2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET
|
|
- Pertti Hänninen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 30 REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 1 Koordinaattiavaruus R n Olkoon n N = {1,, 3, } positiivinen kokonaisluku (luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla N = {0, 1,, 3, }) Merkitään R n = R n 1 = n 1 - matriisien joukko R n :n alkioita x = x 1 x x n = [ x 1 x x n ] T R n, x i R kaikilla i, kutsutaan pisteiksi tai (sarake-)vektoreiksi Yllä olevaa alkiota x R n merkitään myös x = (x 1,, x n ), järjestetty n-jono Sen sijaan x [ x 1 x x n ] R 1 n, jos n Näin on määritelty joukko R n, kun n 1 Joskus merkitään lisäksi R 0 = {0}, yksialkioinen joukko Erikoistapauksena matriisien yhteenlaskusta 14 ja skalaarilla (= reaaliluvulla) kertomisesta 16 on R n :ssä (missä n 1) määritelty yhteenlasku ja skalaarilla kertominen: x 1 y 1 x 1 + y 1 ax 1 x + y = x + y ; a x 1 x = ax x n y n x n + y n x n ax n (x 1,, x n, y 1,, y n, a R); nämä on siis määritelty komponenteittain Matriisitoimitusten ominaisuuksista saadaan seuraavat laskulait: Lause 11 Kaikilla x, y, z R n ja a, b R on i) (x + y) + z = x + (y + z); ii) x + y = y + x; iii) x + 0 = x, 0 = [ ] T ; iv) x + ( 1)x = 0;
2 31 v) a(x + y) = ax + ay; vi) (a + b)x = ax + bx; vii) a(bx) = (ab)x; viii) 1x = x Painotekninen huomautus : Käsinkirjoitetussa tekstissä usein x = x jne Geometrinen tulkinta tapauksissa n = 1,, 3 n = 1 : Joukkoina samastetaan yleensä R 1 ja R niin, että [ x ] R 1 = x R x R Tavalliseen tapaan reaaliluvut vastaavat lukusuoran pisteitä: Annetulta suoralta S valitaan piste O (origo) sekä toinen piste E 1 O (yksikköpiste) Pistettä P S vastaa tämän jälkeen x R: OP : OE 1 = x x > 0, x < 0, ( OP = janan OP pituus) jos pisteet P O ja E 1 ovat O:n samalla puolella jos pisteet P O ja E 1 ovat O:n eri puolilla P O E 1 x < 0 x > 0 Mainittu vastaavuus on kääntäen yksikäsitteinen n = : Kiinnitetään tasossa T piste O (origo) ja O:n kautta kulkevat, toisiaan vastaan kohtisuorat suorat S 1 ja S (koordinaattiakselit), sekä yksikköpisteet E i S i (i = 1, ) Tämän jälkeen samastetaan S i R:n kanssa kuten yllä Silloin jokaista pistettä P T vastaa kääntäen yksikäsitteisesti piste x = (x 1, x ) R : P S S P S 1 x O x 1 P 1 S 1 P S i S i S S 1 = P 1 x 1 R S 1 S = P x R = P x = (x 1, x ) R
3 3 Yhteenlasku geometrisesti: P T x = (x 1, x ) R Q T y = (y 1, y ) R R T x + y R = R saadaan suunnikassäännöllä, so OP RQ on suunnikas O P R x Q y x 1 y 1 Skalaarilla kertominen geometrisesti: P T x R, P O (ts x 0) ja R T ax R = R on suoralla OP ; R ja P ovat O:n samalla puolella, kun a > 0 R ja P ovat O:n vastakkaisilla puolilla, kun a < 0 OR : OP = a R, (a < 0) O P R, (a > 1) R, (0 < a < 1) n = 3 : Kiinnitetään avaruudessa A origo O, kolme toisiaan vastaan kohtisuoraa koordinaattiakselia S 1, S ja S 3, ja yksikköpisteet E i S i (i = 1,, 3) Tämän jälkeen jokaista pistettä P A vastaa kääntäen yksikäsitteisesti x = (x 1, x, x 3 ) R 3, summa P + Q muodostetaan A:ssa suunnikassäännöllä (tasossa OP Q) ja skalaarilla kertominen tapahtuu kuten kohdassa n = Siis on saatu vastaavuudet tason pisteet R :n pisteet avaruuden pisteet R 3 :n pisteet Nämä riippuvat koordinaatiston (so pisteiden 0, E 1, E, ) valinnasta Tason tai avaruuden pisteparia P, Q vastaa vektori P Q = Q P P Q
4 33 Kahta eri pisteparia voi vastata sama vektori: P Q = RS Q P = S R P + S = Q + R ( vektori = suuntajanojen ekvivalenssiluokka) Erityisesti on olemassa yksikäsitteinen piste X, nimittäin X = Q P, jolla P Q = OX on pisteen X paikkavektori Saadaan vastaavuus P Q X x R tai x R 3 tason (vast avaruuden) vektorien ja R :n (vast R 3 :n) vektorien eli pisteiden välille Erityisesti P Q = OQ OP, joten OQ = OP + P Q, ja yleisemmin P R = P Q+ QR (koska (Q P ) + (R Q) = R P ) P Q R Vektoriavaruudet Edellä nähtiin, että R n :n vektorien yhteenlaskulla ja skalaarilla kertomisella on perusominaisuudet 11 i) viii) Vastaavat ominaisuudet ovat voimassa monissa muissakin tilanteissa (esimerkkejä alla) Kannattaa siis ottaa käyttöön yleinen määritelmä, jossa ko ominaisuudet asetetaan perusoletuksiksi (aksioomiksi); tällöin kehitettävä yleinen teoria soveltuu sellaisenaan jokaiseen erikoistapaukseen Määritelmä 1 Joukko V on (R-kertoiminen) vektoriavaruus, jos kaikkiin v, w V ja a R on liitetty yksikäsitteiset summa v + w V ja tulo av V niin, että seuraavat ominaisuudet ovat voimassa: i) (u + v) + w = u + (v + w) kaikilla u, v, w V ii) v + w = w + v kaikilla v, w V iii) On olemassa sellainen 0 = 0 V, että v + 0 = v kaikilla v V iv) Jokaiseen v V liittyy sellainen v V, että v + ( v) = 0 v) a(v + w) = av + aw kaikilla a R, v, w V vi) (a + b)v = av + bv kaikilla a, b R, v V vii) a(bv) = (ab)v kaikilla a, b R, v V viii) 1v = v kaikilla v V Tässä V :n alkioita kutsutaan vektoreiksi, R:n alkioita skalaareiksi
5 Huomautus a) laskutoimitukset + ja kuuluvat vektoriavaruuden struktuuriin Tarkkaan ottaen vektoriavaruus ei siis ole pelkkä joukko V vaan kolmikko (V, +, ) b) iii):ssä nollavektori 0 on yksikäsitteinen Jos nimittäin myös z V toteuttaa ehdon v + z = v kaikilla v V, niin z iii = z + 0 ii = 0 + z = 0 34 c) iv):ssä vektorin v vastavektori v on v:n yksikäsitteisesti määräämä Jos nimittäin myös w toteuttaa ehdon v + w = 0, niin w iii = w + 0 iv = w + (v + ( v)) i = (w + v) + ( v) ii = (v + w) + ( v) = 0 + ( v) = ii ( v) + 0 = iii ( v) Esimerkki 3 a) 11:n mukaan sarakevektorien joukko R n = R n 1 (n 1) on vektoriavaruus, laskutoimituksina n 1 -matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen Vastaavasti tulee rivivektorien eli 1 n -matriisien [ x 1 x x n ] (x i R) joukosta R n = R 1 n vektoriavaruus, kun laskutoimituksiksi valitaan 1 n - matriisien yhteenlasku ja skalaarilla kertominen Yleisemmin on kaikkien m n -matriisien joukko R m n (m 1, n 1) matriisien yhteenlaskulla ja skalaarilla kertomisella varustettuna vektoriavaruus Myös R 0 = {0} on vektoriavaruus, kun määritellään = 0 ja a 0 = 0 kaikilla a R b) Olkoon X joukko ja R X = {f f on kuvaus X R} kaikkien X:ssä määriteltyjen reaalifunktioiden joukko Kun f, g R X ja a R, määritellään f + g R X ja af R X (siis f + g ja af ovat kuvauksia X R) asettamalla (f + g)(x) = f(x) + g(x) (af)(x) = a f(x) kaikilla x X, missä yhtälöiden oikealla puolella + ja tarkoittavat R:n laskutoimituksia Tällöin R X :stä tulee vektoriavaruus Todistetaan esimerkiksi aksiooma i): Olkoot f, g, h R X ja x X Tällöin ((f + g) + h)(x) = (f + g)(x) + h(x) = (f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = f(x) + (g + h)(x) = (f + (g + h))(x);
