FUNKTIONAALIANALYYSI 2017

FUNKTIONAALIANALYYSI 2017 JOUNI PARKKONEN Nämä ovat muistiinpanoni funktionaalianalyysin kurssille kevätlukukaudella 2017. Tekstiä ei ole luettu äärimmäisen huolella puhtaaksi eikä sitä ole viilattu julkaisemista varten. Erityisesti tekstissä esiintynee painovirheitä, hieman huolettomia merkintöjä ja niukasti kirjoitettuja argumentteja, jotkut luennolla tehdyt todistukset puuttuvat kokonaan. Tulosten numeroinnissa voi myös olla joitain eroja luennoilla esitettyyn versioon nähden. Annan tekstin kuitenkin kurssilaisten käyttöön täydentämään omia muistiinpanoja. Sisältö 1. Vektoriavaruudet ja lineaarikuvaukset 2 2. Normiavaruus 4 3. Rajoitetut lineaarikuvaukset 9 4. Banachin avaruus 11 5. Hahnin ja Banachin lause 15 5.1. Zornin lemma ja Hamelin kanta 15 5.2. Sublineaariset funktiot ja funktionaalit 15 5.3. Kompleksiset funktionaalit 16 5.4. Hahnin ja Banachin lause 17 6. Refleksiiviset avaruudet 19 7. Separoituvuus 22 8. Banachin avaruuksien operaattoriteorian keskeisiä lauseita 23 8.1. Banachin ja Steinhausin lause 23 8.2. Avoimen kuvauksen lause 24 8.3. Suljetun graafin lause 26 9. Tekijäavaruudet 27 9.1. L p -avaruudet 27 10. Hilbertin avaruudet 29 11. Hilbertin avaruuksien geometriaa 32 12. Rieszin esityslause 35 13. Ortonormaalit joukot 36 14. Fourier n sarjoista 40 15. Hilbertin avaruuden operaattorin adjungaatti ja Hermiten operaattorit 44 16. Kompaktit operaattorit 47 17. Rajoitettujen operaattorien spektri 49 18. Kompaktien operaattoreiden spektraaliteoriaa 51 19. Heikko suppeneminen 53 Viitteet 55 Liite A. Arzelàn ja Ascolin lause 56 Last update: huhtikuuta 28, 2017. 1

1. Vektoriavaruudet ja lineaarikuvaukset Määritelmä 1.1. Olkoon K kunta. Olkoon V joukko, jossa on määritelty laskutoimitus + vakiolla kertominen K V V, (λ, v) λv, jotka toteuttavat ehdot (1) x + y = y + x kaikilla x, y V (2) (x + y) + v = x + (y + v) kaikilla x, y, v V (3) on 0 V, jolle 0 + x = x kaikilla x V ja (4) jokaisella x V on x V, jolle x + ( x) = 0. (5) λ(v + w) = λv + λw kaikille λ K ja v, w V, (6) (λ + µ)v = λv + µv kaikille λ, µ K ja v V, (7) µ(λv) = (µλ)v kaikille λ, µ K ja v V ja (8) 1 v = v kaikille v V, niin V varustettuna tällä rakenteella on K vektoriavaruus. Tällä kurssilla K = R tai K = C. Esimerkki 1.2. (1) R n on R-vektoriavaruus, C n on C-vektoriavaruus (2) F (X, V ), kun X, V on K-va. Pisteittäiset laskutoimitukset ja vakiolla kertominen. Erityistapauksia jonoavaruudet. Määritelmä 1.3. Jos K-vektoriavaruuden V osajoukko H V, H, on vakaa vektoriavaruuden V yhteenlaskun ja vakiolla kertomisen suhteen ja jos se on näillä operaatioilla varustettuna reaalinen vektoriavaruus, niin H on vektoriavaruuden V (vektori-)aliavaruus. Lemma 1.4. Olkoon V K-vektoriavaruus ja olkoon H V epätyhjä. Tällöin H on vektorialiavaruus, jos ja vain jos kaikille x, y H ja λ, µ K pätee λx + µy H. Olkoot V ja W K-vektoriavaruuksia. Kuvaus L: V W on (K )lineaarikuvaus, jos se on homomorfismi kommutatiivisesta ryhmästä (V, +) kommutatiiviseen ryhmään (W, +), jolle pätee L(λv) = λl(v) kaikilla λ K ja v V. Erityisesti, jos F : V K on K- lineaarikuvaus, niin F on funktionaali. Lineaarikuvauksen ydin on ker L = {x V : Lx = 0}. Propositio 1.5. Aliavaruden kuva ja alkukuva ovat vektorialiavaruuksia. Todistus. Olkoon L: V W linearikuvaus ja olkoon H avaruuden V vektorialiavaruus. Olkoot z, w LH. Tällöin on x, y H, joille Lx = z ja Ly = w. Lineaarisuuden nojalla Toinen väite tehdään harjoituksissa. λz + µw = λlx + µly = L(λx + µy) LH. Seuraus 1.6. Lineaarikuvauksen ydin ja kuvajoukko ovat vektorialiavaruuksia. Esimerkki 1.7. (1) Derivointi D : C (R) C (R), Df(x) = f (x). Olkoon λ R. Tällöin D e λx = e λx. Funktio x e λx on siis lineaarikuvauksen D ominaisvektori ominaisarvolla λ. (2) Evaluaatiokuvaus E x : F (R, R) R, E x (f) = f(x) on lineaarikuvaus kaikilla x R. (3) Olkoon L 1 ([0, 1]) = {f : [0, 1] R integroituva}. Muistamme algebrasta, että (V, +) on kommutatiivinen ryhmä. Jotkut lähteet vaativat funktionaalilta enemmän. 2 28/04/2017

Mitta- ja integraaliteoriassa osoitettiin, että kuvaus I : L 1 ([0, 1]) R, I (f) = f on lineaarinen. Vektorijoukon X V, X virittämä aliavaruus X on inkluusion suhteen minimaalinen vektorialiavaruus, joka sisältää joukon X Propositio 1.8. [0,1] X = {H : X H ja H on aliavaruus} { k } X = λ i x i : λ i K, x i X. i=1 Määritelmä 1.9. Joukko X V on lineaarisesti riippumaton, jos kaikille x 1,..., x k X ehdosta k i=1 λ ix i = 0 seuraa λ 1 = λ 2 = = λ k = 0. Määritelmä 1.10. Olkoon V vektoriavaruus. Lineaarisesti riippumaton joukko X V on Hamelin kanta, jos X = V. Jos vektoriavaruudella on äärellinen kanta, niin se on äärellisulotteinen. Tällöin avaruuden dimensio on kannan alkioiden lukumäärä. Muuten vektoriavaruus on ääretönulotteinen. Dimension määritelmä perustuu seuraavaan tulokseen: Propositio 1.11. Jos vektoriavaruudella V on äärellinen kanta, niin kaikki sen kannat ovat äärellisiä ja jokaisessa kannassa on yhtä monta alkiota. Tällöin V on äärellisulotteinen, muuten ääretönulotteinen. Esimerkki 1.12. (1) Polynomit, x k : k N = K[x]. Monomien joukko on selvästi lineaarisesti riippumaton. (2) Olkoon X ääretön joukko. Tällöin F (X, K) on ääretönulotteinen: karakteristiset funktiot χ x, x X ovat selvästi lineaarisesti riippumattomia. Huomaa: χ x : x X = { f : X K : #{x X : f(x) 0} < }. 3 28/04/2017

2. Normiavaruus Olkoon V K-vektoriavaruus. Funktio : V [0, [ on seminormi, jos (1) λx = λ x kaikille λ K ja x V. (2) x + y x + y kaikille x, y V. Jos lisäksi (0) x = 0, jos ja vain jos x = 0, niin on normi. Esimerkki 2.1. (1) Euklidinen normi. (2) Avaruuden R n normit x 1 = n x k k=1 ja x = max x k. 1 k n Piirrä yksikköpallot tason tapauksessa. (3) Avaruuden R n normit x p = n p x k p kun 1 p <. Normin ominaisuudet (0) ja (1) ovat selviä mutta kolmioepäyhtälöä varten tarvitaan k=1 Lemma 2.2. Olkoon 1 p < ja olkoot a, b > 0. Tällöin (a + b) p = inf 0<t<1 t1 p a p + (1 t) 1 p b p. Todistus. Funktio t f t 1 p a p + (1 t) 1 p b p on sileä, sen raja-arvot välin ]0, 1[ päätepisteissä ovat ja sen derivaatan nollakohta on pisteessä t 0 = a. Tässä pisteessä saavutetaan minimiarvo a+b f ( a ) = (a + b) p. a + b Itseisarvon kolmioepäyhtälön ja Lemman 2.2 avulla saadaan kaikille x, y R n ja kaikille 0 < t < 1 n n x + y p p = x k + y k p ( x k + y k ) p josta minimoimalla valitsemalla k=1 k=1 n t 1 p x k p + (1 t) 1 p y k p k=1 = t 1 p x p p + (1 t) 1 p y p p, x p t = x p + y p saadaan kolmioepäyhtälö x + y p x p + y p, jota kutsutaan Minkowskin epäyhtälöksi. 4 28/04/2017

