaistaan jänne AC kosinilauseella. x = cos60 x = 37 x = 37 Ratkaistaan ympyrän säde kosinilauseella. x = r + r r rcos10 37 = 3r 37 r = 3 Kolmion ABC pinta-ala 1 A 1 = 4 7 sin 60 = 7 3

61 Segmentin pinta-ala A = π sin π 37 3 = π 37 3 A= A1+ A = π = Vastaus π + 45,5 1 9

62 Tekijä MAA3 Geometria K48 a) Lasketaan lävistäjän EG pituus suorakulmaisesta kolmiosta EGF. EG = 4,75 + 6,3 EG = 6,55 EG = ± 6,55 = ±7, (cm) Lävistäjän pituus on positiivinen, joten EG = 7, cm 7,9 cm.

63 b) Lasketaan avaruuslävistäjän pituus suorakulmaisen särmiön särmien pituuksien perusteella. AG = 6,3 + 4,75 +,5 = 8, ,3 (cm). Avaruuslävistäjän pituus on 8,3 cm.

64 c) Lasketaan lävistäjien välinen kulma α suorakulmaisesta kolmiosta AGE. tanα =,5 7,890...,5 α = tan 1 7, = 17,581...º 18º Vastaus a) 7,9 cm b) 8,3 cm c) 18º

65 Tekijä MAA3 Geometria K49 Merkitään kuution särmän pituutta kirjaimella a. Kysytty kulma α voidaan määrittää suorakulmaisesta kolmiosta ABC. Sivun AB pituus on puolet pohjan lävistäjästä. Lasketaan ensin pohjaneliön lävistäjän pituus. d = a + a d = ± a = ± a a > 0 = ±a Lävistäjän pituus on positiivinen, joten d = a. Siis AB = a

66 Määritetään kysytty kulma α. tanα = a a = a a = = α = tan 1 = 54,735...º 54,7º Vastaus 54,7º

67 Tekijä MAA3 Geometria K50 Piirretään mallikuva. Pahvi taitetaan lyhyemmän sivun (10 mm) suuntaisesti, joten taitoksen sivujen pituudet ovat 97 mm = 148,5 mm. Kysytty kulma α voidaan ratkaista kolmiosta ABC. Merkitään lävistäjän puolikkaan pituutta kirjaimella d ja lävistäjän kärkien etäisyyttä kirjaimella a. Lasketaan ensin näiden sivujen pituudet.

68 Lasketaan pahvilevyn lävistäjän puolikkaan pituus d Pythagoraan lauseella. Piirretään mallikuva pahvilevystä ennen taittamista (d) = d = ± (mm) Lävistäjän pituus on positiivinen, joten d = mm. Lävistäjän kärkien välinen etäisyys taitetussa pahvilevyssä a voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta ADB, kunhan ensin ratkaistaan sivun AD pituus suorakulmaisesta kolmiosta ADE.

69 Lasketaan sivun AD pituus. AD = 148,5 +148,5 AD = ± 97 (mm) Sivun pituus on positiivinen, joten AD = 97. Lasketaan sivun AB pituus eli a. a = a = ± (mm) Sivun pituus on positiivinen, joten a = mm.

70 Lasketaan lopuksi kysytyn kulman α suuruus tasakylkisestä kolmiosta ABC. Koska kolmio on tasakylkinen, niin huippukulmasta piirretty korkeusjana jakaa kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi sin α = Vastaus 109º = 0, α = sin 1 0, = 54,734...º α = 109,469...º 109º

71 Huomautus 1: Kulma α voidaan määrittää kolmiosta ABC myös kosinilauseella. a = d + d d d cosα Huomautus Laskuissa voi käyttää pituuksista a ja d myös tarkkoja desimaalimuotoja laskimella: d = 181, (mm) a = 9,99... (mm).

72 Tekijä MAA3 Geometria K51 a) Lasketaan janan AB pituus suorakulmaisesta kolmiosta ABD Pythagoraan lauseella. AB = AB = ± 65 = ±5 (cm) Janan pituus on positiivinen, joten AB = 5 cm.

73 b) Lasketaan janan BC pituus suorakulmaisesta kolmiosta BCE Pythagoraan lauseella. BC = BC = ±0 = ±8,84... (cm) Janan pituus on positiivinen, joten BC = 8,84... cm 8 cm.

