E A [u] = 0.5 20 % + 0.5 8 % = 14 %, E B [u] = u = 15 %.

von Neumann & Morgenstern -hyötyteoria Esimerkki: Hallituksella on kaksi mahdollista talouspolitiikkaa, A ja B. Politiikka A tuottaa 20 %:n työttömyysasteen todennäköisyydellä 1/2 ja 8 %:n työttömyysasteen tn 1/2. Politiikka B tuottaa varman 15 %:n työttömyysasteen. Kumpi vaihtoehto hallituksen kannattaisi valita? Tarkastellaan talouspolitiikkojen tuottamia odotusarvoja (u on työttömyysaste): E A [u] = 0.5 20 % + 0.5 8 % = 14 %, E B [u] = u = 15 %. Jos valintakriteeri on odotetun työttömyysasteen minimointi, hallituksen kannattaisi valita vaihtoehto A. Kuitenkin A:ssa riski yli 15 %:n työttömyysasteesta on melko suuri, joten riskiä karttava hallitus voisi preferoida varmaa 15 %:n työttömyysastetta, eli vaihtoehtoa B. Tämä esimerkki osoittaa, miten epävarmuus päätöksentekotilanteessa saattaa johtaa varman huonomman vaihtoehdon valitsemiseen kuin odotetun hyödyn maksimointi tuottaisi. Esimerkki osoittaa myös sen, että epävarmassa päätöksentekotilanteessa valinta riippuu päätöksentekijän suhtautumisesta riskiin. Oletetaan päätöksentekijälle perinteinen hyötyfunktio u = u(z), siten, että Z i Z j u(z i ) u(z j ), missä Z i, Z j ovat asioiden tiloja ja Z i Z j merkitsee, että päätöksentekijä pitää tulemaa Z j vähintään yhtä hyvänä kuin tulemaa Z i (päätöksentekijän preferenssijärjestyksen osoittava relaatio). Päätöksentekijän indifferenssi (samahyöty) -relaatio määritellään seuraavasti: Z i Z j u(z i ) = u(z j ). Oletetaan nyt, että Z 1 Z 2 Z n missä Z i, i = 1,..., n ovat kaikki mahdolliset asiantilat tietyssä päätöksentekotilanteessa. Tällöin päätöksentekijällä pätee u(z 1 ) u(z 2 ) u(z n ). Oletetaan vielä, että asiantiloihin liittyy epävarmuutta siten, että jokainen Z i, i = 1,..., n tapahtuu tietyllä todennäköisyydellä. Määritellään päätöksentekijälle normaalimuotoinen pelitilanne seuraavasti: päätöksentekijän on valittava kahden tilanteen välillä: 1) paras tapahtuma Z 1 tn p ja huonoin tapahtuma Z n tn (1 p) tai 2) varma tapahtuma Z i, 0 i n. Todennäköisyys p voi vaihdella välillä (0, 1). a) Koska Z 1 Z i, ja jos Z 1 on varma tapahtuma eli p = 1, päättäjä preferoi varmasti vaihtoehtoa 1). b) Koska Z i Z n, ja jos Z n on varma tapahtuma eli p = 0, päättäjä preferoi varmasti tilannetta 2). Löytyy siis sellaiset todennäköisyydet p, joissa päättäjä preferoi kumpaakin vaihtoehtoa. Väite: Jokaiselle Z i löytyy sitä vastaava todennäköisyys p, jolla päätöksentekijä yo. valintatilanteessa on indifferentti tilanteiden 1) ja 2) välillä. Todistus: Merkitään väitteessä kuvattua todennäköisyyttä v i :llä. Tällöin Z i [v i Z 1 ; (1 v i )Z n ], (1) 1

