TUEKSI MYYNTITYÖN MATEMATIIKAN VALINTAKOKEESEEN VALMISTAUTUMISEEN Katri Währn 2013
JOHDANTO Myyntityön koulutusohjelman matematiikan valintakoe perustuu koulumatematiikkaan riippumatta siitä, onko hakijan tausta sitten ylioppilas tai jokin keskiasteen tutkinto. Hyvä peruskoulun matematiikan hallinta johtaa ihan hyvään lopputulokseen. Suurimmassa osassa koetehtäviä lasketaan vain numeroilla ja pääpaino onkin myyntityöhön liittyvillä soveltavilla tehtävillä. Myyntityön koulutusohjelmaan päästäkseen opiskelijan tulee saada matematiikan valintakokeesta vähintään 2 pistettä kymmenestä. Tämä moniste on tehty helpottamaan pääsykokeeseen valmistautumista. Moniste ei ole kaiken kattava, mutta nämä asiat osaamalla koe ei ainakaan jää matematiikan osiosta kiinni. Kokeessa on ehdoton paino prosenttilaskulla. Se on myyjän työn kannalta ehdottomasti tärkein matematiikan osa-alue ja sitä myös opiskellaan koulutusohjelman ensimmäisellä pakollisella kurssilla lisää. Sitä voi kerrata mistä tahansa lukion lyhyen matematiikan oppikirjasta tai kauppaopistoon tehdyistä oppikirjoista. Niitä löytyy kaikista kirjastoista. Katri Währn
1 FUNKTIOLASKIMEN KÄYTTÖ Funktiolaskimeen on sisäänrakennettuna laskujärjestelmä eli se osaa laskea kerto- ja jakolaskut ennen yhteen- ja vähennyslaskuja, mikäli näppäilijä ei sotke sitä esimerkiksi ylimääräisillä = -merkeillä. Laskimet eivät laske väärin! Esim. 1.1 1 + 7 * 8 = 7 Tämä menee ihan suoraan laskimella, mutta seuraavassa lausekkeessa jakaja on laitettava sulkuihin, jotta laskin osaisi jakaa kolmea koko jakajalla. 3 2 + = 2, 13 7 Kokeile, että saat seuraavistakin oikeat vastaukset. Mieti sulkujen käyttö. 3*7 1 = 4 9220 1+ 0,06 * = 10 360 90000 Funktiot toimivat eri laskimissa eri tavalla ja siksi olisi ainakin epävarmojen laskijoiden parasta käyttää koko ajan samaa laskinta. Yleensä ne funktiot, joihin täytyy syöttää kaksi numeroa (esimerkiksi potenssiin korotus ja juuren ottaminen) funktionäppäin tulee lukujen väliin, mutta lukujen syöttöjärjestys vaihtelee. Esim.1.2 Seuraava näppäillään laskimeen joko järjestyksessä 2nd x y 16807 = tai järjestyksessä 16807 2nd x y = 16807 = 7 Opettele vain ne laskutavat, jotka toimivat omassa laskimessasi. Seuraavilla laskulla voit testata, osaatko? 00 000 1 4 = 1 + 6* 4 = 0,024 Esim.1.3 Pyöritä luku 10,23899 a) kymmenien, b) yhden desimaalin, c) kokonaisluku, d) kahden desimaalin ja e) neljän desimaalin tarkkuuteen. a) 110 b) 10,2 Jos ensimmäinen pois jätettävä numero on tai suurempi, c) 10 niin se korottaa viimeisen jätettävän numeron yhdellä d) 10,24 yksiköllä. Yhdeksikköä ei voi korottaa, joten korotus e) 10,2390 siirtyy seuraavaan numeroon vasemmalle. 1
