Jännitysten ja venymien vastaavuus kontinuumimekaniikassa

Rakenteiden Mekaniikka (Journal of Structural Mechanics) Vol. 49 Nro 1 016 s. 14 4 rmseura.tkk.fi/rmlehti/ c Kirjoittajat 015. Vapaasti saatavilla CC BY-SA 4.0 lisensioitu. Jännitysten ja venymien vastaavuus kontinuumimekaniikassa Martti Mikkola Tiivistelmä. Suhteellinen muodonmuutos kontinuumimekaniikassa voidaan määrittää usealla tavalla. Kuhunkin venymämittaan liittyy tietty jännityksen mitta. Artikkelin tarkoituksena on selventää venymien ja jännitysten vastaavuutta yleisesti ja yksinkertaisen esimerkin avulla. Avainsanat: suhteellinen muodonmuutos venymä venymänopeus jännitys jännitysten teho Vastaanotettu 8.8.016. Hyväksytty 18.10.016. Julkaistu verkossa 30.10.016. Johdanto Suhteellinen muodonmuutos kontinuumimekaniikassa voidaan määrittää usealla tavalla [ 5 7 8 9. Kutakin venymämittaa vastaa tietty jännitysmitta. Johdonmukainen menettely jännitysten ja venymien vastaavuuden määrittämiseksi on asettaa jännitysten tehot yhtä suuriksi eri mittoja käytettäessä. Sitä varten on tarpeellista selvittää aluksi venymien muutosnopeuksia. Systemaattinen menettely on käyttää Lien derivaattoja (Marius Sophus Lie 184-1899 norjalainen matemaatikko) [5 (Hill [ käyttää nimitystä konvektiivinen derivaatta) jotka kuvaavat tensoriluonteisten suureiden derivaattoja eri kantajärjestelmissä lausuttuina. Kontinuumin liike ja Lien derivaatta Tarkastellaan kappaleen B liikettä karteesisessa koordinaatistossa jonka kiinteät kantavektorit e 1 e e 3 toteuttavat ehdot e I e K δ IK. (1) Kappaleen liikkeen kuvaus on x x(x t) x i e k alkutilan X X K e K ja ajan t funktiona. Deformaatiogradientti F määrittää muodonmuutoksen ja rotaation alkutilan pisteessä X sijainneen ainepisteen P 0 ympäristössä (Kuva 1) Deformaatiogradientin polaarihajoitelma [5 8 F xk X L e k e L F k.le k e L. () F RU VR (3) 14

X x X -viiva g C t dx C 0 dx P t g 1 X 1 -viiva P 0 e O X 1 x 1 e 1 siten että Figure 1. Kappaleen liike alkutila ja lopputila. jakaa deformaation g K venymäosaan Fe K F.Ke i i gu L tai F T Ve L ja Grotaatioon Ḷ ie i ja g K R. g L Deformaatiogradientin g K g L δl K (5) käänteistensori on Selvyyden vuoksi alkutilan indekseinä käytetään isoja kirjaimia ja deformoituneen tilan indekseinä pieniä kirjaimia vaikka suureet referoidaan samaan koordinaatistoon ts. kantajärjestelmään {e K }. Konvektoituneille kantavektoreille käytetään myös isoja indeksikir- F 1 XK jaimia osoittamaan että ne kuuluvat konvektoituneisiin koordinaattiviivoihin. Toisen kertaluvun tensorin T T KL g K g L T ik e i e k materiaalinen aikaderivatta on Ṫ T KL g K g L + T KL ġ K g L + T KL g K ġ L Ṫc + LT + TL T (6) L on nopeusgradientti