Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli
|
|
|
- Pekka Haapasalo
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli : 71,5 Siis 7 71, , 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankotaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat ydensuuntaisia, samankotaiset kulmat ovat ytä suuria eli : 8 1
2 . Merkitään kolmion lyintä sivua kirjaimella. Pisin sivu on siis ja toiseksi pisin sivu + 15 cm. Kolmion piiri on 10 cm eli :5 1 Pisin sivu on siis 1cm 6cm. Toiseksi pisin 15cm 1cm 15cm 6cm. Lyin sivu = 1 cm. Vastaus: 6 cm, 6 cm, 1 cm 4. Suunnikkaan kaden kulman sude on : 5. Merkitään kulmien suuruuksia ja 5. Suunnikkaan kulmien summa on 60 ja vastakkaiset kulmat ovat ytäsuuret, joten saadaan ytälö : ,714...
3 Kulmien suuruudet siis ovat 5 5, , , , Vastaus: Kulmat ovat 51 ja 19 ( kpl kumpaakin). 5. Suorakulmion kulmat ovat kaikki suoria, joten : 4,5 Suorakulmion lävistäjät ovat ytäpitkät. Lisäksi lävistäjät puolittavat toisensa. Tarkastellaan suorakulmiosta tiettyä kotaa, joka on tasakylkinen kolmio. Kolmion kolmas kulma on ristikulmana. Kolmion kulmien summa on 180, joten saadaan ytälö , Vastaus:,5, 45
4 6. Janat B ja DE ovat ydensuuntaisia. D E 7 cm 5 cm C 61, cm B Kolmiot BC ja ECD ovat ydenmuotoiset (kk-lause), koska kulmat C ristikulmina ytäsuuret, kulmat E ja samankotaisina kulmina ytäsuuret. Merkitään pisteen C korkeutta kirjaimella. Ydenmuotoisista kolmioista saadaan vastinsivujen suteena verranto , 18,4 44, : 7 Pöydän korkeus on siis 5 cm + 44, cm = 96, cm 96 cm. Vastaus: 96 cm 4
5 7. Hamotellaan tilannekuva. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 5,0 m ja 4,0 m. Merkitään sisään piirretyn neliön sivua kirjaimella. C 4,0 m E D 5,0 m B Kolmiot BC ja DBE ovat ydenmuotoiset (kk-lause), koska molemmissa 90 kulma, kulma B yteinen. Vastinsivut ovat siis verrannolliset, joten saadaan : 9,..., m Vastaus:, m 5
6 8. Koska D : DC =1 :, niin merkitään sivun D pituutta kirjaimella a. Tällöin sivun DC pituus on a. Janojen B ja DE etäisyys on 18 cm. Merkitään pisteen C etäisyyttä (kolmion DEC korkeus) janasta DE kirjaimella. C a a D 18 cm E 6 cm B Kolmiot BC ja DEC ovat ydenmuotoiset (kk-lause), koska kulmat ja D ovat samankotaisina kulmina ytäsuuret, molemmissa kolmioissa on kulma C. Vastinsivut ovat verrannolliset eli a a a a 4a
7 Kolmion BC korkeus on + 18 cm = 54 cm + 18 cm = 7 cm. Kolmion ala on 6 cm7 cm cm, dm dm 0,m Vastaus: 0, m 9. Kootaan annetut tiedot taulukkoon. Merkitään vaimon pituutta luonnollisessa koossa kirjaimella. Pituus kuvassa (cm) Pituus luonnossa (cm) 8, ,8 Pituudet kuvassa ja luonnossa ovat suoraan verrannolliset (vastinsivujen suteet ovat samat) eli 8,8 7,8 8, ,6 : 8,8 165, (cm) Vastaus: Vaimon todellinen pituus on 166 cm. 7
8 10. Ureilukentän ala kartalla on 0 cm. Olkoon ala luonnossa (todellinen ala). Kartan mittakaava k Pinta-alojen sude on mittakaavan neliö eli la on = cm = 0,8 a. Vastaus: 0,8 a 11. Kaden ydenmuotoisen kuvion mittakaava k. Merkitään 5 pienemmän kuvion alaa 1 ja suuremman ala. Koska pinta-alojen sude on mittakaavan neliö, niin saadaan
9 Pienempi kuvio on suuremmasta kuviosta % Vastaus: 16 % 1. Olkoon esimerkiksi kuvan leveys ennen suurennusta s, jolloin leveys suurennuksen jälkeen on 1,5s. Merkitään kuvan pinta-alaa alussa 1 ja lopussa. Kootaan tiedot taulukkoon. Leveys la s 1 1,5s Valokuvat ovat ydenmuotoisia, joten mittakaavan neliö on pinta-alojen sude eli s 1,5s 1 1,5 1 1, ,
10 Suurennuksen jälkeen kuva on 1,565-kertainen vanaan näden eli sen koko kasvaa 56,5 % 56 %. Vastaus: 56 % 1. Kuvan suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pytagoraan lauseella 9,5 1 5,75 1 cm 5,75 7,1... 9,5 cm Koska >0, niin = 7,1 cm 7, cm. Vastaus: 7, cm 10
11 14. Merkitään suorakulmaisen kolmion toista kateettia kirjaimella. Toinen kateetti on tällöin,0 cm. Hypotenuusan pituus on cm, joten Pytagoraan lauseella saadaan,0,0,0 484,0,0 9, , ,0 ( 6,0) 4 6, ( 475) 6, ,98... tai 6, ,98... Koska > 0, niin = 16,98 cm. Kateetit ovat siis = 16,98 cm 17 cm ja,0 cm = 16,98 cm,0 cm = 1,98 cm 14 cm Vastaus: 17 cm, 14 cm 11
12 15. Hamotellaan kuva. Sisäänkäynnissä on portaikon päälle suunniteltu luiska, jonka pituus on,4 m. Luiskan pää on, m päässä ovesta. Merkitään portaikon korkeutta kirjaimella. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pytagoraan lauseella,4 m, m,,4 0,47 0,47 0, Koska >0, niin = 0,685 m 0,69 m Vastaus: 0,69 m 16. a) Kolmio on suorakulmainen, joten cos 17cm 5 cm 47,
13 b) Kolmio on suorakulmainen, joten 5,4 m sin 5 sin 5 5,4 m :sin5 5,4 m sin 5 9, m 9,4 m Vastaus: a) 47 b) 9,4 m 17. Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 1 cm ja 18 cm. Merkitään kolmion kulmia α, ja 90. Hamotellaan kuva kolmiosta. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1 cm α 18 cm tan 1 cm 56, cm β tan 1 cm 18 cm, Suorakulmaisen kolmion kolmas kulma on 90. Vastaus: Suoran kulman lisäksi kulmat 56 ja 4. 1
14 18. Majakan uippu on 15 m korkeudessa. Laivat ovat vastakkaisilla puolilla siten, että toisesta laivasta uippu näkyy 1 kulmassa ja toisesta 8,5 kulmassa. Hamotellaan tilannekuva. 8,5 1 Merkitään toisen laivan etäisyyttä majakasta kirjaimella ja toisen etäisyyttä y. Laivojen välinen etäisyys on tällöin + y. 15 m Muodostuvista suorakulmaisista kolmiosta saadaan y 15m tan 8,5 tan 8,5 15m 15m tan8,5 100,67...m 15m tan1 y y tan1 15 m y 15m tan1 y 70,569...m Etäisyys + y = 100,67 m + 70,569 m = 170,967 m 170 m Vastaus: 170 m 14