6 koska siis ((f +g)+h)(x) = (f +(g+h))(x) kaikilla x X, on (f +g)+h = f +(g+h) (määritelmän mukaan kaksi kuvausta f 1, f : X R ovat samat täsmälleen silloin, kun f 1 (x) = f (x) kaikilla x X) R X :n nollavektori on nollakuvaus Alkion f R X vasta-alkio on 0 : X R, 0(x) = 0 kaikilla x X f : X R, ( f)(x) = (( 1)f)(x) = ( 1) f(x) = f(x) kaikilla x X (Lisäksi sovitaan, että R = {0} = R 0 ) c) Useat R X :n osajoukot (sopivalla joukolla X) ovat kiintoisia vektoriavaruuksia; ks 3 Esimerkki 4 Kun x, y, a R, määritellään x y = x y, missä on tavallinen erotus, ja a x = a x, missä on tavallinen tulo Mitkä aksioomista i) viii) ovat voimassa (R,, ):ssä? Onko (R,, ) vektoriavaruus? Ratkaisu i) ei ole voimassa; esimerkiksi (0 0) 1 = (0 0) 1 = 1 ja 0 (0 1) = 0 (0 1) = 1, joten (0 0) 1 0 (0 1) Siten (R,, ) ei ole vektoriavaruus ii) ei ole voimassa; esimerkiksi iii) on voimassa; x 0 = x 0 = x x 0) 0 1 = 0 1 = 1 1 = 1 0 = x R (Sen sijaan 0 x = x x, kun iv) on voimassa; x kelpaa x:n vasta-alkioksi, koska x x = x x = 0 x R v) on voimassa; a (x y) = a(x y) = ax ay = (a x) (a y) vi) ei ole voimassa; esimerkiksi (1 + 1) 1 = 1 = ja (1 1) (1 1) = 1 1 = 0, joten (1 + 1) 1 (1 1) (1 1) vii) ja viii) ovat voimassa Olkoon V vektoriavaruus Silloin kahden vektorin v 1 ja v summa on määritelty kaikilla v 1, v V Useamman vektorin summa määritellään rekursiivisesti: kun n ja v 1, v,, v n V, on v 1 + v + + v n = (v v n 1 ) + v n
7 Liitännäisyydestä 1 i) seuraa yleinen liitännäisyys eli sulut voi asettaa mielivaltaisesti Tarkastellaan esimerkkinä tapausta n = 4 Rekursiivisen määritelmän mukaisesti (M) v 1 + v + v 3 + v 4 = ((v 1 + v ) + v 3 ) + v 4 Toisaalta sulut voidaan asettaa myös seuraavilla tavoilla: 1) (v 1 + (v + v 3 )) + v 4 ) (v 1 + v ) + (v 3 + v 4 ) 3) v 1 + (v + (v 3 + v 4 )) 4) v 1 + ((v + v 3 ) + v 4 ) Koska v 1 +(v +v 3 ) = (v 1 +v )+v 3, summa 1) on sama kuin (M) Samalla tavalla päätellään, että summat 3) ja 4) ovat keskenään samat Jos merkitään v = v 1 +v, on ((v 1 + v ) + v 3 ) + v 4 = (v + v 3 ) + v 4 = v + (v 3 + v 4 ) = (v 1 + v ) + (v 3 + v 4 ), joten summa ) on sama kuin (M) Toisaalta, jos merkitään u = v + v 3, on v 1 + ((v + v 3 ) + v 4 ) = v 1 + (u + v 4 ) = (v 1 + u) + v 4 = (v 1 + (v + v 3 )) + v 4, joten summat 4) ja 1) ovat keskenään samat Siis kaikki neljä summaa ovat samat kuin (M) Näin ollen merkinnän v 1 + v + v 3 + v 4 voidaan ajatella tarkoittavan juuri sitä, että sulut voidaan asettaa mielivaltaisesti Liitännäisyydestä 11 i) ja vaihdannaisuudesta 11 ii) seuraa myös yleinen vaihdannaisuus eli yhteenlaskettavien järjestys summassa (M) voidaan valita mielivaltaisesti Osittelulaeista 1 v) ja vi) seuraavat yleiset osittelulait a(v v n ) = av av n (a R, v 1,, v n V ) (a a n )v = a 1 v + + a n v (a 1,, a n R, v V ) Yleisen liitäntälain, vaihdantalain ja yleisten osittelulakien täsmälliset todistukset (induktiolla) sivuutetaan Vektorien v, w V erotus on v w = v + ( w) V Siis z = v w on se yksikäsitteinen V :n vektori, jolla z + w = v Mm seuraavat laskusäännöt seuraavat vektoriavaruuden aksioomista i) viii): Lause 5 Olkoot v, w V, a, b R Silloin a) av = 0 a = 0 tai v = 0; b) ( 1)v = v; c) a(v w) = av aw; d) (a b)v = av bv 36
8 37 Todistus (a) = Koska 0v = (0 + 0)v vi = 0v + 0v, on 0 iv = 0v + ( 0v) = (0v + 0v) + ( 0v) i = 0v + (0v + ( 0v)) iv = 0v + 0 iii = 0v Vastaavasti a0 iii = a(0 + 0) v = a0 + a0, joten 0 = a0 + ( a0) = (a0 + a0) + ( a0) = a0 + (a0 + ( a0)) = a0 + 0 = a0 = Olkoon av = 0 ja a 0 Silloin on olemassa 1/a R, ja v viii = 1v = ( 1 vii a)v = 1 a a (av) = 1 a 0 ed = 0 (b) Koska v + ( 1)v = 1v + ( 1)v = (1 + ( 1))v = 0v a) = 0, on vastavektorin yksikäsitteisyyden nojalla ( 1)v = v (c) a(v w) b) = a(v + ( 1)w) v = av + a(( 1)w) vii = av + (a( 1))w = av + (( 1)a)w vii = av + ( 1)(aw) b) = av + ( aw) = av aw (d) (a b)v = (a+( b))v = av+( b)v = av+(( 1)b)v = av+( 1)(bv) = av bv Tarkastellaan vektoriavaruutta V 3 Aliavaruudet Määritelmä 31 Osajoukko W V on V :n vektorialiavaruus (lyhyesti aliavaruus), jos i) v + w W aina, kun v, w W, ii) av W aina, kun v W ja a R, ja iii) 0 V W (Aksioomissa i) ja ii) + ja ovat V :n laskutoimitukset) Huomautus 3 Olkoon W V aliavaruus 31 i):n ja ii):n nojalla voidaan määritellä v + w W ja av W kaikilla v, w W ja a R käyttäen V :n laskutoimituksia Näin saaduilla laskutoimituksilla varustettuna W on itsekin vektoriavaruus: Laskusäännöt 1 i), ii) ja v) viii) pätevät W :n vektoreille, koska ne pätevät jopa V :n vektoreille; koska v + 0 V = v v W (jopa v V ) ja 0 V W (31 iii), niin 0 V kelpaa W :n nollavektoriksi; vektorin v W vastavektoriksi W :ssä kelpaa sen vastavektori v V :ssä, sillä 31 ii):n nojalla v = ( 1)v W Aliavaruus ajatellaan aina (ellei toisin mainita) varustetuksi tällä ns indusoidulla vektoriavaruuden struktuurilla
9 38 Esimerkki 33 a) W = {[ x 1 x ] T R x 1 + x = 0} on R :n aliavaruus: i) Olkoon x = [ x 1 x ] T W ja y = [ y 1 y ] T W Tällöin x + y = [ x 1 + y 1 x + y ] T Koska on x + y W (x 1 + y 1 ) + (x + y ) = (x 1 + x ) + (y 1 + y ) = = 0, ii) Olkoon x = [ x 1 x ] T W ja a R Tällöin ax = a [ x 1 x ] T = [ ax 1 ax ] T Koska (ax 1 ) + (ax ) = a(x 1 + x ) = a 0 = 0, on ax W iii) 0 R = [ 0 0 ] T W, koska = 0 b) Sen sijaan W = {[ x 1 x ] T R x 1 + x = 1} ei ole R :n aliavaruus, sillä 0 R = [ 0 0 ] T / W (0 + 0 = 0 1), joten 31 iii) ei ole voimassa Myöskään 31 i) ja ii) eivät ole voimassa, sillä esimerkiksi [ 1 0 ] T W ja [ 0 1 ] T W ja R, mutta [ 1 0 ] T + [ 0 1 ] T = [ 1 1 ] T / W (1 + 1 = 1) ja [ 1 0 ] T = [ 0 ] T / W ( + 0 = 1) x x x 1 (0, 1) (1, 0) x 1 W W a) b) c) Tarkastellaan vektoriavaruutta R R, vektoreina kaikki funktiot f : R R Esimerkiksi seuraavat osajoukot ovat R R :n aliavaruuksia: C 0 (R, R) = {f R R f on jatkuva}, C 1 (R, R) = {f R R f on derivoituva ja f on jatkuva}, P = {f R R f on polynomifunktio}, P n = {f P deg(f) n} (n N)
