Sisältö. Cantorin 3 -joukko 2. Cantorin funktio 2 3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio 4 4. Yleistetty Cantorin joukko 5 5. Vito Volterran esimerkki 6 6. Analyysin peruslauseesta 8 Kirjallisuutta 9. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = ( 3, 2 3 ). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J, ja J,2, J, = [0, 3 ], J,2 = [ 2 3, ]. Seuraavaksi välien J, ja J,2 keskeltä poistetaan avoimet välit, joiden pituus on /9 = /3 2, I 2, = ( 9, 2 9 ), I 2,2 = ( 7 9, 8 9 ). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 2,, J 2,2, J 2,3 ja J 2,4, J 2, = [0, 9 ], J 2,2 = [ 2 9, 3 ], J 2,3 = [ 2 3, 7 9 ], J 2,4 = [ 8 9, ]. Vaiheessa s Z + poistettuna on 2 s avointa väliä I s,j, j 2 s, ja jäljellä on 2 s suljettua väliä J s,k, k 2 s. Jokaisen välin I s,j ja J s,k pituus on /3 s. Seuraavaksi jokaisen välin J s,j keskeltä poistetaan avoin väli, jonka pituus on /3 s+. Näin jäljelle jää 2 s+ suljettua väliä J s+,l. Kun joukot J s+,l indeksoidaan saman periaatteen mukaan kuin edellä, on I s+,k J s,k, J s+,2k J s,k ja J s+,2k J s,k, k 2 s. Vaiheessa s välistä J on siis poistettu kaiken kaikkiaan s 2 r I r,j. r= j= Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä 2 s ( 2 r C s = J s,k ja raja-arvoa C := C s = J \ I r,j ). k= s= r= j= Joukko C on Cantorin -joukko, jota jatkossa kutsutaan yksinkertaisesti Cantorin 3 joukoksi. Huomaa, että suljettujen joukkojen leikkauksena Cantorin joukko on kompakti, ja toisin kuin aluksi näyttäisi, se ei koostu pelkästään poistettujen välien I s,j päätepisteistä (joita on vain numeroituva määrä). Poistettujen välien I s,j, j 2 s, s Z +, yhteenlaskettu pituus on 2 s m(i s,j ) = s= j= 2 s /3 s = s= j= Tästä seuraa, että Cantorin joukon mitta on 2 s /3 s = 3 s= m(c) = = 0. 2/3 =.
2 Kuva. Cantorin funktion arvot joukoilla I,, I 2,, I 2,2, I 3,, I 3,2, I 3,3, I 3,4, I 4,, I 4,2, I 4,3, I 4,4, I 4,5, I 4,6, I 4,7 ja I 4,8. 2. Cantorin funktio Käytetään samoja merkintöjä kuin edellä. Konstruoidaan funktio ψ : R [0, ], joka liittyy Cantorin joukkoon hyvin olleellisella tavalla. Asetetaan ψ(x) = 0, kun x 0, ja ψ(x) =, kun x. Välin J keskeltä poistetun avoimen välin pisteille x I, asetetaan ψ(x) =. 2 Funktion ψ(x) arvoksi välillä I 2,k, k = tai k = 2, asetetaan keskiarvo niistä arvoista, jotka funktiolle ψ on annettu edellisessä vaiheessa välin I 2,k vasemmalla ja oikealla puolella, t.s. ψ(x) = {, 4 kun x I 2,, ja 3 4 kun x I 2,2, eli ψ(x) = (2k )/2 2, kun x I 2,k, k {, 2}. Vaiheessa s funktion ψ(x) arvoksi välillä I s,k, k 2 s, asetetaan keskiarvo niistä arvoista, jotka funktiolle ψ on annettu edellisessä vaiheessa välin I s,k vasemmalla ja oikealla puolella, t.s. ψ(x) = (2k )/2 s, kun x I s,k.
