10. Optiohinnoittel binomihilassa 1. Sijoitskohteien hintaprosessit Moniperioisten investointitehtävien tarkastel eellyttää sijoitskohteien hintojen kehittymisen mallintamista joko iskreetteinä tai jatkvina prosesseina iskreetit prosessit binomihilat yksinkertaisia soveltvat moniin investointitehtäviin jatkvat prosessit Itô-prosessit erisriset perioikohtaiset hinnanmtokset mahollisia voiaan toisinaan ratkaista analyyttisesti. Aitiivinen malli Aitiivisessa mallissa hintaprosessi noattaa kaavaa S ( k 1 as ( k ( k, k 0, K, N missä (k:t ovat riippmattomia satnnaismttjia ja a on vakio (seimmiten >0. Ahti Salo / Pekka Mil 9.3.007
Ts. S (1 S ( S ( k a (0 (1 S (0 a S (0 ( k (0 (1 a (0 k 1 Jos (i:t ovat normaalijakatneita ja niien ootsarvo on nolla, hintaprosessi on normaalijakatnt ja sen ootsarvo on E as as k L a 1 (1 (0 k [ S ( k ] a S (0 a k (1 Heikkoksia satnnaismttjien (i:t voivat olla negatiivisia negatiiviset S(i:t mahollisia epärealistista! hintojen absolttinen mtos ei riip saavtetsta hintatasosta epärealistista! - -
3. Mltiplikatiivinen malli Mltiplikatiivinen malli on S ( k 1 ( k S ( k, k 0, K, N missä (k:t ovat riippmattomia satnnaismttjia, jotka kvaavat hinnan shteellista mtosta. Mallia voiaan tarkastella aitiivisen mallin valossa, sillä 1 ln S ( k 1 ln S ( k ln ( k Oletetaan, että w(kln (k ovat normaalijakatneita (k:t ovat log-normaalisti jakatneita ja ln S ( k Jos E(w(k ν ja var(w(kσ, niin E var ln S (0 k 1 i 0 Toellisessa osakkeien hinnat noattavat verraten hyvin log-normaalia jakamaa empiirisesti johetissa (ts. erotksiin ln S(k1 ln S(k perstvissa jakamissa hännät ovat sein paksmmat kin normaalijakamassa. [ ln S ( k ] ln S [ ln S ( k ] kσ (0 w( i vk - 3-
4. Binomihila Binomihilan määrittävät: 1. kohteen hinta alssa S. hilaperioin pits (esim. yksi viikko 3. ylös- (>1 ja alaspäin (<1 tapahtvien shteellisten hinnanmtosten srs (ts. S 1 on joko S 0 tai S 0 4. toennäköisyys p, jolla hinta nosee Parametrit S 0,p,, määrittävät binomihilan. Parametrisoiaan hintaprosessi s.e. ν on hinnan shteellisen vosimtoksen logaritmin ootsarvo ja σ vastaava stanarihajonta, so. ν σ E [ ln( S T / S 0 ] [ ln( S / S ] var Tehtävänä on nyt määrittää binomihilan parametrit siten, että ne kvaavat havaitta hintaprosessia ootsarvon ja varianssin shteen. T 0 Kn S(01, niin hinnan S(1 logaritmin ootsarvoksi saaaan [ ln (1] [ ln (0 (0] E S E S w p ln (1 p ln, - 4-
jolloin varianssiksi tlee var [ ln S (1] (1 p(1 p(ln p (ln p (ln Merkitään U ln ja D ln. Tällöin yhtälöiksi saaaan pu p(1 p ( U Koska määritettäviä parametreja on kolme mtta ehtoja vain kaksi, niin voiaan asettaa yksi lisävaatims. Tällaiseksi voiaan valita 1/ U -D, jolloin yhtälöiksi saaaan ( p 4 p (1 Neliöiään yhtälöistä ylempi ja se lisätään alempaan U p D D Sijoitetaan tämä ylempään yhtälöön ja ratkaistaan ensin p ja sitten U p (1 1 U p U ν t ( ν t σ 1 σ σ p ln p ln ln ν t 1 / /( ν t t σ t t 1 (1 (1 p ln p ln U ln σ t ( ν t - 5-
Kn t on pieni, niin tätä voiaan voiaan approksimoia parametrien arvoilla asettamalla p 1 1 ν σ t exp( σ t exp( σ t Parametrit σ, ν voiaan estimoia historiallisista aikasarjoista kaavoilla N 1 N 1 1 1 S ( k 1 vˆ ln ( k ln N N S ( k k 0 k 0 N 1 1 1 S ( N k 0 [ S k S k ] ln ( 1 ln ( ln N N S (0 σ ˆ var( w( k var(ln( ( k N 1 1 S ( k 1 ln vˆ 1 k 0 S ( k N - 6-
