Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset / Ratasut Aheet: Avasaat: Yssuutae varassaals Artmeette esarvo, Bartlett test, Box ja Whser -uvo, Estmot, F-jaauma, F-test, F-testsuure, Idaattormuuttuja, Jääöselösumma, Kategore muuttuja, Kesarvodagramm, Kh -test, Kooasvahtelu, Kvaltatve muuttuja, Kvattatve muuttuja, Leaare regressomall, Mall parametrot, Mertsevstaso, p-arvo, Pemmä elösumma meetelmä, Rajotus, Rhme ssäe vahtelu, Rhme väle vahtelu, Rhmä, Rhmäesarvo, Sde-ehto, Test, Testsuure, Vapausaste, Varass, Varassaals, Varassaalshajotelma, Ylesesarvo Tehtävä 6.. Tehtaalla o testattu alumtaoje vetolujuutta. Neljämmetä alumtaoa jaett satuasest eljää htä suuree rhmää ja er rhm valtulle tagolle aett erlae lämpöästtel. Taoje vetolujuudet mtatt ästtel jälee. Tulosea saat seuraava havatoaesto (mttasö: 000 paua/tuuma ): Lämpöästtel K K K3 K4 8.9 8.3.3 5.9 0.0 9..5 6.0 0.5 7.8 9.9 7. 0.6 8.4 0. 7.5 9.3 8.8.9 7.9 9.5 8.6.8 6.8.0 9.9 3.0 7.7. 7.5.5 8. 0.8 6.9.7 7.4 0.7 8.0.9 9.0 Testaa oo lämpöästtelllä vautusta taoje esmääräsee vetolujuutee. Tehtävä 6.. Mtä opmme? Tehtävässä tarastellaa ssuutasta varassaalsa. Yssuutae varassaals Oletetaa, että tarastelu ohteea oleva perusjouo vodaa jaaa rhmää. Oletetaa, että joasesta rhmästä o pomttu tosstaa rppumattomat sertaset satuasotoset, jode oot ovat Oloo,,, j = j. havato rhmässä, j =,,,, =,,, TKK @ Ila Mell (005) /4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Oletetaa, että joasella havaolla j o rhmässä sama odotusarvo: E( j ) = µ, j =,,,, =,,, ja että alla havaolla j o (rhmäjaosta rppumatta) sama varass: D ( j ) = σ, j =,,,, =,,, Oletetaa lsäs, että a havaot j ovat ormaaljaautueta: j N(µ, σ ), j =,,,, =,,, Haluamme testata ollahpoteesa, että rhmäohtaset odotusarvot E( j ) = µ ovat htä suura: H 0 : µ = µ = = µ = µ Määrtellää havatoarvoje j rhmäesarvot aavolla =, =,,, j = j seä ae havatoarvoje j les- el ooasesarvo aavalla jossa = = N j = j= N = N = + + " + o havatoje ooasluumäärä. O odotettavssa, että rhmäesarvot x evät poea paljo tosstaa, jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. Oloo SST = ( ) = j= j havatoarvoje j ooasvahtelua uvaava ooaselösumma, ( ) ( ) = j= = SSG = = rhme välstä (sstemaattsta) vahtelua uvaava elösumma ja SSE = ( ) = j= rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma. Kae havatoarvoje j varass j s saadaa ooaselösummasta aavalla s SST N N N = = = = ( j ), = + + " + j TKK @ Ila Mell (005) /4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Havatoarvoje j rhmäohtaset otosvarasst s saadaa aavolla s = ( ), =,,, j j = Ste rhme välstä vahtelua uvaava elösumma SSE vodaa rjottaa mös muotoo SSE = ( ) s = Yssuutasta varassaalsmalla vastaava varassaalshajotelma o SST = SSG + SSE O odotettavssa, että rhme välstä vahtelua uvaava elösumma SSG osuus ooaselösummasta SST o pe verrattua rhme ssästä vahtelua uvaavaa elösummaa SSE, jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee. Ste ollahpotees H 0 o stä asettaa epälsealases, jos rhme välstä vahtelua uvaava elösumma SSG o suur verrattua rhme ssästä vahtelua uvaavaa elösummaa SSE. Määrtellää F-testsuure F N SSG N = = SSE = = j= ( ) ( ) j Jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee, testsuure F oudattaa Fsher F- jaaumaa vapausaste ( ) ja (N ): F F(, N ) H 0 Testsuuree F ormaalarvo o suurssa otosssa, osa N E( F) = H 0 N Ste suuret testsuuree F arvot vttaavat she, että ollahpotees H 0 o stä hlätä. Huomaa, että MSE = SSE = ( j ) N N = = j o havatoje varass σ harhato estmaattor rppumatta stä päteeö ollahpotees H 0 va e: E(MSE) = σ TKK @ Ila Mell (005) 3/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Se sjaa estmaattor MSG = SSG = ( ) = o harhato varasslle σ va, jos ollahpotees H 0 pätee: E( MSG) = Η 0 σ Yssuutase varassaals F-testsuure vertaa jääösvarass σ estmaattoreta MSG ja MSE tossa. O odotettavssa, että estmaattorede MSG ja MSE arvot evät poea ov paljoa tosstaa, jos ollahpotees H 0 pätee. Tällö F-testsuure saa luuarvoa s lähellä oleva