10 (Todistus C 0 (R, R):lle: Differentiaali- ja integraalilaskentalaskenta I1:ssä osoitetaan, että f + g ja af ovat jatkuvia, kun f, g : R R ovat jatkuvia ja a R; lisäksi vakiokuvaus 0 : x 0 on jatkuva) Tässä P 0 P 1 P P C 1 (R, R) C 0 (R, R) R R d) Jokaisella vektoriavaruudella V on (ainakin) triviaalit aliavaruudet {0 V } ja V Lineaarikombinaatiot ja aliavaruuden virittäminen Esimerkki 34 a) Olkoon P R (tai R 3 ), P O (O origo) ja v = OP R Tällöin joukko {tv t R} on O:n ja P :n kautta kulkeva suora v P O tv, (t > 1) 39 b) Olkoot P, Q R 3, ja oletetaan, että O, P ja Q eivät ole samalla suoralla Merkitään v = OP R 3 ja w = OQ R 3 Tällöin joukko {sv + tw s, t R} on pisteiden O, P ja Q kautta kulkeva taso w = OQ tw sv + tw v = OP sv Yleisesti, olkoon V vektoriavaruus ja v 1, v,, v k V vektoreita Vektorit x 1 v 1 + x v + + x k v k V, x 1,, x k R, ovat vektoreiden v 1, v,, v k lineaarikombinaatioita Niiden joukkoa merkitään span(v 1,, v k ) = {x 1 v x k v k x 1,, x k R} V (Sopimus: Tämä on = {0}, jos k = 0, ts (v 1,, v n ) on tyhjä jono ) Lause 35 a) span(v 1,, v k ) on V :n aliavaruus b) v 1,, v k span(v 1,, v k ) c) Jos W V on aliavaruus ja v 1,, v k W, niin span(v 1,, v k ) W (ts W sisältää vektoriensa kaikki lineaarikombinaatiot)
11 Todistus a) Jos v = x 1 v 1 + +x k v k span(v 1,, v k ), w = y 1 v 1 + +y k v k span(v 1,, v k ) ja a R, on v + w = (x 1 + y 1 )v (x k + y k )v k span(v 1,, v k ), av = (ax 1 )v (ax k )v k span(v 1,, v k ) Lisäksi 0 = 0v v k span(v 1,, v k ) b) v j = x 1 v x k v k span(v 1,, v k ), missä x j = 1 ja x i = 0, kun i j c) Olkoon W aliavaruus ja v 1,, v k W Olkoot x 1,, x k R Kohdan 31 ii) nojalla x j v j W kaikilla j {1,,, k}; tämän jälkeen kohdan 31 i) nojalla 40 x 1 v 1 + x v W x 1 v 1 + x v + x 3 v 3 = (x 1 v 1 + x v ) + x 3 v 3 W x 1 v x k v k = (x x k 1 v k 1 ) + x k v k W Siten span(v 1,, v k ) on inkluusion suhteen pienin niistä V :n aliavaruuksista, jotka sisältävät vektorit v 1,, v k, vektorien v 1,, v k virittämä aliavaruus Huomautus 36 Jos myös w 1,, w l V, niin span(v 1,, v k ) span(w 1,, w l ) v j span(w 1,, w l ) j Yleensä tällöin ei päde v j {w 1,, w l } millään j:n arvolla Laskumenetelmä 37 Olkoot a 1, a,, a n R m Tutkittava, onko annettu vektori b = [ b 1 b b m ] T R m esitettävissä vektorien a 1, a,, a n lineaarikombinaationa, ts onko b span(a 1,, a n ) Ratkaisu Olkoon a j = [ a 1j a j a mj ] T (j = 1,, n) ja A = [ a ij ] R m n ; siis A on m n -matriisi, jonka sarakkeet ovat a 1, a,, a n Nyt b span(a 1,, a n ) x 1 a 1 + x a + + x n a n = b joillakin x 1, x,, x n R, ja x 1 a 1 + x a + + x n a n = x 1 a 11 a 1 + x a 1 a + + x n a 1n a n = Ax, a m1 a m a mn
12 missä x = [ x 1 x x n ] T R n Siispä b span(a 1,, a n ) lineaarisella yhtälöryhmällä Ax = b, eli a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b a m1 x 1 + a m x + + a mn x n = b m, on ratkaisuja x = [ x 1 x n ] T R n Esimerkki 38 a) Olkoon a 1 = [ 1 1 ] T R 3, a = [ 1 0 ] T R 3, a 3 = [ ] T R 3 ja b = [ 1 5 ] T R 3 Onko b span(a 1, a, a 3 )? Ratkaisu Kuten 37:ssä todettiin, b span(a 1, a, a 3 ) x 1 a 1 +x a +x 3 a 3 = b joillakin x 1, x, x 3 R x = [ x 1 x x 3 ] T R 3 toteuttaa yhtälöryhmän Ax = b, jonka täydennetty matriisi muunnetaan porrasmuotoon seuraavasti: Yhtälöryhmän Ax = b ratkaisu on siis x 3 = 1, x = 3+x 3 =, x 1 = x x 3 = 1, joten b = a 1 + a a 3 span(a 1, a, a 3 ) b) Olkoon a 1 = [ 1 1 ] T R 3, a = [ 1 0 ] T R 3 ja b = [ b 1 b b 3 ] T R 3 Millä ehdolla on b span(a 1, a )? Ratkaisu Ehtoa b span(a 1, a ) vastaavan lineaarisen yhtälöryhmän täydennetty matriisi muuntuu porrasmuotoon seuraavasti: b 1 b b b 1 b 3 b 1 b 4b 1 + b 3 41 Siispä b span(a 1, a ) on ratkaisuja b 4b 1 + b 3 = 0
13 4 Matriisiin liittyviä avaruuksia Olkoon A = [ a ij ] R m n m n -matriisi A:n nolla-avaruus on Null(A) = {x R n Ax = 0} R n ; siis Null(A) on homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 eli ratkaisujen x = [ x 1 x n ] T joukko a 11 x a 1n x n = 0 a 1 x a n x n = 0 a m1 x a mn x n = 0 Lause 39 Null(A) on R n :n aliavaruus Todistus Käytetään matriisitulon ominaisuuksia (131): i) Olkoot x, y Null(A) Tällöin A(x + y) = Ax + Ay = = 0, joten x + y Null(A) ii) Olkoon x Null(A) ja c R Tällöin A(cx) = c(ax) = c 0 = 0, joten cx Null(A) iii) A0 = 0, joten 0 Null(A) Tarkastellaan yo matriisin A = [ a ij ] R m n sarakkeita a j = [ a 1j a j a mj ] T R m (j = 1,,, n) ja rivejä a i = [ a i1 a i a in ] R n (i = 1,,, m) A:n sarakeavaruus Col(A) ja riviavaruus Row(A) ( sarake = column, rivi = row ) ovat Col(A) = span(a 1, a,, a n ) R m, Row(A) = span(a 1, a,, a n ) R n Siis Col(A) on R m :n aliavaruus ja Row(A) on R n :n aliavaruus Lause 310 Jos m n -matriisit A ja B ovat riviekvivalentit, niin a) Null(A) = Null(B), b) Row(A) = Row(B)
14 Todistus a) Koska täydennetty matriisi [ A 0 ] on riviekvivalentti täydennetyn matriisin [ B 0 ] kanssa, ovat lauseen 157 nojalla yhtälöryhmät Ax = 0 ja Bx = 0 ekvivalentit Täten niillä on sama ratkaisujoukko eli Null(A) = Null(B) b) Erikoistapaus : B on saatu A:sta yhdellä alkeisrivitoimituksella, joka on tyyppiä I, II tai III Käsitellään tyyppi III, joka on vaikein III r s, c R, b s = a s + ca r ja b i = a i i s Tällöin b i span(a 1,, a m ) = Row(A) i, 43 joten Row(B) = span(b 1,, b m ) Row(A) Toisaalta, koska a s = b s cb r ja a i = b i i s, on a i span(b 1,, b m ) = Row(B) i, joten Row(A) = span(a 1,, a m ) Row(B) Yleinen tapaus : On olemassa jono A = A 0, A 1,, A k = B, missä A l+1 on saatu A l :stä yhdellä alkeisrivitoimituksella (l = 0,, k 1) Yllä olevan erikoistapauksen nojalla on Row(A) = Row(A 0 ) = Row(A 1 ) = = Row(A k ) = Row(B) Huomautus 311 Jos A ja B riviekvivalentteja, niin yleensä Col(A) Col(B) Esimerkki A = = B, 0 0 joten A ja B ovat riviekvivalentit Koska [ ] T Col(A), mutta [ ] T / Col(B) = {[ x 1 x 0 ] T x 1, x R}, on Col(A) Col(B) Avaruuksia Null(A), Col(A) ja Row(A) analysoidaan yksityiskohtaisesti jatkossa
15 44 Suorat ja tasot Olkoot P, Q R, P Q Merkitään OP = p = [ p 1 p ] T ja P Q = v = [ v 1 v ] T [ 0 0 ] T Tällöin v = OQ, missä Q = Q P R P p O Q v v Q X x l span(v) Kohdan 34 a) nojalla span(v) on O:n ja Q :n kautta kulkeva suora Olkoon l P :n ja Q:n kautta kulkeva suora, X R ja OX = x = [ x 1 x ] T Tällöin X l x = p + tv jollakin t R, joten l = {p + tv t R}, ja l:n parametrimuotoinen yhtälö on x = p + tv, t R, eli l : { x1 = p 1 + tv 1 x = p + tv, t R (Sanotaan myös, että l kulkee P :n kautta ja on v:n suuntainen) Jos erityisesti v 1 0, on t = 1 v 1 (x 1 p 1 ) ja saadaan yhtälö x = p + tv = p + v v 1 (x 1 p 1 ) = v v 1 x 1 + (p v v 1 p 1 ) Jos P, Q R 3, P Q, ja OP = p = [ p 1 p p 3 ] T, P Q = v = [ v 1 v v 3 ] T [ ] T, niin vastaavasti P :n ja Q:n kautta kulkevan R 3 :n suoran parametrimuotoinen yhtälö on x = p + tv, t R, eli x 1 = p 1 + tv 1 l : x = p + tv, t R x 3 = p 3 + tv 3 Esimerkki 313 Olkoon P = (, 3, 4) R 3 ja Q = (3,, 5) R 3, jolloin p = [ 3 4 ] T ja v = [ 3 ( ) 3 5 ( 4) ] T = [ ] T P :n ja Q:n kautta kulkevan R 3 :n suoran l parametrimuotoinen yhtälö on x 1 = + t l : x = 3 5t, t R x 3 = 4 + 9t