15 19. Tasakylkisen kolmion uippukulma on 4 ja korkeus 11 cm. Korkeusjana puolittaa uippukulman ja kannan. Huippukulman puolikas 4 on 1. Merkitään kannan pituutta ja kyljen pituutta y. y 4 11 cm 11 cm 1 y Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan tan tan14,5... Koska korkeusjana puolitti kannan, niin koko kannan pituus on siis 4,5...cm 8,445...cm 8,4 cm. Tasakylkisen kolmion kyljen pituus y saadaan myös suorakulmaisesta kolmiosta 11 cos 1 y y cos 1 11 y 11 cos 1 y : cos 1 11,
16 Kyljen pituus on siis y = 11,785 cm 1 cm. Vastaus: Kylkien pituus 1 cm ja kanta 8,4 cm 0. Piirretään mallikuva. Merkitään puun pituutta kirjaimella. 8,5,5 m Tilanteesta muodostuu suorakulmainen kolmio, jossa α = 90-8,5 =81,5. cos81,5 cos81,5,5,5,5 cos81,5 : cos81,5 16, α,5 m Puun pituus on =16,9167 m 17 m. Vastaus 17 m 16
17 1. a) Lasketaan ensi kolmion korkeus. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan,4m,4 5, 5, m 16,5 16,5 4, Koska >0, niin =4,0657 m Kolmion ala on siis,4 m 4, m 6, m 6,9 m b) 85 mm 77 mm 118 α Kuviossa oleva kulma Lasketaan ensin kolmion korkeus. 17
18 Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan sin sin 6 67, Kysytyn kolmion ala on 85 mm 67, mm 889,4... mm 8,894...cm 9cm Vastaus: a) 6,9 m b) 9 cm. Tasasivuisen kolmion korkeus on 1,0 cm. Kaikki kulmat ovat 60. Merkitään kolmion kantaa lausekkeella. Koska korkeusjana puolittaa kannan, on kannan puolikas. 60 1,0 cm Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1,0 tan 60 tan 60 1,0 1,0 tan 60 6, ,0 cm 18
19 Kolmion kanta on siis 6,98...cm 1,856...cm. Kolmion ala on 1,856...cm 1,0 cm 8,184...cm 8,1cm Vastaus: 8,1 cm. Merkitään suorakulmaisen kolmion toista kateettia kirjaimella. Kateettien pituusero on 5,0 cm, joten toinen kateetti on esimerkiksi 5,0 cm. Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat samat kuin kolmion kanta ja korkeus. Koska kolmion ala = 8 cm, niin saadaan 8 5,0 8 5,0 8 5,0 76 5,
20 5,0 5,0 5,0 ( 5,0) 4 1( 76) , tai 5,0 9 6, Koska >0, niin = 11,569 cm. Kateetit ovat siis = 11,569 cm 1 cm 5,0 cm = 11, 569 cm 5,0 cm =6,569 cm 6,6 cm. Vastaus: Kateetit ovat 1 cm ja 6,6 cm. 4. Merkitään kolmion kantaa kirjaimella ja korkeutta kirjaimella. Kannan ja korkeuden summa on cm eli + = = 0
21 Koska kolmion ala on 45 cm, niin saadaan ytälö ( 1) ( 90) 1 18 tai 1 5 Kolmion kanta = 5,0 cm tai = 18 cm Vastaus: 5,0 cm tai 18 cm 1
22 5. Merkitään tasakylkisen kolmion korkeutta kirjaimella. Huippukulma on 8 ja kanta 44 cm. 8 Korkeusjana puolittaa uippukulman ja kannan. 8 Huippukulman puolikas on 14ja kannan 44 cm puolikas on cm. Muodostuu suorakulmainen kolmio, josta saadaan 44 cm 14 tan14 tan14 Kolmion pinta-ala on tan14 88,7... cm 44 cm 88,7...cm 1941,...cm 19dm Vastaus: 19 dm
23 6. a) Lasketaan suunnikkaan korkeus muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. Kolmion kulma , dm 15 α 4,9 dm Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan sin 45,,, sin 45,67... Nelikulmion ala on 4,9dm,67...dm 11,087...dm 11 dm b) Kyseessä on tasakylkinen puolisuunnikas, koska kantakulmat ovat ytäsuuret. Tilanteesta muodostuu suorakulmainen kolmio, josta voidaan laskea puolisuunnikkaan korkeus. 115cm - 8cm 16,5 cm tan65 16,5 16,5 tan6516,55,
24 Puolisuunnikkaan pinta-ala on 5,84...cm 8 cm 115cm 5,84...cm 197cm 485,5...cm 5 dm Vastaus: a) 11 dm b) 5 dm 7. Merkitään suorakulmion (uoneen) leveyttä kirjaimella. Pituus on tällöin 5,0 m. Suorakulmion (uoneen) ala on 84 m eli 5,0 84 5, ,0 5,0 ( 5,0) 4 1( 84) 61 5,0 19 5, tai 5, Koska >0, niin = 1 m 4
25 Tällöin pituus on 5,0 m= 1 m 5,0 m= 7,0 m. Vastaus: Mitat ovat 1 m ja 7,0 m. 8. Hamotellaan puolisuunnikkaan kuva. Merkitään ydensuuntaisista sivuista lyyempää kirjaimella. Erisuuntaisista sivuista toinen on kotisuorassa ydensuuntaisia sivuja vastaan. Tämän sivun pituus on myös (puolisuunnikkaan korkeus). Ydensuuntaisten sivujen pituusero on,0 m, joten toisen pituus on +,0m. Pinta-ala on 16 m, joten saadaan,0 m,0 16,0 4,0 4 0 : 1, ,5 1,5 4 1( 16) 1,5 650,5 1,5 5,5 1 tai 1,5 5,5 1,5 5
26 Koska >0, niin = 1 m. Tällöin toinen ydensuuntainen sivu on +,0 m=15 m. 1 m 1 m 1 m y Merkitään puolisuunnikkaan viimeistä sivua kirjaimella y.,0 m Sivu y saadaan muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta Pytagoraan lauseella y y y 1, ,69... Koska y >0, niin y = 1,69 m 1,4 m. Vastaus: Sivut ovat 1 m, 1 m, 1,4 m ja 15 m. 6
27 9. Sormuksen alkaisija d = 1,8 cm =18 mm, joten sen keän pituus on p d 18 mm 56,548...mm Keälle matuu,0 mm timantteja 56,548...mm,0 mm 8, kappaletta. Vastaus: 8 kpl 0. Merkitään ympyrän sädettä kirjaimella r. Ympyrän ala on 6 cm, joten r r r 6 6 : 6,85... cm Keän pituus p on p,85...cm 1,6...cm 1cm Vastaus: 1 cm 7
28 1. Kolmio on tasasivuinen. Tasasivuisen kolmion sisään piirretty ympyrä sivuaa kolmion sivuja niiden puolessavälissä. Kolmion sivun pituus on 1 cm ja kaikki kulmat ovat 60. Kolmion uippukulma on siis myös 60. Korkeusjana puolittaa kannan ja uippukulman. 1cm Kannan puolikas on 6cm ja 60 uippukulman puolikas 0. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 6 cm r 1 cm tan0 r r 6 6tan0, Ympyrän ala on r,464...cm 7,69...cm 8cm Vastaus: 8 cm 8
29 . Olkoon ympyrän säde r, jolloin sen ala = r. Tätä alaa vastaa 60 asteen keskuskulma. Ympyrän sektorin alaa 50 cm vastaa 0 asteen keskuskulma. Keskuskulma ja vastaava sektorin ala ovat suoraan verrannollisia, joten r r r 50 r : ,90... Ympyrän säde r >0, joten r = 0,90 cm 1 cm. Vastaus: 1 cm 9
30 . Koko ympyrän keää p vastaa 60 asteen keskuskulma ja 4, dm sektorin kaaren pituutta vastaa 15 asteen keskuskulma. Kaaren pituus ja kaarta vastaavan sektorin keskuskulman suuruus ovat suoraan verrannolliset p p p 4,dm p 151 dm 100,8 dm 100dm : 15 Merkitään ympyrän sädettä kirjaimella r, jolloin p 100,8 dm r r r : ( ) 100,8 dm 16,04...dm 16dm Vastaus: säde 16 dm, keän pituus 100 dm 0
