PURSKETASON TARKASTELUT Ylivuototodennäköisyys puskurittomassa systeemissä

Transkriptio

1 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 1 PURSKETASON TARKASTELUT Ylivuototodennäköisyys puskurittomassa systeemissä Tarkastellaan ATM-kytkimen lähtöporttia Oletetaan: puskuri riittää vain solutason puskurointiin lähtöväylän kapasiteetti C Useita VC-yhteyksiä kulkee saman lähtöväylän kautta yhteyksien yhteenlaskettu nopeus X Kapasiteetin C ylittävä osuus vuotaa yli Ylivuotovirta (X C) + missä ( ) + = max(0, ) input rate link rate

2 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 2 Ylivuoto- ja saturaatiotodennäköisyys Ylivuototodennäköisyys ylivuotavan virran suhde saapuvaan virtaan P loss = E[(X C)+ ] E[X] Saturaatiotodennäköisyys = C (x C)f(x)dx xf(x)dx 0 P sat = P{X C} todennäköisyys, että kapasiteetti ylittyy usein hiukan helpompi laskea kuin P loss karkea yläraja P loss :lle yleensä pari dekadia suurempi kuin P loss ero ei ratkaiseva mitoituksen kannalta häviöt riippuvat jyrkästi kapasiteetista kapasiteetti muuttuu hitaasti häviötason mukana

3 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 3 Alkeellinen tarkastelu normaaliapproksimaatio Linkillä kulkee n virtuaalikanavayhteyttä samanlaiset, riippumattomat liikennevirrat X = X X n Merkitään m = yhden virran keskinopeus, E[X 1 ], σ 2 = yhden virran nopeuden varianssi, V[X 1 ]. Vastaavsti M = n m = koko liikennevirran keskinopeus, E[X], Σ 2 = n σ 2 = koko liikennevirran nopeuden varianssi, V[X] Jos n on suuri, pätee likimain X N(M, Σ 2 ) Saturaatiotodennäköisyys on tällöin missä P sat = Q C M Σ Q(x) = 1 2π x e y2 /2 dy = 1 2 erfc( x 2 ) Σ M Σ C P sat

4 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 4 Normaaliapproksimaatio efektiivinen kaista Taso P sat edellyttää vähintään kapasiteettia C C M + Q 1 (P sat ) Σ Merkitään todennäköisyyttä 1 P sat vastaava N(0,1)-jakauman fraktiilipistettä η:lla η = Q 1 (P sat ) M:n ja Σ 2 :n määritelmiä käyttäen C n m + η n σ Tarvittava kaista yhtä virtaa kohti eli efektiivinen kaista B eff = m + η σ n Efektiivinen kaista lähenee keskinopeutta n:n kasvaessa eta lg(psat)

5 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 5 Momenttien generoiva funktio Satunnaismuuttujan X momenttien generoiva funktio M(β) = E[e βx ] = e βx f(x)dx Logaritminen momenttien generoiva funktio ϕ(β) = log M(β) Arvot origossa: M(0) = 1 ϕ(0) = 0 Momentit voidaan laskea näiden avulla m = E[X] = M (0) = ϕ (0) E[X 2 ] = M (0) σ 2 = V[X 2 ] = M (0) M (0) 2 = ϕ (0) Additiivisuus: Jos X = X 1 + X X n, missä X 1, X 2,..., X n ovat riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden lmgf:t ovat ϕ 1 (β), ϕ 2 (β),..., ϕ n (β), niin ϕ(β) = log E[e βx ] = log E[e β(x 1+X X n ) ] = log E[e βx 1e βx 2 e βx n ] = log(e[e βx 1] E[e βx 2] E[e βx n ]) = log E[e βx 1] + log E[e βx 2] log E[e βx n ] = ϕ 1 (β) + ϕ 2 (β) ϕ n (β)