missä hakasuluissa esitetyllä termillä merkitään edellä kuvattua pelitilannetta (arvontaa Z 1 :n ja Z n :n välillä). Osoitetaan nyt, että jokaiselle Z i, i = 1,..., n löydetään yllä kuvattua tilannetta vastaava v i. Nyt v 1 = 1, sillä se on ainoa arvo, jolla varma tapahtuma Z 1 on päätöksentekijän kannalta samanarvoinen (indifferentti) pelitilanteen [v 1 Z 1 ; (1 v 1 )Z n ] kanssa. Vastaavasti v n = 0, sillä varma tapahtuma Z n on päätöksentekijän kannalta ainoa indifferentti tilanne pelitilanteen [v n Z 1 ; (1 v n )Z n ] kanssa. Preferenssirelaation monotoonisuuden Z 1 Z n perusteella voidaan määritellä yllä kuvatut subjektiiviset todennäköisyydet 1 = v 1 v 2 v n = 0 jokaiselle Z i, i = 1,..., n, joilla indifferenssirelaatio (1) toteutuu. Huomautus! Edellä saatu tulos johdettiin olettamalla, että päätöksentekijä kykenee järjestämään asiantilat Z 1,..., Z n paremmuusjärjestykseen. Vaikka ääritilanteet v 1 = 1 ja v n = 0 toteutuvatkin jokaisella päätöksentekijällä, jolla tämä sama paremmuusjärjestys vallitsee, muut todennäköisyydet v i, i = 2,..., n 1 määräytyvät päätöksentekijöiden subjektiivisen riskiin suhtautumisen perusteella, eli ne ovat subjektiivisia. Arvoa v i kusutaan tuleman Z i certainty equivalent -mukaiseksi hyötytasoksi. Määritellään päätöksentekotilannetta vastaava von Neumann-Morgenstern (VM) -hyötyfunktio ko. päätöksentekijälle seuraavasti: V (Z 1 ) = v 1 = 1, V (Z n ) = v n = 0 ja 0 V (Z i ) 1 i, V (Z i ) = v i. VM -hyötyfunktion arvoille pätee v i v j Z i Z j, eli se säilyttää päätöksentekijän preferenssirelaation mukaisen paremmuusjärjestyksen skaalaten funktion arvot välille (0, 1). Tämä arvoväli ei ole välttämätön, mutta se mahdollistaa samastamaan hyötyfunktion arvot todennäköisyyksiin. Huom! Jokainen v i on päätöksentekijän määrittämä subjektiivinen todennäköisyys (uskomus), jolla yllä esitetty indifferenssirelaatio (1) hänen kohdallaan toteutuu. Todennäköisyys v i ei siis liity tapahtuman Z i objektiiviseen todennäköisyyteen, vaan v i on vastaus päätöksentekijän ajatuskokeeseen yllä kuvatusta päätöstilanteesta (päätöksentekijän valinta sellaiseksi v i :n arvoksi, jolla indifferenssirelaatio hänen kohdallaan toteutuu). Subjektiiviset arvot v i, i = 1,..., n määrittävät päätöksentekijän suhtautumisen riskiin. Tarkastelemalla päätöksentekijöiden itselleen määrittelemiä arvoja v i, i = 2,..., n 1, päätöksentekijät voidaan luokitella 1) riskin karttajiin, 2) riskineutraaleihin ja 3) riskin ottajiin. Esim. Z 1 = 1000 mk, Z n = 0 mk ja Z i = 500 mk, missä luvut ovat päätöksentekijän saamia tuloja eri tilanteissa. Reilu peli edellyttää, että pelin molemmilla päätösvaihtoehdoilla on sama odotusarvo, Z i [pz 1 ; (1 p)z n ] 500 = 1000 p + 0 (1 p) p = 500 1000 = 1 2. 2

Reilun pelin mukainen todennäköisyys tulemalle 1000 mk on siten 1/2. Yksittäisillä päätöksentekijöillä v i :n ei kuitenkaan tarvitse olla 1/2:n suuruinen; vain riskineutraaleilla tämä toteutuu. Riskin karttajilla suotuisamman tapahtuman todennäköisyyden tulisi toteuttaa ehto v i > 1/2, jotta he pitäisivät varmaa tapahtumaa 500 mk ja yllä kuvattua pelitilannetta (arpalippua) samanarvoisina. Riskin ottajilla taas pätee v i < 1/2. VM -hyötyindeksi ja odotetun hyödyn maksimointi Sellainen epävarma päätöksentekotilanne, jossa on n mahdollista tulemaa, Z 1,..., Z n, voidaan ymmärtää seuraavalla tavalla muodostetuksi yhdistetyksi arvonnaksi (compound lottery). Olkoon meillä epävarmuuden vallitessa