31 4. Sektorin kaaren pituus on sama kuin ympyrän säde r = 75 cm. Sektorin keskuskulmaa vastaa siis kaari, jonka pituus on 75 cm. 60 asteen keskuskulmaa vastaa koko ympyrän keä p p 75cm 471,...cm Koska keskuskulma ja vastaava kaaren pituus ovat suoraan verrannolliset, niin saadaan , , :471,... 57, Vastaus: Ympyrän säde r = 5 mm. Sektorin keskuskulma on 100. Koska sektorin keskuskulma on alle 180, segmentin ala saadaan väentämällä sektorin alasta keskuskolmion ala mm Sektorin ala sektori , mm 1
32 Keskuskolmio on tasakylkinen. Korkeusjana puolittaa uippukulman (sektorin keskuskulman) ja kannan. Huippukulman puolikas on Lasketaan ensin keskuskolmion korkeus ja kannan puolikas a mm cos cos50 16, mm a a sin a 5sin 50 a 19, mm Keskuskolmion kanta on a, joten ala on kolmio a a 19, mm 16, ,75...mm mm
33 Segmentin ala on segmentti sektori 40 mm kolmio 545,415...mm 7,66...mm 07,75... mm Vastaus: 40 mm 6. Ympyrän säde r = 1 m. Merkitään pisteen P etäisyyttä ympyrän keskipisteestä kirjaimella. Jana puolittaa tangenttikulman. Tangenttikulman puolikas on 5 17,5. P 17,5 1 m Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1 sin17,5 sin17,5 1 : sin17,5 1 4,... m sin17,5 Pisteen P etäisyys keästä on r = 4, m 1 m = 0, m 0 m Vastaus: 0 m
34 7. Hamotellaan tilannekuva. Merkitään läetysalueen ulottuvuutta yteensuuntaan kirjaimella b ja radiomaston korkeutta kirjaimella = 5 m = 0,05 km. Maapallon säde R = 670 km. Merkitään läetysaöueen ulottuvuutta (kaaren pituutta) vastaavan keskuskulman suuruutta α. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 670 km α b 670 km 670 cos 670 0,05 cos 0, , Läetysalue ulottuu kaaren b päään. b 0, km 60 1,116...km 1km Vastaus: 1 km 4
35 8. Hamotellaan tilannekuva. Maapallon säde 670 km. Sukkula on 50 km korkeudella. Merkitään näkyvyysaluetta eli kaaren pituutta b ja tätä vastaavaa keskuskulmaa α. Lasketaan keskuskulman puolikas α muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. 670 km α 50 km b 670 cos cos 670 cos 0, ,57... Koko näkyvyysaluetta vastaava keskuskulma α on koko maapallon keskuskulmasta (60 ) prosentteina 60 18, , % Vastaus 10 % 5
36 9. Hamotellaan tilannekuva. Teatterin alkaisija on 6 m, joten säde 6 m r 1m. Ville seisoo 150 m päässä teatterista Lyin reitti teatterin ympäri koostuu kadesta suorasta ja ympyrän kaaresta b. Kaaren pituuden b laskemiseksi tarvitaan ensin keskuskulmat α ja. b β 1 m α 150 m Ville Suorien osien pituus saadaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta m + 1 m = 181 m m α ,5... m Lasketaan kulman α suuruus muodostuneesta suorakulmaisesta kolmiosta. 1 cos 181 cos 0, ,18... Ympyrän keää pitkin kuljettavaa matkaa vastaa keskuskulma , ,7... 6
37 Kaaren b pituus on b 199,7... 1m ,06... m Koko matkan pituus on b 108,06...m 178,5...m 464,711...m 460 m Vastaus: 460 m 40. Piirretään tilannekuva. Pallon alkaisija on 8 cm, joten säde 8cm r 19cm. Hyttysen (pisteen) etäisyys pallon keästä on 5 cm. Hyttynen näkee pallosta kaaren b verran. 19 cm α 5 cm yttynen b 7
38 Lasketaan ensin kaaren puolikasta vastaavan keskuskulman α suuruus muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. 19 cos cos 54 cos 0, ,9... Koko yttysen näkökenttää vastaava keskuskulma on α = 69,9 = 18,79. Näkökentän keskuskulma on koko ympyrän keskuskulmasta (60 ) prosentteina 18, , % Vastaus: 9 % 8
39 41. Merkitään purkin (lieriön) pojaympyrän sädettä. Purkin korkeus on ytä suuri kuin pojan säde eli =. Tilavuus on V p Koska purkkiin matuu 1, dl = 0,1 l kalaa, sen tilavuus V= 0,1 dm = 10 cm. V : 10 10,67... cm Pojan alkaisija on siis r,67...cm 6,755...cm 6,7 cm Vastaus: 6,7 cm 9
40 4. Hamotellaan kuva. Särmiön poja on neliö,jonka sivun pituus on,0 dm. Särmiön korkeus on 5,0 dm. Merkitään pojaneliön lävistäjää ja avaruuslävistäjää l. Pojaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan l 5,0 dm, ,0,0 dm,0 dm 4,4... Koska >0, niin = 4,4 dm. Toisesta muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan l l l l 5,0 4, , Koska l >0, niin l = 6,557 dm 6,6 dm. Vastaus: 6,6 dm 40
41 4. Merkitään jääkuution särmää kirjaimella. Kuutio painaa 16,1 g. Jään tieys on 0,917 kg/l. Koska massa massa tieys, tilavuus. tilavuus tieys Jääkuution tilavuus on siis 16,1g kg 0,917 dm 0,0161k g kg 0,917 dm 0, dm 17,55...cm Jos särmän pituus on, niin kuution tilavuus on eli 17,55...,599...,60 Särmä,60 cm. Vastaus:,60 cm 41
42 44. Hamotellaan kuva. Merkitään kuution sivun pituutta, jolloin lieriön säde on. Kuution ja lieriön korkeudet ovat samat eli. Lieriön tilavuus on V lieriö. Kuution tilavuus on V kuutio 8 Lieriön tilavuus kuution tilavuudesta on V V lieriä lkuutio 8 0, % 8 Vastaus: 79 % 4
43 45. Pojana oleva säännöllinen 8-kulmio voidaan jakaa 8 samanlaiseen, 60 tasakylkiseen kolmioon. Kolmion uippukulma on Säännöllisen 8- kulmion sivun pituus on,4 cm, joka on sama kuin tasakylkisen kolmion kanta. Kolmion korkeusjana puolittaa kannan ja uippukulman. Kannan puolikas on,4 cm 1,7 cm ja uippukulman puolikas on 45,5.,5,5 1,7 cm 1,7 cm Merkitään kolmion korkeutta. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan tan,5 1,7cm 1,7cm tan,5 4,104...cm Kolmion ala on,4cm 4,104...cm kolmio 6, cm. Pojan ala on tällöin 8 kolmio 8 6, cm 55, cm 4
