Tilastomatematiikka Kevät 2008 Keijo Ruotsalainen Oulun yliopisto, Teknillinen tiedekunta Matematiikan jaos Tilastomatematiikka p.1/19
4.3 Varianssi Satunnaismuuttuja on neliöintegroituva, jos odotusarvo E(X) < E(X 2 ) = x2 f X (x)dx < Diskreetille satunnaismuuttujalle E(X 2 ) = x i x 2 ip(x = x i ) <. Tilastomatematiikka p.2/19
Varianssi Oletus: Satunnaismuuttuja X neliöintegroituva Jakauman varianssi: Var(X) = E([X E(X)] 2 ) = E(X 2 ) [E(X)] 2. Keskihajonta σ(x) = Var(X) Kuinka paljon satunnaismuuttuja poikkeaa odotusarvosta keskimäärin. Tilastomatematiikka p.3/19
Varianssin ominaisuuksia Olkoon a, b reaalilukuja ja X satunnaismuuttuja. 1. Vakion varianssi Var(a) = 0; 2. Var(aX + b) = a 2 Var(X); 3. Var(X) = 0 P(X = E(X)) = 1. Tilastomatematiikka p.4/19
Normaalijakauman varianssi Standardisoidun normaalijakauman N(0, 1) odotusarvo E(X) = 0 varianssi σ 2 = 1 Osittaisintegroimalla Var(X) = 1 2π = x 2 e x2 2 dx 1 / x2 ( x)e 2 dx 2π }{{} =0 + 1 2π e x2 2 dx = 1 Tilastomatematiikka p.5/19
Normaalijakauma Lause 1. Olkoon X N(0, 1), µ R ja σ > 0. Tällöin satunnaismuuttujan Y = σx + µ varianssi on Var(X) = σ 2. Tod.: Var(Y ) = E([Y E(Y )] 2 ) = E((σX) 2 ) = σ 2 E(X 2 ) = σ 2 Tilastomatematiikka p.6/19
Jakaumien variansseja 1. Binomijakauma X Bin(n,p) : Var(X) = np(1 p); 2. Geometrinen jakauma X Geo(p) : Var(X) = 1 p p 2 ; 3. Poissonin jakauma X Poi(a) : Var(X) = a; 4. Tasajakauma X Tas(a,b) : Var(X) = (a b)2 12 ; 5. Normaalijakauma X N(µ,σ) : Var(X) = σ 2 ; 6. Eksponenttijakauma X Exp(λ) : Var(X) = 1 λ 2. Tilastomatematiikka p.7/19
5. Satunnaismuuttujien yhteisjakauma Todennäköisyysavaruus {S, E, P } Satunnaismuuttujat X ja Y ; Satunnaismuuttujien yhteisjakauma määritellään jokaiselle R 2 :n koordinaattiakselien suuntaisille suorakaiteille I R 2 asettamalla P XY (I) = P({e S (X(e),Y (e)) I}). Tilastomatematiikka p.8/19
5.1 Diskreetti yhteisjakauma X ja Y diskreettejä satunnaismuuttujia Kaksiulotteinen pistetodennäköisyysfunktio P(X = x i,y = y j ) = p ij, (i,j) N 2 Äärellinen otosavaruus = todennäköisyysmatriisi p 11 p 12 p 1m p 21 p 22 p 2m P =....... p n1 p n2 p nm Matriisin P alkioiden summa ij p ij = 1. Tilastomatematiikka p.9/19
5.2 Jatkuva yhteisjakauma Jatkuvien satunnaismuuttujien yhteisjakauman kertymäfunktio F XY (x,y) = P(X x,y y). Kertymäfunktion ominaisuuksia: 0 F XY (x,y) 1; Kun x 1 x 2 ja y 1 y 2, niin F XY (x 1,y 1 ) F XY (x 2,y 1 ) F XY (x 2,y 2 ) F XY (x 1,y 1 ) F XY (x 1,y 2 ) F XY (x 2,y 2 ). Tilastomatematiikka p.10/19
Ominaisuuksia Raja-arvot: lim x,y F XY (x,y) = 1 lim x,y F XY (x,y) = 0. Satunnaismuuttujien reunajakaumien kertymäfunktiot ovat lim F XY (x,y) = F Y (y) x lim F XY (x,y) = F X (x). y Satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, jos ja vain jos F XY (x,y) = F X (x)f Y (y). Tilastomatematiikka p.11/19
Lause Lause 2. Olkoon X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia ja funktiot h(x), g(y) sellaisia funktioita, että g(y ) ja h(x) ovat reaalisia satunnaismuuttujia. Silloin satunnaismuuttujat h(x) ja g(y ) ovat myös riippumattomia. Tilastomatematiikka p.12/19
Tiheysfunktiomalli Oletus: Kertymäfunktio F XY (x,y) kaksi kertaa (paloittain) derivoituva. Yhteisjakauman tiheysfunktio: f XY (x,y) = 2 F XY (x,y) x y Kääntäen; jos f XY (u,v) on yhteisjakauman tiheysfunktio, niin kertymäfunktio. F XY (x,y) = x y f XY (u,v)dudv. Tilastomatematiikka p.13/19
Reunajakauma Reunajakaumien kertymäfunktiot F X (x) = F Y (y) = Reunatiheydet: x y ( ( ) f XY (u,v)dv du ) f XY (u,v)du dv. f X (x) = d dx F X(x) = f Y (y) = d dy F Y (y) = f XY (x,v)dv f XY (u,y)du. Tilastomatematiikka p.14/19
5.3 Yhteisjakauman tunnusluvut Z = h(x,y ) on satunnaismuuttuja, missä h : R 2 R R 2 h(x,y) f XY (x,y)dxdy <, Tällöin: Satunnaismuuttujan Z = h(x, Y ) odotusarvo on E(h(X,Y )) = h(x,y)f XY (x,y)dxdy. R 2 Esim 1. Satunnaismuuttujan h(x, Y ) = X odotusarvo yhteisjakauman suhteen on E(X) = R 2 xf XY (x,y)dxdy = xf X (x)dx = µ X. Tilastomatematiikka p.15/19
Varianssin ominaisuus Esim 2. Satunnaismuuttujan h(x,y ) = (X µ X ) 2 odotusarvo yhteisjakauman suhteen E((X µ X ) 2 ) = = R 2 (x µ X ) 2 f XY (x,y)dxdy (x µ X ) 2 f X (x)dx = Var(X). Lause 3. Olkoon X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia ja a,b R. Tällöin satunnaismuuttujan ax + by varianssi on Var(aX + by ) = a 2 Var(X) + b 2 Var(Y ). Tilastomatematiikka p.16/19
Kovarianssi Kovarianssi: Cov[X,Y ] = E((X µ X )(Y µ Y )) = E(XY ) E(X)E(Y ) Lause 4. Jos X ja Y ovat riippumattomia, niin Cov[X,Y ] = 0. Käänteinen väittämä ei päde. Tilastomatematiikka p.17/19
Korrelaatiokerroin Korrelaatiokerroin ρ = Cov[X,Y ] σ X σ Y, σ X ja σ Y ovat satunnaismuuttujien keskihajonnat mittaa satunnaismuuttujien lineaarisen riippuvuuden astetta. Tilastomatematiikka p.18/19
Ominaisuuksia Lause 5. Korrelaatiokertoimelle on voimassa: 1. ρ 1. 2. Jos on olemassa vakiot a R, b R \ {0} siten, että Y = a + bx, niin ρ = 1. Tilastomatematiikka p.19/19