Lineaarialgebra 2 Kevät 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á Ë Ð Ö Ø Ú ØÓÖ Ø 1. Kerroinrenkaat 1.1. Määritelmä. Yhden laskutoimituksen rakenne(g, + on Abelin ryhmä, jos 1 +onliitännäinenelikaikillax,y,z Gpätee (x+y+z=x+(y+z, 2 laskutoimituksella + on neutraalialkio e, jolle kunk G, 3 jokaisellax Gonvasta-alkio x,jolle x+e=e+x=x, x+( x=( x+x=e 4 +onvaihdannainen,ts.kaikillex,y Gpätee x+y=y+x. 1.2. Määritelmä. Yhden laskutoimituksen rakenne(s, on puoliryhmä, jos on liitännäinen. 1.3. Määritelmä. Kahden laskutoimituksen rakenne(r, +, on rengas, jos 1 (R,+onAbelinryhmä, 2 (R, onpuoliryhmä 3 osittelulaki on voimassa, ts. kunx,y,x R. x(y+z=xy+xz(x+yz=xz+yz, 1
Rengas(R, +, on yksiköllinen, jos kertolaskulla on neutraalialkio, ts. on olemassa sellainen1 R,ettäkaikillex Rpäteex 1=1 x=x.rengasonvaihdannainen,jos sen kertolasku on vaihdannainen. 1.4. Määritelmä. Kahden laskutoimituksen rakenne(k, +, on kunta, jos 1 (K, + on Abelin ryhmä, ns. kunnan yhteenlaskuryhmä, 2 (K,,jossaK =K {0}0onyhteenlaskunneutraalialkio,onAbelinryhmä (kunnan kertolaskuryhmä 3 Yhteen- kertolasku osittelevat(oikealta eli kunx,y,z K. (x+yz=xz+yz, 1.5.Määritelmä.Kunnan K=(K,+, karakteristikaonpieninp Z +,jollepäteep 1 kunnassa K, jos tällainen on olemassa, muuten 0. Kunnista todistetaan algebrasta seuraavia perustuloksia: 1 Kunnan karakteristika on aina joko nolla tai alkuluku. 2 Alkulukukarakteristikaa olevat kunnat ovat kaikki äärellisiä. 3 Äärellisen kunnan koko on alkulukupotenssi. 4 Samankokoiset äärelliset kunnat ovat isomorfisia. 2. Modulit 2.1.Määritelmä.Olkoon(M,+ M Abelinryhmä(R,+ R, Ryksiköllinenrengas,jossa 0 R 1 R. TällöinM:stämuodostuuR-moduli,jossevarustetaanlisäksiskalaarikerronnalla,jolleovatvoimassaseuraavatlaskulait:Kunx,y Ma,b R,niin 1 a(x+ M y=ax+ M ay, 2 (a+ R bx=ax+ M bx, 3 a(bx=(a Rbx 4 1 x=x. Muodollisemmin:Kolmikko ( (M,+ M,(R,+ R, R, onmoduli,jos a (M,+ M onabelinryhmä, b (R,+ R, Ronyksiköllinenrengas,jossa0 R 1 R, c laskulait 1 4 ovat voimassa. Rengasta(R,+ R, Rkutsutaantämänmodulinkerroinrenkaaksi. JoukonMalkioita kutsutaan vektoreiksi joukon R alkioita skalaareiksi. Huomautus. 1 Skalaarikerronta ei ole varsinaisesti minkään perusjoukon laskutoimitus, sillä se on kuvausr M M,missäyleensäR M. Sitäonkuitenkinkäytännöllistämyös nimittää laskutoimitukseksi, kuten modulin kolmea muuta(aitoa laskutoimitusta. 2
2 Käytännössä alaindeksejä ei käytetä, jolloin vektorien skalaarien yhteenlasku merkitään(hieman hämäävästi molempia symbolilla +, skalaarikerrontaa skalaarien kertolaskua molempia symbolilla. Varsinkin skalaarikerronnan symboli jätetään useimmiten kokonaan pois merkinnästä. 2.2. Määritelmä. Jos modulin V kerroinrengas(k, +, on kunta, niin K-modulia V kutsutaan K-vektoriavaruudeksi. 3. Viritys vapaus 3.1.Merkintä.Kun(M,+onAbelinryhmäS Määrellinen,niinjoukonSalkioiden summaa voidaan merkitä n 1 x= s i, x S missäjoukonsalkiotonlueteltutoistotta: S={s 0,...,s n 1 }. KoskaM:nyhteenlasku on vaihdannainen, lopputulos ei riipu siitä, missä järjestyksessä alkiot on lueteltu. Huomattakoon, että erikoistapauksessa S = Ø määritellään x= 0 M, x Ø mikäedellyttääneutraalialkionolemassaoloa. Vastaavastijos(x i i I onäärellinenjono M:n alkioita, summa i I on yksikäsitteisesti määritelty riippumatta siitä, onko indeksijoukolla I luonnollista järjestystä. Oletetaannyt,ettäMonjopaR-moduli,S Mmahdollisestiääretön(λ s s S jono R:n alkioita. Summa λ s s ei ole yleisesti atellen mielekäs, mutta jos kerroinjonon kanta on äärellinen, niin voidaan määritellä s S i=0 S 0 =supt((λ s s S ={s S λ s 0} x i x= s Sλ s s= s S 0 λ s s. Tällaista vektoria x kutsutaan lineaarikombinaatioksi S:n vektoreista. Vastaavalla tavalla suhtaudutaan muotoa λ i x i i I 3