tehtävä valintatilanne, jossa on J mahdollista arpalippua (olosuhdetta) L j, j = 1,..., J, jotka määrittelevät epävarmoille asiantiloille Z i tietyt todennäköisyydet. Jokainen arpalippu L j koostuu n:stä mahdollisesta tapahtumasta L j = [p j 1Z 1 ; p j 2Z 2 ; ; p j nz n ], missä p j i on tapahtuman Z i joko objektiivinen todennäköisyys tai päätöksentekijän subjektiivinen uskomus kyseisen tapahtuman tapahtumistodennäköisyydestä arpalipun L j toteutuessa, i = 1,..., n, n pj i = 1. Jokin Z i toteutuu siten varmasti arvonnassa. Yhdistetyssä arvonnassa ensimmäinen arvonta tehdään arpalippujen (olosuhteiden) L j, j = 1,..., J, kesken. Valittu arpalippu L k määrää tapahtumille Z i todennäköisyydet p k i, i = 1,..., n. Toinen arvonta puolestaan määrää, mikä mahdollisista tulemista (asioidentiloista) Z i toteutuu. Huom! Älä sotke todennäköisyyksiä p j i päätöksentekijän riskiin suhtautumista ilmaiseviin todennäköisyyksiin v i, jotka määräävät päätöksentekijän indifferenssirelaation tietyn arpalipun ja jonkin varman tapahtuman välille. Useat reaalimaailman epävarmuutta sisältävät päätöksentekotilanteet voidaan ajatella yllä kuvattuna yhdistettynä arvontana. Esim. Ravintoloitsija voi ajatella kesäterassinsa juomien menekkiä seuraavanlaisena yhdistettynä arvontana. Ensin arvotaan minkälainen ilma tulee tietyksi päiväksi (olosuhteet eli arpalippu L j ), joka määrää tietyt todennäköisyydet eri juomien menekille. Tämän jälkeen arvotaan, paljonko tiettyä juomaa terassilla menee kaupaksi ko. päivänä (mikä tapahtuma Z i toteutuu). Esim. Kauppias arvioi oman kauppansa hyödykkeiden menekkiä tietyn ajanjakson aikana yhdistettynä arvontana, jossa ensiksi arvotaan asiakkaiden kauppaan saapumisen todennäköisyys tiettynä ajanjaksona yhtenä tapahtumana asiakkaiden vaihtoehtoisten ajankäyttömuotojen kanssa (olosuhteet). Tämä määrää eri hyödykkeille tietyt ostotodennäköisyydet. Tämän jälkeen kauppaan saapuneiden asiakkaiden osalta arvotaan, mitä hyödykkeitä he valitsevat ostoskassiinsa. 3

Määritelmä: Hyötyfunktio V : Ω R on odotetun hyödyn muotoa, jos on olemassa reaaliluvut v 1,..., v n jokaiselle mahdolliselle tapahtumalle Z 1,..., Z n siten, että jokaisessa yksinkertaisessa arvonnassa L = [p 1 Z 1 ; ; p n Z n ] päätöksentekijän saama hyöty arpalipusta L voidaan kuvata funktiona V (L) = p 1 V (Z 1 ) + + p n V (Z n ) = p 1 v 1 + + p n v n. Odotetun hyödyn mukaista hyötyfunktiota kutsutaan keksijöidensä mukaan von Neumann-Morgenstern (VM) -hyötyindeksiksi, ja se mittaa nimensä mukaisesti päätöksentekijän kyseisestä arvonnasta koituvan tuleman odotusarvoa siten, että eri tulemia arvotetaan niiden ns. certainty equivalent mukaisilla arvoilla (kts. edellä). Nimitys indeksi tulee siitä, että hyötyfunktion arvot ovat paljaita (mittayksiköttömiä) lukuja. Tarkastelemamme päätöksentekijän valintaongelma on seuraava: J:stä mahdollisesta arpalipusta yksi on valittava (esim. kauppiaan on arvioitava tietyn hyödykkeen menekki tiettynä ajanjaksona). Kun arpa on valittu, molemmat arvonnat suoritetaan, jonka jälkeen jokin