173 ------------------------------------------------Esimerkki: Tarkastellaan puolipallon muotoista paksua linssiä, jonka taitekerroin on 1,50: Kaarevuussäteet R1 3 cm ja R. Systeemimatriisi on M R T R1, missä R1 on taittomatriisi 1. pinnassa, T on siirto pinnasta 1 pintaan ja R on taittomatriisi pinnassa. Kirjoitetaan: é1 0 ù é1 3ù é 1 M ê úê ú ê -0,5 ë 0 1,5û ë 0 1û ë 1,5 3 Tarkistus: Det( M ) Efektiivinen polttoväli: ja edelleen: 0 ù é 1 0 ù é 3 1 ú ê 3úê 1 1,5 û ë 0 û ë- 9 ù é 3 ê 1 ú 3û ë- 6 ù. ú 1û æ 1ö 1 - ç - 1 (ok!) 3 è 6ø f f - 1 6 (cm) D -1 1-1 0-1/ 6 1 - A 1-3 sw - (cm) -1/ 6 Pääpisteet ja -tasot on piirretty kuvaan. ------------------------------------------------r v
174 Kotitehtävä ------------------------------------------------Esimerkki: Paksun linssin yleiset kaavat (katso kappale 7.1). Matriisitulosta (7..8) paksun linssin systeemimatriisiksi tulee éa Bù M ê ú, D ë û missä (n - n) t, A 1- L nl R1 n B t, nl (nl - n ') 1 (nl - n) 1 (nl - n ')(nl - n) t, n' R n ' R1 n ' nl R1R n æ (nl - n ') t ö D ç1 +. n' è nl R ø Sivun 170 taulukon avulla nämä matriisielementit johtava tuloksiin: 1 n' n - n ' nl - n (nl - n ')( nl - n) t L, f1 n nr nr1 nnl R1R r v D - n / n ' nl - n ' f1 t ja nl R D - 1 æ n ' nl - n ' ö ç1 - + t f1. n n R è L ø Vastaavat yhtälöt kuvapuolen suureille f, s ja w saadaan suoraviivaisesti samalla periaatteella. -------------------------------------------------
175 8 OPTISIA INSTRUMENTTEJA Tässä kappaleessa tarkastellaan yksinkertaisia optisia instrumentteja, joiden toiminta voidaan ymmärtää geometrisen optiikan periaatteilla. 8.1 KAIHTIMET, PUPILLIT JA IKKUNAT Kaikki esinepisteestä kohti optista systeemiä lähtevät säteet eivät osallistu kuvan muodostukseen. Säteiden kulkua rajoittaa mm. linssien ja peilien koot (aukot) ja tarkoituksella systeemiin asetetut himmentimet eli kaihtimet. Kaihtimilla vähennetään mm. kuvausvirheitä ja ne ovat tarpeen myös hajavalon rajoittamiseksi. Aukkokaihdin (Aperture Stop, AS) on se systeemin elementti, joka määrää kuinka suuri optisella akselilla olevasta esinepisteestä lähtevä valokartio voi läpäistä systeemin. Se siis kontrolloi kuvan kirkkautta, ei kokoa. Aukkokaihdin voi olla todellinen (esimerkiksi kameran objektiivissa on erillinen säädettävä kaihdin) tai jonkin kuvaavan elementin määräämä (esimerkiksi linssin halkaisija).
