Luento 5: Peliteoria Portfolion optimointi Sijoittajan tehtävä Nashin tasapaino Vangin ongelma Nashin neuvotteluratkaisu 1
Portfolion optimointi Varallisuus A sijoitetaan n:ään sijoituskohteeseen (osake, valuutta, raaka-aine, talletus,...) Kohteeseen i sijoitetaan summa x i, Σx i = A Portfolion (salkun) tuotto y = r 1 x 1 + r 2 x 2 +... + r n x n, r i sijoituskohteen i tuotto sijoitusajanjaksolla Sijoituskohteiden (ainakaan osan) tuottoja ei tunneta sijoitushetkellä odotusarvo-varianssianalyysi: tuoton odotusarvo vs. tuoton varianssi (riski) 2
Tuoton odotusarvo E(y) = x 1 E(r 1 ) + x 2 E(r 2 ) +... + x n E(r n ) = x T E(r) Tuoton varianssi Var(y) = E[(y-E(y)) 2 ]=(x 1 ) 2 Var(r 1 ) + (x 2 ) 2 Var(r 2 ) +... + (x n ) 2 Var(r n ) + 2 x 1 x 2 Cov(r 1,r 2 ) + 2 x 1 x 3 Cov(r 1,r 3 ) +... = x T Cov(r) x (Cov(r) kovarianssimatriisi), [Cov(r)] ij :=E[(r i -E(r i ))(r j - E(r j ))] E(r) ja Cov(r) estimoidaan havaintoaineistosta (esim. osakekurssiaikasarjoista) 3
Monitavoiteoptimointitehtävä: max f 1 (x) = x T E(r) min f 2 (x) = x T Cov(r) x s.e. Σx i = A, x i 0 (i = 1,2,...,n) f 2 riski Pareto-optimaaliset (tehokkaat) portfoliot: tuottoa ei voida nostaa kasvattamatta riskiä riskiä ei voi pienentää pienentämättä tuottoa: max f 1 - kf 2, missä k 0 mieliv. vakio f 1 -kf 2 =vakio tehokkaat portfoliot f 1 odotettu tuotto 4
Sijoittajan tehtävä. Mikä on k? Olkoon U(x): f (f 1 (x), f 2 (x)) sijoittajan hyötyfunktio, joka riippuu sijoituksesta x tuoton ja riskin kautta Sijoittaja valitsee sellaisen k:n, eli tehokkaan portfolion x, joka maksimoi U:n. Tällöin k määräytyy yhtälöstä: f 1 (x) k f 2 (x)=u(x) 5
Sijoittajan tehtävä graafisesti f 2 f 1 (x) k f 2 (x)=u(x) U:n vakiokäyriä U kasvaa f 1 6
Pelaaja 1 N: ei tunnusta C: tunnustaa Peliteoriaa: Vangin pulma Pelaaja 2 N: ei tunnusta C: tunnustaa -1,-1 0,-9-9, 0-6,-6 Taulukossa lukuparin ensimmäinen numero ilmaisee pelaajan 1 hyödyn ja toinen numero pelaajan 2 hyödyn. Pelaajien päätösvaihtoehdot N, C. Rationaalinen ratkaisu (C, C). Tulos (-6,-6). Nashin tasapaino: Kummankaan ei kannata poiketa, jos toinen pelaa rationaalisesti. Kiinnostava yhteistyöratkaisu (N, N). Parempi kuin Nash, mutta ei rationaalinen. 7
Yhteistyön dilemma rahanjakopelissä Pelaaja yksi lopeta luota Yksi: 45 Kaksi: 45 Pelaaja kaksi Järkevää 1:lle ole vastavuoroinen Yksi: 180 Kaksi: 225 ota kaikki Yksi: 0 Kaksi: 405 Molemmille edullinen yhteistyö Järkevää 2:lle 8
Nashin tasapainon sovellus Kahden yrityksen välinen kilpailutasapaino, 1 tuote. Firmojen tuotannot q 1 ja q 2. Markkinahinta P(Q)=a- Q; Q: q 1 +q 2 Yritykseni hyöty: U i (q 1,q 2 ): q i P(q i +q j ) -cq i =q i [a-(q i +q j ) -c] c on tuotannon yksikkökustannus, c < a. Nashin tasapaino q 1, q 2 toteuttaa: U 1 (q 1,q 2 ) U(q 1,q 2 ) q 1 0 U 2 (q 1,q 2 ) U(q 1,q 2 ) q 2 0 9
Välttämätön ja riittävä ehto Nashin tasapainolle: U ( q, q )/ q = 0, i j i 1 2 j q 2 a-c q = ( a-q - c) 2 1 1 2 ( ac - a-c/2 )/2 Nashin tasapaino q 2 q = ( a-q - c) 2 1 2 1 q 1 ( ac - )/2 q 1 10
0-summapeli ja lineaarinen optimointi: John von Neumannin teoriaa Ns. nollasummapelissä U 1 +U 2 =0. Esim. kolikkojen sovittamispeli. Päätösvaihtoehdot: kr,kr; kr,kl; kl,kr; kl,kl. Vastaavasti hyödyt: 1,-1; -1,1; -1,1; 1,-1. Ei Nashin tasapainoa. Nashin tasapaino kuitenkin ns. sekastrategioilla: Pelaa kr todennäköisyydellä 0.5 ja kl todennäköisyydellä 0.5. J. von Neumann osoitti: 0-summapeli sekastrategioilla voidaan formuloida LP-ongelmana. Pelaajien tasapainostrategiat saadaan LP:n ja duaali-lp:n ratkaisuina. 11
Paretopinta hyötytasossa U 2 U 2 Paretopisteet S S käypien (U 1,U 2 ) parien joukko. (U 1,U 2 ) Paretooptimaalinen, jos (U 1,U 2 ) S joko U 1 U 1 tai U 2 U 2 ja ainakin toinen epäyhtälö on aito. U 1 U 1 12
Nashin neuvottelutehtävä 1950: aksiomaattinen ratkaisu Neuvottelujoukko S kompakti ja konveksi (0,0) ristiriitatulos (referenssipiste) Olkoon F(S) = (U 1S, U 2S ) Pareto-optimaalinen ja symmetrinen neuvottelutulos F(S) symmetrinen: Jos S symmetrinen joukko suoran U 2 = U 1 suhteen U 1S = U 2S. 13
Nashin ratkaisu U 2 N F(S) S F N (S) maksimoi tulon U 1 U 2 joukossa S U 1 14
Kalai-Smorodinskyn ratkaisu 1975 U 2 ideaalipiste S KS F (S) U 1 15
Nashin ratkaisun karakterisoi independence of irrelevant alternatives - ominaisuus ja KS:n karakterisoi individual monotonicity - ominaisuus: (iia) S' S ja F(S) S' F(S')=F(S) (im) S' S, mutta sama ideaalipiste pelaajalle i F i (S) F i (S') 16
Luettavaa Ks. Mat-2.152 Peliteoria - opintojakson kotisivu: www.sal.tkk.fi/opinnot/mat-2.3152/ Prisoner s dilemma, ks.: www.negotiation.hut.fi/theory/prisonersdilemma.html J. von Neumann and Oscar Morgenstern, 1947: Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press. J.F.Nash, 1950: The Bargaining Problem. Econometrica, 28, 155-162. 17