Sädeoptiikka Taittuminen ja kuvanmuodostus

Sädeoptiikka Taittuminen ja kuvanmuodostus Oiva Utriainen Raportti 5 Didaktisen fysiikan opintokokonaisuus DFCL3 26.11.2001 Ohjaaja Ari Hämäläinen Fysikaalisten tieteiden laitos Helsingin yliopisto

2 1 Johdanto 3 2 Perushahmotus 3 2.1 Valon suoraviivainen kulku 3 2.2 Valon käänteinen kulku 6 2.3 Suunnanmuutosilmiöt 7 2.4 Peilien ja linssien luokittelu 11 2.5 Kuperien ja koverien peilien ja linssien muodostamat kuvat 13 3 Kvantifiointi 15 3.1 Taitesuhde ja taitekerroin 15 3.2 Polttoväli 24 3.3 Gaussin kuvausyhtälö ja suurennos 26 3.3.1 Kupera linssi 26 3.3.2 Kovera peili 29 3.3.3 Valekuva 32 3.3.4 Tietokonesimulaatio 36 3.4 Linssin taittokyvyn riippuvuus väliaineesta 37 4 Sädemallin antamat ennusteet 40 4.1 Prisma 40 4.2 Linssisysteemit 44 5 Sädemallin pätevyysalue 46 6 Työprosessin kuvaus 46

3 1 Johdanto Kodin varustuksiin kuuluvat nykyään kamerat, kiikarit, suurennuslasit, mahdolliset diaprojektorit ja muut optiset kojeet. Ihmiset käyttävät silmälaseja tai piilolaseja. Lääketieteessä optiset kuidut mahdollistavat verisuonten tai suoliston tutkimisen ja valokuvaamisen. Moderni teknologia siirtää tietoa valokaapeleita pitkin, ja kotona cd-levyt ovat arkipäivää. Kaukoputki on ollut tärkeä optinen väline maailmankuvan kehittymisessä. Sillä on voitu tarkastella maailmankaikkeuden rakennetta. Mikroskooppi on puolestaan välittänyt tietoa mikrokosmoksesta. Kaikki edellä mainittu liittyy valon etenemiseen ja sen luonteeseen. Etenemiseen liittyvät ilmiöt voidaan selittää joko aalto- tai valonsädemallilla. Aaltomalli on käyttökelpoinen mutta mutkikas. Valonsädemalli on yksinkertaisempi ja käyttökelpoisempi erityisesti sellaisissa tapauksissa, jotka liittyvät kuvien muodostumiseen peileissä ja linsseissä sekä niihin liittyviin lakeihin. 2 Perushahmotus (A1) Yksinkertaisessa mallissa tarkastellaan valoa säteinä, jotka ovat tasoaaltorintaman normaaleja. Tätä osaa valo-opista kutsutaan sädeoptiikaksi eli geometriseksi valo-opiksi. 2.1 Valon suoraviivainen kulku. Valonsädemalli on ehkä saanut alkunsa havainnosta, jossa valo on päässyt kapeasta raosta pölyiseen ja hämärään huoneeseen (A11). Ilmassa olevat pölyhiukkaset ovat sirottaneet valoa. Täten valon suora kulkureitti voidaan havaita, vaikka itse valoa ei voi nähdä. Toinen edellisen kaltainen ilmiö on ns. pilvisäde (A12), kuvio 1, joka voidaan nähdä varsinkin utuisella säällä. Kun aurinko on pilvien takana piilossa, pilvien raoista tulee sädekimppuja. Tässä yhteydessä esiintyy myös ilmiö, jossa kimpun säteet näyttävät hajaantuvan, vaikka ne todellisuudessa

4 ovat samansuuntaisia. Kyseessä on perspektiiviharha, joka on samanlainen kuin ratakiskojen tapauksessa. Kuvio 1. Pilvisäteet Laser tarjoaa nykyisin erinomaisen välineen valonsädemallin havainnollistamiseen (A13). Luokassa voidaan käyttää savulaatikkoa, ja rockkonserteissa valonsäteet näkyvät värillisissä savuissa. Valon suoraviivainen eteneminen aiheuttaa varjot (A14). Jos valonlähde on pistemäinen, saadaan kokovarjo. Vastaavasti valonlähde, jolla on ulottuvuuksia, antaa puolivarjon. Koska Aurinkoa ei voi pitää pistemäisenä kappaleena, se synnyttää pimennyksen aikana Maan pinnalle Kuun sekä kokovarjon että puolivarjon. Näin nähdään sekä täydellinen että osittainen Kuvio 2. Kuun pimennys auringonpimennys. Vastaavasti täydellisen kuunpimennyksen aikana Kuu voi olla Maan synnyttämässä kokovarjossa, kuvio 2. Kuvio 3. Kuun pimennys

5 Kuviossa 3 on kaavio Kuun pimennyksestä. Auringosta saapuva valo taittuu ilmakehässä niin paljon, että osa siitä valaisee Kuun pinnan. Tämä näkyy kuviossa 2, jossa Kuun pinta on alaosastaan vaaleampi. Punertava väri johtuu siitä, että ilmakehä suodattaa sinisen, jolloin läpi pääsyt valo on pääasiassa punaista. Tässä yhteydessä voidaan valmistaa neulanreikäkamera (A141) pimentämällä luokka. Yksi pimennysverho jätetään 10 cm:n päähän ikkunan alareunasta. Pahvilevyyn, jonka koko on 30 x 30 cm, tehdään 5 x 5 cm:n suuruinen reikä, johon teipataan kiinni rakohimmennin ( IS-VET). Tämä levy kiinnitetään esimerkiksi ilmastointiteipillä 10 cm:n raon reunoihin, ja jäljelle jäänyt aukko peitetään pahvilevyillä. Näin luokkaan pääsee valoa vain rakohimmentimen aukosta, jonka kokoa voidaan säätää. Erityisesti aurinkoisena päivänä A4-arkille saadaan kuva ikkunan takana olevasta maisemasta. Jos rako on pieni, kuva on terävä mutta himmeä. Suurempi reikä lisää valoisuutta, mutta samalla terävyys heikkenee. Jos reikä on pieni, kapea säde synnyttää kuvapisteen yksittäisestä esineen pisteestä. Toisena vaihtoehtona on rakentaa itse kamera pahvilaatikosta kuten kuviossa 4. himmennin Kuvio 4. Neulanreikäkamera Laatikon takaosassa on varjostimena läpikuultavaa paperia, joka saatiin käsin kirjoitettavien kalvojen välipaperista. Jos luokka on riittävän pimeä, kynttilän kuva näkyy hyvin takaosan varjostimella. Ihmissilmään tuleva valo ei kuljeta mukanaan informaatiota siitä, mitä reittiä se on kulkenut ennen silmään saapumistaan (A15). Kahdella peilillä voidaan järjestää tilanne, jossa esine nähdään eri suunnassa, kuin se todellisuudessa on. Edellisten kokeiden ja havaintojen perusteella saadaan valon suoraviivaista kulkua koskeva sääntö: (C1): Valo etenee suoraviivaisesti optisesti homogeenisessa väliaineessa.

6 2.2 Valon käänteinen kulku Valonsäteen käänteinen kulku voidaan havainnollistaa kuvion 5 mukaisella koejärjestelyllä (A16). Pisteissä A ja B on tulitikkulaatikon kuoret, joiden etu- ja takaseinässä on halkaisijaltaan 5 mm:n reiät. Laserin säde suunnataan kohdassa A laatikon läpi ensimmäiseen peiliin. Pisteessä B olevaa laatikkoa siirretään siten, että prismasta tuleva säde kulkee laatikon läpi. Kun laserin paikka vaihdetaan pisteeseen B, ja säde suunnataan laatikon läpi, palaa säde samaa reittiä takaisin ja tulee ensimmäisen laatikon lähtöaukosta ulos. Prisma Peili Prisma B Peili Laatikko A Laser Kuvio 5. Valonsäteen käänteinen kulku laser Kuvio 6.Valonsäteen käänteinen kulku Koe toteutettiin kahdella laserilla. Asettelu on syytä tehdä tarkasti. Säteen kulku tarkistettiin ohuella paperisuikaleella, johon säde muodosti punaisen pisteen. Osa laserin säteestä heijastuu prisman pinnasta, ja näitä heijastuksia on syytä varoa etenkin silloin, jos huone on hämärä. Asettelu oli melko aikaa vievä prosessi. Kokeen tuloksena saadaan valonsäteen käänteistä kulkua koskeva laki (C2): Jos valonsäde kulkee pisteestä A pisteen C kautta B:hen, niin B:stä suuntaan BC lähtenyt säde kulkee pisteeseen A.