arvoja. Varassaals o saaut mesä tästä varasse vertaluu tarotetusta F-teststä: Vaa testause ohteea o rhmäohtaste odotusarvoje htäsuuruus, test perustuu er tavolla määrättje varass σ estmaattorede vertaluu. Varassaals tuloset o tapaa esttää s. varassaalstauluo muodossa: Vahtelu lähde Nelösumma SS Vapausasteet df Varassestmaattor MS F-testsuure Rhme väle vahtelu Rhme ssäe vahtelu SSG SSE N MSG = SSG MSE = SSE N F MSG = MSE N SSG = SSE Kooasvahtelu SST N Huomaa, että tauluo elösummat toteuttavat htälö SST = SSG + SSE ja tauluo vapausasteet toteuttavat htälö (N ) = ( ) + (N ) TKK @ Ila Mell (005) 4/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Yssuutase varassaals tlastolle mall ja se parametrot Yllä oleva ests ssuutasesta varassaalssta perustuu mall () = µ + ε, j =,,,, =,,, j j joa jääös- el vrhetermt ε j ovat rppumattoma ja ormaaljaautueta satuasmuuttuja: ε σ = = j N(0, ), j,,,,,,, Yssuutase varassaals mall estetää use mös muodossa () = α + τ + ε, j =,,,, =,,, jossa o oletettu, että (3) ja = j j j τ = 0 ε σ = = N(0, ), j,,,,,,, Kaava () ja aavoje () ja (3) määrttelemät mallt ovat täs evvaletteja, mallt o va parametrotu er tavolla. Tämä ähdää seuraavalla tavalla: Määrtellää ja mertää α = µ jollo µ = µ, N = + + " + N = τ = µ µ, =,,, µ = α µ = α + τ, =,,, Mall () ollahpoteesa H 0 : µ = µ = = µ = µ vastaa aavoje () ja (3) määrttelemässä mallssa ollahpotees H 0 : τ = τ = = τ = 0 Mall () ttää huomo suoraa rhmäohtas odotusarvoh µ, =,,,, u taas aavoje () ja (3) määrttelemässä mallssa rhmäohtaset odotusarvot µ estetää lesodotusarvo α ja rhmttelevä tejä tasoo lttvä vautuse (efet) τ, =,,, summaa. TKK @ Ila Mell (005) 5/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Yssuutase varassaals mall ja lee leaare mall Yssuutase varassaals mall o erostapaus lesestä leaarsesta mallsta. Oloo j = j. havato rhmässä, j =,,,, =,,, Määrtellää rhmädaattort I j, jos havato j uuluu rhmää = 0, jos havato j e uulu rhmää j =,,,, =,,, Tällö ssuutase varassaals mall () = µ + ε, j =,,,, =,,, vodaa esttää muodossa j j (4) = µ I + µ I + " + µ I + ε, j =,,,, =,,, j j j j j Mall (4) o leaare regressomall, jossa seltettävää muuttujaa o ja selttävä muuttuja o rhmädaattora I, =,,,. Mall regressoertoma ovat rhmäohtaset odotusarvot µ, µ,, µ. Mall (4) o lese leaarse mall erostapaus, jossa seltettävä muuttuja o vattatve, mutta selttäjät I, =,,, ovat valtatvsa (ategorsa) muuttuja. Huomaa, että regressomallssa (4) e saa olla vaotermä, osa se lsääme mall los selttäve muuttuja arvoje vällle esat leaarse rppuvuude: I j+ I j + " + I j =, j =,,, sllä alle j täsmällee s rhmädaattoresta I, =,,, saa arvo = ja a muut saavat arvo = 0. Jos mall (4) regressoertomet µ, µ,, µ estmodaa pemmä elösumma meetelmällä, saadaa PNS-estmaattores ˆ µ ˆ ˆ, µ,, µ havatoarvoje j rhmäesarvot: ˆ µ = =, =,,, j j = Estmodu mall sovtteet saadaa aavolla ja resduaalt aavolla ˆ =, j =,,,, =,,, j e =, j =,,,, =,,, j j Jääöselösummas saadaa rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma SSE = ( ) = j= j TKK @ Ila Mell (005) 6/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ otetaa huomoo, mall () saa muodo (5) = µ + ε, j =,,,, =,,, j j Mall (5) o leaare regressomall, jossa seltettävää muuttujaa o ja aoaa selttävää muuttujaa o vaoterm. Mall regressoertomea o ollahpotees muasest rhme htee odotusarvo µ. Jos mall (5) regressoerro µ estmodaa pemmä elösumma meetelmällä, saadaa PNS-estmaattors ˆµ havatoarvoje j les- el ooasesarvo = =, N = + + N " + j = j= N = Estmodu mall sovtteet saadaa aavolla ja resduaalt aavolla ˆ =, j =,,,, =,,, j e =, j =,,,, =,,, j j Jääöselösummas saadaa havatoarvoje j ooasvahtelua uvaava ooaselösumma Nollahpotees SST = ( ) = j= H 0 : µ = µ = = µ = µ j mertsee ( ) rajotuse ta sde-ehdo esttämstä regressomall (4) ertomlle: (6) µ = µ µ = µ 3 $ µ = µ Ylese leaarse mall teora muaa sde-ehtoje (6) testaame vodaa perustaa F- testsuureesee N SST SSE F = SSE Jos sde-ehdot (6) pätevät, F F(, N ) H 0 Suuret testsuuree F arvot vttaavat she, että ollahpotees