oleviin merkintöihin, kun I on ääretön. 3.2. Määritelmä. Joukko S virittää R-moduli M, jos jokainen x M voidaan kirjoittaa lineaarikombinaationa x = s S λ s s joukon S vektoreista (missä siis λ s R, kun s S,supt((λ s s S onäärellinen. JoukkoaSkutsutaantällöinM:nvirittäjistöksitai virittäjäjoukoksi. Virittäminenvoidaanmääritellämyösjonoille:Jono(s i i I modulinmalkioitavirittää M:n,josvastaavajoukko{s i i I}virittääM:n. 3.3.Määritelmä. R-moduliLonR-modulinMalimoduli,josL MLperiilaskutoimituksensa M:stä. Samamuodollisemmin: ( (L,+ L,(R,+ R, R, L onmodulin ( (M,+M,(R,+ R, R, M alimoduli, jos 1 L M ( (L,+ L,(R,+ R, R, L onitsekinmoduli 2 + L =+ M (L L L = M (R L. 3.4. Lause. (Alimodulikriteerit Olkoon M R-moduli L M. Tällöin L voidaan varustaa M:n alimodulirakenteella, jos vain jos seuraavat ehdot ovat voimassa: 1 x+y L,kunx,y L, 2 ax L,kuna Rx L 3 0 L. 3.5. Määritelmä. Olkoon M moduli A M. Joukosta A muodostettujen lineaarikombinaatioidenjoukkoamerkitään ( A:lla. 3.6. Lause. OlkoonMR-moduliA M. Tällöinsp(AonmodulinSalimoduli. Itse asiassa sp(a on suppein(eli sisältyvyyden suhteen pienin M:n alimoduli, joka sisältää A:n, ts. sp(a= {L LonM:nalimoduli,A L}. 3.7. Määritelmä. Modulin M osajoukko I on vapaa, jos jokaiselle I:n vektoreista muodostetullelineaarikombinaatiollepäteeseuraavaehto: jos x I λ x x= 0,niinjokaisella x Ipäteeλ x =0. Vastaavastijono(x i i J M:nvektoreitaonvapaa,josseontoistoton{x i i J} on vapaa. Vektoriavaruuden osajoukkoa tai jonoa nimitetään sidotuksi, jos se ei ole vapaa. 4. Kannat 4.1.Määritelmä.JoukkoE V onvektoriavaruudenv kanta,josseonvapaav:ssä virittääv:n. Vastaavastijonon(e i i I sanotaanolevanv:nkanta,josseonvapaav:ssä virittääv :n. 4.2. Lause. (Virityksen perusominaisuudet Olkoon M R-moduli A, B M. Tällöin: 1 A sp(a. 2 JosA B,niinsp(A sp(b. 4
3 sp(sp(a=sp(a. 4 (Äärellisluonteisuus Jokaistax sp(avastaasellainenäärellinen A 0 A, että x sp(a 0. 4.3. Lause. (Vektoriavaruuksien vaihto-ominaisuus Olkoon V K-vektoriavaruus, A V x,y V.Tällöinjosx sp(a {x} sp(a,niiny sp(a {x}. 4.4.Seuraus.OlkootEE vektoriavaruudenv kanto.tällöinjokaistae E kohti onolemassae E,jolle(E {e} {e }onv:nkanta. 4.5. Esimerkki. Z-modulissa Z ei päde vaihto-ominaisuus. 4.6.Lause. OlkoonV K-vektoriavaruusI V.Tällöin: a Ionvapaa,josvainjosjokaisellex Ipäteex sp(i {x}. b JosIonvapaau V sp(i,niini {x}onvapaa. 4.7. Esimerkki. Z-modulissa Zjoukko{2,3}onsidottu,vaikka2 sp({3}3 sp({2}. 4.8. Lause. (Kantalause Jokaisella vektoriavaruudella on kanta. Itse asiassa: Olkoon V vektoriavaruus,ivapaav:ssäsv:nvirittäjistö. Oletetaan,ettäI S. TällöinV:llä onkantae,jollei E S. 4.9. Lemma. Olkoot E S K-vektoriavaruuden V virittäjistöjä. Tällöin jos S on ääretön S > E,niinSonsidottu. 4.10. Lause. Mielivaltaisen vektoriavaruuden V kaikki kannat ovat keskenään yhtä mahtavia. Edellisten lauseiden nolla millä tahansa vektoriavaruudella on kanta sen koko on yksikäsitteinen, joten seuraava käsite on hyvinmääritelty. 4.11.Määritelmä.VektoriavaruudenV dimensioondim(v= E,missäEonV:n(mikä tahansa kanta. V on äärellisulotteinen, jos dim(v N. 4.12. Lause. Olkoon V vektoriavaruus. a JosSvirittääV:n,niin S dim(v. b JosIonvapaaV:ssä,niin I dim(v. 5