176 Tulopupilli (Entrance Pupil, EnP) on aukkokaihdin sellaisena kuin systeemiin tuleva säde sen näkee ts. aukkokaihtimen kuva aukkokaihdinta edeltävällä optiikalla muodostettuna. Edellisissä esimerkeissä tulopupilli on itse aukkokaihdin (AS). Lähtöpupilli (Exit Pupil, ExP) on aukkokaihdin sellaisena kuin systeemistä lähtevä säde sen näkee, ts. aukkokaihtimen kuva muodostettuna kaihtimen jälkeisellä optiikalla. Pääsäde (hief Ray) on mikä tahansa säde, joka ei lähde esineen optisella akselilla olevasta pisteestä ja joka kulkee aukkokaihtimen keskipisteen kautta. Kenttäkaihdin (Field Stop, FS) määrää näkökentän suuruuden. Esimerkiksi katsottaessa ikkunasta ulos ikkunat karmit toimivat kenttäkaihtimena. Kamerassa kenttäkaihtimena on filmikehikko. Kenttäkaihdin löydetään "kiertämällä" aukkokaihtimen keskipisteen kautta kulkevaa pääsädettä kunnes jokin komponentti rajoittaa sen kulkua. Kyseinen komponentti on kenttäkaihdin. Edellisessä esimerkissä (Esim. 3) kenttäkaihdin on linssi, koska se rajoittaa pääsädettä ensimmäisenä.
177 Tuloikkuna (Entrance Window, EnW) on kenttäkaihtimen kuva kaihdinta edeltävällä optiikalla. Lähtöikkuna (Exit Window, ExW) on kenttäkaihtimen kuva kaihtimen jälkeisellä optiikalla. Kenttäkaihdin FS rajoittaa näkökulmaa, joka on pääsädekartion kulma, esine puolella kulma a (ks. kuva yllä) tulopupillin (EnP) kohdalla ja kuva puolella kulma a ' lähtöpupillin (ExP) kohdalla. ------------------------------------------------Esimerkki: Esine, jonka korkeus on cm, sijaitsee 10 cm:n etäisyydellä linssistä, jonka polttoväli on +5 cm ja halkaisija 5 cm. Linssin edessä cm:n etäisyydellä sijaitsee kaihdin, jonka halkaisija on cm. a) Laske kuvan paikka ja koko. b) Määritä aukkokaihdin ja laske tulo- ja lähtöpupillin paikka ja koko. c) Piirrä aukkokaihtimen määräämä valokartio systeemin läpi ja esineen kärjestä lähtevä pääsäde. Ratkaisu: a) s 10 cm ja f 5 cm, joten kuvan paikaksi saadaan sf 10 5 s' cm 10 cm s - f 10-5 ja suurennukseksi tulee m - s '/ s -1, joten kuva on kääntynyt ja cm:n korkuinen. Kuvaaja mittakaavassa:
178 b) Kuvaajan perusteella nähdään suoraan, että esineen optiselta akselilta olevasta pisteestä piirrettyä valokartiota rajoittaa kaihdin, joten se on nyt systeemin aukkokaihdin. Tulopupilli on aukkokaihtimen kuva kaihdinta edeltävällä optiikalla. Nyt edeltävää optiikkaa ei ole, joten itse aukkokaihdin on samalla tulopupilli. Tulopupilli on siis cm linssistä vasemmalle ja sen halkaisija on cm. Lähtöpupilli on aukkokaihdin kuvattuna kaihtimen jälkeisellä optiikalla. Tässä kuvauksessa s cm ja f 5cm, joten sf 5 s ' -10/3 cm ja s- f -5 s' 10 1 m- 5/3 s 3 Lähtöpupilli on siis noin 3,33 cm linssistä vasemmalle ja sen halkaisija on (cm) 5/3» 3,33 cm. c) valokartio ja pääsäde: Valokartio (tai sen jatke) kulkee AS:n ja myös E n P:n ja E x P:n reunojen kautta. Pääsäde (tai sen jatke) kulkee AS:n, E n P:n ja E x P:n keskipisteiden kautta. -------------------------------------------------
