SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017

SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä ja aine 15 Viikko 3 MagneeNken>ä 18 Viikko 4 Kertausta 1418 Viikko 5 Sähköken>ä johimissa, 19 Viikko 5 sähköiset piirit, komponenit 20 Viikko 6 MagneeNnen voima 21 Viikko 7 Kertausta 1821 Viikko 8 tenn

KENTÄN KÄSITE Ken>ä: suureella on määrä>y arvo (skalaari tai vektori) jokaisessa tarkasteltavan avaruuden pisteessä. Ken>äviiva: käyrä, jonka tangenn käyrän jokaisessa pisteessä on kentän suuntainen. Viivojen Iheys (tai pituus) kuvaa kentän voimakkuu>a

SÄHKÖKENTTÄ SähköisesI varatut hiukkaset luovat ympärilleen sähkökentän, jota voidaan mitata voimavaikutuksen kau>a F q 2 q 1 q 1 Sähköken>ä on määritelty E=F/q 2 Coulombin laki kuvaa voimaa kahden pistemäisen varauksen välillä. Käänteisen neliön laki. F -q 2 Sähköken>ä kiihdy>ää/jarru>aa hiukkasta

FARADAYN HÄKKI E=0

JOHDE ULKOISESSA SÄHKÖKENTÄSSÄ E 0 E=0 Johteessa on vapaita varauksia. Ulkoisessa sähkökentässä näihin elektroneihin kohdistuu voima ja ne liikkuvat johteen pinnoille niin e>ä ken>ä johteen sisällä on nolla. Johteessa tasapainoilassa sähköken>ä on kohisuorassa pintaa vastaan. Jos olisi pinnan suuntainen sähkökentän komponenn se kiihdy>äisi varauksia pinnalla. Huomaa, e>ä nämä eivät päde tasapainoilanteeseen mentäessä kun elektronit vielä liikkuvat ja järjestäytyvät.

KERTAUSTA ENSIMMÄISILTÄ VIIKOLTA Sähköinen dipoli: systeemi, joka koostuu kahdesta yhtä suuresta varauksesta (esim. H 2 O molekyyli) -q q DipolimomenN: p=qs Dipolin ken>ä akselin suunnalla: E=(2kp)/r 3 - kohisuoraan akselilta: E=-(kp)/r 3 s Sähköken>ä pyrkii kiertämään dipolia suuntaisekseen. VääntömomenN on τ=p E.Dipolin ken>ä heikentää ulkoista ken>ää E poteniaalienergia U=-pEcosϕ = -p E ϕ p

Harjoitus 4, tehtävä 1 Kaksi idennstä pysyvää sähködipolia on asete>u etäisyydelle r toisistaan. Dipolien akselit ovat xakselin suuntaiset. a) Jäljennä kuva ja hahmo>ele siihen varauksiin vaiku>avat voimavektorit ja dipoleihin vaiku>avat ne>ovoimat. b) Osoita, e>ä dipoleihin vaiku>avat ne>ovoimat ovat muotoa F ~ 6q 2 s 2 /r 4. Kertaa minkälaisen kentän sähködipoli aiheun dipoli- momennnsa suuntaisella akselilla kaukana dipolista (laskenin harjoituksissa 1). MieI minkälaiset voimat oikean puoleinen dipoli aiheu>aa vasemmanpuoleisen dipolin varauksiin. -q q -q q r >>s s r s