(4) Olkoon l (K) = {ω F (N, K) : sup ω(n) < } n N ja lyhyesti l = l (R). Lauseke ω = sup ω(n) n N on normi vektoriavaruudessa l. (5) Minkowskin epäyhtälön avulla nähdään, että l p (K) = {ω F (N, K) : ω(n) p < } on vektorialiavaruus ja lauseke n=0 ω p = n p ω(n) p on normi vektoriavaruudessa l p (K). Tarvittaessa merkitsemme lyhyesti l p = l p (R). (6) Olkoon X ja olkoon k=1 B(X, K) = {f F (X, K) : sup f(x) < }. x X Kolmioepäyhtälön nojalla B(X, K) on vektoriavaruuden F (X, K) vektorialiavaruus. Funktio : C 0 b (X, R) [0, [, (1) f = sup f(x) x X on normi. (7) Olkoon X topologinen avaruus ja olkoon C 0 b(x, R) = {f C 0 (X, R) : f < }. Jos f ja g ovat jatkuvia, niin λf + µg on jatkuva, siispä C 0 b (X, R) on normiavaruuden B(X, K) vektorialiavaruus ja (C 0 b (X, R), ) on normiavaruus. Huomaa. Jos X on kompakti, esimerkiksi, jos X = [a, b] R, niin C 0 b (X, R) = C0 (X, R). Normi määrittelee metriikan luonnollisella tavalla: Olkoon (V, ) normiavaruus. Olkoon d = d : X X [0, [ funktio d(x, y) = x y. Propositio 2.3. Lauseke d määrittelee metriikan avaruudessa X. Metriikka d toteuttaa kaikille x, y, v V. d(x + v, y + v) = d(x, y) Propositio 2.4. Olkoon V K-vektoriavaruus. (1) Normi on jatkuva funktio. (2) Olkoot (x k ) ja (y k ) suppenevia jonoja avaruudessa V ja olkoot (λ k ) ja (µ k ) suppenevia jonoja kunnassa K. Tällöin lim (λ kx k + µ k y k ) = lim λ k lim x k + lim µ k lim y k k k k k k Todistus. Harjoitus. Vektoriavaruuden V kaikille v V. normit ja ovat ekvivalentit, jos on c > 0, jolle pätee 1 c v v c v 5 28/04/2017

Propositio 2.5. Normit määrittävät saman topologian, jos ja vain jos ne ovat ekvivalentit. Todistus. Oletetaan, että normit määräävät saman topologian. Tällöin on ɛ > 0 iten, että B (0, ɛ) B (0, 1). Olkoon v V {0}. Tällöin ɛ 2 v v B (0, ɛ) B (0, 1). Siis ɛ 2 v v < 1, joten Toinen suunta harjoitustehtävä. v 2 ɛ v. Propositio 2.6. Kaikki äärellisulotteisen vektoriavaruuden normit ovat ekvivalentteja. Todistus. Voimme olettaa, että tarkasteltava avaruus on R n. Osoitetaan, että normi on ekvivalentti euklidisen normin 2 kanssa. Olkoon e 1, e 2,... e n standardikanta. Tällöin kolmioepäyhtälön, normin homogeenisuuden ja Cauchyn ja Schwarzin epäyhtälön nojalla xi e i xi e i = ((x 1,..., x n ) ( e 1,..., e i )) (2) (x 1,..., x n ) 2 ( e 1,..., e i )) n max{ e i : 1 i n } (x 1,..., x n ) 2, joten haluttu epäyhtälö saadaan toiseen suuntaan. Vastakkaisen suunnan todistamiseksi huomataan, että epäyhtälön (2) nojalla normi on jatkuva, joten se saavuttaa miniminsä m > 0 euklidisen metriikan kompaktilla yksikköpallolla. Siis kaikille x R n pätee x x 2 m, josta seuraa haluttu epäyhtälö x m x 2. Esimerkki 2.7. l 1 on avaruuden l aliavaruus, joten 1 ja ovat normeja avaruudessa l 1. Olkoon 0 < λ < 1 ja olkoon ω λ (k) = λ k. Tällöin ω l 1 ja ω λ = 1 1 λ. λ 1 Kuitenkin ω λ = 1 kaikilla λ, joten normit eivät ole ekvivalentteja. Itse asiassa, jos p, q [1, ] ja p < q, niin normit p ja q eivät ole ekvivalentteja. Tämän näkee tapauksessa p = 1 tarkastelemalla jonoja ω k, joille 1, kun n k q ω k (n) = k 0 muuten Nyt ja ω k 1 = kq k k ω k q = kq k q 1. Esimerkki 2.8. Avaruuden l yksikköpallo ei ole kompakti: Olkoon e i l, e i (j) = δ ij. Jono (e i ) i N ei suppene eikä sillä ole suppenevaa osajonoa, koska e n, e m = 1 kaikilla n m. Kuitenkin e n = 1 kaikilla n N. 6 28/04/2017

Propositio 2.9. Normiavaruuden äärellisulotteinen aliavaruus on suljettu. Todistus. Olkoon (V, ) normiavaruus ja olkoon H sen äärellisulotteinen aliavaruus. Olkoon x 0 V H. Osoitetaan, että x 0 on joukon V H sisäpiste. Aliavaruus H = H, x 0 on dim H + 1- ulotteinen. Lauseke (x, λx 0 ) = x + λ on normi aliavaruudessa H. Proposition 2.6 nojalla normit, joten on C > 0, jolle y C y C y kaikille y H. Kaikille h H pätee joten x 0 ei ole aliavaruuden H sulkeumassa. h x 0 1 C h x 0 = 1 C ( h + 1) 1 C, Lemma 2.10. Olkoon H normiavaruuden V äärellisulotteinen aliavaruus ja olkoon x 0 V H. Tällöin on h 0 H, jolle pätee d(x 0, H) = x 0 h 0. Todistus. Harjoitus. Yleisesti pätee Lause 2.11. Seuraavat ominaisuudet ovat ekvivalentteja normiavaruudessa V : (1) V on äärellisulotteinen. (2) Avaruuden V yksikköpallo on kompakti. (3) Jokaisella avaruuden V rajoitetulla jonolla on suppeneva osajono. Todistus. Se, että (2) seuraa ominaisuudesta (1) on tuttu tulos, jota käytettiinkin jo edellä. Oletetaan, että normiavaruudella V on ominaisuus (2). Olkoon (x k ) k=1 rajoitettu jono. Tällöin on M > 0, jolle x k M kaikille k. Siispä ( ) x k on jono yksikköpallon pisteitä M k=1 ja sillä on ominaisuuden (2) nojalla suppeneva osajono ( x kj M ). Proposition 2.4 nojalla k=1 jono (x kj ) k=1 suppenee. Oletetaan, että jokaisella jonolla on suppeneva osajono ja että V on ääretönulotteinen. Olkoon x 1 V vektori, jolle pätee x 1 = 1. Olkoon y 2 V x 1. Aliavaruus x 1 on suljettu, joten d( x 1, y 2 ) > 0. Lemman 2.10 nojalla on v 2 x 1, jolle d(v 2, y 2 ) = d( x 1, y 2 ). Olkoon x 2 = y 2 v 2 y 2 v 2. Määrittelystä seuraa, että x 2 = 1. Lisäksi d(x 2, x 1 ) d(x 2, 0) 1 ja toisaalta, jos jollekin w x 1 pätisi d(x 2,, w) < 1, niin y 2 (v 2 + w y 2 v 2 ) ) < y 2 v 2, mikä on mahdotonta, koska v 2 on lähin piste. Siis d(x 2, x 1 ) = 1. Jatketaan induktiivisesti ja saadaan seuraavassa vaiheessa piste x 3, jolle pätee x 3 = 1. Lisäksi d(x 3, x 1, x 2 ) = 1 ja niin edelleen. Saadaan jono (x k ), joka on rajoitettu, koska x k = 1 kaikilla k. Koska pisteet x k ovat konstruktion perusteella etäällä toisistaan, tällä jonolla ei ole suppenevaa osajonoa. Huomaa. Pisteet x k, k 2 eivät välttämättä ole yksikäsitteisiä: Olkoon V = (R 2, ). Olkoon x 1 = R {0} ja olkoon y 2 = (0, 1). Tällöin y 2 (t, 0) = 1 kaikilla 1 t 1. 7 28/04/2017