2 ENSIMMÄISEN ASTEEN YHTÄLÖ Yhtälön ratkaiseminen ei ole itsetarkoitus vaan sitä käytetään opinnoissa erilaisten ongelmien ratkaisussa. Ensimmäisen asteen yhtälöille tulee jatkossa paljon käyttöä. Seuraavassa on esimerkkejä kaikkien yhtälöiden ratkaisemisesta. Ensin on helppoja ja sitten vähän vaativampia. Esim. 2.1 Ratkaise seuraavat yhtälöt a) 4x = 40 b) 6 3x = 2x + 86 c) 2 (7x + 3) = 1 3x 2x + 1 d) 2x = 3 a) 4x = 40 //: 4 Jaetaan yhtälön molemmat puolet x:n kertoimella. 4 x 40 = 4 4 x = 112, b) 6 3x = 2x + 86 Siirretään termejä puolelta toiselle. Muista vaihtaa etumerkki! - 3x 2x = 86 6 Yhdistetään termit. - x = 30 //:(-) Jaetaan x:n kertoimella. x = - 6 c) 2 (7x + 3) = 1 Poistetaan sulut. 14x + 6 = 1 Siirretään termi. 14x = 1 6 Yhdistetään termit. 14x = - //:14 Jaetaan x:n kertoimella. x = tai x = -0,37 14 Liike-elämän laskuissa on usein järkevämpää antaa vastaus desimaalilukuna. Pääsykokeissa on kussakin tehtävässä annettu tarkkuus, jolla vastaus pitää antaa. 2
d) 3x 2x + 1 2x = // *1 3 Poistetaan jakajat kertomalla yhtälön molemmat puolet samalla luvulla. Kertojan tulee olla sellainen, että kaikki jakajat menevät siihen tasan. Muista kertoa jokainen yhteenlaskettava! 1*3x 1*(2x + 1) 1* 2x = 3 30x 3*3x = (2x + 1) 30x -9x = 10x + 30x -9x 10x = 11x = x = tai x = 0,4 11 Harj. 2.1 Voit harjoitella ratkaisemalla seuraavat yhtälöt. Vastaukset on annettu, mutta miten niihin päästäisiin! a) 24 + x = 3x 18 x = -21 b) 3 ( 2x ) = 4 ( x + 3) x = 13, 2x 1 x c) 3x + = 4 6 12 x = -1,31 d) 2 + x + 1 1 3 = 7 x = -1,7 Jos edelliset yhtälöt tuottivat ongelmia, niin kannattaa kerrata yhtälönratkaisua jostakin oppikirjasta. 3
3 PROSENTTILASKU Tässä monisteessa prosenttilasku esitellään laskemalla enimmäkseen kertoimilla, koska lähes kaikki työelämässä paljon laskevat käyttävät kertoimia. Mutta jos pääset toistuvasti oikeisiin lopputuloksiin jollakin toisella tavalla, niin lasket varmasti oikein. Pääsykokeessa kysytään pelkkiä vastauksia, joten laskutavalla ei ole väliä. 1 Prosentti (%) tarkoittaa yhtä sadasosaa eli 1 % = = 0,01 100 23 Esim. 3.1 23 prosenttia: 23 % = = 0,23 100 7, 7, prosenttia: 7, % = 100 = 0,07 234 234 prosenttia: 234 % = = 2,34 100 Kertoimilla laskeminen tarkoittaa, että laskuissa käytetään prosenteista edellisistä muodoista viimeistä eli desimaalimuotoa. Esim. 3.2 Muunna 20 % a) desimaaliluvuksi ja b) murtoluvuksi 20 a) 20 % = = 0,2 100 b) 20 % = 20 = 100 1 Huom. Jos laskimessa on murtolukunäppäin (esim. a b/c), niin laskin osaa myös sieventää murtoluvut. Prosenttilaskun kolme perussuuretta Prosenttiluku (p) on se luku, jonka perässä on %:n merkki. Lasketaan perusarvosta. Prosenttiarvo (b) on sama asia kuin prosenttiluku, mutta sillä on konkreettinen laatu (esim. euro, kilo, lukumäärä yms.) Perusarvo (a) on se luku, josta prosenttiluku lasketaan. Esimerkiksi se on alkuperäinen hinta, kokonaismäärä, vertailun perustana oleva luku. Sillä on aina sama laatu kuin prosenttiarvolla. Usein sen voi tunnistaa suomen kielen -sta tai -stä päätteestä tai kuin sanan jälkeisestä sanasta. Perusarvo on aina 100 % ja se on prosenttilukua laskettaessa aina jakajassa. Prosenttilasku onkin yksinkertaisesti prosenttiarvon ja perusarvon suhteiden laskemista ja laskun tuloksena on prosenttiluku. 4
