TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat Johdatus todennäköisyyslaskentaan todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat kuvaavat useimpia satunnaisilmiötä vain rajoitetusti. Satunnaisilmiöihin liittyy tavallisesti useita satunnaisia tekijöitä, joiden väliset riippuvuudet ovat mielenkiinnon kohteina. Useiden satunnaisten tekijöiden välisten riippuvuuksien mallintaminen vaatii tekijöihin liittyvien satunnaismuuttujien yhteisjakauman tarkastelua. Jos usean satunnaismuuttujan yhteisjakauma tunnetaan, hallitaan myös muuttujien erilaisten kombinaatioiden muodostamat reunajakaumat. Satunnaismuuttujat ovat riippumattomia, jos ja vain jos niiden yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio voidaan esittää reunajakaumien pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktioiden tulona. todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? /5 Usean satunnaismuuttujan yhteisjakauman karakteristisia ominaisuuksia kuvataan erilaisilla tunnusluvuilla. hteisjakauman satunnaismuuttujien odotusarvot määräävät ko. satunnaismuuttujien reunajakaumien todennäköisyysmassojen painopisteet. hteisjakauman satunnaismuuttujien odotusarvot määräävät yhdessä ko. satunnaismuuttujien yhteisjakauman todennäköisyysmassan painopisteen. hteisjakaumien satunnaismuuttujien varianssit tai standardipoikkeamat kuvaavat ko. satunnaismuuttujien reunajakaumien todennäköisyysmassan vaihtelua omien odotusarvojensa ympärillä. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? 3/5 Satunnaismuuttujien ja kovarianssi kuvaa satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman todennäköisyysmassan yhteisvaihtelua niiden odotusarvojen muodostaman lukuparin määräämän pisteen ympärillä. Kahden satunnaismuuttujan ja lineaarisen riippuvuuden voimakkuutta kuvataan muuttujien korrelaatiolla. Satunnaismuuttujien ja korrelaatiokertoimella Cor(,) on seuraavat ominaisuudet: (i) Cor(,) + (ii) Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin Cor(,) (iii) Jos Cor(,) ± niin satunnaismuuttujien välillä on eksakti lineaarinen riippuvuus. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? 4/5 Mitä suurempi on Cor(,) sitä voimakkaammin muuttujat ja riippuvat lineaarisesti toisistaan. Satunnaismuuttujien riippumattomuudesta seuraa aina niiden korreloimattomuus, mutta satunnaismuuttujien korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa niiden riippumattomuutta. TKK (c) Ilkka Mellin (4)
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 todennäköisyysjakaumat: Mitä opimme? 5/5 Satunnaismuuttujien välisiä riippuvuuksia voidaan luonnehtia ns. ehdollisten jakaumien avulla. Ehdollisen jakauman odotusarvoa kutsutaan ehdolliseksi odotusarvoksi ja ehdollisen jakauman varianssia kutsutaan ehdolliseksi varianssiksi. Ehdollista odotusarvoa kutsutaan ehtomuuttujien arvojen funktiona regressiofunktioksi. Regressiofunktioita käytetään apuna, kun satunnaismuuttujan käyttäytymistä pyritään ennustamaan toisten satunnaismuuttujien saamien arvojen avulla. Regressiofunktiot muodostavat teoreettisen perustan tilastotieteen ehkä tärkeimmälle menetelmälle regressioanalyysille; ks. lukuja Johdatus regressioanalyysiin ja hden selittäjän lineaarinen regressiomalli. todennäköisyysjakaumat: Esitiedot Esitiedot: ks. seuraavia lukuja: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 todennäköisyysjakaumat: Lisätiedot Kahta tärkeätä moniulotteista jakaumaa (multinomi- ja kaksiulotteista normaalijakaumaa) esitellään luvussa Moniulotteisia jakaumia todennäköisyysjakaumat: Huomautus Vaikka tässä luvussa rajoitutaan pääasiassa kaksiulotteisiin todennäköisyysjakaumiin, esitetty teoriaa voidaan ilmeisellä tavalla laajentaa useampiulotteisiin todennäköisyysjakaumiin. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 TKK (c) Ilkka Mellin (4) todennäköisyysjakaumat >> Avainsanat Diskreetti kaksiulotteinen jakauma Diskreetti kaksiulotteinen satunnaismuuttuja Jatkuva kaksiulotteinen jakauma Jatkuva kaksiulotteinen satunnaismuuttuja Kaksiulotteinen satunnaismuuttuja Kaksiulotteinen todennäköisyysjakauma Kertymäfunktio Pistetodennäköisyysfunktio Symmetrinen todennäköisyyskenttä Tiheysfunktio hteisjakauma TKK (c) Ilkka Mellin (4) TKK (c) Ilkka Mellin (4)
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 Satunnaistekijöiden väliset riippuvuudet Esimerkkejä riippuvuustarkasteluista hden satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumat kuvaavat useimpia satunnaisilmiötä vain rajoitetusti. Satunnaisilmiöihin liittyy tavallisesti useita satunnaisia tekijöitä, joiden väliset riippuvuudet ovat mielenkiinnon kohteina. Useiden satunnaisten tekijöiden välisten riippuvuuksien mallintaminen vaatii tekijöihin liittyvien satunnaismuuttujien yhteisjakauman tarkastelua. Miten työttömyysaste Suomessa (% työvoimasta) riippuu BKT:n kasvuvauhdista, viennin volyymista ja BKT:n kasvuvauhdista muissa EUmaissa ja USA:ssa? Miten alkoholin kokonaiskulutus (l per capita vuodessa) riippuu alkoholijuomien hintatasosta, käytettävissä olevista tuloista ja alkoholin saatavuudesta? Miten todennäköisyys sairastua keuhkosyöpään (p) riippuu tupakoinnin määrästä ja kestosta? Miten vehnän sato (t/ha) riippuu kesän keskilämpötilasta, sademäärästä, maan muokkaustavoista, lannoituksesta ja tuholaisten torjunnasta? TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Kaksiulotteiset satunnaismuuttujat Olkoot ja satunnaismuuttujia, joiden otosavaruudet ovat R ja S. Tällöin : S : R Olkoon R S otosavaruuksien R ja S karteesinen tulo: R S {(,) r s r R, s S} Satunnaismuuttujien ja järjestetty pari (, ) määrittelee kaksiulotteisen satunnaismuuttujan: (, ): S R Diskreetit kaksiulotteiset satunnaismuuttujat ja niiden jakaumat Olkoot ja diskreettejä satunnaismuuttujia. Tällöin järjestetty pari (, ) määrittelee kaksiulotteisen diskreetin satunnaismuuttujan. Kaksiulotteinen diskreetti satunnaismuuttuja (, ) määrittelee kaksiulotteisen diskreetin todennäköisyysjakauman, jota kutsutaan satunnaismuuttujien ja yhteisjakaumaksi. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) Pistetodennäköisyysfunktio Reaaliarvoinen funktio : R R f määrittelee diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktion, jos seuraavat ehdot pätevät: () f ( xy, ) kaikille xja y () f ( x, y ) x y (3) Pr( x ja y) f ( x, y) Tapahtumien todennäköisyydet Olkoon : R R f diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio. Olkoon A R jokin tapahtuma. Tällöin Pr((, ) A) f ( xy, ) ( xy, ) A TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 Symmetriset todennäköisyyskentät Olkoon (x i, y i ), i,,, n erillisten tason pisteiden muodostama diskreetti pistejoukko. Määritellään kaksiulotteisen diskreetin jakauman pistetodennäköisyysfunktio kaavalla f ( xi, yi ) Pr( xi ja yi ), i,,..., n n Tällöin satunnaismuuttuja (, ) määrittelee symmetrisen todennäköisyyskentän, jossa kaikki alkeistapahtumat (x i, y i ), i,,, n ovat yhtä todennäköisiä.. esimerkki nopanheitosta / Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat ja : tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Voimme olettaa, että. heiton tulos on riippumaton. heiton tuloksesta (ja kääntäen). Satunnaismuuttujien ja mahdolliset arvot: : {,, 3, 4, 5, } : {,, 3, 4, 5, } Muodostetaan satunnaismuuttujien ja yhteisjakauma. TKK (c) Ilkka Mellin (4). esimerkki nopanheitosta / Kahden nopanheiton tulosvaihtoehdot voidaan esittää seuraavana taulukkona: Tulos. nopanheitosta Mahdolliset tulokset. nopanheitosta 3 4 5 3 4 5 3 3 4 5 4 3 4 5 5 3 4 5 3 4 5 Siten satunnaismuuttujien ja järjestetty pari (, ) määrittelee kaksiulotteisen diskreetin satunnaismuuttujan, jonka arvoina on 3 lukuparia (x, y) ; x,, 3, 4, 5, ; y,, 3, 4, 5,. esimerkki nopanheitosta 3/ Koska noppa oletettiin virheettömäksi ja heittojen tulokset oletettiin riippumattomiksi, on luontevaa ajatella, että kahden nopanheiton tulosten muodostamat 3 tulosvaihtoehtoa (x, y) ; x,, 3, 4, 5, ; y,, 3, 4, 5, ovat yhtä todennäköisiä. Tällöin satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio saa positiiviset arvot f ( x, y) Pr( x, y) 3 kun x,, 3, 4, 5, y,, 3, 4, 5, TKK (c) Ilkka Mellin (4) TKK (c) Ilkka Mellin (4). esimerkki nopanheitosta 4/. esimerkki nopanheitosta 5/ Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f ( x, y) Pr( x ja y) 3 x,,3,4,5, ; y,,3,4,5, voidaan esittää seuraavana taulukkona:. heiton silmäluku y /3 /3 /3 /3 /3 /3 5 /3 /3 /3 /3 /3 /3 4 /3 /3 /3 /3 /3 /3 3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 3 4 5 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos. heitosta tulos. heitosta Kuva oikealla esittää satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktiota. Kuvassa on 3 pylvästä, joista jokaisen korkeus /3..4.3... 3 4 x 5 5 4 y 3. heiton silmäluku x TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5. esimerkki nopanheitosta /. esimerkki nopanheitosta /9 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos. heitosta tulos. heitosta Kuva oikealla havainnollistaa satunnaismuuttujien ja yhteisjakaumaa. Kuvassa on 3 pistettä, joista jokaisen todennäköisyys on /3.. heitto 7 5 4 3 3 4 5 7. heitto Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat, ja Z: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Z + silmälukujen summa Voimme olettaa, että. heiton tulos on riippumaton. heiton tuloksesta (ja kääntäen). Satunnaismuuttujien, ja Z mahdolliset arvot: : {,, 3, 4, 5, } : {,, 3, 4, 5, } Z: {, 3, 4, 5,, 7, 8, 9,,, } Määrätään satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauma. TKK (c) Ilkka Mellin (4). esimerkki nopanheitosta /9 Muodostetaan ensin summamuuttujan Z + jakauma. Muodostetaan sitä varten aputaulukko, joka esittää kaikkia mahdollisia tapoja, joilla nopanheittojen silmälukujen summa Z + voi syntyä:. heiton silmäluku y Silmälukujen summat z x + y 7 8 9 5 7 8 9 4 5 7 8 9 3 4 5 7 8 9 3 4 5 7 8 3 4 5 7 3 4 5. heiton silmäluku x. esimerkki nopanheitosta 3/9 Aputaulukosta voidaan suoraan lukea. ja. nopanheiton silmälukujen summan Z + todennäköisyysjakauma: Silmälukujen summat z x + y ja niiden todennäköisyydet I 3 4 5 7 8 9 /3 /3 3/3 4/3 5/3 /3 5/3 4/3 3/3 /3 /3 Esimerkki: Summa 5 voi syntyä kahden nopanheiton tuloksena 4:llä eri tavalla: 5 + 4 + 3 3 + 4 + joten todennäköisyys saada summaksi 5 on 4/3. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8. esimerkki nopanheitosta 4/9. nopanheiton tulos ja. ja. nopanheiton tulosten kaikki mahdolliset summat voidaan esittää seuraavana taulukkona: Tulos. nopanheitosta Mahdolliset summat. ja. nopanheiton tuloksista 3 4 5 7 3 4 5 7 8 3 4 5 7 8 9 4 5 7 8 9 5 7 8 9 7 8 9 Siten satunnaismuuttujien ja Z + järjestetty pari (, Z) määrittelee kaksiulotteisen diskreetin satunnaismuuttujan, jonka arvoina on lukuparia (x, z) ; x,, 3, 4, 5, ; z, 3, 4, 5,, 7, 8,,, TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9. esimerkki nopanheitosta 5/9 Koska noppa oletettiin virheettömäksi ja heittojen tulokset oletettiin riippumattomiksi, on luontevaa ajatella, että. heiton tulos ja. ja. heiton tulosten mahdollisten summien muodostamat 3 tulosvaihtoehtoa (x, z) ; x,, 3, 4, 5, ; z x + y ; y,, 3, 4, 5, ovat yhtä todennäköisiä. Tällöin satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktion saa positiiviset arvot fz ( x, z) Pr( z ja Z z) 3 kun x,, 3, 4, 5, z x + y y,, 3, 4, 5, TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3. esimerkki nopanheitosta /9 Satunnaismuuttujien ja Z + yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio voidaan esittää seuraavana taulukkona: Silmälukujen summa z /3 /3 /3 /3 /3 /3 9 /3 /3 /3 /3 8 /3 /3 /3 /3 /3 7 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 5 /3 /3 /3 /3 4 /3 /3 /3 3 /3 /3 /3 3 4 5. nopan silmäluku x. esimerkki nopanheitosta 7/9 Esimerkkejä: (i) Oletetaan, että. nopalla on saatu. Tällöin silmälukujen summaksi ei voi tulla, joten Pr( ja Z ) (ii) Oletetaan, että. nopalla on saatu. Tällöin silmälukujen summaksi ei voi tulla 3, joten Pr( ja Z 3) (iii) Oletetaan, että. nopalla on saatu. Tällöin silmälukujen summaksi voi tulla 3, 4, 5,, 7 tai 8, joten Pr( ja Z z) /3 ; z 3, 4, 5,, 7, 8 (iv) Oletetaan, että. nopalla on saatu. Tällöin silmälukujen summaksi voi tulla 7, 8, 9,, tai, joten Pr( ja Z z) /3 ; z 7, 8, 9,,, TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3. esimerkki nopanheitosta 8/9. esimerkki nopanheitosta 9/9 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos. heitosta tulos. heitosta Z + Kuva oikealla esittää satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktiota. Kuvassa on 3 pylvästä, joista jokaisen korkeus on /3. 