H 0 o stä hlätä. TKK @ Ila Mell (005) 7/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Kosa ssuutasta varassaalsmalla vastaava varassaalshajotelma muaa SST = SSG + SSE äemme, että llä mattu sde-ehtoje (6) testaamsee tarotettu testsuure o sama u edellä ollahpotees H 0 testaamsee tarotettu testsuure: N SST SSE N SSG F = = SSE SSE Yssuutase varassaals mall matrsests Oloo j = j. havato rhmässä, j =,,,, =,,, Edellä todett, että ssuutase varassaals mall () = µ + ε, j =,,,, =,,, vodaa esttää muodossa j j (4) = µ I + µ I + " + µ I + ε, j =,,,, =,,, jossa I j j j j j j, jos havato j uuluu rhmää = 0, jos havato j e uulu rhmää j =,,,, =,,, Yhtälöt (4) vodaa rjottaa matrse seuraavaa muotoo: ε 00" 0 $ $ $ $ $ $ 00" 0 ε 00" 0 ε $ $ $ $ $ µ $ µ 00" 0 = µ ε 3 + $ $ $ $ " $ $ $ µ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ " $ $ 000" ε $ $ $ $ $ $ 000" ε TKK @ Ila Mell (005) 8/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Estetää tämä matrshtälö muodossa = Xβ+ ε jossa o havatoarvoje j muodostama N-vetor, N = + + " +, X o olle ja öste muodostama täsastee N -matrs, β o regressoertome (= rhmäodotusarvoje) muodostama -vetor ja ε o jääösterme ε j muodostama N-vetor. Huomaa, että matrs X joasella rvllä o täsmällee s öe ja muut o. rv alot ovat olla. Regressoertome vetor β PNS-estmaattor o b= ( XX ) X Matrs X erose raetee taa ähdää helpost, että matrs X X o dagoaalmatrs: Lsäs 0 0 " 0 0 0 " 0 = dag(,,, ) = 0 0 3 " 0 XX Σ Σ X = Σ $ Σ j j j3 Kosa X X o dagoaalmatrs, j $ $ $ % $ 0 0 0 " 0 0 " 0 0 0 " 0 = = 0 0 " 0 3 $ $ $ % $ 0 0 0 " ( XX) dag(/,/,,/ ) TKK @ Ila Mell (005) 9/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Ste regressoertome vetor β PNS-estmaattors b saadaa rhmäesarvoje =, =,,, j = muodostama vetor: j Σ j Σ j b= ( XX ) X = = 3 Σ j3 3 $ $ Σ j Edellä todett, että jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ otetaa huomoo, mall () = µ + ε, j =,,,, =,,, saa muodo j j (5) = µ + ε, j =,,,, =,,, j j Yhtälöt (5) vodaa rjottaa matrse seuraavaa muotoo: ε $ $ $ ε ε $ $ $ ε = µ + $ $ $ $ $ $ $ $ $ ε $ $ $ ε TKK @ Ila Mell (005) 0/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Krjotetaa tämä matrshtälö lhest muotoo = µ + δ jossa o havatoarvoje j muodostama N-vetor, N = + + " +, o öste muodostama N-vetor, µ o regressoerro ja δ o jääösterme δ j muodostama N- vetor. Regressoertome µ PNS-estmaattor o m = ( ) Helpost ähdää, että ja Ste = N =ΣΣ j ( ) = N ja regressoertome µ PNS-estmaattors m saadaa havatoarvoje lesesarvo : m= ( ) = ΣΣj = N Yssuutase varassaals lasutomtuste suorttame Oloo j = j. havato rhmässä, j =,,,, =,,, Määrtellää rhmä =,,, havatoarvoje j summa aavalla T =, =,,, j = j ja ae havatoarvoje j ooassumma aavalla Oloo lsäs T = = j = j= = T N = + + " + havatoje ooasluumäärä. TKK @ Ila Mell (005) /4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Ste havatoarvoje rhmäesarvot saadaa aavolla = T, =,,, ja havatoarvoje lesesarvo saadaa aavalla = T N Edellee ooaselösumma SST vodaa rjottaa muotoo SST = = T N ( j ) j = j= = j= ja rhme välstä vahtelua uvaava elösumma SSG vodaa rjottaa muotoo SSG = = = T T N ( ) ( ) = j= = = Varassaalshajotelmasta seuraa, että rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma SSE saadaa aavalla SSE = SST SSG F-testsuure ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ testaamses o muotoa N SSG F = SSE Bartlett testssä (s. alla) tarvttavat rhmäohtaset varasst saadaa aavolla s = ( j ) = j T, =,, j= j=, Ste ssuutase varassaals perustehtäve suorttamses rttää lasea seuraavat summat ja elösummat: T =, =,,, j = j T = = j= x j j = j, =,,, = j= j TKK @ Ila Mell (005) /4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Lasutomtuset vodaa järjestää esmers seuraava tauluo muotoo: Rhmä Rhmä " Rhmä " N = = " $ $ $ " j j " j= j= j= j T = T = T = T = T T " T j j j j " = = j= j = j= j T = Bartlett test Oloo j = j. havato rhmässä, j =,,,, =,,, Yssuutase varassaals F-test ojaa oletusee, joa muaa alla havaolla j o (rhmästä rppumatta) sama varass: Oloo D ( j ) = σ, j =,,,, =,,, D( ) = σ, =,,, j havatoje varass rhmässä ja asetetaa ollahpotees H : σ = σ = " = σ = σ 0 Havatoarvoje j rhmäohtaset otosvarasst s määrtelt edellä aavolla jossa s = ( ), =,,, j j = =, =,,, j = j o rhmä havatoarvoje artmeette esarvo. TKK @ Ila Mell (005) 3/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Rhmäohtassta otosvarassesta s hdstett varass s = s = SSE = MSE N N P ( ) = jossa N = + + " +. Määrtellää s. Bartlett testsuure jossa ja Q B = h ( )log( P) ( )log( ) = Q = N s s h = + 3( ) = N 0 χ ( ) s P saadaa aavalla Jos ollahpotees H : σ = σ = " = σ = σ pätee, Bartlett testsuure B oudattaa suurssa otosssa approsmatvsest χ -jaaumaa vapausaste ( ): B a Testsuuree B ormaalarvo o suurssa otosssa approsmatvsest ( ), osa jossa χ = E( ) χ χ ( ) Ste suuret testsuuree χ arvot vttaavat she, että ollahpotees H 0 o stä hlätä. TKK @ Ila Mell (005) 4/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Tehtävä 6.. Ratasu: Tehtävä tapausessa havaot ja tarvttavat lasutomtuset vodaa järjestää seuraava tauluo muotoo: Lämpöästtel K K K3 K4 Summa 0 0 0 0 40 8.9 8.3.3 5.9 0.0 9..5 6.0 0.5 7.8 9.9 7. 0.6 8.4 0. 7.5 9.3 8.8.9 7.9 9.5 8.6.8 6.8.0 9.9 3.0 7.7. 7.5.5 8. 0.8 6.9.7 7.4 0.7 8.0.9 9.0 T = Σ j 03.4 83.4 5.7 73.5 776.0 T Σ j Rhme luumäärä: 437.56 33635.56 4656.49 300.5 445.0 3370.0 4660.59 308. 594. = 4 Havatoje luumäärät rhmssä: Rhmä : = 0 Rhmä : = 0 Rhmä 3: 3 = 0 Rhmä 4: 4 = 0 Havatoje ooasluumäärä: N = + + 3 + 4 = 40 Havatoarvoje rhmäsummat: Rhmä : T = = 03.4 j = j Rhmä : T = = 83.4 j = 3 j Rhmä 3: T 3 = = 5.7 j = 4 j3 Rhmä 4: T 4 = = 73.5 j = j 4 TKK @ Ila Mell (005) 5/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Havatoarvoje ooassumma: T = T = 776 = Havatoarvoje rhmäesarvot: 03.4 Rhmä : = T 0.34 = 0 = 83.4 Rhmä : = T 8.34 = 0 = 5.7 Rhmä 3: = 3 T 3.57 = 0 = 3 73.5 Rhmä 4: = 4 T 4 7.35 = 0 = Havatoarvoje lesesarvo: 776 = T = = 9.4 N 40 Havatoarvoje rhmäelösummat: 4 Rhmä : Rhmä : Rhmä 3: j = j = 3 j = j j j3 = 445. = 3370. = 4660.59 Rhmä 4: 4 j = j 4 = 308. Havatoarvoje ooaselösumma: = j= j = 594. Havatoarvoje ooasvahtelua uvaava elösumma: SST = j T = 594. 776 = 39.7 N 40 = j= TKK @ Ila Mell (005) 6/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Rhme välstä vahtelua uvaava elösumma: SSG = T T N = = + + + = 0 0 0 0 40 03.4 83.4 5.7 73.5 776 09.86 Rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma: SSE = SST SSG = 39.7 09.86 = 30.54 Testsuure ollahpoteeslle H 0 : µ = µ = µ 3 = µ 4 = µ saa arvo N SSG 40 4 09.86 F = = = 4.9387 SSE 4 30.54 Testsuure F oudattaa ollahpotees H 0 pätessä Fsher F-jaaumaa vapausaste = 4 = 3 ja N = 40 4 = 36 el F F(3, 36) F-jaauma tauluode muaa Pr(F 4.50) = 0.0 jossa F F(3, 30) ja Pr(F 4.33) = 0.0 jossa F F(3, 40) Ste F-testsuuree arvoa 4.9387 vastaavalle p-arvolle saadaa tauluosta arvo p = Pr(F 4.9474) < 0.0 Excel-ohjelma muaa F-testsuuree arvoa 4.9387 vastaava p-arvo o p = Pr(F 4.9387) = 5.573 0 Ste vomme hlätä ollahpotees H 0 alla tavaomaslla mertsevstasolla. Johtopäätös: Lämpöästtelllä o vomaas vautus taoje esmääräsee vetolujuutee. TKK @ Ila Mell (005) 7/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Statstx-ohjelma tuottaa tehtävä 6.. aestosta seuraava tulostuse: STATISTIX FOR WINDOWS ONE-WAY AOV FOR: K K K3 K4 SOURCE DF SS MS F P ------- --- ------- ------- ----- ------ BETWEEN 3 09.86 36.3953 4.94 0.0000 WITHIN 36 30.540 0.8476 TOTAL 39 39.700 CHI-SQ DF P BARTLETT'S TEST OF ------ ---- ------ EQUAL VARIANCES 0.0 3 0.996 COCHRAN'S Q 0.67 LARGEST VAR / SMALLEST VAR.08 COMPONENT OF VARIANCE FOR BETWEEN GROUPS 3.55477 EFFECTIVE CELL SIZE 0.0 SAMPLE GROUP VARIABLE MEAN SIZE STD DEV --------- ------ ------ ------- K 0.340 0 0.9395 K 8.340 0 0.859 K3.570 0 0.9393 K4 7.350 0 0.949 TOTAL 9.400 40 0.907 CASES INCLUDED 40 MISSING CASES 0 Huomaa, että Bartlett test muaa rhmävarasseja osevat edelltset ssuutase varassaals F-testlle toteutuvat: Rhmävarasst vodaa olettaa htä suurs. TKK @ Ila Mell (005) 