LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1 <i 2 < <i k n funktiot ω i1 i 2 i k : A R ovat jatkuvasti derivoituva funktiota Muodon ω ulkoinen derivaatta (tai ulkoinen differentiaali dω määritellään kaavalla (31 dω i1 i k dx i1 dx ik i 1 < <i k = n ( j ω i1 i k dx j dx i 1 i 1 < <i k j=1 Koska dω i1 i k ovat 1-muotoja ja dx i 1 dx i k Kun ω on 1-muoto n ω = ω i dx i i=1 k-muotoja on dω (k+1-muoto saadaan väkätulon ominaisuuksien avulla (ja vaihtamalla summassa j>i summausindeksit j i n n j ω i dx i=1 j=1( j dx i = ( j ω i dx j dx i + ( j ω i dx j dx i j<i j>i = j<i ( j ω i i ω j dx j dx i Lause 31 Differentiaalimuotojen ulkoisella derivaatalla on seuraavat ominaisuudet: a k-muodon ω ulkoinen derivaatta dω on (k + 1-muoto; b Funktion f : A R ulkoinen derivaatta on sama kuin funktion f differentiaali; c d(ω + η = dω + dη; d Jos ω on k-muoto ja η on l-muoto niin d(ω η = dω η + ( 1 k ω dη; e Kun ω on C 2 -muoto on d( ; 1 Viimeksi muutettu 121128 17

3 ULKOINEN DERIVAATTA 18 f Jos A R n ja B R m ovat avoimia joukkoja f : A B C 2 -kuvaus ja ω on k-muoto joukossa B niin f ( d(f ω Todistus a-c Seuraavat määritelmästä (b-kohdassa myös lauseesta 25 d Voidaan olettaa että ω ja η ovat muotoa Tällöin ω = f dx i 1 ja η = g dx j 1 ω η = f g dx i 1 dx j 1 Koska dg ja dx i ovat 1-muotoja on dg dx i = dx i dg ja saadaan d(ω η = d(f g dx i 1 dx j 1 = (df g + f dg dx i 1 dx j 1 = df dx i 1 g dx j 1 + ( 1 k f dx i 1 dg dx j 1 Jotta yllä oleva lasku olisi täysin perusteltu todetaan vielä että kaava i 1 i k dω i1 i k dx i1 dx ik pitää paikkansa differentiaalimuodolle ω = i 1 i k ω i1 i k dx i1 dx ik vaikkei indeksejä i 1 i k ole järjestetty kasvavaksi jonoksi i 1 < < i k Myös tämä riittää todeta tapauksessa ω = f dx i 1 Jos jotkin kaksi indeksiä i α ja i β ovat samat on dx i 1 = joten ω = ja df dx i 1 = Oletetaan nyt että indeksit i 1 i k ovat kaikki keskenään erisuuria Olkoon σ permutaatio joka vie jonon (i 1 i k kasvavaksi jonoksi (j 1 j k Tällöin joten e Koska on d( ω = sgn(σ f dx j 1 dx j k sgn(σ df dx j 1 dx j k = df dx i 1 i 1 < <i k j=1 n i 1 < <i k j=1 l=1 = i 1 < <i k n ( j ω i1 i k dx j dx i 1 n ( l j ω i1 i k dx l dx j dx i 1 ( l j ω i1 i k l j ω i1 i k dx l dx j dx i 1 l<j

3 ULKOINEN DERIVAATTA 19 Koska C 2 -funktiolle f = ω i1 i k ristikkäiset osittaisderivaatat l j f ja l j f ovat samat ([14 H A Schwarzin lause] on differentiaalin d(dω lausekkeessa jokainen termi nolla Siis d( f Voidaan olettaa että ω on muotoa Tällöin Lauseen 29 nojalla ω = g dx i 1 dg dx i 1 f ( f (dg dx i 1 = f (dg f (dx i 1 f (dx i k = d(g f d(x i 1 f d(x i k f Toisaalta käyttämällä apuna kohtaa d ja e (dη = kun η = d(x i 1 f saadaan d(f ω = d ( (g f d(x i 1 f d(x i k f Väite seuraa = d(g f d(x i 1 f d(x i k f Huomautus 32 Edellisen lauseen ominaisuudet ulkoiselle derivaatatalle karakterisoivat ulkoisen derivaatan; ks [11 osa 4 lause VI62] [5 osa III lause 17152] [8 lause 1214] tai [19 osa I luku 7 propositio 11] Määritelmä 33 Olkoot A R n avoin 1 k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto joukossa A (i Muoto ω on suljettu jos (ii Muoto ω on eksakti jos on olemassa (k 1-muoto η siten että ω = dη Määritelmää edeltäneen lauseen mukaan jokainen eksakti muoto on suljettu: jos ω = dη niin d(dη = Käänteinenkin väite pitää paikkansa joissakin tapauksissa muttei läheskään aina; alueen A muoto vaikuttaa asiaan huomattavasti Tason R 2 1-muodolle ω = P dx + Q dy (x ja y tason koordinaattikuvaukset on ( 1 P dx + 2 P dy dx + ( 1 Q dx + 2 Q dy dy = ( 1 Q 2 P dx dy joten jos ja vain jos 1 Q = 2 P Koko taso R 2 on siinä määrin yksinkertainen että kun funktiot P ja Q toteuttavat ehdon 1 Q = 2 P niin on olemassa funktio f siten että 1 f = P ja 2 f = Q jolloin df = ω (vrt [17 Lause 48] Sen sijaan joukon A = R 2 \ {( } 1-muodolle ω = y x 2 + y dx + x 2 x 2 + y dy 2 on muttei ω tästä huolimatta ole eksakti (vrt [17 esimerkki 471 b] Muodon ω geometrinen merkitys kannattaa palauttaa mieleen: Poistetaan tasosta R 2 jokin origosta lähtevä säde S := {r (cos θ sin θ r } Jokaiselle (x y R 2 \ S olkoon θ = θ(x y pisteen (x y napakoordinaattikulma jolle θ < θ < θ + 2π ts (cos θ sin θ = (x y (x y ja θ < θ < θ + 2π