5. Optioien perskäsitteitä Optio(sopims oikettaa joko hyöykkeen myymiseen tai ostamiseen sopimsehtojen mkaisesti, mtta ei velvoita käyttämään tätä oiketta. A. Esim. osto-optio, joka oikettaa ostamaan 1000 kpl Nokian osakkeita hintaan 16 hhtikssa 007. B. Esim. myyntioptio, joka oikettaa myymään 1 tn öljyä hintaan $ 5/barreli marraskssa 006. Termejä kohe-ets (nerlying asset on option kohteena oleva hyöyke myyntioptio (pt oikettaa kohe-eten myymiseen osto-optio (call oikettaa kohe-eten ostamiseen päättymispäivänä (expiration ate optio joko totetetaan tai se rakeaa option oikettama myynti tai osto tehään totets-hintaan (exercise price preemio (premim on optiosta maksettava hinta hom! preemio on osakekohtainen - 7-
Totetshetkellä option arvo riipp kohe-eten arvosta ja totetshinnasta esim. jos Nokian osakkeen arvo on 0 hhtikssa 007, niin A-kohan optiosopimksen (ks. eellä arvo on 1000 (0-16 4 000. Amerikkalainen optio voiaan totettaa koska tahansa ennen päättymispäiväänsä; erooppalainen optio voiaan sen sijaan totettaa ainoastaan päättymispäivänään. lokittel ei viittaa maantieteelliseen sijaintiin, vaan sopimstyyppiin! Preemion määrittyminen: A. Jos optiosopims tehään yksityisesti kahen osapolen välillä, niin preemio sovitaan osapolten välisissä nevottelissa. B. Pörssissä noteerattavien optioien preemio (hinta määrittyy markkinoilla. kohe-etserän sret, päättymispäivät ja totetshinnat stanaroit Optioon sisältyy erilainen riski ostajan ja myyjän kannalta: A. Option ostajalla on oikes mtta ei velvolliss option totettamiseen hänen tappionsa on enintään maksetn preemion srinen. - 8-
B. Option myyjä on velvollinen option totettamiseen ostajan niin haltessa, vaikka kohe-eten hinta kehittyisi myyjän kannalta epäsotisasti tappiot voivat olla homattavia myyjien on perstettava marginaali, joka on sein noin 50 % kohe-eten arvosta Optioita ei seinkaan osteta niien totettamiseksi, vaan niillä käyään kappaa mn massa riskeiltä sojatmiseksi. 6. Option arvo Option arvo moost 1. persarvosta määräytyy kohe-eten hinnasta ja totetshinnasta. aika-arvosta määräytyy jäljellä olevasta voimassaoloajasta, koheeten hinnan volatiliteetista, korkotasosta (ja mahollisista kohe-eten osingoista Tarkastellaan osto-optiota, jonka totetshinta on K. Jos kohe-eten hinta S on päättymispäivänä T srempi kin K, niin osto-option arvo on S-K Jos hinta S on alhaisempi kin K, niin optio on arvoton. päättymispäivänä osto-option arvo on max( 0, S K - 9-
Tarkastellaan myyntioptiota, jonka totetshinta on K. Jos kohe-eten hinta S on päättymispäivänä srempi kin K, myyntioptio on arvoton Jos hinta S on alhaisempi kin K, option arvo on K-S päättymispäivänä myyntioption arvo on P max( 0, K S Jäljellä oleva voimassaoloaika: Jos kohe-eten hinta S t on hetkellä t<t osto-option totetshintaa K alhaisempi, niin kohe-eten hinta voi nosta jäljellä olevan ajan klessa s.e. S T > K. Jos kohe-eten hinta S t on hetkellä t<t myyntioption totetshintaa