8/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Yssuutasessa varassaalsssa vertalu ohteea oleva rhmäesarvoja aattaa havaollstaa esarvodagrammlla (uvo o tuotettu Statstx-ohjelmalla): Error Bar Chart wth SE 0 9 8 7 K K K3 K4 40 cases Rhmäesarvoja vastaavat psteet o mertt uvoo mpröllä ja vereäset psteet o hdstett tossa jaolla. Lsäs joasee psteesee vodaa prtää (o. pste espsteeä) pstsuora jaa, joa ptuus vastaa o. rhmä havatoje eshajotaa. TKK @ Ila Mell (005) 9/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Yssuutase varassaalsssa vertalu ohteea oleve rhme havatoje jaautumsta aattaa havaollstaa mös Box ad Whser -uvolla (uvo o tuotettu Statstx-ohjelmalla): 3 Box ad Whser Plot 9 7 5 K K K3 K4 40 cases Box ad Whser -uvossa laato alareua määrää alavartl Q ja laato läreua määrää lävartl Q 3. Ste esmmäset 50 % havatoarvosta ovat laato ssällä. Havatoarvoje medaa Me = Q mertää laatoo povvalla. Jos aestossa o poeava havatoarvoja, e mertää uvoo tähdllä ta mpröllä. Kuvo tultaa seuraavalla tavalla: Laato ssää jäävät havatoarvot ovat ae tavallsmpa. Vse alueelle jäävät havatoarvot ovat tavallsa. Tähdllä ja mpröllä mertt havaot ovat poeusellsa. TKK @ Ila Mell (005) 0/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Tehtävä 6.. Kemst tut atalt määrä vautusta luose erää ompoet osetraatoo. Koeessa atalt määrälle valtt 4 er tasoa. Tavotteea ol valmstaa 5 luosätettä ulla atalt tasolla, mutta osa ättestä pääs tuhoutumaa. Yhteeveto oetulossta (o. ompoet osetraatoprosette artmeettset esarvot ja otoseshajoat ättessä) o aettu alla olevassa tauluossa. Katalt määrä taso Nättede luumäärä Kosetraatode esarvo (%) Kosetraatode eshajota (%) 5 69.8.06 4 68.9.8 3 3 66.8.67 4 4 63.7. Testaa %: mertsevstasoa ättäe ollahpoteesa, joa muaa atalt määrällä e ole vautusta o. ompoet osetraatoo luosessa. Huomautus: Rhmäohtaset eshajoat o lasettu aavalla, joa teee vastaavasta varasssta harhattoma. Tehtävä 6.. Mtä opmme? Tehtävässä havaollstetaa stä, että a tarvttava formaato ssuutase varassaals suorttamses ssält rhmäohtas otosooh seä havatoarvoje rhmäohtas artmeetts esarvoh ja varasseh (ta hajotoh). Kaavat: s. mös tehtävää 6.. Tehtävä o selväst ssuutase varassaals tehtävä, jossa testataa rhmäohtasa odotusarvoja µ, µ,, µ osevaa ollahpoteesa H 0 : µ = µ = = µ = µ Testsuure ollahpoteeslle H 0 o N SSG F = SSE jossa o rhme luumäärä, N = + + " + o havatoje ooasluumäärä,,,, ovat rhmäohtaset otosoot, TKK @ Ila Mell (005) /4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset ( ) ( ) = j= = SSG = = o rhme välstä (sstemaattsta) vahtelua uvaava elösumma ja ( j ) ( ) = j= = SSE = = s o rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma. Nelösumma SSG aavassa =, =,,, j = j o havatoarvoje artmeette esarvo rhmässä ja N = = o havatoarvoje ooasesarvo. Nelösumma SSE aavassa s = ( ), =,,, j j= o havatoarvoje varass rhmässä. Jos ollahpotees H 0 : µ = µ = = µ = µ pätee, testsuure F oudattaa Fsher F- jaaumaa vapausaste ( ) ja (N ): F F (, N ) H 0 Tehtävä 6.. Ratasu: Tehtävä tapausessa rhme luumäärä o = 4 ja havatoje ooasluumäärä o Rhmäesarvot: N = + + 3 + 4 = 5+ 4+ 3+ 4= 6 = 69.8 3 4 = 68.9 = 66.8 = 63.7 TKK @ Ila Mell (005) /4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Kooasesarvo: = N = = (5 69.8 + 4 68.9 + 3 66.8 + 4 63.7) 6 = 67.4875 Rhme välstä vahtelua uvaava elösumma: Rhmävarasst: SSG = ( ) s = = 5 (69.8 67.4875) + 4 (68.9 67.4875) = 93.575 =.06 s s s =.8 =.67 3 =. 