16 45 Oletetaan, että piseet P, Q, R R 3 eivät ole samalla suoralla Merkitään OP = p = [ p 1 p p 3 ] T, P Q = v = [ v 1 v v 3 ] T ja P R = w = [ w 1 w w 3 ] T Tällöin v w (vektorit eivät ole yhdensuuntaiset) X x P w p R v Q T O w v span(v, w) Kohdan 34 b) nojalla span(v, w) = {sv + tw s, t R} on pisteiden O, Q ja R (Q = Q P, R = R P ) kautta kulkeva taso Olkoon T pisteiden P, Q ja R kautta kulkeva R 3 :n taso, X R 3 ja OX = x = [ x 1 x x 3 ] T Tällöin X T x = p + sv + tw joillakin s, t R; siis T = {p + sv + tw s, t R}, ja T :n parametrimuotoinen yhtälö on x = p + sv + tw, s, t R, eli x 1 = p 1 + sv 1 + tw 1 T : x = p + sv + tw, s, t R x 3 = p 3 + sv 3 + tw 3 Esimerkki 315 Olkoon P = (,, 1), Q = ( 1, 0, 3) ja R = (5, 3, 4), jolloin p = [ 1 ] T, v = [ 3 ] T ja w = [ ] T P :n, Q:n ja R:n kautta kulkevan R 3 :n tason T parametrimuotoinen yhtälö on siis x 1 = 3s + 3t T : x = + s t, s, t R x 3 = 1 + s + 3t Huomautus 315 Suora tai taso on (vektori-) aliavaruus vain, jos se kulkee origon kautta Sen sijaan suora tai taso on aina ns affiini aliavaruus, so muotoa p + W = {p + u u W }, missä W on vektorialiavaruus ja p kiinteä vektori Huomaa, että tässä vektori p ei ole yksikäsitteisesti määrätty; itse asiassa p + W = p + W p p W Tällä kurssilla aina aliavaruus on vektorialiavaruus
17 4 Lineaarinen riippumattomuus Olkoon V vektoriavaruus ja v 1, v,, v k V vektoreita Määritelmä 41 Jono (v 1,, v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos yhtälö x 1 v x k v k = 0, x 1,, x k R, toteutuu vain, kun x 1 = = x k = 0 Tällöin sanotaan myös, että vektorit v 1,, v k ovat lineaarisesti riippumattomat Muussa tapauksessa jono (v 1,, v k ) on sidottu eli lineaarisesti riippuva (Sopimus: Tyhjä jono (tapaus k = 0) on vapaa) Määritelmän mukaan (v 1,, v k ) on sidottu löytyy sellaiset luvut x 1,, x k, että ainakin yksi x j 0 ja x 1 v x k v k = 0 Vapaus on siis (järjestetylle) vektorijonolle määritelty ominaisuus Koska V :n yhteenlasku on vaihdannainen, jonon vapaus ei kuitenkaan riipu vektoreiden järjestyksestä: Jos (v 1,, v k ) on vapaa (vastaavasti sidottu) ja {w 1,, w k } = {v 1,, v k } (samat vektorit eri järjestyksessä), niin (w 1,, w k ) on vapaa (vastaavasti sidottu) Huomautus 4 Olkoot a 1, a,, a n R m sarakevektoreita ja olkoon A = [ a 1 a a n ] R m n se m n -matriisi, jonka sarakkeet ovat a 1,, a n Tällöin jono (a 1,, a n ) on vapaa, jos ja vain jos vektoriyhtälöllä x 1 a x n a n = 0 eli homogeenisella yhtälöryhmällä Ax = 0 on vain triviaali ratkaisu x = [ x 1 x n ] T = 0 Esimerkki 43 a 1 = [ ] T R 4, a = [ ] T R 4 ja a 3 = [ ] T R 4 Tutkitaan yhtälöä x 1 a 1 + x a + x 3 a 3 = 0: x 1 + x 3 = (1) () x + x 3 = x 3 = 0 x 1 = x = x 3 = 0 (a 1, a, a 3 ) on vapaa (Selitykset : 1) Riviin 3 lisätään ( 1) rivi 1, riviin 4 lisätään ( ) rivi 1 ) Riviin 3 lisätään ( 1) rivi, riviin 4 lisätään ( ) rivi ) Esimerkki 44 Olkoot v, w V a) (v) on vapaa v 0 Todistus : = Jos v = 0, on 1 v = 0; koska 1 0, on (v) sidottu = Olkoon v 0 Jos xv = 0, niin 5 a):n nojalla x = 0; siis (v) on vapaa 46
18 b) (v, w) on sidottu w = av jollakin a R tai v = bw jollakin b R Todistus : = Jos (v, w) on sidottu, on xv + yw = 0 eräillä x, y R, missä x 0 tai y 0 Jos y 0, on w = (x/y)v, ja jos x 0, on v = (y/x)w = Jos w = av, niin av + ( 1)w = 0, joten (v, w) on sidottu Jos taas v = bw, niin 1 v + ( b)w = 0, joten nytkin (v, w) on sidottu Jos (v, w) on sidottu (ks 44 b), sanotaan, että vektorit v ja w ovat yhdensuuntaiset, ja merkitään v w Lemma 45 Jos (v 1,, v k ) on vapaa, niin jokainen osajono (v j1,, v jl ), 1 j 1 < j < < j l k, on myös vapaa Todistus Olkoon x j1 v j1 + + x jl v jl = 0, x j1,, x jl R Merkitään x j = 0, kun j {1,,, k} \ {j 1, j,, j l } Tällöin x 1 v 1 + x v + + x k v k = 0 (summaan x j1 v j1 + + x jl v jl on lisätty yhteenlaskettavat x j v j = 0v j = 0, j {1,,, k} \ {j 1, j,, j l }) Koska (v 1, v,, v k ) on vapaa, on x 1 = x = = x k = 0, joten erityisesti x j1 = x j = = x jl = 0 Seuraus 46 Vapaassa jonossa (v 1,, v k ) on v j 0 j, ja v i v j aina kun i j; erityisesti v 1,, v k ovat kaikki eri vektoreita 47 Todistus Väite seuraa välittömästi esimerkistä 44 ja lemmasta 45 Lemma 47 Olkoon jono (v 1,, v k ) vapaa V :ssä ja w V Silloin (v 1,, v k, w) on vapaa w / span(v 1,, v k ) Todistus = Olkoon w span(v 1,, v k ) Tällöin w = x 1 v x k v k eräillä x 1,, x k R, joten x 1 v x k v k + ( 1)w = 0 Tässä esiintyvistä skalaarikertoimista ainakin 1 0, joten (v 1,, v k, w) on sidottu = Oletetaan, että w / span(v 1,, v k ) Olkoot x 1,, x k, y R sellaisia, että x 1 v x k v k + yw = 0 Silloin täytyy olla y = 0; jos nimittäin olisi y 0, niin w = (x 1 /y)v 1 + (x k /y)v k span(v 1,, v k ) vastoin oletusta Siis x 1 v 1 + +x k v k = 0; koska (v 1,, v k ) on vapaa, on x 1 = = x k = 0 Näin ollen (v 1,, v k, w) on vapaa Lemma 48 Jos w 1,, w l span(v 1,, v k ) ja l > k, jono (w 1,, w l ) on sidottu Todistus Oletuksen mukaan on olemassa sellainen matriisi A = [ a ij ] R k l, että w j = k a ij v i, j = 1,, l i=1
19 Homogeenisessa yhtälöryhmässä Ax = 0, x = [ x 1,, x l ] T, on k yhtälöä ja l tuntematonta; koska k < l, on yhtälöryhmällä lauseen 151 nojalla epätriviaaleja ratkaisuja Siten voidaan valita x = [ x 1,, x l ] T 0 niin, että Ax = 0 eli l a ij x j = 0, i = 1,, k Tästä seuraa, että l x j w j = j=1 j=1 ( l k ) x j a ij v i = j=1 i=1 k i=1 l a ij x j v i = j=1 ja ainakin yksi x j 0 Siispä (w 1,, w l ) on sidottu Olkoon V vektoriavaruus 5 Kanta ja dimensio k 0 v i = 0, Määritelmä 51 Jono (v 1, v,, v k ) V :n vektoreita on V :n kanta, jos i) (v 1,, v k ) on vapaa, ja ii) (v 1,, v k ) virittää V :n ts V = span(v 1,, v k ) (Erikoistapaus k = 0: Tyhjä jono on avaruuden {0} kanta) Lause 5 Olkoon (v 1,, v k ) jono V :n vektoreita Tällöin (v 1,, v k ) on V :n kanta jokaisella v V on yksikäsitteinen esitys v = x 1 v x k v k, missä x 1,, x k R Todistus = Olkoon v V Koska V = span(v 1,, v k ), on v = x 1 v x k v k eräillä x 1,, x k R Esityksen yksikäsitteisyys: Olkoon myös v = y 1 v y k v k, y 1,, y k R Tällöin 0 = v v = (x 1 v 1 + +x k v k ) (y 1 v 1 + +y k v k ) = (x 1 y 1 )v 1 + +(x k y k )v k ; koska (v 1,, v k ) on vapaa, on x 1 y 1 = 0,, x k y k = 0, joten x 1 = y 1,, x k = y k = Jos jokaisella v V on esitys v = x 1 v x k v k, niin V = span(v 1,, v k ) Vapaus: Olkoot x 1,, x k R sellaisia, että x 1 v x k v k = 0 Koska myös 0 = 0v v k, on 0:n esityksen yksikäsitteisyyden nojalla x 1 = 0,, x k = 0 Jos S = (v 1,, v k ) on V :n kanta, v V ja v = x 1 v x k v k, missä x 1,, x k R, kutsutaan sarakevektoria [v] S = [ x 1 x x k ] T R k V :n vektorin v koordinaattivektoriksi kannan S suhteen i=1 48
