302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

Transkriptio

1 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon lävistäjät on piirretty katkoviivalla. kovera viisikulmio b) Kaikki kulmat ovat alle 180. kupera kuusikulmio b) = 60, joten ei ole olemassa nelikulmiota, jossa olisi 155 ja 05 kulmat. Vastaus a) on b) ei ole

2 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 4 0 a) b) β γ α = 110 ristikulmat δ = 180 α vieruskulmat δ = δ = 70 γ = 0 samankotaiset kulmat ja ABCD β = 180 α γ kolmion kulmien summa β = β = 40 ε = kolmion kulmien summa ε = 60 β = = 87 oikokulma γ = 4 samankotaiset kulmat ja l α + β + γ = 180 kolmion kulmien summa α=180 β γ α = α = 50 l 1 Vastaus a) α = 110, β = 40, γ = 0, δ = 70 ja ε = 60 b) α = 50

3 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu CA DE γ = suorakulmainen kolmio EBD γ = 60 Toisin γ = 60 samankotaiset kulmat ja CA DE AJ + IH = BC = 4, cm JI + HG + FE + DC = AB = 1, cm FG = ED = 1, 4 cm β = 70 0' samankotaiset kulmat ja CA DE 0 = = 70,5 α = 180 β γ oikokulma eli α + β + γ=180 = ,5 60 = 49,5 Monikulmion ABCDEFGHIJ piiri on Vastaus p = 1, cm + 4, cm + 1,4 cm = 5,8 cm 5,8 cm Vastaus α = 49,5, β = 70,5, γ = 60

4 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 6 06 Esimerkiksi a) b) c) a) mm = km=745,6 km , b) 6,7 10 m = km = 6,7 10 km = 670 km c) 0,0146 m = 0, cm = 1,46 cm d) km = m = m = 05 m e) mm = a = a = 1,4 a , f) 7,8 10 cm = a = 7,8 10 a = 7,8 a g) 0, km = 0, m = 56,7 m ) 184,6 10 m = 184, cm = 184,6 cm 5600 i) ml = l = l = 5,6 l 1000 j) 1 l = 1 dm k) l = dm = m = 1 m l) cl = ml = cm = m = 0,6 m m) dl = dm = km = 0,45 km n) 1,46 10 mm = 1, m = 1,46 m ) 1079,6 10 m = 1079, cm = 107,96 ml

5 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 7 08 a) Lävistäjien lukumäärä on 8 ( 8 ) = 0. b) Kulmien summa on ( 8 ) 180 = 1080 Vastaus a) 0 b) a) Merkitään sivujen määrää kirjaimella n. Saadaan ytälö ( n ) 180 = 600 :180 n = 0 n = 10 Olkoon n ( n ) monikulmion sivujen lukumäärä. Saadaan ytälö n nn ( ) = 65 nn ( ) = 10 n 10= 0 ± ( ) 4 1 ( 10) ± n = = 1 n= 10 tai n= 1 n ei kelpaa kelpaa b) Merkitään sivujen määrää kirjaimella n. Saadaan ytälö ( n ) 180 = 1890 :180 n = 10,5 n = 1,5 N Vastaus a) sivua b) ei ole Vastaus Monikulmiossa on 1 sivua.

6 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 8 11 Olkoon n( n ) monikulmion sivujen lukumäärä. Saadaan epäytälö nn ( ) 9 ( > 0) n n 18 n n 18 0 Nollakodat: n Kuvaaja: n 18= 0 ± ( 18) ± 9 n = = n= tai n= 6 1 Olkoon nn monikulmion sivujen lukumäärä. Saadaan epäytälö nn ( ) 50 > 0 nn ( ) 100 n n Nollakodat: n n 100= 0 ± ± 409 n = = n= = 8,61... tai n= = 11,61... n 8,6 tai n 11,6 Kuvaaja: Epäytälö toteutuu, kun n 6, Koska n, niin arvot, 4, 5 ja 6 kelpaavat. Epäytälö toteutuu, kun n 8,6 tai n 11,6 Koska n, niin arvot n = 1, 1, 14,... kelpaavat. Vastaus Monikulmion sivujen lukumäärä on, 4, 5 tai 6. Vastaus Monikulmiossa on väintään 1 sivua.