Kuva 1. Kappaleen liike alkutila ja lopputila. e x i K e i G G Ḳ i e K e i. (4) Deformoituneen tilan konvektoituneet kantavektorit ovat siten että L ḞF 1 vi x e k i e k v i x e k i e k L ik e i e k (7) Konvektiivinen (mukana kulkeva) aikaderivaatta g 1 g g 3 ja g 1 g g 3 (5) g K Fe K F.Ke i i g L F T e L G Ḷ ie i ja g K g L g K g L δl K. (6) Selvyyden vuoksi alkutilan indekseinä Ṫ c käytetään Ṫ LT isoja kirjaimia ja deformoituneen TLT (8) tilan indekseinä pieniä kirjaimia vaikka suureet referoidaan samaan koordinaatistoon ts. voidaan muodostaa myös Lien derivaattana seuraavalla tavalla: vedetään tensori T kantajärjestelmään takaisin alkutilaan {e K }. elikarteesisen tehdään takaisinveto koordinaatiston (pull-back) kovariantit ja kontravariantit kantavektorit ovat samat mistä syystä niissä käytetään vain alaindeksejä. Konvektoituneille kantavektoreille käytetään myösf 1 isoja TF T indeksikirjaimia T KL e K e L osoittamaan että ne kuuluvat konvektoituneisiin Sitten derivoidaan koordinaattiviivoihin. ajan suhteen T KL e K e L F 1 ṪF T + F 1 TF T + F 1 TF T F 1 (Ṫ LT TLT )F T (9) Lien tai konvektiivisen derivaatan havainnollistamiseksi tarkastellaan aluksi vektorin aikaderivaattaa pelkän rotaation tapauksessa ts. F R. Vektori A A K g K jossa konvektiivinen kantavektori on g K Re K derivoidaan ajan suhteen Sen jälkeen työnnetään derivoitu tensori takaisin deformoituun tilaan eli tehdään eteentyöntö (push-forward) Ȧ AF( K T g KL e K e L )F T T KL g K g L Ṫc Ṫ LT TLT (10) K + A K ġ K ȦK g K + A K Ωg K A K g K + ΩA. (7) Tensori Ω on rotaationopeus Ω ṘR T. Konvektiivinen derivaatta 3 Ȧ c A K g K Ȧ ΩA (8) on koordinaatiston mukana kiertyvän havaitsijan toteama vektorin A muutosnopeus. Jos se on nolla niin vektorin A muutosnopeus aiheutuu vain rotaatiosta Ȧ ΩA. Lien derivaattana konvektiivinen derivaatta määritetään kuvaamalla kiertynyt vektori takaisin kiinteään koordinatistoon (pull-back) A K e K R T A (9) 15

ja derivoimalla sitten ajan suhteen A K e K R T (Ȧ + RṘT A) R T (Ȧ ΩA) (10) ja siirtämällä lopuksi takaisin kiertyvään koordinaatistoon (push-forward) RȦK e K Ȧ c Ȧ ΩA. (11) Kaavan (11) mukaista aikaderivaattaa jäykän rotaation tapahtuessa nimitetään myös korotationaaliseksi (corotational) derivaataksi [5 7. Toisen kertaluvun tensorin T T KL g K g L T ik e i e k materiaalinen aikaderivatta on Ṫ T KL g K g L + T KL ġ K g L + T KL g K ġ L Ṫc + LT + TL T (1) jossa L on nopeusgradientti L ḞF 1 vi x k e i e k v i x k e i e k L ik e i e k. (13) Konvektiivinen (mukana kulkeva) aikaderivaatta Ṫ c Ṫ LT TLT (14) voidaan muodostaa Lien derivaattana seuraavalla tavalla: vedetään tensori T takaisin alkutilaan eli tehdään takaisinveto (pull-back) Sitten derivoidaan ajan suhteen T KL e K e L F 1 ṪF T + F 1 TF T T KL e K e L. F 1 TF T + F 1 TF T F 1 (Ṫ LT TLT )F T. (15) Sen jälkeen työnnetään derivoitu tensori takaisin deformoituun tilaan eli tehdään eteentyöntö (push-forward) F( T KL e K e L )F T T KL g K g L Ṫc Ṫ LT TLT. (16) Vastaavalla tavalla muodostetaan kontravariantissa kannassa lausutun tensorin T T KL g K g L Lien derivaatta. Aluksi tehdään takaisinveto Sen jälkeen derivoidaan ajan suhteen F T TF T KL e K e L. T KL e K e L F T ṪF + ḞT TF + F T TḞ FT (Ṫ + LT T + TL)F (17) ja suoritetaan eteentyöntö F T ( T KL e K e L )F 1 T KL g K g L Ṫc Ṫ + LT T + TL. (18) Esimerkiksi Kirchhoffin jännityksen Σ Σ KL g K g L Lien derivaatta on kaavan (16) mukaan F( Σ KL e K e L )F T Σ KL g K g L Σ c Σ LΣ ΣL T. (19) Almansin-Eulerin venymätensorin e e KL g K g L Lien derivaatta on kaavan (18) mukaan ė c F T ĖF 1 ė + L T e + el 1 (L + LT ) d (0) jossa E E KL e K e L on Greenin-Lagrangen venymätensori. 16

Jännitysten ja venymien vastaavuudet Kutakin venymämittaa vastaa tietty jännitysmitta. Vastaavuuksien määrittämiseksi käytetään menettelyä jossa jännitysten tehot eri mittoja käytettäessä asetetaan yhtä suuriksi. Lähtökohdaksi valitaan symmetrisen Cauchyn jännityksen σ teho venymänopeuden d suhteen deformoituneessa tilassa [9 5 8 7 6 Venymänopeus d on nopeusgradientin symmetrinen osa P dv σ : d dv σ ik d ik dv. (1) d 1 (L + LT ) w 1 (L LT ). () Antisymmetrinen osa w on nimeltään pyörteisyystensori (spin tensor vorticity tensor). Käyttämällä nopeusgradientin lauseketta (13) yhtälö (1) voidaan saattaa muotoon P dv σ : 1 (ḞF 1 + F T Ḟ T )dv 1 [tr(f T Ḟ T σ) + tr(σ T F T Ḟ T )dv 1 (σf T : Ḟ + σt F T : Ḟ)dV JσF T : ḞdV 0. (3) Nopeusgradienttia vastaava jännitys on ensimmäinen Piolan-Kirchhoffin jännitystensori (PK1) P JσF T P ik ik XK e i e K Jσ x e k i e K. (4) Jännitystensori PK1 on epäsymmetrinen mutta huomataan helposti että se toteuttaa momenttitasapainoehdon FP T PF T. (5) Se on lisäksi ns. kahden pisteen tensori jonka ensimmäinen indeksi (komponentin suunta) viittaa deformoituneeseen tilaan ja toinen (pinnan normaalin suunta) viittaa alkutilaan. PK1 vaikuttaa deformoituneen tilan pinta-alkioon kohdassa x vaikka se on laskettu alkutilan pintaa kohti kohdassa X niin että sen avulla määritetty jännitysvektori on sama kuin Cauchyn jännityksen avulla laskettu PNdA tda σnda. (6) da ja da ovat pinta-alkiot alku- ja deformoituneessa tilassa ja N ja n niiden yksikkönormaalit. Pinta-alkioiden välillä pätee Nansonin kaava JF T NdA nda. Yhtälön (0) avulla saadaan sijoittamalla yhtälöön (1) P dv σ : F T ĖF 1 dv J tr(f T Ė T F 1 σ)dv 0 JF 1 σf T : ĖdV 0 S : ĖdV 0. (7) Greenin-Lagrangen venymää E vastaava jännitys on toinen Piolan-Kirchhoffin jännitystensori S (PK) S JF 1 σf T F 1 P S KL e K e L. (8) Se on pseudojännitys siinä mielessä että se on laskettu alkutilan pintaa kohti ja että siitä määritetty jännitysvektori t 0 SN (9) 17