44 Koska vaippa muodostuu kadeksasta suorakulmiosta, joiden kanta on,4 cm ja korkeus 10, cm, on kokonaispinta-ala koko poja 55, cm 89,07...cm 90cm 8 suorakulmio 8,4 cm 10, cm Vastaus: 90 cm 46. Ympyräkartion korkeus = 1 dm Pojaympyrän alkaisija on 8,0 dm, joten säde 8,0dm r 4,0dm. s Tilavuus on r V 4,0dm 1 dm 01,06...dm 00 dm r Vaipan alan laskemiseksi tarvitaan sivujanan s pituus. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan s s s s r ,64... dm 44
45 Vaipan ala on v rs 4,0 dm 1,64...dm 158,95..dm 160dm Vastaus: Tilavuus on 00 dm ja vaipan ala 160 dm. 47. Kartion poja on säännöllinen viisikulmio, jonka sivun pituus on 4,1 m. Korkeus = 6,4 m. Hamotellaan kuva kartiosta. Vaipan pinta-alaa varten tarvitaan sivutakoina olevien tasakylkisten kolmioiden korkeus. Merkitään tätä kirjaimella s. Merkitään pyramidin sisälle muodostuvan suorakulmaisen kolmion toista kateettia kirjaimella. 4,1 m s Poja voidaan jakaa viideksi keskenään samanlaiseksi kolmioksi. Tällöin jokaisen 60 kolmion uippukulma on 7. 5 Kolmion korkeusjana puolittaa uippukulman ja kannan. Huippukulman puolikas on 7 6. α 4,1 m : =,05 m 45
46 Ratkaistaan ensin kateetin pituus. Pojalle muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan tan 6 tan 6,05,05,05 tan 6 : tan 6,81... m Sivutakon korkeus s saadaan Pytagoraan lauseella toisesta suorakulmaisesta kolmiosta s s s s 6,4, , , , m Sivutakokolmion ala on k 4,1m 6,994...m 14,8... m Pyramidin vaippa koostuu viidestä kolmiosta, joten ala on v 5 k 514,8...m 71,69... m 7 m Vastaus: 7 m 46
47 48. Ympyrän säde r = 5,4 dm. Sektorin keskuskulma on 170. Lasketaan ensin sektorin kaaren pituus eli ympyräkartion pojan keän pituus. b 170 5,4 dm 60 16,01...dm Merkitään pojaympyrän sädettä kirjaimella. Tällöin π 16, , π, 55 (dm) :( π) Kartion sivujana ja alkuperäisen ympyräsektorin säde ovat ytä suuret. Kartion korkeus saadaan kartion sisälle muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta Pytagoraan lauseella. 5,4 dm,55 5,4,55 dm 5,4,55,6575,6575 4, dm Koska >0, niin = 4,759 dm. Kartion tilavuus on V r,55 dm 4,759...dm,41...dm dm Vastaus: dm 47
48 6,1cm 49. Samppanjalasin suuaukon säde r,05cm. Lasin tilavuus on 1 cl. Muutetaan tilavuus kuutiosenttimetreiksi. 1 cl = 1, dl = 0,1 l = 0,1 dm = 10 cm Lasi on ympyräpojainen kartio, jonka tilavuus on siis 10 cm. Saadaan ytälö r,05,05 V : 60,05 1,18...,05 cm Koko lasin korkeus on siis 1,18 cm + 6,8 cm = 19,111 cm 19 cm Vastaus: 19 cm 48
49 50. Ympyräkartion pojan alkaisijan ja korkeuden sude on :. Merkitään kartion pojan alkaisijaa merkinnällä a. Kartion korkeus on tällöin a. Pojan säde r = a a Kartion vaipan alaa varten tarvitaan sivujanan s pituus. a s Kartion tilavuus on a V r a a a Koska tilavuus on 100 cm, saadaan ytälö a a a a a 100 : , ,55... cm 49
50 Kartion sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan Pytagoraan lauseella sivujanan s pituus. s s s a a 10a a 9a a s s 10a a s 10 7,55... s s 56,44..., Koska s >0, niin s =,944 cm. Vaipan ala on v rs 7,55... cm,944...cm 5,00...cm 50 cm Vastaus: 50 cm 50
51 51. Rantapallon tilavuus on,0 l =,0 dm. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r. Saadaan ytälö 4 r r V,0 dm 4 99,0 :4 r,0 99,0 4 r 99,0 1, Pallon säde on siis r= 1,9897 dm. Muovin menekki riippuu pallon alasta. Pallon ala on 1, dm 49,758...dm 49,8 dm 4r 4 Muovia siis tarvitaan 49,8 dm. Vastaus: 49,8 dm 51
52 5. Kuution sisällä on suurin madollinen pallo Merkitään kuution sivua kirjaimella, joten pallon säde r r Kuution ja pallon pinta-alat ovat kuutio 6 pallo Pallon alan sude kuution pinta-alaan on pallo kuutio 6 0,5 6 Vastaus: 5 6 0, 5
53 5. Valaisimen sisäsäde on 16 cm ja ulkosäde on siis 16 cm + 0, cm =16, cm Valaisimen tilavuus on,0 mm 16 cm V valaisin V ulko V sisä 16, cm 4 16cm ,58 cm cm 651, cm 0, dm Lasin tieys on,5 kg/dm, joten valaisin painaa siis kg,5 0, dm 1,686...kg 1,6kg dm Vastaus: 1,6 kg 5
54 54. Maapallon säde on 670 km. Kysytty etäisyys on kuvaan muodostuneen sektorin (keskuskulma,5 +,5 =47 ) kaaren pituus b. Kravun kääntöpiiri b 670 km,5,5 b km 60 55,4...km 50 km Kauriin kääntöpiiri Vastaus: 50 km 55. Lasketaan kannateltavan aineksen tilavuus. Tanko on ympyrälieriö, jonka pituus on 1,5 m=150 cm ja alkaisija 1,9 1,9cm cm. Tangon säde on 0,95 cm. Tangon tilavuus on siis tanko 0,95cm 150cm 45,9... cm V. Tangon päissä olevien pallojen säde on 14 cm, joten pallojen tilavuus on V pallot 14 cm 4 988,08... cm 54
55 Yteistilavuus on siis V V tanko V pallot 45,9...cm 41,7...cm,417...dm 988,08...cm Metallin tieys on 7,8 kg/dm, joten tanko painaa kg,417...dm 7,8 dm 18,64...kg 180kg Vastaus: 180 kg 56. Merkitään pallon sädettä kirjaimella r. Tällöin lieriön pojan alkaisija on r eli pallon alkaisija. Lieriön pojaympyrän säde ja pallon säde ovat siis r. Lieriön korkeus = r. Pallo siis juuri matuu lieriöön. Lieriön tilavuus on r r V lieriö poja r r r r 55
56 56 Pallon tilavuus on 4 pallo r V. Pallon tilavuuden sude lieriön tilavuuteen on lieriö pallo r r r r V V Vastaus:
57 Harjoituskoe 1 1. a) Kulma β ja 80 :een kulma ovat samankotaisia kulmia. Koska suorat l ja m ovat ydensuuntaisia, β = 80. Kolmion kulmien summa on 180. Kulmat α ja γ ovat vieruskulmia b) Kulma γ ja 0 :een kulma ovat samankotaisia kulmia. Koska suorat l ja m ovat ydensuuntaisia, γ = 0. Kulmat γ ja α muodostavat ydessä 90 :een kulman Kulmat α ja β ovat samankotaisia kulmia. Koska suorat l ja m ovat ydensuuntaisia, β = 70. Vastaus: a) α = 115, β = 80 b) α = 70, β = 70
58 Harjoituskokeiden ratkaisut. a) Merkitään lyintä matkaa rannalta saareen kirjaimella : 40 m 0 m 100 m 650 m 0 m b) Saaren säteen pituus on 10 m Reijon kodin etäisyys saaren keskipisteestä on 10 m + 40 m + 50 m = 100 m. r. r 10 m 40 m 50 m Merkitään kysytyn kulman puolikasta kirjaimella α. 10 m Reijo 10 sin 0, ,79... α 100 m Tangenttikulma on 11,