7 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 9 1 Olkoon nn monikulmion sivujen lukumäärä. Saadaan epäytälö nn ( ) < n > 0 nn ( ) < n n 5n< 0 Nollakodat: Kuvaaja: n 5n= 0 nn ( 5) = 0 n= 0 tai n= 5 Epäytälö toteutuu, kun 0 < n < 5, Koska n, niin arvot n= ja n= 4 kelpaavat. 14 Olkoon nn monikulmion sivujen lukumäärä. Kaksitoistakulmion kulmien summa on ( 1 ) 180 ( n ) 180 = Uuden monikulmion kulmien summa on 0, % 0% = 70% = 0,7 Toisaalta uuden monikulmion kulmien summa on ( n ) 180 joten saadaan ytälö ( n ) 180 = 0, :180 n = 7 n = 9, Vastaus Monikulmiossa on tai 4 kulmaa. 9-kulmiossa on lävistäjiä nn = = 7 Vastaus Monikulmiossa on 7 lävistäjää.

8 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu a) Tasakylkisen kolmion kantakulmat ovat ytä suuret, joten β + 90 = 180 β = 90 β = 45 α on kantakulman vieruskulma, joten α = = 15 α = 40 eijastuskulma on sama kuin tulokulma β = = 0 kolmion kulmien summa γ = = 50 kolmion kulmien summa Valonsäde kääntyy yteensä kulman α + β + γ = = 0 > 180 joten valonsäteet kotaavat toisensa. Kotaamiskulma on = 40 b) β = 40 tasakylkisen kolmion kantakulmana. Kolmion kulmien summa on 180, joten γ = = 100 Vieruskulma: δ = 180 γ = = 80 Tasakylkisestä kolmiosta DBC saadaan α = 180 δ = = 0 Vastaus a) α = 15 b) α = 0 Vastaus Valonsäteet kotaavat 40 kulmassa.

9 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 1 17 a Kolmion ala on A = a) a = 6+ = 9 = A = = 18 b) a = 6 = A = = 1 c) a = 4 = 4 A = = 6 18 Pytagoraan lauseen mukaan AB + 0 = 9 AB AB AB = 9 0 = 441 = ± 441 AB = 1 Siis sivun AB pituus on 1. ABC + 46, = 180 ABC = ,4 90 ABC = 4,6 Vastaus a) AB = 1 ja ABC = 4,6 Vastaus a) 18 b) 1 c) 6

10 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 19 a) ED DC, joten D = 90 0 a) Kolmiosta ABF saadaan α = = 65 Koska AB ED, niin β = 5 samankotaisena kulmana kulman ABE kanssa. Kolmiosta ECD saadaan γ = β = 90 5 = 55 b) AB DC, joten BDC = 8 samankotaisena kulmana kulman ABD kanssa. Kolmiosta DEC saadaan β = = 100 Vieruskulma γ = 180 β = = 80 Kolmio EBC on tasakylkinen, joten α = 180 γ = = 0 Vastaus a) α = 65, β = 5 ja γ = 55 b) α = 0 Olkoon kolmion korkeus. Pytagoraan lauseen mukaan + 5 = 1 = 144 = ± = Kolmion ala on a A= a= 10, = 1 10 = = 60 Vastaus Ala on 60.

11 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 0 b)olkoon kolmion sivu a. Pytagoraan lauseen mukaan a + = a a + 9 = a 4 4) a a = 9 4 a 4 = 9 4 a = 1 a = ± 4 a = Kolmion ala on a A= a=, = = = Vastaus Ala on. 1 Olkoon kolmion kanta x. Silloin korkeus on x. Kolmion ala on Siis x = 10 a A = A= 50, a= x, = x x x 50 = x = 50 x = 5 x = ± 5 Vastaus Kolmion korkeus on 10.