Lauseen 2.11 viimeisessä osassa käytetty jonokonstruktio saadaan toimimaan vain hieman heikommin, kun äärellisulotteinen aliavaruus korvataan yleisemmällä suljetulla aliavaruudella. Lemma 2.12 (F. Rieszin lemma). Olkoon H normiavaruuden V suljettu aliavaruus. Olkoon δ > 0. Tällöin on x δ V, jolle pätee x δ = 1 ja kaikille h H. x 0 h 1 δ Todistus. Väite todistetaan muuten samalla tavalla mutta aliavaruudessa H ei välttämättä ole lähintä pistettä: Olkoon δ > 0 ja olkoon y V H. Koska H on suljettu, d(h, y) > 0. Määritelmän nojalla on v δ H, jolle x v δ d(h,y). Valitaan 1 δ x δ = y v δ y v δ kuten Propositiossa 2.11 ja nähdään, että x δ on haluttu piste: Kaikille h H pätee x h = x (v δ + y v δ h) d(y, H) y v δ y v δ, koska v δ + y v δ h H. Esimerkki 2.13. Olkoon 1 p < d p = {ω l p : # supp ω < }. Tällöin d p ei ole suljettu aliavaruus koska selvästi d p on aito osajoukko ja jokaiselle ω l p pätee ω k ω, kun asetetaan { ω(i), kun i k ω k (i) = 0 muuten. Sama havainto osoittaa, että d p on tiheä aliavaruus. Huomaa, että d ei ole tiheä: vakiojonon 1 l etäisyys jokaisesta aliavaruuden d alkiosta on vähintään 1. Seuraava esimerkki osoittaa, että F. Rieszin lemman väitettä ei voi yleisesti parantaa. Esimerkki 2.14. Olkoon V = ({f C 0 ([0, 1]) : f(1) = 0}, ). Harjoituksissa osoitetaan, että aliavaruus H = {f V : [0,1] f = 0} on suljettu. Oletetaan, että on f 0 V, jolle pätee f 0 = 1 ja f 0 h 1 kaikille h H. Olkoot f n V : f n (t) = 1 t n ja olkoot [0,1] h n = f 0 f 0 f f n = f 0 f [0,1] 0 [0,1] n 1 1 f n. n+1 Tällöin h n H. Oletuksesta, että kaikilla n pätee [0,1] f 0 1 1 n+1 f n = f 0 h n 1, seuraa [0,1] f 0 1 1 n+1 kaikilla n, joten [0,1] f 0 1. Koska kuitenkin f 0 on jatkuva ja pätee f 0 (1) = 0, on [0,1] f 0 < 1, ristiriita. 8 28/04/2017

3. Rajoitetut lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus L: V W on rajoitettu, jos on C > 0, jolle pätee Lv W C v V kaikilla v V. Sanomme rajoitettuja lineaarikuvauksia operaattoreiksi. Propositio 3.1. Olkoon L: V W lineaarikuvaus. Seuraavat ovat yhtäpitäviä: (1) L on rajoitettu (2) L on jatkuva (3) L on jatkuva origossa. Todistus. Oletetaan, että L on rajoitettu. Olkoon x, y V. Tällöin Lx Ly = L(x y) M x y < ɛ, kun x y < ɛ. Siis L on jatkuva. M Oletetaan, että L on jatkuva origossa. Jos L ei ole rajoitettu, niin kaikilla n N on x n V {0}, jolle Lx n > n x n. Olkoon y n = xn. Tällöin y n x n n 0 ja jatkuvuuden nojalla siis Ly n 0, kun n. Kuitenkin joka antaa ristiriidan. Siis L on rajoitettu. Ly n = Lx n n x n > 1 Seuraus 3.2. Rajoitetun operaattorin ydin on suljettu aliavaruus. Propositio 3.3. Olkoon V äärellisulotteinen normiavaruus ja olkoon W normiavaruus. Lineaarikuvaus L: V W on jatkuva. Esimerkki 3.4. (1) Esimerkin 2.7 nojalla identtinen kuvaus id: (l q, p ) l q ei ole jatkuva, jos p > q tai jos p = ja q p. (2) Olkoon d l äärellisten jonojen avaruus. Olkoon T : d K lineaarikuvaus T (ω) = ω(k). Tällöin T ei ole rajoitettu koska kun n, mutta n i=1 e i T k=1 n e i = n, i=1 = 1 kaikilla n. Määritelmä 3.5. Olkoon L b (V, W ) jatkuvien lineaarikuvausten L: V W vektoriavaruus. Lineaarikuvauksen T L b (V, W ) operaattorinormi on T = inf { M 0 : T v M v v V }. Jatkuvat funktionaalit F : V K muodostavat normiavaruuden V duaalin V = { F : V K : M v V F v M v } Lemma 3.6. Jos V {0}, pätee T = T v W sup v V {0} v V T v W = sup. v 0 v V Lemma 3.7. Operaattorinormi on normi. Jokaiselle v V pätee T v T v. 9 28/04/2017

Todistus. Selvästi operaattorinormi saa arvoja joukossa [0, [. Jos T = 0, niin T v = 0 kaikilla v V, joten T = 0. Normi käyttäytyy hyvin myös vakiolla kertomisen suhteen, joten ainoastaan kolmioepäyhtälössä om tarkastamista: Olkoot S, T L b (V, W ). Tällöin (S + T )v = Sv + T v Sv + T v kaikilla v V. Erityisesti tämä pätee, kun v = 1, mistä väite seuraa siirtymällä supremumiin. Toinen väite harjoituksissa. ra- Lemma 3.8. Olkoot V 1, V 2, V 3 normiavaruuksia ja olkoot S : V 1 V 2 ja T : V 2 V 3 joitettuja lineaarikuvauksia. Tällöin Todistus. Harjoitustehtävä. T S T S. Varustamme avaruuden L b (V, W ) jatkossa oletuksena operaattorinormilla. Esimerkki 3.9. (1) Lineaarikuvaus lim: c R, lim ω = lim k ω(k), on jatkuva, joten ker lim = c 0 on suljettu aliavaruus. (2) Evaluaatiokuvaus E a : (C 0 ([0, 1])) R on jatkuva jokaisella a [0, 1]: E a f = f(a) sup f(t) = f. Tästä saamme, että E a 1. Toisaalta E a 1 = 1 = 1, joten E = 1. (3) Kuvaus I : C 0 ([0, 1]) R, I g = 1 0 g(t)dt, on jatkuva ja I = 1. (4) Olkoon I R suljettu väli. Tällöin derivaattaoperaattori D : (C 1 (I), ) C 0 (I) ei ole jatkuva kuten harjoituksissa osoitetaan. Määritellään normit f C 1,1 = f + f ja f C 1, = max { } f, f. Nyt D on jatkuva, jos C 1 (I) varustetaan jommalla kummalla näistä normeista koska Df = f f C 1, f C 1,1. 10 28/04/2017

4. Banachin avaruus Jos normiavaruus on täydellinen sanotaan, että se on Banachin avaruus. Propositio 4.1. (1) Banachin avaruuden suljettu aliavaruus on Banachin avaruus. (2) Normiavaruuden aliavaruus, joka on Banachin avaruus indusoidulla normilla, on suljettu. Esimerkki 4.2. (1) Äärellisulotteiset normiavaruudet ovat Banachin avaruuksia. Erityisesti K on Banachin avaruus. (2) Olkoon X kompakti metrinen avaruus. Tällöin (C 0 (X), ) on Banachin avaruus. (3) (C 1 ([a, b]), ) ei ole Banachin avaruus: Funktiot f k, f k (t) = t 2 + 1 k, ovat jatkuvasti derivoituvia ja f k, kun t. Sen sijaan (C 1 ([a, b]), C 1, ) on Banachin avaruus, tämä osoitettiin kurssilla Sarjat ja approksimointi/analyysi 3, katso [Kil2, Lause 3.7]. Määritelmä 4.3. Olkoon V normiavaruus ja olkoot v k V, k N. Sarja k=0 x k suppenee itseisesti, jos sarja k=0 x k suppenee. Esimerkki 4.4. Olkoon e k d l, e k (j) = δ jk. Tällöin sarja e k 1 = k 2 k 2 suppenee, joten sarja e k k=1 k 2 ω l d, k=1 k=1 suppenee itseisesti. Sen summa avaruudessa l on kuvaus ω(k) = 1 k 2. Sarja siis ei suppene avaruudessa d vaikka se on itseisesti suppeneva. Lause 4.5. Normiavaruus on Banachin avaruus, jos ja vain jos sen jokainen itseisesti suppeneva sarja suppenee. Todistus. Olkoon V Banachin avaruus. Itseisesti suppenevan sarjan osasummat muodostavat Cauchyn jonon: Jos n m, pätee n m n n x k x k = x k x k. k=1 k=1 Siis itseisesti suppeneva sarja suppenee. Olkoon V normiavaruus, jonka itseisesti suppenevat jonot suppenevat. Cauchyn jonolla (a k ) on osajono (a kj ), jolle pätee k=m a kj+1 a kj 2 j kaikilla j. Siispä oletuksen mukaan sarja k=1 a k j+1 a kj suppenee. Mutta tämän sarjan osasummien jono on (a kj a k1 ), joten (a kj ) suppenee. Cauchyn jonolla (a k ) on siis suppeneva osajono, joten se suppenee. Esimerkki 4.6. (1) Olkoon X. Osoitamme, että B(X, K) on Banachin avaruus. Olkoon f k itseisesti suppeneva sarja. Tällöin sarjat f k (x) ovat itseisesti suppenevia kaikilla x. Koska K on täydellinen, niin sarja f k (x) suppenee jokaisella x. Lisäksi k=m f k (x) f k (x) f k, 11 28/04/2017

