Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x, t) φ n (x)exp(ie n t/ ), missä φ n (x) Ae iknx + Be iknx. Mitä on k n? Osoita, että aaltofunktiot ovat ortonormeerattuja eli dxψ n(x, t)ψ m (x, t) δ mn missä δ mn on Kroneckerin delta: δ mn kun m n ja δ mn kun m n. Ratkaisu: Aaltofunktioiden kirjoittamiseksi tulee ratkaista kolme tuntematonta termiä: A, B ja k n. Näiden eliminoimiseksi käytämme kolmea ehtoa: aaltofunktion arvoa laatikon molemmilla laidoilla sekä normitusehtoa. Aaltofunktio on laatikon ulkopuolella. Funktion on oltava jatkuva kaikkialla, joten myös laatikon reunoilla ψ n (, t) ψ n (L, t) mikä toteutuu kun φ n () φ n (L). Tarkasteltaessa φ :tä kohdassa x nähdään, että reunaehto täyttyy vain jos A B. Tutkitaan sitten kohtaa x L ja sijoitetaan äskeinen tulos, jolloin huomataan
φ n (L) Ae iknl Ae iknl e iknl e iknl e iknl e iknl Koska e inπ, seuraa tästä k n nπ L missä n on kokonaisluku. Nyt siis φ n (x) A(e inπx/l e inπx/l ). A:n selvittämiseksi normitetaan aaltofunktio, eli vaaditaan dx ψ n (x, t). () Helppouden vuoksi voidaan tarkastella vain hetkeä t ja sitä kautta pitää termit yksinkertaisempina, sillä ψ n (x, ) φ n (x) ja A ei riipu ajasta. dx φ n (x) dx φ n (x) dxφ n φ n dx A ( e niπx/l e niπx/l) A ( L + L iπn (eniπ + e + e iπ e ) A L Valitaan tämän perusteella vaikkapa reaalinen A paikkariippuvuus on vihdoin φ n (x) ) (e inπx/l e inπx/l. L Aaltofunktiot kokonaisuudessaan ovat siis ) ψ n (x) (e inπx/l e inπx/l exp(ie n t/ ). L L ja aaltofunktion
Osoitetaan seuraavaksi aaltofunktioiden olevan ortonormeerattuja. Tapauksen n m todistus, jolloin integraalin arvoksi pitäisi tulla, seuraa suoraan normitusehdosta (). Tutkitaan seuraavaksi tapaus n m, jolloin siis integraalin arvon tulisi aina olla. Riittää yhä jättää aikariippuvainen termi pois laskuista, sillä se jää joka tapauksessa integraalin ulkopuolelle eikä vaikuta lopputulokseen, mikäli paikkariippuvainen integraali antaa :n. dxφ n(x)φ m (x) L ) dx (e iπx(mn)/l e iπx(m+n)/l e iπx(m+n)/l + e iπx(mn)/l e iπ(mn) e ) e iπ(m+n) e ) iπ(m n) iπ(m + n) e iπ(m+n) e ) + e iπ(mn) e ) iπ(m + n) iπ(m n) () mn ) + () m+n ) iπ(m n) iπ(m + n) () m+n ) () mn ) iπ(m + n) iπ(m n) Huomattiin siis, että e πi e πi, ja hieman uudelleenjärjestelemällä nähdään kaikkien termien kumoutuvan. Tehtävä Siirretään energian nollakohtaa suorittamalla muunnos V (x) V (x) + c, missä c on vakio. Tarkastele Schrödingerin yhtälöä ja osoita, että siirros ei vaikuta todennäköisyyteen löytää hiukkanen paikasta x. Vertaa tilannetta klassiseen fysiikkaan ja siellä muunnoksen vaikutusta hiukkasen liikerataan. Ratkaisu : Schrödingerin yhtälö yhdessä tilaulottuvuudessa: i [ t ψ(x, t) m x + V (x) ψ(x, t) ψ(x, t) on aaltofunktio, joka toteuttaa Schrödingerin yhtälön potentiaalissa V(x). Olkoon nyt φ(x, t) puolestaan aaltofunktio, joka toteuttaa yhtälön potentiaalissa V (x)+ c, eli 3