6 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 6 Vinoutettu jakauma Olkoon X:n tiheysfunktio f(x) Vinoutettu l. siirretty jakauma f β (x) f β (x) = eβx f(x) = e βx ϕ(β) f(x) M(β) X:n suuret arvot tulevat todennäköisemmiksi jakauman massa siirtyy kohti suurempia arvoja momenttien generoiva funktio M(β) toimii normitustekijänä Kääntäen f(x) voidaan lausua f β (x):n avulla f(x) = e βx+ϕ(β) f β (x) Vinoutus voidaan määritellä olettamatta jatkuvuutta Todennäköisyysmitan vinoutus dp β (x) = e βx ϕ(β) dp (x) Merkitään E β [ ] = odotusarvo mitan P β suhteen

7 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 7 Vinoutettu jakauma jatkoa Vinoutetun jakauman momentit E β [X] = E[XeβX ] M(β) E β [X 2 ] = E[X2 e βx ] M(β) = M (β) M(β) = ϕ (β) = M (β) M(β) V β [X] = = M (β) M(β) M (β) 2 M(β) 2 = ϕ (β) m(β) = ϕ (β) σ 2 (β) = ϕ (β)

8 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 8 Vinoutettu jakauma jatkoa Vinoutettujen momenttien additiivisuus: Jos X = X 1 +X X n, missä X 1, X 2,..., X n ovat riippumattomia, niin lmgf-funktioiden additiivisuudesta seuraa m(β) = m 1 (β) + m 2 (β) m n (β) σ1(β) 2 = σ1(β) 2 + σ2(β) σn(β) 2 missä m i (β) ja σ 2 i (β) ovat muuttujan X i odotusarvo ja varianssi vinoutetun jakauman suhteen Pätee enemmänkin: Riippumattomien satunnaismuuttujien summan X vinoutettu jakauma on sama kuin kyseisten muuttujien X i vinoutettuja jakaumia noudattavien riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauma: vinoutus summa = = summa vinoutus

9 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 9 Vinoutettu jakauma esimerkki 1 Eksponenttijakauma X Exp(λ) Tiheysfunktio f(x) = λe λx M(β) = E[e βx ] = 0 λ e (λ β)x dx = λ λ β, ϕ(β) = log M(β) = log λ log(λ β) m(β) = ϕ (β) = 1 λ β σ 2 (β) = ϕ (β) = 1 (λ β) 2 Vinoutettu jakauma f β (x) = (λ β)e (λ β)x on myös eksponentiaalinen parametri λ β

10 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 10 Vinoutettu jakauma esimerkki 2 X on n:n riippumattoman eksponenttijakautuneen muuttujan summa X Erlang(n, λ) Tiheysfunktio on f(x) = λ (λx)n 1 (n 1)! e (λx) Vinoutettu jakauma: n:n vinoutetun Exp(λ β)-jakautuneen muuttujan summan jakauma Erlang(n, λ β)-jakautuma Keskiarvo ja varianssi m(β) = n λ β σ 2 n (β) = (λ β) Viiden Exp(1)-jakautuneen muuttujan summan jakauma ja vastaava vinoutettu jakauma vinoutusparametrilla β = 2 3.

11 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 11 Vinoutettu jakauma Yhteenvetotaulukko Tavallisissa jakaumaperheissä vinoutettu jakauma kuuluu samaan perheeseen Vinoutetun jakauman keskiarvo ja varianssi noudattavat kyseisen perheen tunnettuja kaavoja Jakauma Vinoutettu m(β) σ 2 (β) Bin(n, p) Bin(n, Erlang(n, λ) Erlang(n, λ β) pe β 1 p + pe ) npe β n(1 p)pe β β 1 p + pe β (1 p + pe β ) 2 n λ β n (λ β) 2 Poisson(a) Poisson(ae β ) ae β ae β N(m, σ 2 ) N(m + σ 2 β, σ 2 ) m + σ 2 β σ 2 Taulukko 1: Eräiden jakaumien siirretyt jakaumat ja näiden parametrit. Bernoulli-jakauma on erikoistapaus binomijakaumasta: Bernoulli(p) Bin(1, p) Eksponenttijakauma on erikoistapaus Erlang-jakaumasta: Exp(λ) Erlang(1, λ) χ 2 -jakauma on erikoistapaus Erlang-jakaumasta: χ 2 (n) Erlang( n 2, 1 2 )