7 2.3 Suunnanmuutosilmiöt (B1) Heijastuminen, taittuminen ja kokonaisheijastus (B11). Ilmiöön voidaan tutustua puoliksi vedellä täytetyssä savulaatikossa tehtävillä kokeilla. Vapaassa tilassa on hyttyskarkotteen savua, ja vesi on värjätty hieman sameaksi tipalla rasvatonta maitoa. Koejärjestely ilmenee kuviosta 7. Kuvio 7. Savulaatikko Savulaatikon seinämät ovat riittävän ohuet, jotta niissä tapahtuvat taittumisilmiöt eivät häiritsisi. Valonsäde suunnattiin eri tavoilla, ja tehtiin seuraavat havainnot: Säde taittuu pinnan normaaliin päin, kun se tulee ilmasta veteen ja normaalista poispäin saapuessaan vedestä ilmaan, kuva 8. Tässä yhteydessä on hyvä määritellä tulokulman ja taitekulman käsite: tulokulma/taitekulma on pinnan normaalin ja säteen välinen kulma, asia, jota oppilaat eivät muista helposti. Lisäksi voidaan määritellä kvalitatiivisesti sellainen suure kuin optinen tiheys, joka on aineen kyky taittaa valoa. Kokeiden perusteella vesi on optisesti tiheämpää, koska se taittaa valoa normaaliin päin. Vastaavasti ilma on veteen nähden optisesti harvempaa, taittuminen tapahtuu normaalista poispäin. Heijastumisessa havaitaan, että ilma vesi Kuvio 8. Valon taittuminen

8 pinnan normaalin ja säteen välinen kulma pysyy samana eli heijastuskulma ja tulokulma ovat yhtä suuret. Jos tulokulma vedessä on riittävän suuri, ei säde pääse ilmaan vaan heijastuu takaisin veteen. Tässä yhteydessä puhutaan ilmiöstä nimeltään kokonaisheijastus, kuvio 9. ilma vesi Kuvio 9. Valon kokonaisheijastuminen Tässä yhteydessä voidaan jo kvantifioida laki (C2). Heijastuskulma on yhtä suuri kuin tulokulma. Koe suoritettiin taulun pintaan kiinnitettävällä valonlähteellä ja heijastavalla pinnalla. Kokeesta ei ole mittaustuloksien taulukkoa, koska tulos oli täysin ennusteen mukainen. Kuvio 10. Heijastuskulma = tulokulma Koevälineistönä oli IS-VET OY:n optiikkasarjan välineet: valonlähde, linssi, jonka polttoväli oli +10 cm, rako ja heijastava metallipinta. Kiinnitys tapahtui välineissä olevilla magneeteilla taulun pintaan. Valo etenee suoraviivaisesti homogeenisessa väliaineessa (B12). Jos aine ei ole homogeeninen, valonsäteen kulkusuunta muuttuu. Tehtiin seuraava koe. Ohutseinäiseen muoviastiaan laitettiin vettä, ja kaadettiin varovasti denaturoitua alkoholia, INDUSTOL PE 2:ta, veden pinnalle pitkin

9 lasisauvaa. Veteen pantiin muutama tippa rasvatonta maitoa, samoin alkoholiin. On varottava, että vesi ja alkoholi eivät sekoitu. Maitotipan sekoittaminen alkoholiin aiheutti sakkautumista. Kokeilin kotona maidon sekoittamista alkoholiin eikä sakkaa muodostunut. Ilmiön kemiallista luonnetta en tutkinut tarkemmin. Asetetaan astia telineelle. Kun lasersäde suunnataan alhaalta päin siten, että se ensin osuu veteen, havaitaan valonsäteen kaartuvan vesi-alkoholirajapinnassa, kuten kuvio 11 osoittaa. Jatkuvasti muuttuva optinen tiheys alkoholi vesi tekee valonsäteen reitin kaarevaksi. Nuolen osoittama mutka jäi arvoitukseksi. Veden ja alkoholin taitekertoimet eroavat vain vähän toisistaan, joten lopullinen suunnan muutos ei ole kovin suuri, mutta voidaan kumminkin havaita. Kuumana kesäpäivänä tiellä näyttää olevan lätäköitä (B13), jotka häviävät lähemmäksi tultaessa. Tällöin asvaltin lähellä oleva ilmakerros on huomattavasti lämpimämpi kuin hieman ylempänä. Taivaalta tuleva valo kokonaisheijastuu kuuman ilman kerroksesta, joka on optisesti harvempaa kuin viileämpi ilma. Kuvio 11. Taittuminen kahden aineen rajapinnassa Kalajoen edustalla merellä voidaan havaita kangastusilmiöitä (B14). Hiekkasärkiltä 18 km:n päässä merellä on Maakallan saari ja siitä 5 km:n päässä ulkomerelle päin Ulkokallan majakka. Hiekkasärkkien päällä kulkee tie, jonka korkeus meren pinnasta on noin 20 m. Keväällä ja alkukesästä meren pinta on kylmä, ja pinnan lähellä oleva ilmakerros on viileä. Jos sää on

10 sellainen, että lämpötila maalla on lähellä 20 0 C, voidaan majakka nähdä oikein tai väärin päin. Tiellä oleva katsoja on lämpimässä ilmakerroksessa, joten majakka näkyy vain kohonneena, koska taittuminen ei ole riittävän suurta,. Jos tarkkailija on lähes merenpinnan tasolla, voi majakka näkyä nurinpäin. Kyse on jälleen ilmakerrosten optisten tiheyksien erosta. Väliaineen optinen tiheys muuttuu jatkuvasti, jolloin taittumisessa ja kokonaisheijastumisessa valonsäteiden kulku on käyräviivaista. Edellä kuvaamani ilmiöt ovat vain yksinkertaisia tapauksia. Useimmiten näkyvät kangastukset ovat mutkikkaampia. Oppilaille tämä ilmiö on kuitenkin tuttu, ja uskon, että moni tarkkailee ilmiötä valo-opin kurssin jälkeen. Olosuhteet tähän ovat mainiot. Kuviossa 12 on periaatekuva eräästä tapauksesta, jossa meren pinnan lähellä oleva ilma on kylmempää kuin ylempänä oleva. Kuvio 12. Kangastus Oppilaat ovat kysyneet valo-opin yhteydessä miksi Aurinko näyttää litistyneeltä laskiessaan mereen (B15). Kuten edellisessäkin ilmiössä on tässäkin Hiekkasärkillä erinomaiset mahdollisuudet havaintojen tekoon. Aikuiset voivat tehdä havaintoja kolmen ravintolan ikkunapöydistä! Auringon Kuvio 13. Auringon litistyneisyys

11 litistyminen johtuu ilmakehästä, joka muuttaa valonsäteiden kulkusuuntaa. Tyhjästä avaruudesta ilmakehään saapuva valo taittuu sitä enemmän, mitä tiheämpiin ilmakerroksiin tullaan. Auringon yläreuna on nousut korkeammalle, mutta ei niin paljon kuin alareuna. Sivusuunnassa koko säilyy. Toinen ilmiö, jota viimeksi kollegojen kanssa kesän alussa metsästimme, oli Auringon laskiessa tapahtuva vihreä välähdys. Valitettavasti emme onnistuneet havaitsemaan ilmiötä. Upotetaan ohut sauva vesialtaaseen (B16). Havaitaan, että sauva näyttää taittuvan veden ja ilman rajakohdassa. Kuvio 14. Taittuminen Saman ilmiön oppilaat ovat havainneet, jos ovat olleet soutelemassa. Kun airo pistetään veteen, se näyttää taittuvan ja lyhenevän. Rantavedessä oleva kivi näyttää olevan lähempänä pintaa kuin se todellisuudessa on. Edelliset ilmiöt voidaan selittää valonsäteen taittumisella. Esine nähdään aina siinä suunnassa, josta sen lähettämä valo osuu silmään. Ilmiötä voidaan havainnollistaa piirtämällä taululle kuvio ja merkitsemällä kuvioon valonsäteiden todelliset reitit. Koe (B11) antaa perusteet tälle esitysmuodolle. 2.4 Peilien ja linssien luokittelu Peilit (D1) Peili on valoa säännöllisesti heijastava sileä pinta tai sovelluksissa kappale, jolla on tällainen pinta [1,1046]. Peilit voidaan jakaa seuraavasti:

12 Tasopeilit, joita ovat käsi- ja seinäpeilit, katupeilit ja esimerkiksi periskoopissa olevat peilit. Peilin pinta on taso. Kaarevat peilit [2,139]. Peilipinnat ovat useimmiten yksinkertaisia pyörähdyspintoja. 1. Kovera ja kupera pallopeili. Peilipinnan ja xy-tason leikkauskäyrä on ympyrän kaari. Koveran peilin sisäpinta ja kupera ulkopinta ovat heijastavia. 2. Paraboloidi. Leikkauskäyrä on paraabeli. Peili tekee pistemäisestä valonlähteestä lähtevistä säteistä yhdensuuntaisen sädekimpun. Voi toimia esimerkiksi kaukoputken tai valonheittimen peilinä sekä satelliittivastaanottimen antennina. 3. Ellipsoidi. Leikkauskäyrä on ellipsin kaari. Peiliä käytetään, jos halutaan kohdistaa lampusta lähtevä valo tarkasti pienelle pinta-alalle tai yleensä jos on kuvattava piste pisteeksi. 4. Hyperboloidi. Leikkauskäyrä on hyperbelin kaari. Jos halutaan lyhentää suuren peilikaukoputken pituutta, peili on käyttökelpoinen. Linssit (E1) Linssi on kahden valoa säännöllisesti taittavan pinnan rajoittama läpinäkyvä kappale, joka on optisen akselin suhteen symmetrinen mutta ei tasapaksu [3,707]. Kaarevilla pinnoilla voidaan valonsäde poikkeuttaa siten, että linssiin tuleva yhdensuuntainen sädekimppu joko taittuu yhteen pisteeseen ( kupera linssi) tai hajaantuu (kovera linssi). Kuviossa 15 linssit on ryhmitelty kaarevuuden mukaan [4,140-141].Linssien nimitykset riippuvat pintojen järjestyksestä. Pinnan kaarevuussäde on positiivinen, jos se on kupera valon kulkusuuntaan katsottuna, ja negatiivinen, jos se on kovera valon kulkusuuntaan katsottuna. Yhteenvetona voidaan todeta seuraavaa: Linssi, joka on keskeltä paksumpi kuin reunoilta, on kupera tai positiivinen. Linssi, joka on keskeltä ohuempi kuin reunoilta, on kovera tai negatiivinen.

13 Kuvio 15. Linssityypit 2.5 Kuperien ja koverien peilien ja linssien muodostamat kuvat (B2) Tasopeili Pimennetyssä luokkahuoneessa asetettiin pöydälle pystyyn lasilevy [5,126],. kuvio 16 ( itse kuvattu). Sen toiselle puolelle laitettiin palava kynttilä (B21). Kun kynttilää katsotaan lasilevyn läpi, havaittiin levyn takana identtinen kynttilä. Mitattiin kynttilän sekä sen kuvan etäisyydet levystä, ja havaittiin ne yhtä suuriksi. (B11)-kokeen perusteella heijastumislaki on tiedossa, joten kuvan Kuvio 16. Kuva ja valekuva

14 muodostuminen voidaan selittää seuraavasti, kuvio 17: Suoraan peiliin osuva säde heijastuu samaa tietä takaisin. Vinottain tuleva säde heijastuu tulokulman suuruisessa kulmassa. Kun piirretään säteiden jatkeet, ne leikkaavat peilin takana. Näin voidaan piirtää piste pisteeltä esineen kuva. Tasopeili heijasta kaikki säteet takaisin ja muodostunut kuva on valekuva, koska säteiden jatkeet leikkaavat toisensa. Silmän antaman kuvan ihminen tulkitsee peilin takana olevaksi esineeksi. Valekuvaa ei saada näkymään varjostimella. Kuvio 17. Tasopeilin kuvaus Kovera peili Peilinä voi käyttää kirkasta lusikkaa sekä esineenä kynää. Havaitaan seuraavia seikkoja. Kynän ollessa kaukana peilistä kuva näkyy väärin päin, se on pienennetty ja sijaitsee peilin edessä ilmassa. Tämän seikan hahmottaminen on hieman vaikeaa ja edellyttää havaitsijalta stereonäkökykyä. Asiaa auttaa kynän liikuttelu edestakaisin kohdassa, jossa kuva on muuttumassa valekuvaksi. Riittävän lähellä peiliä kynän kuva kääntyy oikein päin ja näyttää olevan peilin takana. Kuva on suurennettu. Kotona kokeilin teelusikalla ja työpöytäni loisteputkivalaisimella. Kirkkaan teelusikan koveran puolen loisteputkesta muodostaman kuvan sai näkyviin leivinpaperin palasella, joka on puoliksi läpäisevä. Koska putki on pitkänomainen, sen kuva on pitkänomainen ja leivinpaperin ollessa hieman sivussa pääakselista siihen muodostuvaa kuvaa oli helpompi verrata ilmassa

15 olevaan kuvan osaan. Koe näytti toimivan, ja peilin tutkimisen voi antaa oppilaille kotitehtäväksi. Kupera peili Lusikan kupera puoli antaa aina peilin takana olevan kuvan, joka on pienennetty, oikein päin ja valekuva, koska sitä ei saada varjostimelle. Yhteenvetona voitaisiin tehdä seuraavat johtopäätökset: Jos peilistä heijastuneet säteet suppenevat johonkin pisteeseen, saadaan todellinen kuva, joka näkyy varjostimelle. Jos säteiden jatkeet leikkaavat, syntyy valekuva, jota ei saada näkyviin varjostimelle. 3 Kvantifiointi Perushahmotuksessa jo havaittiin, että valonsäteen suunta muuttuu aineiden rajapinnoissa. Seuraavassa tämä ominaisuus kvantifioidaan suureeksi. 3.1 Taitesuhde ja taitekerroin Kuvio 18. Tulo- ja taitekulman välinen riippuvuus Esikvantifioivana kokeena annettiin valonsäteen taittua erilaisiin väliaineisiin (B3). Väliaineena oli vesi, glyseroli, akryylimuovi ja ruokaöljy. Nestemäisille aineille valmistettiin ympyrän muotoisesta muovisesta petrimaljasta väliseinällä jakamalla kaksiosainen astia, kuvio 18. A- ja B-puoliskoihin voitiin laittaa nestettä tai toisessa osassa voi olla ilmaa.

16 Kuviossa 19 on mittauksen esijärjestely. Siinä alimpana näkyy A4-arkki, johon on piirretty xy-akselisto. Sen päällä on pyöreä astelevy, jonka asteikko on suunnattu akseliston mukaan. Astelevyn päällä on lasilevy, joka estää nesteiden mahdollisen roiskumisen astelevylle ja paperille. Koko systeemi lepää hitausmomentin tutkimuksessa käytetyn pyöreän levyn päällä, jota lasersäde astelevy Kuvio 19. Säteen suunnan tarkistus Lasersäde sisään Kuvio 20. D-rasia voidaan kiertää pystysuoran akselin suhteen. Näin saadaan valittua haluttu tulokulman arvo. Lasersäteen on kuljettava sinisellä merkityn viivan suuntaisesti. Tämä tarkistettiin kahdella muovisella kappaleella, joihin osuva säde näkyy punaisena pisteenä. Kun suuntaus on oikein, ovat pisteet kohtisuoraan ylhäältä katsottuna sinisellä merkityllä suoralla. Nesteet kaadettiin kuvion 20 mukaisiin D-muotoisiin rasioihin. Suuntauksen helpottamiseksi rasian pohjassa on sinisellä merkitty viiva. Ennen jokaista havaintoarvon määrittämistä tarkistettiin, että lasersäde meni sisään juuri oikeasta kohdasta ja tulokulma oli yhtä suuri kuin heijastuskulma heijastuneella säteellä. Tällä tavalla varmistettiin, että taittumiskulman arvo on määritetty sinisellä merkityn viivan suhteen, joka on sama kuin D-rasian

17 suoran sivun normaali. Koe oli erittäin herkkä edellä mainituissa seikoissa tapahtuville muutoksille. Käytetty valon aallonpituus oli 632,8 nm. Taitekertoimen arvoja juuri tälle aallonpituudelle ei ollut taulukkokirjoissa. Esikvantifioivien kokeiden perusteella havaittiin, että säteen suunnan muutos riippuu aineparista ja tulokulmasta. Kvantifiointi (B31) Kuten monisteessa on mainittu, tulo- ja taitekulman välistä riippuvuutta on vaikea keksiä. Ennuste saadaan soveltamalla Huygensin periaatetta: sin α sin β = v v A = B vakio, (1) missä α on tulokulma ja β taitekulma sekä v A ja v B valonnopeudet ko. väliaineissa. Testattiin lain paikkansapitävyyttä suorittamalla mittauksia eri ainepareilla ja sijoittamalla mittausarvot (sinβ, sinα)-koordinaatistoon. Lasersäde suunnattiin D-muotoisen rasian suoran sivun keskipisteeseen, jolloin säde tuli ilmasta ja taittui nesteeseen. Kun tulokulman arvo oli nollasta poikkeava, niin tarkoissa mittauksissa suorana sivuna olevan muovilevyn paksuus olisi pitänyt ottaa huomioon yhdensuuntaissiirtymän vuoksi. Koska levyn paksuus oli 1 mm ja pienillä kulmilla siirtymän vaikutus oli pienempi kuin muiden virhelähteiden, levyn vaikutus lopputulokseen ei ollut merkittävä. Seuraavassa on tulokset suoritetuista mittauksista. Taulukko 1. Taitesuhde, vesi/ilma α ( 0 ) β ( 0 ) sinβ sinα 10 6,5 0,113 0,174 15 9,5 0,165 0,259 20 13,0 0,225 0,342 25 16,5 0,284 0,423 30 21,0 0,358 0,500 Taulukko 2. Taitesuhde, glyseroli/ilma α ( ) β ( ) sinβ sinα 10 6,0 0,105 0,174 15 9,5 0,165 0,259 20 12,5 0,216 0,342 25 16,5 0,284 0,423 30 19,0 0,326 0,500