Lopuksi Cantorin joukon pisteissä x C asetetaan ψ(x) = sup{ψ(t) t < x ja t J \ C}. Funktiota ψ kutsutaan Cantorin funktioksi, Lebesguen funktioksi, Lebesguen singulaarifunktioksi tai pirunportaiksi. Cantorin funktiolla on seuraavat ominaisuudet: (i) ψ on kasvava; (ii) ψ on jatkuva; (iii) funktiolla ψ on vakioarvo joukon J \ C = r= 2 r j= I r,j osaväleillä I r,j ; (iv) ψ on derivoituva joukossa J \ C ja ψ (x) = 0 kaikillle x J \ C. Ainoa kohta, joka kaipaa tarkempia perusteluja on jatkuvuus. Mutta kasvavalla funktiolla on jokaisessa pisteessä molemminpuoliset raja-arvot. Jos siis ψ olisi epäjatkuva pisteessä x [0, ], ovat raja-arvot ψ(x ) = lim t x ψ(t) ja ψ(x+) = lim t x+ ψ(t) olemassa ja ψ(x ) < ψ(x+). Mutta tällöin ψ:n kuvajoukosta puuttuvat välit (ψ(x ), ψ(x)) ja (ψ(x), ψ(x+)), joista ainakin toinen on epätyhjä. Funktion ψ konstruktion nojalla kuvajoukkoon kuuluvat kuitenkin kaikki dyadiset luvut (2k )/2 s, k 2 s, s Z +, jotka muodostavat välille [0, ] tiheän osajoukon. Tästä seuraa, että ψ on jatkuva. Funktiosta ψ kannattaa lisäksi huomata, että ψ([0, ]) = [0, ], ja että ψ([0, ] \ C) on numeroituva (tämä joukko koostuu edellä mainituista dyadisista luvuista). Näistä seuraa, että Cantorin joukon kuvajoukko ψ(c) on ylinumeroituva ja edelleen, että Cantorin joukko ylinumeroituva. Erityisesti Cantorin joukko ei koostu pelkästään poistettujen välien I s,j päätepisteistä (koska niitähän on vain numeroituva määrä). Koska ψ (x) = 0 kaikille x J \ C, on 0 = [0,] ψ (x) dm(x) < ψ() ψ(0) =. Analyysin peruslause ei siis pidä paikkaansa Cantorin funktiolle. On hyvä huomata, että on olemassa huomattavasti yksinkertaisempia kasvavia funktioita f, joilla derivaatta on olemassa melkein kaikkialla, f (x) = 0 melkein kaikille x, mutta f(0) < f(). Cantorin funktio on näiden lisäksi jatkuva. Huomautus. Cantorin funktion konstruktiosta saadaan myös kauniimpi numerointitapa Cantorin joukon konstruktiossa esiintyneille avoimille väleille I s,k. Nimittäin, jos asetetaan Ĩ /2 := I, ; Ĩ /4 := I 2,, Ĩ 3/4 := I 2,2 ;..., Ĩ (2k )/2 s := I s,k, k 2 s, on Cantorin funktiolla ψ arvo r välillä I r, kun r on dyadinen murtoluku. Kun D := {k/2 s s N, 0 k 2 s }, on C = [0, ] \ r D Ĩr. Lisäksi väli Ĩr on välin Ĩr vasemmalla puolella, jos ja vain jos r < r. Huomautus 2. Kun asetetaan g : [0, ] R, g(x) := (ψ(x) + x), on g jatkuva, 2 aidosti kasvava ja g([0, ]) = [0, ]. Lisäksi g kuvaa jokaisen välin Ĩr, r D, väliksi g(ĩr) = r + Ĩr, jonka pituus on puolet välin 2 2 Ĩr pituudesta. Siis m(g( r D Ĩr)) = m( 2 r D Ĩr) = ja m(g(c)) = m([0, ] \ g( 2 r D Ĩr)) =. Funktio g kuvaa siis 2 nollamittaisen joukon C positiivimittaiseksi joukoksi. 3
3. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio Se, että analyysin peruslause ei päde Cantorin funktiolle, ei oikeastaan ole erityisen yllättävää. Cantorin funktiohan on vakio jokaisella Cantorin joukon komplementtijoukon osavälillä. Vielä yllättävämpi vastaesimerkki analyysin peruslauseelle on peräisin Rieszin ja Sz.-Nagyn funktionaalianalyysin kirjasta [8, No. 24]. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio F = lim n F n on jatkuva ja aidosti kasvava, mutta F (x) = 0 melkein kaikkialla. Kuvasta 2 selviää funktion konstruktioperiaate: funktio F n määritellään paloittain lineaarisesti välin [0, ] osaväleillä, jotka saadaan puolitusperiaatteella. Välin [a, b] uudessa jakopisteessä c = a+b seuraavan funktion arvo on 2 F n+ (c) = t F 2 n(a) + +t F 2 n(b). Tässä t on kiinteä vakio, jolle 0 < t <. Jono (F n ) n=0 konvergoi sen verran hitaasti, että ominaisuutta F (x) = 0 melkein kaikkialla, ei kuvasta 2 pysty päättelemään. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktiota on tarkasteltu tarkemmin ja yleisemmin kirjassa [2, 8.8]. 4 0.7508 0.7506 0.7504 0.7502 0.5 0.5 0.5 0.5 Kuva 2. Rieszin ja Sz.-Nagyn funktio F : [0, ] R, joka on jatkuva ja aidosti kasvava, mutta F (x) = 0 melkein kaikille x [0, ]. Kahdella ylemmällä rivillä approksimaatiot F 0, F, F 2, F 5, F 0 ja F 5. Alimmassa kuvassa on F 30 välillä [ 2, 2 + 52 2 30 ] [0.5, 0.50000048]. Frigyes Riesz (880 956) ja Béla Szökefalvi-Nagy (93 998).
4. Yleistetty Cantorin joukko Olkoon (a j ) j=0 annettu lukujono, jolle on voimassa a 0 = ja 0 < 2a j < a j kaikille j Z +. Cantorin 3 -joukolle on a j = 3 j. Määritellään jono (d j ) j= asettamalla d j = a j 2a j. Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli, jonka pituus on a, I, = (a, a ). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J, ja J,2, J, = [0, a ], J,2 = [ a, ]. Seuraavaksi poistetaan välien J, ja J,2 keskeltä avoimet välit I 2, ja I 2,2, joiden pituus on a 2. Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 2,, J 2,2, J 2,3 ja J 2,4. Vaiheessa s Z + poistettuna on 2 s avointa väliä I s,j, j 2 s, ja jäljellä on 2 s suljettua väliä J s,k, k 2 s. Jokaisen välin I s,j ja J s,k pituus on d s. Seuraavaksi jokaisen välin J s,j keskeltä poistetaan avoin väli, jonka pituus on a s+. Näin jäljelle jää 2 s+ suljettua väliä J s+,l. Kun joukot J s+,l indeksoidaan saman periaatteen mukaan kuin edellä, on I s+,k J s,k, J s+,2k J s,k ja J s+,2k J s,k, k 2 s. Vaiheessa s välistä J on siis poistettu kaiken kaikkiaan s 2 r I r,j. r= j= Merkitään vaiheessa s jäljellä olevien suljettujen välien yhdistettä ja raja-arvoa P := P s = 2 s k= J s,k ( P s = I \ s= 2 r r= j= I r,j ). Joukko P on yleistetty Cantorin joukko tai Smithin, Volterran ja Cantorin joukko. 2 Poistettujen välien I s,j, j 2 s, s Z +, yhteenlaskettu pituus on 2 s m(i s,j ) = s= j= s= 2 s d s = lim k k s= Tästä seuraa, että yleistetyn Cantorin joukon mitta on m(p ) = lim k 2 k a k. 2 s (a s 2a s ) = lim k ( 2 k a k ). 5 2 Henry John Stephen Smith (826 883) vuonna 875, Vito Volterra (860 940) vuonna 88 ja Georg Ferdinand Ludwig Phillip Cantor (845 98) vuonna 883.