179 ------------------------------------------------Esimerkki: Sama systeemi kuin edellä. a) Määritä kenttäkaihdin sekä tulo- ja lähtöikkunat. b) Piirrä äärimmäisten pääsäteiden kartio systeemin läpi. c) Laske systeemin näkökulma. Ratkaisu: a) Kiertämällä pääsädettä AS:n keskipisteen ympäri havaitaan (ks. edellisen tehtävän kuva), että linssi rajoittaa sitä ensin, siis: - kenttäkaihdin (FS) on linssi - tuloikkuna (EnW) on linssi (ei kuvaavaa optiikkaa edellä) - lähtöikkuna (ExW) on linssi (ei kuvaavaa optiikkaa takana) b) Mittakaava 1:1 sekä z- että y-suunnassa Valokartio (tai sen jatke) kulkee FS:n ja myös EnW:n ja ExW:n reunojen kautta ja AS:n sekä EnP:n ja ExP:n keskipisteiden kautta. (Tässä kuvassa on "sattuma" että kartio kulkee läheltä AS:n sekä EnP:n ja ExP:n reunoja) c) Näkökulmat (merkitty kuvaan): a E W:n halkaisija/ 5/ 5 tan( ) n Þ a 103 E n W:n ja E n P:n väli 4 a' E W:n halkaisija/ 5 / 3 tan( ) x Þ a ' 74 E x W:n ja E x P:n väli 10 / 3 4 -------------------------------------------------
180 8. PRISMAT Taittava prisma muodostuu kahdesta tasosta, jotka ovat kulmassa A toistensa suhteen (katso kuvaa). Taittava kulma A ja tasojen välisen materiaalin taitekerroin n määräävät prisman läpi kulkevan säteen poikkeaman (deviaation) d suuruuden. Tarkastellaan prisman taittokykyä alla olevan kuvan mukaisesti. Valonsäde etenee ns. pääleikkauksessa eli taittavan särmän normaalitasossa. Kuvasta saadaan: ìd d 1 + d (q 1 - q '1 ) + (q - q ' ) í î A 180 - (90 - q '1 ) - (90 - q ' ) q '1 + q ' josta seuraa suoraan d q1 + q - A. Snelliuksen lain mukaan on ìsin q1 n sin q '1. í îsin q n sin q ' Deviaatiokulma d saadaan kulmien A ja q1 avulla, kun ensin kirjoitetaan sin q n sin( A - q '1 ) ja sovelletaan sitten identiteettiä sin(a - b ) sin a cos b - cos a sin b. Lopulta tulee (kotilasku) d q1 + arcsin ëé n - sin q1 sin A - sin q1 cos Aûù - A. (8..1)
181 Tulos on tarkka, mutta sitä on hankala käyttää. Tilanne yksinkertaistuu huomattavasti, jos säde kulkee prisman läpi symmetrisesti. Tällöin myös poikkeamalla on minimi. Miksi symmetrisesti kulkevan säteen deviaatio on minimissä? Tulos voidaan laskea minimoimalla deviaation lauseketta (8..1). Lasku on pitkähkö, joten perustellaan tulos nyt toisin. Seuraava selitys perustuu kokeelliseen havaintoon, jonka mukaan minimideviaatio havaitaan vain yhdellä tulokulman q 1 arvolla: Kuvassa alla säde kulkee prisman läpi symmetrisesti, ts. niin, että q q1 q. Oletetaan nyt, että minimideviaatio tapahtuisi jollakin epäsymmetrisellä ( q ¹ q 1 ) säteen kululla, tulokulmalla q 1. Säteen kulku on käänteistä, joten vastakkaisesta suunnasta tuleville säteille minimideviaatio tapahtuisi tulokulmalla q. Prismalla olisi siis kaksi eri tulokulmaa, joilla minimideviaatio tapahtuisi. Tämä on vastoin havaintoa, joten oletuksen on oltava väärin. Siispä jos säde kulkee prisman läpi symmetrisesti, deviaatio on minimissään.