20 Esimerkki 53 a) Olkoon n 1 Määritellään e 1 = [ ] T R n, e = [ ] T R n,, e n = [ ] T R n Tällöin (e 1, e,, e n ) on R n :n (ns luonnollinen) kanta Todistus Viritys : Kun x = [ x 1 x n ] T R n, on x 1 x 1 0 x 0 x x = x 3 = x n 0 0 siten R n = span(e 1,, e n ) x n = x 1e 1 + x e + + x n e n ; Vapaus : 0 = x 1 e x n e n = [ x 1 x n ] T = x 1 = = x n = 0 Tapauksessa n = on perinteisesti käytetty merkintöjä e 1 = i, e = j, ja tapauksessa n = 3 merkintöjä e 1 = i, e = j, e 3 = k b) Samoin (e T 1, et,, et n ) on R n:n (luonnollinen) kanta (e T 1 = [ ] jne) c) Jono (1, t, t,, t n ), missä t j tarkoittaa polynomifunktiota t t j, on P n :n kanta, sillä f P n f : R R on polynomifunktio, deg(f) n on olemassa yksikäsitteiset kertoimet a 0, a 1,, a n R, joilla f(t) = a 0 + a 1 t + a t + + a n t n t R d) a):sta seuraa, että (e 1, e ) = ([ 1 0 ] T, [ 0 1 ] T ) on R :n kanta Merkitään v 1 = [ 1 1 ] T R, v = [ 1 1 ] T R Väitämme, että myös (v 1, v ) on R :n kanta x e v 1 49 e 1 x 1 v Todistus Vapaus: x 1 v 1 + x v = 0 = x 1 + x = x 1 x = 0 = x 1 = x = 0 [ ] [ ] 1 1 Viritys: e 1 = = 1 1 v v ja e = 1 v 1 1 v = R = span(e 1, e ) span(v 1, v ) R = R = span(v 1, v ) Esimerkistä 53 d) nähdään, että samalla vektoriavaruudella voi olla useita kantoja Kuitenkin pätee:
21 Lause 54 Jos vektoriavaruudella V on kannat (v 1,, v k ) ja (v 1,, v l ), niin k = l; siis jokaisessa V :n kannassa on yhtä monta vektoria Todistus Koska (v 1,, v l ) on V :n kanta, se on vapaa, ja koska (v 1,, v k ) on V :n kanta, se virittää V :n Näin ollen v 1,, v l span(v 1,, v k ) Tästä seuraa, että täytyy olla l k; jos nimittäin olisi l > k, niin lemman 48 nojalla (v 1,, v l ) olisi sidottu Vastaavasti todetaan, että k l Määritelmä 55 Jos V :llä on kanta (v 1,, v k ), niin k = dim(v ) N on V :n dimensio (Erityisesti dim{0} = 0) Esimerkki 56 a) Esimerkin 53 nojalla dim(r n ) = dim(r n ) = n; dim(p n ) = n + 1 b) dim(r m n ) = mn, sillä matriisit I rs jossakin järjestyksessä (r = 1,, m, s = 1,, n; vrt sivu 3) muodostavat R m n :n kannan Emme tiedä vielä, millä avaruuksilla on (äärellinen) kanta (ja siis dimensio) Määritelmä 57 Vektoriavaruus V on äärellisulotteinen, jos se on äärellisen monen vektorinsa virittämä, ts V = span(v 1,, v k ) joillakin v 1,, v k V Esimerkki 58 a) R n, R n, R m n ja P n ovat äärellisulotteisia b) Kaikkien polynomien avaruus P ei ole äärellisulotteinen Jos nimittäin olisi P = span(f 1,, f k ), niin kaikilla f P olisi deg(f) d <, missä d = max {deg(f 1 ),, deg(f k )} Lause 59 Vektoriavaruudella V ovat seuraavat ehdot yhtäpitävät: i) V on äärellisulotteinen ii) V :n vapaiden jonojen pituudet muodostavat ylhäältä rajoitetun joukon iii) V :llä on (äärellinen) kanta Todistus i) = ii) Olkoon V = span(v 1,, v k ) Silloin jokaisella V :n vapaalla jonolla (w 1,, w l ) on lemman 48 nojalla l k; siis k on vapaiden jonojen pituuksien joukon yläraja ii) = iii) Ehdon ii) mukaan V :n vapaiden jonojen pituudet muodostavat ylhäältä rajoitetun epätyhjän joukon luonnollisia lukuja (joukossa on alkiona ainakin tyhjän jonon pituus 0) Tässä joukossa on suurin alkio m Nyt siis m on erään vapaan jonon S = (u 1,, u m ) pituus, ja mikään (m + 1)-alkioinen jono ei ole vapaa Tästä seuraa, että vapaa jono S myös virittää koko V :n; jos nimittäin olisi olemassa vektori w V \ span(u 1,, u m ), niin lemman 47 mukaan (u 1,, u m, w) olisi (m + 1)-alkioinen vapaa jono Siis S on V :n kanta iii) = i) on triviaali 50
22 Jokaisella äärellisulotteisella vektoriavaruudella V on siis kanta, joten myös dimensio dim(v ) on määritelty Päättelemällä samaan tapaan kuin 59:n todistuksen osassa ii) = iii) saadaan seuraava tarkempi tulos: Lause 510 Olkoon (u 1,, u p ) avaruuden V vapaa jono, ja olkoot v 1,, v k V sellaisia vektoreita, että jono (u 1,, u p, v 1,, v k ) virittää V :n Tällöin on olemassa (v 1,, v k ):n osajono (v j1,, v jr ) (1 j 1 < < j r k), jolla jono (u 1,, u p, v j1,, v jr ) on V :n kanta Todistus Tarkastellaan jonon (v 1,, v k ) kaikkia osajonoja (v j1,, v jr ), joilla jono (u 1,, u p, v j1,, v jr ) on vapaa; ainakin tyhjä osajono on tällainen Valitaan mahdollisimman pitkä tällainen osajono (v j1,, v jr ) Nyt siis jono (u 1,, u p, v j1,, v jr ) on vapaa, ja riittää osoittaa, että sen virittämä aliavaruus W on koko V (silloin ko (p + r)-alkioinen jono on V :n kanta) Vastaoletus: W V Tällöin jollakin j {1,, k} täytyy olla v j / W ; jos nimittäin olisi v j W kaikilla j {1,, k}, niin V = span(u 1,, u p, v 1,, v k ) W, mistä seuraisi W = V vastoin vastaoletusta Lisäämällä vektori v j osajonoon (v j1,, v jr ) (sopivaan kohtaan) saadaan (r + 1)-alkioinen (v 1,, v k ):n osajono, ja lemman 47 nojalla vastaava (p + r + 1)-alkioinen jono on myös vapaa Tämä on mahdotonta, koska osajono (v j1,, v jr ) valittiin jo alun perin mahdollisimman pitkäksi Seuraus 511 Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus a) V :n vapaa jono (u 1,, u p ) voidaan sopivilla vektoreilla w 1,, w r V täydentää V :n kannaksi (u 1,, u p, w 1,, w r ) b) V :n jokaisen virittäjäjonon (v 1,, v k ) jokin osajono on V :n kanta Todistus a) Valitaan lauseessa 510 jonoksi (v 1,, v k ) mikä tahansa V :n virittäjäjono; sellaisia on olemassa, koska V on äärellisulotteinen b) Valitaan lauseessa 510 jonoksi (u 1,, u p ) tyhjä jono Lause 51 Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus ja W V aliavaruus Tällöin W on myös äärellisulotteinen, ja dim(w ) dim(v ) Jos W V, niin dim(w ) < dim(v ) Todistus Koska jokainen W :n vapaa jono on vapaa myös avaruudessa V, toteuttaa W ehdon 59 ii) (koska V toteuttaa sen), ja on siis äärellisulotteinen 59 iii):n nojalla W :lla on kanta (u 1,, u p ), ja 511 a):n mukaan tämä V :n vapaa jono voidaan täydentää V :n kannaksi (u 1,, u p, w 1,, w r ) Siten dim(w ) = p p + r = dim(v ) Jos W V, uusia kantavektoreita w 1,, w r tarvitaan ainakin yksi; siis tällöin r 1 ja dim(w ) < dim(v ) 51
