Taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi

Samankaltaiset tiedostot
Taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi

Taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi

Dynaamisten systeemien identifiointi 1/2

1. Annettu siirtofunktio on siis G(s) ja vastaava systeemi on stabiili. Heräte (sisäänmeno) on u(t) = A sin(ωt), jonka Laplace-muunnos on

Missä mennään. systeemi. identifiointi. mallikandidaatti. validointi. malli. (fysikaalinen) mallintaminen. mallin mallin käyttötarkoitus, reunaehdot

Signaalimallit: sisältö

1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen

Spektri- ja signaalianalysaattorit

Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa

Identifiointiprosessi

6.2.3 Spektrikertymäfunktio

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe

Numeeriset menetelmät

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla

Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1

Taajuustason tekniikat: Boden ja Nyquistin diagrammit, kompensaattorien suunnittelu. Vinkit 1 a

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

Identifiointiprosessi

Mat Systeemien identifiointi, aihepiirit 1/4

Kompleksianalyysi, viikko 7

IIR-suodattimissa ongelmat korostuvat, koska takaisinkytkennästä seuraa virheiden kertautuminen ja joissakin tapauksissa myös vahvistuminen.

Identifiointiprosessi

Parametristen mallien identifiointiprosessi

Identifiointiprosessi

2. kierros. 2. Lähipäivä

Luento 8. Suodattimien käyttötarkoitus

e ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

Luento 7. LTI-järjestelmät

Jaksollisen signaalin spektri

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

Laplace-muunnos: määritelmä

A B = 100, A = B = 0. D = 1.2. Ce (1.2 D. C (t D) 0, t < 0. t D. )} = Ae πjf D F{Π( t D )} = ADe πjf D sinc(df)

SGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen

Tietoliikennesignaalit & spektri

Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa

805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 5 (2016)

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!

SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti

3. kierros. 2. Lähipäivä

Spektrianalysaattori. Spektrianalysaattori

Tehtävä 1. Vaihtoehtotehtävät.

Osa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot

6.5.2 Tapering-menetelmä

Parametristen mallien identifiointiprosessi

Säätötekniikan matematiikan verkkokurssi, Matlab tehtäviä ja vastauksia

Oletetaan, että virhetermit eivät korreloi toistensa eikä faktorin f kanssa. Toisin sanoen

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

Luento 7. tietoverkkotekniikan laitos

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 14. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55

Perusmittalaitteet 2. Spektrianalyysi. Mittaustekniikan perusteet / luento 4. Spektrianalyysi. Logaritmiasteikko ja db (desibel) Spektrianalysaattori

T SKJ - TERMEJÄ

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ

Osatentti

Digitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento

Signaalien datamuunnokset

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

Analogiatekniikka. Analogiatekniikka

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

Säätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla

z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin

Black Scholes-hinnoittelumallin robustisuus ja tyylitellyt tosiseikat

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1

3 Ikkunointi. Kuvio 1: Signaalin ikkunointi.

1 PID-taajuusvastesuunnittelun esimerkki

Signaalien datamuunnokset. Digitaalitekniikan edut

6.1 Autokovarianssifunktion karakterisaatio aikatasossa

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

Kohina. Havaittujen fotonien statistinen virhe on kääntäen verrannollinen havaittujen fotonien lukumäärän N neliö juureen ( T 1/ N)

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

2. kierros. 1. Lähipäivä

MS-C1420 Fourier-analyysi osa II

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Matlab-tietokoneharjoitus

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

DSP:n kertausta. 1 Spektri, DFT, DTFT ja aika-taajuusresoluutio

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Diskreetti Fourier-muunnos ja sen hyödyntäminen signaalien spektrien muodostamisessa. Pentti Romppainen

R = Ω. Jännite R:n yli suhteessa sisäänmenojännitteeseen on tällöin jännitteenjako = 1

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Batch means -menetelmä

TL5503 DSK, laboraatiot (1.5 op) Suodatus 1 (ver 1.0) Jyrki Laitinen

Luku 4 - Kuvien taajuusanalyysi

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Säätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla

Mediaanisuodattimet. Tähän asti käsitellyt suodattimet ovat olleet lineaarisia. Niille on tyypillistä, että. niiden ominaisuudet tunnetaan hyvin

Johdatus tilastotieteeseen Estimointi. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU

Transkriptio:

Taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi Impulssi- ja askelvastetekniikat sekä korrelaatioanalyysi tähtäävät impulssivasteen mallintamiseen aikataso Taajuus- Fourier- ja spektraalianalyysi tähtäävät systeemin taajuusominaisuuksien mallintamiseen taajuustaso Taajuusvaste = systeemin sisäänmenolle aiheuttama vahvistus ja vaihekulman muutos taajuden funktiona siirtofunktio G(s) => s=iω =>taajuusvaste G(iω) Superpositioperiaate pätee edelleen: standardisyöte Asin ωt yhdistämiskeinona Fourier-sarja

Lineaarisen systeemin taajuusvaste Olkoon systeemin siirtofunktio G(s) Valitaan sisäänmeno u(t)=asinωt; mitä tulee ulos? Voidaan osoittaa (luento & lh) että ulos tulee Bsin(ωt+φ), jossa B=A G(iω) φ=arg(g(iω)) Taajuusanalyysi: Mitataan B ja φ usealla eri ω => taajuusvaste

Boden diagrammi Vakiintunut tapa esittää taajuusvaste Piirretään 20 lg G(iω) [db] ja arg(g(iω)) logaritmiasteikolle äin esim. sarjaankytkettyjen systeemien diagrammit voidaan laskea yhteen 20lg G 1 (iω) G 2 (iω) = 20 lg G 1 (iω) +20lg G 2 (iω) Approksimatiivinen piirto helppoa

Esimerkki 10 1 AMPLITUDE PLOT, input # 1 output # 1 Systeemin G(S)= 1/(s^2+0.2s+1) Boden diagrammi 10 0 10-1 10-2 10-3 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 frequency (rad/sec) PHASE PLOT, input # 1 output # 1 0-50 phase -100-150 -200 10-2 10-1 10 0 10 1 10 2 frequency (rad/sec) Matlab: bodeplot(th2ff(poly2th([1 0.2 1],1,[],[],[],[],-1)))

Etuja & haittoja Helppo käyttää, ei tarvita erityisiä laskentavirityksiä Ei vaadita muita oletuksia systeemistä kuin lineaarisuus Kiinnostavat taajuusalueet helppo tutkia tarkemmin Tuloksena taulukko tai mittauspisteiden kautta kulkeva interpolaatio ei sovellu simulointiin sellaisenaan (entä siirtofunktion sovittaminen PS-keinolla?) Reaalimaailman systeemeillä ei usein voida kokeilla täysin vapaasti Vaatii pitkiä mittausaikoja alkutransientti useita mitattavia taajuuksia mikäli kiinnostavat taajuudet matalia

Fourieranalyysi Perusajatus: koska Y(ω)=G(iω)U(ω) (Fourier-muunnos), täytyy olla G(iω)=Y(ω)/U(ω) y(t) ja u(t) tunnetaan vain äärellisellä välillä [0,S] Muodostetaan Fourier-muunnoksista Y(ω) ja U(ω) arviot määritelmän perusteella: Y S ( ω) = S 0 y( t) e iωt dt, Empiirinen siirtofunktioestimaatti (empirical transfer function estimate, ETFE): G^(iω)=Y S (ω)/u S (ω) (perustuu vain mittauksiin ja lineaarisuusoletukseen) U S ( ω) = S 0 u( t) e iωt dt