Harjoitus 4, tehtävä 1 Kaksi idennstä pysyvää sähködipolia on asete>u etäisyydelle r toisistaan. Dipolien akselit ovat xakselin suuntaiset. a) Jäljennä kuva ja hahmo>ele siihen varauksiin vaiku>avat voimavektorit ja dipoleihin vaiku>avat ne>ovoimat. b) Osoita, e>ä dipoleihin vaiku>avat ne>ovoimat ovat muotoa F ~ 6q 2 s 2 /r 4. Toinen tapa ratkaista b) on huomata e>ä dipoliin kohdistuva voima voidaan kirjoi>aa F p E/ r. Nähdään myös suoraan, e>ä jos dipoli on homogeenisessä sähkökentässä ei siihen kohdistu kokonaisvoimaa Monet molekyylit ovat sähködipoleita, tai ne indusoituvat dipoleiksi ulkoisessa sähkökentässä. Dipolien välisen vuorovaikutuksen ymmärtäminen on siis tärkeää! -q q -q q r >>s s r s

KERTAUSTA ENSIMMÄISILTÄ VIIKOLTA Sähköken>ä Ietyssä tarkastelupisteessä varausjoukolle saadaan superposiioperiaa>eella, eli voidaan vain laskea vaikkapa N:n pistevarauksen kentät yhteen (summa). Jos jatkuva varausiheys niin summan sijaan lasketaan integraali (rajalla dq à 0). lineaarinen varausiheys λ=q/l ja yksikkö [λ]=c/m pintavarausiheys σ=q/a ja yksikkö [σ]=c/m 2 IlavuusvarausIheys ρ=q/v ja yksikkö [ρ]=c/m 3 Laskuissa yleensä on olete>u, e>ä varausiheys on tunne>u ja pääosin käsi>elimme tapauksia joissa tasainen jakauma. Jaa tehtävä osiin (esim. ohut rengas hyvin pieniksi pistevarausalkioiksi). MieI symmetriaa. E = de à E = de

ESMIERKKI TEHTÄVÄ VARAUSJAKAUMAN SÄHKÖKENTTÄ OrigokeskeisesI xakselilla lepää Lpituinen sauva, jonka varaus Iheys muu>uu lineaarisesi dq = (Axdx)/L 2, missä A on posiiivinen vakio. Origon vasemmalla puolella sauva on siis negaiivisesi varautunut ja oikealla puolella posiiivisesi varautunut. Laske sähkökentän tarkka arvo xakselilla pisteessä P. dq = (Axdx)/L 2 dx P x r

työ on W= F ds TYÖN JA POTENTIAALIN MÄÄRITELMÄT KonservaIivinen voima: sen tekemä työ ei riipu kappaleen kulkemasta reiistä ( E=0) PotenIaalienergia U: kyky tehdä työtä asemansa ansiosta. Kun kappale liikkuu suuntaan johon voima kiihdy>ää sitä sen poteniaalienergia pienenee (posiiivinen työ). PosiIivisen varauksen poteniaalienergia pienenee sen siirtyessä sähkökentän suuntaan, negaiivisen varauksen poteniaalienergia kasvaa (tarkkana miten päin voima osoi>aa!) - ΔU= -W > 0: negaiivinen työ, tehdään työtä sähköken>ää vastaan (hiukkanen liikkuu voimaa vastaa), kineennen energia pienenee - ΔU= -W < 0: posiiivinen työ, sähköken>ä tekee työtä (hiukkanen liikkuu voiman suuntaan), kineennen energia kasvaa

TYÖN JA POTENTIAALIN MÄÄRITELMÄT Sähköinen poteniaali on sähkökentän poteniaalienergia yksikkövarausta kohden Käytännössä fysikaalisesi merki>ävää on vain jännite, eli poteniaaliero kahden pisteen välillä. Pistevarauksen poteniaaliksi saaiin V=kq/r, missä r on etäisyys pistevarauksesta. Tässä 0taso on vali>u ääre>ömyyteen ja poteniaali menee ääre>ömäksi pistevarauksen kohdalla (eli siis voi ajatella poteniaalierona ääre>ömyyden ja pisteen r välillä). Jos pistevarauksen ken>ään tuodaan hiukkanen, saadaan sen poteniaalienergia kertomalla poteniaali hiukkasen varauksella. Jos systeemin sähköinen poteniaali tunnetaan sähkökentän saa laske>ua poteniaalista derivoimalla E= V TasapotenIaalipinnat (pisteiden välinen poteniaaliero nolla). TasapotenIaalipintaa pitkin kulje>aessa sähköken>ä ei tee työtä