mahdollisista arpalipuista (olosuhteista) L j sekä asiantiloista Z i toteutuu. VM -hyötyindeksi antaa meille yksinkertaisen tavan päätellä, mikä arpalippu päätöksentekijän kannattaisi valita. Muodostetaan päätöksentekijälle arpalippua L j vastaava tapahtumien Z i certainty equivalent -arvoista laskettu VM -hyötyindeksi seuraavasti V (L j ) = p j i V (Z i) = p j i v i, (2) missä päätöksentekijän hyödyt eri tilanteissa on korvattu edellä määritellyn VM -hyötyindeksin arvoilla, V (Z i ) = v i, i = 1,..., n. Hyötyindeksissä (2) tapahtumat Z i saadaan toistensa kanssa vertailukelpoisiksi arvottamalla niitä edellä kuvatulla vaatimuksella, jossa varmaa tapahtumaa Z i arvotetaan sillä suotuisamman asiantilan Z 1 todennäköisyydellä v i, joka tekee varmasta tulemasta Z i päätöksentekijän mielestä samanarvoisen parhaimmasta ja huonoimmasta vaihtoehdosta muodostetun arpalipun välillä. VM -hyötyindeksin mukaan V (L k ) V (L r ) L k L r. Tällä perusteella paras valinta (mikä arpalippu valitaan joukosta L 1,..., L J ) saadaan maksimoimalla kaavassa (2) määriteltyä odotettua hyötyä yli kaikkien arpalippujen L j, j = 1,..., J (valitaan se arpalippu L k, joka tuottaa suurimman odotusarvon hyötyindeksille V (L k ) V (L j ), j), jotka ovat päätöksentekijän arvostusten v i lineaarisia funktioita. Tästä syystä VM -hyötyteoriaa kutsutaan usein odotetun hyödyn maksimoinniksi. 4

Jatkossa tarkastelemme yksinkertaisuuden vuoksi vain sellaisia tilanteita, jotka voidaan kuvata yhdellä kerralla tapahtuvina arvontoina. Tämä ei rajoita analyysin kattavuutta, sillä yhdistetyt arvonnat voidaan pelkistää yhdeksi arvonnaksi muokkaamalla asiantilojen todennäköisyyksiä tilanteen mukaisesti. Esim. Merkitään yrityksen voittoa Π tietyn päätöksentekotilanteen n:ssä mahdollisessa tulemassa seuraavasti Π i, i = 1,..., n, ja järjestetään tulemat suuruusjärjestykseen Π 1 Π 2 Π n. Muodostetaan yritykselle erisuurten mahdollisten voittojen tuottamat VM -hyötyindeksin arvot (skaalataan hyötyfunktion arvot välille (0, 1)) seuraavasti: V (Π 1 ) = v 1 = 1, V (Π n ) = v n = 0 ja 0 V (Π i ) = v i 1, i = 1,..., n. Tarkastellaan nyt tapahtuman Π i päätöksentekijälle tuottamaa hyötyä V (Π i ) = v i, 0 < i < n. Edellä esitetyn määritelmän mukaan päätöksentekijä (yritys) määrää luvun v i siten, että yritys on indifferentti seuraavien kahden tapahtuman kesken Π i [v i Π 1 ; (1 v i )Π n ]. Reilun pelin mukainen tilanne toteuttaa yhtälön Π i = p i Π 1 + (1 p i )Π n, (3) missä varma tapahtuma Π i vastaa pelitilanteen (arpalipun) [p i Π 1 ; (1 p i )Π n ] odotusarvoa. Kaavan (3) mukaan tapahtuma Π i sijaitsee tasossa (Π, V (Π)) pisteet (Π 1, V (Π 1 ) = v 1 ), (Π n, V (Π n ) = v n ) yhdistävällä janalla. Oletetaan nyt yritys riskin karttajaksi, jolloin VM -hyötyindeksin (odotetun hyödyn) periaatteiden mukaisesti voidaan kirjoittaa V (Π i ) = v i > p i = p i V (Π 1 ) + (1 p i )V (Π n ) sillä V (Π 1 ) = 1, V (Π n ) = 0. Koska yrityksellä pätee V (Π i ) = v i > p i, eli päätöksentekijän edellyttämä varman tapahtuman Π i ja kyseisen kahden tapahtuman