... Kun u(t)=u 0 cosω * t ja S=kπ/ω*, k=1,2,... on U S (ω)=u 0 S/2 Tällöin ETFE on S S Gˆ 2 S ( iω* ) = ( y( t) cos( w* t) dt i y( t)sin( w* t) dt u0s 0 0 Helppo laskea: korreloidaan vain y(t) sinin ja kosinin kanssa Käytännössä integraaleja approksimoidaan: Y S ( ω) = T k = 1 y( kt ) e iωkt T= näytteenottoväli ja S=T pisteissä w=r2π/, r=0,...,-1 voidaan käyttää nopeaa Fourier-muunnosta (FFT, Fast Fourier Transform), U S ( ω) = T k = 1 u( kt ) e iωkt

FFT :n mittauksen signaalin (diskreetti) Fourier-muuntaminen vaatii 2 kerto- ja jakolaskua Cooley ja Tukey 1965: opea Fourier-muunnos periaate jo Gaussilta Perusidea: hajotetaan 2 k -mittaisen näytejonon DFT kahden 2 k-1 -mittaisen jonon DFT:ksi rekursio kunnes 2 k-1 =1, summaus (edellytys =2 k ) laskutoimitusten lkm log 2 << 2

ETFE:n tarkkuus Voidaan osoittaa (kirja app. 8.A) että ETFE:n ja todellisen taajuusvasteen ero tietyllä taajuudella riippuu käytetystä ohjauksesta ja sen taajuussisällöstä systeemin ominaisuuksista (impulssivaste) signaali-kohinasuhteesta tällä taajuudella Jos u(t):ssä on sinikomponentti tietyllä taajuudella (ja häiriössä ei), virhe ko. taajudella pienenee S:n kasvaessa Jos ei ole, määräävä tekijä on signaali-kohinasuhde

Spektraalianalyysi Aiemmin todettu, että systeemille y(t)=g(p)u(t)+v(t) pätee Φ yu (ω)=g(iω)φ u (ω) (1) Φ y (ω)= G(iω) 2 Φ u (ω)+φ v (ω) (2) äinollen (1):stä saadaan (vrt. ETFE) Gˆ ( iω) = Φˆ ( ω) / Φˆ ( ω) (2):sta voidaan estimoida häiriön v(t) spektri: Yllä on käytetty sopivia spektrin estimaatteja :n mittauksen pohjalta yu ˆ ˆ ( ) ( ) ˆ 2 Φ ω = Φ ω Φ ( ω) v y yu u / Φˆ u ( ω)

Spektrin estimointi signaalin u(t) spektri F(ω) määriteltiin intuitiivisesti u(t):n keskitaajuussisältönä formaalisti u(t):n Fouriermuunnoksen itseisarvon neliönä Ol. että u(t):tä on havaittu T:n välein datasta saadaan vain näytteistetyn signaalin spektri jos T pieni verrattuna u(t):n taajuussisältöön, ero on pieni oletetaan seuraavassa että T=1 Suoraan määritelmästä saadaan periodogrammi: Φˆ ( ω) = 1 2 U = ( ω), U ( ω) k = 1 u( k) e iωkt

Esimerkki ARMA-prosessin y(t+1)=0.6*y(t-1)+0.5e(t-1)+e(t) realisaation periodogrammi (=10000) ja todellinen spektritiheys 10 2 SPECTRUM output # 1 10 2 SPECTRUM output # 1 10 1 10 1 10 0 10-1 10 0 10-2 10-1 10-3 10-2 10-1 10 0 10 1 frequency (rad/sec) 10-2 10-2 10-1 10 0 10 1 frequency (rad/sec)

Periodogrammin ominaisuuksia Tyypillisiä ominaisuuksia: periodogammi on hyvin epätasainen puhtaat sinikomponentit näkyvät piikkeinä Antaa kohtuullisen kuvan signaalin taajuusisällöstä Jos u(t) on stok.pros. realisaatio, periodogrammi on satunnaismuuttuja odotusarvo yhtyy todellisen spektrin odotusarvoon (8.26) varianssi EI lähesty nollaa :n kasvaessa (8.27) => epätasaisuus eri taajuuksien estimaatit eivät korreloi (8.28) Taajuusresoluutio: mitkä taajuudet eroavat toisistaan? periodogrammin resoluutio on 2π/