12 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 4 Valitaan yksiköksi 0,5 cm. a) Muodostuu kolmio, koska + 11= 14> 1 + 1= 15> = > b) Ei muodostu kolmiota, koska = 16 < 18 Merkitään kolmion sivuja kirjaimilla a, b ja c, missä c on pisin sivu. Kolmio on suorakulmainen, jos on voimassa eto a + b = c. a) a = b = 5 c = 6 Kaden lyyemmän sivun neliöiden summa on a + b = + 5 = 9+ 5= 4 Pisimmän sivun neliö on c = 6 = 6 4 Koska a + b c, ei kolmio ole suorakulmainen, c) Ei muodostu kolmiota, koska +1=15 b) a = 6 b = 8 c = 10 a + b = = = 100 c = 10 = 100 Vastaus a) on b) ei c) ei Koska a + b = c, on kolmio suorakulmainen. Vastaus a) ei b) on

13 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 5 4 Lyimmän sivun vastainen kulma on pienin. 5 BC = 15 piiri = 0 Kulmanpuolittajalauseen mukaan x 0 = 10 x 5 x 4 = 10 x 5 5x = 4( 10 x) 5x = 40 4x 9x = x = = Toinen osa on 10 x = 10 4 = Osien pituudet ovat 4 ja Vastaus 4 ja Kulmanpuolittajalauseen mukaan b c = b= Koska piiri on 0, niin c c+ c+ 15 = 0 c+ c= 15 c+ c= 45 5c = 45 :5 c = 9 b= c= 9 = 6 Vastaus Muut sivut ovat 6 ja 9.

14 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 6 6 Lasketaan kanta a. Kolmiosta ABC saadaan Pytagoraan lauseen mukaan + = a a = 4 a = ( ± ) a = Kulmanpuolittajalauseen mukaan x = x x= ( x) x= x x+ x= ( + ) x = :( + ) ) ( ) x 4 = = = + 7 Pienin kulma on B. Suurin kulma on A. Kulman A puolittaja jakaa sivun BC suteessa 7:5. Siis x 7 = 8 x 5 5x = 7( 8 x) 5x = 56 7x 1x = x = 1 14 x = Kulman B puolittaja jakaa sivun AD suteessa 7:x eli Vastaus : : = = = Toinen osa ( ) = Vastaus Osat ovat ja

15 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 7 8 a) 9 a) Kolmiossa ABC kannalle AB piirretty korkeusjana on CA AC piirretty korkeusjana on BA BC piirretty korkeusjana on DA Korkeusjanat leikkaavat toisensa pisteessä A. b) b) Koska kolmio ABC on tasakylkinen, niin korkeusjana AD on myös keskinormaali, joten BD= DC = a Pytagoraan lauseen mukaan a = a = a = a = 4 5 a =

16 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 8 Kolmiosta ABD saadaan 5 x + a = 5 a = 5 x + = 5 5 x = 5 5 x = 5 x = ( ± ) Muut korkeusjanat ovat BA= CA= 5 0 Mediaanilauseen mukaan mediaani jakautuu suteessa :1 kärjestä lukien. Merkitään mediaanin osia vastaavasti x ja x. Siis x + x = 4 x = 4 x = 8 Vastaus a) Korkeusjanojen leikkauspiste on suoran kulman kärkipiste. 5 b) Korkeusjanojen pituudet ovat 5, 5 ja. Toinen osa on 8 = 16 Osien pituudet ovat 8 ja 16 Vastaus 8 ja 16

17 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 9 1 b) Merkitään painopisteen M etäisyyttä kantakulman A kärjestä kirjaimella y. Mediaanilauseen mukaan 1 1 DM = CD = 1 = 4 Tasakylkisessä kolmiossa uipusta piirretty mediaani on samalla myös korkeusjana. Olkoon mediaanien leikkauspiste eli painopiste M ja uipusta piirretty mediaani CD = x. Pytagoraan lauseen mukaan x + 5 = 1 x x = = 144 x = ± 1 Kolmiosta ADM saadaan y y y = = = 41 y = ± 41 y = 6, ,4 a) Painopisteen M etäisyys uippukulman C kärjestä on mediaanilauseen mukaan Vastaus a) Painopisteen etäisyys kolmion uippukulman kärjestä on 8. CM = CD = 1 = 8 b) Painopisteen etäisyys kolmion kantakulman kärjestä on 41 6,4.