joten funktio ω(i) = f k (x) on rajoitettu. Lisäksi pätee edellisten nojalla ω N k=1 f k = sup f(x) j k=n+1 N k=1 f k (x) f k (x) sup x k=n+1 f k (x) k=n+1 sup f k (x) j (2) Kohdan (1) nojalla l on Banachin avaruus. Suppenevien jonojen aliavaruus ja nollaan suppenevien jonojen aliavaruus ovat Banachin avaruuksia koska ne ovat Banachin avaruuden l suljettuja aliavaruuksia. Propositio 4.7. Jos X on normiavaruus ja Y on Banachin avaruus, niin L b (X, Y ) on Banachin avaruus. Todistus. Olkoon (T k ) Cauchyn jono avaruudessa L b (X, Y ). Kun x X on kiinnitetty, (T k x) on Cauchyn jono avaruudessa Y sillä T k x T n x = (T k T n )x T k T n x. Koska Y on täydellinen, jono (T k x) suppenee kohti raja-arvoa y x Y. Määritellään kuvaus T : X Y asettamalla T x = y x. Kuvaukselle T pätee T (λx 1 + µx 2 ) = lim T k (λx 1 + µx 2 ) = lim (λt k x 1 + µt k x 2 ) = λ lim T k x 1 + µ lim (T k x 2 ) k k k k = λt x 1 + µt x 2 kaikilla x 1, x 2 X, joten se on lineaarinen. Se on myös rajoitettu: Koska (T k ) on Cauchyn jono, on M > 0, jolle T k M kaikilla k. Siispä normin jatkuvuuden nojalla T x = lim k T k x = lim k T k x M x. Osoitetaan vielä, että T k T. Olkoon ɛ > 0. Tällöin on n 0 siten, että T k T n < ɛ, k kun k, n n 0. Koska T k x T n x T x T n x, saadaan siis kaikille x X epäyhtälö k (T T n )x = T x T n x ɛ x, kun T n 0. Siispä (T T n ) ɛ, kun n n 0. Seuraus 4.8. Normiavaruuksien duaalit ovat Banachin avaruuksia. Propositio 4.9. Olkoon X normiavaruuden V tiheä aliavaruus ja olkoon W Banachin avaruus. Jos T L b (X, W ), niin on yksikäsitteinen T L b (V, W ), jolle T X = T. Todistus. Neljänsissä harjoituksissa. Seuraavan tuloksen avulla saamme käsiteltyä klassiset esimerkit l p -avaruuksien duaalisuusominaisuuksista. Lemma 4.10 (Hölderin epäyhtälö). Jos ω l 1 ja ω l, niin ωω l 1 ja Olkoon p > 1 ja olkoon p = ωω 1 ω 1 ω. p p 1. Jos ω lp ja ω l p, niin ωω l 1 ja ωω 1 ω p ω p 12 28/04/2017

Todistus. Tarkastellaan tapaus 1 < p <. Tapaus p = 1 tai p = on helpompi ja jätetään harjoituksiin. Käytämme painotettua aritmeettis-geometrista epäyhtälöä: Kaikille r, s 0 ja kaikille 0 < r < 1 pätee (3) s r t 1 r rs + (1 r)t. Tämä yhtälö seuraa logaritmin konkaavisuudesta: Koska logaritmifunktion x log x toinen derivaatta on 1 < 0, pätee kaikille 0 < r < 1 epäyhtälö x r log s + (1 r) log t log(rs + (1 r)t), mistä väite seuraa. Olkoot ω l p ja τ l p. Epäyhtälön (3) nojalla valitsemalla r = 1 p, s = ω(k) p ω p p t = τ(k) p τ p p saamme mistä väite seuraa. k=0 ω(k) τ(k) ω p τ p k=0 1 ω(k) p p ω p p + 1 p τ(k) p τ p p = 1, Eksponenttia p = p sanotaan eksponentin p duaalieksponentiksi. Huomaa: p 1 2 = 2. Sovimme myös 1 = ja = 1 vaikka näiden eksponenttien kanssa pitääkin olla tarkempi. Esimerkki 4.11. Olkoon p [1, ] ja olkoon τ l p. Kuvaus L τ : l p R, L τ (ω) = ω(i)τ(i), on hyvin määritelty Hölderin epäyhtälön nojalla. Se on lineaarinen koska L τ (λω + λ ω ) = (λω(i) + λω(i))τ(i) = λl τ (ω) + λ L(ω ), i=0 i=0 ja jatkuva funktionaali Hölderin epäyhtälön nojalla. Määritellään kuvaus T : l p (l p ) asettamalla Lemma 4.12. T on lineaarikuvaus. Todistus. Harjoitus. T (τ) = L τ. Lause 4.13. Olkoon p 1. Tällöin kuvaus T : l p (l p ) on isometrinen isomorfismi. Kuvaus T : l 1 (c 0 ) on isometrinen isomorfismi. Todistus. Jos T (τ) = 0, niin 0 = L τ (e i ) = τ(i) kaikilla i, joten T on injektio. Oletetaan, että p > 1 ja osoitetaan surjektiivisuus: Olkoon F (l p ). Määritellään ehdokas jonoksi τ F (N, K), jolle pätisi T (τ) = F asettamalla kuten edellä τ(i) = F (e i ) kaikilla i. Osoitetaan ensin, että τ l p. Olkoon τ F (N, K), τ(i) p, kun τ(i) 0 τ(i) = τ(i) 0 muuten. Jokaiselle N N pätee N τ(i) p = i=0 N τ(i) p 13 28/04/2017 i=0 ja

ja josta saadaan N τ(i) p = i=0 N τ(i) τ(i) = i=0 N ( N ) τ(i)f (e i ) = F τ(i)e i i=0 i=0 ( N ) 1/p ( N ) 1/p F τ(i) p = F τ(i) p, i=0 ( N i=0 τ(i) p ) 1 p F kaikille N, joten τ l p ja τ p F. Normien arvio toiseen suuntaan seuraa Hölderin epäyhtälöstä: L τ (ω) ω p τ p, joten F τ p, kunhan osoitetaan, että T (τ) = F : Selvästi T (τ)(e i ) = L τ e i = F (e i ), joten lineaarisuuden nojalla T (τ) d p = F d p. Koska molemmat lineaarikuvaukset ovat rajoitettuja/jatkuvia ja d p on tiheä avaruudessa l p, väite seuraa. Se, että l on isometrisesti isomorfinen avaruuden (l 1 ) kanssa todistetaan harjoituksissa samaan tapaan. Viimeisen väitteen kohdalla on hyvä huomata, että d on tiheä avaruudessa c 0 mutta ei avaruudessa l, vertaa Esimerkki 2.13. Yksityiskohdat harjoituksissa. Myöhemmin näemme Hahnin ja Banachin lauseen avulla, että (l ) on aidosti suurempi avaruus kuin T (l 1 ). Seuraus 4.14. l p on Banachin avaruus jokaisella p [1, ]. Lausetta 4.13 vastaava tulos on on tunnettu perusominaisuus äärellisulotteisessa tapauksessa. Esimerkki 4.15. Euklidisessa avaruudessa kaikki lineaarikuvaukset, erityisesti siis funktionaalit, ovat rajoitettuja. Olkoon u R n {0}. Tällöin kuvaus L u : R n R, n L u (x) = x i u i on rajoitettu funktionaali, jolle L u u = 0. Jokainen euklidisen avaruuden funktionaali voidaan esittää muodossa L u jollekin u R n : L u x = Ax jollekin n 1-matriisille A. i=1 i=0 14 28/04/2017