on pseudojännitysvektori joka on siirrettävä deformaatiogradientin avulla deformoituneeseen tilaan jotta siitä tulisi todellinen jännitysvektori t Ft 0 da tda σnda. (30) Biot n [1 jännityksen tehon määrittämiseksi todetaan aluksi polaarihajoitelmasta F RU VR saatava nopeuksien välinen yhteys Ḟ R U + ṘU R U + ṘRT F R U + ΩF Ḟ VR + VṘ VR + FR T Ṙ VR + FR T ΩR (31) jossa Ω ṘRT Ω T Ω on antisymmetrinen rotaationopeustensori. Yhtälöstä (3) seuraa aluksi P dv P : ḞdV 0 tr(ḟt P)dV 0 tr[(r U + ΩF) T PdV 0 tr( U T R T P + F T Ω T P)dV 0 (R T P : U + PF T : Ω)dV 0. Jaetaan tensorit R T P ja PF T symmetrisiin ja antisymmetrisiin osiin R T P 1 (RT P + P T R) + 1 (RT P P T R) B S + B A PF T 1 (PFT + FP T ) + 1 (PFT FP T ). (3) Yllä olevan yhtälön oikeanpuoleisin termi häviää PK1-jännityksen momenttitasapainon (5) takia. Lisäksi U:n symmetrian ja Ω:n antisymmetrian takia jännitystehon lauseke supistuu muotoon P dv B S : UdV 0 (33) joka esittää Biot n jännitysten tehoa. Siis Biot n jännitys B S 1 (RT P + P T R) 1 (US + SU) (34) ja venytystensori U ovat toisiaan vastaava pari. Toisaalta yhtälöstä (31) saadaan jolloin yhtälöstä (33) seuraa U R T (Ḟ ΩF) RT ( V + VΩ ΩV)R (35) P i dv B S : UdV 0 tr[r T ( V+VΩ ΩV) T RB S dv 0 B S : ( V+VΩ ΩV)dV 0. (36) Biot n jännitys kierretyssä kannassa Re K on B S RB S R T. (37) Venytysnopeuksien U ja V yhtälön (35) esittämä yhteys on V:n rotaation mukainen Lien derivaatta R UR T V c V + VΩ ΩV. (38) Logaritminen venymä on huomattavasti monimutkaisempi tapaus. Kuitenkin tilanne on varsin yksinkertainen venymän pääsuuntien pysyessä muuttumattomina kuten seuraava tarkastelu osoittaa. Otaksutaan että venytystensorin U päävenymät ovat λ 1 λ ja 18

λ 3 ja vastaavat pääsuunnat yksikkövektorien N (1) N () ja N (3) mukaiset. Venytystensori voidaan esittää silloin muodossa [ U λ i N (i) N (i) (39) ja logaritminen venymä muodossa ln U (ln λ i )N (i) N (i). (40) Yhtälöitä (39) ja (40) nimitetään Lagrangen esitystavan mukaisiksi. Vastaavat Eulerin esitystavan mukaiset ovat V RUR T ln V R(ln U)R T λ i n (i) n (i) (41) (ln λ i )n (i) n (i). (4) Tensorien U ja V päävenymät ovat samat. Yksikkövektorit n (i) RN (i) i 1 3 ovat tensorin V pääsuunnat. Olkoon R (L) ortogonaalinen tensori (ominaisvektorien N (i) muodostama) niin että N (i) R (L) e i. {e i } on kiinteä ortonormeerattu kanta. Pääsuunnan aikaderivaatta on Ṅ (i) Ṙ (L) e i Ṙ (L) R (L)T N (i) Ω (L) N (i). Venytystensorin (39) ja