12 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 12 Chernoffin raja Kaikilla arvoilla β 0 pätee P{X x} = E[1 {X x} ] e β(x-x) E[e β(x x) ] = e βx E[e βx ] = e ϕ(β) βx 1 x 1 {X>x} X sillä e β(x x) 1 {X x}. Tällöin pätee myös P{X x} inf β e βx+ϕ(β) Merkitään β x :llä sitä β:n arvoa, jolla minimi saavutetaan. Chernoffin yläraja P{X x} e β xx+ϕ(β x ) Arvo β x löydetään minimoimalla eksponentti. ϕ (β x ) = x eli m(β x ) = x Vinoutetun jakauman keskiarvo siirretään pisteeseen x.

13 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 13 Cramérin teoreema Olkoon X = X 1 + X X n X i :t riippumattomia ja samoinjakautuneita komponenttimuuttujien yhteinen lmgf on ϕ(β) X:n lmgf on n ϕ(β) Tutkitaan keskiarvon 1 X:n ylitystodennäköisyyttä n P{ 1 n (X 1 + X X n ) x} Sovelletaan Chernoffin rajaa P{ 1 n (X 1 + X X n ) x} = P{X n x} e n(β xx ϕ(β x )) β x määräytyy ehdosta n ϕ (β x ) = n x eli ϕ (β x ) = x. Vauhtifunktio I(x) = sup β (βx ϕ(β)) = β x x ϕ(β x ). Keskiarvon ylitystodennäköisyys P{ 1 n (X 1 + X X n ) x} e ni(x) Cramérin teoreema: yläraja on asymptoottisesti tarkka lim n 1 n log P{ 1 n (X 1 + X X n ) x} = I(x)

14 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 14 Yhteenvetotaulukko Taulukkoon on valmiiksi laskettu tasoa x vastaava vinoutusparametri vinoutetun jakauman varianssi vinoutuksella β x vauhtifunktio I(x) Jakauma β x σ 2 (β x ) I(x) Bin(n, p) Erlang(n, λ) Poisson(a) N(m, σ 2 ) x (1 p) n log (1 x)p x(1 x x n ) x log (1 p) n (1 x)p + n log 1 x n 1 p n n λ n x x 2 n xλ n n log( xλ n ) log x x x log x a a + a x x m σ 2 1 ( x m) 2 σ 2 2 σ

15 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 15 Tarkempi approksimaatio Chernoffin raja vinoutetun jakauman avulla P{X x} = x = x f(y)dy e βy+ϕ(β) f β (y)dy = e βx+ϕ(β) x Integroimisalueessa pätee e β(y x) 1 koko integraali 1 P{X x} e βx+ϕ(β) e β(y x) f β (y)dy Chernoffin raja e β xx+ϕ(β x ) saadaan minimoimalla β:n suhteen Tiukin raja saavutetaan arvolla β x, jolla m(β x ) = x jakauman f βx ( ) keskiarvo sijaitsee pisteeseessä x Keskiarvon lähellä normaalijakauma N(x, σ 2 (β x )) on kohtuullinen approksimaatio f βx (y) e 1 2 (y x)2 /σ 2 (β x ) 2πσ(βx )

16 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 16 Tarkempi approksimaatio (jatkoa) Tällöin (olettaen β x σ(β x ) 1) x e β x(y x) f βx (y)dy Saadaan (melko tarkka) likiarvo ei enää yläraja P{X x} e I(x) 2πβx σ(β x ) 1 2πσ(βx ) x e β x(y x) e 1 2 (y x)2 /σ 2 (β x ) dy 1 2πβx σ(β x )