arpalipun samanarvoiseksi tekevä suotuisamman tapahtuman todennäköisyys on reilun pelin määrittämää todennäköisyyttä suurempi (tason piste löytyy kaavassa (3) määritellyn suoran yläpuolelta), päätöksentekijä on riskin välttäjä. Vastaavasti riskin ottajan valinta v i sijaitsisi tasossa suoran alapuolella ja riskineutraalin päätöksentekijän valinta sijaitsisi ko. suoralla. Riskiä välttävä päätöksentekijä vaatii tietyn kompensaation suostuakseen reilun pelin mukaiseen arvontaan. Toinen tapa sanoa sama asia on, että päätöksentekijä on valmis maksamaan siitä, että hänen ei tarvitse osallistua reilun pelin mukaiseen arvontaan (hän tyytyy pienempään varmaan tuloon kuin reilun pelin mukaisen arvonnan odotusarvo olisi, jotta hänen ei tarvitse osallistua ko. arvontaan). Tätä kompensaatiota kutsutaan riskipreemioksi. Se ilmaisee summan, jonka päätöksentekijä on valmis maksamaan riskin välttämisestä. Vakuutusmaksut ovat yksi esimerkki riskipreemiosta. 5

Piirretään tilanteesta kuvio. Kuviossa Π on riskin karttajan riskipreemio (korvaus riskin ottamisesta) jonka yritys vaatii, jotta se pitäisi reilun pelin arpalippua ja varmaa tapahtumaa Π i samanarvoisina, V (Π k ) = p i = p i V (Π 1 ) + (1 p i )V (Π n ), Π = Π i Π k. Riskin karttajan hyötyfunktio on siten konkaavi ( ylöspäin kupera), sillä se sijaitsee pisteet (Π 1, V (Π 1 )), (Π n, V (Π n )) yhdistävän janan yläpuolella. Vastaavasti riskin ottajan hyötyfunktio on konveksi ( ylöspäin kovera) ja riskineutraalin lineaarinen. Kasvavalle konkaaville funktiolle f : A R pätee f (A) > 0, f (A) < 0, kasvavalle konveksille funktiolle f : A R pätee f (A) > 0, f (A) > 0 ja kasvavalle lineaariselle funktiolle f : A R pätee f (A) > 0, f (A) = 0. Esimerkki. (Tämä malli on Sandmon ensimmäisenä esittämä. Aiemmin tarkastelemamme Lucasin mikromalli lienee syntynyt tämän innoittamana. Mittayksiköt olen lisännyt itse). Olkoon yrityksen voitto muotoa Π = Zq wl, q = f(l), f (L) > 0, f (L) < 0, missä Z (mk/kpl) on lopputuotteen yksikköhinta, q (kpl/kk) on yrityksen tuotantonopeus, L (h/kk) yrityksen työpanoskäyttö ja w (mk/h) tuntipalkka. Täydellisen kilpailun tilanteessa yrityksen voitto maksimoituu valitsemalla työpanoskäyttö seuraavasti Π ( L = 0 Zf (L) = w L = f 1 w ). Z Oletetaan nyt, että lopputuotteen yksikköhinta Z voi vaihdella välillä Z 1 Z n vastaavien todennäköisyyksien ollessa p 1,..., p n. Yritys joutuu tekemään sitovan työsopimuksen tarkastelujaksolle ennen kuin lopputuotteen hinta realisoituu, eli hintaa koskeva arvonta tapahtuu. Yrityksen mahdollisia tulemia voidaan kuvata seuraavana arpalippuna K = [p 1 Π 1 ; p 2 Π 2 ; ; p n Π n ], missä Π i = Z i f(l) wl, i = 1,..., n. Muodostetaan yritykselle odotetun hyödyn mukainen VM -hyötyindeksi E[V (Π)] seuraavasti E[V (Π)] = p i V (Π i ) = p i V (Z i f(l) wl). Tarkastellaan nyt riskin välttäjäyrityksen työpanoksen kysyntää. Yritykselle pätee V (Π) > 0, V (Π) < 0 riskin välttämisoletuksen mukaisesti. Valitaan L maksimoiden yrityksen odotettua hyötyä. max L E[V (Π)] = p i V (Π i ) = 6 p i V (Z i f(l) wl).