logaritmisen venymän (40) aikaderivaatat ovat silloin U λ i N (i) N (i) + Ω (L) U UΩ (L) (43) (ln U) ( λ i λ 1 i )N (i) N (i) + Ω (L) ln U (ln U)Ω (L). (44) Vastaavasti pääsuunnan n (i) aikaderivaatta on ṅ (i) ṘN (i) + RṄ (i) ṘR T n (i) + RΩ (L) R T n (i) Ω (E) n (i). Kun rotaation R aikaderivaatta on Ṙ ΩR nähdään että Ω (E) Ω + RΩ (L) R T. (45) Tällöin Eulerin esitystavan mukaisten venytystensorin (41) ja logaritmisen venymän (4) aikaderivaatat ovat V λ i n (i) n (i) + Ω (E) V VΩ (E) (46) (ln V) ( λ i λ 1 i )n (i) n (i) + Ω (E) ln V (ln V)Ω (E). (47) Deformaatiogradientin lausekkeesta F VR saadaan Ḟ VR + VṘ F 1 R T V 1 19

X x X kx ˆN 1 ˆN ˆn ˆn 1 e g g O e 1 g 1 X 1 x 1 g 1 mistä seuraa ja edelleen Esimerkki: yksinkertainen leikkaus Kuva Figure. Yksinkertainen leikkaus leikkaus Tarkastellaan esimerkkinä yksinkertaista leikkausta karteesisessa koordinaatistossa L ḞF 1 VV 1 + VΩV 1 (48) x 1 X 1 + kx x X x 3 X 3 Kysymyksessä on deformaatio X 1 X -tasossa joten käsitellään asiaa kaksidimensioisena. Deformaatiogradientti sen käänteistensori nopeusgradientti rotaatiomatriisi ja kiertymänopeusmatriisi d ovat 1 (L + LT ) 1 ( VV 1 + V 1 V) + 1 (VΩV 1 V 1 ΩV) [ [ [ [ [ 1 k 1 k [F [F 1 0 k cos θ sin θ 0 1 [L [R [Ω θ 0 1 0 1 0 0 sin θ cos θ 1 0 λ i λ 1 i n (i) n (i) + Ω (L) λ j λ i ij Konvektoituneet kantavektorit ovat i j g 1 e 1 g ke 1 + e g 1 e 1 ke g e Greenin-Lagrangen venymä ja venymänopeus ovat [E 1 ( [F T [F [I ) 1 [ [ 0 k 0 k k [Ė k/ Ω (E) Ω (L) λ j + λ i ij k/ k k i j Almansin-Eulerin venymä ja sen konvektiivinen venymänopeus ovat [e 1 ( [I [F T [F 1) 1 [ [ 0 k 0 k/ k k [ė c [d k/ 0 Oikeanpuoleinen venytystensori ja sen muutosnopeus ovat [ cos θ sin θ + k [ cos θ cos θ sin θ [U [R T [F sin θ cos θ k sin θ sin θ (1 + sin θ)/ cos θ 8 λ i λ j n (i) n (j) (49) w 1 (L LT ) 1 ( VV 1 V 1 V) + 1 (VΩV 1 + V 1 ΩV) λ i λ j n (i) n (j). (50) Kaavoista (43) ja (49) nähdään että jos pääsuunnat N (i) eivät muutu ts. Ω (L) 0 niin R(ln U) R T Kaavoista (44) (45) ja (47) seuraa myös λ i λ 1 i n (i) n (i) d. (51) R(ln U) R T (ln V) Ω ln V + (ln V)Ω d. (5) Siis kun pääsuunnat N (i) eivät muutu niin pääsuunnat n (i) muuttuvat vain jäykän kappaleen rotaation mukaisesti kuten kaavasta (45) nähdään. Tällöin voidaan päätellä että logaritmista venymää vastaa Cauchyn jännitys. Yleisempi tapaus on huomattavasti mutkikkaampi ks. [3 4. Esimerkki: Yksinkertainen leikkaus Tarkastellaan esimerkkinä yksinkertaista leikkausta karteesisessa koordinaatistossa x 1 X 1 + kx x X x 3 X 3 0