Peruslaskutoimitukset Paljonko on p % a:sta? p b = * a 100 Montako prosenttia b on a:sta? b p = a *100 Mitään muita kaavoja ei tarvita prosenttilaskujen laskemiseen, jos osaa yhtälön ratkaisua! Eikä ihan välttämättä näitäkään. Esim. 3.3 Tuotteen hintaa alennetaan 10 %. Mikä on alennettu hinta, kun alkuperäinen on 38? Kaavalla: 10 * 38 = 3,80 100 38 3,80 = 34,20 tai mieluummin Kertoimilla: 100 % -10 % = 90 % = 0,9 eli jos hinnasta annetaan 10 % alennusta, niin siitä jää 90 % maksettavaksi. 0,9 * 38 = 34,20 Huom. Tässä monisteessa lasketaan yleensä tarkoilla arvoilla. Tällöin vastauksen saa antaa sopivaksi katsomallaan tavalla. Mitään ainoa oikeata ei ole edes olemassa. Tässä monisteessa on pyöristetty pienet hinnat sentteihin ja suuremmat eurojen tarkkuuteen, koska meillä annetaan yleisesti hinnat niin - esimerkiksi kauppojen hintalapuissa. Prosenteissa on käytetty sen verran desimaaleja, että niillä on jotakin informaatioarvoa. Pääsykokeen tehtävissä on pyydetty vastaus kussakin tehtävässä ilmoitetulla tarkkuudella. Esim. 3.4 Palkkojen yleiskorotus on 2,3 %. Mikä on uusi palkka, kun aikaisempi oli 1 970? Kaavalla: 2,3 *1970 = 4,31 (palkankorotus) 100 1970 + 4,31 = 2 01,31 tai Kertoimella: 100 % + 2,3 % = 102,3 % = 1,023 (eli uusi palkka on 102,3 % alkuperäisestä) 1,023 * 1970 = 2 01,31
Esim. 3. Henkilön veroprosentti on 23 % ja bruttopalkka 1 800 /kk. Kuinka paljon hänen palkasta pidätetään veroa kuukausittain? Mikä on hänen nettopalkka? 23 *1800 = 414 tai 0,23 * 1800 = 414 (vero) 100 0,77 * 1800 = 1386 (nettopalkka) Harj. 3.1 Seuraavilla tehtävillä voit harjoitella yksinkertaisia kertoimilla laskettavia laskutehtäviä. a) Tuotteen hintaa korotetaan 14 %. Mikä on korotettu hinta, kun alkuperäinen on 28,60? b) Yrityksen liikevaihto laskee 8,2 %. Mikä on uusi liikevaihto, kun alkuperäinen oli 1,7 milj.? c) Myyjä saa provisiota 3, % myynnistä. Mikä on provisio, jos myynti on 82 000 /kk? a) 32,60 b) 1,606 milj. c) 2870 Esim. 3.6 Kuinka monta prosenttia 80 euroa on 30 eurosta? 80 *100 30 80 = 267 % tai = 30 2,67 267 % Esim. 3.7 Tuotteen hinta nousee 2 eurosta 3 euroon. Montako prosenttia hinta nousee? 3 2 *100 2 3 = 40 % tai 1 = 0, 4 40 % 2 Esim. 3.8 Taajaman väkiluku laskee 7 800:sta 7 100:aan. Montako prosenttia väkiluku laskee? 7800 7100 *100 7800 7100 = 9,0 % tai 1 = 0, 09-9,0 % 7800 Huom. Muutosprosentin perusarvo on aina lähtötilanne (esim. alkuperäinen hinta, alkuperäinen väkiluku, aikaisempi liikevaihto yms.). Muutosprosenttilaskuissa on mukana myös vähennyslasku. Tällöin alkuperäinen perusarvo vähennetään pois (kertoimilla laskettaessa vähennetään 1), jolloin jää muutoksen suuruus. 6