18 sin( ) 0,60 0,50 0,40 y = 1,333x + 0,034 R 2 = 0,993 0,30 0,20 0,10 0,00 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 sin(β) Kuvio 21. Taitesuhde vesi/ilma sin( ) 0,60 0,50 0,40 y = 1,450x + 0,022 R 2 = 0,997 0,30 0,20 0,10 0,00 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 sin(β ) Kuvio 22. Taitesuhde glyseroli/ilma Kuvioiden 21 ja 22 perusteella havaitaan koordinaatiston pisteiden sijoittuvan likimain suoralle, mutta aineparista riippuen suorilla on eri suuret kulmakertoimet. Taitekulman sini on verrannollinen tulokulman siniin, sinien suhde on invariantti, tulokulmasta riippumaton ja aineiden väliselle rajapinnalle ominainen vakio. Määritellään kulmakerroin tämän rajapinnan taitesuhteeksi, joka ilmaisee sen kyvyn taittaa valoa,

19 sin α sin β sin α n BA =. (2) sin β Valo tulee aineesta A ja menee aineeseen B. Suhde on riippumaton tulokulmasta α. Taulukko 3. Taitesuhde, muovi/ilma α ( 0 ) β ( 0 ) sinβ sinα 10 6,5 0,113 0,174 15 10,0 0,174 0,259 20 13,0 0,225 0,342 25 16,0 0,276 0,423 30 19,5 0,334 0,500 sin( ) 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 y = 1,502x + 0,003 R 2 = 0,999 0,00 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 sin(β ) Kuvio 23. Taitesuhde muovi/ilma Taulukko 4. Taitesuhde, Kultasula/ilma α ( 0 ) β ( 0 ) sinβ sinα 10 6,5 0,113 0,174 15 10,0 0,174 0,259 20 13,0 0,225 0,342 25 16,0 0,276 0,423 30 19,5 0,334 0,500

20 sin(α ) 0,60 0,50 y = 1,502x + 0,003 Taulukko 6. Taitesuhde, Kultasula/vesi α ( 0 R 2 ) β ( 0 = 0,999 0,40 ) sinβ sinα 10 8,5 0,148 0,174 0,30 15 12,5 0,216 0,259 20 17,0 0,292 0,342 0,20 25 21,5 0,367 0,423 30 26,5 0,446 0,500 0,10 0,00 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 sin(β ) Kuvio 24. Taitesuhde Kultasula/ilma Taulukko 5. Taitesuhde, glyseroli/vesi α ( 0 ) β ( 0 ) sinβ sinα 10 9,5 0,165 0,174 20 18,0 0,309 0,342 30 27,0 0,454 0,500 40 36,0 0,588 0,643 50 45,0 0,707 0,766 60 52,5 0,793 0,866 sin( ) 1,00 0,80 0,60 y = 1,092x - 0,000 R 2 = 1,000 0,40 0,20 0,00 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 sin(β ) Kuvio 25. Taitesuhde glyseroli/vesi

21 Taulukko 6. Taitesuhde, Kultasula/vesi α ( 0 ) β ( 0 ) sinβ sinα 10 8,5 0,148 0,174 15 12,5 0,216 0,259 20 17,0 0,292 0,342 25 21,5 0,367 0,423 30 26,5 0,446 0,500 0,60 sin( 0,50 0,40 0,30 y = 1,092x + 0,018 R 2 = 0,998 0,20 0,10 0,00 0,00 0,20 0,40 0,60 sin(β ) Kuvio 26. Taitesuhde Kultasula/vesi Kuvion 27 mukaisella koejärjestelyllä tutkitaan, mitä tapahtuu valon taittumiselle aineesta A aineeseen B, jos väliin laitetaan ainetta C siten, että rajapinnat AC ja CB ovat yhden suuntaiset (B32). Rasia A Muovi C Rasia B Astelevy Kuvio 27. Kolme väliainetta

22 Koetta varten valmistetaan kaksi puoliympyrän muotoista rasiaa A ja B. Välissä oleva osa C voi olla esimerkiksi muovikappale. A α C β B Suunnataan valonsäde siten, että se osuu kappaleen A suoran sivun keskipisteeseen, josta edelleen jatkaa kappaleeseen C. B:tä siirretään siten, että valonsäde osuu sen suoran sivun keskipisteeseen, jolloin poikkeaman mittaaminen on helpompaa. Edellinen periaate ilmenee kuviosta 28. Aineessa B tapahtuva säteen taittuminen mitataan kuviossa 27 näkyvällä rasia B:n alla olevalla astelevyllä, jota käytetään B:n siirtämiseen. Tutkittaessa kolmannen aineen vaikutusta taittumiseen kahden aineen välissä havaittiin seuraavaa: Säde tuli vedestä ja meni akryylin kautta glyseroliin. Tulokulman kasvattaminen lisäsi yhdensuuntaissiirtymää. Veden ja akryylin välissä oli pieni ilmarako, joka aiheutti sen, että tapahtui kokonaisheijastus. Tulokulmaa ei voitu asettaa suuremmaksi kuin veden kokonaisheijastuksen rajakulma. Itse valmistamana välineet eivät olleet mittatarkkoja. Taulukossa 7 on verrattu taitekulmaa tapauksissa, joissa säde kulkee vedestä glyseroliin, β, ja vedestä akryylin läpi glyseroliin, β 1. Sama on esitetty kuviossa 29. Kuvio 28. Taulukko 7. vesi/akryyli/glyseroli α ( 0 ) β ( 0 ) β 1 ( 0 ) 10 9,5 9 20 18 17 30 27 26 40 36 35

23 taitekulma( 1 0 ) 40 35 30 25 20 15 10 5 y = 0,9832x - 0,4959 R 2 = 0,9998 0 0 10 20 30 40 taitekulma (β 0 ) Kuvio 29. Kolmannen aineen vaikutus taittumisessa Kuvion 29 perusteella voidaan päätellä, että taitekulma aineeseen B on riippumaton siitä onko välissä ainetta C vai ei. Koska sin α n CA = ja sin γ sin γ sin α sin γ n BC =, niin n CA nbc = = nba (3) sin β sin γ sin β Kun määritetään aineparin A ja B taitesuhteet ilman kanssa, jota tässä mittauksessa pidettiin standardiaineena O, saadaan lauseke (3) seuraavaan muotoon n n = BO BA = noa nbo, (4) nao missä n AO ja n BO ovat taitesuhteet ilman suhteen. Tarkoissa mittauksissa tyhjö on vertailuaineena, ja taitesuhdetta tyhjön kanssa kutsutaan aineen taitekertoimeksi. Merkitään n AO = n A, jolloin n B n BA =. (5) n A Ilman taitekerroin ei poikkea huomattavasti tyhjön taitekertoimesta. (C3): Lauseke (2) voidaan nyt kirjoittaa muotoon Edelleen on sin α n n BA = = sin β n B A. (6) n sin α = n sin β. (7) A B