5. Hahnin ja Banachin lause Luvussa 4 tarkastelimme l p -avaruuksien duaaleja. Tässä luvussa tarkastelemme rajoitettujen funktionaalien olemassaolo- ja jatkamiskysymyksiä, ja osoitamme muun muassa, että jokaisessa normiavaruudessa on nollasta poikkeavia rajoitettuja funktionaaleja. Ääretönulotteisessa tapauksessa tämäkään ei ole aivan itsestään selvä asia. Valmistelemme asiaa hieman palaamalla vektoriavaruuksien kantojen käsittelemiseen: 5.1. Zornin lemma ja Hamelin kanta. Seuraava tulos todistetaan äärellisulotteisille avaruuksille lineaarialgebrassa. Yleinen tulos vaatii hieman syvällisemmän pohdiskelun. Lause 5.1. Jokainen lineaarisesti riippumaton vektoriavaruuden V {0} osajoukko sisältyy johonkin kantaan. Seuraus 5.2. Jokaisella vektoriavaruudella V {0} on kanta. Määritelmä 5.3. Olkoon A. Relaatio on osittainen järjestys, jos (1) a a kaikilla a A, (2) jos a b ja b a, niin a = b (3) jos a b ja b c, niin a c Alkio M A on osajoukon B A yläraja, jos b M kaikilla b B. Alkio M A on maksimaalinen, jos ehdosta M b seuraa b = M kaikille b A. Osittain järjestetyn joukon (A, ) osajoukko C on ketju, jos kaikille c 1, c 2 C pätee c 1 c 2 tai c 2 c 1. Propositio 5.4. X on Hamelin kanta, jos ja vain jos se on inkluusion suhteen maksimaalinen lineaarisesti riippumaton joukko. Aksiooma 5.5 (Zornin lemma). Olkoon (A, ) osittain järjestetty joukko. Jos jokaisella ketjulla on yläraja, niin osittain järjestetyssä joukossa (A, ) on maksimaalinen alkio. Lauseen 5.1 todistus. Olkoon A vektoriavaruuden V sellaisten lineaarisesti riippumattomien joukkojen kokoelma, jotka sisältävät joukon E. Inkluusio on osittainen järjestys joukossa A. Olkoon C joukon A ketju. Harjoituksissa osoitetaan, että joukko M = B C B V. on lineaarisesti riippumaton, joten M A. Se on määritelmänsä nojalla ketjun C yläraja. Zornin lemman nojalla osittain järjestetyssä joukossa (A, ). 5.2. Sublineaariset funktiot ja funktionaalit. Olkoon V K-vektoriavaruus. Funktio p: V R on sublineaarinen, jos (1) p(x + y p(x) + p(y) kaikille x, y V ja (2) p(λx) = λp(x) kaikille λ > 0 ja x V. Esimerkiksi reaaliset funktionaalit, seminormit ja funktio lim sup: l R, ovat sublineaarisia. lim sup(ω) = lim sup ω(k) k Lause 5.6. Olkoon V R-vektoriavaruus ja olkoon p: V R sublineaarinen. Olkoon H vektorialiavaruus ja olkoon f : H R funktionaali, jolle pätee f(h) p(h) kaikille h H. Tällöin on funktionaali F : V R, jolle pätee (1) F (v) p(v) kaikille v V ja (2) F H = f. lukuunottamatta tietenkin triviaalia avaruutta {0}... 15 28/04/2017

Todistus. Olkoon v 0 V H. Osoitetaan, että funktionaalilla f on lineaarinen jatko avaruuteen H, v 0. Kuvaus F c : H, v 0 R, joka määritellään jokaisella c R asettamalla F λ(v + λv 0 ) = f(v) + cλ on selvästi lineaarinen ja F c H = f. Valitaan c siten, että ehto (1) saadaan voimaan. Ehto pätee kaikilla c, jos λ = 0. Oletetaan, että λ > 0. Tällöin f(h) + cλ p(h + λx 0 ) kaikilla h H, jos ja vain jos c p( h + x λ 0) f( h ) kaikilla h H, mikä on yhtäpitävää ehdon λ c inf u V (p(u + x 0) f(u)) kanssa. Vastaavasti, jos λ < 0, niin f(h) + cλ p(h + λx 0 ) kaikilla h H, jos ja vain jos Vakio c voidaan valita halutulla tavalla, jos c sup(f(w) p(w x 0 )). w H f(w) p(w x 0 ) p(u x 0 ) f(u) pätee kaikilla w, u H. Mutta lineaarisuuden ja sublineaarisuuden nojalla pätee f(u) + f(w) = f(u + w) p(u + w) p(u x 0 ) + p(w x 0 ), mistä haluttu epäyhtälö seuraa. Valitaan siis jokin c [sup(f(w) p(w x 0 )), inf (p(u + x 0) f(u))]. w V u V Olkoon A = {(Y, F )} sellaisten parien (Y, F ) kokoelma, jossa Y on aliavaruus, joka sisältää aliavaruuden H ja F : Y R on funktionaalin f jatko, jolle pätee F (y) p(y) kaikille y Y. Määritellään relaatio joukossa A asettamalla (Y 1, F 1 ) (Y 2, F 2 ), jos ja vain jos Y 1 Y 2 ja F 2 Y1 = F 1. Relaatio on osittainen järjestys. Olkoon C ketju osittain järjestetyssä joukossa (A, ). Olkoon W C = {Y : (Y, F ) C jollain F } ja määritellään F C : W C R asettamalla F C (x) = F (x), kun x Y jollain (Y, F ) C. Kuvaus F C on hyvin määritelty, koska C on ketju. Se on lineaarinen: Kun x 1, x 2 W C, on Y siten, että (Y, F ) C, x 1, x 2 Y ja F C (x i ) = F (x i ), kun i {1, 2}. Samalla tavalla tarkastetaan, että (1) pätee aliavaruudessa W C. Siis (W C, F C ) A on ketjun C yläraja. Zornin lemman nojalla joukolla A on maksimaalinen alkio ( V, F ). Jos V olisi vektoriavaruuden V aito aliavaruus, niin todistuksen ensimmäisen vaiheen nojalla lineaarikuvauksella F olisi ehdon (1) toteuttava jatko F aliavaruuteen Ṽ = V, x 0 jokaisella x V V. Tällöin siis (Ṽ, F ) A, ( V, F ) (Ṽ, F ) ja V Ṽ, joten maksimaalinen alkio ei olisikaan maksimaalinen. Siis V = V. 5.3. Kompleksiset funktionaalit. Kompleksisille funktionaaleille Lause 5.6 pitää muotoilla hieman eri tavalla koska kompleksluvuilla ei ole käyttökelpoista järjestysrelaatiota. Huomataan ensin, että kompleksisilla ja reaalisilla funktionaaleilla kompleksisessa vektoriavaruudessa on kuitenkin melko läheinen yhteys: Kompleksinen vektoriavaruus on myös reaalinen vektoriavaruus koska se toteuttaa kaikki vaatimukset tietenkin reaaliluvuillekin. Lemma 5.7. Olkoon V kompleksinen vektoriavaruus. (1) Olkoon f : V R reaalinen funktionaali. Tällöin f C : V C, on kompleksinen funktionaali. f C (z) = f(z) if(iz), 16 28/04/2017

(2) Olkoon F (kompleksinen) funktionaali. Tällöin Re F on reaalinen funktionaali ja (Re F ) C = F. Todistus. Harjoitus Lause 5.8. Olkoon V C-vektoriavaruus ja olkoon p: V R seminormi. Olkoon H vektorialiavaruus ja olkoon f : H C funktionaali, jolle pätee f(h) p(h) kaikille h H. Tällöin on funktionaali F : V C, jolle pätee (1) F (v) p(v) kaikille v V ja (2) F H = f. Todistus. Nyt Re f(h) f(h) p(h) kaikilla h H, joten Lauseen 5.6 nojalla on R- lineaarinen funktionaali F R : V R, jolle F R H = f ja F R (v) f(v) p(v) kaikille v V. Lemman 5.7 nojalla F (v) = F R if (iv) on kompleksinen funktionaali, joka on funktionaalin f jatko. Lisäksi, kun F (v) 0, pätee F (v) = F (v) F (v) ( ) ( ) F (v) F (v) F (v) = F F (v) v = Re F F (v) v ( ) F (v) p F (v) v = F (v) F (v) p(v) = p(v). 5.4. Hahnin ja Banachin lause. Lause 5.9 (Hahnin ja Banachin lause). Olkoon V normiavaruus ja olkoon H sen vektorialiavaruus. Jokaiselle h H on v V, jolle v H = h ja v = h. Todistus. Funktio p(x) = h x on sublineaarinen koska normi on sublineaarinen. Lisäksi operaattorinormin määritelmän nojalla pätee h (h) h h kaikilla h H. Reaalisessa taopauksessa Lauseen 5.6 t nojalla on funktionaali x, jolle pätee x H = h ja x (x) h x ja x (x) = x ( x) h x = h x. Siis x h. Kompleksisessa tapauksessa tämä epäyhtälö saadaan suoraan Lauseesta 5.8. Toinen epäyhtälö on ominaisuuden x H = h triviaali seuraus. Seuraus 5.10. Olkoon V normiavaruus. Jokaisella v V on v V, jolle v = 1 ja v (v) = v. Todistus. Olkoon f v funktionaali f(λv) = λ v. Tällöin f(v) = v ja λ v f = sup λ 0 λv = 1. Hahnin ja Banachin lauseen nojalla funktionaalilla f on jatko v V, jolla on haluttu ominaisuus v = f = 1. Seuraus 5.11. Olkoon V {0} normiavaruus. Tällöin V {0}. Seuraus 5.12. Olkoon V {0} normiavaruus. Tällöin jokaiselle v V pätee v = sup v (v) = sup v (v). v 1 v =1 17 28/04/2017

Todistus. v (v) v v v, joten v sup v (v). v 1 Toisaalta Seurauksen 5.10 nojalla jokaisella v V on v V, jolle v = 1 ja v (v) = v. Siis v sup v 1 v (v). 18 28/04/2017