4 + 3 (66.8 67.4875) + 4 (63.7 67.4875) Rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma: F-testsuuree arvo: Jos ollahpotees SSE = ( ) s = = (5 ).06 + (4 ).8 = 39.8746 + (3 ).67 + (4 ). N SSG 6 4 93.575 F = = = 9.38 SSE 4 39.8746 H 0 : µ = µ = µ 3 = µ 4 = µ pätee, testsuure F oudattaa Fsher F-jaaumaa vapausaste ja el = 4 = 3 N = 6 4 = F F(3,) H 0 TKK @ Ila Mell (005) 3/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset F-jaauma tauluode muaa Pr(F 5.953) = 0.0 jossa F F(3, ) Kosa F = 9.38 > 5.953 vomme hlätä ollahpotees H 0 %: mertsevstasolla. F-testsuuree arvoa vastaavalle p-arvolle saadaa tauluosta arvo p = Pr(F 9.38) < 0.0 Excel-ohjelma muaa F-testsuuree arvoa 9.38 vastaava p-arvo o p = Pr(F 9.38) = 0.008 Johtopäätös: Katalt määrä vauttaa o. ompoet osetraatoo luosessa. TKK @ Ila Mell (005) 4/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Tehtävä 6.3. Joee, joa johtaa täreälle alastusalueelle, o joutuut erästä mpärstömrä. Te- ja vesraeussöört haluavat selvttää, mte saastuut ves levää alastusalueelle mttaamalla mrptosuudet olmesta er paasta alueelta pdstetstä osteresta. Tulosea saat seuraava havatoaesto (mttasö: osa per mljooa): (a) (b) Pdstspaa P P P3 5 9 6 5 6 0 0 4 0 6 6 9 5 8 0 7 3 4 6 5 8 Tut ssuutasta varassaalsa ättäe ovato er pdstspaosta saatuje osterede esmääräset mrptosuudet samat. Estä (a)-ohda varassaalsmalla vastaava regressomall, jossa selttävä muuttuja ätetää sopvast määrteltjä rhmädaattoreta. Tehtävä 6.3. Mtä opmme? Tehtävässä sovelletaa ssuutasta varassaalsa. Tarastelu ohteea o ertsest ssuutase varassaals mall htes lesee leaarsee mall ja mall matrsests. Kaavat: s. tehtävää 6.. TKK @ Ila Mell (005) 5/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Tehtävä 6.3. Ratasu: (a) Tehtävä tapausessa havaot ja tarvttavat lasutomtuset vodaa järjestää seuraava tauluo muotoo: Pdstspaa P P P3 Summa 8 9 7 4 5 9 6 5 6 0 0 4 0 6 6 9 5 8 0 7 3 4 6 5 8 T = Σ j 85.0 47.0 54.0 486.0 T Σ j Rhme luumäärä: = 3 345.00 609.00 376.00 4443.00 60.00 350.00 0546.0 Havatoje luumäärät rhmssä: Rhmä : = 8 Rhmä : = 9 Rhmä 3: 3 = 7 Havatoje ooasluumäärä: N = + + 3 = 4 Havatoarvoje rhmäsummat: Rhmä : T = = 85 j = j Rhmä : T = = 47 j = 3 j Rhmä 3: T 3 = = 54 j = j3 Havatoarvoje ooassumma: T = T = 486 = TKK @ Ila Mell (005) 6/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Havatoarvoje rhmäesarvot: 85 Rhmä : = T 3.5 = 8 = 47 Rhmä : = T 6.333 = 9 = 54 Rhmä 3: = 3 T 3 = 7 = Havatoarvoje lesesarvo: 486 = T = = 0.5 N 4 Havatoarvoje rhmäelösummat: 3 Rhmä : Rhmä : j = j = j j = 4443 = 60 Rhmä 3: 3 j = j3 = 350 Havatoarvoje ooaselösumma: = j= j = 0546 Havatoarvoje ooasvahtelua uvaava elösumma: SST = j T = 0546 486 = 704.5 N 4 = j= Rhme välstä vahtelua uvaava elösumma: SSG = T T = 85 + 47 + 54 486 = 5.65 N 8 9 7 4 = Rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma: SSE = SST SSG = 704.5 5.65 = 478.875 Testsuure ollahpoteeslle H 0 : µ = µ = µ 3 = µ saa arvo N SSG 4 3 5.65 F = = = 4.9474 SSE 3 478.875 TKK @ Ila Mell (005) 7/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Testsuure F oudattaa ollahpotees H 0 pätessä Fsher F-jaaumaa vapausaste ja el = 3 = N = 4 3 = F F(, ) F-jaauma tauluode muaa ja jossa Pr(F 3.467) = 0.05 Pr(F 5.780) = 0.0 F F(, ) Ste F-testsuuree arvoa 4.9474 vastaavalle p-arvolle saadaa tauluosta arvo 0.0 < p = Pr(F 4.9474) < 0.05 Excel-ohjelma muaa F-testsuuree arvoa 4.9474 vastaava p-arvo o p = Pr(F 4.9474) = 0.0736 Ste vomme hlätä ollahpotees H 0 mertsevstasolla 0.05, mutta emme mertsevstasolla 0.0. Johtopäätös: Er pdstspaosta pdstetde osterede esmääräset mrptosuudet eroavat mele mertseväst tosstaa. TKK @ Ila Mell (005) 8/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Statstx-ohjelma tuottaa tehtävä 6.3. aestosta seuraava tulostuse: STATISTIX FOR WINDOWS ONE-WAY AOV FOR: P P P3 SOURCE DF SS MS F P ------- --- ------- ------- ----- ------ BETWEEN 5.65.83 4.95 0.074 WITHIN 478.875.8036 TOTAL 3 704.500 CHI-SQ DF P BARTLETT'S TEST OF ------ ------ ------ EQUAL VARIANCES 0. 