18 Minimideviaatiossa sivun 180 yhtälöistä saadaan A+d A ja A q ' Þ q '. d q - A Þ q Kun nämä sijoitetaan Snelliuksen lakiin sin q n sin q ', saadaan sin 1 (d + A). (8..) n 1 sin A Tämä tulos on tarkka. Mittaamalla minimideviaatio prismalle, jonka taittava kulma on A, saadaan prismamateriaalin taitekerroin laskettua yo. tuloksesta. Kun taittava kulma A on pieni, sinit voidaan korvata kulmillaan ja saadaan approksimaatio 1 (d + A), n» 1 A josta edelleen d» (n - 1) A. (8..3) Kun A 15, kaavan virhe on noin 1%. Kulmalle A 30 virhe on noin 5%. Dispersio Lasin (optisen materiaalin yleensä) taitekerroin riippuu aallonpituudesta, n n(l ). Säteen suunnan muutos eli deviaatio prismassa on siten myös valon väristä riippuvainen. Tästä seuraa, että prisma hajottaa valkoisen valon väreihin. Materian taitekerroin voidaan ilmaista ns. auchy'n kaavalla B (8..4) n(l ) A + + 4 +..., l l
183 jossa A, B,, jne., ovat kullekin materiaalille ominaisia, kokeellisesti määritettäviä, vakioita. Tavallisesti riittää kaksi ensimmäistä termiä. Normaalissa tapauksessa kaava (8..4) antaa taitekertoimelle viereisen kuvan mukaisen käyttäytymisen. Dispersio on taitekertoimen aallonpituusriippuvuus, ts. dn B»- 3. dl l Dispersio ei siis riipu taitekertoimen absoluuttisesta arvosta (A) vaan etupäässä kertoimesta B. Jos B > 0, niin dn d l < 0 ja tilanne on edellisen kuvan mukainen. Puhutaan normaalista dispersiosta. Jos tilanne on päinvastainen tai dn d l on epäjatkuva, kysymyksessä on anomaalinen dispersio. Kaikilla aineilla on myös anomaalista dispersiota, mutta tavallisesti anomaalisuus esiintyy näkyvän alueen ulkopuolella. Fraunhoferin viivat Optiikassa aallonpituuksien identifioiminen värien perusteella (punainen, keltainen,...) on aivan liian epätarkkaa. Käytännössä tarvitaan joukko hyvin tarkasti tunnettuja referenssiaallonpituuksia. Optisella alueella aallonpituusstandardeina käytetään erilaisista purkauslampuista saatavia ns. Fraunhoferin viivoja.
184 Fraunhoferin viivoja on hyvin paljon läpi koko optisen alueen. Edellisessä taulukossa on annettu vain kolme näkyvän alueen tärkeintä viivaa. Ne ovat vedyn F- ja -viivat (sininen ja punainen) sekä natriumin D-viiva (keltainen). F- ja - viivat edustavat näkyvän alueen reunoja ja D-viiva on keskellä. Optisten lasien valmistajat ilmoittavat lasiensa dispersio-ominaisuudet taitekertoimen n D ja ns. Abben luvun V avulla nd -1 V. nf - n Mitä pienempi on V, sitä suurempi dispersio lasilla on. Tavallisilla optisilla laseilla taitekerroin n D on välillä n D 1.4-1.9 ja Abben luku välillä V 85-0. Suuri dispersio ei välttämättä edellytä suurta taitekerrointa. Prisman dispersiolla D tarkoitetaan prisman kykyä hajottaa valkoinen valo väreihin. On tärkeää erottaa toisistaan prisman deviaatio d ja dispersio D. Asiaa valaisee seuraava kuva: Näkyvän valon keskialueella keltaisen D-viivan deviaatiolle tulee d d»( n - 1) A. Reuna-alueilla punaisen -viivan deviaatio on ja sinisen F-viivan D D d»( n - 1) A, d»( n - 1) A. F F