74 c) Lasketaan janan AC pituus suorakulmaisesta kolmiosta AFC. Ensin pitää laskea janan AF pituus suorakulmaisesta kolmiosta AFD. AF = AF = ± 65 = ±5 (cm) Janan pituus on positiivinen, joten AF = 5 cm. AC = AC = ±5 89 = ±47, (cm) Janan pituus on positiivinen, joten AC = 47, cm 47 cm.

75 d) Lasketaan janojen AB ja BC välinen kulma kolmiosta ACB kosinilauseella. ( 5 89) = 5 + ( 0 ) 5 0 cosα 1000 cosα = cosα = α = cos = 14,449...º Koska suorien välinen kulma on välillä [0º, 90º], niin suorien AB ja BC välinen kulma on 180º 14,449...º= 55,550...º 56º.

76 Vastaus a) 5 cm b) 8 cm c) 47 cm d) 56º

77 Tekijä Pitkä matematiikka K5 Lasketaan pallon säde tilavuuden avulla. V = 4 3 πr 3 V = 7,45 L = 7,45 dm 3 7,45 = 4 3 πr 3 3 7,45 = 4πr 3 r 3 = 3 7,45 4π r = 3 7,45 3 = 1,11... (dm) 4π Pallin pinta-ala: A = 4πr = 4π (1,11...) = 18, (dm ) Pallon pinta-ala on 18, dm = 1844,6... cm 1845 cm. Vastaus 1845 cm

78 Tekijä Pitkä matematiikka K53 Pallon säde on alussa r 1 = r. Säde pienenee 5 %, joten säde lopussa r = 0,75r. a) Pinta-alan muutos: A = 4π r A 1 4π r = r = (0,75r) = 0,75 = 0,565 = 56,5 % r 1 r 1 Pinta-ala pienenee 100 % 56,5 % = 43,75 % 44 % b) Tilavuuden muutos: V V 1 = 4 3 π r π r 3 1 = r 3 = 3 r 1 0,75r r 3 = 0,75 3 = 0, = 4,18... % Tilavuus pienenee 100 % 4,18 % = 57,81 % 58 %. Vastaus a) 44 % b) 58 %

79 Tekijä Pitkä matematiikka K54 Pallon säde on alussa r ja tilavuus V 1 = 4 3 π r 3. Lopussa puolipallon säde on R ja tilavuus V = π R3. Tilavuus säilyy samana. Muodostetaan yhtälö. V 1 = V 4 3 π r 3 = π R3 3 4π r 3 = 1 R3 r 3 = R 3 R 3 r 3 = R r = 3 = 1, = 15,99... % Säde suurenee 15,99 % 100 % = 5,99 % 6 %. Vastaus 6 %

80 Tekijä Pitkä matematiikka K55 Lasketaan 63. Leveyspiirin säde r. cos63 = r R r = Rcos63 R = 6370 km = 6370 cos63 = 891, (km) Lasketaan 330 km pituisen leveyspiirin kaarta vastaava keskuskulma. b = α 360 π r α = 360 b π r r = 891, km b = 330 km = π 891, = 6,538...

81 Maan täysi 360 kierros kestää 4 h, joten 6,538 kiertymiseen kuluu aikaa 6, h = 0,4358 h = 6,15... min 6 min. 360 Aurinko nousee lännempänä olevalla Laihialla 6 minuuttia myöhemmin kuin Kaavilla. Vastaus 6 min

82 Tekijä Pitkä matematiikka K56 Lasketaan pohjoisen napapiirin säde. cos66,5 = r R r = Rcos66,5 R = 6371 km = 6371 cos66,5 = 540, (km) a) Pisteiden A ja B välisen tunnelin pituus on kantana suorakulmaisessa tasakylkisessä kolmiossa, jonka kylkenä on napapiirin säde r. a = r + r = r r = 540, km a = (± ) r = r = 540, = 359, (km)

83 b) Lyhyemmän napapiirin kaaren pituus: b = π r = 1 π 540, = 3990, (km) 4 Vastaus a) 3593 km b) 3990 km Voi myös tulkita vastauksen tarkkuuden 90 asteen kulman mukaisesti merkitsevän numeron tarkkuudella: Vastaus a) 3600 km b) 4000 km

84 Tekijä Pitkä matematiikka K57 Särmiön tilavuus on a = 10,5 m = 10,5 dm V = a b c b = 6,5 m = 65 dm c = 4,5 m = 45 dm = 10, = 99 81, L Luokkaan mahtuu litraa ilmaa. Vastaus L

85 Tekijä Pitkä matematiikka K58 Lasketaan suorakulmaisen särmiön muotoisen tulitikkuaskin avaruuslävistäjän pituus. d = 1, +,8 + 4,1 = 5, ,1 (cm) Koska avaruuslävistäjän pituus on suurempi kuin parsinneulan pituus, neula mahtuu rasiaan. Vastaus mahtuu