Kysymyksessä on deformaatio X 1 X -tasossa joten käsitellään asiaa kaksidimensioisena. Deformaatiogradientti sen käänteistensori nopeusgradientti rotaatiomatriisi ja kiertymänopeusmatriisi ovat [F [ 1 k 0 1 [ 1 k [F 1 0 1 [ cos θ sin θ [R sin θ cos θ Konvektoituneet kantavektorit ovat [ 0 k [L 0 0 [ 0 1 [Ω 1 0 θ. g 1 e 1 g ke 1 + e g 1 e 1 ke g e. Greenin-Lagrangen venymä ja venymänopeus ovat [E 1 ( [F T [F [I ) 1 [ [ 0 k 0 k k [Ė k/ k/ k k. Almansin-Eulerin venymä ja sen konvektiivinen venymänopeus ovat [e 1 ( [I [F T [F 1) 1 [ [ 0 k 0 k/ k k [ė c [d k/ 0. Oikeanpuoleinen venytystensori ja sen muutosnopeus ovat [ [ cos θ sin θ + k cos θ cos θ sin θ [U [R T [F sin θ cos θ k sin θ sin θ (1 + sin θ)/ cos θ [ [ U sin θ cos θ θ. cos θ sin θ(1 + cos θ) Kiertymiskulman θ ja parametrin k välinen yhteys tan θ k/ seuraa matriisin [U symmetriaehdosta sin θ sin θ + k cos θ. Vastaavasti vasemmanpuoleinen venytysmatriisi ja sen muutosnopeus ovat [ [ cos θ k sin θ sin θ + k cos θ (1 + sin [V [F [R T θ)/ cos θ sin θ sin θ cos θ sin θ cos θ [ [ V sin θ(1 + cos θ) cos θ θ cos θ sin θ [ [ V c [ V [Ω[V + [V [Ω θ sin θ(1 cos θ) cos θ(1 cos θ) cos θ(1 cos θ) sin θ Tilavuus ei muutu deformaation tapahtuessa joten J detf 1 ja dv dv 0. Jännitysten teholausekkeet ovat. P σ : d tr ( [ 0 k/ k/ 0 T [ σ11 σ 1 σ 1 σ ) (σ 1 + σ 1)( k/) ( [ 0 P P : Ḟ tr k 0 0 T [ P11 P 1 P 1 P ) P 1 k 1

( [ 0 P S : Ė tr k/ k/ k k T [ S11 S 1 S 1 S ) (S 1 + S 1 + ks )( k/) ( [ T [ sin θ cos θ BS11 B P B S : U tr S1 cos θ sin θ(1 + / cos θ) B S1 B S ( [B S (1 + / cos θ) B S11 sin θ (B S1 + B S1 ) cos θ) θ ) θ P B S : V c ( [ sin θ(1 cos tr θ) cos θ(1 cos T [ θ) ) BS11 BS1 θ cos θ(1 cos θ) sin θ B S1 BS ( (1 cos θ)[ B S11 sin θ + ( B S1 + B S1 ) cos θ + B S sin θ) θ. Nämä lausekkeet ovat keskenään yhtä suuria mikä nähdään kun otetaan huomioon jännitysten väliset yhteydet (3) (7) (34) ja (37) ja PK1-jännitysten momenttitasapainoehto (5) josta seuraa P 1 P 1 + kp. Kirjoitetaan vielä näkyviin jännitysten lausekkeet Cauchyn jännityksen funktioina [ [ P JσF T P11 P eli 1 σ11 kσ 1 σ 1 P 1 P σ 1 kσ σ [ [ S F 1 S11 S P eli 1 σ11 k(σ 1 + σ 1 ) + k σ σ 1 kσ S 1 S σ 1 kσ σ B S 1 ( R T P + P T R ) 1 (US + SU) jonka matriisin alkiot ovat [ BS11 B [B S S1 B S1 B S B S11 σ 11 cos θ + 3 (σ 1 + σ 1 ) sin θ + σ sin θ/ cos θ B S1 1 (3σ σ 11 ) sin θ + σ 1 cos θ σ 1 sin θ/ cos θ B S1 1 (3σ σ 11 ) sin θ + σ 1 cos θ σ 1 sin θ/ cos θ B S σ cos θ 1 (σ 1 + σ 1 ) sin θ. Vastaavasti kiertyneessä koordinaatistossa Biot n jännityksen B S 1 ( PR T + RP ) T RB S R T