Keinoja pienentää varianssia Periodogrammin varianssi usein turhan suuri Spektriestimaatin toivottu ominaisuus sileys trade-off: tasoittaminen huonontaa taajuusresoluutiota 1. Usean riippumattoman estimaatin keskiarvottaminen (Welchin menetelmä) 2. Keskiarvotetaan läheisten (korreloimattomien by 8.28) lähitaajuksien kanssa => ikkunointi (Blackman-Tukey)

1. Keskiarvottaminen Jaetaan signaali R:ään (mahdollisesti osin päällekkäiseen) segmenttiin Periodogrammi kullekin segmentille sopivin valinnoin tehokas laskenta FFT:llä Spektriestimaatti saadaan näiden periodogrammien keskiarvona (8.29) Jos ei päällekkäisyyttä, spektriestimaatin varianssi pienenee R:ään verrannollisesti taajuusresoluutio huononee R:ään verrannollisesti

2. Tasoittaminen ikkunoimalla Muodostetaan estimaatti taajuudella ω laskemalla painotettu keskiarvo periodogrammista: Φˆ π ( ω) = W ( ω ξ) Φˆ ( ξ ) dξ, W ( ω) dω = 1 π W γ (ω) on painofunktio (ikkunafunktio) γ parametri γ kuvaa ikkunan leveyttä leveä ikkuna => tasainen spektri, kapea ikkuna => hyvä taajuusresoluutio π π γ

Implementointi aikatasossa Taajuustasossa implementointi tehotonta Em. integraali aikatasossa ilmaistuna on (app. 8.A) R^u(k) on u:n autokovarianssi viiveellä k Aikaikkuna w γ (k) oletettu nollaksi kun k >γ rajaa mahdolliset ikkunafunktiot Paljon käytetty on Hamming-ikkuna ξ ξ ω π π ξ γ γ γ γ ω γ d e W k w e k R k w k i k k i u = = = Φ ) ( ) ( ; ) ( ˆ ) ( ) ( ˆ

Blackman-Tukey -estimointi 1. Valitse aikaikkuna w γ (k) 2. Valitse ikkunanleveysparametri γ 3. Laske u:n autokovarianssit o:sta γ:aan 4. Laske Φ (ω) edellä kuvatun mukaisesti Huom. 1) edellä oletettu että T=1. Jos näin ei ole, on spekriestimaatti skaalattava: Φˆ 0 ( ξ ) = TΦˆ ( ξt), π / T ξ π T / Huom. 2) Myös ristitehotiheysspektri voidaan estimoida samaan tapaan korvaamalla autokovarianssi ristikovarianssilla (8.42,8.43)

Taajuusvasteen estimointi : ( SPA ) 1. Kerää data y(k), u(k), k=1,...,; keskiarvota. 2. Valitse aikaikkunafunktio ja ikkunan leveys 3. Laske y:n ja u:n tarvittavat auto- ja ristikovarianssit 4. Muodosta teho- ja ristitehotiheysspektriestimaatit 5. Laske taajuusvaste kaavoja 8.45, 8.46 käyttäen

Yhteenveto spektraalianalyysistä Paljon käytetty identifiointimenetelmä Yleispätevä menetelmä, vaatii ainostaan lineaarisuusoletuksen, ei vaadi erityisiä herätteitä Sopivalla g:n valinnalla saadaan hyvä kuva systeemin taajuusominaisuuksista Tulos ei kelpaa simulointiin Spektraalianalyysi ei toimi takaisinkytketyissä systeemeissä u ja v korreloituneita, perusyhtälöt 8.45 ja 8.46 eivät päde

Yhteenveto Käsitelty transientti- ja korrelaatioanalyysi => impulssi- ja askelvaste taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi => taajuusvaste Tulokset kvalitatiivisluontoisia yleiskuva systeemistä eivät sovellu simulointiin ohjaavat jatkotutkimuksia ja koesuunnittelua: esim. kiinnostavat taajuudet