Korrespondenssiperiaate Tapio Hansson Oulun Yliopisto, Fysiikan laitos Ohjaaja: Mikko Saarela
Sisältö 1 Johdanto 2 2 Liikeyhtälöt 2 2.1 Klassisen mekaniikan liikeyhtälöt................ 2 2.2 Poissonin sulkusuure....................... 3 2.3 Kvanttimekaniikan postulaatit.................. 3 2.4 Kvanttimekaniikan liikeyhtälöt.................. 4 3 Diracin korrespondenssiperiaate 5 3.1 Kommutaattori.......................... 5 3.2 Ehrenfestin teoreema klassisella rajalla............. 6 3.3 Operaattoreiden valinta..................... 6 3.3.1 Spin-operaattorin esityksen muodostaminen kokonaiskulmaliikemäärästä.................... 8 3.4 Kommutaattorin fysikaalinen tulkinta.............. 11 3.5 Eräänlainen perustelu korrespondenssiperiaatteelle....... 12 4 Diracin korrespondenssiperiaatteen ongelma 14 5 Loppupäätelmät 14 1
1 Johdanto Korrespondenssiperiaate on hyvin yleinen periaate, jonka mukaan tiedettä kehitetään. Sen voi muotoilla sanallisesti esimerkiksi seuraavasti: Uuden teorian on annettava vanhan teorian toimivuusalueella vanhaa teoriaa vastaavia tuloksia. Yleensä ensimmäinen paikka, jossa fysiikanopiskelija kohtaa korrespondenssiperiaatteen, on erityinen suhteellisuusteoria. Suhteellisuusteoriassa ajatus on, että suhteellisuusteorian ennustusten tulee vastata Newtonin mekaniikkaa pienillä nopeuksilla verrattuna valonnopeuteen. Vaikka kvanttimekaniikassa kyse ei ole nopeudesta, vaan koosta ja energiasta, auttaa suhteellisuusteorian korrespondenssiperiaate kuitenkin hahmottamaan, mistä periaatteessa on kyse. Tämä työ keskittyy korrespondenssiperiaatteeseen kvanttimekaniikassa ja erityisesti sen matemaattiseen muotoiluun, jonka esitti ensimmäisen kerran Paul Dirac vuonna 1925 [1]. Korrespondenssiperiaate on erityisen mielenkiintoinen kvanttimekaniikassa, koska kvanttimekaaniset ilmiöt toimivat usein arkijärjen vastaisesti. Teorian on kuitenkin vastattava hyvällä tarkkuudella vanhaa arkijärjen mukaista fysiikkaa klassisen teorian toimivuusalueella. Tämä asettaakin kvanttiteorialle tiukkoja vaatimuksia, joiden on toteuduttava ennen kuin teoriaa voidaan pitää toimivana. 2 Liikeyhtälöt 2.1 Klassisen mekaniikan liikeyhtälöt Liikeyhtälö määrää systeemin dynamiikan. Ensimmäinen Newtonin liikeyhtälö on luonnollisesti tunnettu F = ma. (1) Klassisen mekaniikan muotoilivat uudelleen Joseph-Louis Lagrange vuonna 1788 [2] ja William Rowan Hamilton vuonna 1834 [3]. Näistä erityisesti Hamiltonin mekaniikka muistuttaa huomattavasti nykyisen kvanttimekaniikan muotoilua. Yleiselle dynaamisen suureen A aikaderivaatalle pätee Hamiltonin liikeyhtälön mukaan da = {H, A}. dt Kun A = q i, eli yleistetty paikkakoordinaatti, saadaan tutummat kappaleen paikkaa ja liikemäärää koskevat liikeyhtälöt q i = {q i, H} p i = {p i, H}.[4] 2 (2)
Lisäksi p i tarkoittaa yleistettyä liikemääräkoordinaattia ja H = T +V on Hamiltonin funktio eli liike- ja potentiaalienergian summa. Piste koordinaatin yläpuolella tarkoittaa aikaderivaattaa. Aaltosuluilla merkatun Poissonin sulkusuureen ansiosta yhtälöt voidaan kirjoittaa hyvin selkeästi ja kompaktisti. Tarkastellaan seuraavaksi Poissonin sulkuja hieman tarkemmin. 2.2 Poissonin sulkusuure Sulkusuureen yleinen määritelmä funktioiden f ja g välillä on {f, g} = N i=1 [ f g f ] g, [4] (3) q i p i p i q i jossa N on systeemin vapausasteiden lukumäärä. Vastaisuutta varten on hyvä huomata muutama laskusääntö Poissonin suluille. {A + B, C} = {A, C} + {B, C} {λa, B} = λ{a, B}, λ R {AB, C} = A{B, C} + {A, C}B {A{B, C}} + {B, {C, A}} + {C, {A, B}} = 0 (4) Kaksi ensimmäistä seuraa suoraan derivaatan laskusäännöistä ja kolmas saadaan tulon derivaatan avulla. Viimeinen on niin kutsuttu Jacobin identiteetti, jonka todistus löytyy esimerkiksi Herbert Goldsteinin kirjasta Classical Mechanics. [4] 2.3 Kvanttimekaniikan postulaatit Esittelen tässä vaiheessa kvanttimekaniikan postulaatit, kuten ne Schrödingerin kuvassa usein muotoillaan. Tässä tutkielmassa ei paneuduta kaikkiin postulaatteihin tarkemmin, mutta kokonaiskuvan antamiseksi ne on hyvä käsitellä kaikki kerralla. Postulaatit ovat Ramamurti Shankarin kirjan [5] mukaiset, ellei toisin mainita. 1. Hiukkasen tilaa kuvaa Hilbertin avaruuden [6] aaltovektori ψ(t). 2. Aaltofunktion itseisasrvon neliö ψ(r, t) 2 kertoo systeemin todennäköisyystiheyden. 3. Mitattavaa suuretta vastaa hermiittinen operaattori, joka toteuttaa ominaisarvoyhtälön. Ominaisarvoyhtälöstä saadaan reaaliset ominaisarvot ja ortogonaaliset ominaistilat. Mitattaessa kyseistä suuretta, voidaan mittaustuloksena saada ainoastaan ominaisarvoyhtälön mukaisia 3
ominaisarvoja. Todennäköisyys saada mittauksessa tietty ominaisarvo ω on P (ω) = ω ψ. 4. Systeemin tila voidaan esittää jonkin hermiittisen operaattorin ominaistilojen superpositiona. 5. Systeemin tilan aikakehitys saadaan Schrödingerin yhtälöstä Yhtälössä H on Hamiltonin operaattori. Hψ(r, t) = i d ψ(r, t). (5) dt 6. Korrespondenssiperiaate: Klassisen mekaniikan suureita vastaavat hermiittiset operaattorit saadaan siten, että Poissonin sulkusuure korvataan kommutaattorilla. {A, B} 1 i [Â, ˆB] (6) Hatut A:n ja B:n päällä merkitsevät kvanttimekaanista operaattoria. [7] Diracin korrespondenssiperiaatteeseen, eli kuudenteen postulaattiin, palataan tarkemmin myöhemmin. 2.4 Kvanttimekaniikan liikeyhtälöt Kvanttimekaniikan liikeyhtälö on Schrödingerin yhtälö, kuten viides postulaatti kertoo. Schrödingerin yhtälö on dierentiaaliyhtälö, joka määrää systeemin aikakehityksen eli systeemin dynamiikan. Schrödingerin yhtälö voidaan saattaa erilaisiin muotoihin, kun lähestytään sitä eri lähtökohdista. Siirrytään seuraavaksi tarkastelemaan kvanttimekaniikan liikeyhtälöä hieman eri näkökulmista. Erityisesti klassisen mekaniikan liikeyhtälöitä muistuttava muotoilu Schrödingerin yhtälölle saadaan Ehrenfestin teoreeman kautta. Teoreema kuuluu seuraavasti: Klassisen mekaniikan liikeyhtälöt ovat sellaisinaan toimivia kvanttimekaanisten suureiden odotusarvoille. Ehrenfestin teoreema onkin eräs tärkeä tapa tarkastella klassista rajaa ja korrespondenssiperiaatetta. Matemaattisesti Ehrenfestin teoreema muotoillaan yleensä kommutaattorin (yhtälö (10)) avulla d [H, A] A = dt i. (7) 4
Schrödingerin kuvassa käsitellään operaattoreita, jotka eivät riipu eksplisiittisesti ajasta, joten operaattorin aikaderivaatta häviää. Operaattorin odotusarvo kuitenkin riippuu ajasta, sillä aaltofunktio riippuu ajasta. Yleisen operaattorin odotusarvo saadaan A = ψ A ψ. (8) Tällöin odotusarvon aikaderivaatta voidaan laskea suoraan tulon derivaatan avulla d A = ψ A ψ + ψ A ψ + ψ A ψ t. dt t t Kuten todettua, operaattori A ei riipu ajasta, joten sen aikaderivaatta häviää, ja aaltofunktion aikaderivaatta saadaan suoraan Schrödingerin yhtälöstä Hψ = i d dt ψ dψ dt = i Hψ. Nämä voidaan sijoittaa paikalleen, ja tällöin Hamiltonin operaattorin hermiittisyydestä seuraa, että d A dt = i ψ HA AH ψ = i ψ [H, A] ψ = i 3 Diracin korrespondenssiperiaate [A, H] [H, A] =. i Paul Dirac muotoili korrespondenssiperiaatteen Poissonin sulkusuureista siten, että kvanttimekaniikan kommutaattori saadaan kertomalla klassisen mekaniikan sulkusuure tekijällä i. Matemaattisesti sulkusuureesta voidaan siirtyä kommutaattoriesitykseen seuraavasti: {A, B} 1 i [Â, ˆB] (9) Hatulliset kirjaimet kuvaavat tässä klassisia suureita A ja B vastaavia kvanttimekaanisia operaattoreita, ja kulmasulut tarkoittavat kommutaattoria. [1] 3.1 Kommutaattori Kommutaattori määritellään [A, B] = AB BA. (10) Määritelmä selvästi muistuttaa Poissonin sulkusuuretta, mutta ei sisällä muita operaattoireita kuin tarkasteltavana olevat. A ja B ovat siis luonteeltaan tässä kvanttimekaanisia operaattoreita, joita tyypillisesti kuvataan matemaattisesti dierentiaalioperaattoreilla tai matriiseilla. Kommutaattori ei 5
yleisesti ole nolla, sillä matriisitulo ei kommutoi. Aiemmin Poissonin sulkusuureille määritellyt laskusäännöt yhtälössä (4) pätevät sellaisenaan myös kommutaattorisuluille. [7] Huomion arvoista on myös, että kommutaattorissa on järkeä vain kun molemmat matriisit ovat neliömatriiseja. Lisäksi jokainen matriisi kommutoi itsensä kanssa ja [A, B] = [B, A]. Mainitaan myös kvanttimekaniikassa usein tarvittu laskusääntö Hermiten konjugaatille: [A, B] = [A, B ].[8] (11) 3.2 Ehrenfestin teoreema klassisella rajalla Diracin korrespondenssiperiaatteen avulla Ehrenfestin teoreemaa (yhtälö 7) voidaan tarkastella tarkemmin. Sanallinen ja matemaattinen muotoilu kohtaavat hienosti Hamiltonin liikeyhtälön tapauksessa q = {q, H} = d dt [ˆq, Ĥ] ˆq =. i Kvanttimekaniikan liikeyhtälö muodostuu suoraan, kun Hamiltonin liikeyhtälön tekijät korvataan odotusarvoilla ja Poissonin sulut kommutaattorilla jaettuna i :lla. Korrespondenssiperiaate on postulaatti, mutta odotusarvon käyttöä on syytä perustella. Ehrenfestin teoreema takaa saumattoman kytköksen klassisen mekaniikan ja kvanttimekaniikan toimivuusalueiden rajalle. Mitä lähemmäs klassista rajaa lähestytään, sitä tarkemmin mittaustulokset noudattelevat odotusarvoja, ja lopulta klassisen rajan ylityksen jälkeen voidaan käyttää klassisia liikeyhtälöitä. [7] 3.3 Operaattoreiden valinta Edellä mainitut Diracin korrespondenssiperiaate ja Ehrenfestin teoreema antavat hyödyllisiä relaatioita klassisten suureiden ja operaattorien välillä, mutta eivät suoraan kerro, miten operaattorit tulisi muodostaa. Korrespondenssiperiaate on kuitenkin hyödyllinen, kun sopivia operaattoreita etsitään, sillä se määrää algebran, jonka mukaan operaattorit käyttäytyvät ja jonka pohjalta operaattorit muodostetaan. Filososesti on merkittävää, että kommutaattorirelaatio ei seuraa valittujen operaattoreiden ominaisuuksista, vaan operaattorit valitaan siten, että ne toteuttavat relaation. Yksinkertaisimmat esimerkit ovat luonnollisesti paikka- ja liikemääräoperaattorit. Näille voidaan valita r ˆr, p i. (12) 6
Havaitaan, että kommutaatiorelaatio toteutuu tällöin, sillä klassisessa mekaniikassa {r, p} = 1 ja ylläolevien operaattorien kommutaattorista saadaan [ˆr, ˆp] = i. Osoitetaan tämä operoimalla kommutaattorilla aaltofunktioon [ˆr, ˆp]ψ(r) = [ˆr, i ]ψ(r) = i (r ψ(r) rψ(r)) = i (r ψ(r) ψ(r) r ψ(r)) = i ψ(r). Kulmaliikemäärän tapauksessa klassisessa mekaniikassa pätee Poissonin sulkujen syklinen permutaatio, eli {L i, L j } = ɛ ijk L k, jossa ɛ ijk on Levi-Civitan symboli, eli +1 jos (i, j, k) on (1, 2, 3), (3, 1, 2) tai (2, 3, 1), ɛ ijk = 1 jos (i, j, k) on (1, 3, 2), (3, 2, 1) tai (2, 1, 3), 0 jos i = j tai j = k tai k = i. Diracin korrespondenssiperiaatteen nojalla kvanttimekaaniselle kulmaliikemäärälle pätee tällöin yksinkertaisesti [ˆL i, ˆL j ] = i ɛ ijk ˆLk. Klassisen mekaniikan tuloksista voidaan suoraan löytää myös relaatio [L 2, L] = 0 sekä pallosymmetrisen Hamiltonin operaattorin tapauksessa relaatio [H, L z ] = 0, eli kulmaliikemäärän neliö ja pallosymmetrinen Hamiltonin operaattori kommutoivat kulmaliikemäärän komponenttien kanssa. Kulmaliikemäärän relaatiot voidaan myös laskea työläästi käyttäen määritelmää ˆL = ˆr ˆp. Spin-operaattorille ei ole klassisessa mekaniikassa vastaavaa suuretta, joten sen löytämisessä ei voida suoraan hyödyntää Poissonin sulkuja. Spinoperaattori nousee esiin, kun muodostetaan laskusäännöt kvanttimekaaniselle kulmaliikemäärälle. Tällöin päädytään kahteen erityyppiseen esitykseen. Toisessa esityksessä saadaan kokonaislukuiset kvanttiluvut, joita vastaa ratakulmaliikemäärä L, ja toisessa on puolilukuiset kvanttiluvut, joita vastaa spin S. Spiniä ei voi kuvata derivaattaoperaattorilla kuten tavallista kulmaliikemäärää tai liikemäärää, vaan sillä on matriisiesitys. Koska spin tulee kulmaliikemäärästä, voidaan usein esitettyä ajatusta spinistä hiukkasen sisäisenä pyörimisenä tai pyörimisenä akselinsa ympäri pi- 7
tää perusteltuna, joten myös spin-operaattori toteuttaa kommutaatiosäännöt. Tällöin tällöin pätevät kaavat [S i, S j ] = ɛ ijk S k ja [S z, S 2 ] = 0. Lisäksi spin-operaattorin ominaisarvot toteuttavat analogiset ominaisarvoyhtälöt L 2 l, m = l(l + 1) 2 l, m = S 2 s, m = s(s + 1) 2 s, m. Ominaisarvoissa esiintyvät s ja l ovat spin- ja kulmaliikemääräkvanttilukuja. 3.3.1 Spin-operaattorin esityksen muodostaminen kokonaiskulmaliikemäärästä Hiukkasen kokonaiskulmaliikemäärä J = L + S ja se toteuttaa kommutaatiosäännöt J J = i J. (13) Nämä yhtälöt määrittelevät kulmaliikemäärän. Mikään J:n komponenteista J x, J y tai J z ei kommutoi muiden komponenttien kanssa, mutta jokainen niistä kommutoi kulmaliikemäärän neliön J 2 kanssa. Muodostetaan seuraavaksi yhtälössä (13) esiintyvän kommutaatiosäännön pohjalta diagonaalinen matriisiesitys operaattoreille J 2 ja J z. Ongelma on järkevämpää ratkaista nosto- ja laskuoperaattoreiden J + ja J avulla J x :n ja J y :n sijaan. Ne määritellään J + = J x + ij y J = J x ij y. (14) Myös J + ja J kommutoivat J 2 :n kanssa. Numeroidaan matriisin rivejä ja sarakkeita indekseillä j ja m. J z -operaattorin ominaisarvoksi voidaan valita m, mutta merkitään J 2 operaattorin ominaisarvoja tässä vaiheessa vielä avoimen j:n funktion f(j) avulla. Operaattorien matriisiesityksiksi saadaan jm J 2 j m = f(j) 2 δ jj δ mm jm J z j m = m δ jj δ mm. ja (15) J + toimii nyt nimenomaan J z :n ominaisarvon m nosto-operaattorina ja vastaavasti J laskuoperaattorina. Kun näillä niin kutsutuilla tikapuuoperaattoreilla operoidaan tilaan jm, saadaan jokin tilan j, m ± 1 monikerta, joten ainoiksi nollasta poikkeaviksi matriisielementeiksi jäävät j, m + 1 J + jm = λ m jm J j, m 1 = λ m. 8 ja (16)
On syytä huomata, että λ m voi riippua m:n lisäksi myös kvanttiluvun j arvosta. Tikapuuoperaattoreille pätee kommutaatioehto [J +, J ] = 2 J z. (17) Sijoittamalla matriisielementit yhtälöstä (16) ehtoon (17), saadaan ominaisarvoille yhtälö λ m 1 2 λ m 2 = 2m. (18) Tämän lineaarisen dierenssiyhtälön ratkaisuna saadaan λ m 2 = C m(m + 1), (19) jossa C on mielivaltainen vakio. λ m 2 on luonnollisesti positiivinen luku tai nolla, mutta yhtälön (18) oikea puoli voi saada myös negatiivisia arvoja, mikäli m:n itseisarvo on suuri. Ongelma katoaa, jos löydetään kaksi eri m:n arvoa m 1 ja m 2, joille λ m = 0. Tällöin sarja peräkkäisiä m:n arvoja voi päättyä molemmista päistä ilman, että λ m 2 saa negatiivisia arvoja. Valitaan ylärajaksi m 1 ja alarajaksi m 2, jolloin yhtälö toteutuu ylä- ja alarajalla siten, että j, m 1 + 1 J + jm 1 = 0 jm 2 J j, m 2 + 1 = 0. Tämä rajaa J z :n ominaisarvoja siten, että suurin mahdollinen arvo on m 1 ja pienin mahdollinen arvo on (m 2 + 1), ja kaikki tällä välillä olevat m:n arvot tuottavat ei-negatiivisen arvon λ m 2 :lle. Toisen asteen yhtälön (19) suurempana ratkaisuna saadaan siis m 1 ja pienempänä m 2, joten nämä voidaan ratkaista ratkaisukaavan avulla muotoon m 1 = 1 2 + 1 1 + 4C 2 m 2 = 1 2 1 (20) 1 + 4C. 2 Tästä nähdään helposti, että m 2 + 1 = m 1, joten m saa arvoja m 1 :stä m 1 :een. Koska m saa arvoja yksikön välein, on dierenssiyhtälön (18) vasen puoli 2m joko positiivinen kokonaisluku tai nolla, kun m = m 1. Tämän perusteella m 1 voi olla nolla, positiivinen parittoman luvun puolikas tai positiivinen kokonaisluku, eli se saa arvoja 0, 1, 1, 3,.... [6] 2 2 Jotta saamme määritettyä J 2 :n ominaisarvon f(j), voimme käyttää J 2 :lle muotoa J 2 = 1(J 2 +J + J J + ) + Jz 2. Näiden operaattoreiden ominaisarvot tunnetaan, joten f(j) 2 = 1 2 λ m 1 2 2 + 1 2 λ m 2 2 + m 2 2 = C 2 = m 1 (m 1 + 1) 2. (21) 9
Nimetään vielä m 1 = j, joten J 2 :n ominaisarvot saadaan muotoon j(j + 1). Näin ollen jokaiselle j:n arvolle on olemassa 2j + 1 m:n arvoa, jotka käyvät j:stä j:hin. Koska J z :n ja J 2 :n ominaistilat ovat kantafunktioita, ovat niiden matriisiesitykset diagonaalisia. Tällöin niiden ominaisarvot sijoittuvat matriisin diagonaalille, joten matriisielementit ovat muotoa j m J 2 jm = j(j + 1) δ jj δ mm ja j m J z jm = m δ jj δ mm. Yhtälöiden (16) ja (18) avulla voidaan määrätä nosto- ja laskuoperaattoreiden matriisielementit, jotka ovat j, m + 1 J + jm = j(j + 1) m(m + 1) = (j m)(j + m + 1) ja j, m 1 J + jm = j(j + 1) m(m 1) = (j + m)(j m + 1).[6] (22) Nosto- ja laskuoperaattoreiden avulla voidaan laskea myös J x :n ja J y :n matriisiesitykset, joten j:n arvoa 1 vastaavat matriisiesitykset ovat 2 J 2 = 3 ( ) 1 0 4 2 J 0 1 z = 1 ( ) 1 0 2 0 1 J x = 1 ( ) 0 1 2 J 1 0 y = 1 ( ) (23) 0 i 2. i 0 Vastaavasti j:n arvolle 1 saadaan matriisiesitykset 1 0 0 1 0 0 J 2 = 2 2 0 1 0 J z = 0 0 0 0 0 1 0 0 1 J x = 0 1 0 1 0 1 J y = 0 i 0 i 0 i. 2 0 1 0 2 0 i 0 (24) Kokonaislukuesitykset vastaavat kulmaliikemäärää, ja niiden ominaisfunktiot paikkakoordinaattiesityksessä ovat pallofunktioita Ym(r). j Puolilukuiset esitykset sen sijaan liittyvät hiukkasen spinliikemäärään. [6] Usein spinin tapauksessa käytetään merkintänä niin kutsuttuja Paulin spin-matriiseja σ x = ( ) 0 1, σ 1 0 y = ( ) ( ) 0 i 1 0, σ i 0 z =. 0 1 10
esitys S = 1 σ. Varsinaiset spin- 2 Tällöin voidaan kirjoittaa j:n arvolle 1 2 operaattorit merkitään S x = 2 σ x, S y = 2 σ y, S z = 2 σ z, S 2 = 3 4 2 σ 2. [6] 3.4 Kommutaattorin fysikaalinen tulkinta Klassisessa mekaniikassa Poissonin sulkusuureen avulla löydetään liikevakioita. Mikäli suureen A ja Hamiltonin funktion välinen Poissonin sulku on nolla, eli {H, A} = 0, on kyseessä liikevakio eli säilyvä suure. Kommutaattorin ja Poissonin sulkusuureen vastaavuuden vuoksi näyttää luonnolliselta, että jokin vastaava ominaisuus löytyy myös Hamiltonin operaattorilta kvanttimekaniikassa, ja näin onkin. Hamiltonin operaattorin kanssa kommutoivat operaattorit tuottavat niin kutsuttuja hyviä kvanttilukuja, joiden avulla voidaan numeroida systeemin tiloja. Operaattori tuottaa hyviä kvanttilukuja, kun sen odotusarvo on ajasta riippumaton. Tämä seuraa selvästi suoraan Ehrenfestin teoreemasta d [H, A] A = dt i. Esimerkiksi kulmaliikemäärän neliö L 2 ja komponentti L z kommutoivat pallosymmetrisessä tapauksessa Hamiltonin operaattorin kanssa, joten tällöin ne ovat tavallaan kvanttimekaanisia liikevakioita. L 2 -operaattoria vastaa kvanttiluku l ja L z -operaattoria kvanttiluku m. Kahden operaattorin kommutaattori on nolla, kun niillä on yhteiset ominaistilat. Mikäli systeemi on mitattavan suureen ominaistilassa, tila ei muutu mittauksessa. Esimerkiksi L 2 ja L z operaattorit kommutoivat, ja niiden yhteinen ominaistila on l, m. Tämä on oleellista, sillä yhteisen ominaistilan ansiosta molempia operaattoreita vastaavista suureista voidaan saada samaan aikaan tarkka mittaustulos. Operaattorit, jotka tuottavat hyviä kvanttilukuja ovat erityisen mielenkiintoisia myös, koska niiden ominaistilat ovat samalla myös Hamiltonin operaattorin ominaistiloja, joten systeemin kokonaisenergia voidaan mitata tarkasti samaan aikaan hyviä kvanttilukuja vastaavien suureiden kanssa. Sen sijaan esimerkiksi paikan r ja liikemäärän p kommutaattori ei ole nolla, vaan i. Tällöin paikalla ja liikemäärällä on omat ominaistilansa, joten yhtäaikaista mittaustarkkuutta rajoittaa Heisenbergin epätarkkuusperiaate x y 2. (25) 11
Siispä mitattaessa sekä paikkaa että liikemäärää, törmätään ongelmaan, sillä paikan mittaaminen vaikuttaa liikemäärään ja päinvastoin. Jos taas tutkitaan kommutoivia suureita, joiden operointijärjestyksellä ei ole väliä, voidaan mitata tarkasti molemmat halutut arvot. Esimerkiksi kokonaisenergia ja kulmaliikemäärän neliö voidaan mitata samasta ominaistilasta, ilman että toisella operoiminen muuttaa tilaa. 3.5 Eräänlainen perustelu korrespondenssiperiaatteelle Heisenberg ehdotti julkaisussaan [9], että klassisen mekaniikan yhtälöt ovat pitäviä myös kvanttiteoriassa, mutta matemaattisia operaatioita tulee muokata. Tämän pohjalta Dirac johtaa kvanttialgebraa sangen kuuluisassa julkaisussaan Fundamental Equations of Quantum Mechanics [1], joka johtaa lopulta korrespondenssiperiaatteeseen muodossa, jossa se esitetään yhtälössä (9). Oleellinen ero kvanttialgebran ja klassisen algebran välillä on, että suureiden ei voida olettaa kommutoivan, minkä vuoksi operaattoreiden järjestys tulee säilyttää huolellisesti kaikissa yhtälöissä [1]. Käytetään seuraavaksi merkintöjä, joissa Hamiltonin operaattoria merkitään H:lla ja yleistä dynaamista kvanttimuuttujaa F :llä tai G:llä. Mikäli käytetään klassisia yhtälöitä, merkitään suureihin alaindeksi kl. Lähtemällä liikkeelle yleisen dynaamisen suureen klassisesta liikeyhtälöstä df kl dt = {F kl, H kl }, voidaan kvanttivastine postuloida Heisenbergin mukaan suoraviivaisesti muotoon df dt = {F, H} Q. Alaindeksissä oleva Q viittaa kvanttimekaaniseen sulkusuureeseen, jonka matemaattista luonnetta ei tässä vaiheessa vielä eritellä tarkemmin. Oleellista on kuitenkin se, että tällainen sulkusuure oletetaan löydettäväksi. Operaattorin F aikaderivaatta ei tässä mene yleisesti nollaksi, sillä Heisenbergin kuvassa tilavektorit pysyvät ajassa vakiona ja operaattorit muuttuvat. Schrödingerin kuvasta päästään Heisenbergin kuvaan unitaarisen muunnoksen avulla siten, että F H = e i th F S e i th, jossa F H on Heisenbergin kuvan operaattori ja F S Schrödingerin kuvan operaattori. Tärkeät oletukset ovat, että kvanttisulkusuureen oletetaan olevan bilineaarinen argumenttiensa suhteen, ja että kuten klassinen vastineensa, myös 12
Hamiltonin operaattori H on liikevakio. Tällöin Hamiltonin operaattorin aikaderivaatta on nolla, joten on selvää että {H, H} Q = 0. Bilineaarisuudella tarkoitetaan sitä, että sulkusuure on funktio, joka ottaa argumentikseen muuttujat kahdesta vektoriavaruudesta ja yhdistää nämä lineaariseksi kolmanneksi vektoriavaruudeksi [10]. Kun H = H 1 + H 2, saadaan näistä oletuksista kahden Hamiltonin operaattorin H 1 ja H 2 sulkusuureelle antisymmetrisyysehto {H 1, H 2 } Q + {H 2, H 1 } Q = 0. (26) Yhtälö (26) tarkoittaa, että mielivaltaisilla Hamiltonin operaattoreilla sulkusuure on aina antisymmetrinen. Kun energia on systeemin yleinen dynaaminen ominaisuus, Hamiltonin operaattori eroaa yleisestä kvantisoidusta suureesta vain siinä, että sen yksikkö on energian yksikkö. Näin ollen kertomalla yleinen operaattori F sopivalla vakiolla, voidaan se muuttaa Hamiltonin operaattoriksi, ja täten kvantisoitu sulkusuure on aina antisymmetrinen. [11] Kahden dynaamisen suureen F ja G tulon derivaatta noudattaa tavallisen tulon derivaatan sääntöä, kunhan pidetään tarkkaan huoli operaattoreiden järjestyksestä, eli derivaataksi saadaan d(f G) = df dt dt G + F dg dt. Tällöin päästään selvästi vastaavanlaiseen laskusääntöön kuin Poissonin suluilla aiemminkin jo todettiin (yhtälö 4) {F G, H} Q = {F, H} Q G + F {G, H} Q. Tätä sääntöä ja antisymmetrisyyttä hyödyntäen voidaan todeta, että neljälle suureelle saadaan antisymmetriayhtälöstä {F 1 G 1, F 2 G 2 } Q = {F 2 G 2, F 1 G 1 } Q (F 1 F 2 F 2 F 1 ){G 1, G 2 } Q = {F 1, F 2 } Q (G 1 G 2 G 2 G 1 ). Tiivistämällä kommutaattorimerkinnällä [F 1, F 2 ]{G 1, G 2 } Q = {F 1, F 2 } Q [G 1, G 2 ] {G 1, G 2 } Q = C[G 1, G 2 ] {F 1, F 2 } Q = C[F 1, F 2 ], jossa C on jokin vakio. Tarkastelemalla Heisenbergin matriisimekaanisia liikeyhtälöitä Dirac näki, että vakio C vastaa tekijää i/, jolloin päädytään siihen, että Poissonin sulkusuureen kvanttivastine on muotoa {F 1, F 2 } Q = i [F 1, F 2 ].[11] 13
Näin olemme saaneet perusteltua korrespondenssiperiaatteen postuloimalla Hamiltonin operaattorin vastaavuuden Hamiltonin funktioon nähden sekä sulkusuureen bilineaarisuuden. Lisäksi vakiokerroin täytyy tuoda Heisenbergin liikeyhtälöistä. 4 Diracin korrespondenssiperiaatteen ongelma Diracin korrespondenssiperiaate ei ole yksikäsitteinen, mikäli tarkasteltavana olevassa systeemissä joudutaan käsittelemään yli kolmannen asteen termejä, kuten qkl 2 p2 kl. Kun oletamme, että klassinen Poissonin sulkusuure voidaan kvantisoida suoraan korvaamalla se kvanttisuluilla ei edellä mainitun neljännen asteen termin kanssa päädytä yksikäsitteiseen tulokseen, vaan saadaan kaksi eri sulkurelaatiota {q 2 p, qp 2 } Q = ({qkl 2 p kl, q kl p 2 kl }) qm ja {q 3, p 3 } Q = ({qkl 3, p3 kl }) qm, jotka kuitenkin eroavat tekijällä /3. Alaindeksillä qm tarkoitetaan tässä koko klassisen sulkusuureen kvantisointia. [11] Yleensä tästä epäyksikäsitteisyydestä ei seuraa mitään ongelmia, sillä normaalisti fysikaalisten systeemien Hamiltonin operaattorit ovat muotoa H = p2 2m + V (q), jolloin ongelmallisen korkea-asteisia termejä ei esiinny ja Diracin relaatio toimii yksikäsitteisesti. Kuitenkin teoriassa havaitaan eräänlainen kauneusvirhe, joka on mahdollista myös kiertää. [11] 1960-luvulla Feynmanin polkuintegraalin ajateltiin tarjoavan ratkaisun termien järjestysongelmaan ja Hamiltonin operaattorin yksikäsitteisyyteen. Esimerkiksi Edward Kerner ja William Sutclie julkaisivat oman näkemyksensä helmikuussa 1970 [12], jonka mukaan polkuintegraalilähestymistapa ratkaisee ongelman, koska se perustuu aktioperiaatteeseen eikä niinkään lähde kommutaatioehdoista. Kommutaatioehdot kuitenkin saadaan lopulta myöhemmin tuloksena [12]. Kuitenkin jo samana vuonna Leon Cohen osoitti vastaesimerkillä edellisten esityksen epätäydelliseksi [13]. Uudempi tutkimus on lopulta kuitenkin tuottanut tulosta ja ongelma on saatu ratkaistua, kuten Kaumann julkaisussaan [11] osoittaa. Tällä hieman vahvemmalla kommutaatiosäännöllä ei ole kuitenkaan juuri käytännön merkitystä, sillä Diracin sääntö toimii tyypillisissä systeemeissä yksikäsitteisesti. 5 Loppupäätelmät Vaikka Diracin korresnpondenssiperiaatteella on rajoituksensa, kuten edellä huomautettiin, antaa se silti meille hyvin toimivan tavan siirtyä klassisista 14
suureista kvanttimekaanisiin operaattoreihin. Näiden operaattoreiden avulla muotoillaan nykyisin kaikkialla käytetty kvanttimekaniikan teoria. Kappaleessa 3.3.1 johdetaan esitys spin-operaattorille kulmaliikemäärän kommutaatiosääntöjen pohjalta. Spin on suure, joka voidaan löytää myös kokeellisesti, mutta klassista vastinetta sillä ei ole. Onkin erittäin mielenkiintoista, että vaikka korrespondenssiperiaate rakentaa operaattorit klassisten vastineiden pohjalta, nousee teoriasta silti uusia puhtaasti kvanttimekaanisia suureita. 15
Viitteet [1] P. A. M. Dirac, The fundamental equations of quantum mechanics, Proc. Roy. Soc A, vol. 109, pp. 642653, 1925. [2] J.-L. Lagrange, Méchanique analitique. 1788. [3] W. R. Hamilton, On a general method in dynamics; by which the study of the motions of all free systems of attracting or repelling points is reduced to the search and dierentiation of one central relation, or characteristic function, Philosophical transactions of the Royal Society of London, vol. 124, pp. 247308, 1834. [4] H. Goldstein, Classical mechanics. Reading, Mass: Addison-Wesley, cop. 1959. [5] R. Shankar, The Principles of Quantum Mechanics. Plenum Press, 2 ed., 1994. [6] L. Schi, Quantum Mechanics. Tokyo, Japan: McGraw-Hill, Inc., 1968. [7] M. Saarela, Kvattimekaniikka 1 Johdatus alkuaineiden jaksolliseen järjestelmään. 2012. luentomoniste. Oulun yliopisto. [8] S. Holzner, Quantum Physics for Dummies. Indianapolis, Indiana: Wiley Publishing, Inc., 2009. [9] W. Heisenberg, Über quantentheoretische umdeutung kinematischer und mechanischer beziehungen, Zeits. f. Phys., vol. 33, pp. 879893, 1925. [10] V. L. Popov, Bilinear mapping. http://www.encyclopediaofmath. org/index.php?title=bilinear_mapping&oldid=13044, 2011. Viitattu: 29.3.2013. [11] S. K. Kaumann, Unambiguous quantization from the maximum classical correspondence that is self-consistent: The slightly stronger canonical commutation rule dirac missed, Foundations of Physics, vol. 41, no. 5, pp. 805819, 2011. [12] E. H. Kerner and W. G. Sutclie, Unique hamiltonian operators via feynman path integrals, J. Math. Phys, vol. 11, pp. 391393, 1970. [13] L. Cohen, Hamiltonian operators via feynman path integrals, J. Math. Phys, vol. 11, pp. 32963297, 1970. 16