6. Refleksiiviset avaruudet Normiavaruuden V biduaali on V = (V ). Seurauksen 4.8 nojalla V on Banachin avaruus. Biduaalin alkioita on helppo löytää, nimittäin jokaisella x V määritelty kuvaus x x (x) on kuvausten yhteenlaskun ja vakiolla kertomisen määritelmien nojalla lineaarinen. Lisäksi pätee x (x) x x, joten se on rajoitettu. Olkoon siis ι = ι V : V V kanoninen upotus, joka määritellään asettamalla kaikille v V ja kaikille F V. (ιv)f = F v Propositio 6.1. Kuvaus ι on lineaarinen isometrinen upotus. Todistus. On helppo tarkastaa, että ι on lineaarikuvaus: ι(λx + µy)x = x (λx + µy) = λx (x) + µx (y) = λ(ιx)x + µ(ιy)x. Edellä tarkastimme, että pätee (ιv)f = F v F v = v F kaikille v V ja kaikille F V, joten ιv on rajoitettu ja ιv v. Seurauksen 5.10 nojalla jokaisella v on v, jolle v = 1 ja (ιv)v = v (v) = v, joten ιv = sup (ιv)v v. v =1 Lause 6.2. Jokainen normiavaruus on isometrisesti isomorfinen jonkin Banachin avaruuden tiheän aliavaruuden kanssa. Todistus. Olkoon V normiavaruus. Proposition 6.1 nojalla V on isometrisesti isomorfinen avaruden ι(v ) V kanssa. Biduaaliavaruus V on Banachin avaruus ja niin on siis aliavaruuden ι(v ) sulkeumakin. Banachin avaruus, johon normiavaruus H uppoaa isometrisesti tiheäksi aliavaruudeksi, on avaruuden H täydentymä. Harjoituksissa osoitetaan, että täydentymä on isometriaa vaille yksikäsitteinen. Banachin avaruus V on refleksiivinen, jos sen kanoninen upotus ι: V V on surjektio. Tällöin siis kanoninen upotus on isometria. Huomautuksia: (1) Refleksiivinen avaruus on Banachin avaruus, koska biduaali on Banachin avaruus Seurauksen 4.8 nojalla. (2) Jos X ja Y ovat isometrisiä avaruuksia ja Y on refleksiivinen, niin X on refleksiivinen. Olkoon j : X Y isometria. Tällöin saadaan isometriat j : Y X ja j : X Y, jotka määritellään asettamalla j (y )x = y (jx) kaikilla x X ja j (x )(y ) = x (j y ) kaikilla y Y. Oletetaan, että X on refleksiivinen. Olkoon y 0 Y ja olkoon y 0 = jι 1 X (j ) 1 y 0. Osoitamme, että ι Y y 0 = y 0. Tällöin ι Y y 0 (y ) = y y 0 = y jι 1 X (j ) 1 y 0 = j y (ι 1 X (j ) 1 y 0) = (j ) 1 y 0(j y ) = y 0(y ), mistä väite seuraa. Siis Y on refleksiivinen. Harjoitus 7 tehtävä 2 19 28/04/2017

Esimerkki 6.3. (1) Vastaavasti äärellisulotteiset Banachin avaruudet ovat refleksiivisiä Esimerkin 4.15 nojalla. (2) Lauseen 4.13 nojalla samastamme vastaisuudessa avaruudet (l p ) ja l p, kun p 1. Ajattelemme siis, että ω l p vastaa rajoitettua funktionaalia ω (l p ), ω (ω) = ω (k) ω(k). k=0 Tällä samastuksella kanoninen upotus ι on identtinen kuvaus, joten nämä avaruudet ovat refleksiivisiä. (3) Samalla tavalla kuin kohdassa (2) saamme isometriset upotukset ι: c 0 l = (c 0 ) ja ι: l 1 (l ) = (l 1 ). Nämä upotukset eivät ole surjektioita koska c 0 on ilmiselvästi aito aliavaruus ja koska Hahnin ja Banachin lauseen nojalla nähdään, että (l ) on suurempi kuin l 1. Propositio 6.4. Olkoon X normiavaruus, olkoon Y X suljettu aito aliavaruus ja olkoon x X Y. Tällöin on x X, jolle x (x) = d(x, Y ), x = 1 ja x Y = 0. Todistus. Olkoon f : Y, x K, f(y + λx) = λd(x, Y ). Tällöin f on funktionaali, f(x) = δ ja f Y = 0. Lisäksi pätee, kun λ 0, f(y + λx) = λ d(x, Y ) λ x + y = y + λx, λ joten f 1 ja f on siis rajoitettu. Etäisyyden määritelmän nojalla on jono y n Y, joille x y n d(x, Y ). Siis f(x y n ) x y n δ δ = 1, joten f 1, joten f = 1. Väite seuraa jatkamalla funktionaali f koko avaruuteen Hahnin ja Banachin lauseen avulla. Propositio 6.5. Refleksiivisen avaruuden suljetut aliavaruudet ovat refleksiivisiä. Todistus. Olkoon X refleksiivinen ja olkoon U sen suljettu aliavaruus. Olkoon u U. Määritellään lineaarikuvaus ũ : X K asettamalla ũ (x ) = u (x U ). Tällöin ũ (x ) = u (x U ) u x U u x, joten ũ X. Koska X on refleksiivinen, on u X, jolle ι(u) = ũ, siis x (u) = ũ (x ) kaikille x X. Jos u X U, niin Proposition 6.4 nojalla olisi y X, jolle y (u) = 1 ja y U = 0. Mutta tällöin 0 = u (y U ) = ũ (y ) = y (u) = 1, joten u U. Vielä on näytettävä, että u = ιu. Olkoon u U ja olkoon x jokin sen normin säilyttävä jatko. Tällöin joten u = ιu. u (u ) = u (x U ) = ũ (x ) = x (u) = u (u), Lause 6.6. Banachin avaruus on refleksiivinen jos ja vain jos sen duaali on refleksiivinen. Harjoitus 20 28/04/2017

Todistus. Olkoon X refleksiivisen avaruus. Olkoon x X. Määritellään kuvaus x : X K asettamalla x (x) = x (ι X x). Tällöin x on lineaarinen ja x (x) x x, joten x X. Olkoon x X. Koska X on refleksiivinen, on x X, jolle ι X x = x. Siispä x (x ) = x (ιx) = x (x) = ι X x(x ) = x (x ) = ι X x (x ), joten x = ι X x ja X on refleksiivinen. Jos X on refleksiivinen, niin edellä osoitetun nojalla X on refleksiivinen. Aliavaruus ι X (X) suljettu, joten se on refleksiivinen. Banachin avaruus X on isometrisesti isomorfinen avaruuden ι X X kanssa, joten myös X on refleksiivinen. Esimerkki 6.7. l ei ole refleksiivinen ei ole refleksiivinen koska se on avaruuden l 1 duaali ja l 1 ei ole refleksiivinen. 21 28/04/2017

7. Separoituvuus Metrinen avaruus X on separoituva, jos sillä on numeroituva tiheä osajoukko. Propositio 7.1. Normiavaruus on separoituva, jos ja vain jos on numeroituva osajoukko, joka virittää tiheän aliavaruuden. Todistus. Jos Q on tiheä osajoukko, niin Q on tiheä aliavaruus. Haastavampi osa harjoitustehtävä. Esimerkki 7.2. (1) Olkoon p 1. Esimerkissä 2.13 osoitettiin, että d p on tiheä avaruudessa l p. Koska d p = e i : i N, niin l p on separoituva, kun p 1. (2) l ei ole separoituva: Tarkastellaan ylinumeroituvaa joukkoa {χ A : A N} = {χ A : A 2 N }. Jos A B, niin χ A χ B = 1. Siis pallot B(χ A, 1 ) ovat erillisiä. Ei ole numeroituvaa 2 joukkoa, jonka pisteitä sisältyy jokaiseen näistä erillisistä palloista. Propositio 7.3. Normiavaruus on separoituva, jos sen duaali on separoituva. Todistus. Oletetaan, että normiavaruuden X duaali X on separoituva. Tällöin sen yksikköpallon kuori S = {x X : x = 1} on separoituva. Olkoon {x n : n N} joukon S tiheä osajoukko. Operaattorinormin määritelmän nojalla on x n, jolle x n = 1 ja x n(x n ) 1. 2 Osoitetaan, että x n : n N on tiheä avaruudessa X. Oletetaan, että Y = x n : n N on aito aliavaruus. Proposition 6.4 nojalla on x X, jolle x = 1 ja x Y = 0. Siis 1 2 x n(x n ) = x n(x n ) x (x n ) = (x n x )(x n ) x n x kaikille x n. Siis {x n : n N} ei olekaan joukon S tiheä osajoukko, ristiriita. Refleksiivisille avaruuksille edellisen tuloksen voi myös kääntää. Lause 7.4. Refleksiivinen avaruus on separoituva jos ja vain jos sen duaali on separoituva. Todistus. Väitteen toinen suunta saadaan suoraan Propositiosta 7.3. Oletetaan sitten, että X on refleksiivinen ja separoituva. Tällöin X on isometrinen avaruuden X kanssa, siis se on separoituva. Lauseen 7.3 nojalla X on separoituva. Esimerkki 7.5. Weierstrassin approksimointilauseen nojalla polynomien avaruus on tiheä avaruudessa C 0 [a, b]. Polynomien avaruudella on numeroituva Hamelin kanta, joten C 0 [a, b] on separoituva. 22 28/04/2017

