S-445, ysiikka III (Sf) entti 653 Astiassa on, µmol vetyä (H ) ja, µg tyeä ( ) Seoksen lämötila on 373 K ja aine,33 Pa Määritä a) astian tilavuus, b) vedyn ja tyen osaaineet ja c) molekyylien lukumäärä cm 3 :ssä kaasua yiatomin järjestysluku on 7 Oletetaan kaasu ideaalikaasuksi ja sovelletaan Daltonin lakia Kumikin seoksen kaasu toteuttaa erikseen ideaalikaasun tilanytälön: m H = ν H R = ν R = R, () M missä M 8, g mol on tyen moolimassa ja ja ovat vedyn ja tyen osaaineet H a) Daltonin lain mukaan kokonaisaine on = + () H Ytälöistä () ja () saadaan m R H + = ν H + =, M josta voidaan ratkaista astian tilavuus m R 3 = ν H + 3,6 dm M ν H R b) Ytälöistä () ja () saadaan H = 98, mpa ( ) = H,33 9,8 Pa 35, mpa c) Molekyylien kokonaislukumäärä on = H + Moolissa on Avogadron luvun ilmoittama määrä molekyylejä, joten molekyylin kokonaislukumäärä astiassa on m 6 = ν H + 8,73 A M Molekyylien lukumäärätieys on siten 3-3 n =,58 cm Osoita, että yvin alaisissa lämötiloissa elektronin D systeemin energia on U = (3/5) ε Oastus: oleta, että kaikki tilat ovat täynnä fermienergiaan saakka
Sisäenergia on määritelmän mukaan U = nii = g( ) f( ) d i z () missä ( ) = b g sillä matalissa lämötiloissa µ Huomataan, että kun e / k ( )=, kun + ja ( )= kun > Ytälö () voidaan siis kirjoittaa U =z g ( ) d () Sijoittamalla tilatieys m g( ) π! 3 / = / saadaan / 3 z 3 / / 3 / m 3 / m U = d == / 3 3 π! π! 5 5 / (3) Hiukkasmäärä voidaan lausua ermienergian avulla seuraavasti: z / 3 / m / m = g( ) f( ) d = d = 3 3!! 3 z / 3 / 3 / (4) Ytälöstä (4) saadaan / m 3 / 3 3 / = 3 π! Sijoittamalla tämä lauseke (3):n saadaan U = 3 5
3 Sylinteri, jonka seinät ovat adiabaattiset, on jaettu kitkattomasti liikkuvilla männillä kolmeen osaan, ja 3 Mäntä A on täydellinen lämmön eriste, mäntä B taas täydellinen lämmön jode okainen osa sisältää A B, mol samaa kaksiatomista ideaalikaasua 3 Alkutilassa aine kaikissa osissa on, bar ja lämötila 3, K Sitten kaasua osassa lämmitetään säkövastuksen avulla itaasti, kunnes lämötila osassa 3 on 34, K a) Määritä jokaisen osan aine, tilavuus ja lämötila loussa b) Määritä kaasun sisäenergian muutos jokaisessa osassa c) Määritä kaasuun tuotu lämö o =, bar, o = 3, K, ν =, mol, γ =,4 a) Kun tasaainotila on saavutettu, on sylinterin kaikissa osissa kaasun aine sama: = = 3, koska männät ovat vaaasti liikkuvia Koska mäntä B on ideaalinen lämmönjode (diaterminen), on lämötila osissa ja 3 sama: = 3 = 34 K ilanytälöstä = ν R seuraa, koska moolimäärä ν on kaikissa osissa sama, että myös tilavuudet ovat osissa ja 3 ytä suuret: = 3 Koska mäntä A on täydellinen lämmön eriste, on rosessi osissa ja 3 adiabaattinen, ts kaasu γ ei saa lämöä ymäristöstä Adiabaattiselle rosessille = vakio ilanytälöä käyttäen saadaan ( ) γ γ,4,4 34 3 o o 3 = =, bar,5497 bar,55 bar ilanytälöstä: ν R, mol 8,34 34 K mol K 3 3 = 3 =,84 m,8 dm 5,5497 Pa Osan tilavuus on ( ) = 3 + = 3 ilanytälöstä saadaan o 3 o 3o 3 3, K 34, K = ν R, mol 8,34 5 5 o mol K,Pa,5497Pa 3,834 m 3,83 dm 3 3 3 Osan lämötila saadaan tilanytälöstä:
5-3 3,5497 Pa 3,834 m = 74,74 K 75 K ν R, mol 8,34 mol K b) Sisäenergia riiuu ideaalikaasulla vain lämötilasta Sen muutos on U = νc = ν fr Oletamme, että kyseisissä lämötiloissa vain translaatio- ja rotaatiovaausasteet ovat virittyneet ästä seuraa, että f = 5 Saadaan siis U = 5 ν R( o) 5, 8,34 ( 74,7 3, ) 86 Samoin saadaan 5 U = U3 = ν R( o) 83, c) Kaasun saama lämö on lämmitysvastuksen kautta osaan tuotu energia ämä on ytä suuri kuin koko systeemin sisäenergian muutos: Q = U = U + U + U3 86, + 83,4,3 k 4 Kaksidimensioisessa kaasussa iukkaset voivat liikkua vaaasti tasossa, neliön muotoisen alueen, inta-ala A, sisäuolella Lätien kaksidimensioisen laatikon ominaisenergioista A m n = x + n e yj 8 m missä nx, ny = 3,,,, ja tilatieydestä g ( )= A, osoita, a) että artitiofunktio on A mk Z = Z ja b) määrää systeemin tilanytälö käyttäen tulosta k = H G ln I K z maz k k mak a) Partitiofunktio on Z = g ( ) - / - / e d = e d = b) Ytälö Z = k H G ln I K ()
on aluksi muutettava vastaamaan -dimensioista tilannetta Paine = voima / inta-alayksikkö korvautuu suureella D = voima / ituusyksikkö, joka on neliön sivuun vaikuttava voima ituusyksikköä koden s ytälön () sijaan kirjoitamme Z D = k H G ln I K A jolloin saamme tilanytälöksi ( a on neliön sivun ituus): a A d / k ln Z A k ln A A = = = H G I K = H G I K = k A 5 arkastellaan kata identtistä kaaletta, molemien yteinen ominaislämö c ja alkulämötilat ja, missä > Kaaleet on lämöeristetty ymäristöstä a) ämä kaaleet toimivat ylemänä, ja alemana lämövarastona Carnotin koneelle, joka tekee useita differentiaalisen ieniä lämömääriä siirtäviä kierroksia siirtäen lämöä kaaleiden välillä, kunnes niiden lämötila on tasaantunut a) Osoita, että kaaleiden loulämötila on = b) Osoita, että Carnotin koneen tekemän työn määrä on yteensä ( ) / / / ( ) W = νc c) Mikä on loulämötila, jos kaaleet akeutuvat adiabaattisesti tasaainotilaan tekemättä työtä? a) Maksimityö liittyy aina reversiibeliin rosessiin Koneen työaineen ja lämövarastojen yteinen entroia on koko lämötilojen tasaantumisen ajan vakio os lämöä siirretään kaaleiden välillä Carnotin koneella, kaaleiden ja työaineen entroia ysyy vakiona rään kierroksen aikana kuumemman kaaleen entroia ienenee määrällä dsy = δqy / Missä on kuumemman kaaleen lämötila kyseisen kiertorosessin aikana os loulämötila on niin > > Samalla kylmemmän kaaleen entroia kasvaa määrällä dsa = δqa/, missä on kylmemmän kaaleen lämötila kyseisen kiertorosessin aikana, < < Carnotin rosessissa entroiamuutosten summa =, joten kunkin kierroksen aikana ätee dsy + dsa = δqy / = δqa/ Oletamme nyt, että lämmön siirtyminen koneen ja lämövarastojen välillä taatuu vakioaineessa Kuumemman kaaleen entroian kokonaismuutos on tällöin δq d SY = = νc = νcln, ja kylmemmän kaaleen
δq d SA = = νc = νcln Merkitään muutokset ytä suuriksi, ja ratkaistaan loulämötila: νc ln = νcln = = b) Koneen tekemä työ saadaan ensimmäisen ääsäännön avulla W = Qy + QA = νc( ) + νc( ) = νc( + ) = / / νc( + ) = νc( ) c) os kaaleet akeutuvat termodynaamiseen tasaainoon tekemättä työtä, kuumemman kaaleen luovuttama lämömäärä on ytä suuri kun kylmemmän kaaleen saama lämömäärä: ( ) ν ( ) ( ) νc = c = + / 6 Carnot n koneen työaineena on, kg metaania (CH4), joka oletetaan ideaalikaasuksi Metaanin ominaislämökaasiteettien sude on γ = c cv =,35 Laske metaanin entroian muutos isotermisessä laajenemisessa alkutilavuudesta loutilavuuteen = 4,, kun yötysude on 5% m =, kg, CH4, γ =,35, = = 4, o, η =,5 ntroian muutos on Moolimäärä on ν R ln = = = = ln4, m ν = M S Y QY 4,o νrln Y Y o νr CH 4, kg 8,34 ln4, m mol K S = Rln4, 7 M kg CH K 4 + ( ) 3, 4, mol Hyötysuteella ei tässä taauksessa ole vaikutusta loutulokseen AKIOIA
3 7 7 7 e = = n = = m 9,9 kg m,675 kg m,6748 kg amu,665 kg 9 8 34 4 e =,6 C c =,9979 m/s! =,545 s µ B = 9,73 - - 6 = 8,8544 C m Ke = / 4 =,566 mkgc Km = / 4 3 - - -3 = 6,67 m kg A = 6,5 mol R = 8,343 K mol k=,385 K ε πε µ µ π γ