Esim. 3.9 Yhtiön hallituksessa on miestä ja 2 naista. a) Laske miesten ja naisten suhteelliset osuudet. b) Montako prosenttia miehiä on enemmän kuin naisia? c) Montako prosenttia naisia on vähemmän kuin miehiä? d) Montako prosenttia miesten määrä on naisten määrästä? 2 a) * 100 = 71 % miehiä *100 = 29 % naisia 7 7 Suhteelliset osuudet lasketaan kokonaismäärästä eli se tulee jakajaan. 2 b) *100 = 10 % 2 Jos kysymyksen asettelussa on kuin sana, niin se on vertailun kohde eli perusarvo ja tuleen näin ollen jakajaan. 2 c) *100 = 60 % d) *100 = 20 % 2 -stä pääte on myös varma merkki perusarvosta. Vertailut eivät ole ihan helppoja täytyy olla ainakin huolellinen! Harj. 3.2 Laske. a) Tuotteen hinta laskee 78 eurosta 60 euroon. Montako prosenttia hinta laskee? b) Montako prosenttia 90 on 4:stä? c) Henkilön bruttopalkka on 2 100 euroa ja nettopalkka 1743 euroa. Mikä on veroprosentti? d) Montako prosenttia hinta nousee, kun se kolminkertaistuu? a) 23,1 % b) 200 % c) 17 % (Verot lasketaan bruttopalkasta.) d) 200 % Harj. 3.3 Korissa on 7 punaista, 20 sinistä ja 2 keltaista palloa. a) Laske prosenttiosuudet. b) Montako prosenttia sinisiä palloja on enemmän kuin keltaisia? c) Montako prosenttia punaisten pallojen määrä on sinisten määrästä? a) 24 %, 69 %, 7 % b) 900 % c) 3 % 7
Prosenttilaskun sovelluksia Kertoimilla laskemista voi soveltaa myös sellaisissa tilanteissa, joissa ei tunneta lukua, josta prosentit pitäisi laskea. Yhtälön voi aina muodostaa periaatteella: kerroin * alkuarvo = loppuarvo Jos alkuarvoa ei tunneta, laitetaan sen paikalle x. Näin saadaan helppo yhtälö ratkaistavaksi. Esim. 3.10 Matkan hintaa on korotettu 7 %. Mikä on alkuperäinen hinta, kun korotettu on 246,10? Jos tunnettaisiin alkuperäinen hinta, niin korotettu saataisiin kertoimella 1,07. Nyt täytyy käyttää yhtälön ratkaisua. 1,07 x = 246,10 //:1,07 x = 230 Huom. Pitää laske juuri näin, EI 0,93 * 246,10!!! Laske paljonko tästä tulee. Mikä selittää eron? Esim. 3.11 Tuotteen hintaa on alennettu 1 %. Mikä on alkuperäinen hinta, kun alennettu on 38,2? Jos tunnettaisiin alkuperäinen hinta, niin alennettu saataisiin kertoimella 0,8. Nyt käytetään yhtälön ratkaisua. 0,8 x = 38,2 //:0,8 x = 4 Kaikki kahden edellisen esimerkin kaltaiset tehtävät voi ratkaista peruskaavoja ja yhtälönratkaisua apuna käyttäen. Näin ei tarvitse muistaa kaavoja. Jos kuitenkin haluaa käyttää kaavoja, niin ne löytyvät jostakin oppikirjasta. Esim. 3.12 Hintaa alennetaan 20 % ja alennettua hintaa myöhemmin vielä 30 %. Laske lopullinen hinta, kun alkuperäinen on 28. 0,8 * 28 = 22,40 tai 0,8*0,7*28 = 1,68 0,7 *22,40 = 1,68 Koska 0,8*0,7=0,6, niin uusi hinta on vanhasta 6 % ja kokonaisalennusprosentti on silloin 44 %. Huom. Jos prosenttilaskussa tekee mieli laskea prosenttilukuja yhteen tai vähentää, niin on syytä harkita vielä kertaalleen, onko se luvallista. Lupa heltiää vain siinä tapauksessa, että prosenttiluvuilla on sama perusarvo. Peräkkäiset prosenttimuutokset lasketaan yksitellen eli seuraava muutos lasketaan jo muuttuneesta luvusta. Kertoimet kertomalla voi oikaista. 8