24 Tämä taittumislain muoto tunnetaan Snelliuksen lakina. Mittaustulokset on koottu taulukkoon 8. Kultasula on ruokaöljy, ja sen taitekertoimelle en löytänyt taulukkoarvoa. Eroprosentissa on verrattu mittaustulosta taulukoista saataviin arvoihin, jotka ovat keltaiselle valolle. Vedelle saatu taitekertoimen arvo on sama kuin taulukkoarvo. Tämä johtuu pikemmin sattumasta kuin laitteiden tarkkuudesta. Esimerkiksi veden ja glyserolin välisen taitesuhteen tutkimuksessa suurilla kulmilla alkoi ilmestyä Taulukko 8. Mittaustulosten yhteenveto, taitekertoimet Aine Taulukkoarvo Mittaustulos Ero % Vesi 1,33 1,33 0,0 % Glyseroli 1,47 1,45 1,3 % akryyli 1,49 1,50-0,8 % Kultasula - 1,50 - Glyseroli/vesi 1,10 1,09 0,9 % Kultasula/vesi - 1,09 - liikaa hajaheijastuksia, jotka häiritsivät valopisteen tarkan osumiskohdan määrittelyä D-rasian suoralla sivulla. Ilmeisesti petrimaljaa jakava muovilevy oli edelleen liian paksu. Lisäksi pienet naarmut tai hiushalkeamat hajottivat sädettä. Kuvion 27 koejärjestelyssä akryylilevyn ja D-rasioiden väliin ei saa jäädä ilmarakoa, muuten suurilla kulmilla vedestä tuleva säde kokonaisheijastuu ennen akryylilevyä. Näin ollen D-rasian valmistuksen on oltava hyvin mittatarkkaa. Itse idea toimii hyvin. 3.2 Polttoväli Kuvanmuodostuksen periaate Koejärjestelyssä on kupera linssi, palava kynttilä ja varjostin. Kynttilä lähettää valoa, joka kulkee linssin läpi(b22). Haetaan sellainen varjostimen etäisyys, että kynttilän liekin kuva varjostimella on terävä. Jokaisesta liekin osasta lähteneet valonsäteet kulkevat yhden, tietyllä etäisyydellä linssin takana olevan pisteen kautta. Kuva on terävä vain silloin, kun säteet leikkaavat samassa kohdassa varjostimella. Koveralla linssillä ei saada kuvaa varjostimelle.

25 Siirretään kynttilää kauemmaksi linssistä(b23). Havaitaan, että kuva siirtyy lähemmäksi linssiä ja pienenee. Tässä yhteydessä voidaan keskustella polttolasista. Ainakin pojista useimmat ovat käryttäneet polttolasilla erilaista syttyvää materiaalia. Aurinko on esine, joka on kaukana ja jonka kuva muodostuu polttolasin jälkeen paperin pinnalle. Vain tietyllä etäisyydellä linssistä sädekimppu suppenee yhteen ainoaan pisteeseen. Kokeissa käytettiin IS-VET OY:n tauluun kiinnitettävää optiikkasarjaa (B24). Yhdensuuntainen valonsädekimppu suunnattiin vuoron perään kuperan ja koveran linssin malleihin, kuviot 30 ja 31 Havaittiin, että pääakselin suuntaiset säteet kulkevat kuperan linssin jälkeen pääakselilla olevan pisteen kautta. Tämä piste voidaan nimetä polttopisteeksi. Koveralla linssillä pääakselin suuntaiset säteet hajaantuvat Kuvio 30. Kuperan linssin malli Kuvio 31. Koveran linssin malli linssin jälkeen, mutta ne näyttävät tulevan samasta pisteestä, joka on linssin sillä puolella, josta valo tulee. Tätä pistettä kutsutaan valepolttopisteeksi. Edelliseen sarjaan kuuluvalla koveran ja kuperan peilin mallilla todettiin, että pääakselin suuntainen sädekimppu heijastui saman peilin edessä olevan pisteen kautta, jota kutsutaan polttopisteeksi (B25). Kuperan peilin pinnasta sädekimppu hajaantui, mutta jatkeet näyttivät leikkaavan samassa pisteessä

26 peilin takana. Kutsutaan tätä pistettä valepolttopisteeksi. Esimerkit ovat kuvioissa 32 ja 33. Kuvio 32. Koveran peilin malli Kuvio 33. Kuperan peilin malli 3.3 Gaussin kuvausyhtälö ja suurennos Gaussin kuvausyhtälön matemaattinen muoto on sellainen, että sen löytäminen graafisen esityksen perusteella ei ole aivan helppo tehtävä. Tämän vuoksi laaditaan malli valonsäteiden kulun perusteella, ja testataan mallin antamaa ennustetta. 3.3.1 Kupera linssi A e B F O f F B k A a b Kuvio 34. Kuperan linssin muodostama kuva

27 Oletetaan, että säteet liikkuvat hyvin lähellä optista akselia ja muodostavat hyvin pienen kulman optisen akselin kanssa. Seuraavat kolmiot ovat yhdenmuotoisia: A B O ABO sekä A B F COF. Määritellään kuvauksen viivasuurennos k b f m = =. (8) e f Kolmioiden yhdenmuotoisuuden perusteella on Kun nämä relaatiot yhdistetään, saadaan b m = (9) a b a b f =. (10) f Sieventämisen jälkeen saadaan Gaussin kuvauslaki 1 1 1 + =. (11) a b f Ennustetta testattiin määrittämällä tunnettujen linssien polttovälejä(c4). Kuviossa 35 näkyy koejärjestely. Esineenä käytettiin pientä mattapintaista lasilevyä, jonka pintaan oli teipattu läpinäkyvän muoviviivoittimen palanen. Levyn läpi suunnattiin IS-VET OY:n valo-opin välinesarjassa olevan valonlähteen valo. Viivoittimessa oli näkyvissä 30 mm:n asteikko sekä tekstiä. Mittaamalla asteikon pituus varjostimella saatiin selville kuvan viivasuurennos. Kuva tarkennettiin siten, että ensin haettiin varjostimen kaksi sellaista kohtaa, joissa kuva muuttui selvästi epätarkaksi. Suunnilleen kohtien puolivälistä löytyi lopullinen paikka, jossa kuva oli terävimmillään. Tämän jälkeen mitattiin esine linssi mitta Kuvio 35. Kuperan linssin polttovälin määritys

28 esineen ja linssin välinen etäisyys a sekä kuvan ja linssin välinen etäisyys b. Mittaustulokset ovat taulukossa 9 ja 10 sekä kuviossa 36 olevassa (1/a, 1/b)- koordinaatistossa. Taulukko 9. Kuperan linssin polttoväli a (m) b (m) 1/a (1/m) 1/b (1/m) k (m) b /a k /e 0,118 0,617 8,475 1,621 0,160 5,23 5,33 0,138 0,350 7,246 2,857 0,073 2,54 2,43 0,160 0,273 6,250 3,663 0,052 1,71 1,73 0,175 0,233 5,714 4,292 0,040 1,33 1,33 0,203 0,204 4,926 4,902 0,030 1,00 1,00 Taulukko 10. Kuperan linssin polttoväli a (m) b (m) 1/a (1/m) 1/b (1/m) k (m) b /a k /e 0,453 0,883 2,208 1,133 0,058 1,95 1,93 0,471 0,817 2,123 1,224 0,052 1,73 1,73 0,498 0,748 2,008 1,337 0,045 1,50 1,50 0,529 0,691 1,890 1,447 0,039 1,31 1,30 0,554 0,651 1,805 1,536 0,035 1,18 1,17 10,00 1/b (1/m) 9,00 8,00 7,00 6,00 y = -0,9272x + 9,5142 R 2 = 0,9976 5,00 4,00 3,00 y = -0,9918x + 3,3256 R 2 = 0,9995 2,00 1,00 0,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 11,00 1/a (1/m) Kuvio 36. Kuperan linssin polttoväli

29 Suoran fysikaalinen kulmakerroin on likimain 1. Kuvaajan yhtälö on siis muotoa 1 1 1 = +. (12) b a f Linssin polttovälin käänteisarvo voidaan lukea kuvaajan ja 1/b-akselin leikkauspisteestä. Kuvaajan ja 1/a akselin leikkauspiste antaa myös 1 1 polttovälin käänteisarvon. Kuvion 36 perusteella on = 9,5142 tai f m 1 10,2612, josta polttoväli on f = 0,105 m tai 0,0975 m. Keskiarvo on 0,101 m. m Valmistajan antama arvo on 0,100 m, josta mittaustulos poikkeaa 1%:n. Toisella linssillä 1 1 1 = 3,3256 tai 3,3530 f m m. Vastaavat polttovälin arvot ovat 0,301 m ja 0,298 m. Keskiarvo on 0,299 m, ja poikkeama ilmoitetusta arvosta 0,300 m on 0,3 %. Samassa yhteydessä tarkistettiin tulos k b m = =, (13) e a joka taulukoiden perusteella näyttää pitävän paikkansa. 3.3.2 Kovera peili Sekä linsseillä että koveralla peilillä oletetaan valonsäteen kulkevan lähellä pääakselia. Tästä seuraa, että kaarta HK kuviossa 37 voidaan pitää suorana ja FHK FA B, joten m = ' ' A B AB ' ' A B HK ' FB FK b = f f. (14) ABO A B O, joten ' ' ' A B B O 2 f b m = = =. (15) AB BO a 2 f b f f 2 f b = a 2 f (16) 1 1 1 + = (17) a b f

