ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 8. marraskuuta 2016
Tasoaallot, osa 1 (Ulaby 7.1, 7.2, 7.4) Kenttäosoittimet Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Tasoaaltoratkaisu Tasoaaltoyhtälöt ja yleinen etenemissuunta Tasoaalto häviöllisessä aineessa Hyvä johde ja hyvä eriste 2 (18)
Aikaharmoniset kentät ja osoittimet Kun oletetaan cos(ωt)-aikariippuvuus, voidaan esittää E = Re {Ẽ } e +jωt missä E = E(x, y, z; t) = hetkellinen kenttä (aina reaalinen) Ẽ = Ẽ(x, y, z) = vektorimuotoinen osoitin (kompleksivektori) Aikaderivaatta vastaa osoitinalueessa jω:lla kertomista (miksi?) t jω 3 (18)
Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt Osoitinmuodossa saadaan Ẽ = jω B H = J + jω D D = ρ v B = 0 D = ε Ẽ B = µ H J = σ Ẽ Kaikki (ko)sinimuotoisesti ajasta riippuvat suureet korvataan vastaavilla osoittimilla ja aikaderivaatat jω:lla. (Ole tarkkana :n kanssa!) 4 (18)
Aaltoyhtälö (Helmholtz) Lähteettömässä ( J = 0, ρ v = 0) ja häviöttömässä (σ = 0) avaruudessa saadaan Ẽ = jωµ H, Ẽ = 0, H = jωε Ẽ, H = 0, mistä edelleen, ottamalla roottori Faradayn laista, ( ) ( ) Ẽ = jωµ H ( ) ( ) Ẽ 2 Ẽ = jωµ jωε Ẽ = ω 2 µεẽ, saadaan sähkökentälle aikaharmoninen aaltoyhtälö (Helmholtzin yhtälö) 2 Ẽ + k 2 Ẽ = 0 k 2 = ω 2 µε 5 (18)
Tasoaaltoratkaisu Oletetaan, että Ẽ = Ẽ(z), jolloin aaltoyhtälöstä saadaan minkä yleinen ratkaisu on d 2 Ẽ dz 2 + k2 Ẽ = 0, Ẽ(z) = Ẽ + e jkz + Ẽ e +jkz. Tällä ratkaisulla ei voi olla z-komponenttia (Gaussin laki). Valitaan prototyyppiratkaisuksi sähkökenttäosoitin Ẽ = x E 0 e jkz 6 (18)
Tasoaaltoratkaisu (jatkoa) Ratkaistaan prototyyppitasoaallon magneettikenttäosoitin Faradayn lain avulla: 1 H = jωµ Ẽ = j x ŷ ẑ ωµ x y z E x 0 0 = j [ ŷ (E 0 e jkz)] = ŷ k ωµ z ωµ E 0 e jkz = ŷ E 0 η e jkz, missä η = ωµ/k on väliaineimpendanssi. Kenttävektorit: E = x E 0 cos (ωt kz), H = ŷ E 0 η cos (ωt kz) Animaatio: Module 7.2 Plane Wave http://em7e.eecs.umich.edu/ch7/mod7_2/planewave.html 7 (18)
Prototyyppitasoaalto Tasoaalto on TEM-aalto, eli sekä E- että H-kenttä (ja niiden osoittimet) ovat kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaan. Ẽ = x E 0 e jkz H = ŷ E 0 η e jkz k = ẑ k k = ω µε k = k k η = ωµ k = λ = 2π k µ ε u p = ω k = 1 µε = etenemissuunta = aaltoluku = aaltovektori = väliaineimpedanssi = aallonpituus = vaihenopeus Tyhjiössä (ilmassa) u p = c 3.00 10 8 m/s ja η = η 0 377Ω. Sähkö ja magnetismi: E max = cb max E 0 = u p B 0 = ηh 0. 8 (18)
Tasoaaltoyhtälöt Oletetaan, että kenttäosoittimien paikkariippuvuus on muotoa e jk R k = aaltovektori R = paikkavektori Tällöin Maxwellin yhtälöissä voidaan korvata Ẽ = jωµ H H = jωε Ẽ jk k Ẽ = ωµ H k H = ωε Ẽ Tasoaalto-osoittimille riittää kaksi yhtälöä, jossa ei esiinny lainkaan derivaattoja. (Entä divergenssiyhtälöt, mihin ne hävisivät?) 9 (18)