86 Tekijä Pitkä matematiikka K59 Lasketaan kupariosan tilavuus. V = V ulko V sisä V = A p h = πr h = π r ulko 10,0 π r sisä 10,0 r ulko = 6,0 r sisä =,0 mm = 13,0 mm mm = 11,0 mm = π 13,0 10,0 π 11,0 10,0 = 1507,96... (cm 3 ) Lasketaan kuparin massa. m = ρv ρ = 8960 kg/m 3 V = 1507,96... cm 3 = 1, dm 3 = 0, m 3 = , = 13, ,5 (kg) Vastaus 13,5 kg

87 Tekijä Pitkä matematiikka K60 Lasketaan yhden pallon tilavuus V. V = 1 8 π r h h = 11,0 mm r = 44,0 mm =,0 mm = 1 8 π,0 11,0 = 090,7... (mm 3 ) Lasketaan pallon säde R. V = 4 3 π R3 R 3 = 3V 4π = 3 090,7... 4π = 499,1... (mm 3 ) 3 R = 499,1... = 7,93... (mm) Pallon halkaisija on 7,93... mm = 15,86... mm 15,9 mm. Vastaus 15,9 mm

88 Tekijä Pitkä matematiikka K61 Lasketaan lieriön korkeus. sin30 = h 13,0 h = 13,0 sin30 = 6,5 (cm) Lasketaan vinon lieriön tilavuus. V = A p h = π r h r = 6,0 cm h = 6,5 cm = 0,65 dm = 3,0 cm = 0,30 dm = π 0,30 0,65 = 0, (dm 3 ) Lasketaan massa. m = ρv ρ = 8,4 kg/dm 3 V = 0, dm 3 = 8,4 0, = 1, ,5 (kg) Vastaus 1,5 kg

89 K6 r sisä = 9,9 cm Tekijä Pitkä matematiikka = 49,5 mm r ulko = 10 cm = 50,0 mm Maalikerrosten poikkileikkaukset ovat ympyrärenkaita. Lasketaan ulko- ja sisäpinnoille levitettyjen maalikerrosten tilavuudet. V sisä = π r sisä h π (r sisä 0,1) h = π h (49,5 49,4 ) = 9,89 π h (mm 3 ) V ulko = π (r ulko + 0,1) h π r ulko h = π h (50,1 50 ) = 10,01 π h (mm 3 ) Verrataan ulkopintaan kuluneen maalin tilavuutta sisäpintaan kuluneen maalin tilavuuteen. V ulko = 10,01 π h V sisä 9,89 π h = 1, = 101,1... % 101, % Ulkopintaan kuluu 101, % 100 % =1, % enemmän maalia. Vastaus 1, % Huomaa: Annettu tieto putken pituudesta ei ole välttämätön.

90 Tekijä Pitkä matematiikka K63,5 cm Pohjan säde on r = = 11,5 cm = 1,15 dm. Sivujanan pituus on 30,0 cm = 3,00 dm. Lasketaan kartion korkeus. 3,00 = h +1,15 h = 3,00 1,15 = 7, (dm ) h = (± ) 7, =, (dm) Lasketaan kartion tilavuus. V = 1 3 π r h = 1 3 π 1,15, = 3, (dm 3 ) Kartion tilavuus on 3,685 dm 3 = 3,685 L = 36,85 dl 36,9 dl. Vastaus 36,9 dl

91 Tekijä Pitkä matematiikka K64 Lasketaan pohjaneliön sivu a pohjan pinta-alan avulla. A = 5,3 ha = 5,3 (100 m) = m a = a = (± ) = 30,17... (m) Lasketaan alkuperäinen korkeus h suorakulmaisen kolmion avulla. tanα = h a h = a tanα α = 51 5' = 51, a = 30,17... m = 30,17... tan51, = 146, (m) Pyramidin alkuperäinen korkeus on ollut 147 m. Vastaus 147 m

92 Tekijä Pitkä matematiikka K65 Pyramidin kaikki kuusi sivutahkoa ovat samanlaisia tasasivuisia kolmioita. Lasketaan sivutahkon korkeus. 30,0 = h + 5,0 h = 30,0 5,0 = 875 h = (± ) 875 = 9, (cm) Vaippa koostuu kuudesta samanlaisesta kolmiosta. A v = 6 10,0 9, = 887, (cm ) Vastaus 887 cm

93 Tekijä Pitkä matematiikka K66 Säännöllisen oktaedrin poikkileikkaus on neliö. Oktaedrin korkeus h on h = + = + = 4 h = (± ) 4 = -sivuisen neliön lävistäjä. Oktaedrin tilavuus saadaan laskemalla yhteen kahden neliöpohjaisen pyramidin tilavuudet. V oktaedri = V pyramidi = 1 3 A p h = 1 3 A p h = 1 3 = 4 3 Vastaus Tilavuus on 4 3.