K korkeampi, niin kohe-eten hinta voi laskea jäljellä olevan ajan klessa s.e. S T < K. Optioilla on siis vielä arvoa. Kohe-eten volatiliteetti kasvaa option arvo kasvaa, koska maholliss päätyä totetshinnan yli/ali kasvaa korot nosevat osto-option arvo nosee o osto-optioien avlla srempaa makserää voiaan siirtää tlevaisteen (kohe-eten välittömään hankintaan verrattna > pääoma voiaan sijoittaa täksi ajaksi paremmalla korolla o Toisaalta totetshinnan nykyarvo alenee - 10-
Tekijä Vaikts tekijän kasvaessa Osto-optio Myyntioptio Kohe-eten hinta - Totetshinta - Voimassaoloaika Kohe-eten hinnan volatilit. Korkotaso - Kohe-eten osingot - 7. Optioien yhistely Usein optioita yhistellään halttjen sojatmis- tai speklointistrategioien rakentamiseksi. Esim. Btterfly sprea (ks. kva 1.4: 1. Ostetaan osto-optio, jonka totetshinta on K1. Ostetaan osto-optio, jonka totetshinta on K3 > K1 3. Myyään kaksi osto-optiota, joien totetshinta on K s.e. K1 < K < K3; yleensä K valitaan kohe-eten hinnan tntmasta. Näin saaaan rakennetta positio, josta saaaan voittoa, mikäli kohe-eten hinta ei mt paljoa ja johon liittyvä riski ei ole sri, vaikka kohe-eten hinta mttisi paljonkin. - 11-
Erooppalaisille optioille pätee ns. pt-call parity: Jos ostoja myyntioptiot liittyvät samaan kohe-etteen siten, että niillä on sama totetshinta ja päättymispäivä, niin ko. optioien arvot totettavat yhtälön P K missä on arvomäärityshetken t ja päättymispäivän T välinen iskonttokorko (t,t. S To. Moostetaan seraava strategia: 1. Ostetaan yksi osto-optio. Myyään yksi myyntioptio. 3. Talletetaan smma K riskittömällä korolla (so.talletksesta saaaan päättymispäivänä kassavirta K A. Jos päättymispäivänä S>K, niin osto-optio antaa voiton S-K, myyntioptiosta ei tle tappiota ja talletksesta saaaan kassavirta K strategian kassavirta on S. B. Jos päättymispäivänä S<K, niin osto-optiosta ei tle voittoa, myyntioptiosta tlee tappio K-S ja talletksesta saaaan kassavirta K kassavirta on K-(K-S S. Strategia antaa saman kassavirran kin kohe-ets strategialla ja kohe-etella on sama arvo hetkellä T positioilla on oltava sama arvo hetkellä t -PKS. m.o.t. - 1-
Optioien hinnoittel binomihilassa a Yksiperioinen optio Olkoon S kohe-eten arvo perioin alssa s.e. perioin päätyttyä sen arvo on joko S toennäköisyyellä p tai S toennäköisyyellä 1-p (p > 0, > > 0 Oletetaan, että riskitön korko on r s.e. 1r. Arbitraasivapaesta seraa ehto > >, sillä jos vastaoletksen persteella olisi esim. : lainataan kohe-eten tämänhetkisen arvon verran riskittömällä korolla ja sijoitetaan osakkeeseen saaaan kassavirta ps arbitraasi! (1 > p S ps S (1 S S p S ( S S 0 Periaate: Moostetaan kohe-etesta ja riskittömästä sijoitksesta portfolio, josta saaaan perioin päättyessä sama kassavirta kin optiosta. option hinta on sama kin tämän portfolion arvo - 13-
Tarkastellaan osto-optiota, jonka totetshinta on K. Perioin päättyessä tämän option arvo on joko max( S K,0 tai max( S K,0 Tarkastellaan portfoliota, jossa smma x sijoitetaan koheetteen ja smma b riskittömällä korolla. Perioin päättyessä tämä portfolio antaa toton xb tai xb. Eellytetään, että ko. portfolio antaa saman toton kin osto-optio x x atkaistaan x ja b b b x b ( - 14-