0.9396 COCHRAN'S Q 0.370 LARGEST VAR / SMALLEST VAR.358 COMPONENT OF VARIANCE FOR BETWEEN GROUPS.300 EFFECTIVE CELL SIZE 8.0 SAMPLE GROUP VARIABLE MEAN SIZE STD DEV --------- -------- ------ --------- P 3.5 8 4.853 P 6.333 9 5.0000 P3.000 7 4.3589 TOTAL 0.50 4 4.7753 CASES INCLUDED 4 MISSING CASES 3 Huomaa, että Bartlett test muaa rhmävarasseja osevat edelltset ssuutase varassaals F-testlle toteutuvat: Rhmävarasst vodaa olettaa htä suurs. TKK @ Ila Mell (005) 9/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Kesarvodagramm (uvo o tuotettu Statstx-ohjelmalla): 6 Error Bar Chart wth SE 8 4 P P P3 4 cases 3 mssg cases Box ad Whser -uvo (uvo o tuotettu Statstx-ohjelmalla): 30 Box ad Whser Plot 5 0 5 0 P P P3 4 cases 3 mssg cases TKK @ Ila Mell (005) 30/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset (b) Tehtävä tapausessa mall (4) vodaa rjottaa matrse seuraavaa muotoo: 5 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 8 0 0 0 0 6 0 0 9 0 0 5 0 0 0 0 0 β 6 0 0 = β + 0 0 0 β 0 0 3 3 0 0 5 0 0 8 0 0 0 0 6 0 0 4 0 0 6 0 0 5 0 0 7 0 0 4 0 0 Tämä matrshtälö vodaa rjottaa lhest muodossa = Xβ+ ε ε jossa ja ε ovat 4-vetoreta, X o täsastee 4 3-matrs ja β o 3-vetor. Regressoertome vetor β PNS-estmaattor o b= ( XX ) X Tässä 800 007 = dag(,, 3) = dag(8,9,7) = 0 9 0 XX ja Σ j 85 X = Σ j = 47 54 Σ j3 TKK @ Ila Mell (005) 3/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Kosa X X o dagoaalmatrs, Ste 0 0 8 = = 9 0 0 7 ( XX ) dag(/,/,,/ ) 0 0 Σ 85 j 8 3.5 47 ( ) j 6.333 9 3 b= XX X = = Σ = = 54 Σ j3 7 3 ute edellä. Tehtävä tapausessa mall (5) vodaa rjottaa matrse seuraavaa muotoo: 5 6 0 0 9 8 6 9 5 0 6 = γ + δ 0 3 5 8 6 4 6 5 7 4 TKK @ Ila Mell (005) 3/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Tämä matrshtälö vodaa rjottaa lhest muodossa = Zγ + δ jossa, Z ja δ ovat 4-vetoreta ja γ = µ o salaar. Regressoertome γ PNS-estmaattor o c = ( ZZ) Z Helpost ähdää, että ja Ste ja ZZ = 4 Z =ΣΣ j = ( ZZ ) = 4 486 486 c = ( ZZ ) Z = = ΣΣ j = = 0.5 N 4 ute edellä. TKK @ Ila Mell (005) 33/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Tehtävä 6.4. Tehtaa emst tut polmeera, jota haluttas ättää eräde mpärstömrje suodattamsee tehtaa jätevedestä. Koeessa ätetää vttä er lämpötlaa ja joasessa lämpötlassa tuttaa uus vesätettä. Vesättestä mtataa polmeer avulla suodatettuje epäpuhtause osuus. Tulosea saadaa seuraava havatoaesto (mttasö: %): Lämpötla L L L3 L4 L5 40.0 36.0 49.0 47.0 55.0 35.0 4.0 5.0 49.0 60.0 4.0 38.0 53.0 5.0 6.0 48.0 39.0 53.0 5.0 63.0 50.0 37.0 5.0 50.0 59.0 5.0 40.0 50.0 5.0 6.0 (a) (b) Tut ssuutasta varassaalsa ättäe oo lämpötlalla vautusta polmeer esmääräsee suodatus. Tee Bartlett test rhmäohtaslle varasselle. Tehtävä 6.4. Mtä opmme? Tehtävässä sovelletaa ssuutasta varassaalsa. Tarastelu ohteea o ertsest Bartlett test rhmäohtaste varasse htäsuuruudelle. Kaavat: s. tehtävää 6.. Tehtävä 6.4. Ratasu: (a) Tehtävä tapausessa havaot ja tarvttavat lasutomtuset vodaa järjestää seuraava tauluo muotoo: Lämpötla L L L3 L4 L5 Summa 6 6 6 6 6 30 40 36 49 47 55 35 4 5 49 60 4 38 53 5 6 48 39 53 5 63 50 37 5 50 59 5 40 50 5 6 T = Σ j 66 3 308 300 360 466 T Σ j 70756 5384 94864 90000 9600 994 8994 584 506 640 73468 Rhme luumäärä: = 5 TKK @ Ila Mell (005) 34/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Havatoje luumäärät rhmssä: Rhmä : = 6 Rhmä : = 6 Rhmä 3: 3 = 6 Rhmä 4: 4 = 6 Rhmä 5: 5 = 6 Havatoje ooasluumäärä: N = + + 3 + 4 + 5 = 30 Havatoarvoje rhmäohtaset summat: Rhmä : T = = 66 j = j Rhmä : T = = 3 j = 3 j Rhmä 3: T 3 = = 308 j = 4 j3 Rhmä 4: T 4 = = 300 j = 5 j 4 Rhmä 5: T 5 = = 360 j = j5 Havatoarvoje ooassumma: T = T = 466 = Havatoarvoje rhmäesarvot: 66 Rhmä : = T = = 44.3333 6 3 Rhmä : = T = = 38.6667 6 308 Rhmä 3: 3 = T 3 = = 5.3333 6 300 Rhmä 4: 4 = T 4 = = 50 6 360 Rhmä 5: 5 = T 5 = = 60 6 3 4 5 TKK @ Ila Mell (005) 35/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Havatoarvoje lesesarvo: 466 = T = = 48.6667 N 30 Havatoarvoje rhmäelösummat: Rhmä : Rhmä : Rhmä 3: Rhmä 4: j = j = 3 j = 4 j = j j j3 j 4 = 994 = 8994 = 584 = 506 Rhmä 5: 5 j = j5 = 640 Havatoarvoje ooaselösumma: = j= j = 73468 Havatoarvoje ooasvahtelua uvaava elösumma: SST = j T = 73468 466 = 89.47 N 30 = j= Rhme välstä vahtelua uvaava elösumma: SSG = T T N = = + + + + 6 6 6 6 6 30 = 535.47 66 3 308 300 360 466 Rhme ssästä vahtelua uvaava elösumma: SSE = SST SSG = 89.47 535.47 = 94 Testsuure ollahpoteeslle H 0 : µ = µ = µ 3 = µ 4 = µ 5 = µ saa arvo N SSG 30 5 535.47 F = = = 3.647 SSE 5 94 TKK @ Ila Mell (005) 36/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Testsuure