17 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 17 Keskiarvon ylitystodennäköisyys ja menetystodennäköisyys Keskiarvolle pätee tarkemman approksimaation mukaisesti P{ 1 n (X 1 + X X n ) x} e ni(x) 2πn βx σ(β x ) I(x) on yhden komponenttimuuttujan vauhtifunktio σ(β x ) on yhden komponentin vinoutettu hajonta summan vinoutetun jakauman hajonta on n-kertainen tästä johtuu nimittäjään ilmestynyt n P loss voidaan arvioida seuraavasti P loss = 1 m E[(X x)+ ] = 1 m e βx+ϕ(β) (y x)e β(y x) f β (y)dy Valitaan β:lle arvo β x x (y x)e β(y x) f β (y)dy josta seuraa P loss = 1 m E[(X x)+ ] x 1 2πσ(βx ) (y x x)e β x(y x) e 1 2 (y x)2 /σ 2 (β x ) dy e I(x) 2πmβ 2 x σ(β x ) 1 2πβ 2 x σ(β x )

18 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 18 Esimerkki: Ylitystodennäköisyyden laskeminen Millä todennäköisyydellä viiden Exp(1)-jakautuneen sm:n summa ylittää arvon x = 15? X Erlang(5, 1) Tarkka tulos: P{X 15} = 22403e 15 / Tiedetään E[X] = V[X] = 5 Normaaliapproksimaatio, X N(5, 5): P sat Q( ) Chernoffin raja: P sat e 5I(15/5) missä I(x) = x 1 log x on yhden komponentin vauhtifunktio Tarkennettu approksimaatio: P sat e 5I(15/5) 2π5(2/3)(15/5) missä I(x) = x 1 log x on yhden komponentin vauhtifunktio β x = 1 1/3 = 2/3 σ 2 (β x ) = x 2 normaaliapproksimaatio on liian optimistinen Chernoffin yläraja on hyvin konservatiivinen tarkennettu approksimaatio on kohtuullisen tarkka

19 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 19 Kutsujen hyväksyminen efektiivinen kaista K = lähdetyyppien lukumäärä; lähdeindeksi k = 1,..., K ϕ k (β) = lähdetyypin k logaritminen momenttien generoiva funktio (oletetaan tunnetuksi) n k = tyypin k lähteiden lukumäärä c = linkin kapasiteetti Hyväksymisehto ylivuotokriteerin mukaan: P loss ɛ (ɛ on annettu suurin sallittu arvo) Ylivuototodennäköisyys voidaan arvioida edellä esitetyn mukaisesti P loss missä I(c) e I(c) 2πm β2 σ(β) = β c n k ϕ k (β) k σ 2 (β) = n k σk 2 (β) = k k ja β määräytyy ehdosta n k ϕ k (β) m(β) = c eli k n k ϕ k (β) = c Ylivuototodennäköisyyden arvioimiseksi tarvitsee ainoastaan ratkaista tämä yhtälö (numeerisesti) ja sijoittaa saatu β edellisiin lausekkeisiin. Tämä on huomattavan helppoa verrattuna tarkan laskennan edellyttämään jakaumien konvoluointiin ( k n k 1 konvoluutiota).

20 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 20 Kutsujen hyväksyminen efektiivinen kaista (jatkoa) Yhteyksien lukumäärävektori n = (n 1,..., n K ) määrää liikennesekoituksen (liikenneprofiili). Annetulla sekoituksella n ja kapasiteetilla c voidaan laskea P loss, P loss = P loss (n, c) Tämän avulla voidaan kääntäen selvittää hyväksymisalue A (yleensä konkaavi) A = {n : P loss (n, c) ɛ} eli kaikki hyväksyttävissä olevat liikennesekoitukset n, joilla P loss ɛ. Järjestelmään voidaan ottaa kuljetettavaksi uusia yhteyksiä niin kauan kuin n pysyy alueessa A. n 2 A n 1

21 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 21 Kutsujen hyväksyminen efektiivinen kaista (jatkoa) Jos liikennetyypit eivät eroa toisistaan liian paljon, hyväksymisalueen reuna on likimain suora (hypertaso) k n k B k c, missä efektiivinen kaista B k on B k = c n k (c) ja n k (c) ilmoittaa, kuinka monta tyypin k yhteyttä yksinään linkille c mahtuu siten, että P loss ɛ. Jos liikennetyypit ovat hyvin erilaiset, tasoapproksimaatio ei ole kovin tarkka. Hyväksymisalueen reunan mielivaltainen tangenttitaso määrittelee turvallisen hyväksymisalueen. Efektiivisenä kaistana voidaan pitää arvoa B k = c/n k missä n k on arvo, jossa asetettu tangenttitaso leikkaa n k -akselin. n 2 n * 2 A n * 1 n 1