59 Harjoituskokeiden ratkaisut c) Kun sataa 8 mm, veden pinta järvessä nousee siis =8 mm = 0,8 cm = 0,08 dm = 0,008 m. Järven pinta-ala on suorakulmion ala, josta on poistettu saaren pinta-ala eli ympyrän ala. Suorakulmion ala on suorakulmio 650m 100 m 65000m Ympyrän ala ympyrä Järven pinta-ala on siis r 10 m 14,15... m suorakulmio ympyrä m 14,15... m 64685,84... m Tilavuus kasvaa siis V 64685,84...m 0,008 m 517,486...m 50 m Muutetaan tilavuus litroiksi. 50 m = dm = l Vastaus: a) 40 m b) 11 c) l 59
60 Harjoituskokeiden ratkaisut. a) Pizza jaetaan ikävuosien suteessa 15:7. Ympyrän (pizzan) keskuskulma jakautuu siis tässä suteessa. Merkitään Susannan saaman palan keskuskulmaa merkinnällä 15. Lassin palan keskuskulma on tällöin : 16, , , , , b) Säde r = 15 cm Susannan palan reunan pituus on 45, cm 60 64,59...cm 64 cm Vastaus: a) Susanna 45, Lassi 115 b) 64 cm 60
61 Harjoituskokeiden ratkaisut 4. Merkitään laivan etäisyyttä vuoresta alussa kirjaimella ja lopussa kirjaimella y. Hamotellaan tilannekuva. 70 m v u o r i 4 0 y laiva lopussa laiva alussa Etäisyys alussa saadaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. 70 tan 0 tan 0 70 : tan 0 70 tan 0 005, Etäisyys lopussa saadaan toisesta muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. tan 4 70 y y tan 4 70 y 70 y tan 4 y 810,74... m m : tan 4 61
62 Harjoituskokeiden ratkaisut Laivan on kuljettava matka on y. y 005,658...m 1194,911...m 1, km 810,74...m Vastaus: 1, km 5. Vovelikartion korkeus = 1,5 cm ja suuaukon säde 5,0 cm r,5 cm. Merkitään kartion sivujanan pituutta kirjaimella s. s r =,5 cm = 1,5 cm a) Tilavuus on V r,5 81,81... cm cm 1,5 cm 8 cm 8 cm = 0,08 dm = 0,08 l =0,8 dl 6
63 Harjoituskokeiden ratkaisut b) Vaipan alan laskemiseksi tarvitaan kartion sivujanan pituus s. Kartion sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan s s s r 1,5 cm,5 cm 16,5 cm s 16,5 cm s 1,747...cm Koska s > 0, niin s = 1,747 cm. Vaipan ala on rs,5cm 1, cm 100,119...cm 100 cm Vastaus: a) 0,8 dl b) 100 cm 6
64 Harjoituskokeiden ratkaisut 6. Kirjan 1. painoksen tetävänannossa on vireitä. Rakennuksen mittojen esitteessä pitäisi olla 40 mm 5 mm ja rakennuksen pojapinta-alan luonnossa 10 m. a) Rakennus on suorakulmio, jonka mitat esitteessä ovat 40 mm 5 mm. Lasketaan rakennuksen pinta-ala esitteessä. e site 40 mm 5 mm 1000 mm 10cm Muutetaan rakennuksen todellinen pinta-ala samaan yksikköön (cm ). luonto 10 m 1000 dm cm. Merkitään mittakaavaa kirjaimella k. Pinta-alojen sude on ytä suuri kuin mittakaavan neliö eli k k k k k esite luonto 10 cm cm ,01 1 Koska mittakaava on positiivinen luku, k = 0,01 = = 1 :
65 Harjoituskokeiden ratkaisut b) Mitat luonnossa ovat 40 mm 100 = 4000 mm = 4,0 m 5 mm 100 = 500 mm =,5 m Vastaus: a) Mittakaava on 1 : 100 b) Mitat ovat 4,0 m,5 m. 7. a) Merkitään suoraa matkaa kirjaimella. Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan koulu 1 1 km 5 5,6... km koti Koska >0, niin =,6 km, km. Suoraan metsän läpi kulkeva matka on, km. b) Pidempi matka s = km+ 1 km = km. ikaa matkaan kuluu t = 0 min = 0,5. Nopeus v t s km 0,5 km 6 65
66 Harjoituskokeiden ratkaisut Polkua pitkin (metsän poikki, samalla nopeudella) aikaa kuluu t v s,6...km km 6 0,76...km,6...min min Vastaus: a), km b) min 8. Piirretään tilannekuva. Maapallon säde on 670 km. Merkitään satelliitin etäisyyttä maanpinnasta kirjaimella, ja etäisyyttä maan keskipisteestä kirjaimella y. satelliitti 86 Maapallo näkyy 86 kulmassa (tangenttikulma). Merkitään tangenttikulman puolikasta α y 670 km 670 km Ratkaistaan etäisyys y muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. sin y y y sin : sin y sin 4 y 940,19... km 670 α y 66
67 Harjoituskokeiden ratkaisut Satelliitin etäisyys maanpinnasta on y 670 km 940,19... km 670 km 970,19... km 970 km b) Merkitään kysyttyä etäisyyttä kirjaimella b. Ratkaistaan ensin kaarta b vastaava keskuskulma. Koska kolmion kulmien summa on 180, saadaan ytälö satelliitti 4 b 670 km Kaaren b pituus on siis b ,4...km 50 km km Vastaus: a) 970 km b) 50 km 67
68 Harjoituskokeiden ratkaisut Harjoituskoe 1. a) Kolmio on suorakulmainen, joten sin0 6,5 cm 6,5 cm sin0,5 cm, cm b) Sisäkkäin olevat kolmiot ovat ydenmuotoisia (kk-lause): yksi yteinen kulma ja samankotaiset kulmat, jotka ovat kuvaan merkittynä, ovat ytä suuret. Ydenmuotoisuuden nojalla saadaan siis vastinsivujen suteena 5,0 10,0,0 7,0 10,0 7, , cm Vastaus: a), cm b) 1 cm 68
69 Harjoituskokeiden ratkaisut. a) Koska mittakaava on 1:50000, on kartalla,8 cm pituus luonnossa 50000,8 cm cm 1,4 km b) Suon pinta-ala kartalla on 1,0 cm. Olkoon suon ala luonnossa. Koska ydenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen sude on mittakaavan neliö, saadaan 1,0 1, cm la on siis luonnossa cm = 5 a.. Hamotellaan tilannekuva. torni ikkuna 6, 1, 8,0 m y Merkitään tornin etäisyyttä ikkunasta kirjaimella y ja tornin korkeutta ikkunan tasosta yläreunaan kirjaimella. 69
70 Harjoituskokeiden ratkaisut Muodostuvista suorakulmaisista kolmioista saadaan tan1, 8,0 y y 8,0 tan1, 7,96... tan6, 7, ,96... tan6, 18, Tornin korkeus on siis 8,0 m 18, m 8,0 m 6, m 6,9 m Vastaus: 6,9 m 70
71 Harjoituskokeiden ratkaisut 4. Hamotellaan tilannekuva. Tuulilasin pyykimen leveys on 50 mm 100 mm = 50 mmm. 50 mm 100 mm Tummennettu ala on yden pyykijän pudistama ala. 15 iso sektori cm 16,6... cm pieni sektori cm 109,08... cm Kysytty ala on tällöin iso sektori pieni sektori 16,6...cm 17,184...cm 1dm 109,08...cm Vastaus: 1 dm 71