matriisin alkiot ovat B S11 σ 11 cos θ + 1 (σ 1 + σ 1 ) sin θ B S1 1 (σ 11 + σ ) sin θ + σ 1 / cos θ B S1 1 (σ 11 + σ ) sin θ + σ 1 / cos θ B S σ (1 + sin θ)/ cos θ + 1 (σ 1 + σ 1 ) sin θ. Logaritmisen venymän määrittämiseksi ratkaistaan aluksi Cauchyn oikeanpuoleisen venymätensorin C F T F ominaisarvot ja -vektorit. Yhtälöstä seuraa ja edelleen det (C λ I) (λ ) ( + k )λ + 1 0 λ 1 λ 1 1 + k ± 1 + ( k ) 1 + ( k ) ± k 1 ± sin θ λ λ 1 1. cos θ Edellä sin θ (k/)/ 1 + (k/) cos θ 1/ 1 + (k/) seuraavat yhteydestä tan θ k/. Käyttämällä merkintöjä a (1 + sin θ)/ b (1 sin θ)/ ominaisvektorit saavat muodon N (1) ae 1 + be N () be 1 + ae n (1) be 1 + ae n () ae 1 + be. Matriisit [R (L) [Ω (L) [R (E) ja [Ω (E) ovat silloin [ [ R (L) a b b a [ [ R (E) b a a b [ Ω (L) [ Ω (E) [Ṙ(L) [Ṙ(E) [R [ (L) T θ 0 1 1 0 [R (E) T θ [ 0 1 1 0 Logaritmiset venymät voidaan esittää seuraavasti jolloin on otettu huomioon λ λ 1 1. ln U (ln λ i )N (i) N (i) (ln λ 1 )[sin θ(e 1 e 1 e e ) + cos θ(e 1 e + e e 1 ) ln V (ln λ i )n (i) n (i) (ln λ 1 )[ sin θ(e 1 e 1 e e ) + cos θ(e 1 e + e e 1 ). Tässä tapauksessa pääsuunnat muuttuvat aina deformaation tapahtuessa ts. kun θ k cos θ/ 0. Näin ollen logaritmista venymää ei vastaa Cauchyn jännitys vaan jokin monimutkaisempi jännityssuure. 3

Yhteenveto Artikkelissa on tarkasteltu tavanomaisten jännitys- ja venymämittojen vastaavuutta kontinuumimekaniikassa. Tarkastellut venymämitat ovat Greenin-Lagrangen Almansin-Eulerin Biot n ja Henckyn logaritminen venymä joiden venymänopeudet on myös määritetty. Venymiä vastaavat jännitysmitat on johdettu asettamalla jännitysten tehon lausekkeet yhtäsuuriksi. Logaritmisen venymän osalta on tarkasteltu vain tapausta jossa venymän pääsuunnat eivät muutu deformaation tapahtuessa. Tuloksia on havainnollistettu yksinkertaisen leikkauksen tapauksessa. Viitteet [1 M. Biot. Mechanics of Incremental Deformation. John Wiley & Sons New York 1965. [ R. Hill. Aspects of invariance in solid mechanics. Advances in Applied Mechanics 18:1 75 1978. [3 A. Hoger. The material time derivative of logarithmic strain. International Journal of Solids and Structures (9):1019 103 1986. [4 A. Hoger. The stress conjugate to logarithmic strain. International Journal of Solids and Structures 3(1):1645 1656 1987. [5 G.A. Holzapfel. Nonlinear Solid Mechanics - A Continuum Approach for Engineering. John Wiley & Sons 000. [6 D.B. Macvean. Elementararbeit in einem Kontinuum und die Zuordnung von Spannungs- und Verzerrungstensoren. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik 19:157 185 1968. [7 L.E. Malvern. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice Hall Englewood Cliffs New Jersey 1969. [8 R. Ogden. Non-linear Elastic Deformations. Ellis Harwood Ltd. 1984. Dover 1997. [9 C. Truesdell and W. Noll. The Non-linear Field Theories of Mechanics. Springer 3. edition 004. Martti Mikkola Aalto-yliopisto Insinööritieteiden korkeakoulu Rakennustekniikan laitos Rakentajanaukio 4 A PL 1100 00076 Aalto martti.mikkola@aalto.fi 4