Harjoitus 4, tehtävä 2 Ohuelle Rsäteiselle pallokuorelle on jakautunut varaus q. Jakamalla pallokuori sopiviin infinitesimaalisiin osiin laske integroimalla a) sähkökentän poteniaali b) ja edellistä derivoimalla sähkökentän voimakkuus kaikkialla. Sähköken>ä on helpompi laskea kun ensin laskee poteniaalin Kanna>aa myös hahmotella sekä sähkökentän, e>ä poteniaalin kuvaajat niin näet vielä paremmin miten ken>ä ja poteniaali muu>uvat.

ESIMERKKI: TASAISESTI VARATTU PALLO Pistemäisen varatun hiukkasen sähkökentän voimakkuus kasvaa raja>a hiukkasta lähestyessä. Entä jos hiukkanen on äärellisen kokoinen? Tarkastele protonia, jonka varaus tunnetusi on e. Oletetaan, e>ä protonin varaus on jakautunut tasaisesi Rsäteiseen palloon. Määritä sähkökentän poteniaali ja sähkökentän voimakkuus kaikkialla, protonin sisällä ja ulkopuolella. R P s r ds

Harjoitus 4, tehtävä 3 Elektroniin vaiku>aa sähkökentässä voima F = Cxe y, missä C on posiiivinen vakio. Elektroni lähtee origosta ja kiertää kentässä xy- tasossa olevan neliön L:n pituisia sivuja pitkin suljetun kierroksen vastapäivään (ks. Kuva oikealla). Laske voiman elektroniin tekemä työ tällä suljetulla kierroksella. Onko voima konservaiivinen? Työn ja voiman käsi>een kertaamista

KYSYMYS Laita suurimmasta pienimpään poteniaali erot V 12, V 13, ja V 23 pisteiden 1 ja 2, pisteiden 1 ja 3, sekä pisteiden 1 and 3 välillä A. V 13 > V 12 > V 23 B. V 13 = V 23 > V 12 C. V 13 > V 23 > V 12 D. V 12 > V 13 = V 23 E. V 23 > V 12 > V 13

KYSYMYS Protoni päästetään iri levosta pisteessä B missä varaus on 0 V. Myöhemmin protoni A. Liikkuu kohi piste>ä A tasaisella nopeudella B. Liikkuu kohi piste>ä A kiihtyvällä nopeudella C. Liikkuu kohi piste>ä C tasaisella nopeudella. D. Liikkuu kohi piste>ä C kiihtyvällä nopeudella E. Pysyy paikallaan pisteessä B

Harjoitus 4, tehtävä 4 Systeemi koostuu kahdesta lähekkäisestä johdelevystä etäisyydellä s toisistaan. Levyjen etäisyys on paljon pienempi kuin läpimi>a. Molem- mat levyt ovat tasaisesi vara>uja, toisen varaus on q ja toisen q. a) Osoita e>ä levyjen varausten q ja levyjen välisen jänni>een V suhde on vakio, ts. q/v = C. Laske vakion C lauseke. b) Laske tehdyn työn määrä dw ja siis kuinka paljon systeemin poteniaalienergia du muu>uu, kun posiiiviselta levyltä siirretään pieni määrä negaiivista varausta dq negaiiviselle levylle. c) Ajatellaan levyjen varaaminen tapahtuvan seuraavasi: Aluksi levyt ovat neutraaleja. Toiselta levyltä aletaan siirtämään negaiivista varausta -dq kokoisissa erissä toiselle, kunnes levyjen varaukset ovat q ja -q. Osoita, e>ä tässä prosessissa, levyjen välisen jänni>een kasvaessa arvoon V systeemin poteniaalienergia kasvaa arvoon U =½CV 2 Tärkeitä tuloksia. KäyIin luennollakin lävitse mu>a hyvä kaskea itse