Tämän välttämätön ehto on E[V (Π)] L = 0 p i V (Π i )[Z i f (L) w] = 0. (4) Verrataan tulosta (4) riskineutraalin yrityksen työpanosvalintaan. Riskineutraali yritys valitsee työpanoskäyttönsä asettamalla työpanoksen rajatuottavuuden odotusarvon tuntipalkan suuruiseksi. Tämä nähdään seuraavasti. Riskineutraalin yrityksen hyötyfunktio on lineaarista muotoa, joka vastaa voiton odotusarvoa. Odotetun voiton maksimointiongelma on max E[Π] = p i Π i = p i [Z i f(l) wl]. L Tämän optimointiongelman välttämätön ehto on E[Π] = 0 p i [Z i f (L) w] = 0 L f (L) p i Z i = w E[Z]f (L) = w; Riskineutraali yritys työllistää siten työpanosta sen verran, että työpanoksen rajatuottavuuden odotusarvo yhtä tuntia kohti (tarkista mittayksiköt) vastaa tuntipalkkaa. Jos nyt Z i > E[Z], eli yrityksen lopputuotteen toteutunut hinta on odotusarvoaan suurempi, työpanoksen rajatuottavuuden arvo yhtä tuntia kohti ylittää tuntipalkan. Voiton maksimoinnin kannalta yritys on tällöin työllistänyt liian vähän ja päinvastoin. Osoitetaan seuraavaksi, että riskiä karttava yritys työllistää riskineutraalia vähemmän. Todistetaan ensin väite: [ Zi E[Z] ] V (Π i ) < [ Z i E[Z] ] V (E[Π]). Oletus Z i > E[Z]; Z i f(l) wl > E[Z]f(L) wl Π i > E[Π]. Koska Π i > E[Π], VM -hyötyindeksin määritelmän mukaan V (Π i ) > V (E[Π]). V :n kasvavuuden ja konkaavisuuden nojalla pätee tällöin V (Π i ) < V (E[Π]) (miksi?). Ehdosta Z i > E[Z] voidaan siten johtaa [ Zi E[Z] ][ V (E[Π]) V (Π i ) ] > 0, mistä väite seuraa. Oletus Z i < E[Z]; Z i f(l) wl < E[Z]f(L) wl Π i < E[Π]; Koska Π i < E[Π], VM -hyötyindeksin mukaan V (Π i ) < V (E[Π]). V :n kasvavuuden ja konkaavisuuden nojalla pätee tällöin V (Π i ) > V (E[Π]). Ehdosta Z i < E[Z] saadaan siten johdettua [ Zi E[Z] ][ V (Π i ) V (E[Π]) ] < 0, mistä väite seuraa. 7

Väite pätee siis aina kun Z i E[Z]. Otetaan todistetusta epäyhtälöstä odotusarvot puolittain, [Zi E{ E[Z] ] } [Zi V (Π i ) < E{ E[Z] ] } V (E[Π]) [Zi E{ E[Z] ] } { } V (Π i ) < V (E[Π])E Z i E[Z] [Zi E{ E[Z] ] } V (Π i ) < 0; ensimmäisessä vaiheessa vakio V (E[Π]) (odotusarvon ottaminen poistaa satunnaiskomponentit) otettiin odotusarvo-operaattorin eteen, ja toisessa vaiheessa laskettiin oikealla puolella määritelty odotusarvo. Kirjoitetaan yhtälö (4) uudestaan { E V (Π i ) [ Z i f (L) w ]} = 0 f (L)E[Z i V (Π i )] = we[v (Π i )]. Vähennetään yhtälön molemmilta puolilta termi E[Z]f (L)E[V (Π i )], [Zi f (L)E{ E[Z] ] } V (Π i ) = [ w E[Z]f (L) ] E [ V (Π i ) ]. Koska f (L) > 0 ja edellä osoitimme että E {[ Z i E[Z] ] V (Π i ) } < 0, yo. yhtälön vasen puoli on negatiivinen. Tällöin myös oikea puoli on negatiivinen, ja koska E[V (Π i )] > 0, epäyhtälön w E[Z]f (L) < 0 täytyy päteä. Riskiä karttavalla yrityksellä pätee siten w < E[Z]f (L), eli yritys työllistää vähemmän kuin vastaava riskineutraali yritys, sillä f (L) > 0 ja f (L) < 0. Saatu tulos selittyy sillä, että riskiä välttävä yritys pyrkii välttämään liian suuren työpanoskäytön aiheuttamia kustannuksia epäsuotuisassa tilanteessa. VM -hyötyindeksin funktiomuodoista Oletetaan riskin karttajan hyötyindeksi toisen asteen polynomifunktioksi V (Z) = a + bz cz 2, V (Z) = b 2cZ > 0, V (Z) = 2c < 0, missä a ja b ovat positiivisia vakioita siten, että Z < b/2c toteutuu. Vakion c etumerkki määrää päätöksentekijän suhtautumisen riskiin: c > 0 pätee riskin välttäjällä ja c < 0 riskin ottajalla. Esimerkki. Olkoon Z satunnaismuuttuja Z N(Z, σ 2 ) ja päätöksentekijän hyötyfunktio yllä kuvattu. Tällöin E[V (Z)] = a + be[z] ce[z 2 ] = a + bz c[σ 2 + Z 2 ], sillä (5) { [Z ] } } σ 2 2 = var[z] = E E[Z] = E {Z 2 2ZE[Z] + (E[Z]) 2 = E[Z 2 ] (E[Z]) 2 = E[Z 2 ] Z 2. 8

Tästä seuraa E[Z 2 ] = σ 2 + Z 2. Kokonaisdifferentioimalla (5), saadaan de[v (Z)] = [b 2cZ]dZ 2cσdσ. Hyötyindeksin vakiotasoa kuvaavalla samahyöty- eli indifferenssikäyrällä pätee de[v (Z)] = 0. Asettamalla tämä ehto edelliseen, saadaan dz dσ = 2cσ b 2cZ. Jos c > 0, eli päätöksentekijä on riskin välttäjä, ja lisäksi pätee edellä oletettu Z < b/2c, tällöin dz/dσ > 0. Väite: Koordinaatistossa (σ, Z) riskin välttäjän indifferenssirelaatio on nouseva siten, että relaatio on vaakasuora kun σ = 0. Todistus: lim σ 0 dz dσ 0, lim σ Edelleen ottamalla huomioon dz/dσ, saadaan 2 Z σ 2 = = 2c(b 2cZ) 2cσ( 2c dz dσ ) (b 2cZ) 2 = 2c b 2cZ + 8c3 σ 2 (b 2cZ) 3 > 0, dz dσ. 2c b 2cZ + 4c 2 σ (b 2cZ) 2 ( 2cσ b 2cZ eli indifferenssikäyrät kaareutuvat ylöspäin (piirrä indifferenssikäyrästö). Päätöksentekijällä σ:n kasvu merkitsee riskin (epävarmuuden) lisääntymistä. Riskiä välttävä päätöksentekijä vaatii riskin kasvun kompensaationa odotetun hyötytason Z kasvua, jotta hän pitäisi tilanteita samanarvoisina. Tämä selittää indifferenssikäyrästön muodon. ) 9

Arrow-Prattin suhteellinen riskin välttämismitta A-P määrittelevät seuraavan riskin välttämisen voimakkuutta ilmaisevan suhteellisen mittarin Z:n rajahyödyn V (Z):n joustona Z:n suhteen -1:llä kerrottuna. Vastaluku otetaan, jotta mittasuure saadaan positiiviseksi. H = ( V Z Z ) Z V Z = V (Z) Z Z V (Z) = ZV (Z) V (Z). Joustona kyseinen mittasuure on paljas luku. Siinä hyötyfunktion V ja sen argumentin Z mahdolliset mittayksiköt skaalautuvat pois, ja suure saa sitä suuremman arvon, mitä suurempi V (Z):n arvo on suhteessa V (Z):n arvoon, eli mitä käyrempi hyötyfunktio on; myös Z:n arvo vaikuttaa mittasuureeseen. Oletetaan hyötyfunktiolle seuraava muoto V (Z) = a + bz 1 γ, V (Z) = b(1 γ)z γ, V (Z) = b(1 γ)γz γ 1, missä a, b, γ ovat positiivisia vakioita. Suhteellisen riskin välttämismitan arvo on tällöin H = ZV (Z) V (Z) = Zbγ(1 γ)z γ 1 b(1 γ)z γ = γz 0 = γ. Valitulla hyötyfunktiolla A-P:n suhteellisen riskin välttämismitan arvo on vakio; mitä suurempi γ sitä suurempi riskin välttämishalukkuus. Käytännössä suure H mittaa riskineutraalin päätöksentekijän lineaarisen hyötyfunktion yläpuolella kulkevan hyötyfunktion etäisyyttä ko. lineaarisesta funktiosta. Arrow-Prattin absoluuttinen riskin välttämismitta Riskiä välttävä päätöksentekijä pitää parempana varmaa tulemaa odotusarvoltaan samansuuruiseen epävarmaan tulemaan verrattuna. Merkitään varmaa tulemaa Z:lla, suotuisamman tuleman Z 1 objektiivista todennäköisyyttä p 1 :llä ja epäsuotuisamman tuleman Z n objektiivista todennäköisyyttä 1 p 1 :llä. Sitä riskipreemiota, jolla päätöksentekijä on indifferentti arpalipun [p 1 Z 1 ; (1 p 1 )Z n ] ja varman tuleman Z välillä, merkitään r > 0:llä. Tällöin päätöksentekijällä pätee V (Z r) = p 1 V (Z 1 ) + (1 p 1 )V (Z n ). missä Z r on päätöksentekijän tilanteessa saama varma tulema ja oikealla puolella on epävarman tuleman tuottaman hyödyn odotusarvo. Oletetaan, että päätöksentekijälle tarjotaan mahdollisuus osallistua reiluun peliin Z i = Z + u, missä u N(0, σ 2 ). Tällöin E[Z i ] = Z, mutta päätöksentekijän 10