30 A H B B O A F f K b a Kuvio 37. Koveran peilin muodostama kuva Esine Peili Varjostin Mitta Kuvio 38. Koveran peilin polttovälin määritys Kuviossa 38 näkyy koejärjestely. Esikokeiden perusteella valonlähteen on oltava riittävän voimakas, jotta kuva saataisiin peilin pääakselista hieman sivussa olevalle varjostimelle. Varjostinta siirtämällä haettiin terävin kuva samalla tekniikalla kuin linssien yhteydessä. Peilinä käytettiin kaupasta saatavaa partapeiliä, jonka halkaisija oli 95 mm. Polttoväliä ei ollut tiedossa, joten siltä osin Kuvio 39.Esine

31 mittausta ei voi tarkistaa. Esineen etäisyyttä ei voinut vaihdella kovin paljon, sillä kuva siirtyi liian kauas ja sen valoisuus heikkeni huomattavasti. Valonlähteen kirkkautta voitiin säätää jännitettä muuttamalla, mutta seurauksena oli melkein välittömästi lämpösulakkeen laukeaminen. Esineenä käytetyssä viivoittimen palassa oleva tekstin kuva varjostimella auttoi tarkentamisessa. Tästä huolimatta terävän kuvan muodostaminen oli vaikeaa. Kuviossa 39 on kuva esineestä. Taulukossa 11 ja kuviossa 40 on mittauksen tulokset. Taulukko 11. Koveran peilin polttoväli a (m) b (m) 1/a (1/m) 1/b (1/m) k (m) b /a m 0,408 0,867 2,451 1,153 0,065 2,13 2,17 0,431 0,792 2,320 1,263 0,055 1,84 1,83 0,450 0,728 2,222 1,374 0,049 1,62 1,63 0,470 0,693 2,128 1,443 0,045 1,47 1,50 0,490 0,656 2,041 1,524 0,041 1,34 1,37 0,389 0,972 2,571 1,029 0,075 2,50 2,50 1/b (1/m) 4,00 3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 y = -0,9312x + 3,429 R 2 = 0,9979 0,00 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 1/a (1/m) Kuvio 40. Koveran peilin polttoväli Kuvion 40 perusteella peilin polttoväli on 1 f = m = 0,291m tai 0,272m (1/a- 3,429 akselin leikkauspiste). Keskiarvoksi tulee 0,282 m. Tuloksen oikeellisuutta voitiin arvioida likimääräisesti antamalla auringon säteiden heijastua peilin kautta polttopisteeseen. Suoritin mittauksen ja sain polttovälin likiarvoksi noin 30 cm, jonka tarkkuus on 1 cm.

32 Kuvauksen merkkisäännöt: Linssin kuvausyhtälön käytössä on noudatettava seuraavia sääntöjä: 1. Kuperan linssin polttoväli f on positiivinen ja koveran negatiivinen. 2. a on positiivinen, jos esine on sillä puolella linssiä, josta valo tulee, muutoin a on negatiivinen. 3. b on positiivinen, jos kuva on sillä puolella linssiä, jonne linssin läpi kulkenut valo etenee. Jos kuva muodostuu sille puolelle linssiä, josta valo tulee, on b negatiivinen. Peilin kuvausyhtälöä koskevat seuraavat säännöt: 1. a,b ja f ovat positiivisia, jos esine, kuva ja polttopiste ovat sillä puolella peilipintaa, josta valo tulee. 2. a on negatiivinen, jos kuva (valekuva) on peilipinnan takana. f on negatiivinen, jos polttopiste (valepolttopiste)on peilipinnan takana. 3.3.3 Valekuva Valekuvassa eli virtuaalikuvassa esinepisteestä lähteneiden säteiden jatkeet leikkaavat toisensa kuvapisteessä. Kuvioissa 41-44 ovat tärkeimmät tapaukset. k e F F Kuvio 41. Kupera linssi, valekuva

33 e k F Kuvio 42. Kovera linssi, valekuva e k F O Kuvio 43. Kupera peili, valekuva O F e k Kuvio 44. Kovera peili, valekuva Koveralla linssillä ei voida suoraan saada syntymään todellista kuvaa. Ideana on se, että koveraan linssiin tulevan sädekimpun on oltava riittävän voimakkaasti suppeneva, jotta se vielä linssin hajottavan vaikutuksen jälkeen

34 suppenisi ja muodostaisi kuvan. Tämä tapahtuu siten, että kuperalla linssillä muodostetaan kuva, joka toimii vale-esineenä koveralle linssille ja on koveran linssin ja sen valepolttopisteen välissä, kuvio 45. Sama menetelmä pätee kuperalle peilille. Sillä voidaan saada todellinen kuva vain vale-esineestä, joka on riittävän lähellä peiliä lähempänä kuin peilin valepolttopiste. Vale-esine voidaan muodostaa joko kuperalla peilillä tai linssillä. Kuviossa 45 kuvan muodostuminen tutkittiin kynttilällä, jonka jälkeen diaheittimen valo suunnattiin savulaatikkoon. Savu muodostettiin hyttyskarkotteella. Valo tulee vasemmalta. Kuvio 45. Simulointiohjelmalla ei voinut tutkia tapausta, jossa esine on vale-esine. Kuvioissa 46 ja 47 on käsitelty kaaviollisesti kyseiset tapaukset [9,147]. Ne tulevat kysymykseen silloin, kun säteet tulevat esimerkiksi edellisestä linssistä. Kuva toimii esineenä seuraavalle linssille tai peilille. Vale-esine ( a < 0) antaa todellisen kuvan (b >0). a < 0 F b > 0 F Kuvio 46. Vale-esine

35 a < 0 F F b > 0 Kuvio 46a. Vale-esine F a < 0 F b > 0 F b < 0 F a < 0 Kuvio 47. Vale-esine

36 Kuvioissa 46 vale-esine on oikealla puolella linssiä. Kuva on todellinen eikä riipu esineen paikasta suhteessa polttopisteeseen. Kuviossa 47 ylemmässä kuvassa vale-esine on polttopisteen ja linssin välissä. Tulevat säteet konvergoivat kohti vale-esineen kärkeä ja syntyy todellinen kuva. Alemmassa kuvassa syntyy valekuva. 3.3.4 Tietokonesimulaatio Linssien ja peilien kuvanmuodostusta voi tutkia tietokonesimulaatiolla osoitteessa http://www.phy.ntnu.edu.tw/~hwang/lens/lens_e.html Kuvio 48. Simulaatio-ohjelman näyttö Kuviossa 48 esine on merkitty sinisellä värillä samoin esineestä piirretyt säteet. Säteiden jatkeet ovat vihreällä värillä kuten myös kuva. Ohjelmassa annetaan esineen etäisyys a, ja muut arvot voidaan lukea näytön yläosassa näkyvistä valkoisista lokerikoista. Linssi on sijoitettu xy- koordinaatistoon, jolloin esineen ja kuvan sijainti ilmaistaan myös koordinaateilla. Kursorilla voidaan siirrellä joustavasti esinettä ja tutkia erilaisia vaihtoehtoja. Seuraavissa taulukoissa esineen korkeus on ollut 2,0 cm ja sen etäisyyttä a on vaihdeltu. Taulukossa olevat arvot on luettu suoraan näytöltä,

37 k ilmaisee kuvan korkeuden ja m viivasuurennoksen. Kuperan peilin ollessa kysymyksessä kuvan laatu ei muutu, mutta koko vaihtelee. Taulukko 12. Kupera linssi, polttoväli on f = +10,0 cm a (cm) b (cm) Kuvan laatu 18,0 22,5 Todellinen, väärinpäin, k = 2,4 cm, m = 1,25 4,9-9,6 Valekuva, oikeinpäin, k = 3,1 cm, m = 1,96 Taulukko 13. Kovera linssi, polttoväli on f = -10,0 cm a (cm) b (cm) Kuvan laatu 13,8-5,7 Valekuva, oikein päin, k = 0,8 cm, m = 0,42 6,4-3,9 Valekuva, oikein päin, k = 1,3 cm, m = 0,6 Taulukko 14. Kovera peili, polttoväli on f = +10,0 cm a (cm) b (cm) Kuvan laatu 24,7 16,8 Todellinen kuva, väärin päin, k = 1,3 cm, m = 0,68 3,0-4,2 Valekuva, oikein päin, k = 2,8 cm, m = 1,42 Taulukko 15. Kupera peili, polttoväli on f =-10,0 cm a (cm) b (cm) Kuvan laatu 16,9-6,2 Valekuva, oikein päin, k = 0,7 cm, m = 0,37 3.4 Linssin taittokyvyn riippuminen väliaineesta Linssin taittokyky D on polttovälin f käänteisarvo eli taitesuhteesta [6, 167,tehtävä 257] n n neste D = 1. Ne riippuvat f linssi n = (18) Jos n > 1, linssin taitekerroin on suurempi kuin nesteen. Ilmaan nähden ero pienenee, joten kuperan linssin taittokyky pienenee ja polttoväli kasvaa.

38 Kovera linssi on edelleen hajottava. Mitä suurempi on taitekertoimien ero, sitä pienempi on polttoväli itseisarvoltaan. Kun nesteen taitekerroin tulee suuremmaksi kuin linssin, taittokyky ja polttoväli vaihtavat merkkiä. Linssi Valonlähde Varjostin Mitta Kuvio 49. Polttovälin määritys vesialtaassa Koe suoritetaan esikvantifioivana (B25). Käytetään kuperan ja koveran linssin malleja, jotka sijoitetaan pieneen vesialtaaseen. Mitataan likimääräiset polttovälit ensin ilmassa ja sitten vedessä sekä tehdään tarvittavat havainnot. Tarkempi mittaus voidaan suorittaa kuperalla linssillä, joka sijoitetaan kuviossa 49 näkyvään vesialtaaseen. Valonlähde ja sen edessä oleva esine on sijoitettu vesitiiviiseen osastoon, jonka yksi seinä on läpinäkyvä. Altaan pituus on 2,10 m, ja se on valmistettu vesivanerista. Koejärjestely on samanlainen kuin kuperan linssin yhteydessä. Väliaineena on vain vesi. Linssintekijän yhtälön mukaan [9,943] linssin polttovälille ilmassa saadaan seuraava lauseke 1 1 1 = ( nl 1)( + ), (19) fi R 1 R 2 missä f i on polttoväli ilmassa, n L linssin taitekerroin ja R 1 sekä R 2 pintojen kaarevuussäteet. Jos linssi sijoitetaan nesteeseen, yhtälö (19) saa muodon

39 1 f neste nl 1 1 = ( 1)( + ) (20) nneste R 1 R 2 Jakamalla yhtälöt puolittain saadaan polttovälille lauseke f neste nl = nl n neste 1 fi. (21) 1 Jos linssin taitekerroin on 1,51 ja veden 1,33, saadaan kertoimen arvoksi 3,84. Tällöin +100 mm:n polttoväli ilmassa muuttuu vedessä +384 mm:ksi ja +50 mm:n polttoväli 192 mm:ksi. Taulukossa 16 kuviossa 50 on mittauksen tulokset. Taulukko 16. Kuperan linssin polttoväli vedessä a (m) b (m) 1/a (1/m) 1/b (1/m) k (m) b /a m 0,253 0,647 3,953 1,546 0,077 2,56 2,57 0,258 0,622 3,876 1,608 0,075 2,41 2,50 0,266 0,584 3,759 1,712 0,069 2,20 2,30 0,278 0,532 3,597 1,880 0,061 1,91 2,03 0,289 0,493 3,460 2,028 0,054 1,71 1,80 1/b (1/m) 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 y = -0,9849x + 5,4273 R 2 = 0,9975 0,00 2,50 3,50 4,50 5,50 1/a (1/m) Kuvio 50. Polttoväli vedessä Kuvion 50 perusteella laskettu linssin polttoväli on 1 f vesi = m = 0,184 m tai 0,182 m ( toisen akselin leikkauspiste). Näiden 5,4273 keskiarvo on 0,183 m poikkeaa teoreettisesta ennusteesta 4,7 %. Suurimpana

40 vaikeutena oli kuvan terävyyden määrittäminen. Kokeilin erilaisia tekniikoita. Todennäköisesti paras on sellainen, jossa ensin määrätään varjostimen paikka ja sen jälkeen linssin paikkaa muuttelemalla haetaan terävin kuva. Saatavissa olevilla välineillä tehtävä oli erittäin työläs, ja suoritin useita mittaussarjoja. Allas osoittautui hyväksi, ja sitä tullaan käyttämään myöskin aaltoliikeopissa esimerkiksi seisovien aaltojen demonstraatioissa. Herkästi liikkuva alusta Kuvio 51. Linssin polttoväli vedessä. Vesiallas Kuviossa 51 on lähikuva altaasta. Varjostimen kiinnityssysteemi oli herkästi liikuteltavalla alustalla, jolloin varjostimen siirtely oli helpompaa. Linssiä jouduttiin siirtämään vain lyhyitä matkoja, joten sen kiinnityssysteemin jalusta oli pöydän pinnalla. 4. Sädemallin antamat ennusteet 4.1 Prisma Prisma on läpinäkyvä kappale, joka muistuttaa kiilaa. Kuten kuviosta 52 näkyy, se poikkeuttaa valonsädettä. Prisman kärkikulma φ on nimeltään taittava kulma. Sovelletaan taittumislakia ja geometriaa [7, 153].

41 sin β 1 = α 2. (22) n 1 sin α1; α 2 = β1 φ;sin β 2 = nsin Tähän sijoitetaan nsin α 2 = nsin( β1 φ) = nsin β1 cosφ n cos β1 sin φ. (23) 2 2 2 n sin β1 = sin α1; ncos β1 = n 1 sin β1 = n sin α1. (24) φ n β 2 α 1 β 1 α 2 Kuvio 52. Prisma Lopullinen muoto on 2 2 sin β 2 = sin α1 cosφ n sin α1 sin φ. (25) Säteen kulmapoikkeama prisman lävitse on γ = β2 α1 + φ. (26) 2 2 ( sin α1 cosφ sin α1 sin φ) α φ γ arcsin n + (27) = 1 Kulmapoikkeama γ mitattiin tulokulman α 1 funktiona ja merkittiin saadut mittausarvot (α 1, γ)-koordinaatistoon. Samassa koordinaatistossa on myös teoreettinen käyrä. Kuviossa 53 on koejärjestely. Prisma on IS-VET OY:n optiikkasarjan välineistöstä, ja sen kärkikulma on 60 0. Pyörivällä alustalla on ensin A4-paperi, johon on merkitty koordinaatiston origo. Paperin päällä on pyöreä astemitta ja sen päällä lasilevy, jossa on myös koordinaattiakselien viivat. Prisma on kiinnitetty lasilevyyn sinitarralla, ja sen sivutahkon pohjasivun keskipiste on koordinaattiakselien leikkauspisteessä, jolloin toisesta koordinaattiakselista tulee sivutahkon normaali. Sen suhteen määritetään tulokulma. Systeemi suunnataan siten, että paperinpalaa kuljetetaan pitkin lasersädettä, jolloin säteen muodostaman, paperinpalalla

42 olevan punaisen pisteen on kuljettava pitkin normaalia suoraan ylhäältä katsottaessa. Ennen jokaisen arvon lukemista tarkistetaan, että säde osuu Kuvio 53. Kulmapoikkeaman määritys prisman sivutahkoon samassa kohdassa, joka on merkitty pienellä ympyrällä. Taittumiskulman suuruus määritetään geokolmiolla. Säteen ulostulopiste tarkistetaan paperinpalalla, ja geokolmion kantasivuun merkityn keskinormaalin kantapiste asetetaan ulostulopisteen kohdalle. Tämän jälkeen määritetään paperinpalalla olevan punaisella pisteellä, paperinpalaa kuljettamalla, taittuneen säteen kulkusuuntaa. Sitä verrataan kolmiossa olevaan kulma-asteikkoon, jolta sitten luetaan kulma β 2 -kulman määritys ei onnistunut aivan pienillä kulmilla kokonaisheijastuksen vuoksi. Samoin suurilla tulokulman arvoilla ulostuleva säde leveni niin paljon, että β 2 :n arvo oli hyvin epämääräinen. Alun perin käytin taitekertoimen arvona 1,508:aa, joka on taulukkoarvo. Mitatut ja teoreettiset arvot poikkesivat mielestäni liian paljon toisistaan. Käyttämällä taitekertoimen arvona 1,51680, joka on oppikirjassa [8,154], tulokset täsmäsivät huomattavasti paremmin. Tämän mukaan prisman lasilaatu olisi BK7.Mittauksen tulokset ovat taulukossa 17 ja kuviossa 54. Kuvion perusteella malli ennustaa hyvin valonsäteen käyttäytymisen.