72 Harjoituskokeiden ratkaisut 5. Maapallon säde on 670 km. Merkitään kysyttyä satelliitin korkeutta kirjaimella. Helsingin ja Lontoon etäisyys 1900 km, on kuvaan merkitty kaaren pituus. 670 km α Tätä kaaren pitutta vastaa ympyrän keskuskulma km Keskuskulma ja vastaava kaaren pituus ovat suoraan verrannollisia suureita. Koska 60 astetta vastaa koko ympyrän keän pituus, niin verrannolla saadaan , Kuvaan muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan cos17, cos17, cos17, , Satelliitin on oltava 90 km korkeudessa. Vastaus 90 km 7
73 Harjoituskokeiden ratkaisut 100 cm 6. Puolipallon alkaisija on 100 cm, joten säde r 50 cm. Puolipallon tilavuus on V cm 61,79...dm Jos virtausnopeus on l 0,5 s dm 0,5 s, padan täyttymiseen kuluu 61,79...dm dm 0,5 s 747,99...s 1,5 min 1 min 8 s Vastaus: 1,5 min 7. Hamotellaan tilannekuva. Teltta on neliöpojainen pyramidi, jonka pojan sivun pituus on, m ja sivusärman pituus,7 m. Pyramidin sivutako on siis tasakylkinen kolmio, jonka korkeus olkoon. Merkitään pyramidin eli teltan korkeutta kirjaimella.,7 m, m 1,6 m 7
74 Harjoituskokeiden ratkaisut Pyramidin sivutakoon muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1,6,7 4,7 4,7, Koska >0, niin =,174 m. Pyramidin sisälle muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 1,6 1,6,174...,17,17 1,47... Koska >0, niin = 1,47 m Pyramidin (teltan) tilavuus on V poja, m 1,47...m 5,08...m 5,0 m Vastaus: 5,0 m 74
75 Harjoituskokeiden ratkaisut Harjoituskoe 1. a) Kartan mittakaava on 1 : Lenkin pituus kartalla oli 8 cm. Merkitään lenkin pituutta luonnossa kirjaimella. Kootaan annetut tiedot taulukkoon. Pituus kartalla (cm) Pituus luonnossa (cm) Ydenmuotoisuuden perusteella pituudet ovat suoraan verrannollisia (vastinosien sude on sama kuin mittakaava) eli = cm = m = 14 km b) Hiitonopeus oli v km 5,0, joten aika t v s 14 km 5km/,8 48 min Vastaus: a) 14 km b) 48 min 75
76 Harjoituskokeiden ratkaisut. a) Merkitään tasakylkisen kolmion korkeutta kirjaimella. Korkeusjana puolittaa kannan. 6,0 m Kanna puolikas on,0 m. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 5,0 m 5,0 m 6,0 m Koska >0, niin = 4 m Kolmion ala on 6,0 m 4,0 m 1,0 m. b) Merkitään puolisuunnikkaan korkeutta kirjaimella. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta voidaan laskea korkeus. sin 5 6,4 6,4 6,4 sin 5 5, ,4 cm 5 1, cm 16,7 cm 76
77 Harjoituskokeiden ratkaisut Puolisuunnikkaan ala on 16,7 cm 1,cm 5,04...cm 7,17...cm 7 cm Vastaus: a) 1 m b) 7 cm. Ympyrän muotoisen piirakan alkaisija on,8 cm, joten säde,8 cm r 11,4 cm. a) Piirakan ala on r 11,4 cm 408,8...cm 408cm b) Palan keskuskulma on 15, joten palan pinta-ala (sektorin ala) on ,4cm 17, cm. 60 Taikinareunan leveys on 1,8 cm, joten marjaosan säde r = 11,4 cm 1,8 cm = 9,6 cm. Marjaosan pinta-ala on siis 15 9,6cm 1,06... cm
78 Harjoituskokeiden ratkaisut Marjaosan osuus prosentteina koko palan alasta on 1 1, , , % Vastaus: a) 408 cm b) 71% 4. a) Hamotellaan tilannekuva. Merkitään lipputangon pituutta kirjaimella. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 55 tan 55 7,0 7,0 tan 55 9, (m) 7,0 7,0 m 78
79 Harjoituskokeiden ratkaisut b) Suorakulmion sivujen pituuksien sude on 1 :. Merkitään lyyempää sivua kirjaimella. Pidempi sivu on tällöin. Koska suorakulmion piiri on 5 cm, saadaan ytälö : 8,15 Lyyempi sivu on siis =,15 cm,1 cm, joten pidempi sivu on,15cm 9,75cm 9,4 cm. Vastaus: a) 10 m b),1 cm ja 9,4 cm 79
80 Harjoituskokeiden ratkaisut 5. Merkitään kolmion ypotenuusaa kirjaimella y ja pidempää kateettia kirjaimella. Lyyempi kateetti on tällöin 6,5 cm. 6,5 cm y Koska kolmion pinta-ala on 55,8 cm, niin saadaan 6,5 55,8 6,5 111,6 6,5 111,6 0 6,5 6, ,6 1 6,5 488,65 14,0... tai 10,79... Koska sivunpituus > 0, niin = 14,0 cm 14 cm. Toinen kateetti on tällöin 6,5 cm = 14,0 cm 6,5 cm =7,80 cm 7,8 cm. 80
81 Harjoituskokeiden ratkaisut Hypotenuusa saadaan Pytagoraan lauseella y 14,0... 7,80... y 14,0... 7,80... y y 65,45 16,9... Koska y >0, niin y = 16,9 cm 16 cm. Vastaus: Kateetit ovat 14 cm, 7,8 cm ja ypotenuusa 16 cm. 6. Piirretään mallikuva. Maapallon säde on 670 km. Lentäjä näkee lentokoneesta kaaren b. Lasketaan ensin kaarta b vastaava keskuskulma α. Muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta saadaan 670 km α b 10,5 km cos ,5 670 cos 680,5,
82 Harjoituskokeiden ratkaisut Kaaren b pituus on,87... b 670 km 10,57... km. 60 Kaaren pituuden sude koko maapallon keään on 10,57...km 670 km 0, ,91% Vastaus: 0,91 % 7. Piirretään mallikuva. Lauran pituus on 160 cm = 1,6 m. Merkitään kysyttyä etäisyyttä puun juurelta lintutornille kirjaimella. C E Laura 160 cm B 1,9 m D 5,5 m 8,0 m Kolmiot BC ja DE ydenmuotoiset (kk-lause), koska kummassakin suora kulma ja kulma on yteinen. 8
83 Harjoituskokeiden ratkaisut Ydenmuotoisissa kuvioissa vastinosat ovat verrannolliset, joten 1,9 1,6 5,5 1,6 1,,9 1, 8 467,4 1, 1, ,9 908, 440,8 5,87... Etäisyys = 5,87 m 5,8 m. Vastaus: 5,8 m 8. Merkitään pyramidin pojaneliön sivua kirjaimella. Pyramidin korkeus = 4,5 cm. Merkitään sivutakon (kolmion) korkeutta kirjaimella y y 8
84 Harjoituskokeiden ratkaisut a) Lasketaan pojaneliön sivun pituus. Lävistäjä on,0 cm, joten Pytagoraan lauseella saadaan,0 4,0 :,0 cm,0,0 1, Koska >0, niin = 1,414 cm. Tilavuus on V ,414...cm 4,5cm cm a) Pojan pinta-ala 1, cm,0 cm. poja Pyramidin sivutakot (4kpl) ovat tasakylkisiä kolmioita. y 84
85 Harjoituskokeiden ratkaisut Lasketaan sivutakokolmion korkeus y kartion sisään muodostuvasta suorakulmaisesta kolmiosta. Pytagoraan lauseella saadaan y y 4,5 0,75 y 4,55... Koska y >0, niin y = 4,55 cm. 1, y Yden sivutakokolmion ala 1,414...cm 4,55...cm,1...cm. y Kartion kokonaispinta-ala koko poja cm 14,884...cm 15cm 4 4,1...cm Vastaus: a),0 cm b) 15 cm 85