22 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 22 Efektiivisen kaistan karkea likiarvokaava Suuruusluokkalaskelmissa voidaan käyttää Lindbergerin likiarvokaavaa B k = 1.2m k + 60σ 2 k /c Jos lähteestä tunnetaan vain keskinopeus m k ja huippunopeus h k, voidaan vielä tehdä pahimman tapauksen arvio: Lähteen oletetaan olevan on/off -tyyppinen lähde lähde on välillä päällä huippunopeudella h k välillä pois päältä siten, että keskinopeus on m k Tällöin on helppo osoittaa, että σ 2 k = m k(h k m k )

23 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 23 Efektiivinen kaista on/off-lähteiden tapauksessa Edellä esitetty suurten poikkeamien teoriaan perustuva menetelmä antaa varsin tarkan keinon ylivuototodennäköisyyden arvioimiseksi mielivaltaisella liikennesekoituksella. Joissakin tapauksissa ylivuototodennäköisyys voidaan laskea eksktisti. Tärkein näistä on keskenään samanlaisten on/off -lähteiden tapaus. n keskenään tilastollisesti identtistä lähdettä. lähteen nopeus on -tilassa h (huippunopeus) on -tilan todennäköisyys α off -tilan todennäköisyys 1 α c lähteen keskinopeus m = α h Huippunopeuden mukaan allokoitaessa, voidaan sallia n 0 lähdettä: n 0 = c/h Kun lähteitä on paljon eikä α ole aivan lähellä ykköstä, on hyvin epätodennäköistä, että kaikki lähteet olisivat yhtäaikaisesti päällä. Lähteet limittyvät tilastollisesti keskenään. Kun sallitaan pieni ylivuodon mahdollisuus, sallittua yhteyksien määrää voidaan merkittävästi kasvattaa (ns. tilastollisen multipleksoinnin hyöty eli limityshyöty G).

24 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 24 Efektiivinen kaista on/off-lähteiden tapauksessa (jatkoa) Todennäköisyys p i, että i lähdettä n:stä on samanaikaisesti aktiivitilassa p i = n α i (1 α) n i i Ylivuototodennäköisyys on siten P loss (n, n 0, α) = 1 nm n i= n 0 p i (i n 0 )h = 1 nα n i= n 0 p i (i n 0 ) Suurin hyväksyttävä määrä yhteyksiä n ɛ (n 0, α) määräytyy ehdosta P loss (n ɛ, n 0, α) ɛ Yhden yhteyden efektiivinen kaista B eff (m B eff h) B eff = c n ɛ = n 0 n ɛ h Limityshyöty (multipleksointihyöty) G = n ɛ /n 0 = h/b eff Sallittu kuormitus ρ = n ɛ m/c = n ɛ αh/c = αn ɛ /n 0 = αg

25 J. Virtamo Teleliikenneteoria / Pursketaso 25 Efektiivinen kaista on/off-lähteiden tapauksessa (jatkoa) Tilastollisen multipleksoinnin tehokkuutta voidaan mitata joko limityshyödyn G tai sallitun kuorman ρ = αg avulla (kumpaankin sisältyy sama informaatio). Alla olevissa kuvissa nähdään G ja ρ riippuvuus α:sta arvolla ɛ = Käyräparametrina on n 0 = c/h (alhaalta lukien arvot 10, 15,30,100). Multiplexing gain vs. α Load factor vs. α G ρ 1.01 α α 1 Pienillä arvoilla α (purskeinen liikenne) limityshyöty voi olla suuri. Sallittu kuormitus kuitenkin riippuu lähinnä vain käyräparametrista c/h. Kohtuullisen käyttöasteen saavuttaminen puskurittomassa systeemissä edellyttää, että yksittäisen lähteen huippunopeus on vain pieni osa linkin nopeudesta (1% tai alle).