43 Taulukko 17. Kulmapoikkeama tulokulman funktiona Teoreettinen Mitattu Teoreettinen α 1 ( 0 ) γ( 0 ) β 2 ( 0 ) γ( 0 ) β 2 ( 0 ) 30 52,0 0,0-30,0 82,0 32 47,0 76,0 48,0 75,0 34 44,3 71,0 45,0 70,3 36 42,5 67,0 43,0 66,5 38 41,2 64,0 42,0 63,2 40 40,3 60,5 40,5 60,3 42 39,6 58,0 40,0 57,6 44 39,1 55,0 39,0 55,1 46 38,8 53,0 39,0 52,8 48 38,7 50,5 38,5 50,7 50 38,7 48,5 38,5 48,7 53 38,8 45,5 38,5 45,8 55 39,1 44,0 39,0 44,1 58 39,7 41,5 39,5 41,7 60 40,2 40,0 40,0 40,2 65 41,9 36,5 41,5 36,9 70 44,1 34,0 44,0 34,1 75 47,0 32,5 47,5 32,0 80 50,4 30,5 50,5 30,4 kulmapoikkeama γ ( 0 ) 54,0 52,0 50,0 48,0 46,0 44,0 42,0 40,0 38,0 36,0 0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 tulokulma α 1 ( 0 ) Kuvio 54. Prisman kulmapoikkeama tulokulma funktiona

44 4.2 Linssisysteemit L 1 L f 1 e a 2 k 2 a 1 b 1 k 1 f 2 b 2 Kuvio 55. Linssisysteemi Optiset laitteet, kuten kamerat, kiikarit ja kaukoputket, koostuvat erilaisten linssien yhdistelmistä, prismakiikarissa mukana on myös prisma. Laitteissa linsseillä on yhteinen pääakseli. Kuvauksen periaate on sellainen, että ensimmäinen linssi muodostaa kuvan, joka on toiselle linssille esine. Näin voidaan jatkaa, jos linssejä on useampia. Kuviossa 55 on periaatekuva kahden kuperan linssin kuvanmuodostuksesta. Kuvion merkinnöillä saadaan seuraavat yhtälöt: Linssin L 1 kuvausyhtälö on 1 1 1 + =, josta a b f 1 1 1 a1 f b1 =. (28) a f 1 Jos linssien välinen etäisyys on d, niin linssin L 2 etäisyys linssin L 1 muodostamasta kuvasta Linssin L 2 kuvausyhtälö 1 a Viivasuurennokset: a1 f1 a 2 = b2 + d = + d. (29) a f 2 1 1 + =, josta b b f 2 2 1 1 a f 2 2 2 = (30) a2 f 2

45 k m = b 1 1 1 = ja e a1 k m = b 2 2 2 =, josta systeemin viivasuurennokseksi k1 a2 saadaan ilman itseisarvomerkkejä b b m =. (31) a 1 2 = m1 m2 1 a2 Kokeessa käytettiin kuvion 56 mukaista koejärjestelyä. +300 +100-100 Kuvio 56. Linssisysteemin kuvan muodostuminen Valonlähteen jälkeen ensimmäisen linssin polttoväli on +300 mm, toisen +100 mm ja viimeisen 100 mm. Esineen etäisyys ensimmäisestä linssistä on 200 mm. Ensimmäisen ja toisen linssin välinen etäisyys on 200 mm sekä toisen ja kolmannen 60 mm. Lasketaan ensimmäisen linssin muodostaman kuvan paikka. a 1 = 200 mm, f 1 = +300 mm. 1 1 1 1 1 b1 600mm b 1 = (300 mm 200 mm ) = 600mm. m 1 = = = 3 a 200mm Koska ensimmäisen ja toisen linssin välinen etäisyys on 200 mm, kuva on valekuva ja syntyy ensimmäisen linssin eteen. Se toimii esineenä toiselle linssille, jolloin a 2 = 600 mm + 200 mm = 800 mm. 1 1 1 1 1 114,29mm b 2 = (100 mm 800 mm ) = 114,29 mm m 2 = = 0, 1429 800mm Kuva tulee kolmannen linssin jälkeen, joten a 3 = 60 mm 114,29 mm = -54,29 mm 1

46 1 1 1-1 1 118,77mm b 3 = ( 100 mm ( 54,29 mm )) = 118,77 mm m 3 = = 2, 188-54,29mm k Lopullinen suurennos on m = 3 = m1 m2 m3 = 3 0,1429 2,188 = 0, 938, e jolloin kuvan koko k 3 = m e = 0,938 30 mm = 28 mm. Mittauksen perusteella kuva oli 112 mm:n päässä koverasta linssistä, väärin päin ja koko 27 mm. Poikkeama teoreettisesta arvosta noin 6 %. 5 SÄDEMALLIN PÄTEVYYSALUE Geometrinen optiikka on kehittynyt riippumattomana muusta valon tutkimuksesta, koska sen tutkimusvälineet linssit, prismat ja peilit olivat tunnettuja jo varhaisina aikoina. Yhteys aalto-oppiin voidaan havaita tarkastelemalla esimerkiksi veden pinta-aaltojen heijastumista ja taittumista. Samat lait pätevät. Optiikka perustuu valonsäteiden suoraviivaiseen kulkuun. Kuitenkin valonsäde on osa valoaaltorintamaa, mistä seuraa, että valon aaltoluonne rajoittaa geometrisen optiikan pätevyysaluetta. Tästä esimerkkinä on valon taipuminen terävässä reunassa. Sädemallin mukainen kuvaus voi olla virheetön, vaikka kuva on epäterävä. Historiassa valonsädemalli oli ennen aaltoliikemallia. 6 TYÖPROSESSIN KUVAUS Aihekokonaisuuden valintaan vaikutti lähinnä välineiden saatavuus. Toisaalta sädeoptiikan demojen tekeminen on jostakin syystä jäänyt hieman vähemmälle, joten päätin perehtyä aiheeseen hieman tarkemmin. Noudatin neljässä aikaisemmassa kokonaisuudessa omaksumaani systeemiä, jossa hyvin valmisteltu suunnitelma säästää myöhemmin huomattavasti aikaa. Raporttia kirjoitin aina mittauspäivän jälkeen, koska esiin tulleet ongelmat olivat hyvin mielessäni. Alkuperäinen suunnitelma ei juurikaan muuttunut työn edetessä. Erityistä painoa asetin kuvien käytölle. Kuvien laatu ei ole kovin

47 hyvä, mikä johtuu siitä, että en ole aikaisemmin harrastanut valokuvausta. Käytössäni oli peruskoulun digitaalikamera, ja kuvien siirtäminen ja muokkaaminen tietokoneella tuli tutuksi. Kokeen onnistumista pystyin seuraamaan salkkumikrolla, jonka taulukkolaskentaohjelma oli auki. Syötin arvot ohjelmaan ja välittömästi voin todeta, onnistuiko koe vai ei. Perushahmotuksen yhteydessä rakensin neulanreikäkameran tulevia demoja varten. Valonsäteen käänteisen kulun osoittaminen oli sinänsä helppo, mutta käyttämäni tulitikkulaatikon kuoret eivät olleet ehkä parhaat mahdolliset. Valonsäteen suuntaaminen B:stä takaisin A:han teetti melko paljon töitä, mutta lopulta koe onnistui. Edelleenkin pidin periaatteena, että koetta tehdään niin kauan, kunnes tulos tyydyttää. Periaatteesta ei tarvinnut tälläkään kertaa tinkiä. Taittumisessa tapahtui mielenkiintoinen ilmiö. Se näkyy kuviossa 11. Kahden aineen rajapinnassa valonsäde muodostaa mutkan. Valokuvasin sen, ja yritin jälkeenpäin saada ilmiötä uudelleen esille. Monista yrityksistäni huolimatta en onnistunut. Taitesuhde ja taitekerroin aiheutti melkoisesti työtä. Jouduin valmistamaan D-muotoisia rasioita melko alkeellisilla työvälineillä. Muovisen, herkästi särkyvän petrimaljan sahaaminen rautasahalla vaati kärsivällisyyttä. Soitin Tampereelle erääseen yritykseen, joka valmistaa elatusalustoja. Sain ilmaiseksi petrimaljoja, jotka oli jaettu kolmeen osaan. Jäinkin miettimään, mihin niitä voisi käyttää valo-opissa. D-muotoisen rasian idea on toimiva. Toivottavasti joku demonstraatiovälineitä toimittava yritys tarttuisi toimeen. Kuviossa 27 oleva koejärjestely, joka koski kolmea väliainetta, vaati melkoista asettelua. Tämä johtui lähinnä siitä, että valmistamani rasiat eivät olleet mittatarkkoja. Oikeastaan tästä systeemistä voisi kehittää laitteiston, jossa rasia B olisi liukuva ja siinä olisi kiinteä astelevy. Rasioiden pitää olla ohutseinäisiä yhdensuuntaissiirtymän pienentämiseksi. Linssien ja peilien polttovälin määrityksessä eniten aikaa vei välineistön asettelu. IS-VET OY:n välinesarjassa on tanko, johon linssi pitimineen voidaan kiinnittää. Valitettavasti systeemi ei toiminut riittävän tarkasti. Kiinnitin linssit kourilla statiivitankoihin, jolloin tangon jalustaa siirtämällä linssin paikkaa teräsmitan päällä voitiin muuttaa. Menetelmä osoittautui toimivaksi. Jos