i [ t φ(x, t) m x + V (x) + c φ(x, t) Yritetään päätellä, miten φ:n saisi ilmaistua ψ:n avulla. Halutaan löytää ratkaisu, jolla yhtälön vasemmalle puolelle löydetään vastaava ylimääräinen termi kuin mitä oikealle on ilmaantunut potentiaalimuunnoksen seurauksena. Tehdään siis valistunut arvaus, että funktioiden välillä oleva yhteys on jokin paikasta riippumaton exponenttifunktiokerroin, ts. φ(x, t) e bt ψ(x, t) Sijoitetaan yrite yhtälöön ja järjestellään termejä: i [ t ebt ψ(x, t) m x + V (x) + c e bt ψ(x, t) i ( e bt [ t ψ(x, t) + bebt ψ(x, t) m x + V (x) + c e bt ψ(x, t) Huomataan, että jos b ict, molempien puolten viimeiset termit ovat samat ja voidaan vähentää pois. Tutkitaan mitä muulle yhtälölle käy tällöin: e ict/ i [ t ψ(x, t) eict/ m x + V (x) ψ(x, t) Tämä on selvästikin tosi, sillä jakamalla eksponenttifunktio pois tehtävä saadaan palautettua Schrödingerin yhtälöön ψ:lle, joka määritelmän mukaan on tosi. Siispä potentiaalissa V (x) + c aaltofunktio on e ict/ ψ(x, t). Todennäköisyystiheys: φ φ e ict/ e ict/ ψ ψ ψ ψ eli potentiaalin muunnos ei vaikuta todennäköisyystiheyteen millään tavalla. Myöskään klassisessa mekaniikassa vakiomuutos potentiaaliin ei vaikuta hiukkasen liikerataan, sillä F x ja vakion derivaatta on. Ratkaisu : Vaihtoehtoinen lähestymistapa on tarkastella ensin stationaarista tilannetta ja tutkia sitten, voiko tuloksen yleistää. Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö: [ m x + V (x) φ(x) Eφ(x) 4
Jos V V + c, pätee yhtälö jos ja vain jos E E + c. Tällöin aaltofunktio muunnetussa potentiaalissa on siis ψ (x, t) φ(x)e i(e+c)t/ e ict ψ(x, t) missä siis ψ on potentiaalissa V Schrödingerin yhtälön toteuttava aaltofunktio. Tuloksen voi nyt sijoittaa Schrödingeriin potentiaalissa V +c ja tarkistaa, että se toteutuu. Tehtävä 3 Olkoon välillä x olevan hiukkasen aaltofunktio muotoa ψ(x, t) Nx e x/aiωt, missä N on kompleksinen ja a, ω reaalisia vakioita. Normita aaltofunktio. Hahmottele hiukkasen pistetodennäköisyysjakauma P (x, t)dx ( todennäköisyystiheys dx). Ratkaisu: Aaltofunktion normitus (aaltofunktio on tehtävänannon mukaan nolla, kun x < ): dx ψ(x, t) N x 4 e x/a Tämän muotoiset integraalit ratkeavat osittaisintegroimalla, tässä tapauksessa neljästi. Jäljelle jää lopulta jolloin normitusvakioksi tulee 3 4 N a 5 ) N 3 a 5/ e iθ missä θ on reaalinen. Kulmariippuvuustermi seuraa siitä, että N on kompleksinen, ja yhtälö () on tietenkin totta kaikilla vaihekulmilla. Todennäköisyystiheys on ψ(x, t) 4 3 a5 x 4 e x/a Pintapuolisesti nähdään, että tämä on kun x ja kun x. Pienillä x :n arvoilla kasvava x 4 dominoi, kun taas suurilla arvoilla eksponenttifunktio 5
laskee todennäköisyyttä nopeasti. Suurempi a levittää kuvaajaa oikealle ja laskee sen huippua. Ohessa kuvaajat arvoilla a ja a 3. Tehtävä 4 Tarkastellaan harmonista oskillaattoria V mω x. Osoita, että Schrödingerin yhtälön stationäärinen ratkaisu on muotoa φ(x) exp(bx ), kun energia E ω. Etsi b:n arvo ja normita aaltofunktio oikein. Ratkaisu: Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö: [ m x + V (x) φ(x) Eφ(x) Derivoidaan ratkaisuyritettä e bx : φ(x) bxebx x 6
x φ(x) 4b x e bx be bx Siispä Schrödingeriin sijoittamalla saadaan ( m (b + 4b x ) + mω x ) e bx ωebx ( mω )x m 4b ω m b Yhtälö toteutuu kaikilla x:n arvoilla vain, kun molemmat puolet ovat identtisesti. Kun oikean puolen kertoimesta ratkaistaan b, huomataan että arvolla b mω annetunlainen yrite todellakin on Schrödingerin yhtälön stationäärinen ratkaisu. Etsitään vielä oikea normituskerroin: (Ne mωx / ) N e mωx / N π mω Tässä on käytetty Gaussin integraalille kaavaa, joka on hyödyllistä opetella ulkoa: π dxe a(x+b) a Saadaan siis normitusvakioksi N ( ) /4 mω π 7