94 Tekijä Pitkä matematiikka K67 Viinilasin poikkileikkauskuvioon muodostuu kaksi tasakylkistä kolmiota, jotka ovat yhdenmuotoiset (kk, huippukulma yhteinen ja samankohtaiset kulmat yhtä suuret. Merkitään sisätilan korkeutta h:lla, jolloin nesteosan korkeus on h. Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. Muodostetaan yhtälö. V neste h = V lasi h 3 = 1 3 = 1 8 V neste = V lasi 8 = 1,75 8 = 0,1875 V lasi = 1,75 dl 0,19 (dl Vastaus 0,19 dl

95 Tekijä Pitkä matematiikka K68 Tetraedrissa on neljä tahkoa, joten syntyvässä Platonin kappaleessa on neljä kärkeä. Tetraedri on ainoa Platonin kappaleista jossa on neljä kärkeä. Siis syntyvä kappale on tetraedri. Merkitään syntyvän tetraedrin särmää kirjaimella b. Piirretään mallikuva. Tetraedrin tahkot ovat tasasivuisia kolmioita ja niiden keskipisteet ovat mediaanien leikkauspisteitä. Nämä pisteet jakavat tahkojen mediaanit suhteessa : 1 kärjestä lukien. Mediaanit ovat samalla sivutahkojen korkeusjanoja. Markitään alkuperäisen tetraedrin sivutahkon mediaanin pituutta kirjaimella h. Poikkileikkauskuvio ABC on tasasivuinen kolmio. Kolmiot ABC ja EDB ovat yhdenmuotoiset (kk, huippukulma yhteinen ja samankohtaiset kulmat yhtä suuret).

96 Ratkaistaan kysytty pienemmän tetraedrin särmä b vastinjanojen suhteen avulla. 1 b a = 3 h h = 1 3 b = 1 3 a Syntyneen tetraedrin särmän pituus on 1 3 a. Vastaus 1 3 a

97 1 Tekijä Pitkä matematiikka a) β = = 7 b) Kulma β on 84 asteen keskuskulmaa vastaava kehäkulma, joten β = 84 : = 4 c) Kulma γ on 110 asteen kehäkulmaa vastaava keskuskulma. γ = 110 = 0 α = = 140 Kulma β on kulmaa α vastaava kehäkulma. β = 140 : = 70 Vastaus a) 7 b) 4 c) 70

98 Tekijä 3 Geometria a) Maaston matka x ratkeaa verrantoyhtälöstä x = Vastinmatkojen suhde on mittakaava. x = (mm) Matka maastossa on mm = m = 13, km 13 km. b) Myös peruskartan matka y ratkeaa verrantoyhtälöstä. Ilmoitetaan todellinen matka millimetreissä. y 1 Vastinmatkojen suhde on = mittakaava y = : y = 660 (mm) Matka peruskartalla on 660 mm = 66 cm. Vastaus Matka on a) 13 km b) 66 cm.

99 Tekijä Pitkä matematiikka a) cosα = 9,0 15 α = cos 1 9, = x + 9,0 x = 15 9,0 = 144 = 53, x = (± ) 144 = 1 (m)

100 b) x = 4,0 + 5,0 4,0 5,0 cos9,0 = 6, x = (± ) 6, =,45...,5 (cm) 4,0 sinα = x sin 9,0 xsinα = 4,0 sin9,0 sinα = 4,0 sin9,0 x = 4,0 sin9,0,45... = 0, α = sin 1 0, = 5, Vastaus a) α = 53, x = 1 m b) α = 5, x =,5 cm

101 Tekijä Pitkä matematiikka a) Mediaanien leikkauspiste jakaa mediaanit suhteessa : 1 kärjestä lukien. Osien pituudet ovat = 1 ja 36 = 4. 3 b) Suurin kulma on pisimmän sivun vastainen kulma. Osat ovat x ja 30 x. Kulmanpuolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteessa. x 30 x = x = 4(30 x) 16x = x 16x + 4x = x = 4 30 x = = x = = 1 Osien pituudet ovat 18 ja 1. Vastaus a) 1 ja 4 b) 1 ja 18