8. Banachin avaruuksien operaattoriteorian keskeisiä lauseita Metrinen avaruus on ensimmäistä kategoriaa, jos se voidaan esittää numeroituvana yhdisteenä harvoista joukoista. Muuten se on toista kategoriaa. Lause 8.1 (Bairen kategorialause). Täydellinen metrinen avaruus on toista kategoriaa Harjoituksissa osoitetaan tämän lauseen avulla, että ääretönulotteisen Banachin avaruuden Hamelin kanta on ylinumeroituva. 8.1. Banachin ja Steinhausin lause. Lause 8.2 (Banachin ja Steinhausin lause eli tasaisen rajoittuneisuuden periaate). Olkoon X Banachin avaruus ja olkoon Y normiavaruus. Olkoon I indeksijoukko ja olkoot T α B(X, Y ) kaikilla α I. Jos joukko {T α x : α I} on rajoitettu kaikilla x X, niin on M > 0, jolle T α M kaikilla α I. Todistus. Olkoon p(x) = x. Joukot E n = {x X : sup T α x n} = (p T α ) 1 [0, n]. α I α ovat suljettujen joukkojen leikkauksina suljettuja ja X = α I E n. Bairen kategorialauseen nojalla jollain joukolla E N on sisäpiste, siis jollain x E N ja r > 0 pätee B(x, r) E N. Normin ominaisuuksien nojalla x E N, jos ja vain jos x E N. Joukon E n konveksiudesta seuraa, että B(0, r) E N, joten kaikille α I pätee T α x sup x =1 x = sup T α x x =r x N r. Jos jono T n L b (X, Y ) suppenee avaruudessa L b (X, Y ) kohti operaattoria T, sanotaan, että se suppenee tasaisesti tai operaattorinormin suhteen. Jos T n x T x Y kaikille x X, niin sanotaan, että jono T n on vahvasti suppeneva. Jos on T L b (X, Y ), jolle T x = lim T n x kaikilla x X, niin jono T n suppenee vahvasti kohti operaattoria T. Seuraus 8.3. Olkoon X Banachin avaruus ja olkoon Y normiavaruus. Olkoon (T n ) n N vahvasti suppeneva jono avaruudessa L b (X, Y ). Tällöin (T n ) n N suppenee vahvasti kohti operaattoria T L b (X, Y ). Todistus. Jono T n x on rajoitettu jokaisella x X koska se on suppeneva. Siis Banachin ja Steinhausin lauseen nojalla ( T n ) n N on rajoitettu. Määritellään kuvaus T : X Y asettamalla T x = lim T n x n kaikille x X. Kuten Proposition 4.7 todistuksessa nähdään, että T on lineaarinen ja rajoitettu. Esimerkki 8.4. Kuudensissa harjoituksissa osoitettiin, että reaalisten polynomien avaruus R[x] ei ole Banachin avaruus millään normilla koska sillä on numeroituva kanta. Tarkastellaan sitä normilla f = sup f(x) x [0,1] varustettuna. Olkoon T n L b (R[x], R), T n (f) = n ( f(1) f(1 1 n )). 23 28/04/2017

Nythän T n on selvästi lineaarinen ja T n f 2 n f. Lisäksi T n f f (1) kaikilla f R[x], joten jono T n on vahvasti suppeneva. Jonon määräämä rajaoperaattori T : R[x] R, T f = f (1) on lineaarinen mutta ei rajoitettu: Jos p n (x) = x n, niin p n = 1 ja T p n = n kaikilla n N. Tasaisesta suppenemisesta seuraa vahva suppeneminen mutta vahvasta suppenemisesta ei seuraa tasainen suppeneminen: Esimerkki 8.5. Olkoon T k L b (l 1, l 1 ), { 0, kun j < k T k ω(j) = ω(j) kun j k Tällöin T k ω 0 kaikilla ω l 1, joten (T k ) k N suppenee vahvasti kohti nollaoperaattoria. Kuitenkin T k = sup ω 1 =1 T k e k = 1, joten T k 0 = T k 0, kun k. 8.2. Avoimen kuvauksen lause. Määritelmä 8.6. Topologisten avaruuksien välinen kuvaus on avoin, jos jokaisen avoimen joukon kuva on avoin. Lemma 8.7. Olkoon X normiavaruus ja olkoon Y Banachin avaruus. Jos T L b (X, Y ) on surjektio, niin on δ > 0 siten, että Todistus. Koska X = n=1 B(0, δ) T (B(0, 1)). B(0, n) ja T on surjektio, pätee Y = T (B(0, n)). n=1 Bairen kategorialauseen nojalla on N N, z Y ja r > 0, joille B(z, r) T (B(0, N)). Koska T (B(0, N)) on symmetrinen, pätee myös B( z, r) T (B(0, N)). Konveksiuden nojalla y = 1 ((z + y) + ( z + y)) T (B(0, N)) 2 kaikilla y B(0, r), joten B(0, r) T (B(0, N)) ja siis B(0, r ) T (B(0, 1)). N Lause 8.8 (Avoimen kuvauksen lause eli Banachin ja Schauderin lause). Olkoot X ja Y Banachin avaruuksia ja olkoon T L b (X, Y ) surjektiivinen. Tällöin T on avoin kuvaus. Todistus. Olkoon T L b (X, Y ). Riittää osoittaa, että 0 on avoimen yksikköpallon kuvan sisäpiste. Olkoot ɛ k > 0 siten, että ɛ k < 1. Osoitetaan 7. harjoituksissa Harjoitustehtävä. k=1 24 28/04/2017

Lemman 8.7 nojalla jokaisella k N {0} on δ k > 0 siten, että (4) B(0, δ k ) T B(0, ɛ k ). Voimme olettaa, että δ k 0, kun k. Osoitamme, että B(0, δ 1 ) T B(0, 1). Olkoon y B(0, δ 1 ) Y. Tällöin inkluusion (4) nojalla on siis x 1 B(0, ɛ 1 ), jolle y T (x 1 ) < δ 2. Vastaavasti inkluusion (4) nojalla on x 2 B(0, ɛ 2 ), jolle y T (x 1 ) T (x 2 ) < δ 3. Jatkamalla näin saadaan jono x k B(0, ɛ k ), jolle k y x j < δk+1 j=1 kaikilla k. Sarja k=1 x k suppenee itseisesti, koska x k ɛ k < ɛ. k=1 Koska X on Banachin avaruus, sarja k=1 x k suppenee Lauseen 4.5 nojalla kohti jotain pistettä ( ) x = x k B 0, ɛ k B(0, 1), k=1 jolle pätee jatkuvuuden nojalla T x = y. Siis B(0, δ 1 ) T B(0, 1). Seuraus 8.9. Olkoot X ja Y Tällöin T on homeomorfismi. k=1 k=1 Banachin avaruuksia ja olkoon T L b (X, Y ) bijektio. Seuraus 8.10. Olkoon V vektoriavaruus, joka on Banachin avaruus normien 1 ja 2 suhteen. Jos on M > 0 siten, että kaikille v V pätee v 2 M v 1, niin normit 1 ja 2 ovat ekvivalentteja. Todistus. Identtinen kuvaus (V, 1 ) (V, 2 ) on rajoitettu surjektio, joten Avoimen kuvauksen lauseen (Lause 8.8) nojalla sen käänteiskuvaus on rajoitettu. Siis on N > 0, jolle v 1 N v 2. Esimerkki 8.11. Harjoitusten 2 tehtävässä 6 osoitettiin, että normit f 1 = f ja [0,1] f = max x [0,1] f(x) eivät ole ekvivalentteja vektoriavaruudessa C 0 ([0, 1]). Kuitenkin f 1 = f f = f, [0,1] joten identtinen kuvaus id: (C 0 ([0, 1]), ) (C 0 ([0, 1]), 1 ) on jatkuva surjektio. Sen käänteiskuvaus id: (C 0 ([0, 1]), ) (C 0 ([0, 1]), 1 ) ei kuitenkaan ole rajoitettu, joten id ei ole avoin kuvaus eikä siis homeomorfismi. Joskus kuvauksen osoittaminen homeomorfismiksi onnistuu muista syistä ilman avoimen kuvauksen lausetta. Näin on esimerkiksi, jos kuvaus saadaan häiritsemällä identtistä kuvausta maltillisella tavalla: 25 28/04/2017 [0,1]

