Syntymä-kuolema-prosessit

Transkriptio

1 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / SK-prosessit Syntymä-kuolema-prosessit Yleistä Syntymä-kuolema-prosessiksi (SK-prosessi) kutsutaan Markov-prosessia, jonka - tila-avaruus on iskreetti - tilat voiaan järjestää jonoksi, i=,,2,...siten, että - tilasiirtymiä voi tapahtua vain naapuritilojen välillä, i i + tai i i µ µ i... i i+ µ 3 µ i+ i+ µ i+2 Tilasiirtymänopeuet q i,j = i kun j = i + µ i kun j = i muulloin syntymätn. intervallissa t on i t kuolematn. intervallissa t on µ i t kun systeemi on tilassa i

2 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / SK-prosessit 2 SK-prosessin tasapainotilatoennäköisyyet Käytetään leikkausmenetelmää = globaali tasapainoehto sovellettuna tilajoukkoon,,...,k. Tasapainotilassa toennäköisyysvirrat leikkauksen yli kumoavat toisensa (nettovirta =) k π k = µ k+ π k+ k =,, 2,... Saaaan rekursiokaava π k+ = k π k µ k+ Kaikki toennäköisyyet voiaan palauttaa rekursion avulla tilan toennäköisyyteen π π k = k k 2 π = k µ k µ k µ Soveltamalla normiehtoa π = k= + µ + µ µ 2 + i= i µ i+ π π k =, voiaan määrätä π = + k i k= i= µ i+

3 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / SK-prosessit 3 SK-prosessin ajasta riippuvat ratkaisut Eellä tutkittiin SK-prosessin tasapainojakaumaa π. Joskus tunnetaan tilatoennäköisyyet hetkellä,π(), - tavallisin tilanne on se, että systeemin tieetään olevan hetkellä täsmälleen jossakin tilassa k; tällöin π k () = ja π j () =, kun j k ja halutaan selvittää, miten tilatoennäköisyyet kehittyvät ajan funktiona eli π(t) -tieetään, että lim t π(t) =π. Tämä määräytyy yhtälöstä π(t) =π(t) Q missä t Q = µ ( + µ )... µ 2 ( 2 + µ 2 ) 2. µ 3 ( 3 + µ 3 ) 3.. µ 4 ( 4 + µ 4 )

4 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / SK-prosessit 4 SK-prosessin ajasta riippuvat ratkaisut (jatkoa) µ µ i- i... i i+ µ 3 µ i µ i+ i+ µ i+2 Yhtälöt komponettimuoossa π i (t) t π (t) t = ( i + µ i )π i (t) virrat ulos = π (t) + µ π (t) virta ulos virta sisään + i π i (t)+µ i+ π i+ (t) virrat sisään i =, 2,...

5 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / SK-prosessit 5 Esim.. Puhas kuolemaprosessi i = µ i = iµ i =,, 2,... π i () = i = n i n jokaisella yksilöllä kuolemisnopeus on vakio µ systeemi lähtee tilasta n µ 2µ 2 3µ... n- (n-) µ n µ n Tila on absorboiva tila, muut tilat ovat transientteja t π n(t) = nµπ n (t) π n (t) =e nµt t π i(t) = (i +)µπ i+ (t) iµπ i (t) i =,,...,n t (eiµt π i (t)) = (i +)µπ i+ (t)e iµt π i (t) = (i +)e iµt µ t π i+(t )e iµt t π n (t) = ne (n )µt µ t e nµt e (n )µt e µt t = ne (n )µt ( e µt ) Rekursiivisesti π i (t) = n (e µt ) i ( e µt ) n i i Binomijakauma: jokainen on muista riippumatta hetkellä t elossa tn:llä e µt

6 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / SK-prosessit 6 Esim. 2. Puhas syntymäprosessi (Poisson-prosessi) i = µ i = i =,, 2,... π i () = i = i> syntymätoennäköisyys aikayksikköä kohen on vakio alkuhetkellä populaatio on 2... i- i Kaikki tilat ovat transientteja t π i(t) = π i (t)+π i (t) i> t π (t) = π (t) π (t) =e t t (et π i (t)) = π i (t)e t π i (t) = e t t π i (t )e t t π (t) = e t t e t e t t = e t (t) Rekursiivisesti π i (t) = (t)i e t i! Syntymien lkm välillä (,t) Poisson(t)