18 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 40 Tasasivuisessa kolmiossa mediaani ja korkeusjana ytyvät. Painopiste M jakaa mediaanit kolmion kärjestä lukien suteessa :1. Merkitään mediaanin osia x ja x. Pytagoraan lauseen mukaan a ( x) + = a 1 9x + a = a 4 9x = a 4 a x = 1 Tällöin x = Vastaus x = ± a a Tasasivuisen kolmion painopisteen etäisyys a kärjestä on. Olkoon ACB = γ. Kolmiossa ABC on voimassa α + γ + 90 = 180 α + γ = 90 γ = 90 α Koska DC AC, niin β + γ = 90 β = 90 γ γ = 90 α β = ( α) β = α β = α Vastaus β = α.

19 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 41 4 Olkoon A = α, B= β ja C = γ. Tetävän etojen mukaan α = β + 0 α = γ 15 Siis β + 0 = γ 15 β = γ 45 Kolmion kulmien summa on 180, joten α + β + γ = 180 sijoitetaan α ja β γ 15 + γ 45 + γ = 180 γ = γ = 40 : γ = 80 Siis α = = 65 β = = 5 Vastaus Kulma A on 65, kulma B on 5 ja kulma C on Koska kolmiota ABC leikkaava suora l on ydensuuntainen kannan AB kanssa, niin samankotaiset kulmat ovat ytä suuret. Siis α = β. Kolmion kulmien summa on 180, joten α + 40 = 180 α = 140 α = 70 β = 70 Kulma γ on kulman β vieruskulma, joten γ = 180 β = = 110 > α Näin ollen α on pienin kulma. Vastaus Nelikulmion pienin kulma on 70.

20 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 4 6 Piirretään tasakylkinen kolmio, jonka kanta on a, korkeus ja kylki. 7 Piirretään tasasivuinen kolmio ja merkitään kylkeä kirjaimella a ja korkeutta kirjaimella. Ala a A= A= Korkeuden ja kannan sude on 1:, joten 1 = a a= Pytagoraan lauseen mukaan a + = = = = 9 = 9 = ( ± ) = Kolmion ala on a A = 6 = = 9 9 = a= = 6 Pytagoraan lauseen mukaan a + = a a + = a 4 a = a 4 = a 4 = ( ± ) a 4 a = Vastaus Kolmion ala on 9.

21 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 4 Saadaan ytälö Kolmion piiri a a = a = 8 a = ± a = 8 a = = 6 Vastaus Kolmion piiri on 6. 8 Merkitään P = pojoispää E = eteläpää S = sauna V = vene Valokiilan keskimmäisin säde osuu rantasaunaan, joten PVS = EVS. Kulmanpuolittajalauseen mukaan x y = y= x< x eli matka VE on lyyempi kuin matka VP. Vastaus Riitta soutaa saaren eteläpäään.

22 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 44 9 Olkoon sisään piirretyn ympyrän säde r ja ympäri piirretyn ympyrän säde R.. Tasasivuisen kolmion mediaani on myös keskinormaali ja kulmanpuolittaja, joten ympyröillä on sama keskipiste. Mediaanilauseen mukaan r 1 = R R = r Halkaisijat ovat siis dy = R= 4 r ja ds = r. Ympäri piirretyn ympyrän alkaisija d y on suurempi kuin sisään piirretyn ympyrän alkaisija d s prosentteina dy ds 100% ds 4r r = 100% r r = 100% r = 100% Vastaus 100% 40 a) Tapa 1 Jaetaan kuvio suorakulmioksi ja puolisuunnikkaaksi. A1 = Asuorakulmio = 8 = 16 Lasketaan puolisuunnikkaan korkeus katkoviivalla merkitystä kolmiosta. A = A puolisuunnikas + 5 = 1 = = 144 = ± 1 a+ b A = a= 8, b=, = 1 8+ = = = 66 Akoko = A1+ A = = 8