Arbitraasivapaen nojalla osto-optiolla ja tällä portfoliolla on oltava sama arvo 1 Merkitään q (-/(- Osto-option arvo voiaan tlkita q:lla ja 1-q:lla painotettna smmana sen tlevista arvoista q:ta ktstaan riskittömäksi toennäköisyyeksi q:lla ei kitenkaan ole tekemistä p:n kanssa! b Moniperioiset optiot ( Tarkastellaan kaksiperioista binomihilaa, jossa osto-option arvo on kahen perioin kltta 1 [ q (1 q ] x b max( max( max( S S S K,0 K,0 K,0-15-
Sovelletaan yhen perioin hinnoittela rekrsiivisesti ensimmäisen perioin päättyessä option arvo on joko tai 1 [ q (1 q ] 1 ensimmäisen perioin alssa option arvo on [ q (1 q ] 1 [ q (1 q ] - 16-
Esim. Osakkeen hinta on 80 ja hintamtosten logaritmin keskihajonta on σ 0.40. Osto-option päättymispäivä on neljän kkaen kltta ja totetshinta on 85. Mikä on tämän option hinta, kn riskitön korko on 8% ja osakkeelle ei makseta osinkoa? Parametreiksi saaaan e e 0.40 0.40 1 / 1 1 / 1 Binomihilaksi tlee siis 1.1 0.89 1,1 0,891 r 0,080 1,007 q 0,500 str 85,000 80,00 89,79 100,78 113,1 16,96 71,8 80,00 89,79 100,78 63,50 71,8 80,00 56,58 63,50 50,41 ja option arvoksi saaaan 6,40 10,94 18,14 8,68 41,96 1,93 3,89 7,84 15,78 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 osto-option arvo on 6.40. - 17-
Amerikkalaista osto-optiota ei kannata totettaa ennen päättymispäiväänsä (t < T: A. Jos S t < K, niin kohe-ets voiaan ostaa halvemmalla markkinoilta. B. Jos S t > K, niin optio voiaan kyllä totettaa hetkellä t, mtta jos S T > K, niin optio olisi voit totettaa vasta päättymispäivänä, jolloin totetksen yhteyessä tarvittavalle pääomalle olisi maksett korkoa t:n ja T:n välisenä aikana. jos S T < K, niin optiota ei olisi kannattant totettaa lainkaan, koska päättymispäivänä se oltaisiin saat markkinoilta halvemmalla. Tlos voiaan myös toistaa: Lase. Amerikkalaista osto-optiota ei kannata totettaa ennen päättymispäiväänsä. To. Kaksiperioisessa hilassa max S S ( S K,0 K K, S K - 18-
joten Koska q 1 1 S [ q (1 q ] [ q S (1 q S K ] [ q (1 q ] q yllä olevasta epäyhtälöstä saaaan S K > S K K ( 1 q, Ts. option arvo ensimmäisen perioin päättyessä on srempi kin sen totettamisesta saatava voitto ennenaikainen osto-option totettaminen ei kannata amerikkalaisen myyntioption ennenaikainen totettaminen saattaa sen sijaan kannattaa. - 19-
Esim. Tarkastellaan eellisessä esimerkissä myyntioptiota, jonka totetshinta on 85. Mikäli optiota ei toteteta ennenaikaisesti, niin option arvoksi saaaan 9.17 : 9,17 4,47 1,3 0,00 0,00 13,98 7,77,48 0,00 0,37 13,16 5,00 7,86 1,50 34,59 Jos kohe-eten hinta on tllt jatkvasti alaspäin, optio kannattaa totettaa neljännen perioin alssa, koska 8.4 85.00-56.58 > 7.86. Myyntioption arvoksi saaaan 9.58 : 8. eaalioptiot 9.58 4.61 1.3 0.00 0.00 14.68 8.05.48 0.00 1.50 13.7 5.00 8.4 1.50 34.59 Optiohinnoittellla voiaan tkea investointistrategioien laatimista tilanteissa, joissa kohe-ets ei ole finanssi-instrmentti, vaan jokin reaalinen sijoitskohe: lonnonvarat (öljy, kaas. kiinteistöt t&k-hankkeet. - 0-
Esim. Kaivoksesta voiaan kaivaa kltaa enintään 10000 nssia voessa, ja kaivkstannkset ovat $00/nssi. Kllan hinta on $400, mtta sen arvellaan mttvan siten, että vositasolla se joko nosee 0% tn:llä 0.75 tai alenee 10% tn:llä 0.5. iskitön korko on 10%. Mikä on 10 voen pitisen vokrasopimksen arvo? Oletetaan, että knakin vonna kaivtoiminnasta saatavat kassavirrat tapahtvat ko. voen päättyessä. Moostetaan kllan hinnan kehitystä kvaava binomihila: 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 400,0 480,0 576,0 691, 89,4 995,3 1194,4 1433,3 1719,9 063,9 476,7 360,0 43,0 518,4 6,1 746,5 895,8 1075,0 189,9 1547,9 1857,5 34,0 388,8 466,6 559,9 671,8 806, 967,5 1161,0 1393,1 91,6 349,9 419,9 503,9 604,7 75,6 870,7 1044,9 6,4 314,9 377,9 453,5 544, 653,0 783,6 36, 83,4 340,1 408,1 489,8 587,7 1,6 55,1 306,1 367,3 440,8 191,3 9,6 75,5 330,6 17, 06,6 47,9 155,0 186,0 139,5 Pätee: 10. voen päättyessä sopimksella ei ole arvoa, koska kaivoksesta ei voia enää kaivaa kltaa. 10. voen alssa kltaa kannattaa kaivaa, jos kllan hinta S > 00 9. voen lopssa kaivoksen arvo on max{10000 (S-00/1.1,0}. 8. voen alssa kltaa kannattaa kaivaa, jos S > 00-1-
lisäksi kaivoksen arvoon on lisättävä niien tottojen arvo, jotka saaaan 9. voen aikana. moostetaan binomihila vokran arvo $4.1 milj. 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 4.1 7.8 31. 34. 36.5 37.7 37.1 34.1 7.8 16.9 0 17.9 0.7 3.3 5. 6.4 6. 4.3 0.0 1.3 0 1.9 15.0 16.7 17.9 18.1 17.0 14.1 8.7 0 8.8 10.4 11.5 1.0 11.5 9.7 6.1 0 5.6 6.7 7.4 7.4 6.4 4.1 0 3. 4.0 4.3 3.9.6 0 1.4.0.1 1.5 0 0.4 0.7 0.7 0 0.0 0.1 0 0.0 0 0 Entä jos yhtiö voi ostaa tehokaivrin, joka nostaa kapasiteetin 1500 nssiin, mtta joka maksaa $ 4 milj. ja jolla kaivkstannkset ovat $40/nssi? Kannattaako tämä kaivri ostaa? Jos, niin milloin? Jos tehokaivri on käytössä (hankintahintaa ei homioit, niin vokrasopimksen binomihilaksi saaaan 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 7.0 31.8 36.4 40.4 43.5 45. 44.8 41.4 33.9 0.7 0 19.5 3.3 6.6 9.3 31.0 31. 9. 4.1 14.9 0 13.5 16.3 18.7 0.4 1.0 0.0 16.8 10.5 0 8.6 10.8 1.5 13.4 13. 11.3 7. 0 4.9 6.5 7.7 8.0 7. 4.7 0.3 3.4 4.1 4.1.8 0 0.8 1.3 1.8 1.4 0 0.1 0. 0.4 0 0.0 0.0 0 0.0 0 0 - -
Jokaisessa hilapisteessä on nyt kolme vaihtoehtoa: 1. ota tehokaivri käyttöön (solmn tlee arvoksi eellisen hilan ko. solmn arvo miins investointi 4 M$. Kaiva kltaa ilman tehokaivria 10000 nssia ja oota seraavaan perioiin (solmn arvoksi kaivtotot pls iskontatt riskinetraali ootsarvo seraavista 3. Älä kaiva vaan oota (riskinetraali ootsarvo seraavista Otetaan kssakin solmssa maksimi yo. vaihtoehoista. Tehokaivri kannattaa hankkia tmmennetissa solissa (joista eteenpäin se on käytössä. Mihin solmihin arvo moost samoin kin ilman tehokaivrioptiota. Optiobinomihilaksi (vokra kaivrioptio saaaan 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 4.6 8.6 3.6 36.4 0 18.0 0.9 3.5 5.6 7.0 0 1.9 15.0 16.7 17.9 18.1 17.0 14.1 8.7 0 8.8 10.4 11.5 1.0 11.5 9.7 6.1 0 5.6 6.7 7.4 7.4 6.4 4.1 0 3. 4.0 4.3 3.9.6 0 1.4.0.1 1.5 0 0.4 0.7 0.7 0 0.0 0.1 0 0.0 0 0 joten vokrasopimksen arvoksi tlee nyt $ 4,6 milj. Katso myös lisämateriaali (.xls hilojen rakentamisesta! - 3-