Esim. 3.13 000 euron alkuperäinen pääoma kasvaa %:n korkokannalla 8 vuotta. Laske kasvanut pääoma kahdeksan vuoden kuluttua, kun korko lisätään pääomaan kerran vuodessa. 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 000 = 8 1,0 *000 = 7387,28 Jos muutosprosentti on kokoajan sama, niin potenssit nopeuttavat laskuja. Laskimesta b y potenssit löytyvät a, x tai ^. Esim. 3.14 Polttoaineen hintaa korotettiin ensin 8 % ja myöhemmin vielä 7 %. Mikä oli alkuperäinen hinta, kun korotettu on1,4 /l? 1,08 * x * 1,07 = 1,4 1,08 * 1,07 * x = 1,4 1,16 x = 1,4 //: 1,16 x = 1,248 /l Esim.3.1 Asunnon hinta nousi neljässä vuodessa 140 000 eurosta 177 000 euroon. a) Montako prosenttia asunnon hinta nousi? b) Montako prosenttia asunnon hinta nousi keskimäärin vuosittain? a) Tämä on normaali muutosprosentti. 177000 140000 *100 = 140000 177000 26,4 % tai = 1, 264 26,4 % 140000 b) Kun lasketaan vuotuista nousua, niin täytyy ottaa huomioon, että hinnat nousevat koronkorkoperiaatteella. Tämä tarkoittaa, että korotus laskettaisiin kertoimet kertomalla, jos tietäisimme nousuprosentit. Nyt tuntematon x on se kerroin. x * x * x * x * 140000 = 177000 x 4 *140000 = 177000 //:140000 4 177000 x = // 4 140000 177000 x = 4 = 1, 060 6,0 % 140000 Esim. 3.16 Erä osakkeita myytiin 6000 eurolla. Myyntivoittoveroa (30 %) maksettiin 600 euroa. Mikä oli ostohinta ja paljonko tuli voittoa? 0,3 x = 600 //:0,3 x = 2000 (myyntivoitto) 6000 2000 = 4000 (ostohinta) 9
Seuraavaksi on vielä muutamia harjoituksia prosenttilaskusta. Aina on hyvä myös itse laskea, vaikka olisi mielestään ymmärtänyt kaiken edellä olevan: Harj. 3.4 Laske. a) Tuotteen hinnasta annettiin 7 % alennusta. Mikä on alkuperäinen hinta, kun alennettu on 4,70? b) Tuotteen hintaa alennettiin 1 %. Mikä on alennus, jos alkuperäinen hinta on 60? c) Henkilön bruttopalkka on 2 300 ja veroprosentti 21 %. Mikä on nettopalkka? a) 490 b) 84 c) 1817 Harj. 3. Arvonlisävero on 24 % ja se lasketaan verottomasta hinnasta. a) Mikä on arvonlisävero, kun veroton hinta on 78? b) Mikä on veroton hinta, kun verollinen on 37,20? c) Mikä on verollinen hinta, kun veroton on 17? d) Mikä on verollinen hinta, kun arvonlisävero on 28,80? a) 18,72 b) 30 c) 21,08 d) 148,80 Harj. 3.6 Hintaa alennettiin ensin 1 % ja myöhemmin korotettiin 1 %. Montako prosenttia hinta muuttui? laski 2,2 % Prosenttiyksikkö Prosenttiyksikköä tulee käyttää aina kun vähennetään vertailun vuoksi prosenttilukuja toisistaan. Esim. 3.17 Puolueiden kannatus: Vaalien kannatusprosentit lasketaan hyväksytyistä äänistä (noin 2 milj.) ja vaaligalluppien kannatusprosentit annetuista vastauksista (yleensä 2000-3000). Kun näitä prosenttilukuja sitten vertailun vuosi vähennetään toisistaan, niin käytettävän laadun pitäisi olla prosenttiyksikkö. Muita esimerkkejä prosenttiyksikön käytöstä - työttömyysprosenttien vertailu - verotuksen muutokset - korkokannan muutokset 10