Tasoaaltoyhtälöt Tasoaaltoyhtälöistä k Ẽ = ωµ H, k H = ωε Ẽ näkee, että Ẽ, H ja k muodostavat (tässä järjestyksessä) oikeakätisen ortogonaalisen kannan. Lisäksi saadaan ehto ( ) ( ) k k Ẽ = k ωµ H ( ) k k Ẽ Ẽ (k k) = ω 2 µεẽ k k = k 2 = ω 2 µε Tasoaaltoyhtälöt voidaan myös (kuten oppikirjassa) esittää etenemissuunnan k ja väliaineimpendanssin η avulla: H = 1 η k Ẽ Ẽ = η k H 10 (18)
Kompleksinen permittiivisyys Entä jos materiaalissa on johtavuutta (häviöitä)? Hävitetään johtavuusvirta Ampèren laista ( ) σ H = J + jωεẽ = σ Ẽ + jωεẽ = jω jω + ε Ẽ määrittelemällä kompleksinen permittiivisyys ε c = ε jε = ε j σ ( ω = ε 0 ε r j σ ) ωε 0 Tämä toimii yleisesti aikaharmonisessa tapauksessa ja erityisesti tasoaallon tapauksessa. 11 (18)
Tasoaalto häviöllisessä aineessa Häviöllisessä tapauksessa (σ > 0) käytetään kompleksista permittiivisyyttä ε c, jolloin +z-suuntaan etenevä prototyyppitasoaalto on Ẽ = x E 0 e γz = x E 0 e }{{ αz, γ = α + jβ = jω µε }}{{} c, amplitudi vaihe e jβz missä γ = (kompleksinen) etenemiskerroin α = vaimennuskerroin > 0 β = vaihekerroin > 0 ja väliaineimpedanssi on kompleksinen η c = µ/ε c. Tunkeutumissyvyys δ s = 1/α. 12 (18)
Vaihe- ja vaimennuskerroin yleisessä tapauksessa Yleisessä tapauksessa ( ) 2 α + jβ = ω 2 µε c = ω 2 µ ( ε jε ) α 2 β 2 = ω 2 µε 2αβ = ω 2 µε mistä raa asti laskemalla saadaan ( ) β = ω µε ε 2 1 + 2 ε + 1 ( ) α = ω µε ε 2 1 + 2 ε 1 13 (18)
Erikoistapauksia Ideaalieristeessä (ε = 0) aalto etenee vaimentumatta. Hyvässä (tai vähähäviöisessä) eristessä (ε ε ) aalto etenee kuten ideaalieristeessä mutta pienellä vaimennuksella. Hyvässä johteessa (ε ε ) aalto vaimenee nopeasti. Ideaalijohteessa (ε = ) ei ole kenttiä. Oppikirjan (hieman mielivaltaiset) nyrkkisäännöt: Hyvä eriste: ε < ε /100 Hyvä johde: ε > 100 ε 14 (18)
Hyvä eriste (ε /ε 1) Taylor-approksimaation 1 x 1 x/2, x 1, avulla saadaan etenemiskertoimeksi γ = jω µε c = jω µ(ε jε ) = jω µε ) jω µε (1 j ε 2ε = ωε 2 1 j ε ε µ ε + jω µε = α + jβ. α σ 2 ε < ε 100 µ µ ε, β k = ω µε, η c η = ε σ > ωε 100 δ s = 1 α > 100 λ π 32λ Aalto vaimenee siis varsin hitaasti aallonpituuteen nähden.
Hyvä johde (ε ε ) Approksimaation ε c jε avulla saadaan ja γ 2 = ω 2 µε c jω 2 µε = (α + jβ) 2 = α 2 + j2αβ β 2 η c = α β ω 2 µε 2 ωµσ = = 2 α β ω 2 µε 2αβ πf µσ µ j µ µ ωµ ε c ε = (1 + j) = (1 + j) 2ε 2σ. α β πf µσ, η c (1 + j) α σ 16 (18)
Hyvä johde (ε ε ) Hyvässä johteessa: 2π λ = β α = 1 δ s δ s λ 2π Esim: E(z, t) = E 0 e z/δ s cos (ωt z/δ s ) E 0 ωt = 0 δ s e z/δ s ωt = π/2 λ z Kompleksinen väliaineimpedanssi η c = η c 45 45 vaihe-ero sähkö- ja magneettikentän välillä. 17 (18)
Yhteenveto Oletukset Sinimuotoinen aikariippuvuus (e +jωt) Lähteetön ja homogeeninen alue Tasoaaltotyyppinen paikkariippuvuus (e jk R) Maxwellin yhtälöt diff. muodossa t jω Aikaharmoniset Maxwellin yhtälöt jk (Matemaattisemmin olisi voinut ajatella, että Fourier-muunnettiin Maxwellin yhtälöt ajassa ja paikassa.) Tasoaaltoyhtälöt ε ε c = ε j σ ω 18 (18)