Propositio 8.12. Olkoon V Banachin avaruus ja olkoon T L b (X, X), jolle T < 1. Tällöin id X T on bijektio ja (id X T ) 1 on rajoitettu (id X T ) 1 1 1 T. Todistus. Harjoitus. 8.3. Suljetun graafin lause. Lineaarikuvauksen T : X Y kuvaaja eli graafi on vektoriavaruuden X Y vektorialiavaruus G (T ) = {(x, T x) : x X}. Lause 8.13 (Suljetun graafin lause). Olkoot X ja Y Banachin avaruuksia. Jos operaattorin T : X Y kuvaaja on suljettu, niin T L b (X, Y ). Todistus. Varustetaan X Y normilla (x, y) 1 = x + y. Normiavaruus X Y on Banachin avaruus (harjoitus). Oletuksen mukaan G (T ) on siis Banachin avaruus. Tarkastellaan rajoitettua lineaarista bijektiota π : G(T ) X, π(x, T x) = x. Avoimen kuvauksen lauseen Seurauksen 8.9 nojalla p 1 on rajoitettu. Siispä joten p 1 x = (x, T x) = x + T x p 1 x, T x ( p 1 1 ) x Esimerkki 8.14. Olkoon A = (a ij ) i,j N, a ij C ääretön matriisi, jolle pätee M = sup a ij < ja A määrää lineaarikuvauksen A: l 1 l 1 asettamalla Aω(i) = a ij ω(j). j=0 Osoitetaan suljetun graafin lauseen avulla, että operaattori A on rajoitettu. Olkoon (ω n ) n=1 jono avaruudessa l 1 siten, että ω n ω l 1 ja Aω n τ l 1. Osoitetaan, että Aω = τ. Olkoon Λ k : l 1 K funktionaali Tällöin Λ k ω = j joten Λ k on rajoitettu. Siis Λ k ω = Aω(k). a kj ω(j) j a kj ω(j) M ω 1, τ(k) = lim n Aω n (k) = lim n Λ k ω n = Λ k ( lim n ω n ) = Λω = Aω(k) kaikilla k, joten (ω, τ) G (A). Suljetun graafin lauseen nojalla A on rajoitettu operaattori. 26 28/04/2017

9. Tekijäavaruudet Olkoon V vektoriavaruus ja olkoon H sen vektorialiavaruus. Alkion v V sivuluokka on v + H = {v + h : h H}. Tekijäavaruus V/H = {v + H : v V } varustettuna yhteenlaskulla (x + H) + (y + H) = (x + y) + H ja vakiolla kertomisella λ(x + H) = λx + H on vektoriavaruus. Tekijäavaruuden avulla voi muodostaa monenlaisia hyödyllisiä normiavaruuksia. Harjoituksissa osoitettiin, että vektoriavaruuden minkä tahansa seminormin p ydin on vektorialiavaruus. ker p = {v V : p(v) = 0} Lemma 9.1. Lauseke v + ker p = p(v) määrittelee normin tekijäavaruudessa V/ ker p. Olkoon C (V ) avaruuden V Cauchyn jonojen vektoriavaruus. Harjoituksissa osoitetaan, että lauseke p((v k ) k N ) = lim k v k määrittelee seminormin avarudessa C (V ). Osoitamme harjoituksissa, että C (V )/ ker p on Banachin avaruus ja saamme toisen todistuksen sille, että jokainen normiavaruus voidaan upottaa isometrisesti jonkin Banachin avaruuden tiheäksi aliavaruudeksi. Lause 9.2. Jokainen normiavaruus uppoaa isometrisesti kuvauksella v (v) k N + ker p Banachin avaruuden C (V )/ ker p tiheäksi aliavaruudeksi. 9.1. L p -avaruudet. Olkoon (Z, µ) = (Z, B, µ) mitta-avaruus: Z, B sigma-algebra ja µ mitta. Olkoon 1 p < ja olkoon L p (Z, µ) niiden funktioiden f : Z R avaruus, joille pätee ( ) f p = f p dµ <. X Integraalin perusominaisuuksien nojalla lauseke f p määrää seminormin, joka ei yleensä ole normi. Vastaavasti määritellään L (Z, µ) niiden mitallisten funktioiden f avaruutena, joille on äärellinen. f = esssup x Z f(x) = inf{c > 0 : µ{y Z : f(y) > c} = 0} Lemma 9.3 (Hölderin epäyhtälö). Olkoon (Z, µ) mitta-avaruus Jos f L 1 (Z, µ) ja g L (Z, µ), niin fg L 1 (Z, µ) ja Olkoon p > 1 ja olkoon p = fg 1 f 1 g. p p 1. Jos f L p ja g L p, niin fg L 1 (Z, µ) ja fg 1 f p g p Todistus. Samaan tapaan kuin Lemma 4.10. Katso [Kil1, Lause 10.3] 27 28/04/2017

Lemma 9.4 (Minkowskin epäyhtälö). Lauseke f p on seminormi avaruudessa L p kaikilla p 1 ja p =. Todistus. Mitta- ja integraaliteorian luennoissa esitetään Minkowskin epäyhtälön todistus Hölderin epäyhtälön avulla, katso [Kil1, Lause 10.6] Tekijäavaruus L p (Z, µ) = L p (Z, µ)/ ker p varustettuna tekijänormilla p on Lebesguen avaruus, jota kutsutaan L p -avaruudeksi. Lause 9.5. Lebesguen avaruus on Banachin avaruus kaikilla p. Todistus. [Kil1, Lause 10.7] Esimerkki 9.6. l p = L p (N, #) = L p (N, #), kun # on lukumäärämitta. Lause 9.7. Olkoon 1 p tai p =. Tällöin kuvaus T : L p (Z, µ) (L p (Z, µ)), (T g)f = fg dµ, on isometrinen upotus. Todistus. Kuvaus T on selvästi lineaarinen. Hölderin epäyhtälö antaa T (g)f fg dµ g p f p, joten Toisaalta, kaikille g L p (Z, µ) pätee f g = g ( g g g p Z T (g)f T (g) = sup g p. f 0 f p f g p = 1 ja T (g)(f g ) = g p, joten T (g) = 1. Z ) p p L p (Z, µ), Mitta-avaruus (Z, µ) on σ-äärellinen, jos avaruus Z voidaan esittää numeroituvana yhdisteenä äärellismittaisista mitallisista joukoista. Lause 9.8. Olkoon Ω R n mitallinen a olkoon λ Lebesguen mitta. Olkoon 1 p. Kuvaus T : L p () (L p (Z, µ)), (T g)f = fg dµ, on isometria. Todistus. Tarvitaan hieman enemmän mitta- ja integraaliteoriaa kuin kurssilla. Katso esimerkiksi [Wer, Satz II.2.4]. Tarkastelemme tapausta p = 2 Hilbertin avaruuksien yhteydessä. Seuraus 9.9. Olkoon (Z, µ) σ-äärellinen mitta-avaruus ja olkoon 1 p. Tällöin kuvaus T : L p (Ω, λ) (L p (Ω, λ)), (T g)f = fg dµ, on isometria. Avaruuden L duaali on jälleen monimutkaisempi. Tätä aihetta saatetaan käsitellä kurssilla Reaalianalyysi. 28 28/04/2017 Z Z

10. Hilbertin avaruudet Määritelmä 10.1. Olkoon V K-vektoriavaruus. Kuvaus ( ): V V K on sisätulo, jos (1) (v v) 0 kaikille v V ja (v v) = 0, jos ja vain jos v = 0, (2) kuvaus v (v, v 0 ) on funktionaali kaikille v 0 V, (3) (v w) = (w v) kaikille v, w V. Pari (V, ( )) on sisätuloavaruus. Lemma 10.2. Kuvaus v (v 0, v) on antilineaarinen. Huomaa: Reaalisen sisätuloavaruuden sisätulo on bilineaarinen ja kompleksinen sisätulo on sesquilineaarinen koska se on antilineaarinen jälkimmäisen argumentin suhteen. Esimerkki 10.3. (1) Tavallinen sisätulo avaruudessa R n. (2) Sisätulo avaruudessa C n. (z, w) = n z k w k k=1 (3) Avaruuden L 2 (Z, µ) luonnollinen sisätulo on (f g) = f g dµ. Määrittely onnistuu täsmälleen eksponentilla 2 Hölderin epäyhtälön nojalla koska 2 = 2. Propositio 10.4 (Cauchyn epäyhtälö). Z (x y) (x x) (y y). Todistus. Voidaan olettaa, että x, y 0. Olkoon λ > 0 ja olkoot x, y X. Tällöin Valitsemalla saadaan (x + λy x + λy) = (x x) + λ(x y) + λ(y x) + λ 2 (y y). λ = (x y) (y y) 0 (x x) (x y) 2 (x y) (x y) (y y) (y y) (y x) + (x y) (y y) (y y), mistä väite seuraa siistimällä lauseketta. Propositio 10.5. Sisätulo määrittelee normin lausekkeella x = (x x). Todistus. Harjoitus. Jos ei muuta erikseen mainita, niin sisätuloavaruudessa käytetään tätä normia. Jos sisätulon antama normiavaruus on täydellinen, niin sisätuloavaruus on Hilbertin avaruus. tai konjugaattilineaarinen sesqui=1 1 2, latinaa. 29 28/04/2017