F oudattaa ollahpotees H 0 pätessä Fsher F-jaaumaa vapausaste = 5 = 4 ja N = 30 5 = 5 el F F(4, 5) F-jaauma tauluode muaa Pr(F 4.77) = 0.0 jossa F F(4, 5) Ste F-testsuuree arvoa 3.467 vastaavalle p-arvolle saadaa tauluosta arvo p = Pr(F 3.647) < 0.0 Excel-ohjelma muaa F-testsuuree arvoa 3.467 vastaava p-arvo o p = Pr(F 3.467) =.37 0 9 Ste vomme hlätä ollahpotees H 0 alla tavaomaslla mertsevstasolla. Johtopäätös: Lämpötlalla o vomaas vautus polmeer esmääräsee suodatus. TKK @ Ila Mell (005) 37/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Statstx-ohjelma tuottaa tehtävä 6.4. aestosta seuraava tulostuse: STATISTIX FOR WINDOWS ONE-WAY AOV FOR: L L L3 L4 L5 SOURCE DF SS MS F P ------- --- ------- ------- ----- ------ BETWEEN 4 535.47 383.867 3.64 0.0000 WITHIN 5 94.000.7600 TOTAL 9 89.47 CHI-SQ DF P BARTLETT'S TEST OF ------ ------ ------ EQUAL VARIANCES 3.6 4 0.00 COCHRAN'S Q 0.6848 LARGEST VAR / SMALLEST VAR 5.00 COMPONENT OF VARIANCE FOR BETWEEN GROUPS 6.078 EFFECTIVE CELL SIZE 6.0 SAMPLE GROUP VARIABLE MEAN SIZE STD DEV --------- --------- ------ ------- L 44.333 6 6.3456 L 38.667 6.60 L3 5.333 6.6330 L4 50.000 6.7889 L5 60.000 6.884 TOTAL 48.867 30 3.493 CASES INCLUDED 30 MISSING CASES 0 Tulostusesta ähdää, että Bartlett test muaa rhmäohtasa varasseja osevat edelltset ssuutase varassaals F-testlle evät ava tät (s. taremm (b)- ohtaa). Ste rhmäohtasa varasseja e voda olettaa htä suurs ja varassaals F-test tulosee o suhtauduttava jo verra varaus. Bartlett test tulos johtuu suurmmas osas stä, että rhmä L varass o mude rhme varasseh ähde poeusellse suur; s. o. Statstx-tulostusta ja olla oleva uvota. TKK @ Ila Mell (005) 38/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Kesarvodagramm (uvo o tuotettu Statstx-ohjelmalla): 6 Error Bar Chart wth SE 57 5 47 4 37 L L L3 L4 L5 30 cases Box ad Whser -uvo (uvo o tuotettu Statstx-ohjelmalla): 63 Box ad Whser Plot 56 49 4 35 L L L3 L4 L5 30 cases TKK @ Ila Mell (005) 39/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset (b) Yssuutase varassaals F-test ojaa oletusee, joa muaa alla havaolla j o (rhmästä rppumatta) sama varass: Oloo D ( j ) = σ, j =,,,, =,,, = σ = D( j),,,, havatoje varass rhmässä ja asetetaa ollahpotees H : σ = σ = " = σ = σ 0 Havatoarvoje rhmäohtaset otosvarasst s saadaa aavalla: jossa s = ( j ) j = = j T, =,,, j = T = =, =,,, j j = Tehtävä tapausessa s = j T = 994 66 = 40.667 j = 6 6 s = j T = 8994 3 = 4.66667 j = 6 6 3 s3 = j3 T3 = 584 308 =.66667 3 j = 3 6 6 4 s4 = j 4 T4 = 506 300 = 3. 4 j = 4 6 6 5 s5 = j5 T5 = 640 360 = 8 5 j = 5 6 6 Rhmäohtassta otosvarassesta s hdstett varass P = s P saadaa aavalla s = ( ) s = SSE = MSE = 94 =.76 N N 30 5 TKK @ Ila Mell (005) 40/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Lasetaa Bartlett testsuuree arvo määräämstä varte suureet ja ( )log( P) ( )log( ) = Q = N s s = (30 5)log(.76) = 4.306 (6 )[log(40.667) + log(4.66667) h = + 3( ) = N = + 5 3(5 ) 6 30 5 =.08 Bartlett testsuuree arvos saadaa ste Q 4.306 B = = = 3.598 h.08 + log(.66667) + log(3.) + log(8)] Testsuure B oudattaa ollahpotees H 0 pätessä suurssa otosssa approsmatvsest χ -jaaumaa vapausaste el = 5 = 4 B a χ (4) χ -jaauma tauluode muaa ja jossa Pr(χ 9.488) = 0.05 Pr(χ 3.77) = 0.0 χ χ (4) Ste testsuuree B arvoa 3.598 vastaavalle p-arvolle saadaa tauluosta approsmatve arvo 0.0 < p Pr(χ 3.598) < 0.05 Excel-ohjelma muaa testsuuree B arvoa 3.598 vastaava p-arvo o approsmatvsest p Pr(χ 3.598) = 0.0007 Ste vomme hlätä ollahpotees H 0 mertsevstasolla 0.05, mutta e eää mertsevstasolla 0.0. TKK @ Ila Mell (005) 4/4
Mat-.03 Koesuuttelu ja tlastollset mallt 6. harjotuset Tehtäve 6., 6.3, 6.4 lasutomtuste suorttame Mcrosoft Excel -ohjelmalla: Tehtävä Tehtävä 6.. Tehtävä 6.3. Tehtävä 6.4. Tedosto KsHt6.xls > Ht6.. KsHt6.xls > Ht6.3. KsHt6.xls > Ht6.4. Tehtäve 6., 6.3, 6.4 lasutomtuste suorttame Statstx-ohjelmalla: Tehtävä Tehtävä 6.. Tehtävä 6.3. Tehtävä 6.4. Tedosto Sxdata6.sx Sxdata63.sx Sxdata64.sx TKK @ Ila Mell (005) 4/4