23 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 45 Tapa Täydennetään kuvio suorakulmioksi Katkoviivalla merkityn kolmion kateetit ovat 8 = 5 ja. Pytagoraan lauseen mukaan + 5 = 1 = = 144 = ± 1 Kuvion ala A on A= A A suorakulmio kolmio 5 = 8 + = 1 51 = 814 = 11 0 = 8 Vastaus Kuvion pinta-ala on b)koska ABED FC, niin kuvio muodostuu kadesta puolisuunnikkaasta. Koska puolisuunnikas on tasakylkinen, saadaan ytälö x + 5+ x = 1 x = 16 x = 8 Pytagoraan lauseen mukaan x x + = 10 = = 10 = = 6 = ± 6 Puolisuunnikkaan ala on a+ b A= a= 5, b= 1, = = 6 6 = 6 = 78 Kuvion ala on 78 = 156 Vastaus Kuvion ala on 156.

24 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu Olkoon puolisuunnikkaan pitempi kanta x. Koska puolisuunnikas on tasakylkinen, jakavat kannalle piirretyt korkeudet kannan osiin y, 10 ja y. Pytagoraan lauseen mukaan Olkoon korkeus. Puolisuunnikkaan ala on a+ b A1 = A1 = 0, a= 10, b= = 1 0 = 6 = 0 :6 = 5 Toisen puolisuunnikkaan ala on a+ b a+ b A = = 0, = 5 A = 0 5 = 100 y + 8 = 10 y = y = 6 y = ± 6 Siis pitempi kanta on =. Puolisuunnikkaan pinta-ala on a+ b A= a=, b= 10, = = 8 = 18 Vastaus 100 Vastaus Puolisuunnikkaan ala on 18.

25 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 47 4 A = 76 m = 8 m leveys: x ( m) pojan leveys: x 5 ( m) Puolisuunnikkaan ala on Siis a+ b A= 4 x 5 + x = 8 = ( x 5) 4 ( x 5) 4= 76 x 5= 19 x = 4 x = 1, joten x 5= 7 Vastaus Pojan leveys on 7 m. a= x 5, b= x, = 8 44 Pellon pinta-ala on m m A = = = 140 a Torjunta-ainetta tarvitaan l 140 a 0,15 a Ruiskutuksen inta on 1 l = 1 l 50 = l Vastaus Pellon ruiskutus maksaa Merkitään kannaksi x ja korkeudeksi x. A= a a= x, = x, A= 147 x x = 147 x = 49 x = ( ± ) 49 x = 7 Korkeus on 7, joten kanta on 7 = 1. Vastaus Kanta on 1 ja korkeus on 7.

26 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat ytä suuret, joten 47 α = 5 ja γ = β. Suunnikkaan (nelikulmion) kulmien summa on 60, joten saadaan ytälö 5 + β + α + γ = 60 α = 5, γ = β 5 + β β = 60 β = 90 β = 145 Siis α = 5, β = 145 ja γ = 145. Kulma β = 7 γ = β = = 119 samankotaiset kulmat ja AB DC ABE kulmien summa 180 Vastaus Suunnikkaan kulmat ovat 5, 145 ja 145. α = = 61 α ja γ vieruskulmat Vastaus Lävistäjien välinen kulma on 61.

27 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu Merkitään suunnikkaan korkeutta kirjaimella x. Koska kulma EAD on kulman DAB vieruskulma, on α = = 45 Siis β = β = 45 Näin ollen EAD on tasakylkinen, joten EA= ED= x. Pytagoraan lauseen mukaan x + x = 6 x = 6 x = 6 x = ± 6 Kanta AB = AD = 6 = 1 Suunnikkaan ala on A= a a= 1, = 6 = 1 6 = 7 Vastaus Suunnikkaan ala on Koska EF AD, niin nelikulmiot AEFD ja EBCF ovat suunnikkaita. Olkoon suunnikkaiden korkeus, AE = x ja EB= y. Suunnikkaan ala on A = a, joten AAEFD = x AEBCF = y Siis x = y x y = x = y Saadaan ytälöpari () 1 x= y sijoitetaan ytälöön x+ y= 0 y+ y= 0 y+ y= 60 5y = 60 :5 y = 1 () 1 x = 1= 8 Vastaus Osat ovat 8 ja 1.