23 5 Esimerkki 513 Olkoon W R n aliavaruus ja {0} W R n Tällöin dim(w ) {1,,, n 1} Jos n =, W on origon kautta kulkeva suora (dim(w ) = 1) ja jos n = 3, W on origon kautta kulkeva suora (dim(w ) = 1) tai taso (dim(w ) = ) Lause 514 Olkoon dim(v ) = n ja v 1,, v k V a) Jos (v 1,, v k ) on vapaa, niin k n; tällöin k = n (v 1,, v k ) on V :n kanta b) Jos span(v 1,, v k ) = V, niin k n; tällöin k = n (v 1,, v k ) on V :n kanta Todistus a) Olkoon (v 1,, v k ) vapaa Jos (v 1,, v k ) on V :n kanta, niin lauseen 54 mukaan k = n Jos (v 1,, v k ) ei ole kanta, niin span(v 1,, v k ) V, jolloin lauseen 51 mukaan k = dim span(v 1,, v k ) < dim(v ) = n b) Olkoon span(v 1,, v k ) = V Taas k = n, jos (v 1,, v k ) on V :n kanta Jos (v 1,, v k ) ei ole kanta, niin seurauksen 511b) mukaan eräs aito osajono (v j1,, v jr ) on kanta; siis r < k ja n = dim(v ) = r < k Erityisesti R n :ssä jokainen n:n vektorin pituinen vapaa jono on kanta, samoin jokainen n:n vektorin pituinen virittävä jono 6 Menetelmiä kannan etsimiseksi Tulosten 59 iii) ja 511 todistukset eivät valitettavasti anna mitään konkreettisia laskumenetelmiä kantojen etsimiseksi, eikä tällaisia menetelmiä yleiselle vektoriavaruudelle V tietenkään voikaan olla olemassa Kehitämme seuraavassa laskumenetelmiä, jotka toimivat eräillä koordinaattiavaruuksien R n aliavaruuksilla V Sarake- ja riviavaruuden kanta Olkoon A R m n m n -matriisi, jonka sarakkeet ovat a 1,, a n R m ja rivit a 1,, a m R n Tutkitaan avaruuksia Col(A) = span(a 1,, a n ) R m ja Row(A) = span(a 1,, a m ) R n Muunnetaan A alkeisrivitoimituksilla porrasmatriisiksi B Olkoot B:n sarakkeet b 1,, b n R m ja B:n rivit b 1,, b m R n Olkoot B:n johtavat alkiot kohdissa (1, j 1 ),, (r, j r ) Silloin erityisesti b i 0, kun 1 i r, ja b i = 0, kun r < i m Laskumenetelmä 61 (a j1,, a jr ) on Col(A):n kanta Todistus Vapaus : Olkoot x j1,, x jr R sellaisia, että x j1 a j1 + +x jr a jr = 0 Merkitään x j = 0, kun j {1,,, n} \ {j 1,, j r }, ja x = [ x 1 x x n ] T
24 Silloin x 1 a x n a n = 0 eli Ax = 0 Koska A ja B ovat riviekvivalentit, myös Bx = 0 (yhtälöryhmillä on samat ratkaisut) Näin ollen x 1 b x n b n = 0 ja edelleen x j1 b j1 + + x jr b jr = 0 (koska muut x j :t valittiin nolliksi) Tällöin vastaavan yhtälöryhmän yhtälö r = x jr = 0; sen jälkeen yhtälö r 1 = x jr 1 = 0,, yhtälö 1 = x j1 = 0 Viritys : Riittää osoittaa, että a j span(a j1,, a jr ) myös, kun j {1,, n} \ {j 1,, j r } Olkoon siis j 0 {1,, n} \ {j 1,, j r } Tarkastellaan yhtälöryhmää Bx = 0, jonka ratkaisut saadaan 158 a):sta Annetaan vapaille muuttujille seuraavat arvot: x j0 = 1; x j = 0, kun j {1,, n} \ {j 0, j 1,, j r } 53 Olkoon x = s = [ s 1 s s n ] T vastaava yhtälöryhmän Bx = 0 ratkaisu Koska yhtälöryhmät Bx = 0 ja Ax = 0 ovat ekvivalentit, on x = s myös yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisu, ts As = 0 eli s 1 a 1 + s a + + s n a n = 0 Tästä saadaan s j1 a j1 + + s jr a jr + 1 a j0 = 0 (muut s j :t = 0), joten a j0 span(a j1,, a jr ) Menetelmässä 61 sarakeavaruuden kantavektoreiksi poimitaan siis alkuperäisestä matriisista A porrasmatriisin B johtavien alkioiden sarakkeita vastaavat sarakevektorit Laskumenetelmä 6 (b 1,, b r ) on Row(A):n kanta Todistus Lauseen 310 b) mukaan on Row(A) = Row(B) = span(b 1,, b m ) = span(b 1,, b r, 0,, 0) = span(b 1,, b r ) Jää siis osoitettavaksi, että (b 1,, b r ) on vapaa Olkoon x 1 b x r b r = 0, x 1,, x r R Tämä lineaarikombinaatio on rivivektori, jonka j 1 -komponentti on = x 1 ; koska lineaarikombinaatio = 0, on siis erityisesti x 1 = 0 Tutkimalla tämän jälkeen lineaarikobinaation j -,, j r - komponentteja (tässä järjestyksessä) nähdään edelleen, että x = 0,, x r = 0 Menetelmässä 6 riviavaruuden kantavektorit ovat siis porrasmatriisin B nollasta eroavat rivit Seuraus 63 dim Col(A) = dim Row(A) (= r)
25 54 Esimerkki A = = B Menetelmän 61 mukaan eräs Col(A):n kanta koostuu vektoreista [ 0 0 ] T, [ 0 0 ] T, [ ] T Menetelmän 6 mukaan eräs Row(A):n kanta koostuu vektoreista [ ], [ ], [ ] Huomautus 65 Olkoon annettu sarakevektorit v 1,, v n R m Aliavaruudelle V = span(v 1,, v n ) R m voidaan etsiä kanta kahdella eri menetelmällä (tuloksena yleensä eri kantaa): a) Muodostetaan matriisi A R m n, jonka sarakkeet ovat v 1,, v n ja etsitään kanta avaruudelle V = Col(A) kuten 61:ssa b) Muodostetaan matriisi C R n m, jonka rivit ovat v T 1,, v T n (siis C = A T, missä A on kuten a):ssa), ja etsitään Row(C):lle kanta (b 1,, b r ) menetelmällä 6; tällöin selvästi ((b 1 ) T,, (b r ) T ) on avaruuden Col(C T ) = Col(A) = V kanta Esimerkki 66 Olkoon v 1 = [ 1 3 ] T, v = [ 3 5 ] T, v 3 = [ ] T ja V = span(v 1, v, v 3 ) Etsitään V :lle kanta kummallakin 65 mainitulla strategialla: (a) Siis r =, ja saadaan V :n kanta (v 1, v ) (b) Saadaan siis V :n kanta ([ 1 3 ] T, [ ] T ) (v 1, v )
26 Huomautus 67 Menetelmän 61 antamalla avaruuden Col(A) = span(a 1,, a n ) kannalla (a j1,, a jr ) on seuraava ominaisuus: Kun s r, on (a j1,, a js ) avaruuden span(a 1, a, a js ) kanta (tarkastellaan vain sarakkeita 1,,, j s ) Jos erityisesti jonon alkupää (a 1,, a k ) (k n) on valmiiksi vapaa, niin a jl = a l arvoilla l = 1,,, k Vastaava pätee 65 a):ssa Esimerkki 68 R m :n vapaa jono (v 1,, v k ) (k < m) voidaan käytännössä täydentää R m :n kannaksi soveltamalla menetelmää 61 matriisiin A R m (k+m), jonka sarakkeet ovat v 1,, v k, e 1,, e m (silloin Col(A) = R m ) Nolla-avaruuden kanta Olkoon A m n -matriisi Palautetaan mieleen A:n nolla-avaruus Null(A) = {x R n Ax = 0}, ts homogeenisen yhtälöryhmän Ax = 0 ratkaisujoukko Lauseen 39 nojalla Null(A) on R n :n aliavaruus Ratkaistaan yhtälöryhmä Ax = 0 Gaussin (tai Gaussin-Jordanin) eliminointimenetelmällä, ts muunnetaan A alkeisrivitoimituksilla porrasmatriisiksi C, jolloin lauseen 310 a) nojalla Null(A) = Null(C) Olkoot C:n johtavat alkiot kohdissa (1, j 1 ), (, j ),, (r, j r ) (1 j 1 < j < < j r n) Merkitään {1,,, n} \ {j 1, j,, j r } = {k 1, k,, k n r }, missä 1 k 1 < k < < k n r n Null(C):n alkiot saadaan 158 a):sta: 1) Jos r = n (eli n r = 0), vapaita muuttujia ei ole, joten Null(C) = {0} ja dim Null(C) = 0 ) Olkoon r < n (eli n r > 0) Jokaista (parametri-) jonoa (s 1, s,, s n r ) vastaa yksikäsitteinen x = [ x 1 x x n ] T Null(C) niin, että ja x k1 = s 1, x k = s,, x kn r = s n r (vapaat muuttujat) x jh = d h1 s 1 + d h s + + d h,n r s n r (h = 1,,, r) eräillä d hl R Tällöin yleinen ratkaisu x on x = s 1 u 1 + s u + + s n r u n r span(u 1, u,, u n r ), 55