3 ULKOINEN DERIVAATTA 2 Tällöin dθ = ω (todistus HT joten komplementtijoukossa R 2 \S muoto ω on eksakti (Kuvassa θ = π (xy!(xy Tarkastellaan aluksi miten koko avaruuden R n jatkuvasti derivoituvasta eksaktista 1-muodosta ω voidaan konstruoida funktio f jolle df = ω Jos ω = n j=1 ω j dx j ja df = ω niin (oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi että f( = Siis kun asetetaan f(x = = d f(tx dt = dt n ω(tx x j dt j=1 (Iω(x := n j f(tx x j dt j=1 n ω(tx x j dt niin ainoa ehdokas funktioksi f on Iω Melko suoraviivaisella laskulla väite voidaankin osoittaa: jos niin d(iω = ω (vrt [17 lauseen 48 todistus] Huomattavasti yleisempikin tulos pitää paikkansa: Lause 34 (Poincarén lemma Olkoot alue A R n tähtimäinen origon suhteen (ts jokaista pistettä x A ja origoa yhdistävä jana sisältyy joukkoon A 1 k n ja ω suljettu k-muoto alueessa A Tällöin ω on eksakti Todistus Määritellään kuvaus I joka jokaiselle luvulle l 1 l n liittää l-muotoon ω (l 1-muodon Iω siten että I( = ja Väite seuraa tästä kaavasta j=1 I(dω + d(iω = ω

Olkoon Asetetaan (32 (Iω(x := α=1 ω = 3 ULKOINEN DERIVAATTA 21 l ( 1 α 1 ω i1 i l dx i1 dx il t l 1 ω i1 i l (tx dt x iα dx i 1 dx iα iα missä dx tarkoittaa että kyseinen tekijä jätetään väkätulosta pois Lasketaan (apuna tulon differentiointi ja parametrista riippuvan integraalin differentiointi: d(iω = l + l α=1 j=1 n ( 1 α 1 t l 1 ω i1 i l (tx dt dx i 1 t l ( j ω i1 i l (tx dt x iα dx j dx i 1 dx iα dx i l Muodon I(dω määräämiseksi tarkastellaan ulkoisen derivaatan dω n j ω i1 i l dx j dx i 1 j=1 yksittäistä termiä η := f dx j dx i 1 missä i m < j < i m+1 (Jos j < i 1 i := ja jos j > i l i m+1 := n + 1 Tällöin η = ( 1 m f dx i 1 dx im dx j dx i m+1 Koska dω on (l + 1-muoto on muodon I(dω määrittelevässä kaavassa (32 sisempi summa nyt l+1 β=1 Indeksi β osoittaa nyt väkätulosta dxi 1 dx im dx j dx i m+1 pois jätettävän tekijän dx iα tai dx j Tarkastellaan erikseen tapaukset β m β = m + 1 ja β > m + 1 Indeksejä 1 β m (eli 1 α m vastaavat termit muodossa I(η ovat (huomaa että siirrettäessä dx j takaisin väkätulon ensimmäiseksi tekijäksi transpositioita on yksi vähemmän ( 1 α 1 t l ( 1 m f(tx dt x iα dx i 1 dx iα dx j = ( 1 α 1 ( 1 m ( 1 m 1 t l f(tx dt x iα dx j dx i 1 dx iα Indeksiä β = m+1 (joka ei vastaa mitään alkuperäistä indeksiä α vastaava termi muodossa I(η on ( 1 m t l ( 1 m f(tx dt x j dx i 1 dx j = t l f(tx dt x j dx i 1

3 ULKOINEN DERIVAATTA 22 Indeksejä m + 1 < β l + 1 (eli m < α l vastaavat termit muodossa I(η ovat (huomaa että nyt β = α+1 ja että siirrettäessä dx j takaisin väkätulon ensimmäiseksi tekijäksi transpositioita on alkuperäinen määrä ( 1 α t l ( 1 m f(tx dt x iα dx i 1 dx j dx iα Siis I( = ( 1 α ( 1 m ( 1 m j=1 l α=1 j=1 n n ( 1 α 1 t l f(tx dt x iα dx j dx i 1 dx iα t l ( j ω i1 i l (tx dt x j dx i 1 t l ( j ω i1 i l (tx dt x iα dx j dx i 1 dx iα dx i l Kun lasketaan yhteen kolmoissummat supistuvat ja saadaan d(iω + I( l t l 1 ω i1 i l (tx dt dx i 1 + j=1 = = n t l ( j ω i1 i l (tx dt x j dx i 1 d ( t l ω i1 i dt l (tx dt dx i 1 ω i1 i l (x dx i1 dx il = ω Huomautus 35 Edellinen todistus on peräisin kirjasta [18 s 94 95] Oleellisesti samanlainen todistus (tähtimäiselle alueelle löytyy kirjasta [3 s 33 39] Poincarén lemma pätee yleisemminkin mutta edellinen todistus ei enää sovellu tällaisiin tarkasteluihin Tätä todistustapaa mukaileva yleistys ns pisteeksi kutistuville alueille löytyy kirjasta [19 osa I s 3 36] Ongelma milloin jokainen suljettu muoto on eksakti johtaa ns de Rhamin kohomologiateoriaan joka on eräs algebrallisen topologian osa-alue (ks esim [19 osa I s 356 383] tai [8 luku 15]