28 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu Merkitään suorakulmion lävistäjäksi x, jolloin toinen suorakulmion sivu on x. Pytagoraan lauseen mukaan x x + 1 = ( x) = 9x 8x = x = 8 x = 18 x = ± Siis x = 9 x = 18 Vastaus Suorakulmion lävistäjä on Lasketaan kolmiota ympäröivien kuvioiden alat. 4 A1 = = A = = = 40 A on puolisuunnikas, jossa a= 8, b= ja = 1 8+ A = 1 = 66 Aneliö = 1 1 = 144 A = A A + A + A kolmio neliö 1 1 = = 1 Kolmion ala on neliön alasta % = 1 % = 1,875% 1,9% Vastaus Kolmion ala on neliön alasta. 1 1 ja se on 7 1 % 1,9% 8

29 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 51 5 a) Esimerkiksi kaksi tarjotinta sijoitetaan pöydän reunojen suuntaisesti niin, että sivujen summa on 40 cm + 40 cm = 80 cm < 100 cm ja 0 cm + 0 cm = 60 cm < 100 cm. Siis tarjottimet matuvat pöydälle. b) Asetellaan tarjottimet pöydälle niin, että jokainen niistä koskettaa ytä pöydän kärjistä kuvion mukaisesti. Koska 0 cm + 40 cm = 70 cm < 75 cm, niin tarjottimet matuvat pöydälle. c) Yksittäisen tarjottimen pinta-ala on 0 cm 40 cm = 1 00 cm. Neljä tarjotinta tarvitsee pinta-alaa yteensä cm = cm. 5 Vinoneliön eli neljäkkään lävistäjät ovat kotisuorassa toisiaan vastaan ja puolittavat toisensa. Tällöin syntyy neljä samanlaista suorakulmaista kolmiota. Siis A neljäkäs Vastaus Vinoneliön ala on 80. = 4 Akolmio a = 4 a= 10, = = 4 = 80 Koska pöydän pinta-ala on vain 68 cm = 4 64 cm < cm, niin tarjottimet eivät madu pöydälle. Vastaus a) kyllä b) kyllä c) ei

30 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 5 54 a) Säleikössä on neljäkkäitä 1 pystysuunnassa 5 kpl ja vaakasuunnassa 10 kpl. Neljäkkäiden lävistäjät ovat b) Säleikön leveys on 00 cm ja vaakasuunnassa on 10 neljäkästä, joten neljäkkään vaakasuora lävistäjä on 0 cm. Kuviossa on yksikkönä cm. Neljäkkään lävistäjät puolittavat toisensa. Siis a = 15( cm). 165 cm = 0 cm 5,5 00 cm = 0 cm 10 Neljäkkään lävistäjät ovat kotisuorassa toisiaan vastaan, joten x x = = 5 x = ( ± ) 5 x = 18, ( cm) Pytagoraan lauseen mukaan a b a + = 5 = b = 5 b = 5 5 b = 100 b = ± 10 ( cm) Pystysuunnassa on korkeus on Vastaus 1 5 neljäkästä, joten säleikön 1 5 b= 11b= = 110 ( cm) a) Neljäkkään sivun pituus on 18 cm. b) Säleikön korkeus on 110 cm.