3 4 x 5 3 4 5 7 8 z 9...3..4 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos. heitosta tulos. heitosta Z + Kuva oikealla havainnollistaa satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakaumaa. Kuvassa on 3 pistettä, joista jokaisen todennäköisyys on /3. Heittotulosten summa 3 9 8 7 5 4 3 3 4 5 7. heitto TKK (c) Ilkka Mellin (4) 33 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 34 Jatkuvat kaksiulotteiset satunnaismuuttujat ja niiden jakaumat Olkoot ja jatkuvia satunnaismuuttujia. Tällöin järjestetty pari (, ) määrittelee kaksiulotteisen jatkuvan satunnaismuuttujan. Kaksiulotteinen jatkuva satunnaismuuttuja (, ) määrittelee kaksiulotteisen jatkuvan todennäköisyysjakauman, jota kutsutaan satunnaismuuttujien ja yhteisjakaumaksi. Jatkuvat kaksiulotteiset jakaumat: Tiheysfunktio Reaaliarvoinen jatkuva funktio : R R f määrittelee jatkuvien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktion, jos seuraavat ehdot pätevät: () f ( x, y) kaikille x ja y + + () f ( x, y) dydx (3) Pr( a b ja c d) f ( x, y) dydx bd ac TKK (c) Ilkka Mellin (4) 35 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 37 Kaksinkertaiset integraalit: Integrointijärjestys Huomautus: Käytämme kaksinkertaisten integraalien yhteydessä seuraavaa sopimusta integrointijärjestyksestä: bd b d f ( x, y) dydx f ( x, y) dy dx a c a c Jatkuvat kaksiulotteiset jakaumat: Tapahtumien todennäköisyydet Olkoon : R R f jatkuvien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio. Olkoon A R jokin tapahtuma. Tällöin Pr((, ) A) f ( x, y) dydx A TKK (c) Ilkka Mellin (4) 38 Kaksiulotteisten jakaumien kertymäfunktiot Olkoon (, ) satunnaismuuttujien ja muodostama järjestetty pari. Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäfunktio F määritellään kaavalla: F ( xy, ) Pr( xja y) Diskreettien kaksiulotteisten jakaumien kertymäfunktiot Olkoon (, ) diskreetti kaksiulotteinen satunnaismuuttuja. Olkoon {x, x, x 3, } satunnaismuuttujan tulosvaihtoehtojen eli arvojen joukko. Olkoon {y, y, y 3, } satunnaismuuttujan tulosvaihtoehtojen eli arvojen joukko. Kaksiulotteisen diskreetin jakauman kertymäfunktio on F ( xy, ) Pr( xja y) f ( x, y ) i i xi x yi y jossa f satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 39 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Jatkuvien kaksiulotteisten jakaumien kertymäfunktiot Olkoon (, ) jatkuva kaksiulotteinen satunnaismuuttuja. Kaksiulotteisen jatkuvan jakauman kertymäfunktio on F ( xy, ) Pr( xja y) x y f ( u, v) dvdu jossa f satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio. Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman tiheysfunktion ja kertymäfunktion yhteys Olkoon (, ) jatkuva kaksiulotteinen satunnaismuuttuja. Olkoon F (x, y) satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäfunktio. Jos derivaatta F ( x, y) f ( x, y) xy on olemassa ja on jatkuva, funktio f (x, y) on satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 43 todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteisten jakaumien reunajakaumat ja riippumattomuus Avainsanat Diskreetin kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Kertymäfunktio Pistetodennäköisyysfunktio Reunajakaumat Riippumattomuus Tiheysfunktio hteisjakauma TKK (c) Ilkka Mellin (4) 44 Diskreetin kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Olkoon f (x, y) diskreetin kaksiulotteisen jakauman pistetodennäköisyysfunktio. Satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio on f( x) Pr( x) f( x, y) Satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio on f( y) Pr( y) f( x, y) x Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat yhtyvät satunnaismuuttujien ja todennäköisyysjakaumiin. y Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta /5 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat ja : tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Satunnaismuuttujien ja mahdolliset arvot: : {,, 3, 4, 5, } : {,, 3, 4, 5, } Määrätään satunnaismuuttujien ja reunajakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 45 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta /5 Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio: Pr( x ja y) f (x, y) ; x,,, ; y,,,. heiton silmäluku y. heiton silmäluku x 3 4 5 /3 /3 /3 /3 /3 /3 5 /3 /3 /3 /3 /3 /3 4 /3 /3 /3 /3 /3 /3 3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 47 Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta 3/5 Satunnaismuuttujien ja reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktiot saadaan määräämällä yhteisjakauman todennäköisyydet antavassa taulukossa rivi- ja sarakesummat. Satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio on f( x) Pr( x) f( x, y) ; x,,3,4,5, y 3 koska f ( x, y) ; x,,3,4,5, ; y,,3,4,5, 3 Satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyysfunktio on f( y) Pr( y) f( x, y) ; y,,3,4,5, x 3 koska f ( x, y) ; x,,3,4,5, ; y,,3,4,5, 3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 48
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 49 Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta 4/5 Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman ja reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktiot:. heiton silmäluku y. heiton silmäluku x 3 4 5 ht /3 /3 /3 /3 /3 /3 / 5 /3 /3 /3 /3 /3 /3 / 4 /3 /3 /3 /3 /3 /3 / 3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 / /3 /3 /3 /3 /3 /3 / /3 /3 /3 /3 /3 /3 / ht / / / / / / Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta 5/5.3... heiton tuloksen jakauma. heiton tuloksen jakauma.3 3 4 5 Kuvat yllä esittävät satunnaismuuttujien ja reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktioita: tulos. heitosta tulos. heitosta.. 3 4 5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta /5 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat, ja Z seuraavasti: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Z + silmälukujen summa Satunnaismuuttujien, ja Z mahdolliset arvot: : {,, 3, 4, 5, } : {,, 3, 4, 5, } Z: {, 3, 4, 5,, 7, 8, 9,,, } Määrätään satunnaismuuttujien ja Z reunajakaumat. Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta /5 Satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio: Pr( x ja Z z) f Z (x, z) ; x,,, ; z, 3,,. nopan silmäluku x 3 4 5 /3 /3 /3 /3 /3 /3 9 /3 /3 /3 /3 8 /3 /3 /3 /3 /3 7 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 5 /3 /3 /3 /3 4 /3 /3 /3 3 /3 /3 /3 Silmälukujen summa z TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta 3/5 Satunnaismuuttujien ja reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktiot saadaan määräämällä yhteisjakauman todennäköisyydet antavassa taulukossa rivi- ja sarakesummat. Esimerkkejä: (i) Satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyys, kun 4: (ii) f (4) f (4, z) z Z + + + + + + + + + + 3 3 3 3 3 3 Satunnaismuuttujan Z reunajakauman pistetodennäköisyys, kun Z : 3 fz() fz( x,) + + + + + 3 3 3 3 x Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta 4/5 Satunnaismuuttujien ja Z + yhteisjakauma ja reunajakaumat: Silmälukujen summa z. nopan silmäluku x 3 4 5 ht /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 3/3 9 /3 /3 /3 /3 4/3 8 /3 /3 /3 /3 /3 5/3 7 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 5/3 5 /3 /3 /3 /3 4/3 4 /3 /3 /3 3/3 3 /3 /3 /3 /3 /3 ht / / / / / / TKK (c) Ilkka Mellin (4) 53 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 54