6 5. Vito Volterran esimerkki Analyysin peruslause on ollut tärkeä lähtökohta Lebesguen integraalin synnylle. Vito Volterralta [0] (vrt. [4, No. 29]) on peräisin esimerkki derivoituvasta funktiosta, jonka derivaatta on rajoitettu, mutta ei Riemann-integroituva. Oleellisesti sama esimerkki löytyy Natansonin kirjasta [7, Kap. V, 5] tai Abbottin kirjasta [, 7.6]. Yksinkertaisempi vastaava esimerkki ysityiskohtaisine ratkaisuvihjeineen löytyy Strombergin kirjan harjoitustehtävästä 23/s. 279 (peräisin Casper Goffmanilta 977). Lebesgue halusi osoittaa, että integraali voidaan laajentaa Volterran esimerkin kaltaisille funktioille, ja että analyysin peruslause pätee niille; vrt. [4, No. 28]. Tähän Lebesgue tarvitsi rajoitetun konvergenssin lausetta [4, No. 25]; vrt. [3, 6.6]. Derivaattojen väliarvolauseesta seuraa, että derivoituvan funktion derivaatalla ei voi olla hyppäysepäjatkuvuuksia. Näin millään paloittain jatkuvalla funktiolla f, jonka epäjatkuvuuskohdat ovat hyppäysepäjatkuvuuksia (ja jolla on ainakin yksi epäjatkuvuuskohta), ei ole integraalifunktiota F, t.s. funktiota F, jolla F (x) = f(x) kaikille x. Tämän ja Volterran esimerkin perusteella integraalifunktiointegraali ja Riemannin integraali eivät ole verrattavissa (t.s. kumpikaan ei ole toisen yleistys). Seuraavassa käytettävät merkinnät ovat kuten kohdassa 4. Esitettyjen väitteiden todistukset jätetään lukjijan tehtäväksi. Olkoon P yleistetty Cantorin joukko, jonka mitta on positiivinen. Olkoon ϕ: R R, ϕ(t) = t 2 sin(/t), kun t 0, ja ϕ(0) = 0. Tällöin ϕ on derivoituva, ϕ (t) < 3, kun t, mutta ϕ ei ole jatkuva origossa. Määritellään F : [0, ] R seuraavasti: Kun x P, olkoon F (x) = 0. Olkoon (a, b) jokin komplementin [0, ] \ P komponenttiväli. Asetetaan sekä c = sup{t (0, (b a)/2] ϕ (t) = 0} F (a + t) = F (b t) = ϕ(t), kun 0 < t c, ja F (x) = ϕ(c), kun a + c t b c. Idea: F käyttäytyy välin (a, b) päätepisteiden lähellä kuten ϕ origon lähellä ja välin (a, b) keskellä ϕ on vakio; lisäksi F on jatkuvasti derivoituva välillä (a, b). Kuvassa 3 on funktion F kuvaaja tyypillisellä välillä (a, b). Tällöin a) F on derivoituva koko välillä [0, ]; b) F (x) = 0 kaikille x P (vihje: kun c P, on F (x) (x c) 2 kaikille x [0, ]); c) F (x) < 3 kaikille x [0, ]; d) F on epäjatkuva jokaisessa P :n pisteessä (vihje: P ei sisällä yhtään avointa väliä); e) F ei ole Riemann-integroituva millään välillä [0, x], 0 < x. f) Kuitenkin F (x) = [0,x] F dm kaikille x [0, ]. Kuvassa 4 on Volterran funktion konstruktiota sovellettu tavalliseen Cantorin 3 - joukkoon. Tässä tapauksessa F kuitenkin olisi Riemann-integroituva välillä [0, ] (miksi?). Kuvassa 5 on oikea Volterran funktio. Kuvaan on piirretty vain kolme komplementtijoukon osaväliä; muut osavälit olisivat erittäin lyhyitä, eikä funktion F käyttäytyminen tulisi enää näkyviin (vrt. vastaaviin kohtiin kuvassa 4).