31 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 5 55 Neljäkkään lävistäjät puolittavat toisensa ja ovat kotisuorassa toisiaan vastaan. Siis BE = ED ja AE BD, joten AE on tasakylkisen kolmion ABD mediaani, keskinormaali ja uippukulman A puolittaja. Vastaavasti CE on kulman C puolittaja ja BD on kulmien B ja D puolittaja. 80 Olkoon A = 80. Tällöin α = α' = = 40 Merkitään B = β + β ', missä β = β '. Kolmion kulmien summa on180, joten α + β + 90 = 180 α = β + 90 = 180 β = β = 50 β ' = 50 Koska C = A, jakautuu se kateen 40 kulmaan. Koska D= B, jakautuu se kateen 50 kulmaan. Vastaus Toinen pari vastakkaisia kulmia jakautuu kateen 40 kulmaan ja toinen pari kateen 50 kulmaan. 56 a) Koska kolmio ABD on tasasivuinen, on neljäkkään korkeus a = a= 6 6 = = Neljäkkään ala on A= a a= 6, = A = 6 = 18 b) Neljäkkään lävistäjät puolittavat toisensa. Merkitään AE = EC = x BE = ED=

32 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 54 Neljäkkään lävistäjät ovat kotisuorassa toisiaan vastaan, joten Toisaalta Siis A neljäkäs = 4 A x = 4 = 6x A neljäkäs = 18 kolmio 6x = 18 :6 x = Pidempi lävistäjä on AC = x = 6 Vastaus a) Neljäkkään ala on 18. b) Pitempi lävistäjä on Puolisuunnikkaan ala on x Kuviossa on yksikkönä metri a+ b a= 40, b= x, = x, A= A = x 148 = x ( 40 + x) x= x 964 = 0 40 ± ( 964) x = 1 40 ± 1456 = 40 ± 116 = x= = 78, ei kelpaa ( x> 0) x = = 8, kelpaa Vastaus Lyyempi ydensuuntaisista sivuista on 8 m.

33 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu Alkuperäisen suunnikkaan ala on A= a a= 8, = 5 A = 85 = Oletus: AB DC Uuden suunnikkaan kanta pienenee 75%, 1 kanta a = 8 = 1 4 jäljellä 5% eli 4 korkeus p = korkeus suurenee p% ala p A = p = Siis p = :10 p 1+ = p = 100 p = 00 Väite: Ala on a+ b A = Todistus: Jaetaan puolisuunnikas kateen kolmioon ydistämällä kaksi vastakkaista kärkeä (esimerkiksi A ja C). Tällöin puolisuunnikkaan ala on ytä suuri kuin kolmioiden ABC ja ACD alojen summa eli a b a + b ( a + b) a + b A = + = = = Siis väite on tosi. Vastaus Korkeus suurenee 00%.

34 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu Kolmion ABO uippukulma on 60 β = = 60 6 Kolmion kulmien summa on180, joten α + α + β = 180 α = 180 β β = 60 α = 10 α = 60 Näin ollen kolmio ABO on tasasivuinen, joten x = AB = 4. Koska piiri on 4 ja kuusikulmio on säännöllinen, niin sivu on =. Siis AB = 4. Kuusikulmion kulmien summa on ( n ) 180 n= 6 = ( 6 ) 180 = 70 Säännöllisen kuusikulmion yksi kulma on 70 6 =10 Säännöllisen monikulmion keskipiste on ytä kaukana jokaisesta kärjestä, joten ABO on tasakylkinen. Merkitään kantakulmia α : lla. Vastaus Kuusikulmion kulma on 10. Keskipisteen etäisyys kärjestä on 4. Huomautus Koska säännöllisen kuusikulmion ympäri piirretyn ympyrän säde on ytä pitkä kuin kuusikulmion sivu, voidaan säännöllinen kuusikulmio piirtää seuraavalla tavalla: Piirretään ensin ympyrä. Valitaan keältä mielivaltainen piste. Erotetaan keältä tästä pisteestä lätien peräkkäin säteen pituisia jänteitä. Nämä jänteet muodostavat säännöllisen kuusikulmion.

35 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu Monikulmion kulmien summa on ( n ) 180 Olkoon α monikulmion kulma. a) n = 8 8 α = ( 8 ) 180 8α = α = = 15 8 b) n = α = ( 16 ) α = α = = 157, Sisään piirretyn ympyrän säde on a r = = 4 a= 8 Monikulmion lävistäjien lukumäärä on 8 ( 8 ) a) = 45 = 0 b) Vastaus 16 ( 16 ) = 81 = 104 a) 15 ; 0 lävistäjää b) 157,5 ; 104 lävistäjää nn. Ympäri piirretyn ympyrän säde olkoon R. Pytagoraan lauseen mukaan R = R R = = 16 R = ± 16 R = 4 Vastaus Säteet ovat 4 ja 4.