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 55 Diskreetin -ulotteisen jakauman reunajakaumat:. esimerkki nopanheitosta 5/5.3.... heiton tuloksen jakauma Heittotuloksien summan jakauma.3 3 4 5 7 8 9 Kuvat yllä esittävät satunnaismuuttujien ja Z reunajakaumien pistetodennäköisyysfunktioita: tulos. heitosta tulos. heitosta Z + heittotulosten summa... 3 4 5 7 8 9 Jatkuvan kaksiulotteisen jakauman reunajakaumat Olkoon f (x, y) jatkuvan kaksiulotteisen jakauman tiheysfunktio. Satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysfunktio on + f( x) f( x, y) dy Satunnaismuuttujan reunajakauman tiheysfunktio on + f( y) f( x, y) dx Satunnaismuuttujien ja reunajakaumat yhtyvät satunnaismuuttujien ja todennäköisyysjakaumiin. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 Satunnaismuuttujien riippumattomuus / Satunnaismuuttujien riippumattomuus / Oletukset: (i) Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f (x, y). (ii) Olkoon satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f (x). Olkoon satunnaismuuttujan reunajakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f (y). Määritelmä : Satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, jos ja vain, jos f (x, y) f (x)f (y) Oletukset: (i) Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman kertymäfunktio F (x, y). (ii) Olkoon satunnaismuuttujan reunajakauman kertymäfunktio F (x). Olkoon satunnaismuuttujan reunajakauman kertymäfunktio F (y). Määritelmä : Satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, jos ja vain, jos F (x, y) F (x)f (y) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 57 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 58 Satunnaismuuttujien riippumattomuus: leistys / Oletukset: (i) Olkoon satunnaismuuttujien i, i,,, p yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f(x, x,, x p ) (ii) Olkoot satunnaismuuttujien i, i,,, p reunajakaumien pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktiot f(x i ), i,,, p. Määritelmä : Satunnaismuuttujat i, i,,, p ovat riippumattomia, jos ja vain, jos f(x, x,, x p ) f(x )f(x ) f(x p ) Satunnaismuuttujien riippumattomuus: leistys / Oletukset: (i) Olkoon satunnaismuuttujien i, i,,, p yhteisjakauman kertymäfunktio F(x, x,, x p ) (ii) Olkoot satunnaismuuttujien i, i,,, p reunajakaumien kertymäfunktiot F(x i ), i,,, p. Määritelmä : Satunnaismuuttujat i, i,,, p ovat riippumattomia, jos ja vain, jos F(x, x,, x p ) F(x )F(x ) F(x p ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 59 TKK (c) Ilkka Mellin (4)
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Satunnaismuuttujien riippumattomuus ja tapahtumien riippumattomuus Olkoot satunnaismuuttujat ja riippumattomia. Tällöin Pr( a b ja c d) Pr( a b)pr( c d) Huomautus: Vrt. riippumattomien tapahtumien tulosääntö: Pr(A B) Pr(A)Pr(B) Satunnaismuuttujien riippumattomuus ja tapahtumien riippumattomuus: Perustelu Olkoot satunnaismuuttujat ja jatkuvia ja riippumattomia. Pr( a b ja c d) f ( x, y) dydx f ( x) f ( y) dydx f ( x)p( c d) dx Pr( c d) f ( x) dx Pr( c d) P( a b) TKK (c) Ilkka Mellin (4) bd a c bd a c b a b a d f ( x) f ( y) dydx c b a Satunnaismuuttujien riippumattomuus:. esimerkki nopanheitosta Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Tarkastellaan satunnaismuuttujien ja yhteisjakaumaa: Pr( x ja y) 3 Pr( x)pr( y) x,,3, 4,5, ; y,,3, 4, 5, Siten satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. Satunnaismuuttujien riippumattomuus:. esimerkki nopanheitosta Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Z + silmälukujen summa Tarkastellaan satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakaumaa. Esimerkiksi: 5 Pr( ja Z 8) Pr( )Pr( Z 8) 3 Siten satunnaismuuttujat ja Z eivät ole riippumattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteisten jakaumien odotusarvot ja varianssit Avainsanat Odotusarvo Painopiste Riippumattomuus Standardipoikkeama Summan odotusarvo Varianssi TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (4)
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 Diskreetin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan funktion yleinen odotusarvo Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f (x, y). Olkoon g : jatkuva funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(, ) odotusarvo on vakio E( g(, )) gxy (, ) f ( xy, ) x y Jatkuvan kaksiulotteisen satunnaismuuttujan funktion yleinen odotusarvo Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio f (x, y). Olkoon g : jatkuva funktio. Tällöin satunnaismuuttujan g(, ) odotusarvo on vakio + + E( g(, )) gxy (, ) f ( xydydx, ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 Reunajakaumien odotusarvot: Diskreetit jakaumat / Olkoon diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f (x, y). Satunnaismuuttujan odotusarvo E() µ yhtyy satunnaismuuttujan reunajakauman odotusarvoon: E( ) xf ( x, y) x f ( x, y) x y x y x xf ( x) Reunajakaumien odotusarvot: Diskreetit jakaumat / Olkoon diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f (x, y). Satunnaismuuttujan odotusarvo E() µ yhtyy satunnaismuuttujan reunajakauman odotusarvoon: E( ) yf ( x, y) y f ( x, y) x y y x y yf ( y) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 Reunajakaumien odotusarvot: Jatkuvat jakaumat / Olkoon jatkuvien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio f (x, y). Satunnaismuuttujan odotusarvo E() µ yhtyy satunnaismuuttujan reunajakauman odotusarvoon: + + + + E( ) xf ( x, y) dydx x f ( x, y) dydx + xf ( x) dx Reunajakaumien odotusarvot: Jatkuvat jakaumat / Olkoon jatkuvien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio f (x, y). Satunnaismuuttujan odotusarvo E() µ yhtyy satunnaismuuttujan reunajakauman odotusarvoon: E( ) yf ( x, y) dydx y f ( x, y) dxdy + + + + + yf ( y) dy TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 73 Odotusarvot ja todennäköisyysmassan painopiste Summan ja erotuksen odotusarvot Olkoot satunnaismuuttujien ja odotusarvot E( ) µ E( ) µ Tällöin kaksiulotteisen satunnaismuuttujan (, ) odotusarvo on järjestetty pari (E( ),E( )) ( µ, µ ) Satunnaismuuttujien ja odotusarvojen muodostama järjestetty pari (µ, µ ) määrää satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman todennäköisyysmassan painopisteen. Satunnaismuuttujien ja summan + odotusarvo: E( + ) E( ) + E( ) Satunnaismuuttujien ja erotuksen odotusarvo: E( ) E( ) E( ) Huomautus: Satunnaismuuttujien summan ja erotuksen odotusarvojen kaavat on esitetty ilman perustelua luvussa Jakaumien tunnusluvut. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 74 Summan ja erotuksen odotusarvot: Perustelu / Esitetään satunnaismuuttujien summan odotusarvoa koskevan tuloksen perustelu kahden jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa. Olkoot satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio f (x, y) ja :n ja :n reunajakaumien tiheysfunktiot vastaavasti f (x) ja f (y) Summan ja erotuksen odotusarvot: Perustelu / + + Tällöin E( ± ) ( x± y) f ( x, y) dydx + + [ xf ( x, y) ± yf ( x, y) ] dydx + + + + xf ( x, y) dydx± yf ( x, y) dydx + + + + x f ( xydydx, ) ± y f ( xydxdy, ) + + xf ( x) dx ± yf ( y) dy E( ) ± E( ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 75 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 Lineaarikombinaation odotusarvo Riippumattomuus ja tulon odotusarvo Olkoot satunnaismuuttujien i, i,,, k odotusarvot E( i) µ i, i,,, k ja olkoot a i, i,,, k vakioita. Tällöin satunnaismuuttujien i, i,,, k lineaarikombinaation a+ a + + akk odotusarvo on E( ) E( a+ a + + akk) ae( ) + ae( ) + + ak E( k) aµ + a µ + + a µ k k Olkoot satunnaismuuttujien ja odotusarvot E( ) µ E( ) µ Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin tulon odotusarvo on odotusarvojen tulo: E( ) E( )E( ) µ µ Huomautus: Käänteinen ei päde: Siitä, että E() E()E() ei seuraa, että satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 77 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 78
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 79 Riippumattomuus ja tulon odotusarvo: Perustelu / Esitetään riippumattomien satunnaismuuttujien tulon odotusarvoa koskevan tuloksen perustelu kahden jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa. Olkoot satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio f (x, y) ja :n ja :n reunajakaumien tiheysfunktiot vastaavasti f (x) ja f (y) Olkoot satunnaismuuttujat ja riippumattomia, jolloin f (x, y) f (x) f (y) Riippumattomuus ja tulon odotusarvo: Perustelu / + + Tällöin E( ) xyf ( x, y) dydx + + xyf ( x) f ( y) dydx xf ( x) yf ( y) dydx xf ( x)e( ) dx E( ) xf ( x) dx + + + + E( )E( ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 Riippumattomuus ja tulon odotusarvo: leistys Olkoot satunnaismuuttujien i, i,,, k odotusarvot E( i) µ i, i,,, k Jos satunnaismuuttujat i, i,,, k ovat riippumattomia, niin E( k) E( ) E( ) E( k) µµ µ k Huomautus: Käänteinen ei päde: Siitä, että E( k) E( ) E( ) E( k) ei seuraa, että satunnaismuuttujat i, i,,, k ovat riippumattomia. Reunajakaumien varianssit Olkoot satunnaismuuttujien ja odotusarvot E( ) µ E( ) µ Satunnaismuuttujien ja varianssit yhtyvät vastaavien reunajakaumien variansseihin: Var( ) D ( ) σ E[( µ ) ] Var( ) D ( ) σ E[( µ ) ] TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 Varianssi vaihtelun mittana Satunnaismuuttujan varianssi Var() kuvaa satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan vaihtelua satunnaismuuttujan oman odotusarvon E() ympärillä. Satunnaismuuttujan varianssi Var() kuvaa satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan vaihtelua satunnaismuuttujan oman odotusarvon E() ympärillä. Reunajakaumien varianssit: Diskreetit jakaumat Olkoon diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f (x, y) ja vastaavien reunajakaumien pistetodennäköisyyfunktiot f (x) ja f (y). Tällöin satunnaismuuttujien ja varianssit ovat vakioita D( ) ( x µ ) f () x x D( ) ( y µ ) f( y) jossa y µ E( ) µ E( ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 83 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 84
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 85 Reunajakaumien varianssit: Jatkuvat jakaumat Olkoon jatkuvien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio f (x, y) ja vastaavien reunajakaumien tiheysfunktiot f (x) ja f (y). Tällöin satunnaismuuttujien ja varianssit ovat vakioita + D( ) ( x µ ) f () x dx + D( ) ( µ ) ( ) jossa µ E( ) µ E( ) y f y dy Varianssien vaihtoehtoiset laskukaavat Satunnaismuuttujien ja varianssien kaavat voidaan kirjoittaa seuraaviin yhtäpitäviin muotoihin: D( ) E[( µ )] E( ) µ E( ) [E( )] D( ) E[( µ )] E( ) µ E( ) [E( )] TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 Varianssien vaihtoehtoiset laskukaavat: Perustelu Esitetään varianssin vaihtoehtoisen laskukaavan perustelu satunnaismuuttujalle : D( ) E[( µ )] E[ µ + µ ] E( ) E( µ ) + E( µ ) E( ) µ E( ) + µ E( ) µ µ + µ E( ) µ Reunajakaumien standardipoikkeamat Olkoot satunnaismuuttujien ja odotusarvot E( ) µ E( ) µ Satunnaismuuttujien ja standardipoikkeamat yhtyvät vastaavien reunajakaumien standardipoikkeamiin: D( ) σ E[( µ ) ] D( ) σ E[( µ ) ] TKK (c) Ilkka Mellin (4) 87 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 88 Standardipoikkeama vaihtelun mittana Satunnaismuuttujan standardipoikkeama D() kuvaa satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan vaihtelua satunnaismuuttujan oman odotusarvon E() ympärillä. Satunnaismuuttujan standardipoikkeama D() kuvaa satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman todennäköisyysmassan vaihtelua satunnaismuuttujan oman odotusarvon E() ympärillä. Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama: Suureiden dimensio eli laatu Satunnaismuuttujalla sekä sen odotusarvolla ja standardipoikkeamalla on aina sama dimensio eli laatu. Esimerkki: Jos satunnaismuuttujan laatuna on m (metri), niin myös niiden odotusarvon ja standardipoikkeaman laatuna on m. Satunnaismuuttujan ja sen varianssilla ei ole sama dimensio eli laatu. Esimerkki: Jos satunnaismuuttujan laatuna on m (metri), niin sen varianssin laatuna on m. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 89 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 Odotusarvot ja standardipoikkeamat:. esimerkki nopanheitosta Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Tarkastellaan satunnaismuuttujien ja yhteisjakaumaa. Odotusarvot, varianssit ja standardipoikkeamat: E( ) xpr( x) x 3.5 E( ) x x 9 E( ) x Pr( x) x E( ) x x 9 35 D ( ) E( ) [E( )].97 D ( ) D( ).97.78 D( ) Odotusarvot ja standardipoikkeamat:. esimerkki nopanheitosta / Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Z + silmälukujen summa Tarkastellaan satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakaumaa. Odotusarvot ja. momentit: E( ) xpr( x) 3.5 E( ) x 5 E( Z) zpr( Z z) 7 z 3 9 E( ) x Pr( x) E( ) x 974 E( Z ) z Pr( Z z) 3 z TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 Odotusarvot ja standardipoikkeamat:. esimerkki nopanheitosta / Varianssit ja standardipoikkeamat : 35 D ( ) E( ) [E( )].97 D ( ) D( ).97.78 D( ) D ( Z) E( Z ) [E( Z)] 5.833 3 D( Z) 5.833.45 todennäköisyysjakaumat >> TKK (c) Ilkka Mellin (4) 93 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 94 Kovarianssi Avainsanat Korrelaatiokerroin Kovarianssi Riippumattomuus Summan varianssi Varianssi Olkoot satunnaismuuttujien ja odotusarvot E( ) µ E( ) µ Satunnaismuuttujien ja kovarianssi on vakio Cov(, ) σ E[( µ )( µ )] Satunnaismuuttujien ja kovarianssi Cov(, ) kuvaa satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman todennäköisyysmassan yhteisvaihtelua satunnaismuuttujien ja odotusarvojen E() ja E() määräämän pisteen (E(), E()) ympärillä. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 95 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 97 Kovarianssi: Diskreetit jakaumat Olkoon diskreettien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyysfunktio f (x, y). Tällöin satunnaismuuttujien ja kovarianssi on vakio Cov(, ) ( x µ )( y µ ) f ( xy, ) jossa µ E( ) µ E( ) x y Kovarianssi: Jatkuvat jakaumat Olkoon jatkuvien satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman tiheysfunktio f (x, y). Tällöin satunnaismuuttujien ja kovarianssi on vakio Cov(, ) ( x µ )( y µ ) f ( xydxdy, ) jossa µ E( ) µ E( ) + + TKK (c) Ilkka Mellin (4) 98 Kovarianssi: Vaihtoehtoinen laskukaava Satunnaismuuttujien ja kovarianssin kaava voidaan kirjoittaa seuraaviin yhtäpitäviin muotoihin: Cov(, ) E[( µ )( µ )] E( ) µ µ E( ) E( )E( ) Huomautus: Vrt. kovarianssin vaihtoehtoista laskukaavaa varianssin vaihtoehtoisiin laskukaavoihin. Kovarianssin vaihtoehtoinen laskukaava: Perustelu Esitetään satunnaismuuttujien kovarianssin vaihtoehtoisen laskukaavan perustelu: Cov(, ) E[( µ )( µ )] E[ µ µ + µ µ ] E( ) E( µ ) E( µ ) + E( µ µ ) E( ) µ E( ) µ E( ) + µ µ E( ) µ µ µ µ + µ µ E( ) µ µ TKK (c) Ilkka Mellin (4) 99 TKK (c) Ilkka Mellin (4) Kovarianssi ja varianssit Satunnaismuuttujien kovarianssit itsensä kanssa yhtyvät satunnaismuuttujien variansseihin: Cov(, ) E[( µ )( µ )] Var( ) σ Cov(, ) E[( µ )( µ )] Var( ) σ Odotusarvot, varianssit ja kovarianssi sekä lineaarimuunnokset / Olkoot satunnaismuuttujien ja odotusarvot, varianssit ja kovarianssi: E( ) µ Var( ) σ E( ) µ Var( ) σ Cov(, ) E[( µ )( µ )] σ Olkoot W a+ b Z c+ d jossa a, b, c, d R ovat reaalisia vakioita. TKK (c) Ilkka Mellin (4) TKK (c) Ilkka Mellin (4)
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 Odotusarvot, varianssit ja kovarianssi sekä lineaarimuunnokset / Tällöin pätevät seuraavat kaavat: E( W) a+ be( ) a+ bµ Var( W) b Var( ) b σ E( Z) c+ de( ) c+ dµ Var( Z) d Var( ) d σ Kovarianssi ja lineaarimuunnokset: Perustelu Jos satunnaismuuttujien ja kovarianssi on Cov(, ), niin Cov( W, Z) E[( W E( W))( Z E( Z))] E[( a + b E( a + b ))( c + d E( c + d ))] E[( b E( b ))( d E( d ))] bd E[( E( ))( E( ))] bd Cov(, ) Cov( W, Z) bd Cov(, ) bdσ TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Summan ja erotuksen varianssit Olkoot satunnaismuuttujien ja varianssit Var( ) σ Var( ) σ ja kovarianssi Cov(, ) σ Tällöin Var( ± ) Var( ) + Var( ) ± Cov(, ) σ + σ ± σ Summan ja erotuksen varianssit: Perustelu Summan ja erotuksen varianssia koskevat kaavat nähdään oikeaksi seuraavalla tavalla: Var( ± ) E[ ± E( ± )] E[ ± E( ) E( )] E[( E( )) ± ( E( ))] E[( E( )) + ( E( )) ± ( E( ))( E( ))] E[( E( )) ] + E[( E( )) ] ± E[( E( ))( E( ))] Var( ) + Var( ) ± Cov(, ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (4) Riippumattomuus ja kovarianssi Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin Cov(, ) Huomautus: Käänteinen ei päde: Siitä, että Cov(, ) ei välttämättä seuraa, että satunnaismuuttujat ja olisivat riippumattomia. Riippumattomuus ja kovarianssi: Perustelu Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin E() E()E() Siten Cov(, ) E( ) E( )E( ) E( )E( ) E( )E( ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 Riippumattomuus sekä summan ja erotuksen varianssit Olkoot satunnaismuuttujien ja varianssit Var( ) σ Var( ) σ Olkoot ja ovat riippumattomia, jolloin Cov(, ) Tällöin Var( ± ) Var( ) + Var( ) Huomautus: Riippumattomien satunnaismuuttujien summan ja erotuksen varianssien kaavat on esitetty ilman perustelua luvussa Jakaumien tunnusluvut. Korrelaatiokerroin / Oletetaan, että satunnaismuuttujilla ja on seuraavat odotusarvot, varianssit ja kovarianssi: E( ) µ Var( ) D ( ) σ E( ) µ Var( ) D ( ) σ Cov(, ) E[( µ )( µ )] σ TKK (c) Ilkka Mellin (4) Korrelaatiokerroin / Satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin on vakio Cor(, ) ρ Cov(, ) Var( )Var( ) Cov(, ) D( ) D( ) σ σ σ TKK (c) Ilkka Mellin (4) Korrelaatiokerroin lineaarisen riippuvuuden mittana Satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin Cor(, ) kuvaa satunnaismuuttujien ja lineaarisen riippuvuuden voimakkuutta: (i) Mitä suurempi on Cor(, ) sitä voimakkaampaa on satunnaismuuttujien ja välinen lineaarinen riippuvuus. (ii) Mitä pienempi on Cor(, ) sitä heikompaa on satunnaismuuttujien ja välinen lineaarinen riippuvuus. TKK (c) Ilkka Mellin (4) : Suureiden dimensio eli laatu Huomaa, että satunnaismuuttujien korrelaatio on dimensioton eli laaduton suure toisin kuin niiden kovarianssi. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 Korrelaatiokerroin ja lineaarimuunnokset Olkoon satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin Cor(, ). Olkoot W a + b Z c + d Tällöin Cor( W, Z) sgn( bd)cor(, ) jossa sgn on ns. merkkifunktio: +, jos x > sgn( x), jos x, jos x < TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 Lineaarimuunnosten korrelaatiokerroin: Perustelu Olkoon satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin Cor(, ). Olkoot W a + b Z c + d Tällöin Cov( W, Z) Cor( W, Z) Var( W) Var( Z) bd Cov(, ) b Var( ) d Var( ) Cov(, ) sgn( bd) Var( ) Var( ) sgn( bd)cor(, ) Korrelaatiokerroin: Ominaisuudet Olkoon satunnaismuuttujien ja korrelaatiokerroin Cor(, ). Tällöin (i) Cor(, ) + (ii) Jos ja ovat riippumattomia, niin Cor(, ) (iii) Cor(, ) ±, jos ja vain, jos α + β, jossa α ja β ovat reaalisia vakiota, β TKK (c) Ilkka Mellin (4) Korrelaatiokerroin: Ominaisuuden (i) perustelu / Väite: Cor(, ) + Perustelu: () Olkoot W ja Z satunnaismuuttujia ja olkoon a vakio. () W, Z E(W ), E(Z ) (3) (aw Z) E(aW Z) (4) Kohdasta (3) seuraa, että E(aW Z) a E(W ) ae(wz) + E(Z ) (5) Valitaan: E( WZ ) a W E( ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 Korrelaatiokerroin: Ominaisuuden (i) perustelu / () Siten [ ] E( WZ) E( aw Z) + E( Z ) E( W ) josta seuraa, että [ E( WZ) ] ( ) E( W ) E( Z ) (7) Väite seuraa epäyhtälöstä ( ), kun valitaan W E() ja Z E() ja otetaan saadusta epäyhtälöstä neliöjuuri. Huomautus: Epäyhtälöstä ( ) seuraa eräs ns. Schwarzin epäyhtälön monista muodoista: [E( WZ)] E( W )E( Z ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 Korrelaatiokerroin: Ominaisuuden (ii) perustelu Väite: Jos ja ovat riippumattomia, niin Cor(, ) Perustelu: Väite seuraa siitä, että jos ja ovat riippumattomia, niin Cov(, ) Huomautus: Käänteinen ei päde: Siitä, että Cov(, ) Cor(, ) ei välttämättä seuraa, että satunnaismuuttujat ja olisivat riippumattomia. Korrelaatiokerroin: Ominaisuuden (iii) perustelu /3 Väite: Cor(, ) ± α + β, α R, β R, β Perustelu: () Ominaisuuden (i) perustelussa kohdan (4) epäyhtälön vasen puoli on. asteen polynomi muuttujan a suhteen: h(a) E(aW Z) a E(W ) ae(wz) + E(Z ) () Ominaisuuden (i) perustelun kohdan (3) mukaan h(a) a. (3) h(a) > kaikille a, jos ja vain jos. asteen yhtälön h(a) diskriminantti D 4[E( WZ)] 4E( W )E( Z ) < Huomautus: Korrelaatiokertoimen ominaisuus (i) seuraa myös kohdan (3) epäyhtälöstä. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 TKK (c) Ilkka Mellin (4)