185 Näissä kaavoissa A on taittava kulma, joka nyt oletetaan pieneksi, katso (8..3). Punaisen ja sinisen viivan deviaatioiden erotus kuvaa nyt dispersiota, ts. D d F - d (nf - n ) A. Prismalasin dispersiokyky (dispersive power) määritellään nyt: D n - n. (8..5) D F nd - 1 d Huomaa että D -1 V. ------------------------------------------------Esimerkki: Prismalla, jonka taittava kulma on 60 on määritetty seuraavat minimideviaatiokulmat: -viiva punainen 38 0' D-viiva keltainen 38 33' F-viiva sininen 39 1' Laske prisman dispersiokyky. Ratkaisu: Minimideviaatiokulmat (1 aste on 60 minuuttia, ts. 1' (1/ 60) ) : -viiva 38,333 D-viiva 38.550 F-viiva 39.00 Tässä taittava kulma A 60 on suuri, joten on käytettävä tarkkaa tulosta (8..) sin 1 (d + A) sin 1 (d + 60 ) 1 sin (d + 60 ) n sin 1 A sin 30 Approksimaatiolla (8..3) laskettaessa kaava olisi n 1 + d / A 1 + d / 60 Tulee: tarkasta approksimaatiosta n 1.5133 1.63888 nd 1.51570 1.6450 nf 1.5308 1.65333 ja dispersiokyvyksi saamme
186 nf -n D 0.0191 tarkasta (0.05 approksimaatiosta). nd -1 ------------------------------------------------- Eri lasilaaduista valmistettuja prismoja voidaan yhdistää (kitata toisiinsa) eri tavoilla. Muutamia esimerkkejä: 1. Akromaattinen prisma taittaa valoa hajottamatta sitä väreihin: D1+ D 0, Þ( n - n ) A + ( n - n ) A 0. Þ A - 1F 1 1 F n -n A 1F 1 1 nf -n. Huom! Koska A < 0, prisma on ylösalaisin. Suoraanhajottava prisma ei poikkeuta D-viivaa lainkaan: d d 1D + D 0 Þ( n - 1) A + ( n - 1) A 0 Þ A - 1D 1 D n -1 A. 1D 1 nd -1 ------------------------------------------------- Esimerkki: Käytettävissä on kruunulasia ja piilasia, joiden taitekertoimet ovat seuraavat: Kruunu: n 1,57, n D 1,530, n F 1,536 Pii: n 1,630, n D 1,635, n F 1,648 Näistä on muodostettava suoraanhajottava prisma. Piilasisen prisman taittava kulma on 5. Laske kruunulasiprisman taittava kulma
187 sekä - ja F -säteiden välinen kulma prisman jälkeen. Oleta prismat ohuiksi ja minimideviaatioehdon toteutuvan kaikille säteille. Ratkaisu: Suoraan hajottava prisma. Kruunulasin taittava kulma: n -1 0.635 5-5.9905» -6 A - 1D A1 n D -1 0.530 F-säteen deviaatio: d F d F 1 + d F (nf 1-1) A1 + (nf - 1) A 0.648 5 + 0.536 (-5.99 ) +0.0936 -säteen deviaatio: d d 1 + d (n1-1) A1 + (n - 1) A 0.630 5 + 0.57 (-5.99 ) -0.00673 Erotus d F - d 0.03609» 0.63 mrad ------------------------------------------------Prismaspektrometrit Optinen spektrometri on laite, jolla analysoidaan suoraan valolähteestä tulevan tai jonkin näyteaineen läpi menneen säteilyn aallonpituusjakaumaa. Tutkitaan siis mitä aallonpituuksia valossa on ja mitä ei. Spektrometrissä tarvitaan komponentti, joka hajottaa valon väreihin. Prismaspektrometrissä tällaisena ns. dispersiivisenä elementtinä käytetään prismaa, joka antaa eri aallonpituuksille eri deviaatiokulmat. Prismaspektrometrin oleelliset osat on esitetty seuraavassa kuvassa: