TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita, Laininen luvut 9.-0.5). (Buffonin neulaprobleema) Tasaisella pinnalla on yhdensuuntaisia viivoja cm:n välein. Pinnalle heitetään umpimähkäisesti neula, jonka pituus on myös cm. Millä todennäköisyydellä neula putoaa niin, että se koskettaa jotakin viivaa? Olkoon X = "neulan keskipisteen etäisyys lähimmästä viivasta", = "neulan ja viivojen välinen kulma". Voidaan olettaa, että kulma on välillä (0, π/). X ~ Tas(0, ), ~ Tas(0, π/), X ja ovat toisistaan riippumattomia. Silloin (X, ):n yhteisjakauman tiheysfunktio on tasajakauma suorakulmiossa A = (0, ) (0, π/) (suorakulmion pinta-ala on π/). hteisjakauman tiheysfunktion arvo on vakio A:ssa: f ( x, y) = / π, ( x, y) A (riippumattomuuden vuoksi yhteisjakauman tiheysfunktio on reunajakaumien tiheysfunktioiden tulo). cos(y) y sin(y) Neula leikkaa viivan, kun x < sin(y). π/ sin( y) π/ sin( ) / y π / ( ( ) π P X < sin y = f ( x, y) dxdy = dx dy sin( y) dy [ cos( y) ] 0 π = = = π π π 0 0 0 0 0. Olkoot X ja normaalijakautuneita ja riippumattomia. Miten jakautuvat X + ja X? Sovellus: Tanssikoulussa tyttöjen pituusjakauma on N(69, 6 ) ja poikien vastaavasti N(74, 7 ). Valitaan umpimähkäisesti pari. Millä todennäköisyydellä tyttö on pidempi kuin poika? X + ~ N( µ + µ, σ + σ ), X ~ N( µ µ, σ + σ ) X X X X Merkitään X = tytön pituus, = pojan pituus, jolloin X ~ N( 5, 85). 0 ( 5) P( X > ) = P( X > 0) = P( X 0) = Φ 85 = Φ ( 0.54) = 0.7054 = 0.946
3. Toimistopäällikkö NN odottaa kahta puhelinsoittoa, joiden odotusajat (laskettuina eräästä hetkestä t = 0) ovat riippumattomia ja eksponenttijakautuneita odotusarvoina 30 min ja 40 min. Kuinka kauan NN joutuu keskimäärin odottamaan ensimmäistä soittoa? Olkoot puheluiden odotus- (eli saapumis-)ajat X ~ Exp(λ ) ja ~ Exp(λ ), missä λ = /30 ja λ = /40. Merkitään ensimmäisen soiton odotusaikaa satunnaismuuttujalla = min{x, }. Todennäköisyys, että NN joutuu odottamaan yli ajan t on (huomaa X:n ja :n riippumattomuus): P( > t) = P ( X > t ja > t) = P( X > t) P( > t) = exp( λt) exp( λt) = exp( ( λ + λ) t), mistä nähdään ~ Exp(λ + λ ). NN joutuu odottamaan keskimäärin ajan 0 E( ) = = 7. (min) λ + λ 7 NN joutuu odottamaan ajan, jonka odotusarvo on selvästi lyhyempi kuin yksittäisen puhelun saapumiseen kuluvan ajan odotusarvo. 4. Lentokoneeseen otetaan 00 matkustajaa, joiden painot X i oletetaan riippumattomiksi ja samaa normaalijakaumaa N(65, ) (yksikkönä kg) noudattaviksi. Merkitään = "koneen kaikkien matkustajien paino". Miten jakautuu? Määrää :n odotusarvon suhteen symmetriset rajat, joiden välillä on 99 %:n todennäköisyydellä. µ σ 00 = E( ) = E( X ) = 00 65 = 3000 (kg) i i= 00 = ( ) = ( Xi) = = i= Var Var 00 8800 (kg ) Eli ~ N(3000, 8800). Tarkastellaan standardoitua normaalijakaumaa N(0, ) noudattavaa satunnaismuuttujaa Z: P( z Z z) = 0.99 P( Z < z) = P( Z > z) = 0.005 P( Z z) = 0.995 z =.58 (normaalijakauman taulukosta) Tarkastellaan epäyhtälöä µ y µ + y: y µ y P( µ y µ + y) = P( y µ y) = P = 0.99 σ σ σ Satunnaismuuttuja ( µ )/σ noudattaa standardoitua normaalijakaumaa N(0, ). z = y/σ, joten y =.58 8800 437.8 (kg). Koneen matkustajien paino on siis välillä (56. kg, 3437.8 kg) todennäköisyydellä 0.99.
5. Heitetään virheetöntä noppaa. Määritellään satunnaismuuttujat: X i = i:nnen heiton silmäluku = X X = ensimmäisen ja toisen heiton silmälukujen erotus. a) Laske satunnaismuuttujan odotusarvo E(). b) Laske satunnaismuuttujan varianssi Var() ja standardipoikkeama D(). c) Rahapelissä pelaaja heittää virheetöntä noppaa 0 kertaa. Pelaaja saa noppien silmälukujen summan Z kymmenkertaisena (euroina). Mikä on 0 nopanheiton summan odotusarvo ja keskihajonta? Entä pelaajan saaman rahasumman odotusarvo ja keskihajonta? d) Heitetään virheetöntä noppaa 0 kertaa ja lasketaan silmälukujen aritmeettinen keskiarvo. Mikä on keskiarvon odotusarvo? Entä keskihajonta? e) Mikä on satunnaismuuttujan V = X + X 7 odotusarvo, varianssi ja keskihajonta? Ratkaise tehtävä hyödyntämällä tietoa: yhden nopan odotusarvo on 7/ ja varianssi on 35/. a) E( ) = E( X X ) = E( X ) E( X ) = 3.5 3.5 = 0 b) Var( ) = Var( X X ) = Var( X ) + Var( X ) = 35/ + 35/ = 35/ 6 5.833 Huomaa, että tässä tarvittiin riippumattomuusoletusta! D( ) = Var( ) = 35/ 6.45 c) Silmälukujen summan Z odotusarvo: 0 0 E( Z) = E X i = E( Xi) = 35 i= i= Varianssi ja keskihajonta: 0 0 350 350 Var( Z) = Var X i = Var( Xi) = 9.67, D( Z) = 5.40 i= i= Rahasumman odotusarvo: E( 0 Z) = 0 E( Z) = 350 (euroa) Varianssi (yksikkönä euro ) ja keskihajonta (yksikkönä euro): 0 0 350 Var( 0 Z) = Var 0 X i = 0 Var( Xi) = 00 97, D( 0 Z) 54.0 i= i= 0 0 d) E( X) = E X i = E X i = 0E( Xi) = E( Xi) = 3.5 0 i= 0 i= 0 0 0 0 35 Var( X) = Var X i = Var X i = Var( Xi) = Var( Xi) = 0.97 0 0 00 0 0 i= i= i= 35 D( X ) = 0.540 Aritmeettinen keskiarvo vaihtelee siis vähemmän kuin yksittäinen satunnaismuuttuja X. e) Vertaa tehtäviin a) ja b): E( V) = E( X + X 7) = E( X ) + E( X ) E( 7) = 3.5+ 3.5 7 = 0 (vakion odotusarvo on sama kuin vakion arvo)
Var( V) = Var( X + X 7) = Var( X ) + Var( X ) Var( 7) = 35/ + 35/ = 35/ 6 5.833 (vakion varianssi on 0). Varianssi on siirtoinvariantti: vakion lisääminen tai vähentäminen ei muuta varianssia. 6. Millä a:n arvolla E[(X a) ] saa pienimmän arvonsa ja mikä on kyseinen arvo? E[(X a) ] = E[X ax + a ] = E(X ) ae(x) + a Merkitään f(a) = E(X ) ae(x) + a, derivoidaan funktio a:n suhteen ja asetetaan derivaatta nollaksi: f ( a) = E( X) + a = 0 a a = E( X) Todistetaan, että löydetty ääriarvo on minimi. f ( a) = a Koska f(a):n toinen derivaatta on positiivinen, funktio f(a) on konveksi ja siten ensimmäisen derivaatan nollakohta on f(a):n minimi. (Toinen selitys: f(a) on a:n suhteen ylöspäin aukeava paraabeli, joten ensimmäisen derivaatan nollakohta on tietenkin funktion minimi) Odotusarvon E[(X a) ] minimi saadaan kun a = E(X) ja minimi on E[(X E(X)) ] eli X:n varianssi. Pistetehtävä. Olkoot X i, i =,,..., n, riippumattomia normaalijakautuneita satunnaismuuttujia, joiden odotusarvo E(X i ) = µ ja varianssi Var(X i ) = σ. Tarkastellaan seuraavia todennäköisyyksiä: () P(X i > µ + σ) () P(X + X + + X n > n(µ + σ)) (3) P(X > µ + σ) (X on satunnaismuuttujien X i aritmeettinen keskiarvo) Tehtävät: a) Määrää todennäköisyys (). b) Todista, että todennäköisyys () on pienempi kuin todennäköisyys (), jos n >. c) Todista, että todennäköisyys () pienenee, kun n kasvaa. d) Todista, että todennäköisyys (3) on sama kuin todennäköisyys (). e) Määrää todennäköisyys (), kun n = 0.
Xi µ a) P( Xi > µ + σ) = P > = P( Z > ) = P( Z ) = 0.843 = 0.587 σ b) ja c) Merkitään = Xi. Tällöin E() = nµ ja riippumattomuuden takia Var() = nσ. P( ( )) P nµ > n µ + σ = > n = P( Z > n) < P( Z > ), jos n > nσ. Selvästi P( Z > n) 0, jos n. d) Voidaan kirjoittaa X = / n, joten n P( X > µ + σ ) = P > µ + σ = P( > n( µ + σ) ) e) Jos n = 0, Pistetehtävä. ( Z ) ( Z ) P > 0 = P 0 0.999 = 0.0008, joka on sama kuin c-kohdassa. Työmaalle tarvitaan 500 kg soraa. Murskaamon kaivinkoneessa on kaksi kauhaa, joista suurempi kauhallinen on normaalijakautunut odotusarvona 000 kg ja keskihajontana 00 kg, ja pienempi kauhallinen on normaalijakautunut odotusarvona 500 kg ja keskihajontana 50 kg. Määrää sorakuorman painolle odotusarvon suhteen symmetriset rajat, joiden välillä kuorman paino on 95 %:n todennäköisyydellä (vrt. tehtävä 4), kun kuorma-autoon lastataan: a) 3 suurta kauhallista, jonka jälkeen otetaan pieni kauhallinen autosta pois. b) suurta kauhallista ja pieni kauhallinen. c) 5 pientä kauhallista. Merkitään = "sorakuorman paino". Selvästi kaikissa tapauksissa sorakuorman painon odotusarvo E() = 500 (kg). Merkitään X i = "suuremman kauhallisen paino", X i ~ N(000, 00 ) ja i = "pienemmän kauhallisen paino", i ~ N(500, 50 ) Tarkastellaan standardoitua normaalijakaumaa N(0, ) noudattavaa satunnaismuuttujaa Z: P( z Z z) = 0.95 P( Z < z) = P( Z > z) = 0.05 P( Z z) = 0.975 z =.96 (normaalijakauman taulukosta) Tarkastellaan epäyhtälöä µ w µ + w : w µ w P( µ w µ + w) = P( w µ w) = P = 0.95 σ σ σ a) Var() = Var(X + X + X 3 ) = Var(X ) + Var(X ) + Var(X 3 ) + Var( ) = 3 00 + 50 = 3500 z = x/σ X, joten x =.96 3500 353.3 (kg). Kuorman paino on siis välillä (46.7 kg, 853.3 kg) todennäköisyydellä 0.95.
b) Var() = Var(X + X + ) = Var(X ) + Var(X ) + Var( ) = 00 + 50 = 500 z = x/σ X, joten x =.96 500 = 94 (kg). Kuorman paino on siis välillä (06 kg, 794 kg) todennäköisyydellä 0.95. c) Var() = Var( + + 3 + 4 + 5 ) = Var( ) + Var( ) + Var( 3 ) + Var( 4 ) + Var( 5 ) = 5 50 = 500 z = x/σ X, joten x =.96 500 9. (kg). Kuorman paino on siis välillä (80.9 kg, 79. kg) todennäköisyydellä 0.95. Huomaa, että tässä laskettiin useamman riippumattoman satunnaismuuttujan summan (ja erotuksen) varianssia. Esimerkiksi malliratkaisun merkinnöillä X ja X ovat eri satunnaismuuttujia, jotka ovat samoin jakautuneita.