86 Harjoituskokeiden ratkaisut 9. Koska lieriön poikkileikkaus (pystysuunnassa) on neliö, ovat pojan alkaisija ja lieriön korkeus ytä suuret. Merkitään pojan alkaisijaa ja korkeutta r, joten lieriön pojaympyrän säde on r. Lieriön tilavuus on 57,0 l = 57,0 dm, joten saadaan r r r r p r r r r V : 57 57, Pojan säde on r =,085 dm =0,85 dm 0,9 dm. Korkeus on siis r,085...dm 4,171...dm 41,71...cm 41,7 cm Vastaus: pojan säde 0,9 cm, korkeus 41,7 cm 86
Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.
5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41
Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun
Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.
Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1
Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!
MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.
Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman
3 Avaruusgeometria. Lieriö. 324. a) V = 30 20 12 = 7 200 (cm 3 ) 7 200 cm 3 = 7,2 dm 3 = 7,2 l. b) V = A p h = 30 15 = 450 (cm 3 )
Avaruusgeometria Lieriö 4. a) 0 0 1 7 00 (cm ) 7 00 cm 7, dm 7, l b) A p h 0 15 450 (cm ) 5. Kuution särmän pituus on a 1, cm. a) a 1, 1,78 1,7 (cm ) b) A 6a 6 1, 8,64 8,6 (cm ) 16 6. r d 8 (cm) A p h
1 Kertausta geometriasta
1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat
Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.
Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 30.7.018 5 TASOGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 3,5 m eri yksiköihin. 3,5 m = 35 dm = 350 cm = 3 500 mm ja 3,5 m = 0,035
Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN
alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä
C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!
MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko
Kolmiot ABC ja DEF ovat keskenään yhdenmuotoisia eli ABC DEF. Ratkaise. 6,0 cm. Koska vastinkulmat ovat yhtä suuret, myös kulman a suuruus on 29.
1 Yhdenmuotoisuus Keskenään samanmuotoisia kuviota kutsutaan yhdenmuotoisiksi kuvioiksi. Yhdenmuotoisten kuvioiden toisiaan vastaavia kulmia kutsutaan vastinkulmiksi ja toisiaan vastaavia osia vastinosiksi.
5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.
5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)
Pythagoraan polku 16.4.2011
Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,
302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360
Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon
2 Kuvioita ja kappaleita
Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen
KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.
KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )
[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]
![[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]](/thumbs/30/14370320.jpg "[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]")
2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...
2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA
Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia
a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.
Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.
Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa
Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi
MAB2. Kertaustehtävien ratkaisut. 120. a) α = 15 16 1. β = 95 58 45. 95 o 58. b) α = 11,9872 0,9872 = 0,9872 60 = 59,232 0,232 = 0,232 60 = 13,92
MAB Kertaustehtävien ratkaisut 10. a) α = 15 16 1 16 1 15 60 β = 95 58 45 600 15,669 95 58 45 95,979 60 600 b) α = 11,987 0,987 = 0,987 60 = 59, 0, = 0, 60 = 1,9 α = 11 59 1,9 = 11 59 14 β = 95,4998 0,
Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5
Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =
MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ
MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita
Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä
Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit
Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia
Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,
( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten
1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,
2 = 31415,92... 2 31 000 m
Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 6 40 Ympyän halkaisija d 00 m ja säde 00 m. a) kehän pituus p π d d 00 m π 68,... 60 ( m) b) pinta-ala π 00 m π 00 45,9... 40 a) ( ) 000 m a) kehän pituus 60 m
[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]
![[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]](/thumbs/38/17851210.jpg "[MATEMATIIKKA, KURSSI 9]")
2016 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 9] Avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille 1 SISÄLLYSLUETTELO 9. KURSSIN SISÄLTÖ... 3 9.0.1 MALLIKOE 1... 4 9.0.2 MALLIKOE 2...
= A h, joten poikkipinta-alaksi saadaan. Rännin tilavuus V. 80 dm. 90 dm = 0,888... dm 0,89 dm 902 V. Poikkipinta-alan pitää olla. 0,89 dm.
Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 149 901 a on lieriö b ei ole, ojat eivät ole ytenevät c on d ei ole, lieriön määritelmän eto suora liikkuu suuntansa säilyttäen ja alaa louksi lätöaikkaansa käymättä
Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI
OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa
Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.
9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus
3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden neljään osaan.
KOKEIT KURSSI 2 Matematiikan koe Kurssi 2 () 1. Nimeä kulmat ja mittaa niiden suuruudet. a) c) 2. Mitkä kuvion kulmista ovat a) suoria teräviä c) kuperia? 3. Piirrä kaksi tasoa siten, että ne jakavat avaruuden
15. Suorakulmaisen kolmion geometria
15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen
Tarkastellaan neliötä, jonka sivun pituus on yksi metri. Silloinhan sen pinta-ala on 1m 1m
MB: Yhdenmuotoisuus luksi Tämän luvun aiheina ovat yhdenmuotoisuus sekä yhdenmuotoisuussuhde. Kaikkein tavallisimmat yhdenmuotoisuuden sovellukset ovat varmasti kartta ja pohjapiirros. loitamme tutuista
Pituus- ja pinta-alayksiköt. m dm cm mm. km hm dam m. a) neljän pienen kohteen pituus millimetreiksi, senttimetreiksi ja desimetreiksi
Pituus- ja pinta-alayksiköt 1 Pituusyksiköt Pituuden perusyksikkö on metri, ja se lyhennetään pienellä m-kirjaimella. Pienempiä ja suurempia pituusyksiköitä saadaan kertomalla tai jakamalla luvulla 10,
Summa 9 Opettajan materiaali Ratkaisut
Sisällysluettelo Laskutoimituksia Laskutoimitukset luvuilla Lausekkeiden sieventäminen 8 Yhtälöitä ja prosenttilaskentaa Ensimmäisen ja toisen asteen yhtälö Prosenttilaskenta Tasogeometriaa Tasogeometrian
4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset
4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste
α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.
K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Kappaleet II ja III ovat likimain lieriöitä.
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.018 6 AVARUUSGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 8A. a) Kappale II on likimain särmiö. Vastaus: II b) Kappaleet II ja III ovat likimain
4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.
Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma
OuLUMA - Jussi Tyni OuLUMA, sivu 1 Ihastellaan muotoja Avainsanat: geometria, kolmio, ympyrä, pallo, trigonometria, kulma Luokkataso: lukio Välineet: kynä, paperia, laskin Tavoitteet: Tarkoitus on arkielämään
Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.
Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)
14 Monikulmiot 1. Nimeä monikulmio. a) b) c) Laske monikulmion piiri. a) 30,8 cm 18,2 cm. Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri on 25,0 cm.
1 14 Monikulmiot Nimeä monikulmio. a) b) c) kolmio nelikulmio 12-kulmio Laske monikulmion piiri. a) 4,2 cm b) 3,6 cm 11,2 cm 4,8 cm 3,6 cm 4,3 cm 30,8 cm 18,2 cm Laske sivun x pituus, kun monikulmion piiri
203 Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja eräiden sivujen välille muodostuu 45 kulma.
Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 1 201 202 Saadaan tapaukset 1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä. l a) A B C A B C
MAA03.3 Geometria Annu
1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.
Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.
Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =
Koontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset
Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla
Trigonometriaa ja solve-komento GeoGebralla Valitse yläreunasta Näytä-valikosta CAS ja Piirtoalue. CAS-on laskinohjelma, piirtoalueen avulla saat kuviot näkyville tarvittaessa. Harjoitellaan ensiksi CAS-ikkunan
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
Aluksi. Avaruuskappaleista. Lieriö. MAB2: Avaruuskappaleita
MAB: Avaruuskappaleita Aluksi Tässä luvussa emme tyydy enää pelkkään tasoon. Aiheena ovat nyt avaruuskappaleet eli kolmiulotteiset kappaleet. Tarkastelemme lieriötä eli sylinteriä, kartiota, särmiötä,
235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti
8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.
MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA
MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin
Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio
Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.
1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
10. Jänteiden keskinormaalit kulkevat ympyrän keskipisteen kautta.
Vastaukset: 1. tasasivuisessa kolmiossa on kaikki sivut yhtä pitkiä, tasakylkisessä kolmiossa on kaksi yhtä pitkää sivua. 1. Piirretään kolmion yksi sivu eli jana AB.. Otetaan jana AB säteeksi ja piirretään
RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet
3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin
7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen
7.lk matematiikka Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 15. Kolmio... 4 16. Nelikulmiot... 8 17. Monikulmiot... 12 18. Pituuksien ja pinta-alojen muutokset... 16 19. Pinta aloja
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen
HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI
1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen
MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ 2. SISÄLTÖ. 1.Pinta-alojen laskeminen 2.Tilavuuksien laskeminen.
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille PAOJ. Isto Jokinen 013 SISÄLTÖ 1.Pinta-alojen laskeminen.tilavuuksien laskeminen PINTA-ALOJEN LASKEMINEN Pintakäsittelyalan työtehtävissä on pinta-alojen
MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät
MATEMATIIKKA PAOJ2 Harjoitustehtävät 6. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala. ( T ) 1. Täytä taulukko m 12 1,45 0,805 2. Täytä taulukko mm 12345 4321 765 23,5 7. Laske kuvan suorakulmion pinta-ala.( T )
Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.
Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja
Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 (lukion 1. vuosi)
Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta
A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla
Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion
B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma
4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet
Tasokuvioita. Monikulmio: Umpinainen eli suljettu, itseään leikkaamaton murtoviivan rajaama tason osa on monikulmio. B
Tasokuvioita GOMTRI M3 Murtoviiva: Sanotaan, että kaksi janaa on liitetty toisiinsa, jos niiden toinen päätypiste on sama. Peräkkäin toisiinsa liitettyjen janojen muodostamaa viivaa kutsutaan murtoviivaksi,
Kenguru 2016 Student lukiosarjan ratkaisut
sivu 1 / 22 Ratkaisut TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VASTAUS A C E C A A B A D A TEHTÄVÄ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 VASTAUS A C B C B C D B E B TEHTÄVÄ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 VASTAUS D C C E E
YLIOPPILASTUTKINTO 22. 3. 2000 MATEMATIIKAN KOE - PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
INTERNETIX Ylioppilaskirjoitusten tehtävät Page YLIOPPILSTUTINTO MTEMTIIN OE PITÄ OPPIMÄÄRÄ okeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Eräät tehtävät sisältävät useita osia [merkittynä a), b) jne],
2. a- ja b-kohdat selviä, kunhan kutakuinkin tarkka, niin a-kohta 1 p b-kohta 1 p
LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 2.2.2018 RATKAISUT 1. a) 3,50 b) 56 c) 43300 km d) 15 e) 21.08 f) 23.9. kukin oikea vastaus a-kohdassa pelkkä 3,50 ilman yksikköä kelpuutetaan, samoin c-kohdassa pelkkä
Suorakulmainen kolmio
Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2
0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden
4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600
Tekijä 3 Geometria 7.10.016 47 Kartta on yhdenmuotoinen kuva maastosta, jolloin kartan pituudet ja maaston pituudet ovat suoraan verrannollisia keskenään. Merkitään reitin pituutta kartalla kirjaimella
GEOMETRIAN PERUSTEITA
GEOMETRIAN PERUSTEITA POHDITTAVAA. 2. Suurennoksen reunat ovat epäteräviä bittikarttakuvassa mutta teräviä vektorigrafiikkakuvassa.. Peruskäsitteitä ALOITA PERUSTEISTA 0. Kulma α on yli 80. Kulma β on