27 p missä u p Null(C) vastaa parametrijonoa (0,, 0, 1, 0, 0) (siis s p = 1 ja s j = 0, kun j p), ts u p :n k p -koordinaatti = 1 k q -koordinaatti = 0, j h -koordinaatti = d hp kun q p Lisäksi jono (u 1,, u n r ) on vapaa, sillä lineaarikombinaation t 1 u 1 +t u + + t n r u n r k p -koordinaatti = t p = 0, jos lineaarikombinaatio = 0 On siis johdettu Lause (ja laskumenetelmä) 69 dim Null(A) = n r Jos n r > 0, on (u 1, u,, u n r ) Null(A):n (eräs) kanta Huomautus 610 Käytännössä vektorit u 1,, u n r löytyvät automaattisesti, kun muodostetaan yhtälöryhmän Ax = 0 yleinen ratkaisu Esimerkki A = (Selitykset : 1) Riviin 4 lisätään ( 1) rivi 1, riviin 5 lisätään ( ) rivi 1 ) Riviin 4 lisätään rivi, riviin 5 lisätään rivi 3) Riviin 4 lisätään ( 1) rivi 3, riviin 5 lisätään rivi 3) Havaitaan, että x 3 ja x 5 ovat vapaat muuttujat Merkitään x 3 = s 1 R ja x 5 = s R Nyt x Null(A) x 1 = x 4x 3 x 4 x 5 = s 1 s x = x 3 x 4 x 5 = s 1 + s x 3 = s 1 x 4 = x 5 = s x 5 = s 56
28 57 eli s 1 s 1 s 1 + s 1 x = s 1 = s 1 1 +s 0, s 0 s 1, s R s 0 }{{} u 1 1 }{{} u Siis (u 1, u ) on eräs Null(A):n kanta ja dim Null(A) = 7 Matriisin aste Olkoon A m n -matriisi Seurauksen 63 nojalla dim Col(A) = dim Row(A) = r, missä r on A:n kanssa riviekvivalentin porrasmatriisin nollasta eroavien rivien lukumäärä Määritelmä 71 Matriisin A aste on rank(a) = dim Col(A) = dim Row(A) Erityisesti 0 rank(a) min {m, n} Lauseen 69 mukaan yo merkinnöillä on dim Null(A) = n r Siispä Lause 7 rank(a) + dim Null(A) = n Aste rank(a) voidaan siis määrittää (ainakin) kolmella vaihtoehtoisella tavalla: (1) etsitään Col(A):lle kanta (61), tai () etsitään Row(A):lle kanta (6), tai (3) etsitään Null(A):lle kanta (69); rank(a) = n dim Null(A) Seuraus 73 Homogeenisella yhtälöryhmällä Ax = 0 on epätriviaaleja ratkaisuja rank(a) < n Todistus Epätriviaaleja ratkaisuja on olemassa Null(A) {0} dim Null(A) > 0 rank(a) = n dim Null(A) < n Neliömatriisille pätee
29 Lause 74 Olkoon A n n -matriisi Silloin rank(a) n Lisäksi rank(a) = n A on säännöllinen Todistus Kuten todettiin, rank(a) min {n, n} = n Edelleen A on säännöllinen 165 homogeenisella yhtälöryhmällä Ax = 0 on vain triviaali ratkaisu 73 rank(a) n rank(a) = n 58 Olkoon A m n -matriisi, jonka sarakkeet ovat a 1,, a n R m, ja olkoon b R m Verrataan A:n ja täydennetyn matriisin [ A b ] asteita Koska on Siis pätee Col(A) = span(a 1,, a n ) span(a 1,, a n, b) = Col ([ A b ]) rank ([ A b ]) = { rank(a), kun b span(a1,, a n ) rank(a) + 1, kun b / span(a 1,, a n ) Lause 75 Yhtälöryhmällä Ax = b on ratkaisuja rank ([ A b ]) = rank(a) 8 Koordinaatit ja kannanvaihto Olkoon V vektoriavaruus, dim(v ) = n Jos S = (v 1,, v n ) on V :n kanta ja v V, on olemassa yksikäsitteinen sarakevektori [v] S = [ x 1 x n ] T R n, jolla v = x 1 v x n v n Sarakevektoria [v] S kutsutaan v:n koordinaattivektoriksi S:n suhteen (ks s 48), ja luvut x 1,, x n ovat v:n koordinaatit kannassa S n = v 0 x v v 1 x 1 v 1 v = x 1 v 1 + x v x 1 -akseli x -akseli
30 59 Esimerkki 81 a) [v j ] S = e j = j [ ] T kaikilla j b) Olkoon E = (e 1,, e n ) R n :n luonnollinen kanta Silloin [x] E = x kaikilla x R n (x = x 1 e x n e n ) Lause 8 Olkoot v, w V ja c R, ja olkoon S = (v 1,, v n ) V :n kanta Tällöin [v + w] S = [v] S + [w] S ja [cv] S = c[v] S Todistus Olkoon v = x 1 v x n v n ja w = y 1 v y n v n Tällöin v +w = (x 1 v 1 + +x n v n )+(y 1 v 1 + +y n v n ) = (x 1 +y 1 )v 1 + +(x n +y n )v n, joten Vastaavasti [v + w] S = [ x 1 + y 1 x n + y n ] T = [ x 1 x n ] T + [ y 1 y n ] T = [v] S + [w] S cv = c(x 1 v x n v n ) = (cx 1 )v (cx n )v n, joten [cv] S = [ cx 1 cx n ] T = c [ x 1 x n ] T = c[v] S Jos n > 0, tarkasteltavalla n-ulotteisella vektoriavaruudella V on aina lukuisia eri kantoja, ja yleensä (toisin kuin koordinaattiavaruuden R n tapauksessa) mikään V :n kanta ei ole muita kantoja luonnollisempi (näin on jo, jos V on R m :n jokin aito aliavaruus) Tietty V :n vektori voidaan esittää koordinaattivektorin avulla jokaisen kannan suhteen, mutta tuo koordinaattivektori tietenkin riippuu siitä, mitä nimenomaista kantaa käytetään Tämän takia on syytä tutkia, miten saman vektorin koordinaattivektori muuttuu, kun käytettävä kanta vaihtuu Olkoot siis S = (v 1,, v n ) ja T = (w 1,, w n ) kaksi V :n kantaa Selvitämme, miten vektorin v V koordinaattivektorit [v] S ja [v] T riippuvat toisistaan Olkoon [w j ] S = [ a 1j a j a nj ] T, j = 1,,, n, toisin sanoen (83) w j = n a ij v i = a 1j v 1 + a j v + + a nj v n, j = 1,,, n i=1
31 Lause ja määritelmä 84 On olemassa tasan yksi n n -matriisi M(S T ), kannanvaihtomatriisi T :stä S:ään, jolla [v] S = M(S T )[v] T v V, nimittäin M(S T ) = [ a ij ] = [ [w 1 ] S [w ] S [w n ] S ] (sarakkeet [w 1 ] S, [w ] S,, [w n ] S ) Todistus Yksikäsitteisyys : Olkoon A R n n sellainen, että A[v] T = [v] S v V Silloin A:n j:s sarake = Ae j = A[w j ] T = [w j ] S, joka on yksikäsitteisesti määrätty Olemassaolo : Määritellään M(S T ) = [ [w 1 ] S [w ] S [w n ] S ] Olkoon v V ja [v] T = x = [ x 1 x n ] T, ts v = x 1 w x n w n Silloin M(S T )[v] T = M(S T ) [ x 1 x n ] T = x 1 [w 1 ] S + + x n [w n ] S = 8 [x 1 w 1 + x n w n ] S = [v] S 60 Kun v V, [v] T = [ x 1 x n ] T ja [v] S = [ y 1 y n ] T, on siis [v] S = M(S T )[v] T, eli n (85) y i = a ij x j = a i1 x 1 + a i x + + a in x n, j=1 i = 1,, n (vertaa tätä 83:een) Lause 86 Olkoot R, S ja T kolme V :n kantaa Silloin a) M(S S) = I n ; b) M(R S)M(S T ) = M(R T ); c) M(S T ) on säännöllinen ja M(S T ) 1 = M(T S) Todistus a) Koska [v] S = I n [v] S v V ja kannanvaihtomatriisi on yksikäsitteinen, on M(S S) = I n b) Soveltamalla aluksi matriisien kertolaskun liitäntälakia ja sen jälkeen kannanvaihtomatriisin määritelmää saadaan kaikilla v V (M(R S)M(S T ))[v] T = M(R S)(M(S T )[v] T ) = M(R S)[v] S = [v] R = M(R T )[v] T