POTENTIAALI JOHTEESSA Sähköken>ä on nolla johteen sisällä Onko myös sähköinen poten5aali nolla johteen sisällä? V: Ei tarvi olla nolla mu>a on vakio sillä ΔV=-W/q ja W=Fd=qEd à ΔV=0

Harjoitus 4, tehtävä 5 Ajatellaan sylinterin muodostuvan suuresta määrästä vierekkäisiä suoria ohuita eristesauvoja. Sauvojen pituus on L, sylinterin säde R, L >> R. Sylinterillä on tasainen pintavarausiheys σ ja sen keskipiste on origossa. Leikataan sylinterin pinnasta osa pois Kuvan 2 mukaisesi. Mikä on kappaleen aiheu>aman sähkökentän voimakkuus E origossa kulman θ funkiona? Vielä yksi harjoitus sähkökentän laskemisesta hieman erikoisemmalle varausjakautumalle..

Harjoitus 4, tehtävä 6 JohImessa kulkee virta 0.62 A. Kuvan kolmio muodostuu kolminkertaisesta johimesta, kolmion sivujen pituudet ovat L = 8,3 cm. Mikä on johimien synny>ämän magneenkentän vuon Iheys origossa kolmion (massa)keskipisteessä? Hyvä tehtävä, joka kertaa Biot n ja SavarIn lain käy>öä ja symmetrian mienmistä. Huomaa e>ä kolmen virtajohdon vaikutuksen saat helposi mukaan laskuun. MieI miten massakeskipiste jakaa kolmion korkeuden.

ERISTE ULKOISESSA SÄHKÖKENTÄSSÄ Klikkerikysymyksissä havaitsimme e>ä neutraalin eristeen ja sekä posiiivisesi, e>ä negaiivisesi varatun pienen kappaleen välillä on sähköinen vetovoima. Ulkoinen sähköken>ä muu>aa siis jollakin tavalla eristeen atomien/molekyylien sisäistä rakenne>a. Eristeessä ei ole vapaita varauksen kulje>ajia, mu>a atomit/ molekyylit voivat olla joko pysyviä dipoleita tai ulkoinen sähköken>ä voi indusoida niihin dipolimomenin. Edellisessä tapauksessa dipolit ovat sikinsokin kun ulkoista ken>ää ei ole. Ulkoisen kentän vaikutuksesta ne kiertyvät kentän suuntaan niin e>ä ne luovat kentän eristeen sisälle, joka heikentää ulkoista ken>ää. Samoin käy myös indusoituneille dipoleille.

ERISTE ULKOISESSA SÄHKÖKENTÄSSÄ E 0 s E 0 s A E p Q p E p Q p A pintavarausiheys σ p E 0 levykondensaa>ori E tot = E p E 0 ε r = E 0 / E tot >1

KYSYMYS Kahden varatun (Q ja Q) tason väliin työnnetään eriste. Tällöin paikan funkiona sähkökentän poteniaalia esi>ää kuvaaja

MAGNEETTIKENTTÄ MagneeNken>ä syntyy liikkuvista varauksista. MagneeNsuus esiintyy magneensten materiaalien magneensuutena, joka lii>yy elektronien magneenseen dipolimomennin spiniin ja elektronien liikkeeseen atomin ympäri (paramagneismi/ferromagneistmi, ei varsinaisesi kuulu tämän kurssin aihepiiriin). Tällä kurssilla tarkastelemme pääasiassa johimessa kulkevien elektronien synny>ämää magneenken>ää. Mu>a muista, e>ä ihan samalla lailla myös liikkuvat protonit synny>ävät sähkövirtaa. spin