7 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / SK-prosessit 7 Esim. 3. Yhen palvelimen järjestelmä µ Exp( µ ) Exp( ) - vakio saapumisnopeus (Poisson-saapumiset) -palvelunpäättymisnopeus µ (eksp. palveluaikajak.) Järjestelmän tilat palvelin vapaa palvelin käytössä t π (t) = π (t)+µπ (t) t π (t) = π (t) µπ (t) Lasketaan yhtälöt yhteen Q = µ µ t (π (t)+π (t)) = π (t)+π (t) =vakio= π (t) = π (t) t π (t)+( + µ)π (t) =µ t (e(+µ)t π (t)) = µe (+µ)t π (t) = µ +µ +(π () µ +µ )e (+µ)t π (t) = +µ +(π () tasapainojakauma } {{ } poikkeama tasapainosta +µ )e (+µ)t häviää eksponentiaalisesti

8 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / SK-prosessit 8 Markov-järjestelmien analyysi: yhteenveto. Etsi järjestelmälle tilakuvaus tähän ei ole valmista reseptiä usein sopiva tilakuvaus on ilmeinen joskus vaatii enemmän ajattelua systeemi voi olla markovinen jonkin tilakuvauksen suhteen ja ei-markovinen jonkin toisen tilakuvauksen suhteen (jolloin tila-informaatio ei ole riittävä) tilakuvauksen löytäminen on ongelman luova osa 2. Määrää tilasiirtymänopeuet suoraviivainen tehtävä, kun eksponentiaaliset pitoajat ja saapumisväliajat 3. Ratkaise tasapainoyhtälöt periaatteessa suoraviivainen tehtävä (lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisu) tuntemattomien määrä (tilojen lukumäärä) voi olla hyvin suuri usein voiaan hyöyntää tilakaavion erityispiirteitä

9 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / SK-prosessit 9 Globaali tasapainoehto i n + tilaa π {}}{ (π,...,π n ) q i, j q j, i j π j q j,i = π i q i,j j i j i virta tilaan i Q virta tilasta i {}}{ q,j q, q,2... q,n j q, q,j q,2... q,n j q 2, q 2, q 2,j... q 2,n j q n,j q n, q n,, q n,2,... j i =,,...,n yksi yhtälö kutakin tilaa kohen =. π Q = π + π + + π n = yksi yhtälö on reunantti normiehto

10 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / SK-prosessit Esim.. Jonojärjestelmä s palvelinta K ootuspaikkaa µ µ µ s palvelinta K ootuspaikkaa saapumisnopeus (Poisson) µ Exp(µ) pitoaika (oostusarvo /µ) K=5 s=4 µ Asiakkaien lukumäärä N kelpaa tilamuuttujaksi -määrää yksikäsitteisesti palvelussa olevien ja oottavien asiakkaien lukumäärät -minkä tahansa saapumisen tai poistumisen jälkeen palveltavana olevien asiakkaien jäljelläolevat palveluajat ovat Exp(µ)-jakautuneita (muistittomuus) µ 2µ 3µ 4µ 4µ 4µ 4µ 4µ 4µ

11 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / SK-prosessit Esim. 2. Kutsuesto ATM-verkossa ATM-verkon virtuaaliväylälle (VP) tarjotaan kahenlaisia kutsuja. R = Mbps = saapumisnopeus µ = keskim. pitoaika R 2 2 a) Väylän kapasiteetti on suuri (ääretön) = 2Mbps = saapumisnopeus µ 2 = keskim. pitoaika n 2 2 n µ 2 (n 2+) µ 2 (n +) µ n 2 µ 2 n Markov-prosessin tilamuuttujana on tässäesimerkissä pari (N,N 2 ), missä N i kertoo päälläolevien, luokkaan i kuuluvien kutsujen lukumäärän tarkasteluhetkellä.

12 J. Virtamo Liikenneteoria ja liikenteenhallinta / SK-prosessit 2 Kutsuesto ATM-verkossa (jatkoa) b) Väylän kapasiteetti on 4.5 Mbps n 2 n