Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 5. laskuharjoituskierros, vko 8, ratkaisut D. Eräässä maata kiertävällä radalla olevassa satelliitissa on ilmaisin, jonka elinikä X yksikkönä vuosi noudattaa eksponenttijakaumaa parametrilla /. a Mikä on ilmaisimen keskimääräinen elinikä? b Määrää ilmaisimen eliniän mediaani eli määrää ikä x siten, että PrX x = 0.5. c Määrää todennäköisyys, että ilmaisin kestää kauemmin kuin vuotta. d Millä todennäköisyydellä ilmaisin toimii ainakin vielä yhden vuoden, jos se on toiminut jo e vuoden? Millä todennäköisyydellä ilmaisin toimii ainakin vielä yhden vuoden, jos se on toiminut jo kaksi vuotta? X Exp0.5. Tiheysfunktio: Aputulos: fx = λe λx, x 0 PrX > x = PrX x = Fx = x 0 ftdt = e λx, x 0 a Keskimääräinen elinikä: EX = λ = vuotta b Aputulosta hyväksi käyttäen: PrX > x = 0.5 e λx = 0.5 x = ln0.5 λ Eli satunnaismuuttujan X mediaani on n.86 vuotta. c Aputulosta hyväksi käyttäen: d ja e Aputulosta hyväksi käyttäen: PrX > = e λ = e 0.68 PrX > = e λ = e 0.5 0.607.86 Koska eksponenttijakaumalla on unohtamisominaisuus, saadaan kohdissa d ja e sama vastaus: Pr Toimii ainakin vielä vuoden On toiminut jo a vuotta = PrX > a + X > a = PrX > a + PrX > a = e λa+ e λa = e λ = e 0.5 0.607
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 D. Olkoon satunnaismuuttuja Z N0,. a Määrää satunnaismuuttujan Z mediaani eli piste z siten, että PrZ z = 0.5. b Määrää PrZ >. c Määrää PrZ. d Määrää z siten, että PrZ z = 0.95. e Määrää z siten, että PrZ z = 0.05. f Määrää Pr Z. g Määrää z siten, että Pr Z z = 0.05. Olkoon satunnaismuuttuja X N, 9. h Määrää PrX. i Määrää x siten, että PrX x = 0.05. Tässä tehtävässä harjoitellaan normaalijakauman taulukoiden käyttöä. Mallikuvan piirtäminen helpottaa ajattelua. a PrZ 0 = 0.5 eli z = 0 b PrZ > = PrZ = 0.84 = 0.587 c PrZ = 0.587 = PrZ d PrZ z = 0.95 z =.64 e PrZ z = 0.05 PrZ z = 0.95 z =.64 f Pr Z = Pr Z = PrZ = 0.977 = 0.9544 g Pr Z z = 0.05 PrZ z = 0.05 PrZ z = 0.05 PrZ z = 0.975 z =.96 Nyt pätee seuraavaa kts. standardointi kaavakokoelmasta: Z = X µ = X N0, σ X = σz + µ = Z + N, 9 h PrX = Pr Z = Pr Z = 0.54 = Pr Z i PrZ z = 0.05 PrZ z = 0.95 z =.64 x = z + = 5.9 D. Heität virheetöntä noppaa 000 kertaa. a Mikä on odotettavissa oleva kuutosten lukumäärä? b Mikä on todennäköisyys, että kuutosten lukumäärä on suljetulla välillä 960, 080]? Käytä b -kohdassa sopivaa normaalijakauma-approksimaatiota.