102 Tekijä Pitkä matematiikka Syntyvät suorakulmaiset kolmiot ovat yhdenmuotoiset (kk, terävä kulma yhteinen, mlemmissa suora kulma). Vastinjanojen suhde on vakio. h 1,1 = 0,0 0,88 h = h 1,1 = 1,1 0,0 = 5,0 (m) 0,88 Lipputangon korkeus on 5,0 metriä. Vastaus 5,0 m

103 Tekijä Pitkä matematiikka Sinilause: 1,76 sinα =,1 sin56 1,76 sin56 =,1 sinα sinα = 1,76 sin56,1 = 0, α = sin 1 0, = 44, Koppelomäen ja Pyykallion väli näkyy 44 kulmassa. Vastaus 44

104 Tekijä Pitkä matematiikka Lasketaan keilapallon tilavuus. V = 4 3 πr 3 r = 6,0 cm = 13,0 cm = 1,30 dm = 4 3 π 1,303 = 9,0... (dm 3 ) Lasketaan keilapallon massa. m = ρv ρ = 19,3 kg/dm 3 V = 9,0... dm 3 = 19,3 9,0... = 177, (kg) Tavaravaaka näytti keilapallon painoksi 178 kg. Vastaus 178 kg

105 Tekijä Pitkä matematiikka a-kohdassa kysytään pitkin tangenttisuoraa mitattua papukaijan ja keksilaatikon välistä etäisyyttä a. b-kohdassa kysytään ympyräkaaren pituutta b. a) Lasketaan etäisyys a Pythagoraan lauseella. Hypotenuusan pituus on 6370 km + 46,0 m = 6370,046 km. 6370,046 = a a = 6370, = 586,04... a = (± ) 586,04... = 4, , (km)

106 b) Lasketaan ensin keskuskulma α. cosα = ,046 = 0, α = cos 1 0, = 0, Lasketaan keskuskulmaa α vastaavan ympyräkaaren pituus b. b = α π = 0, π = 4, , (km) c) Verrataan saatuja etäisyyksiä a ja b. a b = 4, km 4, km = 0, km = 11,6... cm 10 cm Etäisyyksillä on eroa noin 10 cm. Huomaa: lähtöarvojen mittaustarkkuus asettaa tämän päätelmän hieman kyseenalaiseksi. Vastaus a) 4, km b) 4, km c) 10 cm

107 Tekijä Pitkä matematiikka a) Alue muodostuu kahdesta ympyräsektorista A = π 4 + π = 1π + π 4 57 = π 45 4 Lammas ylettyy liikkumaan 45 m laajuiselle alueelle.

108 b) Lammas ylettyy liikkumaan alueella, joka koostuu ympyräsektorista ja suorakulmaisesta kolmiosta. Suorakulmaisen kolmion toinen kateetti voidaan ratkaista Pythagoraan lauseella. x = 4 3 x = 7 x =± 7 x > 0 x = 7 1 Kolmion pinta-ala A k = 3 7. Ratkaistaan kulma β. 3 cos β = 4 β 41 α = 49 Sektorin pinta-ala A s = π

109 Alueen koko pinta-ala on 1 49 A= Ak + As = π A 8 Lammas ylettyy liikkumaan 8 m laajuisella alueella. Vastaus a) 45 m b) 8 m

110 Tekijä Pitkä matematiikka Pystyssä, kärjellään seisovan suoran ympyräkartion poikkileikkaukseen syntyy kaksi tasakylkistä kolmiota, jotka ovat yhdenmuotoiset (kk, huippukulma yhteinen ja samankohtaiset kulmat yhtä suuret). Tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio. V vesi V kartio = h 15 3 h 3 = V vesi 153 V kartio h = V vesi = 15 V kartio V vesi 3 V kartio Toisaalta ympyräkartiossa olevan veden tilavuus on sama kuin r-säteisen suoran ympyrälieriön tilavuus, jossa r on kartion yläosan säde.

111 V vesi = A p h = π r 14 Lasketaan kartion tilavuuden ja veden tilavuuksien suhde. V vesi V kartio = π r π r 15 = 14 = = 4 15 Nyt saadaan laskettua kysytty korkeus h. V vesi 4 h = 15 3 = 15 3 = 99, (mm) 15 V kartio Koska 99 mm 15 mm, kaikki satanut vesi mahtuu kartioon. Vesi nousee kartiossa 99 mm korkeuteen. Vastaus 99 mm