hyötytaso ei vastaa tasoa V (Z) koska hän on riskin välttäjä. Päätöksentekijällä pätee tällöin V (Z r) = E[V (Z + u)], (6) missä r > 0 on päätöksentekijän tilannetta vastaava riskipreemio. Arvioidaan V (Z + u):ta Taylorin 2. asteen sarjakehitelmällä Z:n ympäristössä V (Z + u) = V (Z) + V (Z)(Z + u Z) + 1 2 V (Z)(Z + u Z) 2 = V (Z) + V (Z)u + 1 2 V (Z)u 2 Ottamalla edellisestä odotusarvo, saadaan E[V (Z + u)] = V (Z) + 1 2 V (Z)E[u 2 ] = V (Z) + 1 2 V (Z)σ 2 (7) sillä E[u] = 0. Arvioidaan yhtälön (6) vasenta puolta Taylorin 1. asteen kehitelmällä V (Z r) = V (Z) + V (Z)(Z r Z) = V (Z) V (Z)r. (8) Asettamalla (7) ja (8) yhtäsuuriksi, saadaan V (Z) V (Z)r = V (Z) + 1 2 V (Z)σ 2 r = 1 V (Z) 2 V (Z) σ2 > 0. Varianssin σ 2 kerroin on edellä johdettu suhteellinen riskin välttämismitta kun Z = 1/2. Tätä r:än approksimaatiota kutsutaan Arrow- Prattin absoluuttiseksi riskin välttämismitaksi. Mitä suurempia ovat σ 2 ja V /V, sitä suurempi on r (huom! V /V < 0). Tobinin portfoliomalli (hieman muunneltuna) Oletetaan, että sijoittajalla on kaksi mahdollista sijoituskohdetta: riskitön korkosijoitus (pankkitalletus tai valtion obligaatio) sekä riskillinen sijoituskohde (esim. osake). Tobin hyödynsi VM -hyötyindeksiä osoittaakseen, että optimaalisesti toimiessaan riskin karttaja hajauttaa sijoituksensa. Sijoittajan budjettiyhtälö on muotoa W t = (W A)r + Aρ, 0 A W 0 missä W (mk) on sijoittajan varallisuus, A (mk) riskilliseen sijoituskohteeseen sijoitetut varat portfoliossa (W A+A = W ), 0 A W, W/ t (mk/ t) 11

varallisuuden kasvunopeus, r (1/ t) riskitön korko (vakio), ρ = ρ + ɛ riskillisen sijoituskohteen yksiköissä (1/ t) mitattu tuottoaste (ρ > r, vakio, ja ɛ N(0, σ 2 ɛ )). Nyt [ W ] E = (W A)r + Aρ = µ, (9) t missä µ:llä merkitään varallisuuden kasvunopeuden odotusarvoa ja {[ [ W ] σ 2 W [ W ] ] 2] = var = E t t E = E[(Aɛ) 2 ] = A 2 σɛ 2. t Tästä saadaan ratkaistua A = σ/σ ɛ. Sijoitetaan tämä (9):een: µ = W r + σ σ ɛ (ρ r). Yllä kuvatun budjettisuoran kulmakerroin koordinaatistossa (σ, µ) on ( ) ρ r dµ = dσ dµ dσ = ρ r > 0. σ ɛ σ ɛ Ajatellaan sijoittajan hyödyn riippuvan positiivisesti varallisuuden kasvunopeudesta ( ) W u = u, u > 0, u < 0. t Edellä johdimme riskiä karttavalle päätöksentekijälle indifferenssikäyrästön tuleman odotusarvosta ja varianssista muodostettuun koordinaatistoon. Käytetään nyt hyväksi näitä indifferenssikäyriä, ja piirretään sijoittajan optimaalinen valinta ko. koordinaatistoon. Tällöin näemme, että sijoittaja ei sijoita kaikkia varojaan jompaan kumpaan kohteeseen, vaan valitsee optimaaliseen portfolioonsa molempia sijoituskohteita. Riskiä välttävä sijoittaja preferoi siten hajautettua portfoliota. 12