TKK (c) Ilkka Mellin (4) Korrelaatiokerroin: Ominaisuuden (iii) perustelu /3 (4) h(a) täsmälleen silloin, kun. asteen yhtälön h(a) diskriminantti D 4[E( WZ)] 4E( W )E( Z ) (5) Siten Cor(, ) ± täsmälleen silloin, kun E(aW Z) mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että Pr(aW Z ) () Siten Z aw todennäköisyydellä. (7) Väite seuraa, kun valitaan W E() ja Z E() ja merkitään β a ja α E( ) ae( ) Korrelaatiokerroin: Ominaisuuden (iii) perustelu 3/3 Väite: Cor(, ) ± α + β, α R, β R, β Perustelu: Koska α + β, Cor(, ) Cor(, α + β ) sgn( β )Cor(, ) sgn( β ) ± jossa sgn( ) on ns. merkkifunktio: +, jos x > sgn( x), jos x, jos x < TKK (c) Ilkka Mellin (4) Korrelaatiokerroin:. esimerkki nopanheitosta Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Tarkastellaan satunnaismuuttujien ja yhteisjakaumaa. Odotusarvot, varianssit ja standardipoikkeamat (laskettu aikaisemmin): E() E() / 3.5 D () D () 35/.97 D() D().78 Koska satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, niin Cor(, ) Cov(, ) Korrelaatiokerroin:. esimerkki nopanheitosta / Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Z + silmälukujen summa Tarkastellaan satunnaismuuttujien ja Z yhteisjakaumaa. Odotusarvot, varianssit ja standardipoikkeamat (laskettu aikaisemmin): E() / 3.5 E(Z) 5/3 7 D () 35/.97 D (Z) /3 5.833 D().78 D(Z).45 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Korrelaatiokerroin:. esimerkki nopanheitosta / Satunnaismuuttujat ja Z eivät ole riippumattomia. Lasketaan ensin kovarianssi: 987 E( Z) xzpr( x, Z z) x z 3 987 4 5 Cov(, Z) E( Z) E( )E( Z).97 3 3 Korrelaatiokertoimen arvo on: Cov(, Z) Cor(, Z).77 D( )D( Z) Korreloimattomuus Jos Cov(, ) ja yhtäpitävästi Cor(, ) niin sanomme, että satunnaismuuttujat ja ovat korreloimattomia. Huomautus: Satunnaismuuttujien korreloimattomuudesta ei välttämättä seuraa niiden riippumattomuus. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 TKK (c) Ilkka Mellin (4)
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 7 todennäköisyysjakaumat >> Avainsanat Ehdollinen jakauma Ehdollinen odotusarvo Regressiofunktio Regressiokäyrä TKK (c) Ilkka Mellin (4) 8 Ehdollinen todennäköisyys Ehdolliset jakaumat Olkoot A ja B tapahtumia ja Pr(B). Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys tapahtuman B suhteen on Pr( A B) Pr( AB) Pr( B) Ehdollisen jakauman määritelmä mukailee ehdollisen todennäköisyyden määritelmää. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 9 Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f (x, y). Olkoot satunnaismuuttujien ja reunajakaumien pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktiot f (x) ja f (y). Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla y) on f ( x, y) f( x y), jos f ( y) f ( y) > Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla x) on f ( x, y) f( y x), jos f ( x) f ( x) > TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 Ehdolliset jakaumat: Kommentteja Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma ( x y) f satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla y) riippuu yleisessä tapauksessa ehtomuuttujan arvosta y. Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma f ( y x) satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla x) riippuu yleisessä tapauksessa ehtomuuttujan arvosta x. Riippumattomuus ja ehdolliset jakaumat /3 Olkoon satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f (x, y). Olkoot satunnaismuuttujien ja reunajakaumien pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktiot f (x) ja f (y). Olkoot satunnaismuuttujat ja riippumattomia. Tällöin f (x, y) f (x) f (y) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 33 Riippumattomuus ja ehdolliset jakaumat /3 Riippumattomuus ja ehdolliset jakaumat 3/3 Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen yhtyy satunnaismuuttujan reunajakaumaan: f( x y) f( x), jos f( y) > Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen yhtyy satunnaismuuttujan reunajakaumaan: f ( y x) f ( y), jos f ( x) > Olkoot satunnaismuuttujat ja riippumattomia. Tällöin: (i) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen ei riipu ehtomuuttujan arvoista. (ii) Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen ei riipu ehtomuuttujan arvoista. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 34 Ehdolliset odotusarvot: Diskreetit jakaumat Olkoot satunnaismuuttujat ja diskreettejä. Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen on satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: E( y) xf ( xy) x Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen on satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: E( x) yf ( yx) y Ehdolliset odotusarvot: Jatkuvat jakaumat Olkoot satunnaismuuttujat ja jatkuvia. Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen on satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: + E( y) xf( xydx ) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen on satunnaismuuttujan ehdollisen jakauman odotusarvo: + E( x) yf( yxdy ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 35 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 3 Ehdolliset odotusarvot: Kommentteja Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo E( y) satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla y) riippuu yleisessä tapauksessa ehtomuuttujan arvosta y. Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo E( x) satunnaismuuttujan suhteen (ehdolla x) riippuu yleisessä tapauksessa ehtomuuttujan arvosta x. Riippumattomuus ja ehdolliset odotusarvot / Jos satunnaismuuttujat ja ovat riippumattomia, ehdolliset odotusarvot yhtyvät niiden reunajakaumien odotusarvoihin. Jos siis ja ovat riippumattomia, seuraava pätee: E( ) E( ) E( ) E( ) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 37 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 38