BIOTIN JA SAVARTIN LAKI Tämä laki yhdistää magneenkentän B sähkövirtaan I, joka on siis magneenkentän lähde (tai siis sähkövirran aiheu>avat liikkuvat elektronit). Kentällä on r -2 kuin sähkökentälläkin. Tämä on kurssilla perustyökalu laskea erilaisten virtajohdinten magneenken>ä. Taas kanna>aa jakaa osiin ja mienä symmetriaa. ΔB = µ 0 IΔl ˆr 4π r 2 pienelle virtaalkiolle Δl. Yksikkövektorin suunta on virtaalkiosta havaintopisteeseen B = µ 0 I 4π wire dl ˆr r 2 Koko johimen ken>ä saadaan integroimalla johimen yli (vrt. sähkökentän superposiio) B = µ 0 qv ˆr 4π r 2 Tämä on liikkuvan varauksen (nopeus v) aiheu>ama ken>ä

OIKEANKÄDEN SÄÄNNÖT Näiden avulla voidaan näppäräsi (?) päätellä magneenkentän suunta

MAGNEETTINEN DIPOLI Virtasilmukan kentälle saaiin (tai vähän vilkaisiin periaate>a, ehkä vikalla viikolla laskuharjoitukseen, koska ilmeisen tärkeä tulos) sama r 3 riippuvuus kuin sähködipolille ja magneenken>ä on vielä samanmuotoinen kuin sähködipolin ken>ä (ks kuva lla).

E = 1 4πε 0 2p r 3, MAGNEETTINEN DIPOLI Sähködipolin tapauksessa määritenin p=qs sähköiseksi dipoli- momeniksi joka kertoo miten sähködipoli kiertyy ulkoisessa magneenkentässä. Dipolin sähköken>ä pisteessä r dipolin akselin suuntaan voiiin kirjoi>aa dipolimomenin avulla Edellisellä luentoviikolla havainin, e>ä saadaan ympyräsilmukan kentäksi vastaavasi kun määritetään dipolimomenn μ=ia missä A on virtasilmukan ala (ympyräsilmukalle siis A=πR 2 ) B = µ 0 4π 2µ r 3

MAGNEETTINEN DIPOLI Ulkoinen magneenken>ä pyrkii myös kääntämään magneensta dipolia niin e>ä sen aiheu>ama ken>ä on vastakkainen ulkoisen kentän suunnalle. VääntömomenN on τ=µ B Johtoa ei tällä kurssilla vaadita mu>a täältä se tulee à Eli määritetään minkälaisen vääntömomenin virtasilmukka kokee kun se on ulkoisessa magneenkentässä h>p://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbase/magneic/magmom.html#c2

TASAINEN MAGNEETTIKENTTÄ Miten saataisiin aikaan hyvin tasainen magnee<ken=ä? Laitetaan kaksi ympyräsilmukkaa vastakkain Tietyllä etäisyydellä, ken>ä on suurella alueella hyvin tasaisnen silmukoiden välissä

TASAINEN MAGNEETTIKENTTÄ

TASAINEN MAGNEETTIKENTTÄ N kierrosta Kierretään johdinta Iukkaan ympäri useita kertoja à solenoidi à Ken>ä solenoidin sisällä kun ollaan kaukana päistä on vakio (useiden ympyräsilmukoiden kennen summa*) Jos solenoidin säde R on paljon pienempi kuin sen pituus L (R << L) saadaan kentäksi solenoidin keskellä: B = µ NI 0 l *Solenoidin kentän lasku on esite>y kirjan sivuilla 735736

TASAINEN MAGNEETTIKENTTÄ Laitetaan kaksi solenoidia vastakkain. Tälläistä systeemiä kutsutaan nimellä Helmholtzin käämit

KYSYMYS Mihin suuntaan magneenken>ä osoi>aa pisteessä P? I on ulospäin I on sisäänpäin A. Vasemmalle B. Oikealle C. Ylös D. Alas P