Esim. 3.18 Puolueen kannatus nousi,6 %:sta 6,7 %:iin. a) Montako prosenttia kannatus muuttui? b) Montako prosenttiyksikköä kannatus muuttui? a) Oletetaan, että esimerkiksi mielipidetiedustelussa oli 1000 vastaajaa. Tällöin aluksi 6 (= 0,06 * 1000) on ilmoittanut kannattavansa kyseistä puoluetta ja myöhemmässä kyselyssä vastaava luku olisi 67 (= 0,067 * 1000). Lasketaan näistä muutosprosentti: 67 6 *100 = 19,6 % (kannatus nousi) 6 tai myös prosenttiluvuilla saa suoraan laskea 6,7,6 *100 = 19,6 %,6 b) Muutoksen prosenttiyksiköissä voi laske prosenttiluvuista suoraan: 6,7 % -,6 % = 1,1 %-yksikköä (kannatus nousi) Prosenttiyksiköitä ei ole vaikea laskea, mutta yksikkö sana unohtuu tosi helposti. Esim. 3.19 Kun bruttopalkkaa korotettiin 8 %, verotus kiristyi 26 %:sta 2 %-yksiköllä. Korotuksen jälkeen palkasta jäi käteen 1244,16. Kuinka suuri oli käteen saatu nettopalkka ennen palkan korotusta? Bruttopalkka Verot Nettopalkka aluksi 26 % + 8 % lopuksi 28 % 1244,16 Huom. Verot lasketaan aina bruttopalkasta. Täytä yllä olevaa taulukkoa seuraavien välivaiheiden mukaisesti: Lasketaan ensin bruttopalkka lopuksi (Jos palkasta maksetaan 28 % veroa, niin käteen jää 72 %.): 0,72 x = 1244,16 x = 1728 Seuraavaksi lasketaan alkuperäinen bruttopalkka (Jos palkkaa on korotettu 8 %:lla, niin uusi palkka on 108 % alkuperäisestä.): 1,08 x = 1728 x = 1600 Vihdoin voidaan laskea vanha nettopalkka (Otetaan edellisestä palkasta verot pois.): 0,74 * 1600 = 1184 11
Lopuksi seuraavassa esimerkissä käydään läpi tapaus, jossa lähtölukuina on pelkkiä prosenttilukuja. Tällöin on näppärintä ottaa aluksi joku vertailuluku (yksi tai tarvittaessa useampia), joista lähtee liikkeelle. Sitten lasketaan tehtäväksi annon prosenttimuutokset. Lopuksi lasketaan esimerkiksi kysytty muutosprosentti. Huom. Mitkään yksikertaiset yhteen- tai vähennyslaskut eivät toimi! Esim. 3.20 Erään navigaattorimerkin markkinaosuus oli 20 %. Seuraavana vuonna tämän merkin myynti kasvoi 10 % ja navigaattoreiden kokonaismyynti kasvoi 40 %. a) Mikä on kyseisen merkin markkinaosuus jälkimmäisessä tilanteessa? b) Montako prosenttiyksikköä ja mihin suuntaan markkinaosuus muuttui? Valitaan alkuperäiseksi kokonaismyynniksi vaikka 10 000. Voi tietenkin laskea myös kirjaimilla. Tämä merkki Muut merkit Kokonaismyynti aluksi 2000 8000 10000 (= 0,2 * 10000) (=10000 2000) +10 % + 40 % lopuksi 2200 11800 14000 (=1,1 * 2000) (= 14000 2200) (=1,4 * 10000) 2200 a) *100 = 1,7 % 14000 b) Laski 20 %:sta 1,7 %:iin eli 4,3 %-yksikköä. 12