7 0.004 0.002 0.9 0.95.05. -0.002-0.004-0.006-0.008 Kuva 3. Volterran derivoituva funktio osavälillä [a, b]. 0.05 0.0 0.005-0.005 Kuva 4. Volterran derivoituva funktio sovitettuna Cantorin joukkoon. 0.002 0.00-0.00 Kuva 5. Volterran derivoituva funktio, kun a k = 3 5 k+2 k+ 2 k.
6. Analyysin peruslauseesta Analyysin peruslause eli derivaatan ja integraalin välistä yhteyttä kuvaava lause on oikeastaan usemman lauseen kokoelma: miten integroidaan derivaatta; miten integraalin avulla määritelty integraalifunktio derivoidaan; ja missä määrin derivaatta määrää funktion? Seuraavassa Analyysin peruslauseen nämä kolme versiota on esitetty Lebesguen integraalille (jolle tilanne on symmetrisin; kannattaa kerrata, millaisia vastaavat tulokset ovat Riemannin integraalille, ja miten ne todistetaan). Lause 3 (Analyysin peruslause I). Olkoon f L ([a, b]). Määritellään F : [a, b] R asettamalla F (x) = f(t) dm(t). [a,x] Tällöin F on derivoituva melkein kaikkialla ja F (x) = f(x) melkein kaikille x [a, b]. Lause 4 (Analyysin peruslause II). Olkoon F : [a, b] R absoluuttisesti jatkuva. Tällöin F on derivoituva melkein kaikkialla, F L ([a, b]) ja F (x) F (a) = F (t) dm(t) kaikille x [a, b]. [a,x] Lause 5 (Analyysin peruslause III). Olkoon F : [a, b] R absoluuttisesti jatkuva. Jos F (x) = 0 melkein kaikille x [a, b], niin F on vakiofunktio. Oleellinen tulos näiden lauseiden todistamisessa on Lebesguen vuoden 904 integraalilaskentaa käsittelevien luentojensa Leçons [5] viimeisenä tuloksena todistama, nykyisin Lebesguen derivointilauseena tunnettu lause (vrt. [9, 4.52], [2, 7.2], [7, Kap. VIII, 2, Satz 4], [8, No. 2 3]). Aviopari Grace Chisholm Young ja William Henry Young osoitti vuonna 9, että Lebesguen alunperin tekemä jatkuvuusoletus on turha. Youngien todistus oli myös tekniikaltaan poikkeava: mittateoriaa ei tarvittu kovin paljoa. Kuten allaolevasta lauseesta ilmenee, väitettä varten riittää nollamittaisuuden käsite. (Tässä yhteydessä Youngit on syytä täsmentää ainakin etunimien etukirjaimin; samaan aikaan mitta- ja integrointiteoriaa tutkivat myös L. C. Young ja R. C Young.) Lause 6 (Lebesguen derivointilause). Monotonisella funktiolla f : [a, b] R on äärellinen derivaatta melkein kaikkalla. Muistettakoon, että väite tarkoittaa seuraavaa: kun derivaatalle sallitaan arvot ja +, niin joukko N := {x [a, b] f ei ole derivoituva pisteessä x} {x [a, b] f (x) = + } on nollamittainen. Seuraava lause on Lebesguen väitöskirjan tulos [4, No. 28], jolla Lebesgue korjasi Volterran esimerkin ongelman: Lause 7. Olkoon f : [a, b] R derivoituva funktio (siis äärellinen derivaatta f (x) on olemassa kaikille x [a, b]), jonka derivaatta f on rajoitettu. Tällöin f(x) f(a) = f (t) dm(t) kaikille x [a, b]. [a,x] 8