36 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 58 6 Vastaus Ala on 7. Neliön lävistäjät ovat kotisuorassa toisiaan vastaan, joten ACO on suorakulmainen kolmio. Lisäksi AO= CO= 6. Pytagoraan lauseen mukaan a a a = = = 7 Nelikulmion ala A = a = 7 64 a) Kuusikulmion kulmien summa on ( 6 ) 180 = 70 Siis yksi kulma on =. Lävistäjä AB puolittaa kulmat A ja B. Puolisuunnikkaan kulmat ovat A= B= 60 C = D= 10 b) Kolmio AOD on tasasivuinen, joten korkeusjana puolittaa kannan. Pytagoraan lauseen mukaan 5 + = 10 = = 75 = ± 75 = 5 = 5 Vastaus a) Puolisuunnikkaan kulmat ovat 60, 60, 10 ja 10. b)puolisuunnikkaan korkeus on 5.

37 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu a) Säännöllisen monikulmion keskipiste on myös sisään piirretyn ympyrän keskipiste. Säännöllinen viisikulmio voidaan jakaa viideksi samanlaiseksi tasakylkiseksi kolmioksi. Pytagoraan lauseen mukaan r + 6 = 10 r = r = 64 r = ± 8 Siis r = 8. b) Ympäri piirretyn ympyrän säde on R = 10. Ympyrän keän suurin etäisyys sivusta on x= R r R= 10, r = 8 x = 10 8 x = Vastaus a) Sisään piirretyn ympyrän säde on 8. b) Etäisyys on. 66 Merkitään tasasivuisen kolmion sivua kirjaimella a. Pytagoraan lauseen mukaan a + = a a + = a 4 = a 4 a = ± Kolmion ala on a A= A= a = a a = a = 4 4 a = 4 : a = 4 a = ±.

38 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 60 Koska säännöllinen kuusikulmio on symmetrinen, riittää tarkastella ydestä kärkipisteestä piirrettyjä lävistäjiä. 67 Lävistäjien pituudet ovat a ja. Koska a>, niin pisin lävistäjä on a = = 4. Vastaus Kuusikulmion pisimmän lävistäjän pituus on 4. Olkoon neliön sivu a. Kolmiosta ABE saadaan a 1 tanα = =, joten α = 5, ,6. a Kadeksankulmion yksi kulmista on suuruudeltaan β = 180 α = 16, ,9. Säännöllisen 8-kulmion kulmien summa on ( 8 ) 180 = 1080, joten yksi kulma on 1080 = 8 15 Kulma β < 15, joten monikulmio ei ole säännöllinen..

39 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu A A A kuusikulmio tasas.kolmio kuusikulmio = 6 A tasas.kolmio a a = = a a = a = 4 a = 6 4 = a A = A 6 A täti kuusikulmio kolmio Lasketaan kolmion ABF ala. Olkoon säännöllisen kuusikulmion sivu a. Säännöllinen kuusikulmio muodostuu kuudesta tasasivuisesta kolmiosta. Nelikulmio ABCD on neljäkäs, sillä samankotaiset kulmat 1) AB DC ja AD BC ytä suuret ) AB= BC = CD= CA= a Neljäkkään lävistäjät puolittavat toisensa, joten AH on kolmion ABD mediaani. Samoin voidaan osoittaa, että BE on mediaani. Tasasivuisen kolmion ABD korkeusjana DG on samalla myös mediaani.

40 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 6 Siis mediaanilauseen mukaan Kolmion ABF ala on 1 a FG = DG DG = = 1 a = 1 = a 6 A kolmio 1 a a = 6 1 = a 1 Prosentteina A A täti kuusikulmio 100% a = 100% a = 100% 00 = % = 66 % = 66,66...% 66,7% Näin ollen 1 Atäti = a 6 a 1 1 = a a = a Vastaus 66 % 66,7%