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 a Kuutosten määrä heitossa X Bin000, /6, joten odotettavissa olevien kuutosten lukumäärä: EX = np = 000 b Keskeisen raja-arvolauseen mukaan satunnaismuuttuja Z = X EX DX a N0, jossa nyt EX = np = 000 ja D X = npq = np p 666.67 ja DX 40.8. Lasketaan tulos normaalijauman avulla: 960 000 080 000 Pr960 X 080 Pr Z 40.8 40.8 = Pr 0.98 Z.96 = Pr.96 Z Pr 0.98 Z = 0.9750 0.65 = 0.85 P4. Sähkölampun elinikä X yksikkönä 000 h noudattaaa jakauma, jonka tiheysfunktio on { c fx = x, x 0 0, muulloin p. ja c on vakio. a Määrää vakion c arvo. b Millä todennäköisyydellä lamppu kestää 6000-8000h? c Mikä on lampun keskimääräinen elinikä? d Määrää lampun eliniän mediaani eli määrää ikä x, jolle PrX x = 0.5. a Vakio c voidaan määrätä ehdosta fxdx Siten 0 fxdx = c x dx = c ] 0 = c = 9 x 0 0 c = c = 0 9 b Pr6 < X < 8 = 8 6 fxdx = 0 8 0 dx = ] 8 9 6 x 9 x = 0 6 9 6 = 5 8 8 0.09
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 c EX = xfxdx = 0 0 9 x 0 ] 0 dx = lnx 9 = 0 ln0 ln 9.577 eli lampun keskimääräinen kestoikä on noin 577 tuntia. d Lampun eliniän mediaani saadaan ehdosta PrX x = x fxdx = 0 x 9 Näin ollen x = 0/ 0.95 eli noin 95 tuntia. 0 dx = ] x x 9 x = 0 = 0.5 9 x P5. Olkoon satunnaismuuttuja X N,. a Määrää PrX =. b Määrää satunnaismuuttujan X mediaani eli piste x siten, että PrX x = 0.5. c Määrää PrX 0. d Määrää x siten, että PrX x = 0.99. e Määrää x siten, että PrX x = 0.0. f Määrää satunnaismuuttujan X odotusarvoon µ nähden symmetriset pisteet µ x ja µ + x niin, että niiden ulkopuolelle jää todennäköisyysmassasta 5 %. p. Nyt pätee seuraavaa kts. standardointi kaavakokoelmasta: a PrX = = 0 jatkuva jakauma Z = X µ σ = X N0, X = σz + µ = Z + N, b PrX = 0.5 jakauman symmetrisyys c PrX 0 = PrZ / = PrZ. = 0.070 d PrZ z = 0.99 z =. x =. + 6.0 e PrZ z = 0.0 z =. x =. + 0.0 f Pr Z z = 0.05 PrZ z = 0.05 PrZ z = 0.05 PrZ z = 0.975 z =.96 Näin ollen µ + x = +.96 = 5.77 µ x =.96 = 0.
Mat-.09 Sovellettu todennäköisyyslasku, kevät -05 P6. Radioaktiivisten aineiden säteilyä mitataan Geiger -putkella. Mittaus tapahtuu rekisteröimällä impulssien lukumäärä 60 sekunnin aikana. Oletetaan, että impulssien lukumäärä noudattaa Poisson -jakumaa, jossa tapahtumaintesiteetti on 90 impulssia/s. a Mikä on odotettavissa oleva impulssien lukumäärä kahden minuutin aikana? b Mikä on keskimääräinen odotusaika ensimmäiselle impulssille? c Mikä on todennäköisyys, että impulsseja tulee minuutissa korkeintaan 500? Ohje: Käytä c -kohdassa sopivaa normaalijakauma-approksimaatiota. p. Nyt X Poissonλt, missä λ = 90/s ja t = 60s eli X Poisson5400. a EX = λ t = 90 0 = 0800 b Jos Poisson -jakauman tapahtumaintensiteetti on λ, niin. impulssin odotusaika Y Expλ. Siten keskimääräinen odotusaika ensimmäiselle impulssille on EY = λ = 90 0.0s c Keskeisen raja-arvolauseen mukaan satunnaismuuttuja Z = X EX DX a N0, jossa nyt EX = λt = 5400 ja D X = λt = 5400 ja D X 7.4. Lasketaan tulos normaalijauman avulla: PrX 500 = Pr Z 500 5400 5400 = PrZ.7 0.00