Funktion absoluuttisen jatkuvuuden karakterisoiva tulos [3, 9.] on tarkka, mutta ei kaikkein yksinkertaisin käyttää. Seuraavassa on helppo, riittävä ehto absoluuttiselle jatkuvuudelle. Huomaa, että Cantorin funktio antaa perustelun sille, miksi lauseen numeroituvuusoletuksesta joukolle D ei voida luopua. Lause 8. Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio. Oletetaan, että on olemassa numeroituva joukko D [a, b] siten, että (i) f (x) on olemassa ja äärellinen kaikille x [a, b] \ D; sekä (ii) f L ([a, b]). Tällöin f(x) f(a) = f (t) dm(t) kaikille x [a, b]. [a,x] Erityisesti f on absoluuttisesti jatkuva. Todistuksen osalta ks. [2, 8.4] tai [9, Ch. 6, s. 3, harjoitustehtävä 2]. Natansonin kirjasta [7, Kap. IX, 8, Satz ] löytyy hieman yksinkertaisempi versio tästä tuloksesta (D = ): Lause 9. Olkoon f : [a, b] R funktio, jolla (i) f (x) on olemassa ja äärellinen kaikille x [a, b]; sekä (ii) f L ([a, b]). Tällöin f(x) f(a) = f (t) dm(t) kaikille x [a, b]. [a,x] Erityisesti f on absoluuttisesti jatkuva. Funktio f : [a, b] R on N-funktio, jos kuvajoukko f(a) on nollamittainen jokaiselle nollamittaiselle joukolle A [a, b]. (N-funktion käsite on peräisin N. N. Lusinilta. Esimerkki funktiosta, joka ei ole N-funktio, löytyy Cantorin funktion yhteydestä.) Lause 0 (Stefan Banach (925) ja M. A. Zarecki (925)). Olkoon f : [a, b] R annettu funktio. Tällöin f on absoluuttisesti jatkuva, jos ja vain jos (i) f on jatkuva; (ii) f on N-funktio; ja (iii) V f (a, b) <. Todistuksen osalta katso [7, Kap. IX, 3, Satz 4], [2, Theorem 8.25], [9, HT 6, s. 333] (harjoitustehtävä). Kirjallisuutta [] Stephen Abbott, Understanding Analysis, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 200. [2] Edwin Hewitt ja Karl Stromberg, Real and Abstract Analysis. A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable, Third printing, Graduate Texts in Mathematics 25, Springer-Verlag, 975. [3] Tero Kilpeläinen, Mitta- ja integraaliteoria 2003 04, pdf-dokumentti osoitteessa https://www.jyu.fi/science/laitokset/maths/opiskelu/yleista/luentomonisteet/ (luettu kesäkuussa 2007). 9
[4] Henri Lebesgue, Intégrale, Longueur, Aire, Annali di Matematica, (3) 7 (902), 23 359. (Lebesguen kootut työt Oeuvres scientifiques 5 löytyy JY/MaAn kirjastosta.) [5] Henri Lebesgue, Leçons sur l intégration et la recherche des fonctions primitives, Gauthier- Villars, 904. [6] Henri Lebesgue, Sur la recherche des fonctions primitives par l intégration, R. Acc. Lincei Rend., (5), 6 (907), 92 00. [7] I. P. Natanson, Theorie der Funktionen Einer Reellen Veränderlichen, Zweite ergänzte und überarbeitete Auflage, Akademie-Verlag, 96; Theory of Functions of a Real Variable, Volume I, New York, Rederick Ungar, 955; Volume II, 960; alunperin venäjänkielisenä 949 (. laitos) ja 956 (2. laitos). [8] Frigyes Riesz ja Béla Sz.-Nagy, Functional Analysis, Dover Publications, Inc, 990; alunperin Leçons d analyse fonctionelle, Académiai Kiadó, 952; 2 e ed. 953; engl. käännös Functional Analysis, Frederick Ungar Publishing Co., 955; saks. käännös Vorlesungen über Funktionalanalysis, Dt. Verl. d. Wissensch., 956. [9] Karl Stromberg, An Introduction to Classical Real Analysis, Wadsworth International Mathematics Series, 98. [0] Vito Volterra, Sui principii del calcolo integrale, Giorn. Mat., 9 (88), 333 372. (Volterran kootut työt Opere matematichi: memorie e note 5 löytyy JY/MaAn kirjastosta.) 0