isää satunnaisuutta ja mahdollisuus keskeyttää projekti Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy
isää satunnaisuutta Tähän mennessä on käytetty vain yhtä satunnaismuuttujaa tuotteen hinta Samoja menetelmiä voidaan käyttää myös useamman satunnaismuuttujan tapauksessa nvestointikustannus ja tuotteen hinta noudattavat Brownin liikettä d E[ dz α dt ] dt, σ E[ dz dz, d ] dt, α E[ dz dt dz ] σ dz ρdt Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy
rojektin arvo, ja option arvo F, nvestoinnin jälkeen investointikustannuksen kehittyminen merkityksetöntä ja projektin arvo hinnalla on nvestointioption arvo riippuu kummastakin pidetään optio, kun on matala tai korkea käytetään optio, kun on korkea :hin verrattuna µ α Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy 3
ortfolio Muodostetaan portfolio optio, jonka arvo F, m kpl :n hintaa seuraavaa kohdetta n kpl :n hintaa seuraavaa kohdetta ton lemma d F m n F m d F n d Fσ F ρσ σ F σ dt riskitön portfolio : valitaan mf ja nf Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy 4
Yhtälöt Osinkojen m n dt ja riskittömän koron tuottovaatimuksen rf-m-ndt jälkeen saadaan osittaisdifferentiaaliyhtälö ehdoilla: σ reunalla F r ρσ F σ r F F, σ investointialueella F, F ja rf F Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy 5 F,
Yksinkertaistus Analyyttinen ratkaisu vaikeaa esim. alueen reunaa ei tiedetä äätöksen pitäisi riippua vain suhteesta p eli voidaan kirjoittaa, f F f p Derivointien ja edelliseen osittaisdifferentiaaliyhtälöön sijoittamisen jälkeen saadaan p p σ ρσ σ σ p f f f p Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy 6
Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy 7 Ratkaisu ehdoilla Ratkaistaan kuten aiemmin yritteellä fap suuremmasta juuresta saadaan p pf p f p f p p f p * * *
Ratkaisun tulkinta Tämä origon kautta kulkeva suora erottaa odotus- ja investointialueet,-avaruudessa σ :n tai σ :n kasvaessa p * kasvaa ρ:n kasvaessa p * pienenee investointialue p * odotusalue Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy 8
Mallin laajennus isätään vaihtoehto, että projekti voidaan tarvittaessa keskeyttää ja jatkaa mahdollisesti myöhemmin Oletetaan, että projektin jatkamisen kustannus on sama kuin koko projektin alkuinvestointikustannus ienillä tappioilla projektia ei keskeytetä jatkamiskustannusten vuoksi Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy 9
Malli Oletetaan hinnan noudattavan Brownin liikettä d α dt σdz Diskonttokorko CAM-mallin mukaan r φρ σ µ M Osinko µα ja oletetaan > Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy
Malli nvestointikustannus ja hylkäyskustannus E E voi myös olla negatiivinen eli hylättäessä projekti saadaan tuloja mutta ehdon E> täytyy päteä Kustannukset projektin toiminnasta C Optiot investoida ja hylätä projekti ntuitiivisesti kaksi rajahintaa ja, joille pätee > Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy
Optimaalinen strategia Optimaalinen strategia alussa odottaa, että nousee yli rajahinnan, jolloin investoidaan rojekti pidetään toiminnassa niin kauan kuin > Keskeytetään projekti, kun laskee alle rajahinnan Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy
Optioiden arvot Jatketaan samalla strategialla hinnan ollessa rajahintojen ja välissä Optioiden arvot riippuvat hinnasta ja yrityksen tilasta odotus tai aktiivisuus, ja Muodostetaan portfoliot ja saadaan σ σ '' '' r r ' ' r r C Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy 3
Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy 4 Ratkaisu Ratkaisuiksi saadaan joissa rajahintojen kohdalla reunaehdot r C B A, ] [ σ ρ σ ρ σ ρ ± E
Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy 5 opulliset yhtälöt Sijoittamalla saadaan 4 yhtälöä, joissa 4 tuntematonta A, B, ja ratkaistaan numeerisesti B A E r C B A B A r C B A
Kotitehtävä aske p *, kun d,8dt d,4dt ρ,5,6, r,4,dz,dz Esitelmä 7 - Mika lmoniemi Optimointiopin seminaari - Syksy 6