32 61 Kannanvaihtomatriisin yksikäsitteisyyden nojalla on c) Kohtien b) ja a) nojalla M(R S)M(S T ) = M(R T ) M(S T )M(T S) = M(S S) = I n M(T S)M(S T ) = I n ja Kannanvaihto käytännössä R n :ssä Olkoon E = (e 1,, e n ) koordinaattiavaruuden R n :n luonnollinen kanta Kun S = (v 1,, v n ) on R n :n toinen kanta, merkitään M S = M(E S) = [ v 1 v v n ] (sarakkeet v 1, v,, v n ) (ks 84; v j = [v j ] E j, ks 81 b); siis M S on triviaali muodostaa Kun b R n, on [b] S = x yhtälöryhmän M S x = b yksikäsitteinen ratkaisu, sillä lauseen 84 nojalla M S [b] S = M(E S)[b] S = [b] E = b, ja ratkaisun yksikäsitteisyys seuraa siitä, että M S on säännöllinen Yhtälöryhmä voidaan ratkaista kuten 15:ssä Toinen tapa [b] S :n laskemiseksi on soveltaa lauseita 84 ja 86 c): [b] S = M(S E)b = M(E S) 1 b = M 1 S b, missä M 1 S löytyy kuten menetelmässä 167 Olkoon myös T = (w 1, w,, w n ) R n :n kanta Lauseen 86 b) nojalla M(S T ) = M(S E)M(E T ) = M 1 S M T saadaan, kun on löydetty M 1 S Toinen, usein suositeltavampi, tapa matriisin M(S T ) = [ [w 1 ] S [w n ] S ] muodostamiseksi: Sarake [w j ] S = x on yhtälöryhmän M S x = w j yksikäsitteinen ratkaisu, ja nämä n yhtälöryhmää (j = 1,, n) voidaan ratkaista yhdellä kertaa; kun n (n) - matriisi [ M S MT ] = [ v 1 v v n w1 w w n ], jonka sarakkeet ovat v 1,, v n, w 1,, w n, muunnetaan redusoituun porrasmuotoon [ I n B ], on B = M(S T )
33 Esimerkki 87 Olkoon v 1 = [ 1 1 ] T, v = [ 1 1 ] T, w 1 = [ 1 ] T ja w = [ 3 ] T Tällöin S = (v 1, v ) ja T = (w 1, w ) ovat kaksi R kantaa (miksi?) Triviaalisti [ ] [ ] M S =, M T = Olkoon b = [ 4 5 ] T R Ratkaistaan x = [b] S ja y = [b] T yhtälöryhmistä M S x = b ja M T y = b: [ ] [ ] [ ] [ ] 6 Siis Edelleen [ 1 3 [b] S = [ 1 ] 9 ] [ (tarkista laskemalla ( 1 )v v ) ] [ ] [ ] Siis Edelleen [b] T = [ [ 1 1 [ M S MT ] = 1 1 ] [ (tarkista laskemalla 7 w w ) ] [ ] [ ] ] Siis [ 1 M(S T ) = Totea laskemalla, että todellakin 1 [ ] [ ] = [ 1 ] 9 ] = 1 [ ] eli M(S T )[b] T = [b] S
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
Lisätiedot4. LINEAARIKUVAUKSET
86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotLINEAARIALGEBRA I. Hannu Honkasalo. Helsingin yliopiston matematiikan laitos v w u ...
LINEAARIALGEBRA I Hannu Honkasalo v w u h w A v Helsingin yliopiston matematiikan laitos 003 SISÄLTÖ 1 Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit 11 Lineaariset yhtälöryhmät 1 1 Matriisit ja matriisitoimitukset
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotVektorien virittämä aliavaruus
Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotOrtogonaalinen ja ortonormaali kanta
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä
Lisätiedot2.8. Kannanvaihto R n :ssä
28 Kannanvaihto R n :ssä Seuraavassa kantavektoreiden { x, x 2,, x n } järjestystä ei saa vaihtaa Vektorit ovat pystyvektoreita ( x x 2 x n ) on vektoreiden x, x 2,, x n muodostama matriisi, missä vektorit
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 9 heinäkuuta 2013 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit 4 11 Kaksiulotteisen
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
Lisätiedot1. LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT. 1.1 Lineaariset yhtälöryhmät
1 1 LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA MATRIISIT Muotoa 11 Lineaariset yhtälöryhmät (1) a 1 x 1 + a x + + a n x n b oleva yhtälö on tuntemattomien x 1,, x n lineaarinen yhtälö, jonka kertoimet ovat luvut a 1,,
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
Lisätiedot1. Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi
I LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT 1 Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi Tällä kurssilla käytämme kirjainta K tarkoittamaan reaalilukuja R, kompleksilukuja C tai rationaalilukuja Q (aluksi K = R) Nämä lukujoukot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,
LisätiedotYleiset lineaarimuunnokset
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedot802118P Lineaarialgebra I (4 op)
802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo
Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 11. syyskuuta 2016 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
Lisätiedot3 Skalaari ja vektori
3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V
LisätiedotEnnakkotehtävän ratkaisu
Ennakkotehtävän ratkaisu Ratkaisu [ ] [ ] 1 3 4 3 A = ja B =. 1 4 1 1 [ ] [ ] 4 3 12 12 1 0 a) BA = =. 1 + 1 3 + 4 0 1 [ ] [ ] [ ] 1 0 x1 x1 b) (BA)x = =. 0 1 x 2 x [ ] [ ] [ 2 ] [ ] 4 3 1 4 9 5 c) Bb
Lisätiedot9 Matriisit. 9.1 Matriisien laskutoimituksia
9 Matriisit Aiemmissa luvuissa matriiseja on käsitelty siinä määrin kuin on ollut tarpeellista yhtälönratkaisun kannalta. Matriiseja käytetään kuitenkin myös muihin tarkoituksiin, ja siksi on hyödyllistä
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotLineaarialgebra Kerroinrenkaat. Kevät Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto
Lineaarialgebra 2 Kevät 2014 Kerkko Luosto Informaatiotieteiden yksikkö, Tampereen yliopisto Á Ë Ð Ö Ø Ú ØÓÖ Ø 1. Kerroinrenkaat 1.1. Määritelmä. Yhden laskutoimituksen rakenne(g, + on Abelin ryhmä, jos
LisätiedotVastaavasti, jos vektori kerrotaan positiivisella reaaliluvulla λ, niin
1 / 14 Lukiossa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Tarkastellaan aluksi tason vektoreita (R 2 ). Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotMatriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä
Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
Lisätiedot802120P Matriisilaskenta (5 op)
802120P Matriisilaskenta (5 op) Marko Leinonen Matemaattiset tieteet Syksy 2016 1 / 220 Luennoitsija: Marko Leinonen marko.leinonen@oulu.fi MA333 Kurssilla käytetään Noppaa (noppa.oulu.fi) Luentomoniste
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotLineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
LisätiedotEnsi viikon luennot salissa X. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66
Ensi viikon luennot salissa X Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/66 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/66 Redusoitu porrasmuoto 1 1 2 4 1 1 4 6 2 2 5 9 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 Eli aste r(a) = 2 ja vaakariviavaruuden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
Lisätiedotx 2 x 3 x 1 x 2 = 1 2x 1 4 x 2 = 3 x 1 x 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili
6 4 2 x 2 x 3 15 10 5 0 5 15 5 3 2 1 1 2 3 2 0 x 2 = 1 2x 1 0 4 x 2 = 3 x 1 x 5 2 5 x 1 10 x 1 5 LINEAARIALGEBRA I Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2014 Esa Järvenpää, Hanna Kiili Sisältö
Lisätiedot5 Lineaariset yhtälöryhmät
5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotMatriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät
Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
Lisätiedot