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 39 Riippumattomuus ja ehdolliset odotusarvot / Olkoot satunnaismuuttujat ja riippumattomia. Tällöin: (i) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen ei riipu ehtomuuttujan arvoista. (ii) Satunnaismuuttujan ehdollinen odotusarvo satunnaismuuttujan suhteen ei riipu ehtomuuttujan arvoista. Ehdolliset odotusarvot satunnaismuuttujina: Iteroidun odotusarvon laki Ehdolliset odotusarvot voidaan tulkita satunnaismuuttujiksi ehtomuuttujan suhteen. Siten satunnaismuuttujan ehdollisen odotusarvon odotusarvoksi (satunnaismuuttujan suhteen) saadaan [ ] E E( ) E( ) Siten satunnaismuuttujan ehdollisen odotusarvon odotusarvoksi (satunnaismuuttujan suhteen) saadaan [ ] E E( ) E( ) Kaavat tunnetaan nimellä iteroidun odotusarvon laki. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Iteroidun odotusarvon laki: Perustelu Iteroidun odotusarvon laki nähdään oikeaksi jatkuvan jakauman tapauksessa seuraavalla tavalla: + + + E [ E( ) ] E( ) f( xdx ) yf ( yxdy ) f( xdx ) + + + + yf( y x) f ( x) dy dx yf ( x, y) dy dx + + + y f ( x, y) dxdy yf ( y) dy E( ) Regressiofunktiot ja -käyrät / Tarkastellaan satunnaismuuttujan ehdollista odotusarvoa E( y) satunnaismuuttujan suhteen ehtomuuttujan arvojen y funktiona. Funktiota E( y) kutsutaan satunnaismuuttujan regressiofunktioksi satunnaismuuttujan suhteen. Satunnaismuuttujan regressiofunktio muuttujan suhteen määrittelee regressiokäyrän x gy ( y) E( y) TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Regressiofunktiot ja -käyrät / Tarkastellaan satunnaismuuttujan ehdollista odotusarvoa E( x) satunnaismuuttujan suhteen ehtomuuttujan arvojen x funktiona. Funktiota E( x) kutsutaan satunnaismuuttujan regressiofunktioksi satunnaismuuttujan suhteen. Satunnaismuuttujan regressiokäyrä muuttujan suhteen määrittelee regressiokäyrän y gx ( x) E( x) Regressiofunktiot ja -käyrät: Kommentteja Olkoon x gy ( y) E( y) satunnaismuuttujan regressiokäyrä satunnaismuuttujan saamien arvojen y suhteen. Olkoon y gx ( x) E( x) satunnaismuuttujan regressiokäyrä satunnaismuuttujan saamien arvojen x suhteen. Vaikka funktiot g y ja g x ovat funktioina täysin määrättyjä, sattuma määrää, mikä funktioiden arvoista realisoituu. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 43 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 44
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 45 Regressiokäyrät ja ennustaminen /4 Regressiokäyrät ja ennustaminen /4 Oletetaan, että satunnaismuuttujien ja yhteisjakauman pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f tunnetaan. Haluamme ennustaa satunnaismuuttujan (tai ) arvon satunnaismuuttujan (tai ) saaman arvon perusteella. Tehtävä : (i) Haluamme ennustaa satunnaismuuttujan arvon satunnaismuuttujan saaman arvon perusteella. (ii) Olkoon ennustettu arvo d( ). (iii) Miten ennuste d( ) valitaan optimaalisella tavalla? Tehtävä : (i) Haluamme ennustaa satunnaismuuttujan arvon satunnaismuuttujan saaman arvon perusteella. (ii) Olkoon ennustettu arvo d( ). (iii) Miten ennuste d( ) valitaan optimaalisella tavalla? TKK (c) Ilkka Mellin (4) 4 Regressiokäyrät ja ennustaminen 3/4 Regressiokäyrät ja ennustaminen 4/4 Tehtävän ratkaisu: Valitaan d( ) siten, että ennusteen keskineliövirhe E[ d( )] minimoituu. Voidaan osoittaa, että keskineliövirhe minimoituu valinnalla d( ) E( ) Siten ehdollinen odotusarvo E( ) on keskineliövirheen mielessä optimaalinen ennuste satunnaismuuttujan saamille arvoille. Tehtävän ratkaisu: Valitaan d( ) siten, että ennusteen keskineliövirhe E[ d( )] minimoituu. Voidaan osoittaa, että keskineliövirhe minimoituu valinnalla d( ) E( ) Siten ehdollinen odotusarvo E( ) on keskineliövirheen mielessä optimaalinen ennuste satunnaismuuttujan saamille arvoille. TKK (c) Ilkka Mellin (4) 47 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 48 Diskreetin -ulotteisen jakauman ehdolliset jakaumat:. esimerkki nopanheitosta / Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat ja : tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Satunnaismuuttujien ja mahdolliset arvot: : {,, 3, 4, 5, } : {,, 3, 4, 5, } Määrätään satunnaismuuttujien ja ehdolliset jakaumat. Diskreetin -ulotteisen jakauman ehdolliset jakaumat:. esimerkki nopanheitosta / Satunnaismuuttujien ja yhteisjakauma ja reunajakaumat:. heiton silmäluku y Todennäköisyydet Pr( x, y) 3 4 5 ht /3 /3 /3 /3 /3 /3 / 5 /3 /3 /3 /3 /3 /3 / 4 /3 /3 /3 /3 /3 /3 / 3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 / /3 /3 /3 /3 /3 /3 / /3 /3 /3 /3 /3 /3 / ht / / / / / /. heiton silmäluku x TKK (c) Ilkka Mellin (4) 49 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5
TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 Diskreetin -ulotteisen jakauman ehdolliset jakaumat:. esimerkki nopanheitosta 3/ Kalvon / satunnaismuuttujan ehdolliset jakaumat saadaan jakamalla yhteisjakauman todennäköisyydet antavassa taulukossa kunkin rivin todennäköisyydet vastaavilla rivisummilla eli vastaavilla reunatodennäköisyyksillä. Esimerkki: Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen, kun 3: f ( x,3) /3 f ( x 3) ; x,,3,4,5, f (3) / Diskreetin -ulotteisen jakauman ehdolliset jakaumat:. esimerkki nopanheitosta 4/ Satunnaismuuttujan ehdolliset jakaumat ovat taulukon riveinä:. heiton silmäluku y Todennäköisyydet Pr( x y) 3 4 5 ht / / / / / / 5 / / / / / / 4 / / / / / / 3 / / / / / / / / / / / / / / / / / / ht. heiton silmäluku x TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5 Diskreetin -ulotteisen jakauman ehdolliset jakaumat:. esimerkki nopanheitosta 5/ Kalvon / satunnaismuuttujan ehdolliset jakaumat saadaan jakamalla yhteisjakauman todennäköisyydet antavassa taulukossa kunkin sarakkeen todennäköisyydet vastaavilla sarakesummilla eli vastaavilla reunatodennäköisyyksillä. Esimerkki: Satunnaismuuttujan ehdollinen jakauma satunnaismuuttujan suhteen, kun 4: f (4, y) /3 f ( y 4) ; y,,3,4,5, f (4) / Diskreetin -ulotteisen jakauman ehdolliset jakaumat:. esimerkki nopanheitosta / Satunnaismuuttujan ehdolliset jakaumat ovat taulukon sarakkeina:. heiton silmäluku y Todennäköisyydet Pr( y x) 3 4 5 ht / / / / / / 5 / / / / / / 4 / / / / / / 3 / / / / / / / / / / / / / / / / / / ht. heiton silmäluku x TKK (c) Ilkka Mellin (4) 53 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 54 Diskreetin -ulotteisen jakauman ehdolliset jakaumat:. esimerkki nopanheitosta /4 Heitetään virheetöntä noppaa kaksi kertaa. Määritellään satunnaismuuttujat, ja Z: tulos (silmäluku). heitosta tulos (silmäluku). heitosta Z + silmälukujen summa Satunnaismuuttujien, ja Z mahdolliset arvot: : {,, 3, 4, 5, } : {,, 3, 4, 5, } Z: {, 3, 4, 5,, 7, 8, 9,,, } Määrätään satunnaismuuttujan Z ehdolliset jakaumat satunnaismuuttujan suhteen. Diskreetin -ulotteisen jakauman ehdolliset jakaumat:. esimerkki nopanheitosta /4 Satunnaismuuttujien ja Z + yhteisjakauma ja reunajakaumat:. nopan silmäluku x 3 4 5 ht /3 /3 Silmälukujen summa z /3 /3 /3 /3 /3 /3 3/3 9 /3 /3 /3 /3 4/3 8 /3 /3 /3 /3 /3 5/3 7 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 5/3 5 /3 /3 /3 /3 4/3 4 /3 /3 /3 3/3 3 /3 /3 /3 /3 /3 ht / / / / / / TKK (c) Ilkka Mellin (4) 55 TKK (c) Ilkka Mellin (4) 5